Aulas_19_20_FT_I_2021

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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Alimentos
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Engenheiro Mecânico – UFPB
Doutor em Engenharia Mecânica – USP
Notas de aula do curso de:
2021
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Engenheiro Mecânico – UFPB
Doutor em Engenharia Mecânica – USP
Notas de aula do curso de:
Aulas 19 e 20
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
❑ Estática dos Fluidos
o Distribuições de pressão hidrostática
o Variação da pressão com a profundidade em líquidos
o Teorema de Stevin ou equação fundamental da hidrostática
o Observações sobre o Teorema de Stevin ou equação fundamental da hidrostática
o Lei de Pascal – Aplicações
o Medição da pressão relativa ou manométrica (manometria)
o Outros medidores de pressão
o O barômetro e a pressão atmosférica
Conteúdo Programático das Aulas 19 e 20
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Matematicamente, para um fluido em repouso, a taxa de variação máxima da pressão com a 
distância ocorre na direção do vetor campo gravitacional .g

• Dedução:
− Em nosso sistema de coordenadas usual, z é “para cima”. Assim, o vetor gravidade local para 
problemas de pequena escala é
em que g é o valor da gravidade local, por exemplo, 9,807 m/s2.
kgg

−=
Distribuições de Pressão Hidrostática
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− Para essas coordenadas a equação tem os componentes gp

=
0
x
p
=


0
y
p
=


−=−=


g
z
p
das quais as duas primeiras nos diz que p é independente de x e y, ou seja, p varia somente 
com a direção do vetor gravidade local em um elemento de fluido estático.
−=−= g
dz
dp
− Logo, p/z pode ser substituída pela derivada total dp/dz, e a condição hidrostática 
reduz-se a equação básica da estática dos fluidos
Distribuições de Pressão Hidrostática
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− Ou seja, o peso específico  pode ser constante ou variável em função da variação da 
massa específica  do fluido e, também, da variação do campo gravitacional. 
− Estudaremos casos em que a aceleração gravitacional e a massa específica podem 
ser consideradas constantes, assim:
cteg
dz
dp
=−=−=
− Por exemplo: A aceleração gravitacional g varia de 9,807 m/s2 no nível do mar até
9,764 m/s2 a uma altitude de 14000 m. Essa mudança é de 0,4% neste caso extremo.
Assim é possível considerar que g é constante com erro desprezível.
Distribuições de Pressão Hidrostática
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− No entanto, a variação da pressão com a altura (ou profundidade) é obtida por meio da 
integração da equação básica da estática dos fluidos, que é aplicável para qualquer fluido em 
repouso. 
cteg
dz
dp
=−=−=
( )
( ) ( )ooz
p
P
z
z
zzgppdzgdp
z
o o
−−=−−= 
• Como:
• Logo:
solução do problema 
hidrostático
− Restrições: (1) Fluido estático; (2) A gravidade é a única força de campo; (3) O eixo z é 
vertical e voltado para cima.
Distribuições de Pressão Hidrostática
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
o Variação da pressão com a profundidade em um fluido incompressível
− Para os líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um referencial com um 
eixo h, paralelo ao vetor campo gravitacional, com a origem na superfície livre e sentido 
positivo para baixo, conforme a figura abaixo.
x
z
y
o
h
Pressão 
atmosférica
g

Superfície livre do fluido
Líquido ()
Variação da Pressão com a Profundidade
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Adotando o sistema de coordenadas da figura do slide anterior, temos:
cteg
dh
dp
===
• Logo:
( )
( ) hPghPhgppdhgdp oh
P
P
h
0
h
o
===−= 
o Variação da pressão com a profundidade em um fluido incompressível
Variação da Pressão com a Profundidade
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Assim:
− Os dispositivos usados para medir diferenças de pressão que se baseiam nesse princípio 
são chamados de manômetros.
( ) hgpp oh =−
− É a equação manométrica e indica que a diferença de pressão entre dois pontos num 
fluido estático de densidade constante pode ser determinada medindo-se a diferença de 
altura entre os pontos.
− Também conhecida como teorema de Stevin (Simon Stevin – 1548-1620) ou equação 
fundamental da hidrostática ou ainda equação básica da estática dos fluidos.
o Variação da pressão com a profundidade em um fluido incompressível
Variação da Pressão com a Profundidade
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
“A variação da pressão entre dois pontos quaisquer de um fluido é igual ao produto de sua massa 
específica pela diferença de nível entre os dois pontos e pela aceleração da gravidade”, isto é, é 
proporcional à distância vertical entre os pontos e à densidade do fluido.
g
h
Fonte: PETROBRÁS.
hhgpp AB ==−
Teorema de Stevin ou Equação Fundamental da Hidrostática
− Em outras palavras, a pressão em um fluido aumenta linearmente com a profundidade.
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
1. Na diferença de pressões entre dois pontos não interessa a distância entre eles, mas a 
diferença de cotas.
2. A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma.
pA = pB < pC
Fonte: PETROBRÁS.
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
3. O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em um ponto.
Na Figura, qualquer ponto do nível A tem a mesma pressão pA e qualquer ponto do nível B 
tem a mesma pressão pB, desde que o fluido seja o mesmo em todos os ramos.
Pressão num mesmo plano em formas diferentes de reservatório
Fontes: Brunetti, F. (2008); Coelho, J. C. M. (2016); Linderburg, M. R. (2013).
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
– Em um mesmo plano horizontal as intensidades de pressão em um mesmo fluido são iguais. 
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
4. Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a pressão 
num ponto qualquer à profundidade h dentro do líquido será dada por: p = .h.
Pressão à profundidade h
Fonte: Brunetti, F. (2008).
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
5. Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cotas não for muito 
grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.
pA ≡ pB ≡ pC
gás
Pressão em um gás
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
6. A pressão em torno de um ponto em um fluido em repouso é a mesma em todas as direções.
Pressão em torno de um ponto
Fonte: Brunetti, F. (2008).
Observações sobre o Teorema de Stevin
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
▪ Podemos ampliar a observação nº 6 e definir a lei de pascal:
o Um acréscimo de pressão aplicada a um ponto de um fluido incompressível, em 
repouso, transmite-se integralmente a todos os demais pontos do fluido.
ÁREA = 100 cm2
2
1
3
4
FLUIDO 
INCOMPRESSÍVEL
FORÇA = 100 kgf
Pressão transmitida em torno de um ponto fluidoPressão em torno de um ponto fluido
Exemplo:
2
1
3
4
FLUIDO 
INCOMPRESSÍVEL
Fonte: PETROBRÁS.
Lei de Pascal
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
o Transmissão e ampliação de uma força
Prensa hidráulica
1
1
1
A
F
p =
2
2
2
A
F
p =






===
1
2
12
2
2
1
1
21
A
A
FF
A
F
A
F
pp
p2 p1
Lei de Pascal - Aplicações
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
o Transmissão e ampliação de uma força – macaco hidráulico
Lei de Pascal - Aplicações
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas SilvestreFilho
Exercício Extraclasse
Conforme mostrado na Figura, o elemento fluido diferencial é estático em relação ao
sistema estacionário de coordenadas retangulares, onde p é a pressão no centro, O,
do elemento. Para determinar a pressão em cada uma das seis faces do elemento,
utilizamos um desenvolvimento em série de Taylor da pressão em torno do ponto O. As
forças de pressão que atuam nas duas superfícies na direção y do elemento fluido
diferencial são mostradas na Figura.
(continua no próximo slide)
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
g
dz
dp
−=
Utilizando o elemento fluido diferencial mostrado, prove, por meio de dedução
matemática, que a equação que nos possibilita determinar o campo de pressão dentro
de um fluido estático é dada por
0gp =+−

Notadamente, para simplificar ainda mais, é lógico escolher um sistema de
coordenadas no qual o vetor gravidade esteja alinhado com um dos seus eixos. Se
o sistema escolhido, for com o eixo z apontado para cima na direção vertical, como
mostrado na figura, então, nesta condição, demonstre que a equação acima reduz-se a
Exercício Extraclasse
(continuação)
g

Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− É a medição da pressão relativa.
Manometria
− Uma das técnicas mais utilizadas nesta medição envolve o uso de colunas de líquido 
vertical ou inclinada.
− Os dispositivos para medição baseados nesta técnica são denominados manômetros.
Manômetros básicos de tubo em U
Fonte: Çengel & Cimbala (2015) e Brunetti (2008). 
Líquido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro de líquido (baseado na gravidade)
− São tubos transparentes e recurvados, geralmente em forma de U (A), de duplo U 
(um deles invertido) (B) ou de múltiplo U (C). 
Fonte: BRUNETTI (2008).
− Os tubos contêm o líquido manométrico (líquido destinado a medir a pressão).
− Nos exemplos das Figuras acima apenas uma extremidade do tubo fica em contato 
com a atmosfera.
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro de líquido (baseado na gravidade)
− As Figuras abaixo mostram manômetros diferenciais (utilizados para medir a diferença 
de pressão entre dois pontos), pois possuem os dois ramos fechados, ligados a duas 
tomadas de pressão.
Fonte: BRUNETTI (2008).
− Para grandes diferenças de pressão, usa-se o mercúrio (Hg) como líquido manométrico 
(mantém o tamanho do manômetro em um nível gerenciável).
− Para pequenas diferenças de pressão, usam-se líquidos de baixa densidade (como 
óleo, álcool ou água).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Fonte: Çengel & Cimbala (2007).
− Manômetro de tubo piezométrico. 
− Manômetro de tubo em U.
− Manômetro de tubo inclinado.
• Três tipos mais utilizados de manômetros de líquido (baseado na gravidade)
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro de tubo piezométrico
− É o tipo mais simples de manômetro com tubo vertical.
− Só pode ser aplicado se pA > patm pois do contrário entraria ar no sistema.
atm11A phgp =−
11atmA hgpp =−
11)man(A hp =
− A pressão em A não pode ser muito alta, pois isto implicaria em uma altura da coluna h1
muito elevada.
− Só pode ser aplicada a líquidos! (por ter uma interface aberta para o ambiente).
Aberto patm
MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Fonte: MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro de tubo em U
− É um tipo simples e barato de manômetro com tubo vertical para medir pressão.
Aberto patm
Fluido manométrico
atm2211A phghgp =−+
1122atmA hghgpp −=−
1122)man(A hhp −=
Se fluido 1 é um gás, pode-se simplificar para:
22)man(A hp =
− O fluido do manômetro pode ser diferente do fluido do reservatório.
− Pode ser aplicado com gases.
Fonte: MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro de tubo em U
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro diferencial de tubo em U
− Também utilizado para medir diferença de pressão entre dois reservatórios ou tubulações.
B332211A phghghgp =−−+
113322BA hghghgpp −+=−
113322BA hhhpp −+=−
Fonte: MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro diferencial de tubo em múltiplo U
− Também utilizado para medir diferença de pressão entre duas tubulações.
Escoamento
( ) B1212211A phhhhp =++−−
11211122BA hhhhpp −−+=−
)(hpp 122BA −=−
Fonte: MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro diferencial de tubo inclinado
− Utilizado para medir pequenas variações de pressão (maior sensibilidade).
B332211A phgsenlghgp =−−+
B332211A phsenlhp =−−+
113322BA hhsenlpp −+=−
Se os fluidos A e B são gases, 
pode-se simplificar para:
=− senlpp 22BA
Fonte: MUNSON; YOUNG & OKIISHI (2004).
Manometria
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Outros Dispositivos de Medição de Pressão
− Medem as pressões dos fluidos através da deformação de um tubo metálico recurvado 
oco cuja extremidade é fechada e conectada a uma agulha indicadora que cobre um 
recipiente hermético de metal.
− São os mais utilizados nas industriais (pressões elevadas).
− Os manômetros metálicos são conhecidos como tubo de Bourdon – em homenagem ao 
engenheiro e inventor Eugene Bourdon (1808-1884).
• Manômetro metálico (baseado na deformação elástica)
Fonte: BRUNETTI (2008). Esquema do manômetro de Bourdon.
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Manômetro metálico tipo Bourdon com escala em bar
Fonte: Frank M. White (2011).
Outros Dispositivos de Medição de Pressão
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− Diversos tipos de tubos de Bourdon utilizados 
para medir pressão.
Fonte: Lindeburg (2015).
• Manômetro metálico
(baseado na deformação elástica)
Outros Dispositivos de Medição de Pressão
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Barômetro (baseado na gravidade).
− Um barômetro mede a pressão atmosférica absoluta local.
− A pressão atmosférica padrão é: Patm = 1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 10.332 kgf/m
2 = 
1,03 kgf/cm2 = 101,33 kPa = 29,92 inHg = 407,19 inH2O 
Esquema de um barômetro de mercúrio
h

vácuo
patm
O Barômetro e a Pressão Atmosférica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
O barômetro básico. O comprimento ou seção transversal do tubo não tem efeito 
sobre a altura da coluna de fluido de um barômetro, desde que o 
diâmetro do tubo seja suficientemente grande para evitar os 
efeitos da tensão superficial (capilaridade).
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
O Barômetro e a Pressão Atmosférica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Fonte: Frank M. White (2011).
(a) A altura de uma columa de mercúrio é proporcional a patm. (b) Um barômetro portátil moderno, com
leitura digital, emprega um elemento microusinado de silício que ressoa a uma frequência proporcional á
pressão aplicada.
p2  patm
(O mercúrio está em 
contato com a 
atmosfera.)
p1  0
(O mercúrio tem uma 
pressão de vapor muito 
baixa.)
M
atmph

=
hz1 =
0z2 =
O Barômetro e a Pressão Atmosférica