Material Complementar - Exercícios Resolvidos de Problemas de Otimização

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Exercícios Resolvidos de Problemas de Otimização 
 
Exercício 1 
Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma farmacêutica é vendida a granel pelo 
valor de R$ 200,00 a unidade. Se o custo total da produção para x unidades for: 
 
𝐂(𝐱) = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟖𝟎𝐱 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝐱𝟐 
 
e se a capacidade de produção desta indústria for de, no máximo, 30000 unidades num 
tempo especificado, quantas unidades devem ser vendidas neste tempo para maximizar 
o lucro? 
 
Solução: 
Como, de acordo com o enunciado, a unidade é vendida pelo valor de R$ 200,00, então, 
a receita total (R(x)) da referida indústria farmacêutica é expressa por: 
 
𝐑(𝐱) = 𝟐𝟎𝟎𝐱 
 
O lucro (L(x)) é definido pela função: 
 
𝐋(𝐱) = 𝐑𝐄𝐂𝐄𝐈𝐓𝐀 − 𝐂𝐔𝐒𝐓𝐎 
𝐋(𝐱) = 𝐑(𝐱) − 𝐂(𝐱) 
𝐋(𝐱) = 𝟐𝟎𝟎𝐱 − (𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟖𝟎𝐱 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝐱𝟐) 
𝐋(𝐱) = 𝟐𝟎𝟎𝐱 − 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝐱 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝐱𝟐 
𝐋(𝐱) = −𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟎𝐱 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝐱𝟐 
 
De acordo com o enunciado, como a capacidade máxima de produção são de 30000 
unidades, então o valor de x unidades que maximiza o lucro L(x) deve estar dentro do 
intervalo [0, 30000]. Derivando L(x) e igualando a zero, para encontrar o ponto crítico, 
teremos: 
 
𝐝𝐋(𝐱)
𝐝𝐱
= 𝐋′(𝐱) = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝐱 
𝟏𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝐱 = 𝟎 
𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝐱 = 𝟏𝟐𝟎 
𝟔𝐱 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝐱 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 
 
Vemos aqui que o ponto crítico está dentro do intervalo [0, 30000]. Sendo assim, o lucro 
máximo deve ocorrer em x = 0 ou x = 20000 ou x = 30000. Substituindo estes valores na 
função do lucro teremos, de acordo com a tabela a seguir: 
 
 
 
2 
x 0 20000 30000 
L(x) - 500000 700000 400000 
 
Logo, o lucro máximo ocorre quando x = 20000 unidades forem fabricadas. 
 
Exercício 2 
Uma empresa determinou que a receita total para um produto pode ser modelada pela 
função: 
 
𝐑(𝐱) = −𝒙𝟑 + 𝟒𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟐𝟓𝟎𝟎𝐱 
 
em que x é a quantidade de unidades produzidas (e vendidas). Qual o nível de produção 
gerará receita máxima? 
 
Solução: 
Antes de encontrar os pontos críticos, precisamos determinar as raízes da função R(x) 
para encontrarmos o domínio viável. Realizando todos os cálculos necessários, 
encontramos como raízes da função x = 0, x = 546 e x = - 96. Como uma produção de uma 
empresa não pode ser negativa (x<0), então, temos que o domínio viável é: 
 
𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝟓𝟒𝟔 
ou seja, o intervalo é [0, 546]. 
Agora, encontraremos os pontos críticos (derivando e igualando a zero): 
 
𝐝𝐑(𝐱)
𝐝𝐱
= 𝐑′(𝐱) = −𝟑𝐱𝟐 + 𝟗𝟎𝟎𝐱 + 𝟓𝟐𝟓𝟎𝟎 
−𝟑𝐱𝟐 + 𝟗𝟎𝟎𝐱 + 𝟓𝟐𝟓𝟎𝟎 = 𝟎 
−𝟑(𝒙 − 𝟑𝟓𝟎)(𝒙 + 𝟓𝟎) = 𝟎 
 
Temos como valores críticos: x = 350 e x = -50. Dos dois valores críticos, o mais coerente 
é x = 350. Vemos aqui que o ponto crítico está dentro do intervalo [0, 546]. Sendo assim, 
o lucro máximo deve ocorrer em x = 0 ou x = 350 ou x = 546. Substituindo estes valores 
na função do lucro teremos, de acordo com a tabela a seguir: 
 
x 0 350 546 
R(x) 0 30625000 45864 
 
Assim, a receita será máxima quando o nível de produção atingir 350 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
Uma loja tem vendido 200 fritadeiras Air Fryer por semana pelo valor de R$ 350,00 cada. 
Uma pesquisa de mercado indicou que para cada R$ 10,00 de desconto oferecido aos 
compradores, o número de unidades vendidas aumenta 20 por semana. Encontre a 
função demanda (preço) e a função receita. Qual desconto a loja deveria oferecer para 
maximizar a sua receita? 
 
Solução: 
Se x for a quantidade de fritadeiras vendidas semanalmente, o aumento semanal será 
determinado tomando como base a quantidade incialmente vendida, ou seja, 200 
unidades. Logo, o aumento é expresso por: 
 
𝐱 − 𝟐𝟎𝟎 
 
Para cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço cai em R$ 10,00. Sendo assim, para 
cada unidade adicional vendida, o decréscimo no preço será em: 
 
𝐑$ 
𝟏𝟎
𝟐𝟎
 
 
Portanto, a função demanda, ou seja, o preço do produto será: 
 
𝐩(𝐱) = 𝟑𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓(𝐱 − 𝟐𝟎𝟎) = 𝟑𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓𝐱 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓𝐱 
 
A função receita será: 
 
𝐑(𝐱) = 𝐱𝐩(𝐱) = 𝐱(𝟒𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓𝐱) = 𝟒𝟓𝟎𝐱 − 𝟎, 𝟓𝐱𝟐 
 
Antes de encontrar os pontos críticos, precisamos determinar as raízes da função R(x) 
para encontrarmos o domínio viável. 
 
𝐑(𝐱) = 𝐱𝐩(𝐱) = 𝐱(𝟒𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓𝐱) = 𝟒𝟓𝟎𝐱 − 𝟎, 𝟓𝐱𝟐 = 𝟎, 𝟓𝐱(𝟗𝟎𝟎 − 𝐱) 
 
As raízes de R(x) são x = 0 e x = 900. Temos, assim, como domínio viável: 
 
𝟎 ≤ 𝐱 ≤ 𝟗𝟎𝟎 
 
ou seja, o intervalo é [0, 900]. 
Agora, encontraremos os pontos críticos (derivando e igualando a zero): 
 
𝐝𝐑(𝐱)
𝐝𝐱
= 𝐑′(𝐱) = 𝟒𝟓𝟎 − 𝐱 
𝟒𝟓𝟎 − 𝐱 = 𝟎 
𝐱 = 𝟒𝟓𝟎 
 
 
 
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Sendo assim, o a receita máxima deve ocorrer em x = 0 ou x = 450 ou x = 900. Substituindo 
estes valores na função do lucro teremos, de acordo com a tabela a seguir: 
 
x 0 450 900 
R(x) 0 101250 0 
 
A receita é máxima quando são vendidas 450 unidades. Agora descobriremos a demanda 
(preço) correspondente para, então, determinar o desconto referente: 
 
𝐩(𝐱) = 𝟒𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓𝐱 
𝐩(𝟒𝟓𝟎) = 𝟒𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓(𝟒𝟓𝟎) = 𝟐𝟐𝟓 
 
O desconto será de R$ (350-225) = R$ 125,00. 
 
Exercício 4 
Uma página retangular terá 54 cm2 de área impressa (vide Figura 1). As margens no topo 
e na parte de baixo da página têm 1,5 cm. Já as margens de cada lado tem 1 cm. Quais 
deveriam ser as dimensões da página para minimizar a quantidade de papel utilizada? 
 
Figura 1 
 
Fonte: Adaptado de Larson (2016). 
 
Solução: 
Supondo que a área (A) seja minimizada, devemos, observando a Figura 1, ter que: 
 
𝐀 = (𝐱 + 𝟑)(𝐲 + 𝟐) 
 
 
 
 
 
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De acordo com o enunciado com relação à área impressa, temos que: 
 
𝐱𝐲 = 𝟓𝟒 
 
Isolando y, teremos: 
 
𝐲 =
𝟓𝟒
𝐱
 
 
Substituindo em A, teremos: 
 
𝐀 = (𝐱 + 𝟑) (
𝟓𝟒
𝐱
+ 𝟐) 
 
𝐀 = (𝐱 + 𝟑) (
𝟓𝟒 + 𝟐𝐱
𝐱
) 
𝐀 =
𝟓𝟒𝒙
𝒙
+
𝟐𝒙𝟐
𝒙
+
𝟏𝟔𝟐
𝒙
+
𝟔𝒙
𝒙
 
𝐀 = 𝟓𝟒 + 𝟐𝐱 +
𝟏𝟔𝟐
𝐱
+ 𝟔 
𝐀 = 𝟔𝟎 + 𝟐𝐱 +
𝟏𝟔𝟐
𝐱
 
 
Derivando A e igualando a zero: 
 
𝐀′ = 𝟐 −
𝟏𝟔𝟐
𝐱𝟐
 
𝟐 −
𝟏𝟔𝟐
𝐱𝟐
= 𝟎 
𝟐 =
𝟏𝟔𝟐
𝐱𝟐
 
𝐱𝟐 = 𝟖𝟏 
𝐱 = ±𝟗 
 
Nesse caso, o valor negativo (-9) será descartado, por não fazer parte do domínio viável. 
Logo, o valor x = 9 será considerado. 
Substituindo para encontrar o valor de y, teremos: 
 
𝐲 =
𝟓𝟒
𝟗
= 𝟔 
 
Logo, as dimensões corretas para minimizar a área serão (x + 3) cm = (9 + 3) cm = 12 cm 
e (y + 2) cm = (6 + 3) cm = 9 cm 
 
 
 
 
 
 
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Referências 
 
HOWARD, A.; BIVES, I.; DAVIS, S. Cálculo – Volume 1. Tradução de Claus Ivo Doering. Porto 
Alegre. 10ª edição, Bookman, 2014; 
 
LARSON, RON. Cálculo Aplicado – Curso Rápido. Tradução da 9ª edição norte-americana. 
São Paulo. Cengage Learning, 2016. 
 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. Tradução da 9ª edição norte-americana. São Paulo. 
Cengage Learning, 2013.