capitulo1-limite_de_uma_função-alterado

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Capítulo 1 
1- Limites e continuidade 
 
Autores: Leandro Martins da Silva 
Sandra Bulhões Cecílio 
Adaptado por Leandro Martins da Silva 
Prezado(a) aluno(a), 
Neste capítulo, iniciaremos nossos estudos de Cálculo Diferencial e Integral. A base do 
Cálculo Diferencial e Integral que estudaremos a partir de agora foi desenvolvida por Isaac 
Newton e Leibniz, no século XVII. O mesmo foi desenvolvido pela necessidade de resolver 
problemas práticos como: 
 calcular a reta tangente a uma curva definida pelo gráfico de uma função real de uma 
variável; 
 calcular velocidade, aceleração de movimentos retilíneos; 
 calcular máximos e mínimos de funções e aplicar estes conhecimentos em 
problemas práticos; 
 calcular área de figuras planas e volumes de sólidos; 
 solucionar problemas em que a função seja dada implicitamente por uma equação 
envolvendo a função e suas derivadas. 
 
Newton e Leibniz perceberam, em momentos distintos, que estes problemas poderiam ser 
resolvidos parcialmente utilizando a mesma linguagem matemática que hoje chamamos de 
Cálculo Diferencial e integral. Todos os problemas acima nos levam a idéia inicial do limite 
de uma função que será objeto de estudo deste capítulo. 
Iniciaremos nossos estudos com idéias intuitivas a respeito do conceito de limite e 
continuidade de uma função, seguido de diversos exemplos nos valendo do uso de tabelas, 
gráficos e álgebra. 
Talvez você esteja pensando onde utilizará o cálculo em sua vida, pois saiba que hoje em 
dia o cálculo é utilizado na predição do tamanho de uma população, na estimativa de como 
aumenta o preço do café, na previsão do tempo, na medida do fluxo sanguíneo de saída do 
coração, no cálculo dos prêmios dos seguros de vida entre outras aplicações. Esperamos, 
ao termino de nossos estudos que você consiga abstrair as idéias essenciais desta 
ferramenta matemática e aplique-as em seu cotidiano. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
Objetivos: 
 
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que você esteja 
apto a: 
 determinar intuitivamente alguns limites. 
 encontrar o valor limite por meio de uma análise gráfica; 
 analisar a continuidade de uma função; 
 utilizar as propriedades dos limites para calcular outros limites; 
 utilizar diferentes técnicas para determinar os limites de funções; 
 calcular os limites no infinito e os limites infinitos; 
 calcular limites fundamentais. 
 
 
Para que alcance os objetivos almejados, organizamos esse capítulo da seguinte 
forma: 
 
1.1. Introdução aos limites 
1.2. Limites de uma função 
1.3. Limites laterais 
1.4. Continuidade 
1.5. Propriedades dos limites 
1.6. Cálculo de limites 
1.7. Limites infinitos 
1.8. Limites no infinito 
1.9. Limites fundamentais 
 
 
 
 
1.1. Introdução aos limites 
Saudações! Tudo bem contigo? Esperamos que você esteja bastante animado, 
pois hoje vamos explorar intuitiva as idéias envolvendo o conceito de limite e 
precisamos que você faça exatamente o que se pede na situação a seguir. 
 
1ª situação: 
Pegue uma folha de caderno; caso prefira, desenhe uma região retangular. 
a. Divida essa folha ou a região retangular, pela metade. 
b. Agora, divida o que restou pela metade. 
c. Repita esse procedimento novamente. 
d. Continue fazendo esse processo sucessivamente. Observe 
atentamente o que está acontecendo! 
 
Agora, relate neste espaço o que você observou? 
 
 
 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________ 
 
Muito bem! Provavelmente, você observou que, no caso do retângulo, quanto mais o 
número de divisões aumenta, mais a área do retângulo se aproxima de zero. Certo? 
Podemos dizer, então, que, se o número de divisões tenderem ao infinito, o valor da 
área do retângulo tenderá a zero. Concorda? 
 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebeu que tivemos o mesmo raciocínio porém com linguagens distintas? 
Então desenvolva a próxima atividade e continue utilizando essa linha de raciocínio. 
 
2ª situação: 
 
 
a. Observe o círculo a seguir, com raio igual a uma unidade de comprimento 1 . 
 
 
 
 
 
 
 
b. Crie um círculo em que o raio seja a metade do círculo anterior. 
c. Agora, crie um outro círculo cujo raio é a metade do círculo anterior. 
d. Repita este procedimento, quantas vezes você achar necessário. 
se d é o número de divisores e S a superfície do retângulo, quando d vai ou 
tende para o infinito ( d ) S vai ou tende para zero ( 0S ), ou, ainda, 
podemos afirmar que se ( )S f d , então, o lim 0


d
S , ou seja, se a superfície 
do retângulo depende ou está em função do número de divisões, então, o 
limite da área, quando as divisões tendem ao infinito, é igual a zero. Logo a 
figura geométrica tenderá a um segmento de reta. 
 
Relate aqui o que você observou. 
 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
 
 
Muito bem! Intuitivamente, você deve ter concluído que, na medida em que 
dividimos o raio indefinidamente, o círculo tenderá a um ponto, ou seja, a figura 
geométrica tenderá a um ponto. 
 
Agora de maneira analóga a anterior, escreva matematicamente no quadro a seguir 
sua obersavação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acreditamos que você tenha escrito que se d é o número de divisões do raio e S a 
superfície do círculo, quando d vai ou tende para o infinito ( d ) S vai ou tende 
para zero ( 0S ), ou, ainda, que se ( )S f d , então, o lim 0


d
S , ou seja, se a 
superfície do círculo depende ou está em função do número de divisões do raio, 
então, o limite da área, quando as divisões do raio tendem ao infinito, é igual a zero. 
Logo a figura geométrica tenderá a um ponto. 
Ótimo! Agora vamos trabalhar com uma situação numérica ? 
 
 
3ª situação: 
Seja a sequência  

*,
1
n
n
a com n IN
n
. 
a) Encontre os termos na para 1,2,3,4,5,...,10,...,100,...,1000,...n  e registre no 
espaço abaixo. Atenção! Escreva os resultados na forma de fração! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Agora reescreva a sequência de frações anteriores na forma de números 
decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Diga para que valor tenderá essa seqüência, quando n tender para o infinito? 
 
 
 
 
 
 
Muito bem! Agora compare sua resposta com a resolução a seguir. 
 
a. Escrevendo os valores de an para 1,2,3,4,5,...,10,...,100,...,1000,...n  ; obtemos 
 
 
1 2 3 4 5 10 100 1000
, , , , ,..., ,..., ,..., ,...
2 3 4 5 6 11 101 1001
 
 
 
b. escrevendo, na forma de números decimais, os termos da seqüência do item 
anterior, encontramos 
 
0,5;0,666...;0,75;0,8;0,833...;...;0,9090...;0,99009900...;0,999000999000...;... 
 
 
c. para que valor está tendendo essa seqüência, quando n tende para o infinito? 
 
Utilizando as idéias do quadro anterior poderiamos responder está pergunta 
dizendo que lim 1
1

n
n
n
, ou seja, tende a 1. 
 
 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Se , n então 1na , ou seja, lim 1

n
n
a , ou, ainda, lim 1
1

n
n
n
 
 
Você percebeu a idéia intuitiva de limite? Esperamos que sim! Caso ainda não se 
sinta seguro a seguir adiante neste estudo,entre no AVA e converse com o 
preceptor, discuta com os colegas enfim elimine suas dúvidas. 
Podemos prosseguir? Bom, agora usaremos a mesma idéia intuitiva a respeito dos 
limites para observar o comportamento de uma função. Veja o próximo item. 
 
 
1.2. Limites de uma função 
 
Através dassituações anteriores, você observou que o conceito de limite está 
associado a idéias como tendência, proximidade, vizinhança. Agora você utilizará de 
tais idéias para descrever o comportamento de uma função quando a variável 
independente tende a um dado valor. Acompanhe atentamente os exemplos a 
seguir. 
 
Exemplo 1 
 
Investigaremos o comportamento da função 
2 1
( )
1
x
f x
x



, quando os valores 
atribuídos a variável x se aproximam de 1. Utilizaremos como auxilio a tabela 
numérica a seguir: 
 
 
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 
f(x) 1,9 1,99 1,999 1,9999 … 2,0001 2,001 2,01 2,1 
 
Veja que, embora ( )f x não esteja definida no ponto x=1, pois  1 D , podemos 
ter uma idéia do comportamento da função, calculando ( )f x para valores próximos 
de 1, tanto pela direita como pela esquerda. Pela tabela, percebemos que, quando x 
estiver próximo de 1, ( )f x estará próximo de 2. Dizemos, então, que ( )f x fica 
próximo de 2, conforme x se aproxima de 1. Expressamos, assim, que o valor limite 
da função 
2 1
( )
1
x
f x
x



, quando x tende a 1, é igual a 2,e escrevemos 




2
1
1
lim 2
1x
x
x
. 
 
Outra maneira de observar este comportamento é através da representação 
geométrica. Veja o gráfico a seguir, e observe o comportamento de ( )f x quando 
atribuímos valores para a variável x cada vez mais próximos de 1. 
 
 
 
Gráfico 1 
Lembre-se que  ( ) 1 D f então  Im( ) 2 f . Por isso esta função apresenta 
uma descontinuidade no ponto 1x , que é representada pela bola aberta no 
gráfico. Mas, fique tranqüilo, pois falaremos mais sobre este assunto no decorrer 
deste capítulo. 
 
Parada obrigatória 
 
Em geral, usamos a seguinte definição informal a respeito dos limites. 
 
 
Exemplo 2 
 
Vejamos o comportamento da função 2( ) 1f x x x   , quando x está cada vez mais 
próximo de 2. 
 
Utilizando como auxilio a tabela numérica onde os valores atribuídos a x se 
aproximam de 2 obtemos: 
 
 
X 1,5 1,9 1,95 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,5 
f(x) 1,750 2,710 2,853 2,997 3 3,003 3,030 3,310 4,750 
 
Definição: Escrevemos lim ( )
x a
f x L

 , e dizemos “o limite de f(x), quando x tende 
a a , é igual a L”, se pudermos tornar os valores de f(x), arbitrariamente, 
próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente 
próximo de a , mas não igual a a . (STEWART, 2003, p.91). 
Percebeu que atribuímos valores para a variável x próximos a 2, inclusive o próprio 2 
? Neste caso a função não possui restrição quando 2x  , então o mesmo deve ser 
utilizado. Agora observe a representação geométrica a seguir: 
 
 
 
Gráfico 2 
 
É visível que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 3 à medida que x 
estiver cada vez mais próximo de 2, tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado 
direito. Assim, dizemos que o 

  lim( )
x
x x2
2
1 3 , e podemos observar que (2) 3f , 
que está representado pela bola fechada no gráfico, assim como o limite. Logo, 
dizemos que esta função é contínua neste ponto. Muito bem! 
Agora você terá a oportunidade de calcular o próximo limite e fixar as idéias 
apresentadas até aqui. Vamos lá! 
 
Exemplo 3 
Calcule o limite da função 
1
( )
1
x
f x
x



 quando x tende a 1. 
 
Sugestão: Utilize o quadro a seguir e uma calculadora científica para preencher as 
lacunas. 
 
 
x 0,99 0,999 0,9999 0,99999 1 1,00001 1,0001 1,001 1,01 
f(x) 
 
Viu como foi fácil? Assim, observando a tabela você pode dizer que o 
1
1
1
lim
x
x
x


 
tende a _____. 
 
Muito bem! 
Agora, acompanhe nossa resolução do exercício e verifique seu resultado. 
 
 
 
Para o cálculo deste limite vamos usar a tabela numérica com valores bem 
próximos de 1 à esquerda e à direita. 
 
 
x 0,99 0,999 0,9999 0,99999 1 1,00001 1,0001 1,001 1,01 
f(x) 1,99498 1,99950 1,99995 1,99999 2,00000 2,00005 2,00050 2,00498 
 
Observe que a tabela apresenta valores amostrais de x se aproximando de 1 de 
ambos os lados e ao substituirmos tais valores na função, obtemos valores para 
( )f x cada vez mais próximos de 2. Assim podemos conjecturar que 
1
1
2
1
lim
x
x
x



. 
Veja a representação gráfica deste exemplo. 
 
 
Representação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico 3 
 
 
 
 
Parada para reflexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
Vamos calcular o limite da função ( )f x sen
x
 
  
 
 quando x tende a 0, ou na 
linguagem matemática vamos calcular o 
0
lim
x
sen
x


 
 
 
. Utilizando a tabela 
numérica atribuindo valores amostrais a x temos os seguintes resultados: 
 
 
x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 
f(x) 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
Observando a tabela poderíamos concluir que o 
0
0lim
x
sen
x


 
 
 
, mas isso seria um 
erro. Veja o gráfico abaixo, ele revela que os valores de ( )f x oscilam entre -1 e 1 à 
medida que x tende a 0. Assim o 
0
lim
x
sen
x


 
 
 
 não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico 4 
   




x
y
Caro(a) aluno(a) apesar termos vistos três exemplos nos 
quais conseguimos calcular o valor limite da função num 
ponto, através de uma tabela numérica, queremos alertá-lo(a) 
que este tipo de evidência pode nos levar a conclusões 
erradas sobre os limites, devido a erros de arredondamento ou 
porque os valores amostrais escolhidos não revelam o 
verdadeiro comportamento do limite. Veja o exemplo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Limites Laterais 
 
Você percebeu nos exemplos anteriores porque sempre preocupamos em observar 
o comportamento da função ao atribuirmos valores a variável x tanto à direita quanto 
à esquerda do valor de a ? 
Não? É que para obter um valor limite L quando x se aproxima de a , uma função f 
deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores ( )f x devem se aproximar 
de L, quando x se aproxima de a em ambos os lados. Ficou confuso? Então vamos 
retomar essa idéia através do exemplo a seguir. 
 
Exemplo 5 
Observe o comportamento da função 
1 0
( )
1 0
se x
f x
se x

 
 
 , quando x se aproxima de 
0 pelas laterais. 
 
 Utilize o quadro a seguir. 
 
 
x -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01 
f(x) 
 
Observando a tabela você pode dizer que o 
0
( )lim
x
f x

 é _____. 
Ficou confuso? Veja o gráfico a seguir e compare-o com os resultados que você 
obteve na tabela. 
 
 Porque minha interpretação está equivocada? 
 
Porque os valores atribuídos a variável x são todos 
pontos de intercepto do eixo das abscissas ( )x com o 
gráfico de ( )f x . Este exemplo é muito importante pois 
mostra que é necessário dispor de métodos mais 
eficazes para analisar a convergência de funções num 
dado ponto. 
 
 
 
 Gráfico 5 
 
Veja, no gráfico e na tabela, que quando x tende a 0 pela esquerda, ( )f x tende –1, e 
quando x tende a 0 pela direita, ( )f x tende a 1. 
 
Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
Veja que, neste caso, o 
0
lim ( )
x
f x não existe, pois os valores de ( )f x não se 
aproximam de um único número L pelas laterais. 
Parada obrigatória 
 
 
Assim, comparando as duas definições citadas, podemos perceber que o limite 
bilateral existe, se e somente se os limites laterais existirem, e tenderem ao mesmo 
valor. Matematicamente podemos escrever essa frase conforme o quadro abaixo. 
 
 
 
Definição: Escrevemos 

lim ( )
x a
f x L e dizemos que o limite de ( )f x quando x tende a 
a pela esquerda é igual a L se pudermos tornar os valores de ( )f x arbitrariamente 
próximos de L, tornando-se x suficientemente próximo de a e x menor do que a . 
Analogamente, se for exigido que x seja maior do que a , obteremos 

lim ( )
x a
f x L e 
dizemos que o limite de ( )f x , quando x tende aa pela direita é igual a L. 
(STEWART, 2003, p.95). 
 

 
0
lim ( ) 1
x
f x e 


0
lim ( ) 1
x
f x . 
 

( )lim
x a
f x L se, e somente se, 

( )lim
x a
f x L e 

( )lim
x a
f x L 
 
 
Agora você percebeu porque atribuirmos valores a variável x tanto à direita quanto à 
esquerda do valor de a ? 
Temos certeza que sim! Muito bem! Estamos felizes com o seu aprendizado. 
 
 
Exemplo 6 
 
Analise o comportamento da função ( ) 3f x x  quando x se aproxima de 3. 
 
Dica: utilize o quadro a seguir e uma calculadora científica para preencher as 
lacunas. 
 
 
X 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 3,5 
f(x) 
 
 
 
Assim, o 
3
lim 3
x
x

 _______________, e o 
3
lim 3
x
x

 tende a ________. 
Sabemos que o limite bilateral existe, se e somente se os limites laterais existirem, e 
tenderem ao mesmo valor. Podemos então dizer que o 
3
lim 3
x
x

 ______________. 
 
Agora acompanhe atentamente nossa resolução e compare os resultados obtidos. 
 
Primeiro temos que analisar o domínio desta função que será  / 3fD x x   , 
pois 3 0x  . Veja que analisamos o comportamento da função utilizando a tabela, 
atribuindo valores a variável x maiores ou igual a 3, conforme concluímos ao 
encontrar o domínio de f . 
 
 
X 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 3,5 
f(x) 0 0,032 0,100 0,316 0,707 
 
Utilizando o recurso gráfico você perceberá que a função é definida quando x 
assume valores maiores ou igual a 3. Veja atentamente. 
 
Gráfico 6 
 
Utilizando a definição de limite lateral podemos dizer que o limite de ( )f x quando x 
se aproxima de a pela direita é zero, ou na linguagem matemática diremos que 

 
3
lim 3 0
x
x . Note que obtemos um limite lateral, e neste caso não encontraremos 
um limite bilateral, pois a função não está definida quando atribuímos valores para 
x à esquerda de 3. Assim matematicamente escrevemos que: 
 
3
0
3 3
lim ( )
lim ( )
lim ( ) lim 3 0 0
x
x
x x
f x não está definido
f x não existe
f x x

 

 
 



    

 
 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 1 que se encontra no final do capítulo. 
 
 
1.4. Continuidade 
 
 Dizemos que uma função é continua no ponto x a quando a mesma não 
possui uma interrupção, uma lacuna, ou um salto em seu gráfico. Caso o gráfico 
apresente alguma interrupção, dizemos que esse ponto é um ponto de 
descontinuidade e que a função é descontinua neste ponto. Veja o gráfico abaixo. 
 
 
Gráfico 7 
 
Analisando o gráfico chegamos as seguintes conclusões: 
 
 A função não é continua para 0x  , pois (0)f não é definida. 
 A função não é continua para 4x  , pois 
4
lim ( )
x
f x

 não existe, já que os limites 
laterais são diferentes. 
 A função não é continua para 3x   , pois 
3
( 3) lim ( )
x
f f x

  , ou seja 2 0 . 
 O domino da função é  0 
Nos demais pontos do gráfico a função não possui nenhum tipo de interrupção, 
assim a mesma é continua nos demais pontos do intervalo. 
 
Parada obrigatória 
 
Para que não fiquemos apenas com essa idéia intuitiva, vamos definir continuidade 
mais precisamente em termos de limite como: 
 
 
 
 
 
Uma função f é contínua em um ponto a , se as seguintes condições 
estiverem satisfeitas: 
1- )(af está definida 
2- )(lim xf
ax
 existe 
3- )()(lim afxf
ax


 
 
Caso alguma dessas condições não esteja satisfeita, então haverá uma 
descontinuidade no ponto ax  . 
 
 
 
Para 
0
( )
x
f x

 
 
Para 
3
( ) 2
x
f x
 

 
 
Para 
4
( ) 7
x
f x


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 
 
Vamos determinar se a função 
2x 4
, se x 2
f(x) x 2
3, se x 2
 

 
 
 é contínua no ponto onde 
x=2? 
 
Seguindo os passos da definição, teremos que analisar as condições de 
continuidade no ponto x = 2. Veja que: 
 
 
2
2
1) (2) 3
4
2) lim 4 ( )
22
4
3) 4 3 lim (2)
22





 

f
x
faça a verificação através do gráfico
xx
x
Como temos f
xx
 
 
Observe que a função está definida para x=2 e existe o limite da função quando 
x 2 . Entretanto, a terceira condição não é verdadeira, e, assim podemos afirmar 
que a função f é descontínua no ponto x = 2. Observe isto, graficamente: 
 
 
 
 
Gráfico 8 
 
Atenção! 
 
 Uma função polinomial f é contínua para todo numero real a . 
 Uma função racional 
( )
( )
( )
f x
h x
g x
 é contínua em todo número 
exceto nos números a tais que ( ) 0.g a  
 
Antes de continuar volte aos exemplos 1 e 2 deste capítulo e analise a 
continuidade no ponto indicado. Muito bem! Agora é com você! 
 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 2 que se encontra no final do capítulo. 
 
1.5. Propriedades dos Limites 
 
 As propriedades que apresentaremos nos quadros a seguir serão citadas com 
base em nossa definição informal de limite e não serão demonstradas nesta unidade 
didática. Mas caso tenha interesse, em qualquer livro de cálculo diferencial e integral 
I você poderá encontrar estas demonstrações. 
 
 
Teorema: 
Seja C uma constante e suponha que existam os limites )(lim xf
ax
 e 
)(lim xg
ax
. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
2 3 2 3 2 3
2 2 2
lim( ) lim lim 2 2 4 8 12
x x x
x x x x
  
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O limite de uma soma é a soma dos limites. 
 
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
Exemplo 9: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
 
4 4 4
lim 5 lim lim5 4 5 4 2 20 18
x x x
x x x x
  
          
 
 
Exemplo 10: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
 2 2 2
3 3
lim 5 5 lim 5( 3) 5 9 45
x x
x x
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
 
  1243)22)(12()2(lim).1(lim)3()1(lim
222


xxxx
xxx
 
 
 
 
 
Exemplo 12: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o 
limite da função. 
 
  )(lim)(lim xfcxcf
axax 
 
O limite de um produto é o produto dos limites. 
 
  )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
O limite de um quociente é o quociente dos limites. (desde que o limite do 
denominador não seja zero) 
 
0)(lim
)(lim
)(lim
)(
)(
lim 




xgse
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
ax
 
 
8
23
53
)2(lim
)5(lim
)2(
)5(
lim
3
3
3











 x
x
x
x
x
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
 
33)3(3lim33lim3lim 3 33 23 2
3
3
2
3
3 2
3


xxx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: 
 
 
Aplicando a propriedade obtemos, 
 
100100lim
8

x
 
 
Tais propriedades serão úteis no item 1.6 mas é importante que você pratique-as. 
 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 3 que se encontra no final do capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
O limite da n-ésima raiz é a n-ésina raiz raiz do limite. 
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim

 
O limite de uma constante é a própria constante. 
cc
ax


lim 
1.6. Cálculo de limites 
 
 
Existem situações que para calcular um determinado limite será necessário o uso 
de artifícios algébricos como por exemplo, nas funções racionais em que o limite do 
numerador e do denominador se aproximam de zero num determinado ponto. 
Neste caso teremos uma expressão indeterminada que pode ser do tipo 
 
 
 
 
 
 
Acompanhe o exemplo a seguir. 
 
Exemplo 15: 
 
Calcular o 
1
12
1
lim


 x
x
x
 
Veja que, se você substituir 1x  na função, você terá como resposta 
0
0
1
12
1
lim 


 x
x
x
. Temos assim uma expressão indeterminada (veja quadro anterior). 
Portanto não podemos concluir o que acontece com a função quando x tende a 1. 
No entanto, se usarmos uma estratégiaalgébrica obtemos uma simplificação. 
Observe: 
 
 
1
12
1
lim


 x
x
x
=
1 1
( 1)( 1)
( 1) 1 1 2
1
lim lim
x x
x x
x
x 
 
    

 
 
Veja que fatoramos a expressão 2 1 ( 1)( 1)x x x    , simplificamos o fator comum, e 
calculamos o limite. Nunca se esqueça que esta estratégia foi válida pois 1x  neste 
caso. Entendeu? Caso tenha entendido siga adiante! Se você tem dúvidas, entre 
no AVA, exponha suas dúvidas, discuta com os colegas, enfim fale com o seu 
preceptor. 
Muito bem! Podemos prosseguir? Sim? Então calcule o limite a seguir. 
 
 Exemplo 16: 
 
Calcule o 
2
0
(2 ) 4
lim
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 



1,,0,0,,,
0
0 00 
Imaginamos que você substituiu 0x  na expressão 
2(2 ) 4x
x
 
 e obteve como 
resultado 
4 4 0
0 0

 . Veja que 
0
0
é uma expressão indeterminada. Assim 
 
 Você terá que fazer algumas operações algébricas para analisar o comportamento 
da função quando x tende a 0. 
 
Resolva o produto notável 2(2 )x no espaço abaixo e em seguida substitua o 
resultado na expressão anterior. Faça a simplificação quando possível, e calcule o 
valor limite da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muito bem! 
 
 
Agora acompanhe nossa resolução e confira com o resultado que você obteve. 
 
440)4(
)4(44)44(4)2(
limlimlimlimlim
00
2
0
2
0
2
0









x
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxxxx
 
 Verificamos que esta função apresenta problema no ponto 0. Ela não é definida 
neste ponto, sendo o seu domínio o conjunto dos reais, exceto o zero. No entanto, 
quando x tende a 0 ou se aproxima de 0 por valores inferiores ou superiores, a 
função tende a 4, portanto o seu limite é 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! 
 
É conveniente que você recorde algumas fórmulas 
de fatoração apresentadas no roteiro de matemática 
básica (caso necessário, retorne ao mesmo): 
)'')('(
))(()(
))(()(
)(2
)(2
))(()(
2
2233
2233
222
222
22
xxxxacbxax
babababa
babababa
bababa
bababa
bababa






 
 
Para calcular alguns limites que se apresentam na forma indeterminada é 
necessário fazer uso de vários recursos algébricos que foram apresentados no livro 
de matemática básica, como fatoração, divisão de polinômios, produtos notáveis e 
outros. Tenha seu livro em mãos e exercite bastante por meio dos exercícios 
colocados, a seguir. Leia, também, e acompanhe, com atenção, o conteúdo e os 
exemplos apresentados no livro CÁLCULO GEORGE B. THOMAS item 2.2 Como 
calcular limites usando as leis do limite. 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 4 que se encontra no final do capítulo. 
 
1.7. Limites Infinitos 
 
Na noção intuitiva de limite, vimos que o mesmo está ligado à idéia de “proximidade” 
e “vizinhança” e, também, à idéia de “tendência”; assim, em alguns momentos, 
podemos tomar para x valores que se aproximam de um ponto a e verificarmos que 
( )f x cresce ilimitadamente. Em outras palavras, podemos encontrar )(xf tão grande 
quanto desejarmos, tomando para x valores bastante próximos de a. Neste caso 
escrevemos ( )lim  

f x
x a
 ou ( )lim  

f x
x a
. 
 
Vamos acompanhar melhor essa idéia através de alguns exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 17 
 
Encontre se existir o 
xx
1
lim
0
 
Complete a tabela a seguir substituindo os valores atribuídos a x na função ( )f x . Em 
seguida analise o comportamento da função 
x
xf
1
)(  no gráfico. 
 
 
 
 Gráfico 9 
 
Veja que na medida em que x fica próximo de 0 pela esquerda, os valores de )(xf 
são negativos e decrescem indefinidamente. Quando x fica próximo de 0 pela direita, 
os valores de )(xf são positivos e crescem indefinidamente. 
Assim podemos dizer que 
0
1
lim
x x
  e que o 
0
1
lim
x x
  , logo o 
0
1
lim
x x
 não existe. 
 
 
Parada obrigatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 18 
 
x f(x) 
-0,1 
-0,01 
-0,001 
-0,0001 
-0,00001 
0 
0,00001 
0,0001 
0,001 
0,01 
0,1 
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a , exceto 
possivelmente em a . Então, 

)(lim xf
ax
 significa que podemos fazer os valores de 
)(xf ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos) por meio de 
uma escolha adequada de x nas proximidades de a , mas não igual a a . 
 Seja f uma função definida em ambos os lados de a , exceto possivelmente 
em a . Então 

)(lim xf
ax
 significa que os valores de )(xf podem ser 
arbitrariamente grandes, porém negativos, escolhendo se valores de x nas 
proximidades de a , mas não igual a a . (STEWART, 2003, p.97-98). 
 
Considere a função IRIRf *: definida por 
2
1
)(
x
xf  
 
Complete o quadro a seguir, e analise o gráfico. 
 
 
 
 Gráfico 10 
 
O que você observou? Relate aqui. 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
Muito bem! Você verificou que, quando x tende a 0 pela direita ou pela esquerda, a 
função assume valores arbitrariamente grandes? Sim? Então podemos escrever que 
0
( )lim
x
f x

  . 
Você gostaria de calcular 
20
1
lim
x x
 sem o uso de tabela? 
 
Sim? Basta você calcular os limites laterais da função é assim casos ambos sejam 
iguais, você terá o comportamento da função quando x se aproximar de a . Veja. 
 
 
 
 
22
0
20
22
0
1 1 1
lim
00 1
lim
1 1 1
lim
00
x
x
x
x
x
x








   

  
   


 
Você entendeu? Não? Então abra o livro de apoio no item limites infinitos e verifique 
atentamente os exemplos 1,2 e 3. Se a dúvida persistir entre no AVA e troque opiniões 
com seus colegas e com o preceptor. 
 
1.8. Limites no infinito 
 
x f(x) 
-0,1 
-0,01 
-0,001 
-0,0001 
-0,00001 
0 
0,00001 
0,0001 
0,001 
0,01 
0,1 
Na noção intuitiva de limite, vimos que o mesmo está ligado à idéia de “proximidade” 
e “vizinhança”, e, também, à idéia de “tendência”, assim, em alguns momentos, 
podemos tomar, para x, valores suficientemente elevados, ou seja, podemos fazer x 
tender ao infinito. Vamos formalizar, agora, algumas definições referentes aos limites 
no infinito, e calcular alguns desses limites. 
 
Exemplo 19: 
Observe o comportamento da função 
x
xf
2
)(  quando x tende para valores muito 
grande, representado pelo símbolo (+ ) e para valores absolutos muito grandes 
(porém negativo), representado pelo símbolo (  ), completando o quadro abaixo e 
analisando o gráfico. Siga o sentido das setas. 
 
 
 
 Gráfico 11 
O que você observou? 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
 
Você percebeu que, tanto no gráfico como na tabela, quanto maior é o valor de x ou 
seja, quando x tende para infinito, a imagem da função converge para 0? Sim? Muito 
bem! Então matematicamente você pode escrever que 0)(lim 

xf
x
. De maneira 
análoga quando x toma valores negativos muito grandes, ou seja, quando x tende para 
menos infinito, a imagem da função também converge para 0. Então, escreve-se que 
0)(lim 

xf
x
. 
 
Parada obrigatória 
 
x f(x) 
-10.000 
-1000 
-100 
-10 
-1-2 
 
1 2 
10 
100 
1000 
10.000 
 
 
Para calcularmos limites no infinito, temos ainda um teorema que nos ajudará. Veja: 
 
 
 
 
Exemplo 20: 
 
Determine 
2
6
3 10
lim
8 4 3x
x
x x

 
 
 
Quando for necessário encontrar limites do tipo lim ( )
x
f x

ou lim ( )
x
f x

quando ( )f x for 
uma função racional, devemos dividir o numerador e o denominador da função por nx , 
onde n é a maior potência de x que se encontra no denominador. Em seguida aplique 
o teorema acima. 
 
Assim, vamos dividir o numerador e o denominador desta função por 6x , em seguida 
aplicar as propriedades dos limites vistas anteriormente e calcular o limite da função 
reestruturada utilizando o teorema. Acompanhe: 
 
Definição: Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ). Então 
Lxf
x


)(lim significa que valores de )(xf podem ficar arbitrariamente 
próximos de L tornando-se x suficientemente grande. Da mesma forma se f é 
uma função definida em algum intervalo (- ,a). Então Lxf
x


)(lim significa 
que valores de )(xf podem ficar arbitrariamente próximos de L tornando-se x 
suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo. (STEWART, 2003, 
p.134). 
 
 
 
Teorema: Se n é um número racional positivo, então: 
 
 
1
0lim n
x x
 
 
 
1
0lim n
x x
 
 
Desde que nx seja sempre definido. 
2
2 4 66 4 6
66
5 6 5 66
4 6
5 6
3 103 10 3 10 lim
3 10
lim lim lim
4 3 4 38 4 38 4 3
8 lim 8
3 10
lim lim
0 0 0
0
4 3 8 0 0 8
lim8 lim lim
x
x x x
x
x x
x x x
x
x
x x xx x x
x xx x
x x x xx
x x
x x

  

 
  

        
    
    
 


   
 
 
 
 
Você entendeu? Não? Então veja outros exemplos no livro de apoio, item limites finitos, 
exemplos 7,8 e 9. Caso ainda tenha dúvidas entre no AVA e discuta-as com os colegas 
e preceptor. 
 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 5 que se encontra no final do capítulo. 
 
 
 
1.9. Limites fundamentais 
 
 
Neste momento do curso esperamos que você perceba a idéia intuitiva de dois 
importantes resultados que são chamados limites fundamentais. Acompanhe os 
exemplos. 
 
 
 
1.9.1. Limite trigonométrico 
 
 
Exemplo 21 
Considere a função *:f  definida por ( )
sen x
f x
x
 . 
 
Calcule o limite 
0
lim
x
sen x
x
. 
Para calcular esse limite utilize o recurso da tabela numérica e uma calculadora 
científica, mas atenção sua calculadora deve estar no modo radiano. 
 
 
x -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1 
)(xf 
 
O que você observou? 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
Muito bem! Você verificou que, quando x tende a 0 pela direita ou pela esquerda, a 
função assume valores próximos de 1? Sim? Então podemos escrever que 
0
lim 1
x
sen x
x
 . 
 
 
Agora compare os resultados que você obteve com os nossos e analise o 
comportamento do gráfico da desta função. 
 
 
x -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1 
)(xf 0,99833 0,99998 0,99999 0,99999 0,99998 0,99833 
 
 
 
 
          










x
y
 
 Gráfico 12 
 Temos ai uma propriedade importante que nos mostra que: 
0
lim 1
x
sen x
x
 . 
Caso tenha interesse, a demonstração dessa propriedade encontra-se no livro de 
apoio, no item limites envolvendo 
sen

, na página 99 do capítulo 2. 
 
 
1.9.2. Limite exponencial 
 
Exemplo 22 
 
Considerando a função definida por 
1
( ) 1
x
f x
x
 
  
 
em que  / 1 0D x x ou x     
 
Analise o comportamento desta função utilizando a tabela a seguir, em que atribuímos 
valores a x, 0x  , que tendem ao infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que você observa à medida que os valores atribuídos a x tendem ao infinito? 
 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
Agora, analise o comportamento desta função atribuindo valores a x, 1x   , que 
tendem ao infinito negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O que você observou a medida que os valores atribuídos a x tendem ao infinito 
negativo? 
 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
Muito bem! Então você percebeu que a função se aproxima de 2,7182818284... ? 
 
Podemos dizer que o 
1
lim 1
x
x
e
x
 
  
 
 ou 
1
lim 1
x
x
e
x
 
  
 
, onde e é a base do 
sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é 2,7182818284...e  
Agora veja o gráfico a seguir: 
x f(x) 
1 
10 
100 
1000 
10000 
100000 
1000000 
10000000 
100000000 
x f(x) 
-2 
-10 
-100 
-1000 
-10000 
-100000 
-1000000 
-10000000 
-100000000 
            












x
y
e
 
Gráfico 13 
 
Você percebeu que quanto maior for o valor absoluto de x, o valor de ( )f x tende a e ? 
Sim? Muito bem! 
Os limites 
0
lim 1
x
sen x
x
 e 
1
lim 1
x
x
e
x
 
  
 
 são chamados de limites fundamentais e no 
decorrer do nosso estudo eles serão úteis. Vale ressaltar que às vezes é necessário 
algumas manipulações algébricas para se obter estes limites e você terá a 
oportunidade de verificar isso na atividade a seguir. 
 
Hora de praticar 
Faça a atividade 6 que se encontra no final do capítulo. 
 
 
 
 
 
Parada obrigatória 
 
 
Caro (a) aluno(a), neste momento gostaríamos de discutir o conceito de limites com 
um maior rigor, substituindo expressões vagas como “arbitrariamente próximo de” 
por condições específicas que podem ser aplicadas a qualquer exemplo. 
Tentaremos mostrar isso de uma forma bem simples através do seguinte exemplo. 
 
 
Exemplo 7 
 
 
Considere a função 
(2 3)( 1)
( )
1
x x
f x
x
 


. Sabemos que a função está definida para 
todos os valores de x exceto 1x  , pois 1 0x  . Assim, utilizando propriedades 
algébricas, simplificamos a expressão e reescrevemos a função da seguinte forma: 
 
( ) 2 3, 1f x x desde que x   ou  ( ) 2 3, 1ff x x onde D    
 
Vamos agora utilizar a tabela numérica atribuindo valores para x nas proximidades 
de 1. 
 
 
X 0,5 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,5 
f(x) 4 4,8 4,98 4,998 5,002 5,02 5,2 6 
 
Veja que quando x está cada vez mais próximo de 1 tanto pela esquerda quanto à 
direita, ( )f x se aproxima de 5. Agora gostaríamos que você acompanhasse com 
bastante atenção o raciocínio abaixo. 
 
 
Utilizando intervalos numéricos podemos dizer que: 
Situação 1 
 
quando os valores atribuídos a x estiverem entre 0,999 e 1,001, os valores de ( )f x 
estarão compreendidos entre 4,998 e 5,002. 
 
Na linguagem matemática dizemos que: 
 
 se 0,999 1,001 4,998 ( ) 5,002x f x     . Você percebeu nos intervalos obtemos 
infinitos valores para a variável x nas “proximidades” de 1 e infinitos valores para a 
variável ( )f x nas “proximidades” de 5? Baseado nisso podemos reescrever as 
inequações acima, utilizando as propriedades de inequações modulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a propriedade da inequação modular obtemos os seguintes resultados: 
 
Lembre-se! 
Sendo k um número real positivo, temos que x k k x k    . 
Exemplo: Resolva a inequação modular 1 4x  . 
Resposta: 
Utilizando a propriedade acima temos que: 
4 1 4x    
Para encontrar o intervalo dos valores de x que satisfazer a inequação modular, 
temos que adicionar 1 na inequação acima. 
Assim, 4 1 1 1 4 1 3 5xx          e a solução é 
 / 3 5S x x     
 
 
0,999 1,001 0,999 1 1 1,001 1 0,001 1 0,001 1 0,001x x x x              
Você percebeu que subtraímos 1 da inequação porque os valores atribuídos a x 
estão nas proximidades de 1? 
Já ( )f x está compreendido no seguinte intervalo, 
 
4,998 ( ) 5,002 4,998 5 ( ) 5 5,002 5
0,002 ( ) 5 0,002 ( ) 5 0,002
f x f x
f x f x
        
      
 
 
Você compreendeu que subtraímos 5 da inequação porque os valores atribuídos a 
( )f x estão nas proximidades de 5? 
Muito bem! Veja uma nova situação: 
 
 
 
situação 2 
 
se você desejar que os valores atribuídos a x estejam entre 0,9 e 1,1, como 
conseqüência obterá valores de ( )f x compreendidos entre 4,8 e 5,2. Veja a tabela 
numérica! 
 
Na linguagem matemática temos que: 
 
 se 0,9 1,1 4,8 ( ) 5,2x f x     . Como nosso objetivo é obter valores para a 
variável x nas “proximidades” de 1 e como consequência valores para a variável 
( )f x nas “proximidades” de 5, podemos reescrever as inequações, utilizando as 
propriedades de inequações modulares obtendo: 
 
0,9 1,1 0,9 1 1 1,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1x x x x               
 
Você compreendeu que subtraímos 1 da inequação porque os valores atribuídos a x 
estão nas proximidades de 1? Muito bem! 
 
Agora reescrevemos o intervalo 4,8 ( ) 5,2f x  da seguinte forma: 
4,8 ( ) 5,2 4,8 5 ( ) 5 5,2 5 0,2 ( ) 5 0,02 ( ) 5 0,2f x f x f x f x               
Você compreendeu que subtraímos 5 da inequação porque os valores atribuídos a 
( )f x estão nas proximidades de 5? Ótimo! 
 
Suponha agora desejemos obter valores para a variável x de modo que 
encontremos valores próximos de 5 para ( )f x , com um erro de tolerância aceitável 
de 0,2. Para encontramos tais valores vamos escrever este problema na linguagem 
matemática: ( ) 5 0,2f x   . 
O nosso objetivo é encontrar um intervalo de valores para a variável x que satisfaça 
a restrição acima. Então vamos expressar ( ) 5 0,2f x   em termos de x. Assim, 
obtemos (2 3) 5 0,2x   que pode ser escrito com 2 2 0,2x  . 
Fatorando a expressão dentro do módulo obtemos 2( 1) 0,2x  . Utilizando 
propriedades do módulo obtemos 
0,2
2 1 0,2 1 1 0,1
2
x x x        . 
Podemos concluir que para que ( )f x esteja próximo de 5 com uma margem de erro 
de 0,2 , ou seja ( ) 5 0,2f x   , x deve estar próximo de 1 com uma margem de erro 
de 0,1, ou seja 1 0,1x  . 
Veja a ilustração abaixo 
 
 
 
 
 Gráfico 13 
 
O mesmo exercício pode ser feito na situação 1, desde que você admita que o erro 
de tolerância para os valores de ( )f x sejam de 0,01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com tais idéias podemos definir formalmente o conceito de limite. Veja o 
quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
 
5 0,2
5 0.2
5
1 0,1 1 0.1
1

O erro de tolerância para ( )f x é arbitrário e sempre será 
positivo e na literatura é representado pela letra grega 
 (épsilon) . Já o erro de tolerância para x é positivo, depende 
do erro anterior, e é representado pela letra grega  (delta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, chegamos ao final deste capítulo. Além de termos apresentado a você os 
conceitos de limite e continuidade de uma função, discutimos várias técnicas de 
cálculo de limites que são essenciais ao Cálculo Diferencial e Integral, buscamos 
ainda observar o comportamento das funções através de gráficos, tabelas e outros 
recursos, construindo intuitivamente o conceito de limite. Esperamos que você 
tenha gostado de estudar conosco tais conceitos que são fundamentais para o 
estudo do capitulo 2. Antes de seguir para o próximo capítulo faça um resumo das 
principais idéias vistas neste capítulo, pois o mesmo será de grande valia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém 
o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de 
( )f x quando x tende a a é L , e escrevemos ( )lim
x a
f x L

 se para todo número 
 0 há um número correspondente 0  tal que 
 
 ( )f x L   sempre que 0< x a   
Atividade 1 
 
 
1- Seja ( )f x a função definida pelo gráfico: 
 
 
        








x
y
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
a) 
3
lim ( )
x
f x

 b) 
3
lim ( )
x
f x

 c) 
3
lim ( )
x
f x

 d) lim ( )
x
f x

 e) lim ( )
x
f x

 
 f) 
4
lim ( )
x
f x

 
 
2- Seja ( )f x a função definida pelo gráfico: 
 
 
 
        








x
y
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
a)
2
lim ( )
x
f x

 b) 
2
lim ( )
x
f x

 c) 
2
lim ( )
x
f x

 d) lim ( )
x
f x

 
3- Seja ( )f x a função definida pelo gráfico: 
        








x
y
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 
0
lim ( )
x
f x

 b) 
0
lim ( )
x
f x

 c) 
0
lim ( )
x
f x

 d) lim ( )
x
f x

 e) lim ( )
x
f x

 
 f) 
2
lim ( )
x
f x

 
4- Seja ( )f x a função definida pelo gráfico: 
 
        








x
y
 
 
 
 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a)
2
lim ( )
x
f x

 b) 
2
lim ( )
x
f x

 c) lim ( )
x
f x

 d) lim ( )
x
f x

 
e) 
1
lim ( )
x
f x

 
5- Seja ( )f x a função definida pelo gráfico: 
        








x
y
0.5
1
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a)
1
lim ( )
x
f x

 b) 
1
lim ( )
x
f x

 c) 
1
lim ( )
x
f x

 d) lim ( )
x
f x

 
e) lim ( )
x
f x

 
 
Atividade 2 
 
 
Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: 
 
a) 
0, 0
( )
, 0
se x
f x
x se x

 

 b) 
2 4
, 2
( ) 2
1, 2
x
se x
f x x
se x
 
 
 
  
 
 
Atividade 3 
 
 
 
Calcule os limites usando as propriedades de limites. 
a) 
2
0
lim(2 7 5 )
x
x x

  
b) 
2
3
lim(3 7 2)
x
x x

  
c) 
5 4
1
lim( 6 2)
x
x x

   
d) 
1
2
lim(2 7)
x
x

 
e) 3 1
1
lim ( 4) ( 2)
x
x x 

     
f) 10
0
lim ( 2) ( 4)
x
x x

     
g) 
2
4
lim
3 1x
x
x


 
h) 
2
3
lim
2t
t
t


 
i) 
2
1
1
lim
1x
x
x


 
j) 
2
2
5 6
lim
2t
t t
t
 

 
k) 
2
2
5 6
lim
2t
t t
t
 

 
l) 
1
2
4
lim
2s
s
s

 
m) 3
4
lim 2 3
x
x

 
n) 
2
3
7
lim(3 2)
x
x

 
o) 
2
2
2
lim
3x
x x
x

 
p) 
2
2
lim
3 4x
x x
x


 
 
Atividade 4 
 
Calcule os seguintes limites: 
a) 
3
21
1
lim
1x
x
x


 
b) 
3 2
2
4 4
lim
( 2)( 3)t
t t t
t t
 
 
 
c) 
2
22
3 10
lim
3 5 2x
x x
x x
 
 
 
d) 
2
5
2
2 3 5
lim
2 5t
t t
t
 

 
e) 
2 (1 )
lim
x a
x a x a
x a
  

 
f) 
2
24
3 17 20
lim
4 25 36x
x x
x x
 
 
 
g) 
2
21
6 5
lim
3 4x
x x
x x
 
 
 
h) 
2
21
1
lim
3 2x
x
x x

 
 
i) 
2
2
4
lim
2x
x
x


 
j) 
2
22
5 6
lim
12 20x
x x
x x
 
 
 
k) 
4
0
(2 ) 16
lim
h
h
h
 
 
l) 
2
0
(4 ) 16
lim
t
t
t
 
 
m) 
0
25 3 5
lim
t
t
t
 
 
n) 
2
0
lim , 0
t
a bt a
onde a
t
 
 
o) 
0
1
lim
1h
h
h


 
p) 
2
4
2( 8)
lim
4h
h h
h
 

 
q) 
3
0
8 2
lim
h
h
h
 
 
r) 
0
1 1
lim
x
x
x
 

 
s) 
2 2
2 20
lim , , 0
x
x a a
a b
x b b
 

 
 
t) 
3 3
lim , 0
x a
x a
a
x a



 
 
Atividade 5 
 
 
Calcule os limites abaixo: 
a) 3 2lim (3 4 1)
x
x x

  
b) 
2
1 4
lim 2
x x x
 
  
 
 
c) 
2
1
lim
1t
t
t


 
d) 
2
1
lim
1t
t
t


 
e) 
2
2
2 3
lim
2 5 3t
t t
t t
 
 
 
f) 
5 3
2
2 3 2
lim
7x
x xx
 
 
 
g) 
5 2
2
3 7
lim
2x
x x
x
 

 
h) 
3
3
5 2
lim
7 3x
x
x
 

 
i) 
2 3 1
lim
x
x x
x
 
 
j) 
3
3 10
lim
x
x x x
x
 
 
k) 
2 1
lim
4t
t
t


 
l) 
2
(2 7cos )
lim
3 5 1x
x x x
x sen x

 
 
m) 
1
lim
3 1v
v v
v


 
n) 
2 1
lim
1x
x
x


 
o) 
2 1
lim
1x
x
x


 
p) 
 2 2lim 1 1
x
x x

  
 41 
Atividade 6 
 
 
 
 
 
Calcule os limites seguintes, aplicando os limites fundamentais. 
 
a) 
9
lim
0
sen x
xx
 
 
b) 
4
lim
30
sen x
xx
 
 
c) lim
0
tg ax
xx
 
 
d) 
1 cos
lim
0


x
xx
 
 
e) 
5
1
lim 1

 
 
 
n
nn
 
f) 
2
lim 1
 
 
 
x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
Atividade 1 
 
Exercício 1 
 
a ) -1 b) 3 c) não existe d) -1 e) 3 f) 3 
 
 
Exercício 2 
 
a) 0 b) 0 c) 0 d)  
 
 42 
 
Exercício 3 
 
a) 0 b) 0 c) 0 d) + e) - f) 4 
 
 
Exercício 4 
 
a) 0 b) 0 c) + d) - e) 1 
 
Exercício 5 
a) + b) 
1
2
 c) não existe d) 
1
2
 e) - 
 
Atividade 2 
 
a) 
        








x
y
 
 
) (0) 0
) lim ( ) 0
0
) lim ( ) (0)
0
i f
ii f x
x
iii f x f
x





 a função é continua em 0x 
 
 
b) 
 43 
        








x
y
 
 
 
) ( 2) 1
) lim ( ) 4
2
) lim ( ) ( 2)
2
 
 

 

i f
ii f x
x
iii f x f
x
 A função é descontínua em 2 x 
Atividade 3 
 
a) 23 7 0 5 0 3     
b) 23 3 7 3 2 8     
c) 5 4( 1) 6 ( 1) 2 9       
d) 
1
2 7 8
2
   
e)    
3 1
1 4 1 2 27 1 27
        
 
 
f)    
10
0 2 0 4 1024 4 4096      
 
 
g) 
2 4 6
3 2 1 5


 
 
h) 
2 3 5
2 2 4



 
i) 
  1 1
lim lim 1 1 1 2
11 1
 
    
 
x x
x
xx x
 
j) 
22 5 2 6 20
5
2 2 4
  
 

 
h)
  3 2
lim lim 3 2 3 1
22 2
 
     
 
t t
t
tt x
 
l) 
1
4
92
1 2
2
2



 
 44 
m) 33 2 4 3 11   
n)  
2
3 2
33 7 2 23   
o) 
 
2
2 2 2 4 2 (4 2) 2 4 2 2 2 2 1
3 2 33 2 3 2 3 2 2
     
   

 
p) 
2 2 2 2
3 2 4 2


 
 
 
Atividade 4 
a) 
2 2
1 1
( 1)( 1) ( 1) 3
lim lim
( 1)( 1) ( 1) 2 
    
  
  x x
x x x x x
x x x
 
b) 
2 2
( 2)( 2) ( 2) 0
lim lim 0
( 2)( 3) ( 3) 5 
  
  
   t t
t t t t t
t t t
 
c)
   
2 2
( 5)( 2) ( 5) 7
lim lim 1
1 3 1 7
3 2
3
 
  
  
 
  
 
x x
x x x
x
x x
 
d) 
 
  
5 5 5
2 2 2
5
2 1
2 5 1 72
lim lim lim( 1)
2 5 2 5 2  
 
         
 t t t
t t
t t
t
t t
 
e)
  1
lim lim 1 1
 
 
   
x a x a
x a x
x a
x a
 
f) 
  
  
 
 4 4
3 5 4 3 5 7
lim lim 1
4 9 4 4 9 7 
  
  
  x x
x x x
x x x
 
g) 
  
  
 
 1 1
1 5 5 4
lim lim
1 4 4 5 
  
  
  x x
x x x
x x x
 
h) 
  
  
 
 1 1
1 1 1
lim lim 2
1 2 2 
  
  
  x x
x x x
x x x
 
i) 
  
 2 2
2 2
lim lim( 2) 4
2 
 
  
x x
x x
x
x
 
j) 
  
  
 
 2 2
2 3 3 1
lim lim
2 10 10 8 
  
 
  x x
x x x
x x x
 
k) 
     
   
   
2 2 22
0 0
2
2
0 0
2 4 2 4 4 4 4 2 4
lim lim
4 2 4
lim lim 4 2 4 32
 
 
                     
   
        
 
h h
h h
h h h h h
h h
h h h
h h
h
 
l) 
2
0 0 0
16 8 16 (8 )
lim lim lim(8 ) 8
  
   
   
t t t
t t t t
t
t t
 
 
 
m) 
 45 
 
  
 
 
 
   
2
2
0 0
0 0
25 3 5 25 3 5 25 3 5
lim lim
25 3 5 25 3 5
3 3 3
lim lim
1025 3 5 25 3 5
 
 
     
 
   
  
   
t t
t t
t t t
t t t t
t
t t t
 
 
n) 
 
  
 
 
 
   
2
2 2 2 2
0 02 2
0 02 2
lim lim
lim lim
2
 
 
     
 
   
  
   
t t
t t
a bt a a bt a a bt a
t a bt a t a bt a
bt b b
at a bt a a bt a
 
 
 
o) 
 
    1 1 1
11 1 1
lim lim lim
1 21 1 1  

  
   h h h
hh
h h h h
 
p) 
       
    
  
    
  
    
  
    
 
  
2 22
4 4 2
2
2 2
2 2
4 4 42 2 2
4 2
2 8 2 82 8
lim lim
4 4 2 8
2 8
2 8 4 4
lim lim lim
4 2 8 4 2 8 4 2 8
4 8
lim 1
82 8
 
  

    
 
   
 
       
  
        
 
  
 
h h
h h h
h
h h h hh h
h h h h
h h
h h h h
h h h h h h h h h
h
h h
 
q) Considere que 33 8 8    h y h y e 0 2  h y 
    3 2 22 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
8 122 2 4 2 4  
 
  
     y y y
y y
y y y y y y
 
r) 
  
     0 0 0 0
1 1 1 11 1 1 1
lim lim lim lim
21 1 1 1 1 1   
    
    
         x x x x
x xx x
x x x x x x
 
s) 
 46 
 
   
   
   
   
  
  
 
 
2 2 2 2 2 2
0 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
20 0 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
0 2 2
lim
lim lim
2
lim
2

 

     

     
 
      
   
       
 
 
  
 
x
x x
x
x a a x a a x b b
x b b x a a x b b
x a a x b b x x b b
x x a ax b b x a a
x b b b b
a ax a a
 
t) Considere que  
3
3 3 3    x a y x y a e que se 0  x a y . 
 
   
3 3 2 3 2 3 30 0 33
3 2 3 2 3 20 0 03 2 3 2 2 3 23 3
lim lim
3 3
1 1
lim lim lim
3 3 33 3 3 3
 
  
 
    
   
     
y y
y y y
y y
y y a y a a ay a a
y y
y y a y a ay y y a a y y a a
 
Atividade 5 
 a) + 3 23 4 1      
b)
2
1 4
2 2  
 
 
c)
2
1 1
lim lim 0  
 
t
t tt t
 
d) 
2
1 1
lim lim 0  
 
t
t tt t
 
e) 
2
2
1 1
lim lim
2 2 2
 
 
t
tt t
 
f) 
5
3
2
2
lim lim 2   
 
x
x
xx x
 
g) 
5 3
2
3 3
lim lim
1
  
  
x x
xx x
 
h) 
3
3
5 5 5
lim lim
7 7 7
 
  
 
x
xx x
 
i) 
2
lim lim  
 
x
x
xx x
 
j) 
3
2
33 3
2
1
lim lim lim 0  
  
x x x
x xx x x x
 
 47 
k) 
2
lim lim  
 
t
t
tx x
 
l) 
2
2
2 2 2
lim lim
3 3 3
 
 
x
xx x
 
m) + lim lim
3 3 3

   
 
v v v
vv v
 
n)
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
1 | |
lim lim lim lim 1
1 1 1 11
1 1
| |
 
 
 
    
      

x x
x x x x
x xxx x x x
x x x
 
o)
2 2
2 2
22
1 1
1 | |
lim lim lim
1 11
| |
11 11
( )
lim 1
1 1
1 1
( )
 

 
   



  
    

x x
x x x
x xxx x x
x x
x
x
x
 
p) 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
( 1 1)( 1 1)
lim 1 1 lim
lim 1 1
2 2
lim 0
21 1
     
    
   

 
  
x x x x
x x
x xx x
x
x xx
 
 
 
Atividade 6 
 
a) 
0 0 0 0
9 9 9 9
lim lim lim9 lim 9 1 9
9 9   

     
x x x x
sen x sen x sen x
x x x
 
 
b) 
0 0 0 0
4 4 4 4 4 4 4
lim lim lim lim 1
3 4 3 3 4 3 3   

     
x x x x
sen x sen x sen x
x x x
 
 
c) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1cos
lim lim lim lim
cos cos
1 1
lim lim lim lim lim lim 1 1 1
cos cos
   
     
     

          
x x x x
x x x x x x
senax
tg ax senax senaxax
x x x ax x ax
senax a senax senax
a a a
x ax ax ax ax
 
 
 48 
d) 
  
 
 
     
2 2 2 2
0 0 0 0
0 0
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
lim lim lim lim
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
0
lim lim 1 0
1 cos 2
   
 
   
   
   
    

x x x x
x x
x x x x sen x
x x x x x x x x
sen x sen x
x x
 
 
e) 
5 5
1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 1

  
     
            
     
n n
n n n
e e
n n n
 
 
f) Considere 
2 1
2  x y
x y
 e se  x y 
 
 
2
2
22 1 1lim 1 lim 1 lim 1
  
     
          
       
y yx
x y y
e
x y y
 
 
 
 
 
Livro de apoio 
 
FINNEY,R.L., WEIR,M.D.,GIORDANO,F.R., CÁLCULO GEORGE B.THOMAS, 11 ed, Vol. I, São Paulo, Addison Wesley, 2009. 
 
Conhecendo toda a diversidade de bibliografia de Cálculo disponível nos dias 
de hoje, e, ainda, reconhecendo toda a importância desse conteúdo, optamos 
por adotar o livro acima que servirá de apoio para sua formação no cálculo 
durante todas as próximas etapas do curso . 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. São Paulo: Bookman, 2000. 1. 
V. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Limite e Continuidade. In: ______. 
Cálculo A: funções limite derivação integração. 6. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006. cap. 3. 
 
STEWART, J., Limites e Derivadas. In: ______. Cálculo, 5. ed.; São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1, cap. 2. 
 49 
 
Dados do autor: Sandra Bulhões Cecílio 
 
Licenciada em Matemática pelas Faculdades Integradas São Thomaz de Aquino de 
Uberaba (FISTA), em 1976. Bacharel em Psicologia pela Universidade de Uberaba 
(UNIUBE). Professora de matemática desde 1976. Coordenadora do curso de 
Licenciatura em Matemática desde 2005. Professora do curso de psicologia. 
 
 
 
Dados do autor: Leandro Martins da Silva 
 
Licenciado em Matemática pela Universidade de Uberaba (UNIUBE). 
Mestrando em Biometria pela UNESP-Botucatu. Docente nos cursos de 
graduação em tecnologia da UNIUBE. Professor de matemática da rede 
pública estadual de Minas Gerais.