EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE - cinemática dos fluídos

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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
FACULDADE DO MARANHÃO –FACAM
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E PRODUÇÃO 
DISCIPLINA: HIDRÁULICA
PROF: ENGENHEIRO ANDRÉ MATHIAS
• Conservação de Massa (Continuidade)
• Equação da Conservação da Energia
• Equação de Bernoulli
• Exercícios.
TÓPICOS 
Equação da Continuidade
• É a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, 
ao longo de todo o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar 
que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de 
massa:
m1 = m2 = m = cte
Equação da Continuidade
ρ = Δm/V Δm=ρ.V
V = A.Δl
Qm= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v
Equação da Continuidade
• Dadas duas seções do escoamento:
ρAv = constante
Se ρ é constante (não há variação de massa):
A1V1= A2V2
Equação da Continuidade
O que são “Fluidos Ideais”?
 Por definição:
“Escoamento ideal ou escoamento sem atrito, é aquele no qual não
existem tensões de cisalhamento atuando no movimento do fluido”.
O que são “Fluidos Ideais”?
dy
dvx
 De acordo com a lei de Newton, para um fluido em 
movimento esta condição é obtida
- Quando a viscosidade do fluido é nula (ou desprezível):
µ = 0
ou
-Quando os componentes da velocidade do escoamento não mais
exibem variações de grandeza na direção perpendicular ao
componente da velocidade considerada:
= 0
Condições Ideais de Escoamento
Um fluido que quando em escoamento satisfaz 
as condições acima, é chamado de fluido ideal.
Equação da Continuidade
• É a equação que mostra a conservação da massa de líquido 
no conduto, ao longo de todo o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime permanente, 
podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre 
nem acúmulo, nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte
Equação de Bernoulli
•A equação de Bernoulli é um caso 
particular da equação da energia 
aplicada ao escoamento, onde 
adotam-se as seguintes hipóteses:
Equação de Bernoulli
 Escoamento em regime permanente
 Escoamento incompressível
 Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, aquele onde 
a viscosidade é considerada nula, ou aquele que não apresenta 
dissipação de energia ao longo do escoamento
 Escoamento apresentando distribuição uniforme das 
propriedades nas seções
 Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a 
presença de um dispositivo que forneça, ou retira energia do 
fluido
 Escoamento sem troca de calor
Equação de Bernoulli
• A energia presente em um fluido em escoamento sem troca de calor pode ser 
separada em três parcelas:
• Energia de pressão (piezocarga);
• Energia cinética (taquicarga);
• Energia de posição (hipsocarga);
Equação de Bernoulli
⚫ Consideramos um trecho sem derivações, de uma 
instalação hidráulica::
PHR - plano horizontal de 
referência;
Zi - cota da seção i, tomando-se 
como base o eixo do conduto em 
relação ao PHR;
Vi - velocidade média do 
escoamento na seção i;
pi - pressão estática na seção i.
Equação de Bernoulli
⚫ Pela condição do escoamento em regime 
permamente, pode-se afirmar que entre as seções (1) 
e (2) não ocorre, nem acúmulo, nem falta de massa, 
ou seja:
A mesma massa m que atravessa a seção (1), 
atravessa a seção (2).
⚫ Relembrando os conceitos de energia:
⚫ Energia Cinética: 
⚫ Energia Potencial de posição:
⚫ Energia Potencial de Pressão: 
Equação de Bernoulli
⚫ Energia Mecânica Total em uma Seção do 
Escoamento Unidirecional, Incompressível em 
Regime Permanente:
⚫ A energia total representa a somatória da energia 
cinética , energia potencial de posição e energia 
potencial de pressão:
Equação de Bernoulli
⚫ Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime 
Permanente (Hi):
⚫ Pela condição do escoamento se dar em regime permanente 
podemos afirmar que tanto a massa (m), como o peso (G) do 
fluido, que atravessa uma dada seção do escoamento, é 
constante ao longo do mesmo;
⚫ Por este motivo, é comum considerar a energia, ou por 
unidade de massa, ou por unidade de peso do fluido, além 
disto, esta consideração origina uma unidade facilmente 
visualizada: a carga.
Equação de Bernoulli
⚫ Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime Permanente 
(Hi):
⚫ Define-se carga como sendo a relação da energia pelo peso do 
fluido, portanto a carga total em uma seção i (Hi), pode ser 
definida como mostramos a seguir:
Equação de Bernoulli
cinética aargc
2g
v
pressão de aargc
p
potencial aargcz
2
→
→

→
É importante saber que:
Conservação da Energia
( ) ( ) +=
SCVC
Sistema dAun̂dV
dt
d
Dt
DN

⚫ Partindo do Teorema do Transporte de 
Reynolds:
⚫ Para deduzir a formulação para o volume de 
controle da conservação da quantidade de 
movimento, fazemos: e
m
E
EN === 
e
EN
=
=

Conservação da Energia
( ) 





+++





++


=
SC
2
u
VC
2
uSistema
dAnVgz
2
V
edgz
2
V
e
t
DE


Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da 
Energia com 
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e 
saída de Energia 
através da S.C.
Variação da 
Energia no 
Sistema
Conservação da Energia
dWdQdE +=
⚫ Os estados inicial e final de energia de um 
sistema dependem do calor adicionado ou 
retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo 
o sistema:
dQ = Calor agregado ou retirado ao sistema
dW = Trabalho realizado
dE = Variação da Energia
Conservação da Energia
0
dt
dW

dt
dW
dt
dQ
dt
dE
Sistema
+=
⚫ A equação pode ser escrita em termos de 
taxas de energia, calor e trabalho:
Sistema
0
dt
dQ

0
dt
dW
 0
dt
dQ

Conservação da Energia
dt
dQ
⚫ Examinando cada termo:
dt
dW
Condução, convecção e radiação
(considerado como um termo único)
Realizado por um eixo, pressão e tensões
Viscosas (o trabalho das forças gravitacionais
é incluido na energia potencial)
Conservação da Energia
⚫ Trabalho realizado:
dt
dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquina
ex.: bomba, turbina, pistão
dt
dWpressão
Trabalho devido às forças de pressão
VF
dt
ld
Flim
dt
dW
ldFdW 0t
pressão
pressão



=== →
dt
dW .visc
Trabalho devido às forças viscosas
dAV
dt
dW
SC
gtan
.visc

= 
Conservação da Energia
( ) 





++++





++


=+
SC
2
u
VC
2
u
eixo dAnV
p
gz
2
V
edgz
2
V
e
tdt
dW
dt
dQ 



Conservação da Energia em um volume de controle
Variação da 
Energia com 
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e 
saída de Energia 
através da S.C.
Variação da 
Energia no 
Sistema
Casos Especiais
( ) 





++++





++


=+
SC
2
u
VC
2
u
eixo dAnV
p
gz
2
V
edgz
2
V
e
tdt
dW
dt
dQ 



⚫ Escoamento permanente:
0
( ) 





+++=+
SC
2
u
eixo dAnV
p
gz
2
V
e
dt
dW
dt
dQ 


Casos Especiais
⚫ Volume de controle não deformável:
Entrada
Saída
Volume de controle não 
deformável
Taxa de Energia
que sai
Taxa de Energia
que entra
( ) ( ) ( )
entra
2
u
sai
2
u
SC
2
u Q
p
gz
2
V
eQ
p
gz
2
V
edAnV
p
gz
2
V
e 











+++−











+++=





+++ 





Equação de Bernoulli
⚫ Caso particular da Equação da Conservação de 
Energia;
⚫ Aplicada à um tubo de corrente.
Tubo de Corrente (tubo de fluxo)
• No interior de um fluido em 
escoamento existem infinitas 
linhas de corrente definidas por 
suas partículas fluidas
• A superfície constituída pelas 
linhas de corrente formada no 
interior do fluido é denominada 
de tubo de corrente ou veia 
líquida
Equação de Bernoulli
( ) 





+++=+
SC
2
u
eixo dAnV
p
gz
2
V
e
dt
dW
dt
dQ 


⚫ Partindo da Equação da Conservação de 
Energia, considerando escoamento 
permanente:
Equação de Bernoulli
( ) ( )111
1
2
u222
2
2
u
eixo AV
p
gz
2
V
eAV
p
gz
2
V
e
dt
dW
dt
dQ



 






+++−








+++=+
⚫ Em um tubo de corrente não deformável 
(escoamento laminar):
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
1
2
u
2
2
u
eixo pgz
2
V
e
p
gz
2
V
e
dm
dW
dm
dQ








+++−








+++=+

⚫ Dividindo todos os termos por:
⚫ e considerando ρ constante:
dt
dm
AVm == 
( ) ( )111
1
2
u222
2
2
u
eixo AV
p
gz
2
V
eAV
p
gz
2
V
e
dt
dW
dt
dQ



 







+++−








+++=+
Equação de Bernoulli
⚫ Reorganizado a equação:
⚫ Dividindo por g:






−−−+++=++
dm
dW
dm
dQ
eegz
2
Vp
gz
2
Vp eixo
2u1u2
2
2
2
2
1
2
1
1
1







−−−+++=++
dm
dW
dm
dQ
ee
g
1
z
g2
Vp
z
g2
Vp eixo
2u1u2
2
2
2
2
1
2
1
1
1

Altura de 
pressão
Altura de 
velocidade
Cota
Decréscimo líquido na 
energia mecânica do 
sistema (transformado 
em perdas)
Trabalho de um eixo 
por unidade de peso
Equação de Bernoulli
⚫ A equação pode ser escrita em termos de 
cotas:
eixoL21 HHHH −+=
Energia 
em 1
Energia 
em 2
Energia 
Perdida por 
atrito e calor
Energia 
fornecida (+) ou 
retirada (-) por 
um eixo
Equação de Bernoulli modificada
Equação de Bernoulli
⚫ Considerando as seguintes suposições:
⚫ Escoamento permanente e laminar;
⚫ Não há perdas por atrito;
⚫ Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho;
⚫ Não há transformação de calor;
⚫ A energia interna é constante em dois pontos.
Equação de Bernoulli
“A energia ao longo de um tubo de corrente é constante”
constz
g2
Vp
z
g2
Vp
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1 =++=++

cinética aargc
2g
v
pressão de aargc
p
potencial aargcz
2
→
→
→

É importante saber que:
Equação de Bernoulli
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
⚫ Linha de energia
Plano de referência
Plano de Energia
Linha das 
pressões
Sem escoamento
1
2 3
hh h
Energia Total da Água (H)
(Sem escoamento)
Energia Total da Água (H)
(Com escoamento)
Plano de referência
Plano de Energia
Linha das 
pressões
1
2 3
h1
h2 h3
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Energia Total da Água (H)
(estrangulamento da seção)
1
2
3
p2 = h2.
p3 = h3.
h1
V22/2g
V32/2g
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Efeito da perda de carga
A perda ao longo da canalização é uniforme em qualquer trecho
de dimensões constantes, independente da posição da tubulação. A
perda de carga é uma perda de energia do sistema devido a
transformação de Energia Mecânica para Térmica causada pelo atrito
(interno e contato com superfícies sólidas).
Plano de energia
Plano de referência
H Hf
L
Exercício
0,14m³/s de água escoam sem atrito através da expansão indicada na figura ao lado. A 
pressão na seção 1 é igual a 82,74 kPa. Suponha escoamento unidimensional e encontre 
a pressão no ponto 2.
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício
Exercício 
Calcule a força exercida no cotovelo redutor (Vol = 0,5 l) 
devido ao escoamento, para um escoamento permanente 
(Q=20 l/s) e com perdas de energia desprezíveis.
1
2
θ
V1
V2
D1 = 150 mm
D2 = 100 mm
10 cm
65 cm