Questão resolvida - Considere a função f(x)=3-módulo(x²-2x), se x diferente de 2 e f(x)= 2+b^2, se x igual a 2, tem um máximo em x=2 Ache os valores de que b pode assumir Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere a função
 
 f x =( )
3 - ∣ x² - 2x ∣ , se x ≠ 2 
2 + b , se x = 22
 
 tem um máximo relativo em . Ache os possíveis valores e b. x = 2
 
Resolução:
 
Para ser um máximo relativo, é necessário que em a função forneça as maiores x = 2 x = 2
imagens possíveis, vamos analisar os limites laterais de quando x tende 2; f x( )
f x e f xlim
x→2+
( ) lim
x→2-
( )
Para retirar o módulo, é preciso definir mais duas sentenças para a função, antes, temos que 
achar o zero de ;x² - 2x
x² - 2x = 0 x x - 2 = 0 x = 0 ou x - 2 = 0 x = 2 → ( ) → →
O gráfico de é;x² - 2x
Perceba que para a função em módulo não assuma valores negativos, é preciso que entre 
 
 
no intervalo a função assuma o formato . 0 ⩽ x ⩽ 2 ∣ x² - 2x ∣= - x² - 2x = - x² + 2x( )
Quando e a função não assume valores negativos, assim, fica:x < 0 x > 2 f x( )
 
 f x =( )
3 - x² - 2x , se x ⩽ 0( )
3 - -x² + 2x , se 0 < x < 2( )
2 + b , se x = 22
3 - x² - 2x , se x > 2( )
 
3 - x² - 2x = 3 - 2 ² - 2 2 = 3 - 4 - 4 = 3 - 0 = 3lim
x→2+
( ( )) (( ) ( )) ( )
 
 
3 - -x² + 2x = 3 - - 2 ² + 2 2 = 3 - -4 + 4 = 3 - 0 = 3lim
x→2-
( ( )) ( ( ) ( )) ( )
Assim, para que -2 seja um máximo relativo é preciso que:
 
 2 + b ⩾ 3 b ⩾ 3 - 2 b ⩾ 1 b ⩾ ou b ⩽ - b ⩾ 1 ou b ⩽ - 1 2 → 2 → 2 → 1 1 →