Geometria Plana - Elementos e Ângulos

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ÍNDICE 
(GEOMETRIA PLANA) 
CAPÍTULO 01- Elementos Primitivos Pag. 06 
CAPÍTULO 02- Triângulos Pag. 14 
CAPÍTULO 03- Quadriláteros Pag. 22 
CAPÍTULO 04- Polígonos Regulares Pag. 28 
CAPÍTULO 05- Ângulos Relacionados a Arcos Pag. 32 
CAPÍTULO 06- Relações Métricas na Circunferência Pag. 39 
CAPÍTULO 07- Teorema de Tales Pag. 42 
CAPÍTULO 08- Semelhança de Triângulos Pag. 44 
CAPÍTULO 09- Relações Métricas no Triângulo Retângulo Pag. 51 
CAPÍTULO 10- Àreas de Figuras Planas Pag. 54 
CAPÍTULO 11- Àreas de Figuras Circulares Pag. 64 
CAPÍTULO 12- Questões de Vestibulares Pag. 70 
GABARITO DAS QUESTÕES Pag. 84 
 
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Capítulo 1 
Elementos Primitivos 
 
1) DEFINIÇÕES DE ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA 
 
1.1) PONTO: É a menor unidade de medida da Geometria. Não existe nada menor do 
que o ponto na Geometria Plana. 
1.2) RETA: É formado por infinitos pontos colineares ( isto é, em uma mesma linha). 
Uma reta não possui origem e destino, portanto é um ente geométrico infinito. 
1.3) PLANO: É formado por infinitas retas e consequentemente é também formado por 
infinitos pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4) SEMI–RETA: É uma reta que possui um ponto de origem mas não possuí um 
ponto de destino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5) SEGMENTO DE RETA: É uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto 
de destino. 
 
 
 
 
 
 
 
P 
Ponto P 
r 
Reta r α 
Plano α 
• 
A 
ABretasemi − 
• 
A 
• 
B ABsegmento 
• 
 
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2) ÂNGULOS 
 
2.1) REGIÃO CONVEXA : Uma região é convexa se, se somente se, o segmento 
determinado por dois pontos quaisquer dessa região estiver contido nela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2) REGIÃO CÔNCAVA: Uma região é côncava se, e somente se, existir algum 
segmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas não esteja contido nela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3) ÂNGULOS 
 
 A união de duas semi-retas distintas não opostas de mesma origem chamamos 
ângulo. Considere as semi-retas PA e PB não colineares da figura. O conjunto união 
dessas duas semi-retas é chamado ângulo. As semi-retas PA e PB são chamadas lados 
desse ângulo. O ponto P é chamado vértice desse ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3.1) EXTERIOR E INTERIOR DE UM ÂNGULO 
 
 Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem) 
determinados pelas retas que contém os lados do ângulo, considere aqueles que não 
contém pontos do ângulo. O conjunto união desses dois semi-planos é chamado exterior 
do ângulo. O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse 
ângulo com seu exterior é chamado interior do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3.2) SEMI-RETA INTERNA A UM ÂNGULO 
 
 Uma semi-reta é interna a um ângulo quando tem origem no vértice do ângulo e 
pontos internos do ângulo pertencem a ele 
 
 2.3.3) ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
 
 Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e têm um lado em 
comum. 
 
 BPA ˆ e CPB ˆ são consecutivos (têm o lado PB comum). Note que neste caso 
eles têm apenas os pontos de um lado comum. 
 TDR ˆ e SDR ˆ são consecutivos (têm o lado RD comum). Note que neste caso 
eles têm também pontos internos em comum. 
 
 
 
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2.3.4) ÂNGULOS ADJACENTES 
 
 Dois ângulos são chamados adjacentes se são consecutivos e não têm pontos 
internos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BPA ˆ e CPB ˆ são adjacentes. 
 BPA ˆ e CPA ˆ são consecutivos e não são adjacentes. 
 
 
 
2.3.5) ÂNGULOS CONGRUENTES 
 
 Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. 
 
 
 
2.3.6) BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
 
 
 É uma semi-reta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3.7) ÂNGULO RETO 
 
 É o ângulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representação é dada por 
duas semi-retas perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3.8) ÂNGULO AGUDO E OBTUSO 
 
 Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo 
agudo e se um ângulo não raso (180o ) for maior que um ângulo reto ele é chamado 
ângulo obtuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3.9) ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES 
 
 Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90º. 
Cada um deles é chamado complemento do outro. 
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180º. 
Cada um deles é chamado suplemento do outro. 
 Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. 
Cada um deles é chamado replemento do outro. 
 
 
 
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2.3.10) ÂNGULOS NULO, COMPLETO, RASO E RETO 
 
 Ângulo nulo é aquele que tem medida igual a 0º. 
 Ângulo completo é aquele que tem medida igual a 360º. 
 Ângulo raso é aquele que tem medida igual a 180o . 
 Ângulo reto é aquele que tem medida igual a 90o . 
 
2.3.11) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
 
 É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , 
possuem a mesma medida. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Q1. Sejam AB e BC segmentos adjacentes e sejam M e N pontos médios de AB e AC, 
respectivamente. Se AB = 4 cm e BC = 10 cm, a medida de MN, em centímetros, é: 
 
a) 2 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
e) 14 
 
Q2. Sejam A, M, B e N pontos colineares nesta ordem. Sabendo que AB = 12 e que 
3==
NB
NA
MB
MA
, a medida de MN é: 
 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 15 
e) 18 
 
Q3. Seja O o ponto médio de um segmento AB e seja M um ponto qualquer situado em um 
dos prolongamentos de segmento AB. Assinale a alternativa VERDADEIRA. 
 
a) )(
2
1 MBMAOM += c) )(
4
1 MBMAOM += e) )(
4
3 MBMAOM += 
b) )(
3
1 MBMAOM+= d) )(
3
2 MBMAOM += 
 
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Q4. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 60o . Se um dos 
ângulos mede 36o, a medida do outro é: 
 
a) 72o 
b) 84o 
c) 86o 
d) 94o 
e) 100o 
 
 
Q5. O suplemento de um ângulo excede o próprio ângulo em 50o . o complemento desse 
ângulo mede em graus: 
 
a) 65 
b) 50 
c) 45 
d) 35 
e) 25 
 
 
Q6. A diferença entre o complemento de um ângulo e a nona parte de seu suplemento é de 
6o . A medida desse ângulo, em graus, é: 
 
a) 36 
b) 45 
c) 67 
d) 72 
e) 80 
 
 
Q7. (UFMG) Na figura, ECAEEDBE ⊥⊥ , e =DEA ˆ 144o . O ângulo CEB ˆ , em graus, mede; 
 
a) 30o 
b) 32o 
c) 34o 
d) 36o 
e) 54o 
 
 
 
 
 
 
 
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Q8. Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes sentenças. 
 
a) ( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes. 
b) ( ) Dois ângulos adjacentes são consecutivos. 
c) ( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice. 
d) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes. 
e) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos 
f) ( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes. 
g) ( ) Dois ângulos complementares são adjacentes 
h) ( ) Dois ângulos adjacentes são complementares 
i) ( ) Os ângulos de medida 10o, 20o e 60o são complementares 
j) ( ) Os ângulos de medidas 30o, 60o, 90o são suplementares 
 
Q9. O suplemento de um ângulo excede este ângulo em 120o . Determine este ângulo. 
 
Q10. O complemento da terça parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em 
30o . Determine esse ângulo. 
 
Q11. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do 
complemento desse ângulo. Determine esse ângulo. 
 
Q12. O suplemento do complemento de um ângulo excede a terça parte do complemento do 
dobro desse ângulo em 85o . Determine esse ângulo. 
 
Q13. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento 
do outro, nesta ordem, é 1/8 . Determine esses ângulos. 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 
 
Triângulos 
 
1) DEFINIÇÃO 
 
Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta ( não alinhados ou não colineares ) 
a união dos segmentos BCeACAB, chamamos triângulo ABC e indicamos por ABC∆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VÉRTICES : são os pontos A, B e C 
 
LADOS: são os segmentos BCeACAB, 
 
ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos BCAeCBACAB ˆˆ,ˆ 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS EXTERNOS: Os ângulos adjacentes 
suplementares dos ângulos internos de um triângulo. 
 γβα e, são ângulos externos do triângulo 
 
Perímetro: é a soma das medidas dos lados. 
 
 2p = a+ b+ c ( perímetro ) 
 
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3) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 
 
3.1) QUANTO AOS LADOS 
 
 Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. 
 Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. 
 Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. 
 
3.2) QUANTO AOS ÂNGULOS 
 
 Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. 
 Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. 
 Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso. 
 
4) MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA E MEDIATRIZ 
 
4.1) Mediana : É o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado 
oposto a esse vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� AM é a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vértice A. 
� As três medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto G que é chamado 
baricentro do triângulo. 
� Propriedade do BARICENTRO: 
“O baricentro divide cada mediana na proporção 2 : 1” 
 
4.2) Bissetriz: É o segmento contido na bissetriz de um ângulo interno do triângulo, cujas 
extremidades são um vértice e o ponto de intercecção da bissetriz com o lado oposto. 
 
 
 
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� AS é a bissetriz relativa ao lado BC ou bissetriz relativa ao vértice A. 
� As três bissetrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto O que é chamado 
incentro do triângulo. 
� Propriedade do INCENTRO: 
“O incentro é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo” 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3) Altura : É o segmento contido numa reta perpendicular, por um vértice, à reta que 
contém o lado posto a esse vértice, cujas extremidades são esse vértice e o ponto de 
intersecção dessas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� AH é a altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vértice A. 
� As três alturas de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado 
ortocentro do triângulo. 
� Propriedade do ORTOCENTRO: 
“O ortocentro é o vértice do ângulo reto no triângulo retângulo” 
 
4.4) Mediatriz: É a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto médio. 
 
� As três mediatrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado 
circuncentro do triângulo. 
� Propriedade do CIRCUNCENTRO: 
“O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao 
triângulo” 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) SOMA DOS ÂNGULOS DO TRIÂNGULO. 
 
5.1) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o”. 
 
 Conseqüência: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. 
 
5.2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
 “A soma dos ângulos externos de um triângulo, é igual a soma dos dois 
ângulos internos opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
� Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. 
� Em um triângulo equilátero os seus ângulos são congruentes e iguais a 60o . 
 
 
Ângulos de Duas Paralelas Cortadas por uma Transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e ( d e e) � esses pares de ângulos são congruentes. 
ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e ( c e h) � esses pares de ângulos são congruentes. 
COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e ( d e f) � esses pares de ângulos são suplementares. 
COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g) � esses pares de ângulos são 
suplementares. 
CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) � esses pares de ângulos são 
congruentes. 
 
 
Dadasduas retas r e s paralelas cortadas por 
uma transversal, os ângulos determinados por 
elas são assim determinados: 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Observe a figura. Nela, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus é: 
 
a) 110o 
b) 120o 
c) 130o 
d) 140o 
e) 150o 
 
 
Q2. (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. a 
medida, em graus, do ângulo α é: 
 
a) 36o 
b) 32o 
c) 24o 
d) 20o 
e) 18o 
 
 
Q3. (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: 
 
a) 20o 
b) 80o 
c) 100o 
d) 120o 
e) 130o 
 
 
 
Q4. O ângulo B, no vértice de um triângulo isósceles ABC, é metade do ângulo A. A medida 
do ângulo C, em graus, é: 
 
a) 30o 
b) 36o 
c) 45o 
d) 60o 
e) 72o 
 
 
 
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Q5. (UFMG) Na figura, BD é bissetriz de CBA ˆ , BCE ˆ = 2 )ˆ( BAE e a medida do ângulo BCE ˆ é 
80o . A medida do ângulo BDC ˆ é: 
 
a) 40o 
b) 50o 
c) 55o 
d) 60o 
e) 65o 
 
Q6. (UFMG) Na figura, AC = CB = BD = e  = 25o . O ângulo x mede: 
 
a) 50o 
b) 60o 
c) 70o 
d) 75o 
e) 80o 
 
 
Q7. (UFMG) Observe a figura. Nessa Figura, AD = DB, =Cˆ 60o e DÂC é o dobro de Bˆ . A 
razão AC/BC é igual a: 
 
a) 1/3 
b) 1/2 
c) 33 
d) 22 
d) 3/2 
 
Q8. Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 20o . O ângulo formado pela bissetriz 
do ângulo reto com a mediana relativa à hipotenusa mede, em graus: 
 
a) 22o30’ 
b) 25o 
c) 20o 
d) 30o 
e) 40o 
 
Q9. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo interno Cˆ mede 6pi radianos. Se a bissetriz 
interna do ângulo A corta o lado BC no ponto D tal que AD = DC, então o ângulo interno b 
mede: 
 
a) pi /2 c) pi /6 e) n.d.a 
b) pi /3 d) pi /4 
A 
B D C 
 
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Q10. Num triângulo retângulo, as bissetrizes dos ângulos agudos se interceptam formando 
um ângulo obtuso de: 
 
a) 100o 
b) 120o 
c) 130o 
d) 135o 
e) 150o 
 
Q11. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo  mede pi /7 radianos. A medida do ângulo 
agudo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos CeB ˆˆ , em radianos é: 
 
a) pi /7 
b) 2pi /7 
c) 3pi /7 
d) 4pi /7 
e) 5pi /7 
 
Q12. (UFMG) Num triângulo ABC, tem-se : AB = AC e  = 124o 22’ 50”. O ângulo Bˆ mede: 
 
a) 27o 18’ 5” 
b) 27o 47’ 35” 
c) 27o 48’ 5” 
d) 27o 48’ 25” 
e) 27o 48’ 35” 
 
Q13. Observe a figura. Nela os triângulos são formados com os prolongamentos dos lados 
do heptágono, não regular, ABCDEFG. A soma A1+A2+ ... + A14, em graus mede: 
 
a) 180o 
b) 240o 
c) 360o 
d) 540o 
 
 
 
Q14. Observe a figura. Nela AB = AC e AD = DE = EF = FB = BC. A medida do ângulo Â, em 
graus é: 
 
a) 20º 
b) 30o 
c) 36o 
d) 45o 
e) 60o 
 
 
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Q15. Num triângulo ABC, escaleno, AB = 3m, BC = 5m e o perímetro, em metros, é um 
número inteiro. A soma dos possíveis valores do lado AC é: 
 
a) 35 
b) 27 
c) 25 
d) 17 
e) 15 
 
Q16. Um Triângulo escaleno ABC tem os lados AB=6, AC=10 e o lado BC é medido por um 
número inteiro. Sendo  o maior ângulo do triângulo. A diferença entre a maior e a menor 
medida do lado BC é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
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Capítulo 3 
 
Quadriláteros 
 
2) DEFINIÇÃO 
 
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não 
alinhados), de modo que os segmentos ADeCDBCAB ,, interceptam-se apenas nas 
extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. 
 
1.1) PROPRIEDADES DE UM QUADRILÁTERO 
 
 
� “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360o “ 
� “A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360o 
 
 
1.2) TRAPÉZIO 
 
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. 
Os lados paralelos são chamados de bases. 
 
1.2.1) CLASSIFICAÇÃO DO TRAPÉZIO 
 
� TRAPÉZIO ISÓSCELES: é o trapézio cujos lados que não são bases são 
congruentes. 
 
� TRAPÉZIO ESCALENO: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são 
congruentes 
 
� TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular 
às bases e o outro oblíquo às bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3) PARALELOGRAMO 
 
Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Q1. No paralelogramo ABCD da figura, CBA ˆ é o dobro de DMA ˆ e AM = MB. Se o perímetro 
de ABCD é 24 cm, então o lado BC, em centímetros, é: 
 
a) 4 cm 
b) 5 cm 
c) 6 cm 
d) 8 cm 
e) 9 cm 
 
Q2. (UNESP) Considere as seguintes proposições: 
 
� todo quadrado é um losango 
� todo retângulo é um paralelogramo 
� todo quadrado é um retângulo 
� todo triângulo equilátero é isósceles 
 
Pode-se afirmar que: 
 
a) só uma é verdadeira b) todas são verdadeiras c) só uma é falsa 
d) duas são verdadeiras e) todas são falsas 
 
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Q3. (UFMG) Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. Seja R o conjunto de todos os 
retângulos. Seja L o conjunto de todos os losangos. Seja Q o conjunto de todos os 
quadrados. Marque a alternativa ERRADA. 
 
a) PR ⊂ 
b) PL ⊂ 
c) QLR =∩ 
d) =− RQ ∅ 
e) PLR =∪ 
 
Q4. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor em graus de βα + é: 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
Q5. Na figura, ABCD é um quadrado e DCE um triângulo equilátero. A medida do ângulo 
BEA ˆ , em graus é: 
 
a) 150 
b) 120 
c) 110 
d) 75 
 
Q6. Observe a figura. Nela ABCD é um retângulo e o triângulo DEC é equilátero. Se AB = 12 
cm, então , o segmento EF, em centímetros, mede 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
Q7. Num quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BC medem, respectivamente, 12 
cm e 8 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, obtemos um novo 
quadriláterocujo perímetro, em centímetros, é: 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 24 
 
 
 
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Q8. Na figura. M e N são pontos médios de AB e AC, respectivamente. Assinale a afirmativa 
FALSA. 
 
a) MN // BC 
b) AC + BC = 2 CM 
c) BC = 2 MN 
d) PC = 2PM 
e) PB = 2 PN 
 
Q9. Na figura abaixo, o ponto Q é médio de AB, e o segmento PQ é paralelo ao lado BC. 
Sendo AC = 30, a medida do segmento PM é: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
Q10. (UFMG) NA figura, ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de DC. 
Se 6=AM , a medida de AO, em cm, é: 
 
a) 3
4
3
 
b) 6
9
5
 
c) 6
3
2
 
d) 6
9
7
 
e) 2 
 
Q11. Observe a figura abaixo. Nela, AB = 3 cm, AC = 9 cm, retoADBCÂDBÂD 1ˆ, == ,e M é 
ponto médio de BC. O valor do segmento DM, em centímetros é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
 
 
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Q12. Na figura, ABCD é um paralelogramo, EF ⊥ AD e AE = ED. Se BÂF = 40o, então DCB ˆ , 
em graus, mede: 
 
a) 100o 
b) 110o 
c) 120o 
d) 130o 
 
 
 
 
Q13. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de Dˆ e é perpendicular a BC. O ângulo x 
mede: 
 
a) 30o 
b) 35o 
c) 40o 
d) 45o 
e) 50o 
 
 
 
Q14 (FUVEST) No trapézio ARTP da figura, RB e AB estão contidos nas bissetrizes de R e 
A. Se B = 70o , o valor de P + T é: 
 
 
a) 140o 
b) 130o 
c) 120o 
d) 110o 
e) 100o 
 
 
 
Q15. (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, com AB // DC, AD = BC. A diagonal AC é 
perpendicular ao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio são a metade dos seus ângulos 
obtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm. É: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
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Q16. Na figura, M e P são , respectivamente, pontos médios de AB e MB. Se MN = 8, PQ 
mede: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 16 
d) 18 
e) 24 
 
 
 
Q17. (FAAP) No trapézio abaixo, o segmento MN que une os pontos médios M e N das 
diagonais e a base AB têm ambos 7 cm de comprimento. Calcular o comprimento l da base 
DC. 
 
a) 7 
b) 10 
c) 12 
d) 21 
 
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Capítulo 4 
Polígonos Quaisquer e Polígonos regulares 
 
1) DEFINIÇÃO 
 
Um polígono simples é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por 
dois vértices consecutivos quaisquer deixa todas os demais (n-2) vértices num mesmo 
semiplano dos dois que ela determina. Se um polígono não é polígono convexo, diremos que 
ele é um plano côncavo. 
 
1.1) NOMENCLATURA 
 
 De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem 
nomes especiais. Isto é: 
 
 
Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados 
 
 
1.2) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados 
é dada pela expressão a seguir: 
 
onSi 180)2( −=
 
 
 
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1.3) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
 
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados 
é dada por: 
 
 
oSe 360=
 
 
 
1.4) NÚMERO DE DIAGONAIS 
 
O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela 
expressão a seguir: 
 
 
2
)3( −
=
nnd
 
 
 
2) POLÍGONOS REGULARES 
 
Quando se trata de polígonos regulares podemos verificar as seguintes definições: 
 
 
 
2.1) Ângulo Interno ( Ai ) e Ângulo Externo ( Ae ) 
 
 Como um polígono regular de n lados tem n ângulos internos congruentes entre 
si, temos: 
 
 
 
 
n
n
n
SiAi
o180)2( −
==
 e 
nn
SeAe
o360
==
 
 
 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Q1. Se em um polígono convexo, o número de diagonais é quatro vezes o número de lados, 
então, a quantidade de ângulos retos que cabem na soma de seus ângulos internos, é: 
 
a) 9 
b) 11 
c) 12 
d) 16 
e) 18 
 
Q2. De um dos vértices de um polígono convexo podemos conduzir, no máximo 9 diagonais. 
A soma de seus ângulos internos, em graus, é: 
 
a) 720o 
b) 1080o 
c) 1440o 
d) 1800o 
e) 2160o 
 
Q3. O número de lados de dois polígonos convexos são números pares consecutivos e um 
deles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do número de lados desse 
polígono é: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
Q4. (PUC-MG) Qual polígono regular possui ângulo interno de 108o ? 
 
a) Pentágono 
b) Hexágono 
c) Heptágono 
d) Octógono 
e) Dodecágono 
 
Q5. (PUC) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um 
polígono regular de 20 lados, em graus, é: 
 
a) 80 
b) 72 
c) 36 
d) 20 
e) 18 
 
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Q6. Dados dois polígonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que um 
dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q7. Três polígonos convexos têm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700o a soma 
de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q8. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-3, n, n+3. 
Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todos 
os seus ângulos internos vale 3240o . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q9. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos, 
sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o 
polígono com maior número de diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 5 
 
Ângulos Relacionados a Arcos 
 
3) DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
CORDA: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. 
DIÂMETRO: Qualquer corda que passapelo centro de uma circunferência. 
ARCO: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois 
quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos arcos. 
 
 
4) ÂNGULO CENTRAL 
 
Dada uma circunferência de centro O, ângulo central é qualquer ângulo que tem 
vértice em O 
 
AÔB é ângulo central 
 
Os lados do ângulo central determinam na 
circunferência dois pontos, no caso, A e B. A medida do 
menor arco AB já foi definida como a medida do ângulo 
AÔB. 
 
Então, sendo a a medida do arco AB, sabemos que a é 
também a medida de AÔB. 
 
A medida do ângulo central é igual a medida do arco 
compreendido entre seus lados: 
 
m(AÔB) = m(AB) 
 
Para simplificar: AÔB = a 
 
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3) ÂNGULO INSCRITO 
 
Dada uma circunferência, dizemos que um ângulo é inscrito nessa circunferência se o 
seu vértice é um ponto dela e os seus lados contém, cada um deles, uma corda. 
 
 
 
 
 
α = 
2
AB
 
 
 
 
 
4) ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR 
 
 
 
 
 α=
2
CDAB +
 
 
 
 
 
A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidas 
dos arcos determinados pelo seus lados 
 
5) ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR 
 
 
 
 
 α = 
2
CDAB −
 
 
 
 
 
 
A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semi-diferença dos 
arcos determinados pelo seus lados. 
O 
C 
B 
V 
α 
D A 
C 
B 
V α 
D 
A 
 
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6) ÂNGULO DE SEGMENTO 
 
 
α = 
2
AB
 
 
 
 
 
 
 
A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado. 
 
7) SEGMENTOS TANGENTES 
 
Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma 
circunferência, com A e B na circunferência então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO 
 
Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados 
são tangentes à circunferência. Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma 
circunferência, a soma de dois dos seus lados opostos é igual à soma dos outros dois 
lados. 
 
 
 Logo AB+CD = AD + BC 
O 
A 
α 
V = B 
PA = PB. 
 
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Q1. Observe a figura. Nela AB = OD e  = 25º . Sabendo que O é o centro da circunferência 
a medida de EBC ˆ , em graus, é: 
 
f) 30o 
g) 37o 30’ 
h) 45o 
i) 60o 
j) 75o 
 
 
Q2. Observe a figura. Nela, A, B e C são pontos da circunferência de centro O. Sabendo que, 
aOÂC = , bCBO =ˆ , cBCA =ˆ , podemos afirmar que 
 
f) a = b + c 
g) b = a + c 
h) c = a + b 
i) 2b = a - c 
j) 2a = b - c 
 
 
Q3. Observe a figura. Nela A, B, C ,D e E são pontos da circunferência de centro O, 
=APE ˆ 25o e AO = PD. Medida de EBD ˆ , em graus é: 
 
f) 25o 
g) 30o 
h) 35o 
i) 40o 
j) 45o 
 
 
Q4. Na figura AB e CD são respectivamente os lados do quadrado e triângulo equilátero 
inscrito no círculo. A diferença βα − , em graus, é: 
 
f) 85o 
g) 95o 
h) 100o 
i) 105o 
j) 80o 
 
 
 
 
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Q5. Numa circunfer6encia de centro O, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo 
equilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência não coincidente com os demais. Sobre 
a medida x do ângulo CDA ˆ , podemos afirmar que 
 
f) 60o 
g) 120o 
h) 60o ou 120o 
i) 45o 
j) 45o ou 150o 
 
 
 
Q6. Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC. Seu lado BC igual ao raio da 
circunferência. O ângulo CAB ˆ mede: 
 
a) 15o 
b) 30o 
c) 36o 
d) 45o 
e) 60o 
 
 
Q7. Na figura temos O como o centro do círculo, AB = AC , BH = HC e AM = MC. A relação 
α e β é: 
 
a) 
2
β
α = 
b) βα 2= 
c) βα = 
d) 
3
β
α = 
e) =+ βα 90o 
 
 
Q8. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Se EDA ˆ = 40o 
e ECD ˆ = 50o , então a medida do ângulo DÂE, em graus é: 
 
a) 10o 
b) 20o 
c) 30o 
d) 40o 
e) 50o 
 
 
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Q9. Na figura, O é o centro de uma circunferência cujo raio é igual a PA.. O ângulo central x 
mede: 
 
k) 80o 
l) 40o 
m) 35o 
n) 30o 
o) 20o 
 
 
Q10. Na figura abaixo, AP é tangente e AB é secante à circunferência. Se o arco b = 100o e 
 = 50o, a medida do arco a, em graus, é igual a: 
 
k) 50o 
l) 60o 
m) 65o 
n) 75o 
o) 80o 
 
 
 
 
Q11. Na figura, α=BPA ˆ e θ=BEA ˆ . O ângulo PÂD = x, em função de θα e , é: 
 
k) 
2
2 αθ −
 
l) 
2
αθ −
 
m) 
3
αθ +
 
n) αθ + 
 
 
Q12. Observe a figura. Nela, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de centro 
O. Se =CDA ˆ 112o , a medida de CBE ˆ é: 
 
k) 68o 
l) 72o 
m) 108o 
n) 112o 
o) 120o 
 
 
 
 
 
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Q13. Observe a figura. Nessa figura D é um ponto da circunferência de centro C e diâmetro 
AB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN em 
função do diâmetro AB é: 
 
k) 
5
AB
 
l) AB
5
2
 
m) 
4
AB
 
n) 
3
AB
 
o) 
2
AB
 
 
 
 
Q14. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC = 
8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. A medida de MB é: 
 
f) 5 cm 
g) 5,5 cm 
h) 6 cm 
i) 6,5 cm 
j) 7 cm 
 
 
 
 
Q15. Se AB = 10 cm, então o perímetro hachurado vale (E, B e T são pontos de tangência) 
 
f) 10 cm 
g) 15 cm 
h) 20 cm 
i) 30 cm 
j) N.D.A 
 
 
 
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Capítulo 6 
 
Relações Métricas na Circunferência 
 
 
1) Relação entre duas cordas – Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, 
o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao 
produto das medidas dos segmentos determinadossobre a outra. 
 
 
 
PDPCPBPA ⋅=⋅
 
 
 
 
 
 
2) Relação métrica das secantes– Quando duas secantes se cortam externamente a um 
círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual 
ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa. 
 
 
 
PDPCPBPA ⋅=⋅
 
 
 
 
 
 
3) Relação métrica entre secante e tangente – Quando, de um ponto exterior, traçamos 
uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional 
entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa. 
 
 
 
 
PCPBPA 2 ⋅=
 em que t ⊥ OA 
 
 
 
 
 
A D 
C B 
P 
O 
A B 
C 
D 
P 
O 
t 
C 
B 
P 
O 
A 
R 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Observe a figura. Nela DP > PC, AP = 9 cm, BP = 4 cm e CD = 15 cm. O comprimento 
de segmento DP, em cm, é: 
 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
e) 14 
 
 
Q2. Observe a figura. Nela , O é o centro do círculo, OC = 5 cm, AB = 12 cm e BC = 2 cm. O 
raio do círculo, em centímetros, é: 
 
a) 53 
b) 63 
c) 33 
d) 35 
e) 6 
 
 
Q3. Observe a figura. Nela C é o centro da circunferência, AB = 10 cm, PB = 8 cm e PC = 16 
cm. O raio da circunferência, em centímetros, mede: 
 
a) 10 
b) 11 
c) 74 
d) 36 
 
 
 
 
Q4. Ne figura, AB é tangente ao círculo e AE é secante passando pelo centro C. Se AB = 15 
cm e AD = 9 cm, então o raio do círculo, em cm, mede; 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
 
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Q5. Na figura, o diâmetro AB é perpendicular à corda CD no ponto E. Se AE x EB = 2, então 
a corda CD mede: 
 
p) 2 
q) 2 
r) 5 
s) 8 
t) N.R.A. 
 
Q6. Numa circunferência de raio 13 metros, traça-se uma corda de 24 metros. A distância da 
corda ao centro da circunferência é, em metros: 
 
a) 5 
b) 8 
c) 11 
d) 20 
e) 25 
 
Q7. Na figura, PB = 25 cm e BC = 144 cm. Se PA é tangente à circunferência, então PA 
mede: 
 
a) 13 
b) 50 
c) 60 
d) 65 
e) 70 
 
Q8. Na figura, O é o centro da circunferência; AB = a, AC = b e AO = x. O valor de x, em 
função de a e b, é: 
 
a) 
2
ba +
 
b) ba − 
c) 222 ba − 
d) 
22
2 b
b
a
− 
e) é impossível calcular por falta de dados 
 
 
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Capítulo 7 
 
Teorema de Talles 
 
1) DEFINIÇÕES 
 
• Feixe de Paralelas : É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano 
( coplanares ) paralelas entre si. 
• Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre 
com todas as retas do feixe. 
• Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que 
estão numa mesma reta do feixe. 
• Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas 
extremidades são os respectivos pontos correspondentes. 
 
 
2) TEOREMA DE TALLES 
 
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois 
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos 
correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que: 
 
...
''''''''
====
DA
AD
DC
CD
CB
BC
BA
AB
ou seja, os segmentos correspondentes formam um proporção. 
 
 
 
 
A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes 
 
AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e 
DF = x+3. A medida de x, em centímetros é 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
e) 9 
 
 
 
Q2. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF = 6 
cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é: 
 
a) 4,8 
b) 6 
c) 7,2 
d) 8,8 
e) 9,6 
 
 
 
Q3. Os triângulos ABE e ACD são retângulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se que 
AB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD é: 
 
a) 7 cm 
b) 
4
15
cm 
c) 
3
20
cm 
d) 
5
15
cm 
e) N.D.A 
 
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Capítulo 8 
 
Semelhança de Triângulos 
 
1) DEFINIÇÕES 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados homólogos ( correspondentes ) proporcionais. 
Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos 
são opostos a ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) RAZÃO DE SEMELHANÇA 
 
Sendo k a razão entre os lados homólogos, k
c
c
b
b
a
a
===
'''
, k é chamado razão de 
semelhança dos triângulos. 
 
Se k = 1, os triângulos são congruentes. 
 
3) CASOS OU CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA. 
• 1O CASO (AA) 
Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são 
semelhantes. 
 
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• 2O CASO (LAL) 
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os 
ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
• 3O CASO (LLL) 
Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. 
 
4) CONSEQUÊNCIAS DOS CASOS DE SEMELHANÇA: 
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: 
• A razão entre lados homólogos é k; 
• A razão entre os perímetros é k; 
• A razão entre as alturas homólogas é k; 
• A razão entre as medianas homólogas é k; 
• A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k; 
• A razão entre os raios dos círculos inscritos é k; 
• A razão entre os raio dos círculos circunscritos é k; 
• A razão entre dois elementos lineares homólogos é k; 
E os ângulos homólogos são congruentes. 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Os lados de um triângulo ABC são AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC = 20 cm. Se AM = 3 
cm, MN // AC e MP // BC, o perímetro do paralelogramo MNCP, em centímetros é: 
 
a) 26 
b) 30 
c) 32 
d) 36 
e) 40Q2. Se a altura de um triângulo escaleno é 10,2 metros, o baricentro dista da base: 
 
a) 2,5 m 
b) 5,1 m 
c) 3,6 m 
d) 3,7 m 
e) 3,4 m 
 
Q3. Na figura AC // BD e BC // DE. Então: 
 
a) ))(3( OEOAOB = 
b) 
2
OEOAOB += 
c) ))((2 OEOAOB = 
d) ))(( OEOAOB = 
e) ))(( OEOAOB = 
 
 
Q4. Num triângulo ABC, AB = 6 cm e BC = 3 cm. Se a bissetriz NA determina sobre o lado 
BC o segmento BN =1,8 cm, a medida do lado AC, em centímetros, é: 
 
a) 1,2 
b) 3,8 
c) 4 
d) 4,2 
e) 5,6 
 
 
 
 
 
 
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Q5. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A determina sobre o 
lado BC, que mede 22 cm. Segmentos de 12 cm e 10 cm. Calcule os outros dois lados do 
triângulo. 
 
a) 28 e 38 
b) 26 e 40 
c) 22 e 44 
d) 30 e 36 
e) n.d.a 
 
Q6. Num triângulo isósceles ABC, de 15 cm de perímetro, a base AC = 3 cm. Se AM e AN 
são respectivamente, mediana e bissetriz, então, o segmento MN, em centímetros, mede; 
 
a) 1 
b) 1,6 
c) 2 
d) 2,4 
e) n.d.a 
 
 
Q7. Na figura, os ângulos assinalados são retos, temos, necessariamente, 
 
a) 
m
p
y
x
= 
b) 
p
m
y
x
= 
c) pmxy = 
d) 2222 mpyx +=+ 
e) 
pmyx
1111
+=+ 
 
Q8. Na figura ABCD é paralelogramo BE é perpendicular a CD e BF é perpendicular a CD. 
Se BE = 12 , BF = 6 e BC = 8, então AB mede: 
 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
 
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Q9. O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC 
= 8 cm e AC = 6 m, o lado l do losango mede: 
 
a) 5 m 
b) 3 m 
c) 2 m 
d) 4 m 
e) 8 m 
 
 
 
Q10. No paralelogramo ABCD da figura, AB = 34 m, AD = 3 m e BM = 2 m. O segmento CN 
mede: 
 
a) 
2
3
 
b) 3 
c) 32 
d) 
2
35
 
e) 33 
 
 
 
Q11. Na figura ADEF é um quadrado e ABC, um triângulo cujos catetos AB e AC mede 1 cm 
e 3 cm , respectivamente. O lado do quadrado, em cm , é: 
 
a) 
4
1
 
b) 
3
1
 
c) 
2
1
 
d) 
4
3
 
e) 
3
2
 
 
 
 
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Q12. No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dos 
trapézios ABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que a 
medida de MN, em cm, é: 
 
a) 16 
b) 24 
c) 28 
d) 36 
e) 48 
 
 
 
Q13. Na pirâmide regular de base quadrada da figura, M é o ponto médio de DE, CM 
pertence ao plano da base, CM é perpendicular a DE e AB é perpendicular a CM. Se DE = 
200 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, então a altura da pirâmide, em metros é: 
 
a) 150 
b) 145 
c) 140 
d) 135 
e) 130 
 
 
 
Q14. Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e 
BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é: 
 
a) 22 
b) 21 
c) 24 
d) 23 
 
 
 
Q15. O triângulo ABC da figura ( BC = 3m ) sofre um deslocamento lateral de 2 m ocupando 
a posição do triângulo A’B’C’. Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16 cm, então o 
perímetro do triângulo B’CD é em metros: 
 
a) 16 
b) 16/3 
c) 8 
d) 6 
e) 4/3 
 
 
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Q16. O triângulo ABC é equilátero, AD=DE=EF=FB, DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI+= 18. O 
perímetro do triângulo ABC é: 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 54 
 
Q17. O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE : 
 
a) 76/11 
b) 78/11 
c) 80/11 
d) 77/11 
e) 79/11 
 
Q18. Na figura, CD = 30 e a razão entre os raios CP = R e QD = r é 5. Sendo A e B pontos 
de tangência, então, MD é: 
 
a) 1/6 
b) 1/5 
c) 5 
d) 6 
e) 15 
 
Q19. Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm centro na altura relativa à base do triângulo 
isósceles da figura e são tangentes exteriormente. A altura do triângulo relativa à base, em 
centímetros, é: 
 
a) 16 
b) 26 
c) 30 
d) 32 
e) 36 
 
 
 
Q20. O lado do quadrado inscrito no triângulo ABC de base AC = 8 m e altura BH = 2 m é: 
 
a) 1 m 
b) 1,2 m 
c) 1,5 m 
d) 1,6 m 
 
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Capítulo 9 
 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
5) ELEMENTOS 
 
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, 
com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
Com base nas semelhanças dos triângulos abaixo e com os elementos já caracterizados 
acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
1) b2 = n a 
2) c2 = a m 
3) h2 = m n 
4) b c = a h 
5) Teorema de Pitágoras : a2 = b2 + c2 
 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Um triângulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa com a altura 
relativa a ela é: 
 
a) 2,4 
b) 5 
c) 5,2 
d) 7,4 
e) 8 
 
 
Q2. Em um trapézio isósceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O valor 
da diagonal, em metros, é: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 11 
d) 13 
e) 15 
 
 
Q3. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. 
Então, um dos ângulos agudos vale; 
 
a) 75o 
b) 60o 
c) 45o 
d) 15o 
e) 10o 
 
 
Q4. Uma folha de papel quadrada ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o 
ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é: 
 
a) 0,3 
b) 0,325 
c) 0,375 
d) 0,45 
e) 0,5 
 
 
 
 
 
 
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Q5. Na figura, OAB, OBC e OCD são triângulos retângulos em A, B e C, respectivamente e 
AO = AB = BC = CD = 1. o segmento OD mede: 
 
a) 2 m 
b) 3 m 
c) 2 m 
d) 5 m 
e) 4 m 
 
Q6. Essa figura representa um trecho retilíneo de estrada entre os quilômetros 148 e 150. Os 
pontos A e B representam duas escolas que estão a uma distância de 200 m e 100 m, 
respectivamente da estrada. A quantos metros do quilômetro 148 deve ser construída uma 
passarela que seja eqüidistante das duas escolas? 
 
a) 500 
b) 800 
c) 850,3 
d) 992,5 
e) 1000 
 
Q7. Se as medidas, em metros, das diagonais de um losangosão a e b, então a medida do 
raio do círculo inscrito nesse losango é, em metros: 
 
a) 
222 ba
ab
+
 b)
22 ba
ab
+
 c)
22
22
ba
ba
+
 d) 
22
2
ba
ab
+
 e) 
22
222
ba
ba
+
 
 
Q8. No triângulo retângulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e b/c = 2. A altura AH 
mede: 
 
a) 1 
b) 6/5 
c) 7/5 
d) 8/5 
e) 9/5 
 
Q10. Observe a figura. No triângulo retângulo isósceles ABC, Â é o ângulo reto. O ponto D 
pertence à reta AB. Se CD = 13 cm e BC = 22 cm, a medida do segmento BD em cm é: 
 
a) 1 
b) 3/2 
c) 2 
d) 21 
e) 5 
 
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Capítulo 10 
 
Áreas de figuras planas 
 
7) INTRODUÇÃO 
 
Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se 
conceituar áreas é vista em um curso de terceiro grau. 
Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiões 
poligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polígono estaremos 
querendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em diante, área 
da região poligonal que ele determina. 
 
8) ÁREA DO TRIÂNGULO 
 
A área do triângulo é dada pela formula: 
 
 
 
2
ALTURAxBASE
 
 
 
 
Veja as figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, é importante saber que qualquer 
lado do triângulo pode ser tomado como 
base, desde que se utilize a altura 
relativa ao respectivo lado na aplicação 
da fórmula 
 
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3) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO 
 
Caso seja fornecido apenas dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido por estes 
lados, podemos calcular a sua área pelas expressões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS 
 
Caso seja fornecido apenas os lados do triângulo, a sua área pode ser calculada através da fórmula de HERÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
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4) CÁLCULO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA 
 
4.1) Circunferência inscrita 
 
 Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices 
do triângulo, este fica decomposto nos triângulos BIC, AIC e AIB. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) ÁREA DO PARALELOGRAMO 
 
A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula: 
 
 
ALTURAxBASE 
 
 
 
Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no 
paralelogramo qualquer lado pode ser tomado como base. 
A altura será a distância desse lado ao lado oposto. 
‘ 
 
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6) ÁREAS DOS PARALELOGRAMOS NOTÁVEIS 
 
Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também 
são dadas pela fórmula: 
 
 
 
 
 
ALTURAxBASE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porém, como as diagonais do losângo são perpendiculares, é possível expressar sua área 
em função de suas diagonais. 
 
 
 
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7) ÁREAS DO TRAPÉZIO 
 
A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula: 
 
 
2
)( ALTURAxMENORBASEMAIORBASE +
 
 
Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Q1. Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. Sabendo-se que AE = 4 cm e EB = 2 cm, a 
área do quadrado EFGH é: 
 
a) 4 cm2 
b) 12 cm2 
c) 16 cm2 
d) 18 cm2 
e) 20 cm2 
 
Q2. Observe a figura. Nessa figura, está representado um canteiro retangular de 6 metros de 
largura por 10 metros de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se a 
área do passeio é de 36 m2 a medida de sua largura é: 
 
a) 1 
b) 0,5 
c) 2 
d) 1,5 
 
 
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Q3. Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB é perpendicular a AD, BC é 
perpendicular a CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno 
é: 
 
f) 1500 m2 
g) 1600 m2 
h) 1700 m2 
i) 1800 m2 
j) 2000 m2 
 
 
Q4. Lucas, proprietário do terreno sombreado na figura, cujo preço era de R$ 1000,00 o 
metro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa região onde o metro 
quadrado valia R$ 900,00. A área do novo terreno é de: 
 
e) 3600 m2 
f) 9000 m2 
g) 12600 m2 
h) 14000 m2 
i) 16200 m2 
 
 
 
Q5. A área do paralelogramo ABCD é a. Então a área de um triângulo ABE, onde E pertence 
à reta suporte de DC é: 
 
a) a/4 
b) a/3 
c) a/2 
d) 2a/3 
e) a 
 
 
Q6. Considere NQ = MP = MN/3, sendo MN a base do retângulo KNML. Se a soma das 
áreas dos triângulos NQL e PLM é 16, a área do retângulo KMNL é: 
 
a) 24 
b) 32 
c) 48 
d) 72 
e) 96 
 
 
 
 
40 m 
 
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Q7. No paralelogramo ABCD, AB = BD = CD, AD= (1/2 ) AB. Se AB = 4 cm, então a área do 
paralelogramo, em cm2, é: 
 
a) 8 
b) 24 
c) 26 
d) 36 
e) 152 
 
Q8. Considere o triângulo ABC tal que AB = 8 cm, CBA ˆ = 60o e área 316 cm2. Então, o lado 
oposto ao ângulo CBA ˆ mede, em cm: 
 
a) 22 
b) 24 
c) 34 
d) 4 
e) 8 
 
Q9. Num triângulo retângulo, um dos ângulos mede 30o . A área desse triângulo em função 
do comprimento a de sua hipotenusa é dada por: 
 
a) 
2
2a
 
b) 
8
32a
 
c) 
4
2
a
 
d) 
8
3 2a
 
e) 
4
32a
 
 
Q10. Num triângulo retângulo de 14 cm2 de área, a hipotenusa mede 65 cm. A soma dos 
comprimentos dos catetos, em centímetros, é: 
 
a) 9 
b) 11 
c) 13 
d) 15 
e) 17
 
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Q11. Se a área de um triângulo retângulo isósceles é 9 m2, o seu perímetro, em metros, é: 
 
a) 33+b) 323+ 
c) 363+ 
d) 36 + 
e) 266 + 
 
 
Q12. A área do trapézio ABCD é 7 cm2 e a do quadrado CDEF é 4 cm2 . a medida de base 
AB é: 
 
a) 4,5 
b) 5 
c) 5,5 
d) 6 
e) n.d.a 
 
 
Q13. Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm, 
pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é: 
 
a) 34 
b) 36 
c) 38 
d) 312 
e) 324 
 
 
 
Q14. Num trapézio de área 48 cm2, o segmento cujos extremos são pontos médios dos lados 
não paralelos mede 36 cm. Então, a altura desse trapézio, em cm, é: 
 
a) 2/3 
b) 3/4 
c) 4/3 
d) 3/2 
e) 12 
 
 
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Q15. Na figura, ABCD é um trapézio de altura 8 cm e EF é paralelo a AB. Se AB = 12 cm, 
CD = 6 cm e AE = ED, então a área do trapézio ABFE é: 
 
a) 21 cm2 
b) 36 cm2 
c) 38 cm2 
d) 42 cm2 
e) 84 cm2 
 
 
Q16. Um hexágono regular de área 312 m2 está inscrito num círculo cujo raio, em metros 
mede: 
 
a) 2 
b) 22 
c) 32 
d) 3 
e) 23 
 
 
Q17. Observe a figura. BC é a hipotenusa do triângulo ABC, AE = (1/4)AB, FC = (1/4) AC e a 
área do quadrilátero BCFE é igual a 30. A área do triângulo AEF é igual a: 
 
a) 10 
b) 20 
c) 60/13 
d) 80/13 
e) 90/13 
 
 
Q18.Nessa figura, os pontos M. N. P. Q são pontos médios dos lados do quadrado ABCD, 
cuja área mede 16 cm2. A área do quadrado RSTV, em cm2, mede: 
 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 16/3 
e) 16/5 
 
 
 
 
 
 
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Q19. Na figura, o hexágono regular ABCDEF está inscrito no circulo de centro O. Se AB = 4 
cm, a área do quadrilátero ABOF é: 
 
a) 28 cm2 
b) 38 cm2 
c) 16 cm2 
d) 216 cm2 
e) 316 cm2 
 
 
 
 
 
 
Q20. A área de um losango é 120 m2 e uma de suas diagonais mede 10 m. O lado do 
losango, em metros, é: 
 
a) 9 
b) 11 
c) 13 
d) 15 
e) 16 
 
 
 
 
 
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Capítulo 11 
 
Áreas de figuras circulares 
 
1) ÁREA DO CÍRCULO 
 
A área do círculo de raio r é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ÁREA DA COROA CIRCULAR 
 
Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r. 
Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior e 
que não estão no interior do círculo menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) ÁREA DO SETOR CIRCULAR 
 
Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também 
qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setor 
circular basta descobrir qual é a fração que ele representa do círculo. 
 
4) ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR 
 
Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por 
uma corda qualquer. 
 
 
 
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 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
Q1. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência e o comprimento do arco 
menor AB é 1/6 do comprimento da circunferência. Então, a razão entre as áreas do triângulo 
do ABC e do disco mostrado na figura é: 
 
f) 
pi2
3
 
g) 
6
pi
 
h) 3pi 
i) pi6 
j) 
pi
6
 
 
 
Q2. Na figura, o triângulo OPA é equilátero e PB é perpendicular à reta que tangencia o 
círculo no ponto A. Se a área do triângulo PBA é 32 m2, então o raio da circunferência é, 
em metros: 
 
f) 1 
g) 4 
h) 34 
i) 8 
j) 38 
 
 
Q3. Observe a figura. Nessa figura, há um quadrado, uma circunferência de raio 1 e quatro 
triângulos equiláteros. Cada triângulo tem um vértice na circunferência. A área da região 
hachurada é: 
 
f) )433(2 − 
g) 
4
31+
 
h) 
2
31+
 
i) )13(2 − 
 
 
 
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Q4. Se os lados de um triângulo ABC medem, respectivamente, 30 cm, 40 cm e 50 cm, 
então a área do círculo inscrito neste triângulo mede: 
 
f) 210 cmpi 
g) 225 cmpi 
h) 25 cmpi 
i) 2100 cmpi 
j) 225 cmpi 
 
 
Q5. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo equilátero de lado 3 metros. A área 
hachurada é, em m2: 
 
f) 
12
39 pi−
 
g) 
12
33 pi−
 
h) 
4
33 pi−
 
i) 
4
32 pi−
 
j) 
4
39 pi−
 
 
Q6. Na figura abaixo, o ângulo  mede 30o e o lado BC = 2 cm. A área hachurada é, em cm2: 
 
f) 
3
332 −pi
 
g) 
12
332 −pi
 
h) 
3
342 +pi
 
i) 
6
32 −pi
 
j) 
3
32 +pi
 
 
 
 
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Q7. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência de centro O e raio a. Se 
BÂC = 30o , a medida da área hachurada é: 
 
b) )3(
2
2
−pi
a
 b) )3(2 −pia 
c) )1(
2
2
−pi
a
 d) )
2
3(2 −pia 
e) )1(2 −pia 
 
Q8. Observe a figura. Nela a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das 
circunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. 
Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetro de C perpendiculares a lados do quadrado. 
A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é: 
 
f) )223(8 +pi 
g) )223( +pi 
h) )223( −pi 
i) )223(2 −pi 
 
 
 
Q9. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunferência 
de centro O . Sendo o lado maior do quadrado igual a 4, a área hachurada, é: 
 
f) 44 −pi 
g) 84 −pi 
h) 84 +pi 
i) 82 +pi 
j) 816 −pi 
 
 
Q10. Observe a figura. Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, 
EF, FG, GH e HÁ congruentes. O valor da área sombreada em função de r, é: 
 
a) )2(2 −pir 
b) )1(2 2 −pir 
c) 22r 
d) )2(2 −pir 
 
 
 
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Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ11. A área de uma coroa circular de raios r e R, sendo R>r, é: 
 
a) 2)( rR −pi 
b) 2)( rR +pi 
c) )( 22 rR −pi 
d) ))(( rRrR +−pi 
e) )(2 rR −pi 
 
 
 
Q12. Seja d a distância entre os centros de dois discos de raios r1 e r2, com r1 < r2. A 
diferença de suas áreas é de )( 21 rrd −pi . Sobre as posições relativas de suas circunferências, 
conclui-se que: 
 
a) não têm pontos comuns 
b) são concêntricas 
c) são tangentes interiormente 
d) são tangentes exteriormente 
e) têm dois pontos em comum. 
 
 
 
Q13. Nessa figura, o triângulo ABC é equilátero DF e EF são arcos de circunferência de raio 
a e centros em A e C respectivamente. Então, a área da região sombreada é: 
 
a) )3(
2
2
pi−
a
 
b) 3
6
2
pi
a
 
c) pi
3
2a
 
d) )3(2 pi−a 
e) )33(
3
2
pi−
a
 
 
 
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Capítulo 12 
 
Questões de vestibulares 
 
 
QUESTÃO 01 (UFSM – RS) 
 
A soma de dois ângulos é igual a 100º. Um deles é o dobro do complemento do outro. A 
razão do maior para o menor é: 
 
a ( ) 6 b ( ) 5 c ( ) 4 d ( ) 3 e ( ) 2 
 
 
 
QUESTÃO 02 (UFMG) 
 
Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a 
bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a: 
 
a. ( ) 
2
pi
rad 
b. ( ) 
4
pi
rad 
c. ( ) 
6
pi
rad 
d. ( ) 
3
pi
rad 
e. ( ) pi rad 
 
 
QUESTÃO 03 (UFES) 
 
Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3α + β vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 225º b ( ) 195º c ( ) 215º d ( ) 175º e ( ) 185º 
 
 
 
 
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QUESTÃO 04 (Fuvest - SP) 
 
No quadrilátero ABCD abaixo, CBˆA = 150º, cm2MN,cm10BC,cm4ABAD ==== , sendo M e N, 
respectivamente, os pontos médios de BCeCD . A medida, em cm2, da área do triângulo 
BCD é: 
 
 
 
 
 
 
 
a. ( ) 10 b ( ) 15 c ( ) 20 d ( ) 30 e ( ) 40 
 
 
 
 
QUESTÃO 05 (UFU-MG) 
 
Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t, nos pontos indicados 
na figura. Sabendo-se que ;cm6MR = ;cm20MS = ;cm32RQ = ;cm24PQ = os valores dos segmentos 
,PM QSePS são, respectivamente: 
 
a. ( ) 9cm, 15cm, 10cm 
b. ( ) 15cm, 10cm, 9cm 
c. ( ) 10cm, 15cm, 9cm 
d. ( ) 10cm, 9cm, 15cm 
e. ( ) 9cm, 10cm, 15cm 
 
 
 
 
QUESTÃO 06 (FEI - SP) 
 
O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número 
de lados é: 
 
a ( ) 60º b ( ) 72º c ( ) 108º d.( ) 150º e. ( ) 120º 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 07 (Unifor - CE) 
 
A moldura de um retrato é formada por trapézios congruentes, como está representado na 
figura abaixo. A moldura dá uma vota completa em torno do retrato. Quantos trapézios 
formam essa moldura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 7 b ( ) 8 c ( ) 9 d.( ) 10 e. ( ) 11 
 
QUESTÃO 08 (UFJF - MG) 
 
Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma P.A. de razão r. O valor de r 
tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128º é: 
 
a ( ) 10º b ( ) 15º c ( ) 20º d.( ) 27º e. ( ) 36º 
 
 
 
 
QUESTÃO 09 (ITA - SP) 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. Então o número 
de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o 
circunscreve, é 
 
a ( ) 50 b ( ) 60 c ( ) 70 d.( ) 80 e. ( ) 90 
 
 
 
 
QUESTÃO 10 (PUC - SP) 
 
O ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a: 
 
a ( ) 80º b ( ) 170º c ( ) 162º d.( ) 135º e. ( ) 81º 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 11 (Fac.Fed. Odont. Diamantina - MG) 
 
Considere um triângulo ABC isósceles,retângulo em  e cujo perímetro é igual a 
 4(2 + 2 ) m. O valor da hipotenusa BC , em m, é : 
 
a ( ) 4 b ( ) 23 c ( ) 5 d.( ) 4 2 e. ( ) 2 
 
 
 
QUESTÃO 12 (UFU - MG) 
 
Na figura abaixo, OBeOA são perpendiculares. BC é a bissetriz do ângulo ABˆD e AC é a 
bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo ACˆB é: 
 
a. ( ) 
4
pi
 
b. ( ) 
3
pi
 
c. ( ) 
6
pi
 
d. ( ) 
12
pi
 
e. ( ) 
2
pi
 
 
 
 
QUESTÃO 13 (Fuvest - SP) 
 
Na figura, .CYCZeBYBX,ACAB === Se o ângulo  mede 40º então o ângulo ZYˆX mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 40º b ( )50º c ( ) 60º d.( )70º e. ( )90º 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 14 (PUC – SP) 
 
Na figura, DEADCABC === . O ângulo CÂD mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 10º b ( )20º c ( ) 30º d.( )40º e. ( )60º 
 
QUESTÃO 15 (UCMG) 
 
Na figura, o ângulo CDˆA é reto. O valor, em graus, do ângulo DBˆC é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 95º b ( )100º c ( ) 105º d.( )110º e. ( )120º 
 
QUESTÃO 16 (FATEC - SP) 
 
Na figura, r é a bissetriz do ângulo CBˆA . Se α = 40º e β = 30º, então: 
 
 
 
 
 
a. ( ) γ = 0º 
b. ( ) γ = 5º 
c. ( ) γ = 35º 
d. ( ) γ = 15º 
e. ( ) os dados são insuficientes para a determinação de γ. 
 
 
 
 
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QUESTÃO 17 (UFMG) 
 
Na figura º.25ÂeBDCBAC === O ângulo x mede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 50º b ( ) 60º c ( ) 70º d.( )75º e. ( )80º 
 
QUESTÃO 18 (FEI - SP) 
 
Na figura dada, a soma 8ˆ...3ˆ2ˆ1ˆ ++++ vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ( ) 180º b ( ) 270º c ( ) 360º d.( )720º e. ( )n.r.a. 
 
 
QUESTÃO 19 (Mack - SP) 
 
O triângulo ABC da figura é equilátero .6CDe5MBAM === O valor de AE é 
a. ( ) 
11
76
 
b. ( ) 
11
77
 
c. ( ) 
11
78
 
d. ( ) 
11
79
 
e. ( ) 
11
80
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 20 (Fatec – SP) 
 
Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a (