Lei de Gauss

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Lição 01 - Fluxo Elétrico
Fluxo do campo elétrico por uma superfície
Vimos que as Linhas de Campo são uma ferramenta muito útil para termos uma impressão visual do comportamento de um campo elétrico, ou seja, conhecendo as linhas do campo podemos dizer para onde estará apontada a força que atuará sobre uma carga presente em um dado ponto do espaço, e onde ela será mais intensa. No entanto, temos que ter sempre em mente que trata-se de um artifício de visualização.
Da mesma forma, a visualização do campo elétrico enquanto um fluxo que passa por uma dada superfície é uma ferramenta poderosa para se resolver e visualizar uma enorme quantidade de situações e problemas da eletrostática. Mas tenham sempre em mente que o campo elétrico não é algo, ou substância, que se movimente. Sendo assim, apesar de falarmos de "Fluxo do Campo Elétrico", o campo não flui de verdade através de nenhuma superfície. Mas esta é, no entanto, uma visualização muito boa e útil.
Feitas estas ressalvas, o que chamaremos de "Fluxo do Campo Elétrico" será a quantidade do campo elétrico que atravessa uma dada superfície. O fluxo deve ser então proporcional ao número de linhas de campo que passa em uma dada superfície e sua área. Mais precisamente, o fluxo é produto da magnitude do Campo Elétrico pela área da superfície perpendicular ao campo. Como no S.I. a unidade de Campo Elétrico é N/C a unidade de Fluxo será Nm2/C.
Se a superfície for perpendicular ao campo o Fluxo ΦE do campo elétrico E através de uma área A da superfície será simplesmente ΦE=E*A. Se a superfície formar um ângulo θ com a direção do campo, então o fluxo será dado por E*A*cosθ pois A*cosθ é a projeção da área da superfície na direção perpendicular ao feixe. De forma mais geral, 
Para uma superfície qualquer, o fluxo total através dessa superfície será a soma dos fluxos ΔΦi que passam por cada pedaço de área ΔAi,
No limite em que dividirmos a área total em infinitos pedaços infinitamente pequeno dA⃗i, o fluxo total através da superfície S será dado por
Fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada
Vamos ver agora como se lida com o fluxo do campo através de uma superfície fechada, por exemplo, uma esfera oca.
Podemos ver na figura que, como se trata de uma superfície fechada, tudo o que "entra" por um lado tem que sair pelo outro, pois as linhas de campo são contínuas. Lembrem-se, as linhas de campo só aparecem ou desaparecem nas cargas elétricas. Quando não há cargas, as linhas não desaparecem. Como a gente pode falar de modo matemático se o fluxo está entrando ou saindo da superfície fechada? Uma maneira é adotarmos um critério:
· Fluxo Positivo: o campo elétrico aponta para fora ("fluxo saindo") da superfície fechada
· Fluxo Negativo: o campo elétrico aponta para dentro ("fluxo entrando") da superfície fechada
Uma maneira mais elegante de se dizer a mesma coisa é definir a direção positiva do vetor área A⃗. A direção positiva do vetor área é aquela que aponta para fora da superfície fechada. Já sabemos que o elemento de fluxo dΦ em um dado ponto sobre a superfície é dado por:
onde θ é o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor área. Assim, tomando o vetor área apontando para fora (direção positiva), teremos que:
O fluxo total sobre uma dada superfície é a integral dos elementos infinitesimais do fluxo sobre essa superfície. Para uma superfície fechada, isso é escrito como:
Imagine agora um conjunto de pontos no espaço ao redor de uma carga elétrica, formando uma superfície imaginária, como mostrado na figura. Dizemos que é uma superfície imaginária pois não é necessário haver uma membrana física ou algo do gênero. Trata-se apenas de um conjunto de pontos no espaço formando uma superfície. A essa superfície imaginária damos o nome de Superfície Gaussiana
Usando o conceito de fluxo de campo, a Lei de Gauss me fornece a relação entre o campo elétrico sobre uma superfície fechada e a carga elétrica contida no interior dessa superfície.
Como as linhas de campo elétrico aparecem, ou desaparecem, apenas nas cargas elétricas, o fluxo elétrico total em qualquer superfície fechada dependerá apenas da carga no seu interior. Como a área de uma esfera aumenta com o raio ao quadrado (Aesfera=4πr2) e o campo elétrico diminui com a distância radial ao quadrado, o produto da área pelo campo elétrico não dependerá do raio da esfera gaussiana. Pelo mesmo raciocínio, podemos ver que o fluxo total sobre a superfície fechada não depende da posição da carga no interior da superficie gaussiana. Se a carga estiver mais perto de um lado da superfície, o campo elétrico será maior nesses pontos. No entanto, a área formada por esses pontos será menor, de modo que o fluxo total sobre a superfície fechada permanecerá constante, independentemente de onde se localiza a carga no interior da superfície gaussiana. Da mesma maneira, não importa o formato da superfície ao redor da carga puntual, pois contribui para o cálculo do fluxo apenas a projeção da superfície na direção perpendicular ao campo.
Por isso tudo é que a imagem de um "fluxo de campo" é tão útil. Se imaginarmos, erroneamente, a carga elétrica "emitindo" o campo elétrico, então tudo o que passa por uma superfície ao redor da carga, passa também por qualquer outra superfície, de qualquer formato, ao redor da carga.
Assim, se a carga estiver localizada fora da superfície, o fluxo total na superfície será zero.
Considere a situação ilustrada na figura abaixo. Sabemos que o fluxo do campo elétrico sobre S1 será dado por ΦE=4πkeq. Qual a relação entre os valores de ΦE sobre S1, S2 e S3?
Note que as linhas de campo têm simetria radial com respeito à carga q. Então as linhas de campo que cruzam S1 são as mesmas que cruzam S2 e S3. O fluxo ΦE será, assim, também o mesmo sobre todas essas superfícies.
Exercício 01: Fluxo Através de um Cubo
Considere um campo elétrico uniforme E⃗ orientado ao longo do eixo x. Encontre o fluxo elétrico resultante através da superfície de um cubo de aresta l, orientado como mostra a figura.
Lição 02 - Lei de Gauss
A Lei de Gauss
Vamos agora calcular o fluxo do campo elétrico sobre os pontos de uma superfície esférica imaginária de raio r contendo uma carga elétrica q em seu centro, como mostrado na figura
Devido à simetria esférica do arranjo, o campo elétrico E⃗ é paralelo ao vetor área A⃗ em todos os pontos sobre a superfície, visto que ambos apontam na direção radial. Em outras palavras,
O fluxo do campo através da superfície gaussiana imaginada então será:
Definindo agora a grandeza física chamada Permissividade Elétrica vemos que o fluxo será escrito como
Chegamos então às conclusões que:
· O Fluxo resultante é proporcional apenas à carga no interior da superfície
· O Fluxo resultante é independente do raio da esfera (da área da superfície)
· O Fluxo resultante através de qualquer superfície fechada que envolva uma carga puntual q é dado por q/ϵ0
Mas o que acontece se tivermos várias cargas no interior da superfície gaussiana? Nada irá mudar, pois existe o princípio da superposição do campo elétrico que diz que se eu tiver N cargas elétricas, o campo total será dado por
E⃗ =E⃗1+E⃗2+E⃗3+…+E⃗N
Assim, o fluxo total do campo dessa distribuição de cargas sobre a superfície gaussiana será sim, o fluxo total do campo dessa distribuição de cargas sobre a superfície gaussiana será
Esta é a Lei de Gauss que diz que o fluxo total do campo elétrico sobre qualquer superfície fechada depende apenas da carga total contida em seu interior, independentemente da forma da superfície, ou da posição das cargas em seu interior. Em termos matemáticos,
Qual o valor do fluxo elétrico ΦE sobre uma superfície fechada que engloba apenas um dipolo elétrico com cargas de módulo q?
O dipolo elétrico tem carga total nula e, portanto, uma superfície gaussiana englobando todas as cargas terá um fluxo elétrico total nulo passando por ela.
Lição 03 - Aplicação da Lei de Gauss a Distribuições Simétricas de Cargas
Aplicação da Lei de Gauss
A Lei de Gauss é uma poderosa ferramenta para se calcular ocampo elétrico devido a uma distribuição de cargas, pois ela é sempre válida e independentemente da superfície escolhida. Ela é particularmente útil no cálculo do campo elétrico gerado por distribuições simétricas de cargas, seja elas simetrias esférica, cilíndrica ou plana.
A ideia é resolver de forma fácil a integral fechada . Nesses casos, imagine uma superfície sobre a qual você deseje calcular o campo elétrico (superfície gaussiana), de tal forma que essa superfície satisfaça algumas das seguintes condições:
· O campo elétrico seja nulo em qualquer parte da superfície.
· O campo elétrico seja paralelo à superfície 
· O campo elétrico seja perpendicular à superfície 
· O valor do campo elétrico seja constante sobre toda a superfície 
Exercício 01: O Campo Elétrico Devido à uma Carga Puntual
Começando com a Lei de Gauss, calcule a intensidade E do campo elétrico em um ponto P situado a uma distância r de uma carga q. (Dica: use a superfície gaussiana como mostrado na figura)
Vamos escolher uma simetria esférica com a carga no centro:
· Campo Elétrico perpendicular à superfície da esfera
· Campo Elétrico constante sobre a toda a superfície
Exercício 02: Distribuição de Carga com Simetria Esférica
Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ e uma carga positiva total Q. Calcule: 
(a) A magnitude do campo elétrico em um ponto fora da esfera (r>a); 
(b) A magnitude do campo elétrico em um ponto no interior da esfera (r<a).
Este exercício foi resolvido no vídeo da Lição 3 da semana da Lei de Gauss.
(a) Seguindo o mesma raciocínio do exemplo anterior (veja figura (a) abaixo):
(b) Superfície gaussiana com r<a e volume V′ (veja figura (b) abaixo):
O campo elétrico em função da distância r fica assim:
No exemplo anterior, qual seria o valor do módulo do campo elétrico, em função do raio r, para r<a, caso a esfera de carga total Q tivesse uma densidade não uniforme, mas sim dependente do raio como ρ(r)=ρor/a ?
Quando a densidade de carga não é constante, devemos integrá-la no volume interior à superfície gaussiana. Assim, para cada perfil de densidade ρ(r) diferente, o campo elétrico se comportará de maneira diferente dentro da esfera carregada.
Considere agora uma situação mais geral. Qual seria o valor do módulo do campo elétrico, em função do raio r, para r<a, caso a esfera de carga total Q tivesse uma densidade não uniforme, mas sim dependente do raio como , com n>0 ?
Quando a densidade de carga não é constante, devemos integrá-la no volume interior à superfície gaussiana. Assim, para cada perfil de densidade ρ(r) diferente, o campo elétrico se comportará de maneira diferente dentro da esfera carregada.
Para a configuração anterior, com na esfera de raio a, qual o valor do módulo do campo elétrico, em função do raio r, para r>a?
Fora da distribuição de cargas, como visto em um exemplo anterior, o campo elétrico cai com 1/r2.
Exercício 03: Distribuição de Carga com Simetria Cilíndrica
Encontre o campo elétrico a uma distância r de uma linha de carga positiva com comprimento infinito e densidade de carga λ constante. (Dica: use a superfície gaussiana como mostrado na figura)
Superfície cilíndrica com linha de cargas no eixo do cilindro.
· Campo constante sobre toda a superfície
· Campo perpendicular à superfície nas laterais do cilindro
· Campo paralelo à superfície nas tampas do cilindro
Exercício 04: Folha Plana não Condutora Eletricamente Carregada
Encontre o campo elétrico devido a um plano não condutor infinito, com densidade uniforme de carga por unidade de área σ. (Dica: use a superfície gaussiana como mostrado na figura)
Superfície Gaussiana cilíndrica com plano carregado no meio:
· Campo paralelo à superfície nas laterais do cilindro.
· Campo perpendicular à superfície nas tampas do cilindro.
· Campo em uma das tampas igual ao campo na outra tampa.
Considere uma casca esférica (bidimensional) oca carregada, de raio a, com densidade superficial de carga σ e carga total Q. Qual o módulo do campo elétrico gerado pela casca esférica a uma distância r<a de seu centro?
Note que, por simetria, o campo elétrico só pode apontar na direção "radial" (com respeito ao centro da esfera). Também, escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio menor do que a, a carga total dentro dessa superfície é zero. Assim, aplicando a lei de Gauss, segue que o campo elétrico dentro da esfera de raio a também será nulo.
Lição 04 - Condutores em Equilíbrio Eletrostático
Condutores em Equilíbrio Eletrostático
Dizemos que um material é um condutor elétrico quando as cargas elétricas podem se movimentam livremente. Desta forma, se houver algum campo elétrico dentro do condutor as cargas se movimentarão. Dizemos que um condutor está em equilíbrio eletrostático quando não há movimento de cargas em seu interior.
Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático:
· O campo elétrico é nulo em seu interior.
· Se o condutor estiver carregado, a carga em excesso situa-se na superfície externa do condutor.
· O campo elétrico junto à superfície de um condutor carregado é perpendicular à superfície, com magnitude E=σ/ϵ0, onde σ é a densidade de carga da superfície no ponto onde estamos calculando o campo elétrico.
· Em um condutor de superfície irregular, a densidade de carga é maior onde o raio de curvatura for menor. A esta propriedade costuma-se chamar "Poder das Pontas"