10_Teoria-Cinetica-gases

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TEORIA TEORIA 
CINÉTICACINÉTICACINÉTICACINÉTICA
Neste modelo o gás é estudado de 
uma forma microscópica, 
onde a temperatura, a pressão e a 
energia interna são interpretadas como energia interna são interpretadas como 
o resultado do movimento dos átomos 
e moléculas.
PressãoPressão
é interpretada como o resultado das
constantes colisões das moléculas do
gás com o corpo.
TemperaturaTemperatura
é a medida da energia cinética média das
moléculas
EnergiaEnergia InternaInterna é a energia total das
moléculas
19.2 Número de Avogadro NA, 
é o número de átomos ou moléculas em um mol 
do material. 
(NA é o número de átomos em 12g de carbono-12)
NA = 6,02 x 1023
NúmeroNúmero dede molsmols nNúmeroNúmero dede molsmols n é a razão entre o número de
átomos e/ou moléculas e o número de Avogadro.
n = N / NA
n = Mamostra / Mmolar
n = Mamostra / Mmolar
Mmolar é a massa de um 
mol da substância. 
(1 mol de água = 18 g) moléculas 10 x 6
água de cm 18
23
3 =
(1 mol de água = 18 g) 
M molar = NAmmolécula
moléculas 10 x 6 23
19.3 Gás ideal
é aquele que satisfaz a equação de estado
pV = nRT
onde n é o número de moles, e R a constante dos
gases
R = 8,31 J . mol-1. K-1) 
Constante de Boltzmann, k
(equivalente molecular do R)
AN
R
k =
pV = N kT
k = 1,38 x 10-23 J/K 
O filme ilustra o comportamento de um gás.
A colisão das partículas com a parede ilustra a
pressão exercida pelo gás.
Trabalho realizado por um Gás Ideal à 
temperatura constante
V
nRT
pnRTpV
pdVW
=⇒=
= ∫
i
f
V
V
 nRTW
V
dV
nRTW
nl=
= ∫
n=
= ∫
V
V
 nRTW
V
dV
nRTW
i
fl
Exemplo: 1 mol de O2 expandindo-se de 12 L 
para 19 L à temperatura de 310 K
J
Jn
31018.1
)(
12
19
31031.81
×=
×××=
W
W
V i
l
19.4 Pressão, temperatura e velocidade
média quadrática
Considere um gás formado de uma única molécula em uma 
caixa cúbica de lado L e volume V= L3.
A molécula colide 
com as paredes do 
recipiente em uma recipiente em uma 
colisão 
perfeitamente 
elástica. 
Considere a projeção do movimento em um plano
perpendicular a uma das face do cubo.
pf = mv
A variação do momento linear total por unidade de
tempo, é a força que a parede exerce sobre a esfera na
colisão.
x
pi = mv
pf = mv
pf = mv
A componente x do momento linear antes da colisão é
pix = - mvx
pi x = - mvx
pf = mv
x
Depois de a esfera colidir com a parede, o momento linear
é
pfx = +mvx
pf x = +mvx
x
pi = mv
A variação do momento linear é 
∆px = pfx – pix = +mvx – (-mvx)
∆px = 2mvx
A força média exercida pela parede sobre a
molécula é ∆p / ∆t , sendo ∆t o intervalo de tempomolécula é ∆px / ∆t , sendo ∆t o intervalo de tempo
entre duas colisões sucessivas.
t
vm
t
p
 xx
∆
=
∆
∆
=
2
F
L
∆t = 2L / vx
L
mv
v
2L
2mv
 
2
x
x
x ==FForça média
A pressão p = Força / área(L2)
(de uma só molécula) p = mvx2 / L3
A pressão total exercida por todas as moléculas será a
soma das pressões parciais.
p = p1 + p2 + B
p = 1/L3 (mv1x2 + mv2x2 + B)p = 1/L3 (mv1x2 + mv2x2 + B)
N
..)v v(
L
Nm
 
2
2
2
1
3
++
= xxp
Média dos quadrados da componente x das velocidades:
N
..)v v(
 
2
2
2
12 ++= xxxv
Desta forma, a pressãopressão totaltotal pode ser escrita como:
N é o número total de moléculas do gás, V é o volume e
m é a massa de cada molécula.
><= 2xv m NV
1
p
como <v2> = <vx2> + < vy2 > + < vz2>
e <vx2> = < vy2 > = < vz2>
><= 2v
3
1
 m N
1
V
p





 ><= 2v m 
2
1
 N
3
2
pV c N
3
2
EpV =
<Ec> é a energia de cada molécula e N é o número
total de moléculas, logo N <Ec> é a energia total ou 
energia interna do gásenergia interna do gás. . 
intE 
3
2
pV =
A equação do gás perfeito: RT npV =
c N
3
2
pV E= cE N
3
2
nRT =⇒
AN 
N
 n =
kT
2
3
T
N 
R
2
3
E 
A
c ==
Energia cinética média de Energia cinética média de 
translação por moléculatranslação por molécula
como
mas
A TemperaturaTemperatura é uma medida da energia energia 
cinética média cinética média da molécula do gás. 
kT
2
3
E c =
A partir da temperatura absoluta T, pode-se
determinar a velocidade quadrática média da
molécula.
 vv 2rms ><=
A energia interna será o número total de
moléculas multiplicado pela energia de cada
molécula.
kT
2
3
NNE cint == E
A energia interna de um gás ideal é A energia interna de um gás ideal é A energia interna de um gás ideal é A energia interna de um gás ideal é 
função exclusiva da temperatura.função exclusiva da temperatura.
RT
2
3
nE int = (Gás monoatômico)
No processo de troca de calor, 
a quantidade de calor trocada é 
dQ = m c dT , 
onde c é o calor específico da substância. 
19.8 Calores específicos molares de um gás
ideal
Define-se calor específico molar (C) como sendo o
dQ = n C dT
Define-se calor específico molar (C) como sendo o
calor específico por mol (não confundir com capacidade
térmica):
Como o calor trocado depende da trajetória, o calor
específico também vai depender.
Cv é o calor específico medido 
com uma transformação a 
volume constante.
40
50
p
Calor específico a volume constante C
v
∆TnCQ
dTnC dQ 
v
v
=
=
Primeira Lei da
Termodinâmica:
V constante →
trabalho realizado 
nulo, W=0
0
10
20
30
0 5 10 15 20
V
Ta
Tb
Termodinâmica:
W Q Eint −=∆
T∆=∆ Vint nC E
Sempre pois 
∆∆∆∆Eint independe 
da trajetória
A EnergiaEnergia InternaInterna de 1 mol do gás ideal é função
apenas da temperatura.
nRT
2
3
E int =
Logo, R
2
3
C V =
TnC E int V=Como
A tabela mostra os A tabela mostra os 
valores do calor 
específico Cv para 
diversos gases.
Notar que gases 
diatômicos não têm 
CV previsto pela 
teoria.
cv ( J/molK)
He 12,5 3/2 R
Ar 12,6 3/2 R
N2 20,7 5/2 R
O2 20,8 5/2 R
Os valores medidos do calor específico
levaram James Clerk Maxwell a postular
o Teorema da Equipartição da energia.
(1831-1879)
A energia associada a 
cada grau de liberdade é 
½ kT.
Desta forma, uma molécula 
monoatômica que tem somente 
movimento de translação possui três 
graus de liberdade.
xy
z
Ec = 3 (1/2 kT)
Numa molécula diatômica, o número de
graus de liberdade (f) é 5.
Rotação
f = 3+2
Eint = n cvT ; cv= 5/2 R
<Ec> = 5 (1/2 kT)
Moléculas poliatômicas
f = 3(translação) + 3(rotação) = 6 
e o calor específico molar a volume
constante Cv
C = 6/2 R = 3RCv = 6/2 R = 3R
Eint = n 3RT
40
50
Seja uma transformação à pressão constante.
p
Q = nCp ∆T
cp é o calor específico molar
Calor específico a pressão constante Cp
0
10
20
30
0 5 10 15 20
V
Ta
Tb
cp é o calor específico molar
à pressão constante.
W
a b
Mas vimos que a variação da energia interna é
VpTCnW Q E pint ∆−∆=−=∆
T∆=∆ vint nC E
Pela Primeira Lei da Termodinâmica
Vp- TnCT C n ∆∆=∆Então:
Pressão 
constante
Vp- TnCT C n pv ∆∆=∆Então:
Usando pV = nRT
TnR- TnCT C n pv ∆∆=∆
RC C vp +=
TRANSFORMAÇÃOTRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICAADIABÁTICA
Nesta transformação não há troca de calor: Q = 0
W TCn −=∆
WQ E int −=∆
Equação do gás ideal: 
RTn pV =
Primeira Lei da Termodinâmica 
W TCn
V
−=∆
dVpdTCn
V
−=1 dTRn dpVdVp =+2
)CCR(
R
dpVdVp
C
dVp
Vp
V
−=
+
=−
Separando as variáveis:
ctepV =γ onde γ = Cp/CV
0
V
dV
C
C
p
dp
V
p =+
Vp
Vp
/CC
0
/CC
0 V
V
ln
p
p
ln −=
cteTV 1 =−γ
para transformações adiabáticasadiabáticas do gás ideal.
30
40
50
p
pVγ= cte
Adiabática Q=0
Isotérmica ∆Eint=0
0
10
20
0 5 10 15 20
V
Ta
Tb
pV= cte
Isotérmica ∆Eint=0