Teoria da Probabilidade

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UFPB

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Pedro Heitor

05/10/2021

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Fenômenos de Transporte I

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Estat́ıstica
Departamento de Estat́ıstica / UFPB
Módulo: Probabilidade
4. Probabilidade
4.1 Teoria dos Conjuntos
4.2 Espaço Amostral e Eventos
4.2 Definições de Probabilidade
4.4 Probabilidade da União de Eventos
4.5 Probabilidade Condicional
4.6 Teorema da Multiplicação e Independência
4.7 Teorema da Probabilidade Total
4.8 Teorema de Bayes
1 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos dois conjuntos A e B, a probabilidade da união é
P pAYBq “?
A B
Observação:
Os números na figura acima representam a quantidade de vezes que cada parte dos eventos A e B estão
sendo contadas em relação a fórmula de P pAYBq acima.
2 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos dois conjuntos A e B, a probabilidade da união é
P pAYBq
?
“ P pAq
A B
1 1
Observação:
Os números na figura acima representam a quantidade de vezes que cada parte dos eventos A e B estão
sendo contadas em relação a fórmula de P pAYBq acima.
2 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos dois conjuntos A e B, a probabilidade da união é
P pAYBq
?
“ P pAq ` P pBq
A B
1 2 1
Observação:
Os números na figura acima representam a quantidade de vezes que cada parte dos eventos A e B estão
sendo contadas em relação a fórmula de P pAYBq acima.
2 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos dois conjuntos A e B, a probabilidade da união é
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAXBq.
A B
1 1 1
Observação:
Os números na figura acima representam a quantidade de vezes que cada parte dos eventos A e B estão
sendo contadas em relação a fórmula de P pAYBq acima.
2 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq
A B
C
1 1
1 1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq
A B
C
1 1
1 1
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq
A B
C
1 2 1
1 2 1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq
A B
C
1 2 1
1 2 1
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
A B
C
1 2 1
2 3 2
1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
A B
C
1 2 1
2 3 2
1
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq
A B
C
1 1 1
2 2 2
1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq
A B
C
1 1 1
2 2 2
1
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq ´ P pAX Cq
A B
C
1 1 1
1 1 2
1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq ´ P pAX Cq
A B
C
1 1 1
1 1 2
1
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq ´ P pAX Cq ´ P pB X Cq
A B
C
1 1 1
1 0 1
1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos três conjuntos A, B e C, a probabilidade da união é
P pAYB Y Cq
?
“ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq ´ P pAX Cq ´ P pB X Cq
A B
C
1 1 1
1 0 1
1
P pAYB Y Cq “ P pAq ` P pBq ` P pCq
´P pAXBq ´ P pAX Cq ´ P pB X Cq
`P pAXB X Cq.
A B
C
1 1 1
1 1 1
1
3 14
Probabilidade da União de Conjuntos
Quando temos quatro conjuntos A, B, C e D, a probabilidade da união é
P pAYB Y C YDq “ P pAq ` P pBq ` P pCq ` P pDq
´P pAXBq ´ P pAX Cq ´ P pAXDq ´ P pB X Cq ´ P pB XDq ´ P pC XDq
`P pAXB X Cq ` P pAXB XDq ` P pAX C XDq
´P pAXB X C XDq.
4 14
Exemplo 1
Uma carta é tirada de um baralho com 52
cartas. Determine a probabilidade de ser um
rei OU ser de naipe vermelho.
Solução:
Sejam os eventos A “ ta carta é um reiu e B “ ta carta é vermelhau, então
P pAq “ npAqnpΩq “
4
52 “ 0,0769,
P pBq “ npBqnpΩq “
26
52 “ 0,5
P pAXBq “ npAXBqnpΩq “
2
52 “ 0,0385,
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAXBq “ 0,0769` 0,5´ 0,0385 “ 0,5384.
5 14
Exemplo 1
Uma carta é tirada de um baralho com 52
cartas. Determine a probabilidade de ser um
rei OU ser de naipe vermelho.
Solução:
Sejam os eventos A “ ta carta é um reiu e B “ ta carta é vermelhau, então
P pAq “ npAqnpΩq “
4
52 “ 0,0769,
P pBq “ npBqnpΩq “
26
52 “ 0,5
P pAXBq “ npAXBqnpΩq “
2
52 “ 0,0385,
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAXBq “ 0,0769` 0,5´ 0,0385 “ 0,5384.
5 14
Exemplo 2
Em uma seleção para uma vaga de engenheiro mecânico de uma grande empresa verificou-se que dos 100 can-
didatos 40 tinham experiência anterior, 30 possúıam curso de especialização e 20 possúıam tanto experiência
como algum curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) Ele tenha experiência anterior ou algum curso de especialização?
b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização?
Solução: sejam os eventos A “ {O candidato possui experiência anterior} e
B “ {O candidato possui especialização}. Então
PpAq “ 0,4, PpBq “ 0,3 e PpAXBq “ 0,2.
a) Ele tenha experiência ou curso de especialização?
PpAYBq “ PpAq ` PpBq ´ PpAXBq “ 0,4` 0,3´ 0, 2 “ 0,5.
b) Ele não tenha experiência anterior e nem curso de especialização?
PpAc XBcq “ P rpAYBqcs “ 1´ PpAYBq “ 1´ 0,5 “ 0,5
6 14
Exemplo 2
Em uma seleção para uma vaga de engenheiro mecânico de uma grande empresa verificou-se que dos 100 can-
didatos 40 tinham experiência anterior, 30 possúıam curso de especialização e 20 possúıam tanto experiência
como algum curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) Ele tenha experiência anterior ou algum curso de especialização?
b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização?
Solução: sejam os eventos A “ {O candidato possui experiência anterior} e
B “ {O candidato possui especialização}. Então
PpAq “ 0,4, PpBq “ 0,3 e PpAXBq “ 0,2.
a) Ele tenha experiência ou curso de especialização?
PpAYBq “ PpAq ` PpBq ´ PpAXBq “ 0,4` 0,3´ 0, 2 “ 0,5.
b) Ele não tenha experiência anterior e nem curso de especialização?
PpAc XBcq “ P rpAYBqcs “ 1´ PpAYBq “ 1´ 0,5 “ 0,5
6 14
Tabela de Contingência
Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabiĺıstico de tais eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas informações
é posśıvel visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos.
Por exemplo, uma moeda e um dado foram lançados 42 vezes, a tabela de contingência desse experimento é
a que segue
Face do dado Total
Face da Moeda 1 2 3 4 5 6
cara 4 7 3 2 6 4 26
coroa 2 3 4 5 1 1 16
Total 6 10 7 7 7 5 42
7 14
Exemplo 3
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três
cidades se eles gostavam de um novo suco. Os
resultados estão a seguir. Determine a probabili-
dade de sortear um adulto de Natal ou que tenha
gostado do suco.
Capitais Total
Opinião João Pessoa Recife Natal
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1000
Solução:
P pNatalY Simq “ P pNatalq ` P pSimq ´ P pNatalX Simq
“
250
1000
`
400
1000
´
150
1000
“
500
1000
“ 0,5.
8 14
Exemplo 3
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três
cidades se eles gostavam de um novo suco. Os
resultados estão a seguir. Determine a probabili-
dade de sortear um adulto de Natal ou que tenha
gostado do suco.
Capitais Total
Opinião João Pessoa Recife Natal
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1000
Solução:
P pNatalY Simq “ P pNatalq ` P pSimq ´ P pNatalX Simq
“
250
1000
`
400
1000
´
150
1000
“
500
1000
“ 0,5.
8 14
Probabilidade Condicional
Exemplo 4: de uma urna que contém 6 bolas, das quais 4 são amarelas e 2
são azuis, são extráıdas duas bolas aleatoriamente, de acordo com os critérios:
(a) com reposiçãoe
(b) sem reposição.
Define-se os seguintes eventos: A “ t 1ª bola é azulu e B “ t 2ª bola é azulu
Então, se a extração for (a) com reposição, temos:
P pAq “ P pBq “
2
6
“
1
3
“ 0,33
Agora se a extração for (b) sem reposição, temos ainda que
P pAq “
2
6
“ 0,33,
mas o mesmo não é verdadeiro para P pBq. Neste caso, é necessário conhecer a composição da urna no momento
da extração da segunda bola, isto é, é necessário saber se A ocorreu ou não. O que mostra a necessidade do
conceito de probabilidade condicionada.
9 14
Probabilidade Condicional
Exemplo 4: de uma urna que contém 6 bolas, das quais 4 são amarelas e 2
são azuis, são extráıdas duas bolas aleatoriamente, de acordo com os critérios:
(a) com reposição e
(b) sem reposição.
Define-se os seguintes eventos: A “ t 1ª bola é azulu e B “ t 2ª bola é azulu
Então, se a extração for (a) com reposição, temos:
P pAq “ P pBq “
2
6
“
1
3
“ 0,33
Agora se a extração for (b) sem reposição, temos ainda que
P pAq “
2
6
“ 0,33,
mas o mesmo não é verdadeiro para P pBq. Neste caso, é necessário conhecer a composição da urna no momento
da extração da segunda bola, isto é, é necessário saber se A ocorreu ou não. O que mostra a necessidade do
conceito de probabilidade condicionada.
9 14
Probabilidade Condicional
1. Considere o espaço amostral Ω ao lado;
2. Seja A e B dois conjuntos do mesmo espaço
amostral Ω;
3. O que aconteceria se alguém nos dissesse que A
ocorreu?
4. O espaço amostral Ω será reduzido ao evento
A “ Ω. Além disso, do conjunto B só vai restar
AXB.
Ω
AXB
A “ Ω
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P pB{Aq (probabilidade de B dado A), e calculada por:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
10 14
Probabilidade Condicional
1. Considere o espaço amostral Ω ao lado;
2. Seja A e B dois conjuntos do mesmo espaço
amostral Ω;
3. O que aconteceria se alguém nos dissesse que A
ocorreu?
4. O espaço amostral Ω será reduzido ao evento
A “ Ω. Além disso, do conjunto B só vai restar
AXB.
Ω
BA
AXB
A “ Ω
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P pB{Aq (probabilidade de B dado A), e calculada por:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
10 14
Probabilidade Condicional
1. Considere o espaço amostral Ω ao lado;
2. Seja A e B dois conjuntos do mesmo espaço
amostral Ω;
3. O que aconteceria se alguém nos dissesse que A
ocorreu?
4. O espaço amostral Ω será reduzido ao evento
A “ Ω. Além disso, do conjunto B só vai restar
AXB.
Ω
BA
AXB
A “ Ω
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P pB{Aq (probabilidade de B dado A), e calculada por:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
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Probabilidade Condicional
1. Considere o espaço amostral Ω ao lado;
2. Seja A e B dois conjuntos do mesmo espaço
amostral Ω;
3. O que aconteceria se alguém nos dissesse que A
ocorreu?
4. O espaço amostral Ω será reduzido ao evento
A “ Ω. Além disso, do conjunto B só vai restar
AXB.
AXB
A “ Ω
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P pB{Aq (probabilidade de B dado A), e calculada por:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
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Probabilidade Condicional
1. Considere o espaço amostral Ω ao lado;
2. Seja A e B dois conjuntos do mesmo espaço
amostral Ω;
3. O que aconteceria se alguém nos dissesse que A
ocorreu?
4. O espaço amostral Ω será reduzido ao evento
A “ Ω. Além disso, do conjunto B só vai restar
AXB.
AXB
A “ Ω
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P pB{Aq (probabilidade de B dado A), e calculada por:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
10 14
Exemplo 4: continuação...
Voltando ao exemplo anterior, em que A “ t 1ª bola é azulu e
B “ t 2ª bola é azulu. Considerando sorteio (b) sem reposição,
temos que
P pB{Aq “
1
5
“ 0,2,
pois se A ocorreu (isto é, se a 1ª bola retirada era azul) existirão
na urna 5 bolas das quais somente uma será azul.
11 14
Exemplo 5
Considerando a tabela anterior.
Capitais Total
Opinião João Pessoa Recife Natal
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1000
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três
cidades se eles gostavam de um novo suco. Os
resultados estão a seguir.
Determine a probabilidade do adulto:
1. Não ter gostado do suco?
2. Ser de Natal?
3. Ter respondido Não, sabendo que
ele é de Natal?
1. Não ter gostado do suco?
P pNãoq “ 3501000 “ 0,35
2. Ser de Natal?
P pNatalq “ 2501000 “ 0,25
1. Ter respondido Não, sabendo que ele é de Natal?
P pNão|Natalq “
P pNãoX Natalq
P pNatalq
“
95{1000
0,25
“
0,095
0,25
“ 0,38.
12 14
Exemplo 5
Considerando a tabela anterior.
Capitais Total
Opinião João Pessoa Recife Natal
Sim 100 150 150 400
Não 125 130 95 350
Não sabe 75 170 5 250
Total 300 450 250 1000
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três
cidades se eles gostavam de um novo suco. Os
resultados estão a seguir.
Determine a probabilidade do adulto:
1. Não ter gostado do suco?
2. Ser de Natal?
3. Ter respondido Não, sabendo que
ele é de Natal?
1. Não ter gostado do suco?
P pNãoq “ 3501000 “ 0,35
2. Ser de Natal?
P pNatalq “ 2501000 “ 0,25
1. Ter respondido Não, sabendo que ele é de Natal?
P pNão|Natalq “
P pNãoX Natalq
P pNatalq
“
95{1000
0,25
“
0,095
0,25
“ 0,38.
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Exemplo 6
Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade da
soma ser igual a 6, dado que o primeiro dado saiu número
menor que 3.
A “ tsoma igual a 6u “ tp1, 5q, p2, 4q, p3, 3q, p4, 2q, p5, 1qu
B “ t1ª dado com nº ă 3u “ tp1, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p1, 4q, p1, 5q, p1, 6q, p2, 1q, p2, 2q, p2, 3q, p2, 4q, p2, 5q, p2, 6qu
AXB “ tp1, 5q, p2, 4qu
Então, temos que npΩq “ npt1, 2, 3, 4, 5, 6uqnpt1, 2, 3, 4, 5, 6uq “ 6 ¨ 6 “ 36,
npBq “ 12 e npAXBq “ 2. Portanto,
P pA|Bq “
P pAXBq
P pBq
“
2{36
12{36
“
2
36
¨
36
12
“
2
12
“
1
6
“ 0,1666...
13 14
Referências Bibliográficas
Os livros BUSSAB e MORETTIN (2017), COSTA NETO (2002) estão dispońıvel na Minha Biblioteca, que é
uma base de livros eletrônicos, em português, que reúne milhares de t́ıtulos acadêmicos das diversas áreas do
conhecimento. Para acessar a Biblioteca você deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta
sequência no menu: Biblioteca ´ ą Pesquisar Livros Digitais ´ ą Minha Biblioteca.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estat́ıstica Básica. 9ª. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
COSTA NETO, P. L. O. Estat́ıstica. 2ª. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
14 / 14
https://sigaa.ufpb.br
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