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Montes Claros/MG - 2011
Francely Aparecida dos Santos
Kleber Conceição da Silva
Fundamentos e 
Metodologia da 
Matemática II
2011
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Autores
Francely Aparecida dos Santos
Professora adjunta efetiva da Universidade Estadual de Montes Claros (Unimontes), lotada no 
Departamento de Métodos e Técnicas Educacionais. Licenciada em Pedagogia por essa mesma 
universidade e em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas). 
Especialista em Psicopedagogia e em Teoria e Prática em Supervisão Educacional, ambas pela 
Universidade Estadual de Montes Claros. Mestre em Educação: formação de professores pela 
Universidade de Uberaba (Uniube), doutoranda em Educação: formação de professores pela 
Universidade Metodista de Piracicaba (Unimep) e bolsista da Fapemig. Professora e supervisora 
pedagógica na Educação Básica da rede estadual de Minas Gerais.
Kleber Conceição da Silva
Professor da Universidade Estadual de Montes Claros (Unimontes), lotado no Departamento de 
Métodos e Técnicas Educacionais, ministrando a disciplina Fundamentos e Metodologia para o 
ensino de Matemática. Atuante como professor referência de Matemática no projeto Prodocência. 
Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (Puc Minas). Pós-
graduado em matemática pela Unigranrio (Universidade Grande Rio). Professor do Ensino Médio e 
Fundamental na Educação Básica da rede estadual de Minas Gerais.
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
UNIDADE 1
Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.1 Histórico: aspectos e características do estudo da geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.2 A geometria na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3 Estudos das figuras planas e não planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.4 Linhas e curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.5 Classificação de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.6 Sugestão de atividades com quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.7 Figuras não planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE 2 
Sistema de numeração decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Histórico: aspectos e características do sistema de numeração decimal . . . . . . . . . . 25
2.2 Operações com os números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
UNIDADE 3
Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3.1 Histórico: aspectos e características do sistema de numeração racional . . . . . . . . . . .37
3.2 Operações com números fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
3.3 Multiplicação com fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .41
3.4 Divisão com fração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.5 Números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.6 Operações com números decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE 4 
Grandezas e Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.1 Histórico, aspectos e características das grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.2 O sistema métrico decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
4.3 Perímetro e área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
UNIDADE 5
Estatística e tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.1 Histórico: aspectos e características do tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.2 Organização e apresentação dos dados: Listas e Tabelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
5.3 Codificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Os tipos de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Leitura e interpretação das tabelas e gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Referências básicas e complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Atividades de Aprendizagem - AA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
9
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Apresentação
É preciso, ainda, não esquecer que a Matemática, além do objetivo de resolver 
problemas, calcular áreas e medir volumes, tem finalidades muito mais eleva-
das. Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência e do raciocínio, é a 
Matemática um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o homem 
a sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito. A Matemática é, enfim, 
uma das verdades eternas e, como tal, produz a elevação do espírito. (TAHAN, 
2008, p.107)
Caro (a) acadêmico (a):
A organização desse caderno didático tem o propósito de construirmos juntos uma trajetó-
ria em relação ao processo ensino/aprendizagem do conhecimento matemático.
Essa produção traz para a discussão questões que são necessárias a esse processo, não só 
no que diz respeito à preparação para o aprendizado dos conteúdos matemáticos, mas também 
a possibilidade de desenvolvimento do trabalho docente realizado em sala de aula.
Esse processo não pode ser desconectado do significado e do sentido que a Matemática 
tem em nossa vida cotidiana e do lugar que ela ocupa no edifício científico.
O trabalho com a Matemática desde a Educação Infantil até as séries mais avançadas mere-
ce um cuidado muito grande para não causar nos alunos um sentimento que não representa o 
que a Matemática é de fato: uma ciência que foi construída ao longo da história da humanidade 
pelos e para os homens com a intenção de resolver problemas da própria sociedade.
As reflexões apresentadas nesse caderno didático são resultado do empenho em oferecer 
um material propício a docentes em formação, além de sabermos o quanto essas discussões são 
relevantes e pertinentes para a Educação Matemática, principalmente por sabermos que, infeliz-
mente, em alguns casos, a Matemática é vista como uma disciplina difícil de ser ensinada e de ser 
aprendida. Isso não representa o verdadeiro sentido dela, pois podemos dizer que ela apresenta 
características próprias, assim como as outras disciplinas.
Nesse percurso, esperamos estimular o debate e despertar inquietações a partir das contri-
buições do material impresso, das dicas, das curiosidades, sugestões de atividades e dos mate-
riais em meio-eletrônico, bem como da lista de referências básicas e complementares que você 
poderá consultar para ampliar esse conhecimento.
Desse modo, esperamos que este material propicie leituras e análises críticas e que sirva de 
referência em outros contextos do seu curso.
Procuramos escrever um caderno que contribua com o seu trabalho ao longo do curso, mas 
ele não dispensa a pesquisa em outros livros e materiais diversos. 
Um bom trabalho!
Os autores. 
11
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
UNIDADE 1
Geometria
1.1 Histórico: aspectos e 
características do estudo da 
geometria
Para que se tenha um mínimo de conhecimento acerca de um tema, é preciso verificar os 
seus precedentes, suas influências na vida da humanidade. Assim, pretendemos estudar a geo-
metria dentro de um contexto histórico e decidimos construir um trabalho baseado inicialmente 
na geometria grega. Coletamos algumas informações históricas de diversos autores em diferen-
tes obras literárias da matemática, assim como os sites direcionado a história da matemática dispo-
níveis na internet com objetivo de ilustrar os conceitos geométricos apresentados neste caderno 
didático.
Já estudamos anteriormente que, na Grécia, deu-se um avanço relevante em muitas áreas, 
em destaque a Matemática, Filosofia e Ciência. 
Quanto à geometria,  diz-se até que Arquimedes é o seu pai e Pitágoras, Tales e Euclides, 
seus discípulos.
A Geometria é a mais antiga manifestação da atividade matemática conhecida. Já cer-
ca de 3000 a. C. os antigos Egípcios possuíam os conhecimentos de Geometria necessários 
para reconstituir as marcações de terrenos destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para 
construir as célebres pirâmides.
Alguns séculos mais tarde, por volta do ano 500 a.C., houve na Grécia um grande desen-
volvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao estudo da Geometria. 
Um dos mais importantes foi Tales de Mileto, que usou propriedades de figuras geométricas 
para a determinação de distância sobre a superfície terrestre.
(disponível em http://tudo-matematica.blogspot.com/2011/02/historia-da-geometria.html)
Quase ao mesmo tempo, viveu Euclides de Alexandria, o mais célebre dos geômetras de to-
dos os tempos. Ele sintetizou toda a geometria conhecida na sua época no seu tratado “Elemen-
tos”, composto por 13 livros, que há poucos anos era o principal instrumento de trabalho dos 
estudantes de geometria, o qual define termos como: pontos, linhas, planos, etc., mas não define 
outros como: comprimento, distância ou declive que hoje tanto se usa atualmente nas salas de 
aulas.
A influência dessa obra foi tão grande que, durante quase 1500 anos, poucos progressos se 
fizeram na geometria, a não ser a aplicação dos conhecimentosexistentes ao traçado de mapas 
e Astronomia.
Só por volta de 1600, o matemático francês René Descartes introduziu uma verdadeira ino-
vação na geometria: descobriu que havia uma relação estreita entre as figuras geométricas e cer-
tos cálculos numéricos – geometria cartesiana – que é algébrica, embora se conheça por geo-
metria analítica. Assim, foi possível resolver facilmente, através do cálculo, problemas que eram 
muito difíceis à luz da geometria. O método inventado por Descartes permite, por exemplo, que 
um computador represente imagens e lhes dê movimento.
Assim como René Descartes, outros estudiosos desenvolveram pesquisas a partir da geo-
metria euclidiana, definindo novos parâmetros de estudos desse ramo da matemática. 
Vejamos alguns nomes que se destacaram na história da Geometria:
12
UAB/Unimontes - 6º Período
Gérard Desargues, francês, nascido em Lyon em 1591, foi matemático, arquiteto e enge-
nheiro militar desenvolveu os estudos da Geometria Projetiva (perspectiva) (Geometria 
projetiva ou projectiva, é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométri-
cas).Desargues faleceu na sua cidade natal em outubro de 1661.( disponível em http://
www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GerardDs.html)
Temos ainda o matemático francês, Monge:
Gaspard Monge, matemático francês nascido em Beaune, na data de 10 de 
maio de 1746, foi criador da geometria descritiva. Monge desenvolveu os estu-
dos da Geometria Descritiva no século XVII. Essa ciência estuda os métodos de 
representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas 
como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face 
do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protóti-
pos do objeto representado. A Geometria Descritiva deu um grande impulso à 
indústria, e foi exatamente por esse motivo que, seu criador, Gaspard Monge se 
dedicou a esse estudo. A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplica-
da que tem como objetivo representar sobre o plano as figuras do espaço, ou 
seja, resolver problemas de três dimensões em duas dimensões. Para conseguir 
esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem representar, 
no plano, a figura espacial de tal maneira que, todo problema relativo a essa 
figura se possa interpretar sobre sua representação plana. Seu criador faleceu 
em Paris em 28 de julho de 1818. (disponível em http://igans.com.br/post_no-
ticia_in.php?id=18)
 
Pesquisando diversos livros didáticos e 
paradidáticos de diferentes níveis do ensino 
de Matemática, podemos encontrar alguns 
nomes como José Anastácio da Cunha, ma-
temático português que viveu na época do 
Marquês de Pombal e notabilizou-se por ter 
escrito um tratado de geometria, no qual, a 
exemplo de Euclides, sintetizou os conheci-
mentos da época sobre essa ciência.
Na história da geometria podemos desta-
car alguns nomes. No fim do século passado, 
destacamos matemáticos que deram continui-
dade ao caminho iniciado por Euclides. O ma-
temático alemão David Hilbert escreveu um 
livro “Fundamentos de Geometria” colocando 
em bases rigorosas e modernas a geometria. A 
partir do seu trabalho, houve grandes progres-
sos na geometria, e, hoje em dia, usam-se mé-
todos muito variados para resolver problemas 
também muito variados e interessantes.
Além desses, outros autores nos séculos 
XVIII, XIX e XX deram contribuições extrema-
mente importantes na evolução da geometria, 
tais como: Gauss, Lobachevsky e Bolyai (geo-
metria hiperbólica). A geometria hiperbólica é 
uma geometria não euclidiana, não possuin-
do o postulado das paralelas, possuindo em 
seu lugar o postulado de Lobachevsky e sendo 
desenvolvida por Lobachevsky. Dessa forma, 
com ela, comprova-se que o postulado das pa-
ralelas é independente dos outros postulados 
de Euclides.
Riemann com a geometria diferencial que 
é definida como o estudo da geometria usan-
do o cálculo. O cálculo diferencial e integral 
foi a base para os estudos de Riemann. Esses 
campos são adjacentes e têm muitas aplica-
ções em física, notavelmente na teoria da rela-
tividade, e, também, em cartografia.  Podemos 
destacar ainda A. Bernard Deacom e Paulus 
Gerdes que divulgaram seus estudos com a 
geometria antropológica. 
1.2 A geometria na escola 
Como a geometria é considerada a parte gráfica da matemática, por isso tem sofrido um trata-
mento diferenciado nos currículos propostos nas três últimas leis de diretrizes e bases da educação.
A geometria, sendo a parte gráfica da matemática, encontra-se, na maioria das propostas 
curriculares das escolas, dentro da área de matemática, como um dos últimos tópicos a serem en-
sinados. Quando é vista na escola, poucos são os professores que dão ao seu ensino uma abor-
dagem gráfica, trazendo à tona o desenho, e poucos são os que evidenciam seu aspecto lúdico 
e, por isso, inesquecível. A geometria no ensino fundamental, muitas vezes, fica sendo mais uma 
abordagem teórica, bastante algebrizada, prosseguindo, assim, pelo ensino médio que, da mes-
ma forma, reproduz o modelo teórico, até ser evidenciada pelos programas dos vestibulares das 
universidades.A matemática precisa ser desenvolvida de forma que se tenha significância e sempre 
contextualizada ao cotidiano. Coll destaca o uso do corpo no espaço como instrumento pedagógi-
co na construção de conceitos matemáticos.
13
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Vivemos cercados de pessoas e objetos. A todo momento,estamos ocupando 
um lugar no espaço e é com o nosso corpo que entramos em contato com este 
lugar. Usamos o corpo para nos situar no espaço e, a partir de nossa posição, 
podemos localizar as pessoas e as coisas que nos rodeiam (COLL, 2002, p.165)
 
O estudo da geometria na escola pode acolher a fala do autor e protagonizar os conceitos da ge-
ometria sob um olhar do próprio aluno no espaço. Esse estudo pode contemplar a necessidade de co-
nhecimento do espaço, conceituando localização de um ponto no espaço e suas representações.
Nesse viés, a conceituação de ponto deriva de uma junção de informações. Para conceituar pon-
to, necessitamos de adotar um referencial e sua posição em determinado espaço. Justifica-se, então, a 
ligação do ponto e o sistema de referências.
Para isso, sempre que formos localizar um ponto, necessitamos identificá-lo no sistema de refe-
rências que o compõe.
Esse conceito ajuda a definir a ideia de repouso e movimento na física, pois só definimos se um 
corpo está em repouso ou em movimento considerando um sistema de referências.
Para auxiliar na compreensão desses conceitos de movimento e repouso, vejamos algumas si-
tuações:
Primeira situação:
Um grupo de cinco pessoas passeia de carro numa via central de uma cidade. Outro grupo de 
cinco pessoas está parado em um ponto dessa via. Esses dois grupos de pessoas marcaram de se 
encontrar numa praça na mesma via. Num determinado momento, o grupo de pessoas que pas-
seia de carro passa pelo outro grupo de pessoas que está parado na calçada. Eles se cumprimen-
tam e se dirigem para a praça.
Analisando a situação narrada de diferentes referenciais, chegaremos às seguintes conclusões: 
Segunda situação:
Considerando o grupo de pessoas que passeia de carro e ainda o carro como referencial, concluí-
mos que as pessoas que se entreolham no interior do carro se veem em repouso;
Terceira situação:
Considerando o grupo de pessoas que está na calçada e vê o outro grupo de pessoas(citado ante-
riormente) passando por eles de carro, ou seja, o referencial está na calçada, então vê as cinco pessoas 
no interior do carro em movimento.
Da mesma forma, para compreender e construir conceito de ponto num espaço, tem de conside-
rar um referencial. Agora, considerando um referencial, usaremos alguns exemplosde ponto.
Exemplo 1: Considerando o espaço sideral como referencial, pode-se considerar a terra como re-
presentação de um ponto;
Exemplo 2: Considerando um quadro negro da sala de aula como referencial, podemos identifi-
car o pingo da letra “i” escrita no quadro como representação de um ponto;
Assim, analisando os exemplos acima vemos que cada ser humano pode ser a representação de 
um ponto, se considerarmos a terra como referencial de observação. A importância dos conceitos de 
movimento e repouso auxilia na construção dos conceitos de localização e orientação, assim como no 
aprofundamentos dos estudos da geometria euclidiana e analítica.
O sucesso para solucionar grande parte dos problemas cotidianos depende da 
nossa capacidade de nos orientar e da facilidade com que estabelecemos re-
lações entre os objetos. A área que trata destes assuntos é a geometria e, por 
isso, é importante estudá-la. (COLL ,2002, p.165)
 
Nesse contexto, é importante no estudo da geometria o uso do próprio corpo. A utilização 
dele como recurso didático nas aulas de matemática já é discutida por vários autores e maioria 
deles destaca a importância dessa prática principalmente na educação infantil.
A orientação a partir do próprio corpo como o referencial auxilia a compreensão da inserção 
desse corpo no espaço. Constroem-se, assim, os conceitos de localização de ponto no espaço, 
representação de ponto num sistema de referências até na utilização e compreensão de mapas e 
construção de maquetes.
Assim é que a utilização do corpo como recurso didático pode conceituar os diferentes tipos 
de eixos corporais (conforme figura1), em que o eixo corporal é a representação de uma reta em 
nosso corpo e pode ser identificado como:
Eixo vertical: É uma linha imaginária reta, sob uma direção vertical, representada pela co-
luna vertebral quando assumimos a posição de pé. Esse eixo dá a capacidade de girar sobre si 
mesmo.
14
UAB/Unimontes - 6º Período
Eixo longitudinal: É a representação do deslocamento do corpo sobre uma direção e senti-
do reto.
Eixo horizontal: A representação desse eixo depende exclusivamente da posição de braços 
abertos, sendo uma reta perpendicular ao eixo vertical e representando a linha dos braços abertos. 
O nosso corpo ainda permite organizar as relações com o espaço e com as outras pessoas e 
objetos, podendo, ainda, conceituar as ideias de comprimento nas distâncias, áreas dos corpos e 
de objetos, etc.. Os conceitos de massa na estrutura do corpo, a forma dos objetos, seu peso são 
derivadas do estudo da capacidade de objeto. 
1.3 Estudos das figuras planas e 
não planas
No cotidiano, conseguimos organizar todas as informações reais abstraídas pelos nossos sen-
tidos graças ao nosso pensamento, conseguimos diferenciar determinados objetos conforme sua 
forma, tamanho, cor, textura, etc. As ideias de tamanho e forma são muito usadas na geometria 
para auxiliar na comparação de objetos. Nesse contexto, eis a pertinência do que assevera Toledo:
 
A escola deve oferecer à criança situações em que ela entre em contato (mes-
mo que inicialmente de modo apenas sensorial) com todo tipo de objeto, 
seja tridimensional, seja bidimensional, seja linear, seja unidimensional (TOLE-
DOS,1997, p.230)
O tamanho pode de ser utilizado na comparação de alturas, de espessuras, distâncias e áre-
as de um objeto. A forma garante a comparação entre os objetos através de seu volume, de sua 
estrutura de origem. Nas palavras de Coll:
A forma e o tamanho são características geométricas usadas para fazer referên-
cia a objetos da realidade e, generalizando, a objetos geométricos. Podemos 
identificar as formas dos objetos reais porque podemos pensar geometrica-
mente (COLL, 2002, p.182)
Prosseguindo os nossos estudos, depois de um trabalho de contatos com o espaço e a for-
ma de determinados objetos, podemos partir para a exploração e o estudo da classificação das 
figuras geométricas. Esse estudo deve partir primeiro da ideia de classificação utilizando ativida-
des de familiarização com as formas e coleções.
Assim, a partir das simples coleções, podemos adotar critérios de separação dos objetos 
dessa coleção, pelas cores, formas, tipologia, etc. Desses grupos de objetos separados, podemos 
definir as figuras planas (Figura 2) e não planas (Figura 3).
Figura 01: Eixo Corporal
Fonte: Coll (2002, p.166)
►
15
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Objetivando conhecer mais sobre a forma e o tamanho dos objetos, compararemos as figu-
ras planas e não planas.
Figura Plana 
é aquela em que todos os pontos se apóiam sobre a 
superfície em que repousa. Por exemplo, uma folha de 
sulfite sobre o tampo da mesa.
Figura não-plana 
é aquela em que parte dos pontos se apóia na superfície 
e parte não, ficando fora dela. Por exemplo, uma lata de 
biscoito sobre a mesa.
Figuras planas
Ao observarmos o meio ambiente, vemos que as formas geométricas estão presentes 
na natureza e nos objetos construídos pelo homem. Animais, plantas e objetos comuns, as-
sim como portas, livros, relógios, latas, caixas, etc., são exemplos de formas de duas e três 
dimensões. Num primeiro momento, estudaremos formas de duas dimensões ou formas 
planas e, em seguida, formas de três dimensões.
Os objetos que "nos rodeiam apresentam normalmente três dimensões em que iden-
tificamos o comprimento", largura e altura. Alguns são tão finos que poderiam ser conside-
rados figuras planas. As figuras que apresentam apenas duas dimensões, comprimento e 
largura, são consideradas figuras planas. 
Por outro lado, segundo Coll:
Em nosso cotidiano, é comum vermos objetos com forma de triângulo, quadra-
do ou de outros polígonos. Há também objetos em forma de circunferência. A 
capa de um livro, por exemplo, tem a forma de um retângulo, as rodas de uma 
bicicleta têm a forma de circunferência (COLL, 2002, p.196)
Assim sendo, Coll confirma que no meio ambiente podemos observar imagens que repre-
sentam polígonos. Para Coll (2002): “Polígono é definido como uma figura plana com três ou 
mais lados (ou segmentos)”. Vejamos o exemplo do qual Coll fala:
LARGURA
 
 
◄ Figura 04: Figura Plana 
◄ Figura 02: Figura plana
Fonte: Toledos (1997, p. 
235)
◄ Figura 03: Figura não 
plana
Fonte: Toledos (1997, p. 
235)
A capa de um livro é a representação 
de uma figura plana de quatro lados. Esse 
exemplo é a representação de um retân-
gulo (polígono de 4 lados com dois lados 
paralelos iguais)
CO
M
PR
IM
EN
TO
16
UAB/Unimontes - 6º Período
 
1.4 Linhas e curvas
Para chegar à classificação de figuras planas ou polígonos, o professor deverá trabalhar 
anteriormente com seus alunos sobre o reconhecimento dos polígonos, com a construção e re-
produção dos polígonos e a identificação e conceituação de ângulos. Esse trabalho sugere uma 
prática dinâmica, preferencialmente com material concreto. As aulas práticas podem contribuir 
significativamente na observação e manuseio, através da investigação de diferentes formas geo-
métricas, contribuindo na construção de conceitos e nomenclaturas da geometria plana.
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendi-
zagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática 
genuína, construindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é 
chamado a agir como um matemático, não só uma formulação de questões e 
conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresenta-
ção de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o profes-
sor (PONTE, 2003, p.23) apud Fiorentini (2010 p.138).
 
A classificação dos polígonos pode surgir depois de um belo trabalho com linhas. Com o 
manuseio de cordas, mangueiras e barbantes, o professor pode iniciar otrabalho de conceitua-
ção de linhas abertas, fechadas, bem como dos tipos côncavos e convexos.
As linhas retas são linhas poligonais. As linhas poligonais quando têm as suas extremidades 
livres são consideradas linhas poligonais abertas, e as linhas poligonais quando têm suas extre-
midades unidas num ponto comum é considerada linha fechada (Figura 05).
As linhas fechadas limitam uma área interna, por isso é denominada polígono (Figura 06). 
Para Toledos a definição de polígono é construída sobre fatores abstratos dos elementos básicos 
de um polígono. É basicamente a união de linhas que limitam um espaço.
O polígono é uma construção abstrata (tal como o poliedro), definida como 
“uma curva plana, fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e 
não colineares”; portanto trata-se apenas da fronteira, não se incluindo seu in-
terior (TOLEDOS,1997, p. 244)
Essa construção abstrata não desabona a necessidade da construção, representação e aná-
lise dos polígonos e poliedros com material concreto. O trabalho com material concreto oportu-
nizará ao aluno construir seu conhecimento de forma não só indutiva, como também intuitiva.
1.5 Classificação de figuras planas
Na classificação de figuras planas, destacamos uma característica do polígono: mesmo nú-
mero de lados, de vértices e ângulos internos. Por isso, classificamos os polígonos assim:
QUADRO 01
NOME NÚMERO DE LADOS
Triângulo 3 lados
Quadrilátero 4 lados
Pentágono 5 lados
Hexágono 6 lados
Heptágono 7 lados
Octógono 8 lados
Eneágono 9 lados
▲
Figura 05 e 06 
Fonte: 
http://mundodos-
queak.blogspot.
com/2008_09_01_archive.
html
17
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
NOME NÚMERO DE LADOS
Decágono 10 lados
Undecágono 11 lados
Dodecágono 12 lados
Pentadecágono 15 lados
Icoságono 20 lados
POLÍGONO, do grego poli, “muitos” e gonos “ângulos”. Os demais polígonos são denominados simples-
mente pelo número de seus lados; por exemplo, “polígono de 13 lados”. 
Fonte: Toledos (1997, p. 248)
Quadriláteros
O trabalho com os quadriláteros pode ser 
feito com crianças no 3º e 4º ano de escolari-
dade se a criança já construir polígonos e re-
conhecer as características principais dele. O 
estudo com os quadriláteros pode desenvolver 
diversos conceitos conforme critérios adotados.
Podemos adotar critérios de construção 
dos quadriláteros a partir da
•	 condição de paralelismo dos lados;
•	 condição de existência de ângulos inter-
nos, retos, de 90º;
•	 condição de existência de ângulos inter-
nos diferentes de 90º;
•	 condição de existência de lados com mes-
ma medida;
•	 condição de existência de lados com me-
didas diferentes.
Esse tipo de trabalho deve ser bem dinâ-
mico, com material concreto, buscando concei-
tuar retas paralelas e definir polígonos através 
da interação e intersecção entre retas paralelas.
Os polígonos formados por retas paralelas 
são denominados paralelogramo ou paralelo-
grama.
Paralelogramo é um polígono convexo 
de quatro lados, formado por retas paralelas 
com seus ângulos internos opostos iguais, e a 
soma entre eles é igual a 360º.
Assim como o paralelogramo, podemos 
ainda definir o quadrado, losango e o retângu-
lo com retas paralelas.
Quadrado é um quadrilátero com me-
didas dos lados iguais e os ângulos internos 
também iguais.
Podemos dizer que os segmentos AB 
= BC = CD = DA e os ângulos Â, B, C e D são 
iguais, retos e medem 90º. Portanto, a soma 
dos ângulos internos do quadrado é 360º. 
Losango tem as mesmas características 
de um quadrado; porém nem todo losango é 
um quadrado, pois seus ângulos internos po-
dem ser diferentes de 90º.
Nele, definimos Diagonal maior (D) e 
Diagonal menor(d) os segmentos de reta que 
unem os ângulos internos opostos.
Retângulo é um quadrilátero que assu-
me todas as características de um quadrado, 
além de ter apenas dois dos seus lados para-
lelos com mesma medida. Dizemos que todo 
quadrado é um retângulo, mas nem todo re-
tângulo é quadrado.
▲
Figura 07: Paralelogramo
◄ Figura 08: Quadrado
◄ Figura 09: Losango
Fonte: http://www.proje-
tozk.com/
◄ Figura 10: Retângulo
Fonte: http://www.web-
calc.com.br/
18
UAB/Unimontes - 6º Período
Há também um quadrilátero que não 
tem como característica principal as quatro 
retas paralelas. O Trapézio é um quadrilá-
tero que tem apenas dois lados paralelos 
denominados Base maior e Base menor. Os 
outros dois lados do trapézio podem formar 
com as bases ângulos iguais a 90º ou dife-
rentes de 90º.
1.6 Sugestão de atividades com 
quadriláteros
Material: folha de papel sulfite, régua, transferidor.
Desenvolvimento: O professor sugere aos alunos que dobrem duas vezes uma folha de pa-
pel. As dobras são livres conforme a vontade de cada aluno. Em seguida, peça a eles que assina-
lem as dobras feitas com uma régua e observem as situações que surgem:
•	 Normalmente as dobras formam duas marcas que se cruzam no papel;
•	 Peça que observem as retas e o ponto de intersecção entre as retas;
•	 Peça que meçam as aberturas formadas pelas dobras com o transferidor a partir do ponto 
de intersecção entre as dobras;
•	 Comparem as medidas quanto aos ângulos de 90º;
•	 Usem as diferentes medidas para mostrar ângulos agudos, obtusos e retos;
•	 Conceituem perpendicularidade.
Depois desse manuseio e observação na folha de papel, peça aos alunos que registrem toda ex-
periência. Pode ser feito um relato oral da experiência.
Esse trabalho pode ser ponto de partida para conceituar também ângulos opostos pelo vértice.
Triângulos
O trabalho com os triângulos não é muito diferente do trabalho com os quadriláteros. Assim, po-
demos adotar critérios para a construção dos conceitos sobre as figuras planas triangulares.
Propomos construir triângulos com canudinhos ou palitos de picolé observando algumas 
características:
•	 Triângulos que apresentam lados congruentes, ou seja, que tenham a medida dos lados 
iguais;
•	 Triângulos com apenas dois lados iguais;
•	 Triângulos com os três lados com medidas diferentes.
Adotando essas três características dos triângulos, podemos classificar os triângulos quanto 
à medida dos lados em:
Figura 11: Trapézio 
Fonte: http://bento.ifrs.
edu.br/
►
Figura 12: Quadriláteros
Fonte: Toledos (1997,p. 
251)
►
19
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Triângulo Equilátero: 
possui lados congruentes, lados com a 
mesma medida.
Triângulos Isósceles: 
apresenta apenas dois lados com a mesma 
medida.
Triângulo Escaleno: 
possui os três lados com medidas diferentes.
Podemos ainda classificar os triângulos pela medida dos ângulos internos em:
Triângulo Retângulo: 
possui um dos ângulos interno medin-
do 90º. Os outros dois ângulos internos são 
agudos.
Triângulo Obtusângulo: 
possui um dos seus ângulos internos obtuso e 
os outros dois ângulos agudos.
◄ Figura 17: Triângulo 
Obtusâgulo
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
◄ Figura 16: Triângulo 
Retângulo
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
◄ Figura 13: Triângulo 
Equilátero 
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
◄ Figura 14: Triângulo 
Isósceles 
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
◄ Figura 15: Triângulo 
Escaleno
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
20
UAB/Unimontes - 6º Período
Triângulo Acutângulo: 
possui três ângulos internos agudos.
Construindo polígonos no Geoplano
Uma maneira de construir polígonos é colocar elásticos passando pelos pregos de um geo-
plano. Quando unimos os segmentos, formamos polígonos.
Figura 18: Triângulo 
Acutângulo
Fonte: Figura gerada no 
Office Microsoft word
►
Figura 19: Geoplano
Fonte: Trabalho construí-
do pelas alunas do curso 
de pós-graduaçãoem 
alfabetização e letramento 
matemático promovido 
pelo DMTE/Unimontes.
►
Figura 20: Tangram
Fonte: Toledos (1997, p.187)
►
21
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
1.7 Figuras não planas
Podemos iniciar o estudo das figuras não 
planas ou espaciais através da observação de 
determinados objetos tridimensionais usados 
no cotidiano. A partir da observação desses 
objetos, faz-se uma relação de semelhanças 
entre os poliedros e prismas.
Vejamos alguns objetos que se asseme-
lham às figuras espaciais:
A observação será ponto de partida para 
a construção dos conceitos sobre a geometria 
espacial. Para isso, tomaremos com norte os 
seguintes critérios:
•	 Diferenças entre figuras bidimensionais e 
tridimensionais;
•	 Identificação das partes de figura não pla-
na: vértice, aresta, faces;
•	 Identificação de poliedros e prismas;
•	 Volume.
De acordo com algumas características, po-
demos classificar formas geométricas. Vejamos:
Poliedros 
São formas geométricas espaciais, como, 
por exemplo, paralelepípedos, pirâmides de base 
quadrada, cubos, prismas de base triangular cuja 
superfície é formada apenas por polígonos, sen-
do classificados entre prismas e pirâmides.
Os prismas têm como características na 
maioria de suas faces polígonos quadrangulares.
 
As pirâmides têm como características nas 
suas faces laterais um polígono de três lados 
(faces triangulares). As pirâmides ainda têm 
suas faces laterais convergindo e se encontram 
em um único ponto. A pirâmide reta de base 
triangular tem as suas faces triangulares.
Existem, ainda, alguns poliedros que não 
são denominados prismas nem pirâmides.Ve-
jamos alguns exemplos desses poliedros:
QUADRO 02
Alguns poliedros e seus nomes*
tetraedro 4 faces
pentaedro 5 faces
hexaedro 6 faces
heptaedro 7 faces
octaedro 8 faces
decaedro 10 faces
dodecaedro 12 faces
icosaedro 20 faces
*O prefixo destacado em cada nome refere-se ao 
número de faces do poliedro. Os demais poliedros, em 
geral, são indicados nomeando-se o total de suas faces. 
Por exemplo: “poliedros de 11 faces”.
Fonte: Toledos (1997, p. 238)
▲
Figura 21: Objetos Tridimensionais
Fonte: http://cleanlourenco.blogspot.com/
▲
Figura 22: Figuras Espaciais
Fonte: http://cleanlourenco.blogspot.com
◄ Figura 23: Prismas
Fonte: Toledos (1997, p. 
237)
◄ Figura 24: Pirâmides 
Fonte: Toledos (1997, p. 
237) 
22
UAB/Unimontes - 6º Período
Identificação dos elementos fundamentais 
do poliedro
O estudo da identificação dos elementos 
fundamentais dos poliedros pode ser inicia-
do no 4º e 5º ano de escolaridade, depois de 
todo o contato e comparação dos poliedros, 
assim como o reconhecimento das formas 
das faces. 
Agora vamos buscar conceituar ares-
tas, faces e vértices. Para isso, seguimos um 
exemplo de roteiro de trabalho.
OBJETIVO: Identificar num poliedro ares-
tas, faces, vértices e suas relações.
MATERIAL: Prisma de base quadrada.
METODOLOGIA:
•	 Dividir a turma em 5 ou 6 grupos;
•	 Distribuir para cada grupo um prisma de 
base quadrada;
•	 Peça aos grupos que observe e discuta 
entre eles as características do prisma;
•	 Oriente os grupos a registrar as caracterís-
ticas do prisma;
•	 O professor orienta cada grupo a apre-
sentar as características do prisma, fazen-
do suas colocações e nomeando as faces, 
arestas e vértices.
•	 Posteriormente, o professor pode pedir 
que o grupo identifique no prisma:
a) Faces que não se encontram;
b) Faces paralelas;
c) Faces perpendiculares;
d) Vértices opostas.
•	 O professor orienta o grupo a contar os 
números de faces, arestas e vértices e a 
nomear o poliedro.
•	 Pode-se montar uma tabela, como, por 
exemplo:
QUADRO 03
Nome 
Poliedro
Número 
Faces
Número 
Arestas
Número 
Vértices
Prisma base 
quadrada
6 12 8
Prima base 
triangular
- - -
Cubo - - -
Depois da construção dessa tabela, pode-
mos fazer uma análise detalhada dos elemen-
tos fundamentais:
•	 A soma do número de faces e vértices é 
igual ao número de arestas somadas a 
duas unidades.
•	 O professor apresenta essa relação com 
outros exemplos e o define como Relação 
de Euler.
•	 Todo o trabalho pode ser concluído com 
um relatório final da aula.
Referências
COLL, César, TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática: Conteúdos essenciais para o Ensino 
Fundamental de 1ª a 4ª série.
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e 
metodológicos. 3. ed. rev. Campinas-SP: Autores associados, 2010.
PONTE, J. P., BROCADO. J., OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Hori-
zonte: Autêntica, 2003.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. A Didática da Matemática: com dois e dois. São Paulo: FTD, 
1997.
Disponível em: www.somatematica.com.br. Acesso em 30 set. 2010, às 13h09min.
Disponível em: http://tudo-matematica.blogspot.com/2011/02/historia-da-geometria.html) 
Acesso em 11 jan. 2011 às 13h05 min
Disponível em: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GerardDs.html) Acesso em 12 dez. 2010 às 
14h35min
Figura 25: Corpos 
Geométricos
Fonte: Coll (2002, p.219) 
►
PARA REFLETIR
Os poliedros regulares 
na natureza e na arte
Os poliedros regulares 
também podem ser en-
contrados na natureza, 
em forma de cristais. 
Os da figura abaixo 
têm forma de cubos 
e de octaedros. Os 
poliedros são também 
encontrados no mundo 
da arte: a fotografia 
ao lado mostra uma 
das obras de Cacipore 
Torres, realizada em 
1976. Trata-se de uma 
escultura fabricada 
em aço inoxidável e 
formada por diferentes 
poliedros.
▲
Figura 26: Poliedros na 
Natureza
Fonte: Coll (2002, p. 228) 
23
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Disponível em: http://igans.com.br/post_noticia_in.php?id=18 Acesso em 21 dez. 2010 às 23h 
44min
Disponível em: http://www.projetozk.com/hipertextos/cortar_copiar_colar/transformadas/ativi-
dades.htm. Acesso em 21 dez. 2010 às 23h 48min
Disponível em: http://www.webcalc.com.br/frame.asp?pag=http://www.webcalc.com.br/mate-
matica/retangulo.html Acesso em 21 dez. 2010 às 13h 25min
Disponível em: http://bento.ifrs.edu.br/acessibilidade/oa/areas_geometricas/ Acesso em 30 jan. 
2011 às 23h41min
Disponível em: http://cleanlourenco.blogspot.com/2010/03/formas-geometricas-espaciais.html. 
Acesso em 30 jan. 2011 às 22h 55min
25
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
UNIDADE 2 
Sistema de numeração decimal
2.1 Histórico: aspectos e 
características do sistema de 
numeração decimal
O nosso sistema de numeração é um sistema decimal, pois contamos em grupos de dez uni-
dades. A palavra decimal tem origem no latin decem, que significa dez. Esse sistema de nume-
ração foi criado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes com auxílio da 
imprensa, o qual é denominado sistema de numeração indú arábico, por ser criado por um árabe 
de nome Al Kowarismi. 
Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são 
chamados de algarismos em homenagem ao seu criador: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utiliza-
dos para contar unidades, dezenas e centenas. 
A convivência em sociedade provocou na humanidade a necessidade da criação de um me-
canismo capaz de gerenciar numerais. Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos ob-
jetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, 
mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós é o sistema de numeração decimal.
O sistema de numeração decimal possui ao todo dez símbolos distintos, através dos quais, 
se utilizarmos apenas um dígito, podemos representar quantidades de zero anove.
O nosso sistema de numeração é um sistema de posição, porque o valor de um algarismo 
depende da ordem que ocupa, ou seja, da sua posição na escrita do número.
 Exemplo:
 
 
Num número, os algarismos agrupam-se em classes. Cada classe tem três ordens: unidades, 
dezenas, centenas
Os números escrevem-se e leem-se da esquerda para a direita.
A leitura habitual e corrente de um número faz-se por classes.
Exemplo: 2 345 134 lê-se: dois milhões, trezentos e quarenta e cinco milhares e cento e trin-
ta e quatro unidades.
Os Números consecutivos são números em que um deles é sucessor do outro. 
Exemplo: 3 e 4 ; 99 e 100
Num número decimal, há uma parte inteira e uma parte decimal que são separadas por 
uma vírgula. 
Para se ler um número decimal, lê-se primeiro a parte inteira e depois a parte decimal. Na 
parte decimal há décimas, centésimas, milésimas, décimas milésimas, etc.
26
UAB/Unimontes - 6º Período
Exemplo:
290,01 lê-se: duzentas e noventa unida-
des e uma centésima.
Para comparar e ordenar números, utili-
zam-se os símbolos:
>  (é maior que) 
<  (é menor que) 
=  (é o mesmo que)
Para comparar números decimais, terá de: 
comparar a parte inteira; se as partes inteiras 
são idênticas, comparar as décimas, depois 
as centésimas e assim sucessivamente. Tam-
bém pode igualar o número de casas decimais 
(acrescentando os zeros que forem necessá-
rios) e comparar a parte decimal.
Os números tem diferentes funções: 
contar,medir, ordenar ou codificar. Essas fun-
ções são vivenciadas no cotidiano quando 
quantificamos um grupo de objetos, determi-
namos uma distância, classificamos uma se-
quência crescente ou decrescente e quando 
somos identificados pelo CPF, entre outros do-
cumentos de identificação pessoal.
Os números na sua função de contar 
pode quantificar um grupo de objetos. Nesse 
ponto, dizemos que esse número é cardinal.
 Quando utilizamos o número para orde-
nar objetos indicando uma posição, esse nú-
mero é denominado ordinal.
2.2 Operações com os números 
naturais
2.2.1 Adição
Na escola, na rua, etc., encontramos situações em que temos de reunir ou se-
parar coleções de objetos e, em seguida, verificar a quantidade de objetos que 
resultou. Nesses casos, utilizamos a adição e a subtração (COOL, 2002, p. 33).
Nesse contexto, adição é a operação mais 
natural na vida da criança, porque está presen-
te nas experiências infantis desde muito cedo. 
Envolve apenas um tipo de situação, a de “jun-
tar”, que é efetivamente prazerosa. Essa opera-
ção é uma das mais fáceis e pode ser realizada 
numa faixa etária entre 5 e 6 anos. Nessa fase, 
a criança convive naturalmente com uma ideia 
egoísta da vida. Justifica o prazer em “juntar”, 
“ganhar” e acrescentar.
O trabalho com adição depende um pré-
-requisito básico de troca e agrupamento. Su-
gere-se um trabalho com material concreto e 
práticas dinâmicas como jogos e brincadeiras.
O trabalho com a ideia de troca e agrupa-
mento pode ser através de algumas práticas 
como as que veremos a seguir:
▲
Figura 30: Troca e agrupamento
Fonte: (TOLEDOS, 1997, p. 66)
▲
Figura 29: Nimeração Ordinal
Fonte: (COLL, 2002, p.14) 
▲
Figura 28: Representação de cardinalidade 
Fonte: (COOL, 2002, p.12) 
Figura 27: Função do 
número no cotidiano
Fonte: (COOL, 2002, p.11) 
►
27
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Quem recebeu 32 palitos terá:
Mesmo sem contar todos os palitos, as 
crianças percebem que o primeiro aluno ga-
nhou mais palitos inicialmente, pois conse-
guem formar um saquinho, enquanto o se-
gundo não.
Baseado nessa sugestão de atividade, 
conforme Toledos (1997), cria-se a oportunida-
de de trabalhar com sistemas de numeração 
de bases diferentes de dez.
Essas práticas, além de desenvolver as ideias 
de troca e agrupamento, iniciam o processo de 
construção de conceito aditivo. O importante é 
construir o conceito fundamentado em ativida-
des contextualizadas, como parte de uma situ-
ação da classe ou do cotidiano da criança. Dessa 
forma, pode-se induzir a construção e identifica-
ção das propriedades da adição, assim como a 
apresentação do algoritmo dessa operação. As-
sim sendo, segundo Kamii:
Contar é um meio de se obter cada resposta separadamente, sem colocá-la em 
relação com o conhecimento anterior. O reagrupamento mental, ao contrário, 
é um meio de produzir um conhecimento novo em relação ao que já se sabe 
(KAMII,1986, p.115).
A escrita aditiva deve ser muito bem plane-
jada envolvendo números fáceis. Segundo Kamii 
e DeClark, 1986 apud Toledos (1997), a sequência 
de trabalho com a adição mais adequada é:
•	 Parcela até 4;
•	 Parcela até 6;
•	 Parcelas iguais;
•	 Somas já conhecidas e o total auxiliar 10;
•	 Uso intuitivo da propriedade associativa da 
adição, isto é, para encontrar o resultado de 
7 + 6, por exemplo, os alunos fazem primei-
ro 7 + 3 = 10 e depois 10 + 3 = 13, pois sa-
bem que 6 = 3 + 3; logo, 7 + 6 = 7 + (3 + 3).
A escrita aditiva deve ser feita com várias 
práticas, com objetivo de dar significado à re-
presentação formal. Esse trabalho deve ser ini-
ciado com material concreto.
Podem-se utilizar as barrinhas de cuisenaire na 
construção de “murinhos”. Depois é feito o registro.
O Algoritmo da Adição deve ser trabalho 
depois que os alunos já tiverem domínio na 
ideia de trocas e agrupamentos e a sua repre-
sentação simbólica no sistema de numeração 
decimal. O ábaco pode ser um dos recursos di-
dáticos usados na apresentação e construção 
do algoritmo da adição. 
A figura que se segue mostra a utiliza-
ção do ábaco de papel e o material dourado. 
A operação apresentada no ábaco é simples 
e pode ser uma situação problema a partir da 
realidade dos alunos. 
É importante ressaltar que a utilização do 
ábaco na construção do algoritmo da adição 
auxilia significativamente na eliminação de 
algumas dificuldades como “unidade deve ser 
colocada embaixo de unidade, dezena embai-
xo de dezena, etc.” A visualização da operação 
da adição no ábaco evita esse problema tão 
comum entre os alunos.
A partir dessa prática, o professor pode 
graduar a dificuldade conforme o nível de 
aprendizagem do aluno, assim como a introdu-
ção gradual das operações com reservas.
▲
Figura 32: Material Cuisenaire
Fonte: Toledos (1997, p. 106) 
▲
Figura 31: Troca e agrupamento
Fonte: TOLEDOS (1997, p. 66)
Figura 33: Material 
Dourado
Fonte: Toledos (1997, 
p.107)
▼
28
UAB/Unimontes - 6º Período
2.2.2 Subtração
 A subtração é uma operação mais complexa que adição. Segundo Piaget, existe vários mo-
tivos que dificultam a aprendizagem sobre a subtração. Para Toledos:
Em primeiro lugar porque, como comprovam as pesquisas de Piaget, o racio-
cínio das crianças se concentra em aspectos positivos da ação, percepção e 
cognição. Os aspectos negativos, como inverso e recíproco, só são construídos 
mais tarde. (TOLEDOS,1997, p.109)
A dificuldade de aprendizagem pode está 
ligada à ideia de perda, sendo um aspecto 
adverso à vivência da criança. Por isso, suge-
rimos um trabalho cauteloso com essa opera-
ção fundamental. O trabalho com a subtração 
deve ser desenvolvido de forma que seja com 
um envolvimento e manuseio de material con-
creto, situações problemas, sempre contextua-
lizado. E relevante destacar aqui as diferentes 
idéias que levam a construção do conceito de 
subtração.São elas: a ideia de tirar, comparar e 
completar.
Além das diferentes ideias propostas no 
trabalho da subtração, devemos tomar cuida-
dos com a escrita das perguntas no problema 
para não confundir ou dificultar sua compre-
ensão e a resolução.
A ideia de tirar tem uma característica 
fundamental que sempre é apresentada num 
problema: um “todo”, sendo dele retirado uma 
parte.
Exemplo:
Joãozinhotem uma coleção de 25 carri-
nhos de bombeiro. Ele vai fazer uma doação 
de 12 carrinhos para a campanha do “Natal 
sem brinquedos”. Quantos carrinhos de bom-
beiro ficarão na coleção de Joãozinho?
Analisando o problema, identificamos o 
todo como a coleção de 25 carrinhos de bom-
beiros. Do todo, foi retirado uma parte corres-
pondente aos 12 carrinhos doados, restando 
na coleção apenas 11 carrinhos de bombeiros.
Matematicamente, temos:
23 – 12 = 11 carrinhos de bombeiros. 
A ideia de comparar está presente nas 
situações problema em que, normalmente, 
faz-se uma comparação de uma parte com o 
todo e subsequente com outra parte.
Exemplo:
Mariana tem em seu estojo 9 lápis, sendo 6 
pretos e o restante coloridos. Qual a quantida-
de de lápis coloridos no estojo de Mariana? 
Observamos no problema duas partes do 
todo apresentado. Uma parte é o número de lá-
pis pretos e a outra parte, o número de lápis co-
loridos. A comparação entre as partes do todo 
induz a diferença entre as partes, sendo o todo 
igual a 9 lápis: a primeira parte corresponde aos 
6 lápis pretos e a segunda parte, ao número de 
lápis coloridos. Comparando as duas partes em 
relação ao todo, conclui-se que a diferença en-
tre as partes é o número de lápis coloridos.
Matematicamente, temos:
9 lápis = 6 lapis pretos + (?) lapis coloridos
Ou seja:
A idéia de completar sempre surge na relação 
da complementação da parte até atingir o todo.
Exemplo:
Quero comprar uma camisa oficial do Cruzei-
ro que custa R$76,00, mas só tenho R$52,00. Quan-
to me falta em dinheiro para comprar a camisa?
Analisando, temos o todo corresponden-
te ao valor da camisa. A parte é o valor que 
temos. Vamos completar para descobrir o re-
sultado:
52 + 3 = 55...........................ainda falta dinheiro,
55 + 5 = 60.......................... ainda falta dinheiro,
60 + 10=70.......................... ainda falta dinheiro
70 + 6 = 76..........................completou o valor da 
camisa. 
Somando os valores que completaram o 
valor da camisa, temos: 
3+ 5+10+6 = 24.
Portanto, faltam R$24,00 para comprar a 
camisa oficial do cruzeiro.
A utilização de material concreto pode 
contribuir muito com a visualização das opera-
ções de subtração nas diferentes ideias.
Vejam algumas situações na ilustração 
que se segue:
▲
Figura 34: Subtração na ideia de comparação
Fonte: clip art Office Microsoft word 
29
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Assim como a utilização do material de 
cuisenaire:
O algoritmo da subtração, segundo 
Kamii (1986) apud Toledos (1997, p.115), só 
deve ser trabalhado a partir dos 8 anos e 
sempre acompanhada por atividades di-
nâmicas no ábaco de papel e com material 
dourado.
Existem diferentes formas de apresenta-
ção do algoritmo da subtração no ábaco. Para 
exemplificar as diferentes formas de apresen-
tação, conforme a ideia da operação, usará 
como nas ilustrações que se seguem.
Na ideia de tirar, podemos apresentar 
no ábaco apenas o minuendo e retirando 
dele o valor correspondente ao subtraendo.
Para calcular 57 – 34 =?
O resultado é o valor restante que fica re-
presentado no ábaco. Ou seja: 57 – 34 = 23.
Na ideia de comparar, usa-se a representa-
ção do minuendo e o subtraendo, fazendo a cor-
respondência um a um para chegar ao resultado. 
A ideia de completar é a menos usada na 
resolução das operações pelos alunos, mas a 
sua representação no ábaco pode ser como na 
operação de 57 – 34, em que comparamos a 
ordem das unidades com unidades e a ordem 
das dezenas com dezenas. Quanto falta para 
4 unidades chegar a 7 unidades? Quanto falta 
para 3 dezenas chegar a 5 dezenas?
A subtração, quando trabalhada na for-
ma das diferentes ideias, torna a compreen-
são mais clara do processo de resolução. As 
dificuldades na resolução da subtração devem 
ser graduais conforme desenvolvimento da 
aprendizagem da criança.
Uma das dificuldades que devemos dar 
destaque e muita atenção no desenvolvimen-
to dela é a utilização do recurso, a ordem ante-
rior, ou compensação, ou reagrupamento.
Na resolução de uma subtração em que 
um algarismo do minuendo é menor do que 
o valor correspondente no subtraendo usa-
-se o ábaco, assim como o material dourado 
na sua representação. Mas convém usar o sis-
tema monetário para facilitar a compreensão 
da operação. O manuseio com a moeda no 
cotidiano ajuda a criança na compreensão do 
recurso à ordem superior (como troca e agru-
pamento). Evita-se nesse momento o termo 
“pedir emprestado”.
◄ Figura 38: Subtração no 
Ábaco
Fonte: Toledos (1997, p. 
116) 
▲
Figura 35: Operação de subtração
Fonte: TOLEDOS (1997, p. 112) 
▲
Figura 36: Operação com Material de Cuisenaire
Fonte: Toledos, 1997, p. 115) 
◄ Figura 37: Subtração no 
Ábaco
Fonte: Toledos (1997, p. 
115) 
30
UAB/Unimontes - 6º Período
Exemplo:
Tenho 5 notas de R$10,00 e 4 notas de 
R$1,00. Preciso pagar uma dívida de R$38,00. 
Como posso fazer se a pessoa que devo não 
tem nenhum troco. Usando a ideia de troca, 
podemos trocar uma moeda de R$10,00 em 
10 moedas de R$1,00, ficando com 14 moedas 
de R$1,00 e podendo pagar com o que deve 
com as 8 moedas. Ainda sobram 6 moedas de 
R$1,00. Como apenas uma moeda de R$10,00 
foi trocada, ainda restam 4 moedas, de onde 
podem ser retiradas 3 moedas de R$10,00 para 
pagar a dívida.
Esse mesmo processo pode ser represen-
tado com o material dourado:
Figura 39: Pedir 
Emprestado
Fonte: Toledos (1997, p. 
117) 
►
▲
Figura 40
Fonte: TOLEDOS (1997, p. 117) 
Figura 41: Material 
Dourado
Fonte: http://educar.
sc.usp.br/matematica/
m2l2.htm) 
►
31
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
2.2.3 Multiplicação
Na matemática, a multiplicação é considerada uma operação binária. Na sua forma mais simples, 
a multiplicação é uma forma de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da 
multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de 
coeficientes ou operandos e, individualmente, de multiplicando e multiplicador. Essa operação é uma 
ferramente que auxilia a criança na comprensão de proporcionalidade.
A multiplicação como adição de parcelas iguais é a mais utilizada nas escolas de ensino 
fundamental para resolver problemas de contagem.
A utilização da tabuada é necessária na construção dos conceitos multiplicativos, po-
rém, é bom ressaltar que a tabuada é apenas uma ferramenta prática que auxilia o trabalho 
durante a resolução das atividades que envolvem essa operação, no momento de fixação e 
verificação de resultados.
O trabalho inicial com a multiplicação deve ser baseado em atividades práticas, dinâ-
micas e contextualizadas.
Além da multiplicação com a ideia de soma de parcelas iguais devemos trabalhar com a 
ideia de proporcionalidade, pois, a partir dela, a criança forma os conceitos de razão e proporção, 
ajuda na compreensão de medidas, regra de três, porcentagem, probabilidades, semelhança de 
figuras, escalas, número racional, entre outros conceitos. Assim, afirma Toledos: 
Segundo trabalhos de Piaget e Inhelder (1972), bem como de muitos outros 
pesquisadores – entre os quais podemos citar Lovell e Butterworth (1966), No-
elting (1980) e Ruiz (1985) -, o esquema de proporcionalidade só estará com-
pletamente construído quando o aluno atingir o período operatório formal, 
por volta dos 15 anos Piaget(1972) apud Toledos(1997, p. 137) 
O início do trabalho com essa ideia de 
proporcionalidade pode ser através de ob-
servação de imagens, na ampliação e redu-
ção de fotografias, comparação de objetos 
tendo como referencial a distância entre 
eles, criação de escalas, entre outras. Veja-
mos alguns exemplos:
•	 Comparação de dimensõesdos objetos
 
•	 Comparando as dimensões dos objetos 
em distâncias diferentes
•	 Comparando o objeto e sua imagem
•	 Comparando imagens iguais em escalas 
diferentes
O algoritmo da Multiplicação deve ser tra-
balhado depois que o professor já tenha traba-
lhado com muito material concreto, práticas de 
resolução com material dourado, com ábaco de 
papel, fichas. Essas práticas auxiliam na visuali-
zação e compreensão da propriedade distribu-
tiva da multiplicação em relação à adição. Essa 
propriedade fundamenta o processo que cos-
tumamos usar no algoritmo da multiplicação.
Para facilitar a compreensão do algoritmo 
da multiplicação sugerimos algumas ativida-
des práticas iniciais:
▲
Figura 43: Comparação
Fonte: TOLEDOS (1997, p.138)
▲
Figura 45: Comparação
Fonte: TOLEDOS (1997, p.138) 
▲
Figura 42: Comparação
Fonte: TOLEDOS (1997, p.137)
▲
Figura 44: Comparação
Fonte: TOLEDOS (1997, p.138)
32
UAB/Unimontes - 6º Período
1. Representação com figuras das escritas 
multiplicativas e seus resultados;
Os problemas podem ser variados confor-
me a necessidade da criança. O importante é 
que, a partir desse tipo de prática, a criança vai 
se preparando para conhecer o algoritmo for-
mal da multiplicação.
O professor pode ainda usar o preenchi-
mento de tabelas distribui uma boa quantida-
de de tampinhas de refrigerante e caixinhas 
vazias. Trabalhando com esse material, a crian-
ça deve preencher a seguinte tabela:
TABELA
Quantidade 
de caixas
Quantidade 
de tampinhas 
por caixa
Total de 
tampinhas
5 8 40
7 3 -
6 - 24
- 5 15
Fonte: Toledos (1997 p.124) 
O professor pode ainda usar as barras de cui-
senaire para explorar a propriedade distributiva:
Assim como o uso do papel quadricula-
do - que também é bastante apropriado na 
construção do conceito de multiplicação -, o 
uso do papel quadriculado é diverso e gradual 
conforme a capacidade de aprendizagem da 
criança. Usamos essa prática com o nome de 
“ladrilhagem”, pois cada quadrinho correspon-
de a um ladrilho, a área pintada como “piso”.
A partir dessas práticas chegamos ao al-
goritmo da multiplicação. Vamos utilizar aqui o 
ábaco de papel para mostrar o processo de re-
solução conforme o algoritmo da multiplicação.
Usamos como exemplo a seguinte opera-
ção que deve surgir de uma situação proble-
ma contextualizada.
Sejam as operações: 
Figura 46: 
Representação com 
figuras
Fonte: Toledos (1997, p.122)
►
Figura 47: 
Representação com 
figuras
Fonte: Toledos (1997, p.123) 
►
▲
Figura 48: Barras de Cuisenaire
FONTE: Toledos (1997 p.124)
▲
Figura 49: Ladrilhagem
FONTE: (TOLEDOS,1997 p.125) 
▲
 Figura 50: Representação com Material 
Dourado
Fonte (Toledos,1997,p. 129) 
33
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
 As situações com reserva devem ser 
apresentadas quando o professor perceber 
que a criança está pronta. O algoritmo não 
tem muita diferença, e a criança não senti-
rá dificuldade se a idéia de troca e agrupa-
mento foi bem trabalhada com ele nos anos 
anteriores de escolaridade. 
A partir daí, o professor vai graduando 
as dificuldades conforme:
•	 O número de algarismos no multiplicando;
•	 Número de algarismos no multiplicador;
•	 O zero intercalado.
2.2.4 Divisão
A divisão é uma operação que está relacionada à subtração. É a operação inversa da 
multiplicação e, para alguns autores, é considerada uma subtração reiterada de parcelas 
iguais. 
Essa operação fundamental tem duas diferentes ideias: A ideia de repartir igualmente 
e a ideia de medir.
Sabemos que na prática escola pouco se destaca essas duas ideias dando ênfase ape-
nas à ideia de repartir igualmente.
Vamos tentar aqui mostrar um pouco das duas ideias da divisão. Lembrando que nesse 
momento é muito importante a valorização de todo conhecimento prévio da criança, assim 
como a utilização de práticas contextualizadas.
Para iniciar a construção do conceito de divisão, convém trabalhar com a ideia de re-
partir igualmente. Essa ideia requer uma distribuição em partes iguais.
Vejamos um exemplo:
Luis tem 23 carrinhos e quer reparti-los igualmente entre seus 5 convidados. Como po-
derá fazer isso?
A resolução parte da dificuldade de
•	 Dividir igualmente;
•	 Distribuir um a um os objetos entre os convidados;
•	 Fazer relação biunívoca.
A idéia de medir é contrária à ideia de dividir igualmente. Se compararmos, verá que 
na ideia de repartir igualmente desfazemos o “todo” em partes iguais. O resultado será a 
quantidade de objetos que cada convidado receberá. Na ideia de medir partimos da “parte” 
para o “todo”.
Vamos ao exemplo que Toledos (1997, p.145) sugere:
Uma florista tem 23 rosas para fazer arranjos. Como quer colocar 5 rosas em cada ar-
ranjo, quantos arranjos ela conseguirá fazer?
◄ Figura 52: Divisão com 
idéia de repartir
Fonte: Toledos(1997,p.145) 
◄ Figura 51: Multiplicação
FONTE: Toledos (1997 
p.127)
34
UAB/Unimontes - 6º Período
Para compreender melhor as ideias da divisão, devemos ressaltar a importância das relações 
entre as naturezas dos elementos envolvidos na operação.
É bom lembrar que:
Sempre que queremos medir uma grandeza, escolhemos como uma unida-
de de medida uma grandeza da mesma espécie daquela que se quer medir e 
a tomamos como padrão. Por exemplo, para medir a largura de uma quadra 
esportiva, podemos usar como unidade padrão o nosso passo, um pedaço de 
barbante, uma vareta, o nosso palmo, etc. (TOLEDOS,1997,p.147).
 
Analisando os dois problemas podemos chegar ao resultado através do mesmo proces-
so de resolução.
No primeiro problema foram divididos 23 (carrinhos) ÷ 5 (crianças) = 4 (carrinhos por 
crianças). Nessa situação problema, a natureza do resultado é a mesma da grandeza que foi 
dividido (carrinhos/carrinhos)
No segundo exemplo, em que dividimos 23 (rosas) ÷ 5 (rosas) = 4 arranjos. A natureza 
do resultado é diferente da grandeza que foi divida (rosas/ arranjos).
Outro fato em destaque na divisão é a relação do resto com o divisor. O resto deve ser 
sempre menor que o divisor.
A divisão deve ser trabalhada com suas dificuldades de forma gradual, conforme a ca-
pacidade de aprendizagem da criança.
Para se trabalhar o algoritmo da divisão, é necessário que o professor se certifique de 
que a criança já tenha criado um significado para a representação simbólica da operação e 
que ela ainda perceba função da escrita representativa como um elemento de comunica-
ção. Depois que cada criança já tiver adquirido uma forma própria de comunicar os resulta-
dos encontrados na resolução de uma divisão, o professor pode partir para a construção do 
algoritmo formal dela.
O processo de resolução formal de uma divisão pode ser de forma longa ou curta.
O processo euclidiano de divisão costuma-se denominar processo longo aque-
le em que a subtração é indicada no algoritmo, aparecendo o produto do quo-
ciente pelo divisor (TOLEDOS,1997, p.152).
Sugestão de Atividades
Jogo do Resto
Conteúdo: Divisão
Objetivo: Desenvolver rapidez no cálculo da divisão com resto. 
1. Tabuleiro para o jogo do resto 
2. Peças e materiais usados no jogo.
3. Análise do tabuleiro (tabela com os restos da divisão das casas do tabuleiro pelos núme-
ros do dado).
4. Registro dos alunos das atividades realizadas em sala de aula.
Figura 53: Divisão com 
idéia de medir
Fonte: Toledos(1997,p.145) 
►
35
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
ENTRADA 13 15 33 10 45 12
29
11 48 55 63 72 90 6
17 J O G O
92 22 65 83 18 80 23
DO 31
41 68 75 93 24 70 37
43 R E S T O
47 28 85 57 36 60 53
59
67 16 95 27 44 50 61
71
58 49 3 2 1 0 SAÍDA
Referências
COLL, César, TEBEROSKY,Ana. Aprendendo Matemática: Conteúdos essenciais para o Ensino 
Fundamental de 1ª a 4ª série, 2002.
KAMII, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget para a atuação 
junto a escolares de 4 a 6 anos. 4ª ed. Campinas: Papirus; 1986.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. A Didática da Matemática: com dois e dois. São Paulo: FTD, 
1997.
Disponível em: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm. Acesso em 09/08/2011 às 17h e 
21min.
37
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
UNIDADE 3
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é conhecido como o conjunto das frações, porém esse 
conjunto de números é composto de diferentes fatores, além das frações e suas operações. Po-
demos assim dizer que o conjunto dos números racionais é definido pela razão, divisão ou a 
fração formada por dois números inteiros. Os números racionais têm características diversas e 
podem ser apresentados em forma de fração (própria, imprópria ou aparente). Essas mesmas 
frações quando identificadas por um denominador decimal (potência de 10) é denominada por 
fração decimal e pode ser representada por um número decimal. O número decimal é composto 
por parte inteira e parte decimal que são separadas por uma vírgula.
Assim, nesta unidade, vamos conhecer as frações, os números decimais e suas propriedades 
nas operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão.
3.1 Histórico: aspectos e 
características do sistema de 
numeração racional
Conhecendo um pouco da história do Sistema de numeração racional e a origem dos núme-
ros fracionários.
O sistema dos números racionais e fracionário surgiu no Antigo Egito, às margens do rio 
Nilo, por volta do ano de 3.000 a.C, sob o reinado do faraó Sesóstris. A economia egípcia esta-
va assentada principalmente no cultivo de terras e, para que tal modo de produção ocorresse 
de uma forma eficaz, terras cultiváveis eram divididas entre os habitantes. Anualmente, entre os 
meses de junho a setembro, as águas do Nilo subiam muitos metros além de seu leito normal e 
acabavam por inundar uma vasta região circundante trazendo a necessidade de remarcação do 
terreno não atingido pela enchente. 
Assim, de acordo com o relato que o próprio historiador Heródoto nos deixou como legado: 
“se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examina-
rem e determinarem por medida a extensão exata da perda”.Tal remarcação era realizada pelos 
agrimensores do Estado, conhecidos como estiradores de cordas, uma vez que utilizavam-nas 
como unidade de medição. 
O processo de mensuração das terras consistia em estirar cordas e verificar o número de 
vezes que a unidade de medida estava contida no terreno. No entanto, na maioria das vezes, a 
medição dificilmente era finalizada por um número inteiro de vezes em que as cordas eram es-
tiradas. A resposta encontrada para lidar com a dificuldade imposta por tal situação consistiu na 
criação dos números fracionários. 
A organização desse sistema numérico era baseada no conceito unitário, de modo que a 
maioria das frações apresentava o seu numerador constituído pelo numeral 1 (um) – represen-
tado por um sinal de forma oval e alongada. Tais frações eram denominadas frações unitárias ou 
egípcias.
Assim: 1/8 correspondia ao símbolo 
 1/20 correspondia ao símbolo 
Todavia, duas frações podiam ser apontadas como exceção a tal regra: 3/4 e 2/3, em que o 
último era contemplado como fração geral, uma vez que era utilizada como base para diversas 
operações matemáticas.
 Muitas das frações que não apresentavam o numeral 1 no numerador eram consideradas o 
resultado da soma entre as várias frações egípcias (unitárias)
 Assim: 5/6= 1/2+1/3. Essa fração era representada pela soma entre a 1/2+1/3.
38
UAB/Unimontes - 6º Período
Torna-se pertinente ressaltar que sinais de adição e subtração não eram empregados em 
tais operações matemáticas, dado a sua inexistência. 
É válido apontar a existência de grande variação na representação do sistema fracionário 
segundo a sociedade e a época histórica. Assim, enquanto os egípcios utilizavam de frações uni-
tárias na maioria das vezes, os babilônicos faziam uso de frações cujo denominador era 60 (ses-
senta). A maneira de representação das frações utilizada atualmente remonta ao século XVI. 
Grande parte do conhecimento matemático vigente na Antiguidade foi resgatado pelo 
achado de inúmeros registros feitos em papiros, transformando-os em valiosas fontes históricas. 
Dois desses importantes documentos encontrados são o Papyrus Rhind e o Papyrus de Moscou, os 
quais, auxiliou na resolução de diversos problemas matemáticos de caráter cotidiano. Como 
exemplo, a armazenagem do trigo, o preço do pão e na alimentação do gado). 
A introdução dos estudos dos números racionais depende exclusivamente das frações. O es-
tudo das frações é necessário, porém ainda é feito de forma rígida nas escolas. Por influência da 
matemática moderna, as frações eram trabalhadas geralmente como grandeza contínua, dificul-
tando a sua compreensão. 
Normalmente a fração era definida apenas como uma razão de m/n, em que m e n são nú-
meros naturais e n ≠ 0.
A rigidez da definição de fração não contribui na construção da ideia de divisão entre dois 
números. 
Para Toledos (1997, p.167), o processo de ensino de fração está fundamentado num processo 
prático de repetição, deixando de lado a construção dos conceitos fundamentais e necessários 
de fração. Segundo Toledos,
(...) à conceituação de frações, surgem os algoritmos das operações com fra-
ções, todos ensinados a partir de regras, sem grandes referências ao conceito 
que é realmente fundamental para a justificação desses algoritmos: a equiva-
lência de frações. (1997, p.167)
O estudo de fração deve ser de forma prática, porém fundamentado em situações proble-
mas do cotidiano da criança. Para Piaget, o conceito de fração deve ser construído a partir do 
período operatório-concreto. O professor deve também observar a capacidade da criança de 
conservar quantidades, além de compreender as grandezas discretas e contínuas. A manipula-
ção de material concreto nas práticas de sala de aula com experiências pode auxiliar a criança na 
compreensão de:
•	 Repartir grandezas contínuas e discretas em porções iguais;
•	 Verificar semelhança ou não por comparação de grandezas discretas e por superposição de 
grandezas contínuas;
•	 Compor e recompor a partição.
Podemos iniciar o estudo das frações com algumas práticas dinâmicas. Vejamos:
Sugestão de atividades
A partir de um molde em cartolina, faça 
um hexágono em papel de sucata. Separe-o 
em duas novas figuras iguais entre si. Algumas 
formas possíveis:
Ao comparar as diversas soluções encon-
tradas pela classe, os alunos irão descobrir que 
as várias figuras formadas são equivalentes, 
isto é, têm a mesma área, embora com outra 
forma. Essa atividade pode desenvolver na 
criação a capacidade de repartir grandezas 
discretas e verificá-las por comparação.
Assim, com atividades de composição e 
decomposição de figuras, sugerimos aqui uma 
atividade com triângulos equiláteros.Figura 54: Hexágono
Fonte: Toledos 
(1997,p.170) 
►
39
Pedagogia - Fundamentos e Metodologia da Matemática II
Atividades com composição e decomposi-
ção de figuras
Nessa fase, devem ser apresentados aos 
alunos situações diversificadas, em que eles tra-
balhem com a composição e decomposição de 
figuras e as várias representações possíveis para 
um mesmo número racional. Uma possibilida-
de é oferecer a cada grupo de crianças um jogo 
constituído de vários triângulos equiláteros do 
mesmo tamanho, confeccionados em papel-
-cartão, cada um deles recortado de maneira di-
ferente, mas em partes iguais. Para cada modo de 
repartir o triângulo. Usa-se uma