Geometria - Caderno 05

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5
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
CAPA_SER_CAD5_MP_MAT_Geometria.indd 1 3/24/15 7:33 PM
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 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
Estudo da função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
Estudo da função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9
Estudo da função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
As funções cossecante, secante e cotangente . . . . . . . . 15
Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Generalização das funções trigonométricas . . . . . . . . . . 21
Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2121640 (PR)
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 1 3/31/15 9:49 AM
O osciloscópio é um instrumento que cria um 
gráfico bidimensional visível de uma ou mais diferen-
ças de potencial, utilizado para diagnosticar uma peça 
defeituosa em um equipamento eletrônico. Enquanto 
o eixo vertical em geral mostra a tensão no monitor, 
o vertical normalmente representa o tempo, tornando o 
instrumento útil para mostrar sinais periódicos. 
MÓDULO
Funções trigonométricas
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
O monitor do osciloscópio apresenta um aspec-
to semelhante às curvas dos gráficos das fun-
ções trigonométricas. Você sabe como são de-
nominadas essas curvas? Sabe como é possível 
generalizar as funções trigonométricas? 
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4 Funções trigonométricas
CAPÍTULO
1 Funções trigonométricas
Objetivos:
c Conceituar as funções 
seno, cosseno e 
tangente. 
c Definir cossecante, 
secante e cotangente 
com base nas ideias 
de seno, cosseno e 
tangente.
c Interpretar gráficos das 
funções cossecante, 
secante e cotangente.
c Identificar as funções 
do tipo trigonométricas.
c Reconhecer 
que as funções 
trigonométricas 
admitem inversas 
somente para 
certos domínios e 
contradomínios.
c Utilizar a calculadora 
científica para 
resolver exercícios 
que envolvam funções 
trigonométricas e 
funções inversas.
O interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria. 
No século XV, o matemático alemão Johannes Müller von Königsberg apresentou uma expo-
sição sistemática dos métodos para resolver triângulos. Seu trabalho, De Triangulis Omnimodis, foi 
considerado o marco do renascimento da Trigonometria por torná-la uma disciplina independen-
te da Astronomia. Mais tarde, em meados do século XVI, François Viète destacou-se por recorrer 
sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a Trigonometria na resolução de problemas 
algébricos. Todo esse processo culminou com a introdução do conceito de seno, cosseno e tangente 
como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII), quando ele passou a considerar o círculo 
de raio unitário.
A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os matemáticos 
a estudar seu comportamento, esboçando-as graficamente e identificando-as como funções.
 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de 
x radianos:
sen x
1
Im
y 5 sen x
RR
x
1
p
4
2
2
 
Assim, definimos a função seno como a função real de variáveis reais que associa a cada número 
real x o valor real sen x, ou seja:
f: R → R
x → f(x) 5 sen x
Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
Para cada valor real de x exis-
te sempre um único valor real 
para sen x.
PARA
REFLETIR
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Leonhard Euler (1707-1783), o 
matemático mais produtivo de 
todos os tempos. Foi o primeiro 
a tratar seno e cosseno como 
funções. Devemos a ele a notação 
f(x) para uma função.
A
K
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-I
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5Funções trigonométricas
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Gráfico da função seno
Para construir o gráfico da função seno vamos construir uma tabela com valores de x da 
1a volta positiva. 
x sen x
0 0
6
p 1
2
4
p 2
2
3
p 3
2
2
p
1
2
3
p 3
2
3
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p 2
2
5
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p 0
x sen x
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–1
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7
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2
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11
6
p 1
2
2
2p 0
Veja o gráfico inicialmente para x [ [0, 2p] e, depois, para x [ R: 
1
0
21
p
6
p
4
p
3
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
7p
6
5p
4
4p
3
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2
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3
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4
11p
6
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2p x
y
1
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www.ser.com.br
Acesse o portal e veja o infográfi-
co Gráfico da função seno.
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6 Funções trigonométricas
Como a função f(x) 5 sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R a 
curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico 
da função f: R → R definida por f(x) 5 sen x, é a curva chamada senoide, que tem o seguinte aspecto:
21
3p
2
y
x24p 2p 4p
22p
2p
1
3p
2
2
p
2
p
p
2
2
 COMENTÁRIOS
 O domínio de f(x) 5 sen x é R pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor 
para sen x.
 O conjunto imagem de f(x) 5 sen x é o intervalo [21, 1].
 A função seno não é sobrejetiva, pois [21, 1] ± R, isto é, sua imagem não é igual ao contrado-
mínio.
 A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exem-
plo, sen 
p
2
 5 sen 
5
2
p
 5 sen −


3
2
p
 5 … 5 1.
 A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja x [ D(f ) 5 R temos sen x 5 2sen (2x). 
Por exemplo, sen 
6
p
 5 
1
2
; sen 2p 5 2( )6 12.
Periodicidade da função seno
x
y
0
21
22p 4p2p
 
período (p) período (p) período (p)
1
Observando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores 
nos intervalos …, [–2p, 0], [0, 2p], [2p, 4p], … Daí dizermos que a função seno é periódica.
Observe no gráfico que sen x 5 sen (x 1 2p) 5 sen (x 1 4p) 5 … para todo x [ R.
Dizemos então que o período da função seno é 2p e indicamos assim: p 5 2p.
Para encontrar o período, basta observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para 
que ele comece a se repetir.
Sinal da função seno
Observando o sinal da função seno, vemos que a função é positiva para valores do 1o e 2o 
quadrantes e negativa para valores do 3o e 4o quadrantes.
3p
2
p
2
1 1
2 2
p
2p
0
Quais os valores de sen x para 
x 5 0, x 5 
2
p
, x 5 p e x 5 
3
2
p
 e 
seus arcos côngruos?
PARA
REFLETIR
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7Funções trigonométricas
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Variação da função seno
Considerando valores de x [ [0, 2p], observe o que acontece com sen x
1
 e sen x
2
, para x
1
 . x
2
 
nos quatro quadrantes:
x
1
A
x
2
1o quadrante
x
1
 . x
2
sen x
1
 . sen x
2
x
1
x
2
A
2o quadrante
x
1
 . x
2
sen x
1
 , sen x
2
x
1
A
x
2
3o quadrante
x
1
 . x
2
sen x
1
 , sen x
2
x
1
x
2
A
4o quadrante
x
1
 . x
2
sen x
1
 . sen x
2
No gráfico:
1
y
0
x
21
p
2
3p
2
p 2p
Analisando a variação em cada quadrante, temoso seguinte quadro:
1o quadrante: Quando x cresce de 0 a 
2
p, sen x cresce de 0 a 1.
2o quadrante: Quando x cresce de 
2
p a p, sen x decresce de 1 a 0.
3o quadrante: Quando x cresce de p a 3
2
p , sen x decresce de 0 a 21.
4o quadrante: Quando x cresce de 
3
2
p
 a 2p, sen x cresce de 21 a 0.
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8 Funções trigonométricas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resumo sobre a função seno
1o) Função seno é a função de R em R definida por f(x) 5 sen x.
2o) A função seno tem D 5 R e Im 5 [–1, 1].
3o) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4o) A função seno é função ímpar, isto é, sen x 5 –sen (–x), ∀ x [ R.
5o) A função seno é periódica de período p 5 2p.
6o) sen x 5 0, para x 5 kp, com k [ Z.
 sen x . 0, para x do 1o e 2o quadrantes e para x 5 
2
p 1 2kp, com k [ Z.
 sen x , 0, para x do 3o e 4o quadrantes e para x 5 3
2
p 1 2kp, com k [ Z.
1 Determine os valores reais que m pode assumir para que exis-
ta um número real x que satisfaça a igualdade sen x 5 2m 2 3.
RESOLUÇÃO:
Condição: 21 < sen x < 1 ⇒ 21 < 2m 2 3 < 1
Resolvendo a dupla desigualdade, temos:
21 < 2m 2 3 < 1 ⇒ 21 1 3 < 2m < 1 1 3 ⇒
⇒ 2 < 2m < 4 ⇒ 1 < m < 2
Logo, os valores de m são dados pelo conjunto:
{m [ R | 1 < m < 2}
2 Determine os valores reais de m para os quais a equação 
sen x 5 m2 2 m 2 1 tenha solução.
RESOLUÇÃO:
Condição: 21 < sen x < 1 ⇒ 21 < m2 2 m 2 1 < 1
Resolvendo a dupla desigualdade, temos:
 m2 2 m 2 1 < 1 ⇒
 ⇒ m2 2 m 2 2 < 0
 Δ 5 9
 m' 5 2 e m'' 5 21
1 1
21 2
2
S
1
 5 {m [ R | 21 < m < 2}
 m2 2 m 2 1 > 21 ⇒
⇒ m2 2 m > 0
 Δ 5 1
 m' 5 1 e m'' 5 0
1 1
0 1
2
S
2
 5 {m [ R | m < 0 ou m > 2}
Quadro de resolução:
21
S
1
S
2
S
1
 > S
2
21 0 1 2
2
0 1
Vemos então que os valores de m são dados por:
{m [ R | 21 < m < 0 ou 1 < m < 2}
3 Determine os valores máximo e mínimo da função y 5 2 1 
1 3 ? sen x.
RESOLUÇÃO:
Para 21, que é o valor mínimo de sen x, temos:
y 5 2 1 3 ? (21) 5 21
Para 1, que é o valor máximo de sen x, temos:
y 5 2 1 3 ? 1 5 5
Logo, y
mín
 5 21 e y
máx
 5 5.
Observação: Dessa forma, também podemos afirmar que a 
imagem dessa função é [21, 5].
x é a medida do arco em radianos.
PARA
REFLETIR
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9Funções trigonométricas
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 e 2 Para aprimorar: 1 e 2
PARA CONSTRUIR
1 Quais os valores máximos e mínimos das funções em cada 
item?
a) y 5 sen x 2 10
Para sen x 5 21, temos:
y
mín
 5 21 2 10 ⇒ y
mín
 5 211
Para sen x 5 1, temos:
y
máx
 5 1 2 10 ⇒ y
máx
 5 29
b) y 5 4sen x 2 1
Para sen x 5 21, temos:
y
mín
 5 4(21) 21 ⇒ y
mín
 5 25
Para sen x 5 1, temos:
y
máx
 5 4 ? 1 21 ⇒ y
máx
 5 3
c) y 5 sen (3x 1 p)
Para sen (3x 1 p) 5 21, temos y
mín
 5 21
Para sen (3x 1 p) 5 1, temos y
máx
 5 1
d) y 5 6 1 2sen (4x 2 p)
Para sen (4x 2 p) 5 21, temos:
y
mín
 5 6 1 2(21) ⇒ y
mín
 5 4
Para sen (4x 2 p) 5 1, temos:
y
máx
 5 6 1 2 ? 1 ⇒ y
máx
 5 8
2 (UCS-RS) Suponha que, em determinado lugar, a temperatu-
ra média diária T, em °C, possa ser expressa, em função do 
tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por:
T(t) 14 12sen
2 (t 105)
364



5 1
p 2
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média 
máxima nesse lugar, ocorre, no mês de: a
a) julho. 
b) setembro. 
c) junho. 
d) dezembro. 
e) março. 
A temperatura média máxima ocorre quando:
sen
2 (t 105)
364
1 sen
2 (t 105)
364
sen
2
2 (t 105)
364 2
2k
t 105 91 364k
t 196 364k, k .



 ⇒



 ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ Z[
p 2
5
p 2
5
p
p 2
5
p
1 p
2 5 1
5 1
Assim, tomando k 5 0, concluímos que a temperatura média máxi-
ma ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho. 
tempo 
En
em
C-4
H-1
7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) 
de x radianos:
• cos x1
Imy 5 cos x
RR
•
x
1
 •
 •
p
2
0
Assim, definimos a função cosseno como a função real de variáveis reais que associa a cada 
número real x o valor real cos x, ou seja,
f: R → R
x → f(x) 5 cos x
Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
Para cada valor real de x exis-
te sempre um único valor real 
para cos x.
PARA
REFLETIR
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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10 Funções trigonométricas
Gráfico da função cosseno
Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 cos x, inicialmente para x [ [0, 2p] e, depois, para 
x [ R.
x 0
6
p
4
p
3
p
2
p 2
3
p 3
4
p 5
6
p
p
cos x 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
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2
3
2
2 21
x
7
6
p 5
4
p 4
3
p 3
2
p 5
3
p 7
4
p 11
6
p
2p
cos x
3
2
2
2
2
2
1
2
2 0
1
2
2
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3
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5p
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4p
3
3p
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5p
3
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4
11p
6
p
2p
p
6
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4
p
3
p
2
1
2
Ï·
2
2
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3
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2
2
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3
2
2
2
1
2
Como a função f(x) 5 cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio 
é R, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, 
o gráfico da função f : R → R definida por f(x) 5 cos x é a curva chamada cossenoide, que 
tem o seguinte aspecto:
y
x0
3p
2
3p
2
2
p
2
p
2
2
2pp2p22p24p 4p
1
21
www.ser.com.br
Acesse o portal e veja o infográ-
fico Gráfico da função cosseno.
O gráfico de f(x) 5 cos x é simé-
trico em relação ao eixo y.
PARA
REFLETIR
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11Funções trigonométricas
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 COMENTÁRIOS
 A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada 
p
2
 unidades para a direi-
ta. Observe na senoide da página 6 que, se colocarmos o eixo y no ponto de abscissa x 5 
p
2
, 
teremos exatamente o gráfico da cossenoide (página anterior). Isso faz com que a maioria dos 
aspectos relevantes da função cosseno seja a mesma da função seno.
 O domínio é o mesmo: f: R → R, tal que f(x) 5 cos x tem D 5 R.
 A imagem é a mesma: f: R → R, tal que f(x) 5 cos x tem Im 5 [21, 1].
 O período é o mesmo: a função cosseno é periódica de período p 5 2p.
 A função cosseno não é nem injetiva nem sobrejetiva.
As diferenças entre a função cosseno e a função seno acontecem em razão dos aspectos que 
dependem dos valores das imagens associados aos domínios, que transladam 
p
2
 unidades para 
a direita. Por exemplo, a função seno é ímpar e a função cosseno é par, pois: 
cos x 5 cos (2x), ∀ x [ D(f ) 5 R
Sinal da função cosseno
Observando o sinal da função f(x) 5 cos x, vemos que a função cosseno é positiva para valores 
do 1o e 4o quadrantes e negativa para valores do 2o e 3o quadrantes.
3p
2
p
2
2p
2 1
2 1
p 0
Variação da função cosseno
3p
2
p
2
2p0
21
1
y
xp
Analisando a variação no intervalo [0, 2p], temos o seguinte quadro:
1o quadrante: Quando x cresce de 0 a 
p
2
, cos x decresce de 1 a 0.
2o quadrante: Quando x cresce de 
p
2
 a p, cos x decresce de 0 a 21.
3o quadrante: Quando x cresce de p a 
p3
2
, cos x cresce de 21 a 0.
4o quadrante: Quando x cresce de 
p3
2
 a 2p, cos x cresce de 0 a 1.
Qual é o valor do cos x para 
x 5 0, x 5 
p
2
, x 5 p, x 5 
p3
2
 e 
seus arcos côngruos?
PARA
REFLETIR
Como a função cosseno é perió-
dica de período 2p, essa varia-
ção se repete em outros interva-
los, como [2p, 4p],[22p, 0], etc.
PARA
REFLETIR
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 11 3/31/15 9:51 AM
12 Funções trigonométricas
PARA CONSTRUIR
EXERCÍCIO RESOLVIDO
4 Calcule o valor de sen 2
p
6




 




 1 cos 2
p
4




 




.
RESOLUÇÃO:
Como a função seno é ímpar, então
sen (2x) 5 2sen x. Portanto:
sen 2
p
6




 



 5 2sen p
6
 5 2
1
2
Como a função cosseno é par, então
cos (2x) 5 cos x. Logo:
cos 2
p
4




 



 5 cos p
4
 5 2
2
Assim:
sen 2
p
6




 



 1 cos 
4
2
p



 



 5 21
2
 1 2
2
 5 2 122 1
2
3 Determine os valores reais de m para que exista um número 
real x que satisfaça as seguintes igualdades:
a) cos x 5 2m 1 5
21 < 2m 1 5 < 1 ⇒ 26 < 2m < 24 ⇒ 23 < m < 22
Logo, os valores de m são dados por {m [ R \ 23 < m < 22}.
b) cos x 5 1 2 m2
21 < 1 2 m2 < 1 ⇒ 22 < 2m2 < 0 ⇒
⇒ 
(I)
(II)
0 < m2 < 2
(I) m2 > 0
m2 5 0 ⇒ m 5 0
1
0
1
 
(II) m2 < 2 ⇒ m2 2 2 < 0
m2 2 2 5 0 ⇒ m 5 2± 
2√2
1 1
−
1√2
0
S
S
II
S
I
2√2
2√2
√2
√2
Logo, os valores de m são dados por m 2 m 2{ }R \[ 2 < <
c) cos x 5 3m2 2 m 2 1
(I)
(II)
21 < 3m2 2 m 2 1 < 1
(I) 3m2 2 m 2 1 > 21 ⇒ 3m2 2 m > 0
3m2 2 m 5 0 ⇒ m(3m 2 1) 5 0 ⇒ m' 5 0 e m" 5 1
3
1
0 2
1
1
3
(II) 3m2 2 m 2 1 < 1 ⇒ 3m2 2 m 2 2 < 0
Δ 5 1 2 4(3)(22) 5 1 1 24 5 25
m 5 
1 5
6
±
 ⇒ m' 5 1 e m" 5 2
3
2
2
3
2
1
2
1
1
1
1
0
0
S
S
II
S
I
2
3
2
1
3
2
3
2
1
3
Logo, os valores de m são dados por:
m
2
3
m 0 ou
1
3
m 1{ }\R[ 2 < < < < .
d) cos x 5 m 2 3
21 < m 2 3 < 1 ⇒ 2 < m < 4
Portanto, os valores de m são dados por {m [ R \ 2 < m < 4}.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 12 3/31/15 9:51 AM
13Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 3 e 4
 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número 
real x o valor tg x, desde que x não seja 
p
2
 nem 
p3
2
 e nenhum de seus respectivos arcos côngruos, 
isto é:
f: D → R
x → f(x) 5 tg x
em que D 5 [ [
p
pR \ Z?x x 2
k , k{ }.
Lembramos que x, medida do ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
4 (Unioeste-SP) Uma loja do ramo de som vende instrumen-
tos musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60 
unidades. A função que aproxima o estoque de violas da loja 
ao longo do mês é 






f (x) 30 cos
x
30
1 ,5
p
1 sendo que x 
é o dia do mês (considerando o mês comercial de 30 dias) e 
f(x) é o estoque ao final do dia x. Nos termos apresentados, é 
correto afirmar que: c
a) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido.
b) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês.
c) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi 
vendido.
d) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de 
violas.
e) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente 
metade do estoque do dia anterior.
a) Falsa, pois f(30) 30 cos
30
30
1 30( 1 1) 0.



5
p ?
1 5 2 1 5
b) Falsa, pois f(10) 30 cos
10
30
1 30
1
2
1 45.







5
p ?
1 5 1 5
c) Verdadeira, pois f(15) cos
15
30
1 30(0 1) 30.



5
p ?
1 5 1 5
d) Falsa, pois f(30) 5 0.
e) Falsa, pois os únicos valores inteiros são de f(x) são f(30), f(10) 
e f(15). 
5 (UERN) A razão entre o maior e o menor número inteiro que 
pertencem ao conjunto imagem da função trigonométrica 



y 4 2cos x
2
3
5 2 1 2
p
 é: b
a) 2.
b) 1
3
.
c) 23.
d) 21
2
. 
Supondo que a função esteja definida de R em R, segue-se que 
a sua imagem é: 
Im 5 [24 1 2 ? (21), 24 1 2 ? 1] 5 [26, 22].
Portanto, o resultado é igual a 
2
6
1
3
.
2
2
5 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-4
H-1
5
En
em
C-5
H-1
9
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 13 3/31/15 9:51 AM
14 Funções trigonométricas
Gráfico da função tangente
Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 tg x inicialmente no intervalo [0, 2p].
p
2
y
0
p
6
p
4
p
3
3p
2
p 2p x
Note que, à medida que x tende aos valores em que tg x não existe 
2
,
3
2


p p
 e seus respectivos 
arcos côngruos, como 
5
2
,
7
2
, etc.
p p , o gráfico da tangente tende ao infinito (positivo ou negativo). 
Essas retas verticais tracejadas nesses valores são chamadas de assíntotas, ou seja, retas cujo ponto 
de intersecção com o gráfico tende ao infinito.
Como a função f(x) 5 tg x tem seu domínio D 5 R – [ [5
p
1 pR \ Zx x
2
k , k{ }, a curva 
pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico da fun-
ção f: D → R definida por f(x) 5 tg x é a curva chamada tangentoide, que tem o seguinte aspecto:
y
x
0
3p
2
24p 23p
22p 2p p
2p 3p 4p3p
2
2
p
2
p
2
2
p p p pp p
período (p)
A partir do gráfico é possível fazer algumas afirmações sobre a função tangente:
 Tem D(f) 5 [ [
p
1 pR \ Z?x x
2
k , com k{ } e Im(f) 5 R.
 A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
 A função tangente é função ímpar, isto é, tg x 5 –tg (–x), ∀ x [ D(f).
 A função tangente é periódica de período p 5 p, isto é, tg x 5 tg (x 1 kp), com k [ Z e x [ D(f).
Justifique cada uma das quatro 
afirmações ao lado.
PARA
REFLETIR
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 14 3/31/15 9:51 AM
15Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Sinal da função tangente
Observando o sinal da função tangente, vemos que a função é positiva para valores do 1o e do 
3o quadrantes e negativa para valores do 2o e do 4o quadrantes.
2 1
1 2
p
2
3p
2
p 0
2p
Variação da função tangente
Analisando o gráfico da função f(x) 5 tg x, vemos que:
1o quadrante: Quando x cresce de 0 a 
p
2
, tg x cresce de 0 a 1`.
2o quadrante: Quando x cresce de 
p
2
 a p, tg x cresce de 2` a 0.
3o quadrante: Quando x cresce de p a 
p3
2
, tg x cresce de 0 a 1`.
4o quadrante: Quando x cresce de 
p3
2
 a 2p, tg x cresce de 2` a 0.
 AS FUNÇÕES COSSECANTE, SECANTE 
E COTANGENTE
A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante, 
secante e cotangente de x. Assim:
 cossec x 5 
1
sen x
, para sen x ± 0;
 sec x 5 
1
cos x
, para cos x ± 0;
 cotg x 5 
cos x
sen x
, para sen x ± 0.
Quando sen x ± 0 e cos x ± 0, podemos ainda escrever cotg x 5 
1
tg x
.
Veja o exemplo a seguir.
Sabemos que sen 
6
p
 5 
1
2
, cos 
6
p
 5 
3
2
 e tg 
6
p
 5 
3
2
. 
Qual é o valor da tg x quando 
temos x 5 0, x 5 
p
2
, x 5 p e 
x 5 
p3
2
 e seus arcos côngruos?
PARA
REFLETIR
Como a função tangente é pe-
riódica de período p, a variação 
ocorrida em [0, p] se repete em 
[p, 2p], [2p, 3p], [2p, 0], etc.
PARA
REFLETIR
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 15 3/31/15 9:51 AM
16 Funções trigonométricas
PARA CONSTRUIR
Podemos então calcular:
 cossec 
6
p
 5 
1
1
2
 5 
2
1
 5 2;
 sec 
6
p
 5 
1
3
2
 5 
2
3
 5 
2 3
3
;
 cotg 
6
p
 5 
3
2
1
2
 5 
2 3
2
 5 3 ou
 cotg 
6
p
 5 
1
3
3
 5 
3
3
 5 
3 3
3
 5 3 .
6 Calcule quando existir:
a) sec 120°
sec 120° 5 
1
cos 120º
 5 
1
cos (180º 60º )2
 5
5 
1
cos 60º2
 5 
1
1
2
2
 5 22
b) cossec (230°)
cossec (230°) 5 
1
sen ( 30°)2
 5
5 
2
1
sen 30°
 5 
1
1
2
2
 5 22
c) cotg p2
3
 
cotg 
2
3
p
 5 cotg ( )3p 2 p 5 
cos
3
sen
3
( )
( )
p 2
p
p 2
p
 5
5 
cos
3
sen
3
1
2
2
p
p
5 2 ; 
3
2
 5 2
1
21
 ? 
2
3
1
 5 2
1
3
 5 2
3
3
d) sec 2p
p 5
p
5 5sec 2
1
cos 2
1
1
1
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 16 3/31/15 9:51 AM
17Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 5 a 7
7 (Fatec-SP – Adaptada) O gráfico que melhor representa a fun-
ção f(x) 5 tg 

2
p
x
4
 é igual a: b 
a) y
xp
2
3p
4
p
4
2
b) y
xp
4
3p
4
p
4
2
c) y
xp
4
p
4
2
d) y
x3p
4
p
4
p
4
2
e) n.d.a.8 Sabendo que sen u 5 
3
5
 e cos u 5 2
4
5
, calcule:
a) cossec u
cossec u 5 
1
sen u
 5 
1
3
5
 5 
5
3
 
b) sec u
sec u 5 
1
cos u
 5 
1
4
5
2
 5 
5
4
2 
c) cotg u
cotg u 5 
cos
sen
u
u
 5 2 ?
4
5
5
3
1
1
 2 
4
3
 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-6
H-2
4
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Além das funções trigonométricas estudadas existem outras que envolvem seno, cosseno, tan-
gente, cossecante, secante e cotangente, que chamaremos funções do tipo trigonométricas. Por 
exemplo, as funções f, g , h e i tal que:
 f(x) 5 2 1 cos x, com x [ R.
 g(x) 5 sen 2x, com x [ R.
 h(x) 5 tg x 1 sec x, com x ± 
2
p
 1 kp, com k [ Z.
 i(x) 5 1 – cossec x, com x ± kp, com k [ Z.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 17 3/31/15 9:51 AM
18 Funções trigonométricas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Domínio de funções do tipo trigonométricas
Nos exercícios resolvidos a seguir, vamos determinar o domínio de algumas funções do tipo 
trigonométricas.
5 Construa e analise os gráficos das funções abaixo dando seu 
domínio, sua imagem e seu período.
a) f(x) 5 3 ? sen x
b) f(x) 5 1 1 cos x
RESOLUÇÃO:
a) 
x sen x 3 ? sen x y 5 f(x)
0 0 3 ? 0 5 0 0
2
p
1 3 ? 1 5 3 3
p 0 3 ? 0 5 0 0
3
2
p
21 3(21) 5 23 23
2p 0 3 ? 0 5 0 0
y
x
3p
2
p
2
0
3
1
21
23
2p
f(x) 5 3 ? sen x
f(x) 5 sen x
p
D 5 R, Im 5 [23, 3], p 5 2p
b) 
x cos x 1 1 cos x y 5 f(x)
0 1 1 1 1 5 2 2
2
p
0 1 1 0 5 1 1
p –1 1 1 (–1) 5 0 0
3
2
p
0 1 1 0 5 1 1
2p 1 1 1 1 5 2 2
y
x
3p
2
p
2
0
1
2
21
2p
y 5 1 1 cos x
y 5 cos x
p
D 5 R, Im 5 [0, 2], p 5 2p
Verifique que mudanças ocorre-
ram nos gráficos de:
f(x) 5 3 ? sen x com relação a 
f(x) 5 sen x,
e f(x) 5 1 1 cos x com relação a 
f(x) 5 cos x.
PARA
REFLETIR
6 Determine o domínio da função f tal que:
a) f(x) 5 1
1 cos x1 c21 c
b) f(x) 5 sen x
c) f(x) 5 tg 3x
d) f(x) 5 sec x 1 cossec x
RESOLUÇÃO:
a) Devemos ter 1 2 cos x ± 0, ou seja, cos x ± 1.
 Como cos x 5 1 para x 5 2kp, então:
 D(f ) 5 {x [ R | x ± 2kp, com k [ Z}.
b) Devemos ter sen x > 0. Observando a figura, verificamos 
os possíveis valores de x.
p 1 2kp 0 1 2kp
 Logo, D(f ) 5 {x [ R | 2kp < x < (2k 1 1)p, com k [ Z}.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 18 3/31/15 9:51 AM
19Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
c) A condição de existência é que 3x ± p
2
 1 kp. Daí:
 3x ± p
2
 1 kp ⇒ x ± 
p
6
 1 
pk
3
 
 Logo, D(f ) 5 { }[ [{ }[ [{ }[ [{ }p{ }[ [p[ [{ }{ }p 1{ }[ [1[ [{ }{ }1 p{ }[ [p[ [{ }{ }pR{ }[ [R[ [{ }{ }R \{ }[ [\[ [{ }{ }\\{ }Z{ }±{ }[ [±[ [{ }{ }±[ [{ }x x[ [x x{ }{ }x x{ }[ [{ }x xx x{ }[ [R[ [{ }{ }Rx xx xR[ [{ }x x{ }R[ [\[ [{ }{ }\x xx x\[ [{ }x x{ }\{ }6{ }[ [{ }6[ [6{ }{ }
k{ }[ [{ }k[ [k{ }{ }3{ }[ [{ }3[ [3{ }{ }, c{ }[ [{ }, c[ [, c{ }{ }om{ }[ [{ }om[ [om{ }{ }k{ }[ [{ }k[ [k{ }.
d) Para existir sec x, devemos ter cos x ± 0, ou seja, x ± p
2
 1 
1 kp.
 Para existir cossec x, devemos ter sen x ± 0, ou seja, 
x ± kp.
 A função f dada tem então como domínio: 
 D(f ) 5 { }[ [{ }[ [{ }[ [?[ [{ }? p{ }[ [p[ [{ }{ }pR{ }[ [R[ [{ }{ }R \{ }[ [\[ [{ }{ }\ Z{ }±{ }[ [±[ [{ }{ }±{ }x x{ }[ [{ }x x[ [x x{ }[ [R[ [{ }Rx xx xR[ [{ }x x{ }R[ [\[ [{ }\x xx x\[ [{ }x x{ }\{ }k{ }[ [{ }k[ [k{ }{ }2{ }[ [{ }2[ [2{ }{ }, c{ }[ [{ }, c[ [, c{ }{ }om{ }[ [{ }om[ [om{ }{ }k{ }[ [{ }k[ [k{ }. 
Observação:
Esse assunto será retomado com o estudo de inequações 
trigonométricas.
Para aprender a traçar os gráficos das funções do tipo trigo-
nométricas, vamos acompanhar a resolução dos exercícios, 
prestando atenção especial ao comentário após cada gráfico.
7 Trace os gráficos das funções:
a) f(x) 5 2 1 sen x
b) f(x) 5 2 ? sen x
c) f(x) 5 sen 2x
d) f(x) 5 ( )( )( )2( )( )p( )( )x( )( )3( )
RESOLUÇÃO:
Devemos atribuir valores a x e calcular y, marcar os pontos 
e traçar o gráfico por esses pontos. Para que o gráfico fique 
bem definido, vamos fazer com que o ângulo seja igual a 0, 
p
2
, p, 
p3
2
 e 2p:
a) f(x) 5 y 5 2 1 sen x
 x 5 0 → y 5 2 1 sen 0 5 2 1 0 5 2
 x 5 p
2
 → y 5 2 1 sen 
p
2
 5 2 1 1 5 3
 x 5 p → y 5 2 1 sen p 5 2 1 0 5 2
 x 5 p3
2
 → y 5 2 1 sen 
p3
2
 5 2 – 1 5 1
 x 5 2p → y 5 2 1 sen 2p 5 2 1 0 5 2
y
xp 2p
2
3
1
0 3p
2
p
2
Período 5 2p Imagem 5 [1, 3]
Se compararmos o gráfico da função f(x) 5 sen x com f(x) 5 
5 2 1 sen x, veremos que ele sofreu um deslocamento 
(translação) de duas unidades para cima.
f(x) 5 sen x
y
xp 2p 
1
21
0 p
2
3p
2
 
f(x) 5 2 1 sen x
y
xp 2p
1
2
3
0 p
2
3p
2
De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) 5 a 1 
1 sen x, o gráfico de f(x) 5 sen x será transladado para cima 
(a . 0) ou para baixo (a , 0) em a unidades.
b) f(x) 5 2 ? sen x
 x 5 0 → y 5 2 ? sen 0 5 2 ? 0 5 0
 x 5 p
2
 → y 5 2 ? sen 
p
2
 5 2 ? 1 5 2
 x 5 p → y 5 2 ? sen p 5 2 ? 0 5 0
 x 5 p3
2
 → y 5 2 ? sen 
p3
2
 5 2 ? (21) 5 22 
 x 5 2p → y 5 2 ? sen 2p 5 2 ? 0 5 0
y
xp 2p
1
2
0 p
2
3p
2
22
21
Período 5 2p Imagem 5 [22, 2]
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 19 3/31/15 9:51 AM
20 Funções trigonométricas
Se compararmos o gráfico da função f(x) 5 sen x com f(x) 5 
5 2 ? sen x, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical 
(esticou) duas vezes.
f(x) 5 sen x
y
xp 2p
1
21
0 p
2
3p
2
f(x) 5 2 ? sen x
y
xp 2p
1
2
0 p
2
3p
2
21
22
 Considerando a função do tipo f(x) 5 b ? sen x, o gráfico 
de f(x) 5 sen x será dilatado se |b| . 1, ou comprimido se 
0 , |b| , 1 um número b de vezes. Caso b , 0, o gráfico 
sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico 
ao gráfico com b . 0.
c) f(x) 5 y 5 sen 2x
 Queremos que os ângulos sejam 0, p
2
, p, 
p3
2
 e 2p; para 
isso devemos atribuir a x metade desses valores:
 x 5 0 → y 5 sen 2 ? 0 5 sen 0 5 0
 x 5 p
4
 → y 5 sen 2 ? 
p
4
 5 sen 
p
2
 5 1
 x 5 p
2
 → y 5 sen 2 ? 
p
2
 5 sen p 5 0
 x 5 p3
4
 → y 5 sen 2 ? 
p3
4
 5 sen 
p3
2
 5 21
 x 5 p → y 5 sen 2p 5 0
y
x
1
0
p
2
p
4
3p
4
21
p
Período 5 p Imagem 5 [21, 1]
 Ao comparar o gráfico de f(x) 5 sen x com o gráfico de f(x) 5 
5 sen 2x, vemos que ele sofreu uma compressão horizontal 
de duas unidades, enquanto o período foi alterado para p2
2
.
f(x) 5 sen x
y
xp 2p
1
21
0 p
2
3p
2
f(x) 5 sen 2x
y
x
1
0
p
2
p
4
3p
4
21
p
 Considerando o gráfico do tipo f(x) 5 sen c ? x, concluí-
mos que o gráfico de f(x) 5 sen x será comprimido ho-
rizontalmente em c unidades se |c| . 1, porém sofrerá 
dilatação horizontal se 0 , |c| , 1. Além disso, temos que 
o período é igual a p2
c
.
d) f(x) 5 ( )( )( )2( )( )p( )( )x( )( )3( )
 Queremos que os ângulos sejam 0, p
2
, p, 
p3
2
 e 2p; para 
isso devemos atribuir a x esses valores aumentados em 
p
3
:
 x 5 p
3
 → y 5 sen ( )( )( )( )p( )( )2( )( )p( )( )3 3( ) 5 sen 0 5 0
 x 5 p5
6
 → y 5 sen ( )( )( )( )p( )( )2( )( )p( )( )5( )( )6 3( ) 5 sen p2 5 1
 x 5 p4
3
 → y 5 sen ( )( )( )( )p( )( )2( )( )p( )( )4( )( )3 3( ) 5 sen p 5 0
 x 5 p11
6
 → y 5 sen ( )( )( )( )p( )( )2( )( )p( )( )11( )( )6 3( ) 5 sen p32 5 21 
 x 5 p7
3
 → y 5 sen ( )( )( )( )p( )( )2( )( )p( )( )7( )( )3 3( ) 5 sen 2p 5 0
y
x
1
0 p
3
11p
6
4p
3
7p
3
5p
6
21
Período 5 2p Imagem 5 [21, 1]
Comparando o gráfico de f(x) 5 sen x com o gráfico de f(x) 5 
5 sen ( )( )( )2( )( )p( )( )x( )( )3( ), podemos ver que ele sofreu um desloca-
mento (translação) horizontal para a direita de 
p
3
1
 unidades.
f(x) 5 sen x
y
x
p 2p
1
21
0 p
2
3p
2
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 20 3/31/15 9:51 AM
21Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
f(x) 5 sen 2
p
x
3














 














y
x
1
0 p
3
11p
6
4p
3
7p
3
5p
6
21
 Considerando o gráfico do tipo f(x) 5 sen (cx 1 d), con-
cluímos que o gráfico de f(x) 5 sen x será deslocado hori-
zontalmente em 
d
c
 unidades para a direita se d , 0, ou 
para a esquerdase d . 0.
 As conclusões feitas com relação à translação, dilatação e 
compressão das funções do tipo f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 
1 d) são válidas para as demais funções.
8 Qual é o valor máximo da função f(x) 5 2 cos2 x 2 4 sen2 x?
RESOLUÇÃO:
Substituindo sen2 x por 1 2 cos2 x:
f(x) 5 2 cos2 x 2 4(1 2 cos2 x) ⇒ f(x) 5 6 cos2 x 2 4 ⇒
⇒ f(x) 5 6 cos2 x 2 3 2 1 ⇒
⇒ f(x) 5 3(2 cos2 x 2 1) 2 1 ⇒ f(x) 5 3 cos 2x 2 1
O valor máximo da função se dá quando cos 2x for igual a 1. Des-
sa maneira, podemos afirmar que o valor máximo é 3 ? 1 2 1 5 2.
9 Qual é o valor máximo da função f(x) 5 3 ? sen x 1 4 ? cos x?
RESOLUÇÃO:
Para encontrarmos o valor máximo, dividiremos a expressão 
por k (k . 0):
f (x)
k
3
k
sen x
4
k
cosx5 15 1
3
5 1se5 1n x5 1
Agora vamos considerar um ângulo a, tal que
cos a 5 
3
k
 e sen a 5 
4
k
; portanto:
sen2 a 1 cos2 a 5 


 



4
k
2
 1 


 



3
k
2
 ⇒
⇒1 5 
16
k2
 1 
9
k2
 ⇒ 1 5 
25
k2
 ⇒ k2 5 25 ⇒ k 5 5
Dessa maneira, a expressão se torna:
f (x)
5
 5 cos a sen x 1 sen a cos x ⇒
⇒ 
f (x)
5
 5 sen (x 1 a) ⇒ f(x) 5 5sen (x 1 a).
O valor máximo de f(x) se dá quando
sen (x 1 a) 5 1, ou seja, f(x)
máx
 5 5 ? 1 5 5.
 GENERALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
De modo geral, as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:
f(x) 5 a 1 b ? trig (cx 1 d)
em que a, b, c, d são constantes (b ? 0 e c ? 0) e trig indica uma das seis funções trigonométricas 
estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).
Por exemplo:
 f(x) 5 3 ? sen x
 g(x) 5 cos 3x
 h(x) 5 1 1 cos x
 i(x) 5 1 1 tg 

2
p
2x
3
são funções do tipo f(x) 5 a 1 b ? trig (cx 1 d).
 Em f(x) 5 3 ? sen x temos a 5 0, b 5 3, trig 5 sen, c 5 1 e d 5 0.
 Em g(x) 5 1 1 cos x temos a 5 1, b 5 1, trig 5 cos, c 5 1 e d 5 0.
 Em h(x) 5 cos 3x temos a 5 0, b 5 1, trig 5 cos, c 5 3 e d 5 0.
 Em i(x) 5 1 1 tg 

2
p
2x
3
 temos a 5 1, b 5 1, trig 5 tg, c 5 2 e d 5 –
p
3
.
Papel das constantes a, b, c e d
As funções do tipo f(x) 5 a 1 b ? trig (cx 1 d) têm características que podem ser relacionadas 
com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados nos itens anteriores deste capítulo.
As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d alteram as 
características relacionadas aos valores de x da seguinte forma:
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 21 3/31/15 9:51 AM
22 Funções trigonométricas
 A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a . 0, então o gráfico “sobe” 
a unidades, e se a , 0, então o gráfico “desce” |a| unidades. No item (b) do exercício resolvido 5, 
podemos ver o gráfico de f(x) 5 1 1 cos x em relação ao de y 5 cos x.
 A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se |b| . 1, então o gráfico dilata, e se 
0 , |b| , 1, o gráfico comprime. No item (a) do exercício resolvido 5, podemos ver o gráfico de 
f(x) 5 3 ? sen x em relação ao de y 5 sen x. Se b 5 –1, o gráfico fica invertido. Se b , 0, o gráfico 
fica simétrico (em relação ao eixo x) ao original com b . 0. O valor de b é, muitas vezes, chamado 
de amplitude do gráfico.
 A constante c altera o período padrão (p
trig
) da função trig , ou seja, comprime ou dilata o gráfico 
padrão na horizontal.
Se |c| . 1, f(x) será comprimido horizontalmente em |c| unidades.
Se 0 , |c| , 1, f(x) será dilatado horizontalmente em |c| unidades.
O novo período é dado por:
p
y
 5 
p
c
trig
 A constante d translada o gráfico padrão em 
d
c
 unidades horizontais. Se d , 0, o gráfico translada 
d
c
 unidades para a direita, e se d . 0, o gráfico translada 
d
c
 unidades para a esquerda.
Observação:
Sabemos que, para um ângulo agudo, cosseno x é igual ao seno do complementar de x. 
Exprimindo essa igualdade em radianos, temos que cos x 5 ( )p 22 x , ou seja, a função cosse-
no é uma função seno com a 5 0, b 5 1, c 5 21 e d 5 
p
2
. Isso nos permite estabelecer que 
a imagem da função cosseno é igual à da função seno; que o período da função cosseno é 
py 5 
p
c
trig
 5 
2
1
p
2
 5 2p, o mesmo da função seno; e que o início de um período da função 
cosseno é x 5 2
d
c
 5 2
p
2
2
1
 5 
p
2
. Isso comprova a afirmação de que o gráfico da função cos-
seno também é uma senoide transladada 
p
2
 unidades para a frente.
 COMENTÁRIOS
Vamos entender o motivo pelo qual o novo período é dado por 
p
c
trig
:
Tomemos a função y 5 a 1 b ? trig (cx 1 d) e analisemos o comportamento de (cx 1 d) varian-
do um período completo, de 0 a p
trig
: 
 cx 1 d 5 0 ⇒ x 5 d
c
2 
x 5 
d
c
2 é o valor em que se inicia um período do gráfico padrão. 
 cx 1 d 5 p
trig
 ⇒ x 5 
d
c
2 1 
p
c
trig
x 5 
d
c
2 1 
p
c
trig
 é o final do período iniciado em x 5 
d
c
2 , portanto o período de y é 
p
c
trig
.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 22 3/31/15 9:51 AM
23Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10 Determine o período da função f(x) 5 cos 


 



x
2 3
2
p
. 
RESOLUÇÃO:
1a maneira:
O período da função cosseno é p 5 2p.
Devemos então verificar o que ocorre com 


 



x
2 3
2
p
 quan-
do varia de 0 a 2p:
 ⇒ ⇒⇒ ⇒2 p 5 5⇒ ⇒5 5⇒ ⇒⇒ ⇒5 55 5 p⇒ ⇒p⇒ ⇒ 5 px
2 3
05 505 5
x⇒ ⇒x⇒ ⇒
2 3
x
2
3
 
 ⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒2 p 5 p ⇒ ⇒5 p⇒ ⇒1⇒ ⇒1⇒ ⇒p⇒ ⇒p⇒ ⇒x
2 3
25 p25 p
x⇒ ⇒x⇒ ⇒
2
2⇒ ⇒2⇒ ⇒⇒ ⇒5 p2⇒ ⇒25 p
3
 ⇒ ⇒5 p 5 px
2
7
3
x
14
3
 ⇒5 p 2 p 5 p 5 pp 14
3
2
3
12
3
p 45 pp 45 p
O período da função dada é p 5 4p.
2a maneira:
Como o período padrão da função cosseno é p 5 2p, então:
p
y
 5 
2
1
2
p
 5 4p
11 Determine o período da função f(x) 5 1 1 tg 


 



2x
3
2
p
.
RESOLUÇÃO:
1a maneira:
A função tangente tem período p 5 p.
Vamos verificar, então, o que ocorre com 


 



2x
3
2
p
 quando 
varia de 0 a p.
 2x 2 p
3
 5 0 ⇒ 2x 5 
p
3
 ⇒ x 5 
p
6
 2x 2 p
3
 5 p ⇒ 2x 5 p 1 
p
3
 ⇒ 2x 5 
p4
3
 ⇒
 ⇒ x 5 p4
6
 5 
p2
3
 p 5 p2
3
 2
p
6
 5 
p 2 p4
6
 5 
p3
6
 5 
p
2
Logo, o período da função dada é p 5 
p
2
.
2a maneira:
O período da função tangente é p 5 p, então:
p
y
 5 
2
p
 5 
p
2
12 Obtenha o conjunto imagem e o período da função y 5 2 1 
1 4 ? cos 3x.
RESOLUÇÃO:
O valor mínimo de y é 2 1 4(221) 5 22 e o valor máximo é 
2 1 4 ? 1 5 6. Portanto, Im(y) 5 [22, 6].
Como o período padrão da função cosseno é p 5 2p, então 
o período da função y é p
y
 5 
p2
3
 5 
p2
3
.
13 Encontre uma nova maneira de resolver os itens do exercício 
resolvido 5.
Construa e analise os gráficos das funções abaixo, dando seu 
domínio, sua imagem e seu período. (Construa apenas um 
período completo.)
a) f(x) 5 3 ? sen x
b) f(x) 5 1 1 cos x
RESOLUÇÃO:
a) f(x) 5 3 ? sen x
 Calculando a imagem, o período e o valor da translação 
horizontal do gráfico, podemos desenhá-lo facilmente.
 Imagem: f(x)
máx
 5 3 ? 1 5 3
 f(x)
mín
 5 3(21) 5 23
 Logo, Im(f ) 5 [23, 3] (dilatou verticalmente, mas não 
transladou). 
 Período: p
y
 5 
2
1
p
 5 2p (não mudou)
 Translação horizontal: x
i
 5 
d
c
2 5 2
0
1
 5 0 (não transladou)
 Agora, basta esboçar o gráfico abaixo:
y
x
3p
2
p
2
0
3
1
21
23
2p
f(x) 5 3 ? sen x
f(x) 5 sen x
p
D 5 R, Im 5 [23, 3], p 5 2p
b) y 5 f(x) 5 1 1 cos x
 Imagem: f(x)
máx
 5 1 1 1 5 2
 f(x)
mín
 5 1 1 (21) 5 0
 Logo, Im(f ) 5 [0, 2] (só transladou verticalmente; não dilatou).
 Período: p
y
 5 
2
1
p
 5 2p (não mudou)
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 23 3/31/15 9:52 AM
24 Funções trigonométricas
PARA CONSTRUIR
 Translação horizontal: x
i
 5 
d
c
2 5 2
0
1
 5 0 (não transladou)
 Agora, basta esboçar o gráfico abaixo:
y
x3p
2
p
2
0
1
2
21
2p
y 5 1 1 cos x
y 5 cos x
p
D 5 R, Im 5 [0, 2], p 5 2p
14 Qual é o período da função f(x) 5 sen 2x ? cos 2x?
RESOLUÇÃO:
Multiplicando f(x) 5 sen 2x ? cos 2x por 2, obtemos:
2f(x) 5 2 ? sen 2x ? cos 2x
Como sen (2 ? 2x) 5 2 ? sen 2x ?cos 2x, então:
2f(x) 5 sen (2 ? 2x) ⇒ f(x) 5 
sen4x
2
O período é 
p
5
p2
4 2
.
9 Encontre a imagem de f(x) 5 2sen x 1 3cos x.
f(x) 5 2sen x 1 3cos x
y
mín
 5 2 ? 0 1 3 ? (21) 5 0 2 3 5 23
y
máx
 5 2 ? 2
2
 1 3 ? 2
2
 5 5 2
2
 
Logo, Im(f) 5 3,
5 2
2




2 .
10 (Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a au-
mentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro 
de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água 
na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou 
medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 
1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do pri-
meiro dia (t 5 0) e os dados foram representados pela função 
periódica T(t) 5 24 1 3cos 


p
1
pt
6 3
, em que t indica o 
tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), 
a temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e o ho-
rário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de 
observação valem, respectivamente: c
a) 6 h, 25,5 °C e 10 h. 
b) 12 h, 27 °C e 10 h. 
c) 12 h, 27 °C e 15 h. 
d) 6 h, 25,5 °C e 15 h. 
O período da função é dado por 
2
6
12 h.
p
p
5 
A temperatura máxima ocorre quando cos
t
6 3




p
1
p
 atinge seu 
valor máximo, ou seja, quando cos
t
6 3
1.




p
1
p
5 Logo, tem-se 
que o resultado é T
máx
 5 24 1 3 ? 1 5 27 °C. 
Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem 
cos
t
6 3
1.




p
1
p
5 Assim,
cos
t
6 3
1 cos
t
6 3
cos (0 2k )
t
6 3
0 2k t 12k 2, k .



 ⇒



 ⇒
⇒ ⇒ Z[
p
1
p
5
p
1
p
5 1 p
p
1
p
5 1 p 5 2
Tomando k 5 1, segue-se que t 5 10 h. 
Mas como as medições iniciaram às 5 horas da manhã do primei-
ro dia (t 5 0), temos:
5 1 10 5 15 h
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 24 3/31/15 9:52 AM
25Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
11 Trace os gráficos das funções abaixo, determinando o perío-
do, o domínio e a imagem.
a) f(x) 5 22 1 sen x
x 5 0 → y 5 22 1 sen 0 5 22 1 0 5 22
x 5 
2
p
 → y 5 22 1 sen 
2
p
 5 22 1 1 5 21
x 5 p → y 5 22 1 sen p 5 22 1 0 5 22
x 5 
3
2
p
 → y 5 22 1 sen 
3
2
p
 5 22 1(21) 5 23
x 5 2p → y 5 22 1 sen 2p 5 22 1 0 5 22
x
y
0
23
22
21
p
2
 p 3p
2
 2p
D(f) 5 R; Im(f) 5 [23, 21] e p 5 2p.
b) f(x) 5 23 ? sen x
x 5 0 → y 5 23 ? sen 0 5 23 ? 0 5 0
x 5 
2
p
 → y 5 23 ? sen 
2
p
 5 23 ? 1 5 23
x 5 p → y 5 23 ? sen p 5 23 ? 0 5 0
x 5 
3
2
p
 → y 5 23 ? sen 
3
2
p
 5 23 ? (21) 5 13
x 5 2p → y 5 23 ? sen 2p 5 23 ? 0 5 0
x
23
22
21
y
0
1
2
3
 p
2
 3p
2
 2p
 D(f) 5 R; Im(f) 5 [23, 3] e p 5 2p.
c) f(x) 5 sen ( )2 px 4
x 5 
4
p
 → y 5 sen 
4 4( )p 2 p 5 sen 0 5 0
x 5 
3
4
p
 → y 5 sen 
3
4 4( )p 2 p 5 sen 2p 5 1
x 5 
5
4
p
 → y 5 sen 
5
4 4( )p 2 p 5 sen p 5 0
x 5 
7
4
p
 → y 5 sen 
7
4 4( )p 2 p 5 sen 32p 5 21
x 5 
9
4
p
 → y 5 sen 
9
4 4( )p 2 p 5 sen 2p 5 0
x
21
y
0
1
 p
4
 2p
4
 3p
4
 4p
4
 5p
4
 6p
4
 7p
4
 8p
4
 9p
4
D(f) 5 R; Im(f) 5 [21, 1] e p 5 2p.
d) f(x) 5 sen ( )2 p3x 4
x 5 
12
p
 → y 5 sen  3
12 4
?
p
2
p( ) 5 sen 0 5 0
x 5 
3
12
p
 → y 5 sen  3
3
12 4
?
p
2
p( ) 5 sen 2p 5 1
x 5 
5
12
p
 → y 5 sen  3
5
12 4
?
p
2
p( ) 5 sen p 5 0
x 5 
7
12
p
 → y 5 sen  3
7
12 4
?
p
2
p( ) 5 sen 32p 5 21
x 5 
9
12
p
 → y 5 sen  3
9
12 4( )? p 2 p 5 sen 2p 5 0
x
21
y
0
1
 2p
12
 3p
12
 4p
12
 5p
12
 6p
12
 7p
12
 8p
12
 p
12
 9p
12
D(f) 5 R; Im(f) 5 [21,1] e p 5 
2
3
p
.
Para traçar os gráficos, você pode 
atribuir valores para x ou usar 
translações, dilatações, etc., con-
forme sua preferência.
PARA
REFLETIR
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 25 3/31/15 9:52 AM
26 Funções trigonométricas
12 Trace os gráficos das funções abaixo, determinando o perío-
do, o domínio e a imagem.
a) f(x) 5 3 1 cos x
x 5 0 → y 5 3 1 cos 0 5 3 1 1 5 4
x 5 
2
p
 → y 5 3 1 cos 
2
p
 5 3 1 0 5 3
x 5 p → y 5 3 1 cos p 5 3 1 (–1) 5 2
x 5 
3
2
p
 → y 5 3 1 cos 
3
2
p
 5 3 1 0 5 3
x 5 2x → y 5 3 1 cos 2p 5 3 1 1 5 4
y
0
3
2
1
 p
2
 p 3p
2
 2p x
4
D(f) 5 R; Im(f) 5 [2, 4] e p 5 2p.
b) f(x) 5 2 ? cos x
x 5 0 → y 5 2 ? cos 0 5 2 ? 1 5 2
x 5 
2
p
 → y 5 2 ? cos
2
p
 5 2 ? 0 5 0
x 5 p → y 5 2 ? cos p 5 2 ? (21) 5 22
x 5 
3
2
p
 → y 5 2 ? cos
p3
2
 5 2 ? 0 5 0
x 5 2p → y 5 2 ? cos 2p 5 2 ? 1 5 2
x
22
21
y
0
1
2
3p
2
2ppp
2
D(f) 5 R; Im(f) 5 [22, 2] e p 5 2p.
c) f(x) 5 cos (2x)
x 5 0 → y 5 cos (2 ? 0) 5 cos 0 5 1
x 5 
4
p
 → y 5 2
4
?
p( ) 5 cos 2p 5 0
x 5 
2
p
 → y 5 2
2
?
p( ) 5 cos p 5 –1 
x 5 
3
4
p
 → y 5 2
3
4
?
p( ) 5 cos 32p 5 0
x 5 p → y 5 cos (2p) 5 cos 2p 5 1
x
21
y
0
1
p
4
p
2
3p
4
p
D(f) 5 R; Im(f) 5 [21, 1] e p 5 2p.
d) f(x) 5 1 px
4( )
x 5 
4
2
p
 → y 5 cos ( )2p 1 p4 4 5 cos 0 5 1
x 5 
4
p
 → y 5 cos ( )p 1 p4 4 5 cos 2p 5 0
x 5 
3
4
p
 → y 5 cos ( )p 1 p34 4 5 cos p 5 –1
x 5 
5
4
p
 → y 5 cos 
5
4 4
p
1
p( ) 5 cos 32p 5 0
x 5 
7
4
p
 → y 5 cos 
7
4 4
p
1
p( ) 5 cos 2p 5 1
x
21
y
0
1
2p
4
3p
4
4p
4
5p
4
6p
4
7p
4
p
4
2
p
4
D(f) 5 R; Im(f) 5 [21, 1] e p 5 2p.
13 (UFRGS-RS) O número de intersecções da função f(x) 5 sen 5x 
com o eixo das abscissas no intervalo [22p, 2p] é: c
a) 10. 
b) 14. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 27. 
y
x
8p
5
2
6p
5
2
4p
5
2
2p
5
2
2p
5
4p
5
6p
5
8p
5
2p22p
Total: 21 intersecções com o eixo x. 
14 (PUC-RS) A figura a seguir representa um esboço do gráfico 
de uma função 

y A Bsen
x
4
,5 1 que é muito útil quando 
se estudam fenômenos periódicos, como o movimento de 
uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é: a
y
25 x2015105
0
2
1
22
21
3
5
4
 
f(x) sen (5x) p
2
5
⇒5 5 p
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 26 3/31/15 9:52 AM
27Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 14 Para aprimorar: 3 a 5
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 18. 
e) 50. 
Lembrando que uma função está bem definida apenas quando 
são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, 
vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais, e 
que o contradomínio seja o intervalo [21, 5].
Quando x 5 0 → y 5 2. Logo:
2 5 A 1 Bsen 0 ⇒ A 5 2
A amplitude B é a metade da distância vertical entre os picos; 
ou seja:
B
5 ( 1)
2
6
2
35
2 2
5 5
Assim, A ? B 5 2 ? 3 5 6.
15 (UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da variação 
da altura das marés na vida de várias espécies em certo man-
guezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, 
em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser mo-
delada de acordo com a função:



A(t) 1,6 1,4sen 6
t5 2
p
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em 
horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, 
conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está represen-
tada pelo gráfico: a
a) A (m)
30 t (h)6 9 12
1,6
0,2
3
 
b) A (m)
30 t (h)6 9 12
1,6
0,2
3
c) A (m)
30 t (h)6 9 12
1,6
0,2
3
d) A (m)
30 t (h)6 9 12
1,6
0,2
3
 
e) A (m)
30 t (h)6 9 12
1,6
0,2
3
 
Se t 5 0, temos A(0) 5 1,6 – 1,4 ? sen 0 5 1,6;
Se t 5 3, temos A(3) 5 1,6 – 1,4 ? sen 
2
p


 5 0,2;
Se t 5 6, temos A(6) 5 1,6 – 1,4 ? sen p 5 1,6;
Se t 5 9, temos A(9) 5 1,6 – 1,4 ? sen 
3
2
? p


 5 3,0.
Portanto, o gráfico da alternativa a é o correto. 
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
4
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 27 3/31/15 9:52 AM
28 Funções trigonométricas
Funções trigonométricas e pressão sanguínea
Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser mode-
lados com auxílio de funções trigonométricas, daí a enormeaplicação do estudo 
desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, enge-
nharia, medicina, etc. 
Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica 
é a variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em 
função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado abaixo representa uma 
investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a 
pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o 
tempo (em segundos). 
P
t
120
100
80
0,375 1,125 1,875 2,251,50,75
Em geral, a pressão indicada no gráfico obedece a um ciclo, sendo que cada ciclo 
completo equivale a um batimento cardíaco. Note por meio do gráfico que ocorre um 
ciclo completo a cada 0,75 segundos, o que implica dizer que a frequência cardíaca 
do indivíduo avaliado é de 80 batimentos por minuto. 
Usando a função cosseno para modelar a regularidade retratada pelos dados, 
podemos encontrar sua formulação a partir do gráfico. 
Sabendo que a função f(t) = cos t tem domínio real e imagem [–1, 1], as 
transformações do seu gráfico necessárias para que ele modele os dados do nosso 
problema são: 
1a) modificação do período de 200 para 800
3
, gerando a função 




f(t) cos
800 t
3
5 ; 
2a) reflexão de f pelo eixo t, gerando a função 




f(t) cos
800 t
3
52 ;
3a) modificação da imagem para [–20, 20], gerando f(t) 20 cos
800 t
3




52 ;
4a) translação vertical do gráfico de 100 unidades, gerando a função final




f(t) 100 20 cos
800 t
3
5 2 .
Usando essa função, podemos encontrar, por exemplo, a pressão após 2 segundos 
calculando o valor de f(2). Qual é o valor dessa pressão? (Use calculadora científica.)
MELLO, José Luiz Pastore. Trigonometria de olho na sua pressão. 
Folha de S.Paulo (Fovest), 9 out. 2007. 
Disponível em: <www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo0910200706.htm>. 
Acesso em: 20 fev. 2015. Adaptado.
110 mmHg
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 28 3/31/15 9:52 AM
29Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
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M
E
T
R
IA
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IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Pelo estudo das funções trigonométricas, sabemos que:
 A função seno f: R → R tal que f(x) 5 sen x não é injetiva nem sobrejetiva. Então f não é bijetiva 
e, portanto, não admite inversa.
 O mesmo acontece com a função cosseno g: R → R tal que g(x) 5 cos x.
 A função tangente h: A → R com A 5 [ ±{ }x x k 2pR \ tal que h(x) 5 tg x é sobrejetiva, mas 
não é injetiva. Logo, h também não é bijetiva e, portanto, não admite inversa.
Veremos agora que, escolhidos certos domínios e contradomínios, essas mesmas sentenças 
definem funções bijetivas que, consequentemente, admitem inversa.
1o) f: 2
p p
2
,
2




 → [–1, 1], tal que f(x) 5 sen x ou y 5 sen x, é função bijetiva, logo admite 
inversa.
y
x
1
p
2
2
p
2
2p
21
Inversa de f → x 5 sen y → y 5 arcsen x 

 lê-se y é o arco de 2
p
2
 a 
p
2
 cujo seno é x 

 .
2o) g: [0, p] → [21, 1], tal que g(x) 5 cos x ou y 5 cos x é função bijetiva, logo admite inversa.
y
x
2p
1
0
p
21
Inversa de g → x 5 cos y → y 5 arccos x (lê-se y é o arco de 0 a p cujo cosseno é x).
3o) h: 2
p p
2
,
2( ) → R tal que h(x) 5 tg x ou y 5 tg x é função bijetiva, logo admite inversa.
y
x2p
p
2
p
2
2
Inversa de h → x 5 tg y → y 5 arctg x 

 lê-se y é o arco entre 2
p
2
 e 
p
2
 cuja tangente é x 

 .
Justifique essas três afirmações.
PARA
REFLETIR
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 29 3/31/15 9:52 AM
30 Funções trigonométricas
Definimos então:
 Função arco-seno é a função de [21, 1] em 


2
,
2
2
p p
 tal que y 5 arcsen x.
 Função arco-cosseno é a função de [21, 1] em [0, p] tal que y 5 arccos x.
 Função arco-tangente é a função de R em 


2
,
2
2
p p
 tal que y 5 arctg x.
Na vida cotidiana, os valores associados a senos, cossenos e tangentes nem sempre são os valores 
notáveis, e os ângulos associados a eles nem sempre são conhecidos. Para obtê-los, devemos usar uma 
calculadora científica e nos lembrar do conceito de funções trigonométricas inversas.
Por exemplo, para obter ângulo x tal que sen x 5 0,34.
Toda calculadora científica tem as teclas sen21, cos21 e tan21, que são, respectivamente, as 
funções inversas de seno, cosseno e tangente, ou, na notação estudada, arcsen, arccos e arctg. 
Em geral, essas teclas são as mesmas de sen, cos e tan, e devem ser acessadas usando-se a tecla 
shift (ou 2nd, ou INV, dependendo do modelo da calculadora).
Antes de começar, verifique se sua calculadora está acertada para responder em graus (D ou 
DEG), radianos (R ou RAD) ou grado (G ou GRAD). Supondo que esteja em graus: para obter x 
tal que sen x 5 0,34, precisamos de x 5 arcsen 0,34. Então, na calculadora, precisamos calcular 
sen21 0,34 5 19,87°.
Se precisar usar uma calculadora científica, procure qual ângulo tem seno 0,34. Você vai 
encontrar que sen 20° . 0,342. Nesse caso, serviria este: x . 20°.
FUNÇÕES INVERSAS USANDO A CALCULADORA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
15 Calcule o valor de a:
a) a 5 arcsen 1
2
 
b) a 5 arccos 0
c) a 5 arctg (21)
RESOLUÇÃO:
a) a 5 arcsen 1
2
 ⇒ 
 ⇒ sen a 5 1
2
;
 ( )( )( )( )2 2( )( )2( )( )p( )( )< a( )( )<( )( )p( ) ⇒
 ⇒ a 5 
6
p
b) a 5 arccos 0 ⇒ 
 ⇒ cos a 5 0;
 (0 < a < p) ⇒
 ⇒ a 5 p
2
c) a 5 arctg (21) ⇒ 
 ⇒ tg a 5 21; ( )( )( )( )2 2( )( )2( )( )p( )( ), a( )( ),( )( )p( ) ⇒ 
 ⇒ a 5 2p
4
16 Calcule cos 




 




arcsen
3
2
.
RESOLUÇÃO:
Fazendo a 5 arcsen 
3
2
, temos:
sen a 5 
3
2
;
( )( )( )( )2 2( )( )2( )( )p( )( )< a( )( )<( )( )p( ) ⇒ a 5 p3 
Então, cos a 5 cos 
p
3
 5 
1
2
.
Logo: cos 












arcsen
3
2
 5 
1
2
.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 30 3/31/15 9:52 AM
31Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
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 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
PARA CONSTRUIR
16 Calcule:
a) arcsen 3
2




a 5 arcsen 
3
2




 ⇒ sen a 5 
3
2
; 
2 2



2
p
< a <
p
 ⇒ a 5 
3
p
b) arcsen 21
2( ) 
a 5 arcsen 
1
2
2( ) ⇒ sen a 5 – 12 ;  2p < a < p2 2 ⇒ a 5 62p
c) arccos 1
2( ) 
a 5 arccos 
1
2( ) ⇒ cos a 5 12 ; (0 < a < p) ⇒ a 5 3p
d) arccos 2 2
2




a 5 arccos 
2
2
2



 ⇒ a 5 
2
2
2 ; (0 < a < p) ⇒ a 5 
3
4
p
 
e) arctg 3( ) 
a 5 arctg 3( ) ⇒ tg a 5 3; 

2
p
< a <
p
2 2
 ⇒ a 5 
3
p
 
f ) arctg 2 3
3




a 5 arctg 
3
3
2



 ⇒ tg a 5 
3
3
2 ; 
2 2 6( ) ⇒ α2 p < a < p 52 p
17 Calcule:
a) cos 






arctg
3
3
2
a 5 arctg 
3
3
2



 ⇒ tg a 5 
3
3
2 ; 
2
p
< a <
p
2 2



 ⇒ a 5 6
2
p
Logo:
cos a 5 cos 
6
2
p


 5 
3
2
 
b) tg 

arcsen
2
3
 
a 5 arcsen 
2
3
 ⇒ sen a 5 
2
3
; 2
p
< a <
p
2 2



 ⇒ a 5 3
p
Logo: 
tg a 5 tg
3
p
 5 3 
c) ( )tg arcsen 13 
a 5 arcsen 
1
3
 ⇒ sen a 5 
1
3
; 2
p
< a <
p
2 2




Como sen2 a 1 cos2 a 5 1, temos:
1
3
2



 1 cos
2 a 5 1 ⇒ cos2 a 5 1 – 
1
9
 ⇒ 
⇒ cos2 a 5 
8
9
 ⇒ cos a 5 
2 2
3
 
Logo:
tg a 5 
sen
cos
α
α
 5 
1
3
2 2
3
1
2 2
2
2
2
4
5 ? 5 
d) ( )( )sen arctg 12132 
a 5 arctg 
12
13
2( ) ⇒ tg a 5 12132 ; 2 12( )2 p < a < p 
Mas:
tg a 5 
α
α
sen
cos
 ⇒ 
12
13
2 5 
α
α
sen
cos
 ⇒ cos a 5 
13sen
12
2
a
Como sen2 a 1 cos2 a 5 1, temos:
sen
13sen
12
1
sen
169 sen
144
1
2
2
2
2
( ) ⇒
⇒ ⇒
a 1 2
a
5
a 1
a
5
⇒ 144 sen2 a 1 169 sen2 a 5 144 ⇒ 313 sen2 a 5 144 ⇒
sen
144
313
sen
144
313
sen
12
313
sen
12 313
313
sen
12 313
313
;
2 2
e tg
12
13
2
( )
⇒ ⇒ ± ⇒
⇒ ± ⇒ ± ⇒
⇒
a 5 a 5
a 5 a 5
a 5 2 2
p
< a <
p
a 52
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 31 3/31/15 9:52 AM
32 Funções trigonométricas
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 17 Para aprimorar:6 a 9
18 Obtenha os ângulos agudos do triângulo retângulo de lados 5, 12 e 13.
a 5 arcsen 
5
13
 5 22,62°
b 5 arccos 
5
13
 5 67,38°
19 Considere que o quadriculado abaixo seja todo feito com quadradinhos de mesmo tamanho. Obtenha o valor dos quatro ângulos 
do trapézio ABCD.
D C
A B
 Ângulo A: 90° arctg
1
5
90° 11,31° 101,31°1 5 1 5
Ângulo B: arctg
5
3
59,04°5
Ângulo C: 90° arctg
3
5
90° 30,96° 120,96° ou1 5 1 5
B 1 C 5 180° ⇒ C 5 180° – 59,04° 5 120,96°
Ângulo D: arctg 5 78,69° ou5
A 1 D 5 180° ⇒ D 5 180° – 101,31° 5 78,69°
En
em
C-2
H-8
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Determine os valores reais de m para os quais as seguintes 
equações tenham solução:
a) sen x 5 2m 2 7
b) sen x 5 m 2 5
c) sen x 5 3m 2 2
d) sen x 5 m2 1 m 2 1
e) sen x 5 m2 2 1
f ) 4m 1 sen x 5 1
2 (UFC-CE) Considerando a função definida por f(x) 5 sen2 x 1 
1 sen x 1 1. Podemos afirmar:
( ) O maior valor que f assume é igual a 3 e ocorre quando 
x 5 
p
2
.
( ) O menor valor que f assume é igual a 21 e ocorre quan-
do x 5 
p3
2
.
( ) A equação f(x) 5 0 tem apenas duas raízes reais no inter-
valo [0, 2p].
( ) A reta y 5 1 intercepta o gráfico de f infinitas vezes.
( ) A reta 2y 5 21 intercepta o gráfico de f infinitas vezes.
A sequência correta de cima para baixo é:
a) V, V, F, V, F.
b) V, F, F, V, F.
c) F, V, V, F, V.
d) V, V, V, F, F.
e) V, F, V, F, V.
3 Considerando f e g funções de R em R tal que f(x) 5 sen x e 
g(x) 5 cos x:
a) calcule f(p), g(p), f p
3



 2 g
p
4



 , 








f
6
g
6
p
p
, f 2
p3
4



 e 
g 2
p3
4



 ;
b) determine x [ [0, 2p] tal que f(x) 5 g(x);
c) determine se existe x [ R tal que p
2
 , x , p e f(x) 5 g(x). 
Justifique sua resposta;
d) determine x tal que 0 < x < 2p, f(x) , 0 e g(x) > 0.
Veja, no Guia do Professor, as respostas da "Tarefa para casa". As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
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33Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
4 (UEPB) Sendo 

f(x) 4cos 2
x 2cos x,5 2
p
2 1 o valor de 
2
p
f
7
4



 é: 
a) 2.
b) 2.
c) 2 2.
d) 2 1.
e) 2
2
.
5 Calcule quando existir:
a) cossec p
4
b) sec p
3
c) cotg p
4
d) cotg p
6 Determine os valores das demais funções trigonométricas de 
um arco x quando:
a) sen x 5 21
2
 e 
p3
2
 , x , 2p
b) cos x 5 1
3
 e 0 , x , 
p
2
c) cossec x 5 2 2 e p , x , p3
2
d) tg x 5 3 e 0 , x , p
2
7 Se cos u 5 2
3
10
, 
p
2
 , u , p, então qual é o valor de 
2 cotg cossec2u 1 u?
8 Determine o domínio de cada função f tal que:
a) f(x) 5 cosx 
b) f(x) 5 1
sen x
c) f(x) 5 1
1 tg x1
d) f(x) 5 sen 2x
9 Obtenha a imagem de cada item da questão anterior.
10 Determine:
a) o valor de m, sabendo que o período da função 
f(x) 5 1 1 cos mx é igual a 3p.
b) o valor de a, sabendo que o período da função 
f(x) 5 sen 
2x
a
 é igual a 
p5
2
.
c) o valor de m para que a função f(x) 5 cos 

mx 2
2
p
 te-
nha como período p 5 p.
d) o valor de m, sabendo que o período da função f(x) 5 21 1 
1 tg 

mx 4
2
p
 é igual a 
p
2
.
11 Determine o período das seguintes funções:
a) f(x) 5 sen 7x
b) f(x) 5 cos  x
4
 
c) f(x) 5 2 ? cos  1 p2x
3( )
d) f(x) 5 1 1 4 ? tg  p 2x 1
2( )
e) f(x) 5 3 – 2 ? cos  x
4
 
f ) f(x) 5 –1 1 sen 2  2 px
2( )
g) f(x) 5 sec  2 p3x
2( )
h) f(x) 5 1 1 tg  2x
3
i) f(x) 5 1 1 sen (px – 3)
12 Considerando as funções abaixo, obtidas a partir de f(x) 5 a 1 
1 b ? sen (cx 1 d), determine os valores de a, b, c e d:
a) y
x
23
0
3
2p p 2p
b) y
x
22
2
2p p 2p0
13 (UCS-RS) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-
-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é necessário 
aplicar uma força de 20 1 10 sen (x) newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos a seguir, no intervalo [0, 3], está repre-
sentada a relação entre a força aplicada e a distância, quando 
o objeto é deslocado até 3 metros? 
a) F (newtons)
x (metros)2pp
40
30
20
10
p
2
3p
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
4
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34 Funções trigonométricas
b) F (newtons)
x (metros)2pp
40
30
20
10
p
2
3p
2
c) F (newtons)
x (metros)2pp
40
30
20
10
p
2
3p
2
d) F (newtons)
x (metros)2pp
40
30
20
10
p
2
3p
2
e) F (newtons)
x (metros)2pp
40
30
20
10
p
2
3p
2
14 Qual é o valor mínimo de f(x) 5 3 cos2 x?
15 Calcule o valor de ( )y tg arcsen 35 arccos 455 1 .
16 Existe algum ângulo agudo cuja tangente seja igual a 
1 000 000? Se existe, qual é esse ângulo?
17 Resolva o triângulo abaixo. Use sua calculadora se precisar.
20°
7
5
PARA APRIMORAR
1 Qual é o valor máximo da função f(x) 5 sen x 1 sen2 x?
2 (UFPB) Qual é o maior valor da constante real k, para que a 
equação 3sen x 1 13 5 4k possua solução?
a) 5
2
b) 3
c) 7
2
d) 11
2
e) 4
3 (PUC-RS) O conjunto-imagem da função f definida por f(x) 5 
5 sen (x) 1 h é [22, 0]. O valor de h é:
a) p
b) 22
c) 21
d) 0
e) 1
4 (Ufes) O período e a imagem da função f(x) 5 5 2 3cos 
2
p
x 2


 , 
x [ R, são, respectivamente:
a) 2p e [21, 1].
b) 2p e [2, 8].
c) 2p2 e [2, 8].
d) 2p e [23, 3].
e) 2p2 e [23, 3].
5 Qual é o domínio da função dada por f(x) 5 cotg 

2x 3
2
p ?
6 Sejam a 5 arcsen 
4
5



 um arco no 2
o quadrante e b 5
5 arctg  2
4
3



 um arco no 4
o quadrante. Calcule o valor de 
100cos (a 1 b).
7 Sabendo que 0 < arccos x < p para 21 < x < 1, calcule o 
valor de sen ( )( )2arccos 352 .
8 (ITA-SP) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângu-
lo A$ mede 5 cm. Sabendo que A$ 5 arccos 
3
5
 e C$ 5 arcsen 
2
5
 
então a área do triângulo ABC é igual a:
a) 5
2
 cm2.
b) 12 cm2.
c) 15 cm2.
d) 2 5 cm2.
e) 25
2
 cm2.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 34 3/31/15 9:52 AM
35Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
9 (UEL-PR) O jogador representado adiante vai cobrar um pênalti e decidiu chutar a bola na direção da linha central do gol. Se a altura 
da trave é de 2,40 m, o diâmetro da bola é de 22 cm e a distância que esta está da linha do gol é de 11 m, de quanto deve ser, no 
máximo, o ângulo a de elevação da bola, mostrado na figura a seguir, para que o jogador tenha possibilidade de fazer o gol?
2,4 m
Linha central do gol
a
a) a 5 arctg  2,18
11




b) a 5 arctg  11
2,18




c) a 5 arctg  2,4
11




d) a 5 tg  11
2,4




e) a 5 tg  2,18
11




ANOTAÇÕES
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 35 3/31/15 9:52 AM
36 Funções trigonométricas
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.REVISÃO
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Revisão”. As resoluções 
encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
1 O gráfico abaixo é o da função y 5 a ? sen bx. Os núme-
ros a e b são, respectivamente: 
y
xp
2
p
1
0
21
a) 1 e 2
b) 2 e 1
c) 2 e 21
d) 21 e 2
e) 21 e 22
2 Conhecendo o valor de sen x 5 
3
5
 e x [ 
p
0,
2












, calcule 
o valor numérico da expressão
 












sec x cotg x cossec x tg x
6 sen x cossec x
2c x2c x
2c x2c x
1
? 2cotg? 2x c? 2x c ?
? ?6 s? ?6 sen? ?x c? ?x c
2
.
3 Qual é o menor valor de f(x) 5 cos x 1 cos 2x?
4 Determine o domínio (D) e a imagem (Im) da função 
f(x) 5 3 1 2cos  2
p3x
2 2




 



 .
5 A partir do gráfico de f(x) 5 tg x, trace os gráficos das 
funções, encontrando o período:
a) f(x) 5 3 1 tg x
b) f(x) 5 22 1 tg x
c) f(x) 5 tg 



 



3x
2 2
2
p
6 Qual é o valor máximo de y 5 2 sen x 1 cos 2x?
7 Qual é a imagem da função f(x) 5 5 cos x 1 12 sen x?
8 (UFPR) Suponha que, durantecerto período do ano, a 
temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago 
possa ser descrita pela função ( )( )F( t) 21 4cos ( )12( )t ,( )t ,( )5 2215 2 ( )p( ) 
sendo t o tempo em horas medido a partir das 6h00 da 
manhã.
a) Qual é a variação de temperatura num período de 
24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 °C? 
9 (Ucsal-BA) Na figura abaixo tem-se um esboço gráfico da 
função definida por f(x) 5 a ? cos bx. Os valores de a e b 
são, respectivamente: 
y
x
1
21
0 p2p 2p 3p
4p
a) 1 e 2
b) 1 e 1
2
c) 21 e 1
2
d) 21 e 1
e) 21 e 2
10 (UCS-RS) Suponha que o deslocamento de uma partí-
cula sobre uma corda vibrante seja dado pela equação 
s(t) 10 1
4
sen (10 t),5 1105 1 p em que t é o tempo, em segun-
dos, após iniciado o movimento, e s, medido em centí-
metros, indica a posição.
Meio segundo após iniciado o movimento da corda, qual é, 
em cm, o afastamento da partícula da posição de repouso? 
a) 0 
b) 0,125 
c) 0,25 
d) 10 
e) 10,25 
11 (FGV-RJ) A previsão mensal da venda de sorve-
tes para 2012, em uma sorveteria, é dada por 
( )( )P 6 000 50x 2 000cos ( )x( )( )6( )5 1P 65 1P 6 0005 1 x 21x 2 ( )p( ), em que P é o núme-
ro de unidades vendidas no mês x ; x 5 0 representa ja-
neiro de 2012, x 5 1 representa fevereiro de 2012, x 5 2 
representa março de 2012 e assim por diante. Se essas 
previsões se verificarem em julho, haverá uma queda na 
quantidade vendida, em relação a março, de aproxima-
damente: 
a) 39,5%. 
b) 38,5%. 
c) 37,5%. 
d) 36,5%. 
e) 35,5%. 
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
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37Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
12 (UERN) Determinado inseto no período de reprodução 
emite sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor 
mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis, 
sendo t a variável tempo em segundos. Entre as funções 
a seguir, aquela que melhor representa a variação da in-
tensidade sonora com o tempo I(t) é:
a) ( )( )50 10cos ( )6( )t .( )t .( )2 ( )p( ) 
b) ( )( )30 10cos ( )6( )t .( )t .( )1 ( )p( ) 
c) ( )( )40 20cos ( )6( )t .( )t .( )1 ( )p( ) 
d) ( )( )60 20cos ( )6( )t .( )t .( )2 ( )p( ) 
13 (UFRN) Para que valores de a existe x tal que tg x 5 
5 5 42a 22a 2 5 4a 15 4 ?
a) a < 1 ou a > 4 
b) 1 < a < 4 
c) a [ R
d) a > 1
e) a < 21
14 (UFPR) O pistão de um motor se movimenta para cima e 
para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura 
h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela 
expressão:










h(t) 4 sen 2 t
0,05
45 2 tp2 t 1
a) Determine a altura máxima e a mínima que o pistão 
atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcio-
nando durante um minuto? 
15 (UFSM-RS) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em 
excesso pelos veículos causam graves problemas a toda 
população. Durante o inverno, a poluição demora mais 
para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento 
de doenças respiratórias.
Suponha que a função
( )( )N(x) 180 54cos ( )6( )( )(x( )( )1)( )5 21805 2 ( )p( )( )2( )
represente o número de pessoas com doenças respirató-
rias registrado num Centro de Saúde, com x 5 1 corres-
pondendo ao mês de janeiro, x 5 2, ao mês de fevereiro 
e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respirató-
rias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho 
é igual a: 
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
16 (Uespi) Quantas soluções a equação sen x 5 
x
10
 admite 
no conjunto dos números reais? Abaixo, estão esboça-
dos os gráficos de sen x e 
x
10
.
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
C
A
S
A
 D
E
 T
IP
O
S
/A
R
Q
U
IV
O
 D
A
 E
D
IT
O
R
A
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38 Funções trigonométricas
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do Professor de 
Matemática, v. 1-2)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 . Mathematical discovery. New York: John W. dey & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
ANOTAÇÕES
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 38 3/31/15 9:52 AM
ENEMMAIS
39
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 Matemática e suas Tecnologias
ONDAS NO OCEANO
As ondas dão à superfície do mar uma aparência desordenada. 
No entanto, à medida que as ondas se afastam do local de formação, 
as de maior comprimento de onda vão se propagar mais rapidamen-
te. Ocorre uma dispersão das ondas, isto é, ondas com características 
diferentes vão distanciar-se umas das outras por se propagarem com 
velocidades diferentes. Isso explica o fato de que, a grandes distâncias 
do local de origem, as ondas já tenham um aspecto mais ordenado 
(conhecidas como ondulação ou swell), sendo que as primeiras a che-
gar são aquelas que têm maior comprimento de onda.
As ondas podem ser consideradas como uma sobreposição de 
ondas simples (veja a imagem a seguir).
(a)
(b)
As ondas simples (a), ao interferirem entre si, dão origem a pa-
drões mais complicados (b). A superfície do mar vai mostrar o efei-
to combinado das ondas correspondendo a um grupo de ondas. É 
como se as ondas se propagassem dentro de um “veículo” mais lento 
que elas. Cada onda individual nasce na parte de trás do “veículo” e 
morre na parte dianteira deste, transferindo sua energia para a onda 
que a precede.
Com base em: <http://geofisica.fc.ul.pt/informacoes/
curiosidades/ondasoceano.htm>. Acesso em: jul. 2013.
1 Vamos supor que, ao entrar um swell, hajam apenas ondas de-
nominadas “simples”, e que a variação entre a altura máxima e a 
mínima, em metros, atingida pela onda possa, ser expressa pela 
função f(x) 5 2 1 cos (5x). É correto afirmar: d
a) A maior onda desta swell terá 5 metros.
b) A menor onda registrada será de 2 metros.
c) A diferença entre as ondas pode chegar a 3 metros.
d) A menor e a maior onda se diferem em exatamente 2 metros.
e) Essa swell não terá ondas inferiores a 1,5 metro.
Movimento harmônico simples (MHS)
Quando um corpo executa um movimento em trajetória reti-
línea, indo e voltando (oscilando) em torno de um ponto de equi-
líbrio, ele realiza um movimento periódico muito comum, denomi-
nado movimento harmônico simples. As constantes a, b, c e d são 
substituídas por constantes que representam aspectos relevantes do 
MHS. A constante a é nula, pois se considera que o sistema de coor-
denadas tem origem na posição de equilíbrio (centro de oscilação); 
b é a amplitude A do movimento a partir do centro de oscilação; 
c é a frequência angular v; d é a fase inicial w
0
; e o argumento do 
seno (ou cosseno), ou seja, vt 1 w
0
, é chamado fase do movimen-
to do tempo t. Dessa forma, a equação do espaço no MHS é co-
mumente apresentada como x 5 A ? cos (vt 1 w
0) ou x 5 A ? 
? sen (vt 1 w
0
). 
Com base em: MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Física. 2. ed. 
São Paulo: Scipione, 2011. p. 5.
2 Conforme vimos neste módulo, a generalização das funções do 
tipo trigonométrica é dada por f(x) 5 a 1 b ? trig (cx 1 d). Va-
mos supor que no deslocamento de uma partícula o período 
seja igual a 2, a imagem seja [20,3; 0,3] e 5
p
d
2
. Sabe-se que a 
partícula encontra-se em MHS, representado pela função seno. 
Com base nessas informações, podemos afirmar que a função 
horária que melhor representa esse deslocamento é: d
a) x(t) 0,3 sen
2
tp
p= ⋅0,= ⋅3 s= ⋅3 s +


 




b) x(t) 0,3 sen
2 2
t
p p= ⋅0,= ⋅3 s= ⋅3 s +p p+p p


 




c) x(t) 0,2 sen 3
2 2
t= ⋅0,= ⋅2 s= ⋅2 s +


 



p p+p p
d) x(t) 0,3 sen
2
t
p
p= ⋅0,= ⋅3 s= ⋅3 s +


 




e) x(t) 0,1 sen
2
tp
p= ⋅0,= ⋅1 s= ⋅1 s +


 




3 Observe o deslocamento de uma partícula em MHS representa-
do pela função x(t) 5 A ? cos (vt 1 w
0
):
x (m)
t (s)
a
0
b
Então a e b, mostrados na figura, poderão ser substituídos, res-
pectivamente, por: b
a) 2A e A.
b) A e 2A.
c) v e 2v.
d) 2v e v.
e) 1 e 21.
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_CAP1_PR_AL.indd 39 3/31/15 9:52 AM
40 Funções trigonométricas
QUADRO DE IDEIAS
Seno
Domínio: R
Imagem: [21, 1]
Período: 2p
Ímpar: sen (2x) 5 2sen x
Sinais: 
Gráfico:
1 1
2 2
y
x3p
2
2
3p
2
2p
22p
1
21
02p
p
2
2
p
2
p
Cosseno
Domínio: R
Imagem: [21, 1]
Período: 2p
Par: cos x 5 cos (2x)
Sinais: 
Gráfico:
2 1
2 1
Tangente
Sinais: 
Gráfico:
Domínio: x ± 
p
2
 1 kp, com k [ Ω
Período: p
Ímpar: tg (2x) 5 2tg x
Imagem: R
y
0 p
6
p
2
p
4
p
3
3p
2
p 2p x
2 1
1 2
Funções 
trigonométricas
inversas
 arcsen x 5 y ⇔ sen y 5 x, de [21, 1] em 2
p p
2
,
2




 arccos x 5 y ⇔ cos y 5 x, de [21, 1] em [0, p]
 arctg x 5 y ⇔ tg y 5 x, de R em 2
p p
2
,
2




Funções 
trigonométricas
y
x0
3p
2
3p
2
2
p
2
p
2
2
2pp2p22p
1
21
Presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Carlos Roberto Piatto
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Conselho editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves, 
Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel,
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, 
Tania Fontolan
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Danielle Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni,
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(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino médio, caderno 5 : 
geometria : PR / Luiz Roberto Dante. -- 2. ed. --
São Paulo : Ática, 2015.
 1. Geometria (Ensino médio) 2. Matemática 
(Ensino médio) I. Título.
15-01593 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Geometria : Ensino médio 510.7
2015
ISBN 978 85 08 17316-7 (AL)
ISBN 978 85 08 17310-5 (PR)
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1ª impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Funções trigonométricas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP.
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela 
PUC/São Paulo.
Mestre em Matemática pela USP.
Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
(Sbem).
Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação 
Matemática (Ciaem).
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp 
– Rio Claro/SP.
Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de 
Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção 
Aprendendo Sempre – Matemática (1o ao 5o ano); Tudo é Mate-
mática (6o ao 9o ano); Matemática – Contexto & Aplicações – 
Volume único (Ensino Médio); Matemática – Contexto & Aplica-
ções – 3 volumes (Ensino Médio).
MÓDULO
 Funções trigonométricas (14 aulas)
MATEMÁTICA 
GUIA DO PROFESSOR
geometria e trigonometria
2121640_SER1_EM_MAT_CAD5_GuiaProf.indd 1 3/31/15 9:58 AM
2 GUIA DO PROFESSOR
Competências
 c Construir noções de 
variação de grandezas para 
a compreensão da realidade 
e a solução de problemas do 
cotidiano.
 c Modelar e resolver problemas 
que envolvam variáveis 
socioeconômicas ou 
técnico-científicas, usando 
representações algébricas.
Habilidades
 c Identificar a relação de 
dependência entre grandezas.
 c Identificar representações 
algébricas que expressem a 
relação entre grandezas.
 c Interpretar gráfico cartesiano 
que represente relações entre 
grandezas.
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em 
questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique 
aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) 
competência(s) e da(s) habilidade(s) abordada(s) na questão, 
cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Lingua-
gens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: 
rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de 
Referência do Enem está disponível no portal.
 1. Funções trigonométricas
Objeto do conhecimento
Conhecimentos geométricos.
Objeto específico
Ângulos. Circunferências. Trigonometria do ângulo agudo.
Plano cartesiano.
aulas 1 e 2
 Páginas: 4 a 9
estudo da função seno
objetivos
 Conhecer a função seno.
 Construir e analisar o gráfico da função seno.
MÓDULO
Funções trigonométricas
Plano de aulas sugerido
Carga semanal de aulas: 2
Número total de aulas do módulo: 14
 Identificar a periodicidade, o domínio e a imagem da função seno.
 Estudar o sinal e a variação da função seno.
estratégias
Leia com os alunos o texto de introdução às funções trigonométricas.
Explique, por meio de diagrama, o conceito de função seno, seu 
domínio e sua imagem.
Monte na lousa uma tabela com valores de x da 1a volta positiva.
Construa o gráfico referente a essa tabela.
Mostre no gráfico que a curva, chamada senoide, pode ser enten-
dida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p.
Explique as observações sobre a função seno.
Mostre no gráfico a periodicidade da função seno.
Desenhe na lousa a circunferência trigonométrica e estude com os 
alunos o sinal da função seno. 
Mostre na circunferência trigonométrica e, paralelamente no grá-
fico, a variação da função seno e monte um quadro-resumo dessa 
variação para cada quadrante.
No final da aula, coloque na lousa um quadro-resumo sobre o es-
tudo da função seno.
tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 e 2 do “Para prati-
car” (página 32) e as atividades 1 e 2 do “Para aprimorar” (página 34).
Se achar oportuno, no início da próxima aula