Resumo aula séries infinitas

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DEFINIÇÕES 
 
→ Série ≠ Sequência 
→ Sequência: sucessão de números  1 , 2 , 3 , 4 , 5 
→ Série: somatório dos números de uma sequência  
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 
→ ∑ Uk = U1 + U2 + U3 + ⋯ + U∞∞𝑘=1
 
→ Exemplo: 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 
 
SOMAS PARCIAIS 
 
→ É a soma dos termos de uma série, de forma 
separada 
→ Pegando o exemplo acima: 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 
0,003 + 0,0003: 
 S1 = Soma de 1 termo  0,3 
 S2 = Soma de 2 termos  0,3 + 0,03 = 0,33 
 S3 = Soma de 3 termos  0,3 + 0,03 + 0,003 = 
0,333 
 S4 = Soma de 4 termos  0,3 + 0,03 + 0,003 + 
0,0003 = 0,3333 
 As somas parciais são somas exatas 
 Quantos mais termos estiverem presentes na soma, mais 
precisos serão os resultados 
 
SÉRIES E SEQUÊNCIAS 
CONVERGENTES/DIVERGENTES 
 
Dado: {𝑠𝑛}𝑛=1
∞ 
 
Se a sequência {𝑠𝑛} convergir, a série pode convergir 
(mas não necessariamente converge!) 
 
Se a sequência {𝑠𝑛} diverge, com certeza a série deverá 
também divergir! 
 
LEI SN 
 
→ Se soubermos a lei de Sn, poderemos aplicar o limite e 
descobrir o resultado da soma dos infinitos termos, 
além de identificar se a série é convergente ou 
divergente 
→ Exemplo: tente encontrar a lei de Sn de 
∑ (
1
𝑛 (𝑛+1)
)
∞
𝑛=1
 
 
 
 Escrever em forma de fração parcial: 
1
𝑛 (𝑛+1)
 = 
𝐴
𝑛
 
+ 
𝐵
𝑛+1
 
 Tirar o m.m.c. para encontrar os valores de A e B 
1=𝐴 (𝑛+1)+𝐵𝑛
𝑛 (𝑛+1)
  
1=𝐴 (𝑛+1)+𝐵𝑛
𝑛 (𝑛+1)
  1 
= An + A + Bn  1 + 0n = n (A + B) + A 
 inserir o “0n” para igualar os termos (n com n, e números 
sem n com números sem n 
 A + B = 0 e A = 1  Logo, B = -1 
 Convertendo os valores em = 
𝐴
𝑛
 + 
𝐵
𝑛+1
  = 
TERMOS DA SÉRIE 
∑ (
1
𝑛 
− 
1
𝑛+1
)
∞
𝑛=1
 = 
 
 Começando em n = 1 e prosseguindo a sequência: 
(
1
1 
− 
1
1+1
) = 
1
1 
− 
1
2
 + 
1
2 
− 
1
3
 + 
1
3 
− 
1
4
 + .. 
1
𝑛 
−
 
1
𝑛+1
 
 Cortar os valores de sinais contrários: (
1
1 
− 
1
1+1
) = 
1
1 
− 
1
2
 + 
1
2 
− 
1
3
 + 
1
3 
− 
1
4
 + .. 
1
𝑛 
− 
1
𝑛+1
 
 ∑ (
1
𝑛 
− 
1
𝑛+1
)
∞
𝑛=1
 = 1 - 
1
𝑛+1
 
 Fazer o m.m.c. para achar a lei Sn  
𝑛+1−1
𝑛+1
= 
𝑛
𝑛+1
 
 
 
 Sendo assim, com n começando em 1 e indo até ∞ , 
teremos: S1 = 
1
2
 
𝑆2 =
2
3
 
𝑠3 = 
3
4
 
𝑆4 = 
4
5
 
𝑆5 = 
5
6
 
 
→ Aplicando o limite: ∑ (
1
𝑛 (𝑛+1) 
)
∞
𝑛=1
 = 
 Lim Sn 
n→∞ 
 
Lim (
𝑛
𝑛+1
) = 
∞
∞
  Aplicar L’Hopital = 
1
1+0
=1 
n→∞1 
 
Logo, a soma de todos os termos dará 1 
(CONVERGENTE) 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Lim Sn = L (constante)  CONVERGE 
n→∞ 
 
Lim Sn = ±∞ ou oscilar valoresDIVERGE 
n→∞