Prévia do material em texto

Pág 1 
 
 
 
 
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS 
 
 
 
MÃO NA MASSA TEMA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pág 2 
 
 
 
TEMA 1 MODULO 1 
 
1.1.1: CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U+5,3 
U2, U3 E G→T= T2+1, T+10, T2 COM U E T REAIS, SABENDO QUE H→U=2 
F→UG→U, O VALOR DE H→2 É: 
A) 〈9,-14,12〉 
B) 〈19,-4,2〉 
C) 〈8,14,-12〉 
D) 〈7,-1,5〉 
 
 
 
 
 
 
Pág 3 
 
 
 
1.1.2: CONSIDERANDO A FUNÇÃO G→T=T+2, 3T-1 , DEFINIDA PARA T ∈ R, A 
TRAJETÓRIA DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO É: 
A) Circunferência de equação x2+y2=1 
B) Reta de equação 3x-y-7=0 
C) Plano de equação x-3y+7=0 
D) Reta de equação 3x+y+7=0 
 
 
 
 
 
 
1.1.3: CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→T=X=TY=3-TZ=T2 E G→U= U2, U ,3+U, 
COM U E T REAIS, SABENDO QUE H→U=2 F→U X (-G→U), O VALOR DE H→-1 É: 
Pág 4 
 
 
A) 〈-14,6,4〉 
B) 〈9,3,-4〉 
C) 〈-18,-6,6〉 
D) 〈18,6,-8〉 
 
 
1.1.4: CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→U=2UCOS U, 2U SEN U, U, DEFINIDA PARA 
U R, QUAL É A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA CURVA ESPACIAL DEFINIDA PELA 
IMAGEM DA FUNÇÃO? 
Pág 5 
 
 
A) x2+y2+2z2=1 
B) x2+y2-4z2=0 
C) 4x2+4y2+z2=1 
D) x2+y2+z2=0 
 
 
1.1.5: CONSIDERE A FUNÇÃO VETORIAL G→V=X=3V-6Y=V+1Z=V2, COM V REAL, 
E A FUNÇÃO H→U, CUJA IMAGEM FORMA UMA PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y = 
2X2+ 3, QUE PERTENCE AO PLANO Z = 4. 
 
Pág 6 
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA VERDADEIRA SOBRE OS PONTOS COMUNS NAS 
IMAGENS DAS DUAS FUNÇÕES: 
 
A) Não existem pontos comuns nas imagens das funções. 
B) Existem dois pontos comuns nas imagens das funções com z = 4. 
C) Existe apenas um ponto comum nas imagens das funções com z = 4. 
D) Existem infinitos pontos comuns nas imagens das funções. 
 
1.1.6: CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U+COS U, 1, 3U E G→T=2T3,-1, 2T- 
13SEN T , DEFINIDAS PARA U E T [0,2Π], QUAL É A EQUAÇÃO DO LUGAR 
GEOMÉTRICO FORMADO PELA IMAGEM DA FUNÇÃO H→T, SENDO 
H→T=2F→T3G→T? 
A) 4x2-z2=1 e y = 3 
Pág 7 
 
 
B) x2+y2+4z2=4 e y = 5 
C) x2+4z2=4 e y = 5 
D) x2+4y2=1 e z = 5 
 
 
 
 
 
TEMA 1 MODULO 2 
 
1.2.1: CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→T=ET-2,T+6T+2,T-2T-2, CASO EXISTA, 
QUAL É O LIMITE DE F→T QUANDO T TENDE A 2? A) O limite não existe. 
B) limt→2 F→t=1, 2 , 24 
Pág 8 
 
 
C) limt→2 F→t=∞, 2 , 24 
D) limt→2 F→t=1, 2 , 0 
 
1.2.2: CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→U=TG U,U2+3, SEN U+COS U, 
PARA U REAL, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR COM 
DIREÇÃO PARALELA À DIREÇÃO TANGENTE À CURVA DEFINIDA PELA IMAGEM 
DA FUNÇÃO NO PONTO U = Π4: 
A) 〈4 ,π ,0〉 
B) 〈-4 ,2π ,0〉 
C) 〈4 ,0 ,8〉 
Pág 9 
 
 
D) 〈0 ,2π ,4〉 
 
 
Pág 10 
 
 
1.2.3: ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE ∫0ΠG→UDU, 
SENDO G→U=X=U-EUY=1-U2Z=SEN U, U REAL: 
A) π22+eπ-1x^+π+π33+1y^+π+2z^ 
B) eπ+1x^+π33y^+cos 2z^ 
C) π3+1x^+π+1y^+2z^ 
D) π22-eπ+1x^+π-π33y^+2z^ 
Pág 11 
 
 
 
1.2.4: ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR 
DE ∫01(H→T X F→T) DT, SENDO H→T=2T, 2 , 1 E F→T=X=3Y=T2+1Z=2T-1, T REAL: 
A)〈-43,83,92〉 
B) 〈23,13,72〉 
C) 〈43,83,92〉 
D) 〈-23,53,12〉 
Pág 12 
 
 
 
 
 
 
1.2.5: CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U2 SENU,U2+6U- 
1U+1,U+8U+4 E G→U=UU-12-1,2UCOS⁡U,8, CASO EXISTA, QUAL SERÁ O LIMITE 
DE F→U X G→U QUANDO U TENDE A 0 (ZERO)? 
A) 〈-8,-5,-12〉 
B) 〈-1,2,12〉 
C) O limite não existe. 
Pág 13 
 
 
D) 〈8,5,12〉 
 
 
1.2.6: CONSIDERANDO AS 
FUNÇÕES F→U=3U2+EU, 2 SEN 2U,U E G→U=4, U2+1, U+1, DEFINIDAS PARA U > 
0 E A FUNÇÃO REAL V(U) = U2, QUAL SERÁ A DERIVADA DA FUNÇÃO 
MU=F→U.G→VU PARA M=1? 
A) 8 – 2e + 4 cos 2 – 16 sen 2 
B) 12 + 2e – 2 sen 2 – 8 cos 2 
C) 29 + 4e + 8 cos 2 + 16 sen 2 
D) 4e2 + sen 2 – cos 2 
 
Pág 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 1 MODULO 3 
 
1.2.1: CONSIDERANDO A CURVA C IMAGEM DA FUNÇÃO 
G→P=X=P2+2Y=PZ=1P3,P REAL, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM 
VETOR PARALELO AO VETOR TANGENTE À CURVA C NO PONTO (3,1,0): 
A) 1, 3, 5 
B) 4, 2, – 6 
C) 1 , 2, 6 
Pág 15 
 
 
 
D) 2, 0, – 3 
 
 
1.2.2: CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA 
FUNÇÃO G→T=X=2COS T+2Y=2TZ=3-2SEN T,T 0,2Π, ASSINALE A ALTERNATIVA 
QUE APRESENTA O VERSOR NORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = Π3: 
A) 32,0,12 
B) 12,1,22 
C) -12,0,32 
D) 12,0,-32 
Pág 16 
 
 
 
1.3.3: CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA 
FUNÇÃO H→T=X=4Y=3 SEN T+3Z=3-3COS T, T 0,2Π, ASSINALE A ALTERNATIVA 
QUE APRESENTA O VETOR BINORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = Π6: 
A) B→t=0, 12 ,32 
B) B→t=1 , 0 ,1 
C) B→t=1 , 0 ,0 
D) B→t=12 , 32 ,0 
Pág 17 
 
 
 
 
1.3.4: A RETA R É TANGENTE À CURVA, DEFINIDA PELA FUNÇÃO 
VETORIAL F→U=SEN U,3+3TGU,2U, PARA O PONTO U = Π. O PONTO DA RETA 
R QUE TEM ORDENADA NULA É: 
A) 1 , 0 , π 
B) -1 , 0 , 2π 
C) 1 , 0 , 2π-2 
D) 2 , 0 , π-2 
Pág 18 
 
 
 
 
1.3.5: O RAIO DE CURVATURA DA IMAGEM DA FUNÇÃO F→T=2T ,ET, E-T, PARA 
T = 0, É: 
A) 2 
B) 32 
C) 42 
D) 22 
Pág 19 
 
 
 
1.3.6: ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A PARAMETRIZAÇÃO DA 
CURVA GERADA PELA FUNÇÃO F→U=4 SEN U , -4COS U , 3U POR MEIO DE SEU 
COMPRIMENTO DE ARCO: 
A) F→s=4 sen s , -4cos s , 3s 
B) F→(s)=〈4 sen s5 , -4 cos s5, 35s〉 
C) F→s=4 cos s5 , 4 sen s5, 35s 
D) F→s= sen s5 , - cos s5, 3s 
Pág 20 
 
 
 
 
 
TEMA 1 MODULO 4 
 
1.4.1: ASSINALE A ALTERNATIVA QUE DEMONSTRA UMA POSSÍVEL 
REPRESENTAÇÃO EM COORDENADAS POLARES (Ρ,Θ) PARA O PONTO QUE 
APRESENTA (-3 , 33) EM COORDENADAS CARTESIANAS: 
 
A) 2,5π3 
Pág 21 
 
 
B) 6,-π3 
C) 2,π3 
D) 6,5π3 
 
 
 
1.4.2: CONSIDERE A CURVA COM IMAGEM DADA PELA EQUAÇÃO 
CARTESIANA X2+(Y-4)2=16, QUE É UMA CIRCUNFERÊNCIA CENTRADA EM (0,4) E 
COM RAIO 4. QUAL É A EQUAÇÃO POLAR PARA A CURVA? 
A) ρ=2 cosθ 
B) ρ=8 
C) ρ=8 senθ 
D) ρ=senθ+cosθ 
Pág 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3: QUAL É A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA POLAR DE EQUAÇÃO 
Ρ = 1 – COS Θ NO PONTO EM QUE Θ=Π2? 
A) x+2y-1=0 
B) x-y+1=0 
C) x+y-1=0 
D) x-y-1=0 
Pág 23 
 
 
 
 
1.4.4: QUAL É O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR 
Ρ=E-Θ ENTRE OS PONTOS Θ=0 E Θ=Π? 
A) (1-eπ) 
B) 2(1-e-π) 
C) (1+e-π) 
Pág 24 
 
 
D) 2(1+eπ) 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.5: QUAL É A ÁREA DA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO Ρ=3-SENΘ PARA O 
INTERVALO 0<Θ<Π? 
A) 19π4+4 
B) π4-1 
C) 9π4+5 
D) 19π4-6 
Pág 25 
 
 
 
 
1.4.6: O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR 
Ρ=Θ ENTRE OS PONTOS Θ=0 E Θ=2Π VALE: 
A) 2π4π2+1-ln(2π+4π2+1) 
B) π4π2+1+ln(2π-4π2+1) 
C) π4π2+1+12ln(2π+4π2+1) 
D) 2ππ2+1-12ln(2π+4π2+1) 
Pág 26