Aula 4 - Matematica basica - Teorema das Areas e Formula de Heron

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1
Prof. Jeferson K. de Morais
Matemática Básica para 
Alunos de Graduação
Teorema das áreas
Fórmula de Heron
4
2
Lei dos senos
Em um triângulo ABC qualquer, as
medidas dos lados são proporcionais aos
senos dos respectivos ângulos opostos.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos መ𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos ෠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos መ𝐶
Em um triângulo ABC qualquer, o quadrado da
medida de um lado qualquer é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dois
lados menos o dobro do produto das medidas
desses dois lados multiplicado pelo cosseno do
ângulo formado por eles.
Lei dos cossenos
𝒂
𝒔𝒆𝒏 ෡𝑨
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 ෡𝑩
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 ෡𝑪
Para aplicar a Lei dos senos, tem-se que:
• Conhecer a medida de dois ângulos do
triângulo;
• Conhecer a medida de um dos lados do
triângulo.
Para aplicar a Lei dos cossenos, tem-se que:
• Conhecer as medidas de dois lados do
triângulo;
• Conhecer a medida de um ângulo do
triângulo.
Razões iguais
REVISÃO DO DIA 07/05/2021
4
3
Proposta inicial
𝑨
𝑩 𝑪
𝒉
𝟔𝒎
𝟒𝒎
8𝒎
Qual a medida da altura (𝒉) relativa ao lado BC do triângulo da figura?
𝑫
4
4
Teorema das áreas
A área de um triângulo qualquer pode ser calculada como o
produto de dois lados consecutivos quaisquer pelo seno do
ângulo formado por esses dois lados dividido por 2.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 ⟶
𝑏 ∙ ℎ
2
𝑠𝑒𝑛 α =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑠𝑒𝑛 α =
ℎ
𝑑
⟶ 𝑠𝑒𝑛 α ∙ 𝑑 = ℎ
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α ∙ 𝑑
2
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
2
𝑜𝑢 Á𝑟𝑒𝑎 =
1
2
∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
4
5
Teorema das áreas
𝐴Δ =
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛾
2
𝐴Δ =
𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
2
𝐴Δ =
𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛽
2
4
6
Exemplo: determinar a área do triângulo ABC.
𝐴 =
𝑐 ∙ 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ෠𝐵
2
Aplicação direta da fórmula:
𝐴 =
8 ∙ 10 ∙ 𝑠𝑒𝑛 30°
2
𝐴 =
80 ∙
1
2
2
𝐴 =
80
2
2
𝐴 =
80
2
∙
1
2
𝐴 =
80
4
𝐴 = 20 𝑐𝑚2
4
7
Proposta inicial
𝑨
𝑩 𝑪
𝒉
𝟔𝒎
𝟒𝒎
8𝒎
Qual a medida da altura (𝒉) relativa ao lado BC do triângulo da figura?
𝑫
4
8
Fórmula de Heron
A Fórmula de Heron possibilita o cálculo da área
de um triângulo qualquer conhecendo as
medidas dos seus três lados.
Sendo 𝑺 o semiperímetro do triângulo: 𝑠 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
𝐴 = 𝑠. 𝑠 − 𝑎 . 𝑠 − 𝑏 . (𝑠 − 𝑐)
Heron de Alexandria, ou
ainda Hero ou Herão (10
d.C. - 80 d.C. ) foi um
matemático e mecânico
grego.
4
9
Exemplo: qual a área de um triângulo de lados medindo 5cm, 6cm e
7cm?
Cálculo do semiperímetro:
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
=
5 + 6 + 7
2
=
18
2
→ 𝑠 = 9
𝐴 = 9. 9 − 5 . 9 − 6 . (9 − 7)
𝐴 = 9. 4 . 3 . (2)
𝐴 = 216
𝐴 = 22 ∙ 32 ∙ 6
𝐴 = 2 ∙ 3 ∙ 6
𝐴 = 6 6 𝑐𝑚2
Decomposição do 216 
em fatores primos:
𝐴 = 𝑠. 𝑠 − 𝑎 . 𝑠 − 𝑏 . (𝑠 − 𝑐)
Cálculo da área do triângulo:
4
10
Qual a medida da altura (𝒉) relativa ao lado BC do
triângulo da figura?
Voltando à proposta inicial!
1°) Cálculo do semiperímetro (𝑠):
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
=
4 + 6 + 8
2
=
18
2
→ 𝑠 = 9
𝐴 = 9. 9 − 4 . 9 − 6 . (9 − 8)
𝐴 = 9. 5 . 3 . (1)
𝐴 = 135
𝐴 = 32 ∙ 15
𝐴 = 32 ∙ 15
𝐴 = 3 15 𝑚2
Decomposição do 135 
em fatores primos:
3°) A área (𝐴) do triângulo também pode
ser calculada através da fórmula A =
𝑏∙ℎ
2
.
Lembre-se que a base (𝑏) é igual a 6m.
A =
𝑏 ∙ ℎ
2
3 15 =
6 ∙ ℎ
2
3 15 = 3 ∙ ℎ
ℎ = 15 𝑚
ou
ℎ ≅ 3,8 𝑚
𝐴 = 𝑠. 𝑠 − 𝑎 . 𝑠 − 𝑏 . (𝑠 − 𝑐)
2°) Cálculo da área do triângulo:
𝐋𝐄𝐌𝐁𝐑𝐄 − 𝐒𝐄: 𝐀 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
4
11
1) Uma região triangular com lados medindo 7m, 9m, e 14m será utilizada
para recreação. Qual a área disponível para recreação?
Praticando!
𝐴 = 𝑠. 𝑠 − 𝑎 . 𝑠 − 𝑏 . (𝑠 − 𝑐)
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
=
7 + 9 + 14
2
=
30
2
→ 𝑠 = 15
𝐴 = 15. 15 − 7 . 15 − 9 . (15 − 14)
𝐴 = 15. 8 . 6 . (1)
𝐴 = 720
Decomposição 
do 720 em 
fatores primos:
𝐴 = 22 ∙ 22 ∙ 32 ∙ 5
𝐴 = 12 ∙ 2,23
Cálculo da área da região triangular:
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 5 ≅ 2,23
𝐴 = 12 5 𝑚2
Cálculo do semiperímetro (𝒔):
𝐴 = 26,76 𝑚2
𝐴 = 22 ∙ 22 ∙ 32 ∙ 5
𝐴 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
4
12
2) Um triângulo possui lados de comprimento 2 cm e 6 cm e área de
6 cm2. Qual é a medida do terceiro lado desse triângulo?
Á𝑟𝑒𝑎 =
𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
2
1°) Vamos descobrir a
medida de um ângulo
utilizando o teorema das
áreas:
6 =
2 ∙ 6 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
2
2 ∙ 6 = 2 ∙ 6 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
12 = 12 ∙ 𝑠𝑒𝑛 α
12
12
= 𝑠𝑒𝑛 α
𝑠𝑒𝑛 α = 1
𝑠𝑒𝑛 90° = 1
α = 90°
OBS:
• O triângulo é retângulo.
Podemos aplicar o teorema de
Pitágoras.
• No triângulo retângulo o outro
lado que falta é a hipotenusa.
𝑥2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑥2 = 62 + 22
𝑥2 = 36 + 4
𝑥2 = 40
𝑥 = 40
2°) Pelo teorema de Pitágoras
descobrimos a medida do 3°
lado do triângulo:
Decomposição do 40 
em fatores primos:
𝑥 = 22 ∙ 10
𝑥 = 2 10 𝑐𝑚
4
13
3) O esboço da logomarca de uma empresa é formada,
principalmente, por um triângulo com lados medindo 4 cm, 9 cm e 11
cm. Qual a área do triângulo com as medidas propostas no esboço?
𝐴 = 𝑠. 𝑠 − 𝑎 . 𝑠 − 𝑏 . (𝑠 − 𝑐)
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝑠 =
4 + 9 + 11
2
𝑠 =
24
2
𝑠 = 12
𝐴 = 12. 12 − 4 . 12 − 9 . (12 − 11)
𝐴 = 15. 8 . 3 . (1)
𝐴 = 360
𝐴 = 22 ∙ 32 ∙ 10
Cálculo da área do triângulo:
𝐴 = 6 10 𝑐𝑚2
Cálculo do semiperímetro (𝒔):
𝐴 = 18,97 𝑐𝑚2
𝐴 = 2 ∙ 3 ∙ 10
Decomposição do 360 
em fatores primos:
4
14
DESAFIO!
𝟏𝟏 𝒄𝒎
𝟗 𝒄𝒎4 𝒄𝒎
Sem utilizar a Fórmula de Heron determine
a medida da área do triângulo abaixo?