Calculo_Difirencial-II

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Cálculo Diferencial II
 
 
Prof. Anderson Feitoza Leitão Maia
Disciplina 
Cálculo Diferencial II
Coordenador da Disciplina 
Anderson Feitoza Leitão Maia
12ª Edição 
Cálculo Diferencial II 
Anderson Feitoza Leitão Maia 
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
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Créditos desta disciplina 
 
Realização 
Autor 
 
Colaborador 
 
 
 
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Prof. Celso Antônio Silva Barbosa 
 
Prof.José Robério Rogério 
reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
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Sumário 
 
Aula 01: Função Vetorial de uma Variável e Curva ............................................................................. 01 
 Tópico 01: Função Vetorial de uma Variável e Curva ........................................................................... 01 
 
Aula 02: Limite, Continuidade, Derivada, Comprimento de Arco e Vetores Unitários .................... 07 
 Tópico 01: Limite, Continuidade e Derivada da Função Vetorial de uma Variável .............................. 07 
 Tópico 02: Comprimento de Arco ......................................................................................................... 13 
 Tópico 03: Vetores Tangente e Normais Unitários ................................................................................ 19 
 
Aula 03: Função Real de Várias Variáveis e Gráfico ............................................................................ 25 
 Tópico 01: Função Real de Várias Variáveis e Gráfico ......................................................................... 25 
 
Aula 04: Limite, Continuidade e Derivadas Parciais de Função Real de Várias Variáveis .............. 32 
 Tópico 01: Limite e Continuidade ......................................................................................................... 32 
 Tópico 02: Derivadas Parciais ................................................................................................................ 40 
 
Aula 05: Diferenciabilidade, Derivada Direcional e Vetor Gradiente ................................................. 47 
 Tópico 01: Diferenciabilidade ................................................................................................................ 47 
 Tópico 02: Derivada Direcional e Vetor Gradiente ............................................................................... 56 
 
Aula 06: Função Vetorial de Várias Variáveis e Imagem ..................................................................... 66 
 Tópico 01: Função Vetorial de Várias Variáveis e Imagem .................................................................. 66 
 
Aula 07: Limite, Continuidade, Derivadas Parciais Vetoriais e Diferenciabilidade .......................... 71 
 Tópico 01: Limite, Continuidade e Derivadas Parciais Vetoriais .......................................................... 71 
 Tópico 02: Diferenciabilidade ................................................................................................................ 75 
 
Aula 08: Gradiente, Divergente e Rotacional ......................................................................................... 87 
 Tópico 01: Gradiente, Divergente e Rotacional ..................................................................................... 87 
Cálculo Diferencial II 
Aula 01: Função Vetorial de uma Variável e Curva 
Tópico Único: Função Vetorial de uma Variável e Curva
VERSÃO TEXTUAL 
No primeiro curso de Cálculo foi introduzido o conceito de função, em seguida foi vista a 
função real de uma variável, foi o único tipo de função estudada nos dois primeiros cursos de 
cálculo. Neste tópico será introduzido outro tipo de função chamada de função vetorial, em 
virtude de sua imagem ser um vetor; posteriormente, será definido um objeto geométrico 
relacionado com tal função, designado por “curva”. A função vetorial é de fundamental 
importância, não só como base para continuar o Cálculo como também em aplicações da Física.
Uma função vetorial de uma variável f: A → Rn (n = 2,3 ,.., r) é uma função onde o seu domínio A é um 
subconjunto do conjunto dos números reais. Portanto, tal função associa cada número real t ∈ A ⊂ R, a um 
único vetor f(t) do Rn. Futuramente será definida função com imagem em Rn e A não necessariamente 
contido em R, assim é conveniente usar o símbolo f: A ⊂ R → Rn a fim de que não haja dúvida sobre o 
conjunto universo que contém A; mas quando A = R, indica-se apenas f: R → Rn. Assim, para n = 2 a função 
f é definida por uma expressão do tipo
f(t) = (f1(t), f2(t)) ou f(t) = f1(t)e1 + f2(t)e2
onde t ∈ A, e1 = (1,0) e e2 = (0,1). Analogamente, para n = 3 escreve-se
f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t) ) ou f(t) = f1(t)e1 + f2(t)e2 + f3(t)e3
onde t ∈ A, e1 (1, 0, 0),e2 (0, 1, 0) e e3 (0, 0, 1) Em geral, uma função vetorial f: A ⊂ R → Rn (n = 2,3,...,r) é 
definida por uma expressão da forma.
f(t) = (f1(t), f2(t), ... , fn(t) ) ou f(t) = f1(t)e1 + f2(t)e2 +... + fn(t)en
onde: t ∈ A, ei (i = 1, 2, ..., n) é o vetor com a i-ésima coordenada igual a 1 e as demais coordenadas 
iguais a zero, cada ei = (i = 1, 2, ..., n) é uma função real de variável real e é chamada de i-ésima função 
coordenada de f. O domínio A da função f está contido no domínio de cada uma das funções 
coordenadas de f. Quando se fizer referência a uma função vetorial apenas através da expressão que a 
define, estará sendo suposto que A é a interseção dos maiores subconjuntos onde estão definidas as 
funções coordenadas da função vetorial.
Cada ponto P ∈ Rn (n = 2, 3, ..., r) corresponde a um único vetor e vice-versa, para n = 2 ou 3 esse vetor 
tem a origem na origem do sistema de coordenadas e extremidade em P. Dada uma função vetorial f: A ⊂
R → Rn (n = 2, 3, ..., r) e um intervalo I ⊂ A o conjunto de todos os pontos P ∈ Rn tais que P corresponde a f
(t) com t ∈ I, é dito a curva C em Rn parametrizada (ou definida) por f, isto é, 
1
A variável da função f é o parâmetro de C. Se n = 2 ou 3, é comum chamar a representação 
geométrica da curva C em R2 ou R3 respectivamente, também de “curva”.
PARÂMETRO
A letra “t” até agora foi usada como parâmetro, mas é comum utilizar também as letras “s, u ou v” 
invés de t; sendo que “s” terá a partir da aula 2 um significado especial e será usada neste Módulo 
somente a partir desse momento.
A figura acima ilustra uma curva em Rn (n= 2 ou 3) parametrizada pela 
função vetorial f, destacando um ponto P correspondente a um valor t 
pertencente a I.
Uma curva do Rn pode ainda ser definida por um conjunto de equações paramétricas. Assim, sendo:
Uma curva do R2
Se C uma curva do R2 definida por f(t) = f(1(t),f2(t)), as equações paramétricas de C são x = f1(t) e y = 
f2(t). 
Uma curva do R3
Se C é uma curva do R3 definida por f(t) = f(1(t),f2(t),f3(t)), as equações paramétricas de C são x = f1
(t), y = f2(t) e z = f3(t).
Exemplo Resolvido 1
Representar geometricamente a curva C parametrizada pela função f(t) = (a cost, a sen t) com a > 0 e 
0 ≤ 2π.
SOLUÇÃO 
As equações paramétricas de C são x = a cos t e y = a sen t, 
eliminando o parâmetro t, obtém-se x2 + y2 = a2. Logo, as coordenadas de 
todo ponto P(x, y) da curva C satisfazem a equação x2 + y2 = a, ou seja, C 
está contida na circunferência de centro na origem e raio a.
Sendo x = a cos t e y = a sen t é a medida do ângulo determinado pelo 
semi-eixo X não negativo e o raio da circunferência, entãoé indispensável que  f  seja diferenciável em  
(xo, yo). A razão disto é que o plano tangente deverá conter todas as retas tangentes à superfície em  
Qo (veja o exercício 35 do exercitando do tópico 2 desta aula), como é natural, mas tal exigência não 
será possível se  f  não for diferenciável em   (xo, yo), conforme pode ser verificado no exercício  20  do 
exercitando deste tópico.
Se uma função z = f(x,y) é diferenciável em (xo, yo), a função definida por d(xo, yo) definida por:
52
É chamada de diferencial de  f  em  (x0, y0).
Note que o domínio da função d(xo, yo) é todo o  R2. A diferencial tem seguinte interpretação: sendo f 
diferenciável em (xo, yo), então
e Z(u, v) → 0 se (u, v) → (0, 0) onde a função  Z  foi definida na demonstração do teorema 1 deste tópico, 
fazendo x - x0= u  e  y - y0 = v, logo, se as variações u = x - x0  e  v = y - y0  de  x0 e y0, respectivamente, são 
valores próximos de zero, a variação Δf(xo, yo) = f(xo + u, yo + v) - f (xo, yo)  de  f  correspondente a  u  e  v 
estará próxima de  d(xo, yo)f(u, v). Sendo z = f(x,y), é comum escrever Δf (x, y) = Δz, u = dx e v = dy, assim:  
E portanto Δ ≅ dz onde a aproximação será melhor quanto mais próximos de zero estiverem os 
valores de dx e dy.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Encontrar um valor aproximado para 
SOLUÇÃO 
Seja z = f(x,y) = 
. Fazendo x0 = 3, y0 = 4, dx = -0,01 e dy = 0,02, tem-se
ou seja,
Mas
logo
EXEMPLO PROPOSTO 2
Determinar um valor aproximado para 
53
Os conceitos e resultados já tratados neste tópico, podem ser estendidos a funções reais de m 
variáveis, onde m ≥ 3. Assim, sejam w = f(x1, x2,...,xm), P (x1, x2,...,xm) e Po(a1, a2,...,am). A função f é dita 
diferenciável num ponto  P0 no interior do seu domínio, se existem constantes c1, c2,...., cm tais que:
Além disso, demonstra-se que:
Também, se f é diferenciável em P0 então f é contínua em P0. E se f possui derivadas parciais 
contínuas num conjunto aberto contido no seu domínio, então f é diferenciável nesse conjunto (isto é, f  é 
diferenciável em todos os pontos do conjunto). Se f é diferenciável em P0 a diferencial de f em P0 é a 
função definida por:
E se Δf(Po) = f(a1 + x1, a2 + x2,..., an + xm) - f(a1 + a2,..., am), isto é, Δf(Po) é a variação de f 
correspondente as variações x1, x2,...,xm de a1, a2,...,am, respectivamente, então Δf(Po) ≅ dw , onde a 
aproximação será melhor quanto mais próximos de zero estiverem x1, x2,...,xm.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Uma caixa sem tampa na forma de um paralelepípedo retângulo, deveria ter largura de 8 cm, 
comprimento de 10 cm e altura de 12 cm; no corte das faces da caixa foram cometidos erros nas 
dimensões de 0,2 cm a menos, 0,04 cm e 0,06 cm a mais, respectivamente. Determinar uma 
aproximação para o erro cometido no cálculo do material usado na fabricação da caixa.
SOLUÇÃO 
Seja S cm2 a quantidade de material usada na fabricação da caixa de largura x cm, 
comprimento y cm e altura z cm. Então, como a caixa não tem tampa,
S(x,y,z) = 2xz + 2yz + xy.
Fazendo x0 = 8, y0 = 10, z0 = 12, dx = 0,2, dy = -0,04 e dz = -0,06, o erro cometido é 
exatamente ΔS (8,10,12), o qual é aproximadamente igual a dS em (0,2; 0,04; 0,06).
Como obtém-se
Assim, o erro cometido no cálculo do material usada na fabricação da caixa, é 
aproximadamente igual a 3,36 cm2.
54
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se a caixa do exemplo resolvido 3 tiver tampa, achar uma aproximação para o erro cometido no 
cálculo do material usado na fabricação da caixa.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios: 3 é questão 
1; 13 é questão 2  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. As 
questões 3  até  5  do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho 
desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e 
escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente Solar.
55
Cálculo Diferencial II 
Aula 05: Diferenciabilidade, Derivada Direcional e Vetor Gradiente 
Tópico 02: Derivada Direcional e Vetor Gradiente
VERSÃO TEXTUAL 
Se f é uma função real de variáveis x e y, sabe-se que fX e fy num ponto (xo, yo), medem as 
taxas instantâneas de variações de f em (x0, y0) nas direções dos eixos X e Y, respectivamente. O 
objetivo inicial deste tópico é introduzir uma generalização das derivadas parciais, ou seja, é um 
tipo de derivada que meça a taxa de variação instantânea de f numa direção qualquer. 
Posteriormente será definido o vetor gradiente, esse vetor tem várias aplicações importantes, 
dentre as quais permite estender às funções reais de várias variáveis a regra da cadeia e o 
teorema do valor médio já visto para funções reais de uma variável no primeiro curso de Cálculo.
Sendo f uma função real de m variáveis x1, x2,...,xm e u um vetor unitário do Rm a derivada direcional 
de f em relação a u  é a função indicada e definida por:
O domínio de é o conjunto dos pontos P(x1, x2,...,xm) no domínio de  f  tais que  existe.
Além de , as seguintes notações são também usadas para indicar a derivada direcional de f em 
relação a u: fu e Duf.
Sejam f uma função real de variáveis x e y, e u = (u1,u2), um vetor unitário, a derivada direcional de f em 
relação a u é então dada por:
A FIM DE INTERPRETAR ALGEBRICAMENTE FU
Seja (xo,yo), um ponto onde fu(xo,yo) exista. Observe que a reta L que contém 
os pontos (xo,yo) e (xo + tu1,yo + tu2) é paralela ao vetor  u.
Sendo assim, f(xo + tu1,yo + tu2) - f(xo,yo) representa uma variação de f(xo, 
yo) na direção do vetor  u  e sendo |t| a distância de (xo,yo) a (xo + tu1,yo + tu2, tem-
se:
56
É a razão (ou taxa) da variação média de  f(xo,yo)  para a variação de  
(xo,yo) na direção de  u, logo:
É a razão (ou taxa) instantânea de variação de  f  na direção de  u  em  
(xo,yo).
PARA INTERPRETAR GEOMETRICAMENTE  FU(X0,Y0) 
Considere a curva  C  de interseção da superfície z = f(x,y) com o plano que 
contém a reta  L  e é paralelo ao eixo Z.
Na figura anterior, observa-se que a razão é a declividade 
da reta secante à curva  C  contendo os pontos (xo, yo, f(xo, yo) e (xo + tu1 = tu2, f
(xo + tu1, yo + tu2)2), assim o limite de tal razão quando t → 0 , dá a declividade da 
reta tangente a C em (xo, yo, f(xo, yo)), ou seja, tg θ = fu(xo, yo).
Na definição de derivada direcional para uma função f: A ⊂ R2 → R, fazendo u = e1 = (1,0), tem-se:
E considerando  u = e2 = (0,1), obtém-se:
portanto, as derivadas parciais fx e fy são as derivadas direcionais de  f  em relação aos vetores e1 e 
e2, respectivamente. Analogamente, para uma função f: A ⊂ Rm → R tomando u = ei = (0, ..., 1, ..., 0) para i = 
1, 2, ..., m, tem-se:
57
Isto é, a derivada parcial fxi é a derivada direcional de f em relação a  ei.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular a derivada direcional de f(x, y) = 2x2y - y2 + 1 em  relação e  no ponto (-2,3).
SOLUÇÃO 
Tem-se
mas
assim
EXEMPLO PROPOSTO 1
Mostrar que a derivada direcional de f(x, y) = 2xy2 - x2 + 1 em relação e  no ponto (1,-2), 
é igual a  .
Seja f: A ⊂ Rm → R uma função com derivadas parciais num ponto Po(a1, a2, ..., am), o vetor gradiente 
de f em  P0 é indicado e definido por:
Em particular, se  f  é uma função real de variáveis x e y, o vetor gradiente de  f  em (x0, y0), é dado por:
A notação ∇f(Po) é também usada para representar o vetor gradiente de f em P0. O teorema seguinte 
dá a relação que existe entre a derivada direcional de uma função e o vetor gradiente da função num 
ponto.
58
Teorema 1. Sejam  uma função f: A ⊂ Rm → R  uma função diferenciável em  Po
e  u  um vetor unitário do  Rm,  então  fu(Po) = ∇f(Po) . u.
DEMONSTRAÇÃO 
Seja P0(a1,a2,...,am), então sendo f diferenciável em P0 ,
Fazendo P = P0 + tu, tem-se:
(a) P → P0 é equivalente a t → 0 ;
(b) x1 - a1 = tu1, x2 - a2 = tu2,..., xm -am = tum, onde u = (u1,u2,...,um);(c) d(P0,P) = 
Logo, o limite acima é equivalente ao seguinte limite,
ou seja,
daí
Como ∇f(P0) · u independe de t, obtém-se
∇f(P0) · u = 
O que conclui a demonstração.
PARADA OBRIGATÓRIA
No tópico 1 desta aula foi verificado para uma função de duas variáveis e mencionado 
posteriormente para uma função de  m (m ≥ 3) variáveis, que se uma função real  f  é diferenciável 
num ponto P0, as derivadas direcionais de  f  em  Po  existem em todas as direções dos eixos das 
variáveis  (isto é,  fxi  existe para i = 1,2,...,m). O teorema 1 generaliza tal fato afirmando que: se  f  é 
59
diferenciável em  Po, a derivada direcional de  f  em  Po  existe em qualquer direção; entretanto, em 
geral, a recíproca desta afirmação não se verifica, conforme o exercício  24  do exercitando deste 
tópico.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
 Resolver o exemplo resolvido 1 usando o teorema 1.
SOLUÇÃO 
Como f(x,y) = 2x2 y - y2 + 1, tem-se ∇f(x,y) = ( 4xy,22 - 2y ), assim ∇f(-2,3) = (-24,2). Logo, 
como f é diferenciável em (-2,3) e pelo teorema 1, obtém-se 
EXEMPLO PROPOSTO 2
Resolver o exemplo proposto 1, usando o teorema 1.
O teorema 1, permite dar uma interpretação do vetor gradiente. Clique aqui.
CLIQUE AQUI
Se f: A ⊂ Rm → R é diferenciável em P0 e u é um vetor unitário do Rm, tem-se:
onde θ é a medida do ângulo entre  u  e ∇f(Po). Desta forma, o valor da  fu(Po)  depende somente 
do  cos θ  (pois ∇f(Po)  é constante); como  cos θ atinge seu valor máximo quando  θ = 0, que é igual a 
um, concluí-se que a taxa de crescimento máxima de  f  em  Po é  fu(Po)/máx = |∇f(Po)|  e é atingida 
quando calculada no sentido do ∇f(Po), isto é,∇f(Po)  aponta no sentido em que f cresce mais 
rapidamente a partir do ponto  Po.
O teorema seguinte dá uma extensão da regra da cadeia para funções reais de uma variável 
(enunciada no primeiro curso de Cálculo) em termos do vetor gradiente.
Teorema (Regra da Cadeia) 2. Sejam f: A ⊂ Rm → R uma função definida num 
conjunto aberto B ⊂ A e g: I ⊂ R → Rm com g(t) ∈ B para todo  t  num intervalo 
60
aberto  I. Se  g  é diferenciável em to ∈ I e  f  é diferenciável em  g(t0) a função h
(t) = f(fog)(t) é diferenciável em to e h'(to) = ∇f (g(to)) . g'(to). 
DEMONSTRAÇÃO 
Como f é diferenciável em g(t0), tem-se
mas e é equivalente a , pois sendo a função g 
diferenciável em 
, ela é contínua em . assim
Seja
então se . Sendo assim.
e daí
mas
(1) 
pois g é diferenciável em e
(2) 
pois e , logo por (1) e (2),
h '(t0) = ∇f (g(t0))·g '(t0).
Isto mostra que h'(t0) existe (isto é, h é diferenciável em ) e é encontrada da 
maneira afirmada. O que conclui a demonstração.
Segue-se do teorema 2, o seguinte corolário.
61
Corolário. Se f: A ⊂ Rm → R é diferenciável num conjunto aberto B ⊂ A, g: I ⊂ R 
→ Rm é diferenciável no intervalo aberto I e g(t) ∈ B para todo t ∈ I, então h(t) = 
(fog)(t) é diferenciável em  I  e h'(t) = ∇f(g(t)) . g'(t) para cada t ∈ I.
Será útil reescrever a fórmula para h'(t) do corolário anterior. Clique aqui.
CLIQUE AQUI
Seja
e 
então
e do corolário:
ou seja,
mas (i = 1,2,....,m), assim a fórmula do corolário pode ser escrita na forma 
No final do tópico 1 da aula 3, foram definidas as composições de funções com a função real de 
várias variáveis. O corolário do teorema 2 dá a fórmula para a derivada da composição da definição (a); a 
fórmula da derivada da composição da definição (b), decorre dela. Logo, sendo w = f(u) e u(x1, 
x2,...,xm), tem-se w = h(x1, x2,...,xm) = (fog)(x1, x2,...,xm), isto é,  h  é uma função real das  m  variáveis x1, 
x2,...,xm; para calcular    para i=1,2,...m, considera-se  g  como função apenas da variável  
xi  (isto é, mantém-se  xj  fixa para  j ≠ i), assim:
para  i=1,2,...,m.
OLHANDO DE PERTO
A regra da cadeia generalizada, será tratada posteriormente no tópico 2 da aula 7, após a 
definição de função vetorial de várias variáveis.
62
EXEMPLO RESOLVIDO 3
 Se z = f(x + my) + g(x + ny) onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis, mostrar que z é 
solução da equação diferencial azxx - zyy = 0  somente se a = m2 = n2. 
SOLUÇÃO 
Tem-se
Fazendo e , obtém-se
 e 
assim
Como
,
obtém-se
Por outro lado,
e
assim
Logo azxx = zyy, isto é, azxx -zyy = 0 somente se m2 = n2 = a.
EXEMPLO PROPOSTO 3
63
Considerando a função do exemplo resolvido 3, mostrar que zxy - zyx = 0 para quaisquer valores 
de  m  e  n.
O corolário do teorema 2 deste tópico, permite dar outra importante interpretação do vetor gradiente.
CLIQUE AQUI PARA SABER MAIS 
Sejam w = f(x1,x2,....,xm) e P0 um ponto do conjunto de nível S de f 
correspondente ao nível w = c, isto é, f(P0) = c. Considere uma curva contida em S 
e parametrizada por uma função g(t) para todo t num intervalo aberto I ⊃ t0 e f 
diferenciável em P0. Então f(g(t)) = c para t ∈ I, derivando os dois lados em 
relação a t e aplicando o corolário do teorema 2, tem-se
para t ∈ I, daí 
Logo, se ∇f (g(tₒ)) e g'(tₒ) são não nulos, tais vetores são ortogonais. Assim, 
se m = 2 e o conjunto de nível de S é uma curva C no plano XY, o vetor g'(tₒ) é 
tangente à C em Pₒ, portanto ∇f (Pₒ) é um vetor normal à C em Pₒ.
Se m = 3 e o conjunto de nível S é uma superfície em R3, o vetor g'(tₒ) está no 
plano tangente à S em Pₒ, logo ∇f(Pₒ) é normal ao plano tangente à S em Pₒ, isto 
é, ∇f(Pₒ) é normal à S.
O teorema seguinte, estabelece uma extensão do teorema do valor médio para funções reais de uma 
variável (visto no primeiro curso de cálculo) às funções reais de m variáveis em termos do gradiente.
Teorema (do Valor Médio Generalizado) 3. Sejaf: A ⊂ Rm → R uma função 
diferenciável num conjunto aberto contendo o segmento ligando dois pontos  P  
e  Q  do Rm, então existe um ponto  P0  no segmento e entre  P  e  Q  tal que 
.
64
DEMONSTRAÇÃO 
Decorre da equação vetorial da reta que o segmento ligando P e Q é dado 
por
S(t) = (P - Q)t + Q com 0 ≤ t ≤ 1,
assim a função h(t) = f(S(t)) com 0 ≤ t ≤ 1 dá os valores de f no segmento. 
Aplicando o teorema do valor médio a função h no intervalo de 0 a 1, tem-se
para algum t0 ∈ (0,1). Por outro lado, usando a regra da cadeia (dada no teorema 
2 deste tópico), tem-se
h'(t0) = ∇f (S(t0)).S'(t0).
Logo, igualando os dois resultados obtidos para h'(t0) e fazendo P0 = S(t0), 
encontra-se
f(P) - f(Q) = ∇f (P0).(P - Q)
pois S'(t) = P - Q para todo t. O que conclui a demonstração.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios: 19 é 
questão 3;  24(b) é questão 4; 31 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio 
Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único 
arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente 
Solar.
LEITURA COMPLEMENTAR
Os temas Teorema de Taylor (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.), Valores 
Extremos e Multiplicadores de Lagrange (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e 
Regra de Leibnitz (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) complementam o estudo 
de derivação das funções reais de várias variáveis, sendo assim é recomendável uma leitura para 
conhecer um pouco mais sobre derivação. 
Fontes das Imagens
65
Cálculo Diferencial II 
Aula 06: Função Vetorial de Várias Variáveis e Imagem 
Tópico Único: Função Vetorial de Várias Variáveis e Imagem
VERSÃO TEXTUAL 
Como no tópico da aula 3, o objetivo deste tópico é usar o conceito de função em geral (dado 
no tópico 1 da aula 1 do primeiro curso de Cálculo) para apresentar a função vetorial de várias 
variáveis. Em seguida será definida a imagem dessa função e sua representação geométrica 
quando possível. A parte teórica é finalizada efetuando a composição das funções vetoriais de 
várias variáveis com outras funções já apresentadas.
Uma função vetorial de  m (m=2,3,..., r) variáveis F: A → Rn (n=2,3, ..., s) é uma função onde  o seu 
domínio  A  é um subconjunto do Rm. O símbolo F: A ⊂ Rm → Rn  também é usado para que não haja dúvida 
sobre o conjunto universo que contém  A; entretanto, se A = Rm, indica-se apenas F: Rm rarr; Rn. Tal função 
também é chamada de transformação  (ou aplicação). Um elemento do domínio A ⊂ Rm ou do 
contradomínio Rn, significará a partir deste momento um ponto ou um vetor, um ou outro significado 
depende da conveniência de utilização da função; isto não causará ambiguidade devido a correspondência 
biunívoca que existe entre pontos do espaço euclidiano e vetores do conjunto associado ao espaço; 
portanto, uma  função vetorial  F de  m  variáveis associa cada ponto (ou vetor) P ∈ A ⊂ Rm a um único 
ponto (ou vetor) Q ∈ Rn que será indicado por:
Em particular, sendo F é uma função vetorial de duas variáveis reais u e v, e contradomínio R2, então  
F  é definida por uma expressão da forma
onde: (u, v) ∈ A, f e g são funções reais, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1); se o contra-domínio de F é o R3, então a 
expressão que define F é da forma
onde: (u, v) ∈ A, f, g e h são funções reais, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Em geral, uma função 
vetorial F: A ⊂ Rm → Rn (m = 2,3, ..., r e n = 2, 3, ..., s) é definida por uma expressão da forma:
onde: (x1, x2,...,xm) ∈ A, cada fi (i = 1, 2,.. , n) é uma função real das  m  variáveis x1, x2,...,xm e é chamada de  
i-ésima função coordenada  de  F.
O domínio A da função vetorial F está contido no domínio da cada uma das funções coordenadas de 
F. Como já é comum para outras funções, quando se fizer referência a uma função F: A ⊂ Rm → Rn apenas 
66
através da regra que a define, o domínio de  F  é a interseção dos maiores subconjuntos do Rm onde estão 
definidas as funções coordenadas de  F. 
Se F: A ⊂ Rm → Rn e B ⊂ A o conjunto formado pelos pontos (ou extremidades dos vetores) F
(P) quando  P  varia em  B,  é chamado de imagem de  B  através de  F,  ou seja, 
PARADA OBRIGATÓRIA
Em particular, se B = A  diz-se que F(A)  é a imagem de  F. Se  n=2 ou 3, é comum chamar a 
representação geométrica de  F(B)  em  R2  ou R3 , respectivamente, também de imagem de  B  através 
de  F. Se m=2 e n=3, a imagem de  B  através de  F  ou a sua representação geométrica, é também 
chamada de superfície.
SUPERFÍCIE
O termo “superfície” foi também usado no texto complementar indicado no final do tópico da 
aula 1 para designar o gráfico de certas equações de três variáveis ou no tópico da aula 3 para 
fazer referência ao gráfico de uma função real de duas variáveis definida por uma equação de três 
variáveis, o que não aparenta nenhuma distinção no uso do termo; será visto no curso posterior a 
este que uma função F: A ⊂ R2 → R3 é uma forma equivalente (ou quase equivalente) de escrever 
uma equação de três variáveis na forma parametrizada, assim como foi feito no caso das curvas.
Os exemplos seguintes ilustram procedimentos para obter a imagem de um conjunto através de uma 
função vetorial.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Sendo F(u,v) = (u - v2, u2 + v),  encontrar a imagem da região , isto é, achar a imagem de 
B = {(u, v) ∈ R2; 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2} através de  F.
SOLUÇÃO 
Seja F(u,v) =(x,y), isto é, considere (x,y) a  imagem de (u,v), então:
Para determinar F(B), inicialmente deve-se achar a imagem através de  F  de cada um 
dos segmentos que constituem a fronteira da região  B. As imagens dos segmentos são 
encontradas das seguintes formas:
(a) Se V = 0 e 0 ≤ u ≤ 1, tem-se x = u e y = u2 com 0 ≤ u ≤ 1, assim y = x2 com 0 ≤ x ≤ 1;
67
(b) Se u = 1 e 0 ≤ v ≤ 2, tem-se x = 1 - v2 e y = 1 + v com 0 ≤ v ≤ 2 assim x = -y2 = 2y com 1 
≤ y ≤3.
(c) Se v = 2 e 0 ≤ u ≤ 1, tem-se x = u - 4 e y = u2 + 2 com 0 ≤ u ≤ 1, assim y = x2 + 8x + 18 
com -4 ≤ x ≤ -3.
(d)Se u = 0 e 0 ≤v ≤ 2, tem-se x = -v2 e y = v com 0 ≤ ≤ 2, assim x = - y2 com 0 ≤ y ≤ 2.
Logo imagem da fronteira da região  B  é a curva  C  formada pelos quatro arcos das parábolas em  x  
e  y  que foram encontrados. Evidente que as imagens dos pontos interiores de  B,  são os pontos 
interiores da região limitada pela curva  C. Portanto a imagem de  B  através de  F,  é a região fechada 
limitada por  C.
EXEMPLO PROPOSTO 1
Se F é a função do exemplo resolvido 1, encontrar a imagem da 
através de F.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Sendo G(u,v) = (r cos u, r sen u, v)  onde  r  é uma constante positiva, determinar a imagem da 
faixa     através de  G.
SOLUÇÃO 
Seja G(u,v) = (x,y,z), então
x = r cos u, y = r sen u e z = v,
daí x2 + y2 = r2 com - ∞F: A ⊂ Rm → Rn é um ponto de acumulação de  A, diz-se que o vetor w ∈ Rn é o limite de F
(P) quando P tende a Po, indica-se pelo símbolo , se para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que
Ou seja, é possível tornar o comprimento do vetor F(P) - w arbitrariamente pequeno, desde que se 
tome P suficientemente próximo de Po. 
Se Se F(P) = (f1(P), f2(P), ..., fn(P)), mostra-se que
A demonstração está proposta no exercício 11 do exercitando deste tópico.
Observação 1
Uma função F: A ⊂ Rm → Rn é contínua num ponto Po ∈ se . 
Assim, F é contínua em Po se, e somente se, suas funções coordenadas são 
contínuas em Po. A justificativa está proposta no exercício 11 do exercitando deste 
tópico.
Observação 2
Uma função vetorial é dita contínua num conjunto B contido no seu domínio, 
se ela é contínua em todos os pontos de B. E se B é o domínio da função vetorial, 
diz-se que a função é contínua.
O seguinte teorema será útil posteriormente.
71
Teorema: Se L: Rm → Rn é uma transformação linear, então existe uma 
constante m tal que |L(P)| ≤ m|(P)| para todo P ∈ Rm. E mais, L é contínua em 
todo o Rm.
DEMONSTRAÇÃO 
Sendo P(x1, x2,...,xm) e  L uma transformação linear, tem-se 
daí (pela desigualdade triangular e propriedade da norma)
mas |xi| ≤ |P| para i = 1, 2,..., m logo
Na última desigualdade, fazendo m = |L(e1)| + |L(e2)| + ... + |L(em)| obtém-se a 
demonstração da primeira afirmação.
Para mostrar que  L  é contínua, sejam  P  e Po vetores do Rm, então
daí se P tende a Po, L(P) tende a 
ou seja, L(Po). Como Po é arbitrário, a demonstração está concluída. 
A derivada parcial vetorial de uma função F: A ⊂ Rm → Rn em relação a variável xi (i = 1, 2, ..., m), é a 
função indicada por  (ou ainda, Fxi)  e definida por
A DERIVADA PARCIAL VETORIAL
ou simplesmente, a derivada parcial.
O domínio de Fxi é o conjunto de todos os elementos (x1, x2,...,xm) no domínio de F tais que Fxi(x1, 
x2,...,xm) exista.
72
Como o limite de uma função vetorial (quando existe) é o limite das suas funções coordenadas, 
segue-se que
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular as derivadas parciais da função F(u, v) = (u2v2, u2 + v2 + uv).
SOLUÇÃO 
As funções coordenadas de Fu, são as derivadas parciais das funções coordenadas de  
F  em relação a  u, assim 
Analogamente,
EXEMPLO PROPOSTO 1
Calcular as derivadas parciais da função F(u, v) = (v sen u, u sen v).
Sejam F: A ⊂ Rm → R n e P ∈ A com P(a1, ..., ai - 1,..., xi + ai + 1, ..., am), isto é, em  P  a coordenada xi é 
variável e todas as outras são mantidas fixas, então  P  descreve uma reta  (ou um segmento)  em  A  e a 
imagem de tal reta (ou segmento) através de  F  é uma curva Ci em Rn parametrizada por f(xi) = F(a1, ..., xi, 
..., am), chamada de curva de xi - paramétro definida por  F. As curvas Ci (i = 1, 2, ..., m) formam o conjunto 
das curvas paramétricas  (ou curvas coordenadas) da imagem de F contendo F(a1, ..., xi, ..., am). Isto 
permite dar a seguinte interpretação para a derivada parcial vetorial: quando se deriva parcialmente uma 
função F: A ⊂ Rm → R n em relação a variável xi, todas as outras variáveis são mantidas fixas, assim  F  
define uma curva xi- parâmetro e de acordo com as discussões realizadas no tópico 1 da aula 2, Fxi é um 
vetor tangente à curva Ci.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Encontrar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem de G(u, v) = (u, v, 4 - u2 - v2), no 
ponto Q(1, 1, 2) e representar geometricamente as curvas e os vetores.
73
SOLUÇÃO 
 O ponto (1,1,2) na imagem de  G, corresponde ao ponto (1,1) no domínio de  G.  Como 
o vetor tangente à curva u-parâmetro em (1,1,2) é Gu (1, 1) = (1, 0, -2).
Analogamente, acha-se que 
As curvas u-parâmetro e v-parâmetro são dadas por G( u, 1) = (u, 1, 3 - u2) e G(1, v) = (1, 
v, 3 - u2) respectivamente; assim na figura seguinte, estão as curvas paramétricas da 
imagem de G contendo Q (1 , 1, 2) e os vetores tangentes a tais curvas em Q (1 , 1, 2). Clique 
aqui para ver.
CLIQUE AQUI PARA VER.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Achar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem de G(u, v) = (u, v, 4 - u - v ) no 
ponto Q (1 , 1, 2) e representar geometricamente as curvas e os vetores.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios: 3 e 5 são os 
respectivos itens  (a)  e  (b)  da questão 1; 7  é a questão 2  do trabalho desta aula a ser postado no 
Portfólio Individual do ambiente Solar. As questões  3  até  5  do trabalho serão indicadas no tópico 
seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo 
com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente Solar.
74
Cálculo Diferencial II 
Aula 07: Limite, Continuidade, Derivadas Parciais Vetoriais e Diferenciabilidade 
Tópico 02: Diferenciabilidade
Este tópico trata inicialmente da generalização dos conceitos de função 
diferenciável e diferencial, já vistos no tópico 1 da aula 5 para funções reais de 
m (m ≥ 2) variáveis; posteriormente será feita uma abordagem da regra da 
cadeia na sua formulação mais geral, os casos mais simples dessa regra foram 
vistos no primeiro curso de Cálculo e no teorema 2 do tópico 2 da aula 5.
Uma função F: A ⊂ Rm → R n é dita diferenciável num ponto Po no interior de seu domínio  A, se existe 
uma transformação linear L: Rm → R n tal que 
Da definição anterior, observe que a condição 
é equivalente a 
ou ainda, que   F  é representável na forma
onde Z é uma função tal que .
COMO TODA TRANSFORMAÇÃO LINEAR TEM UMA ÚNICA MATRIZ 
RELATIVAMENTE A UMA BASE, PARA ENCONTRAR A MATRIZ DA 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR  L  DA DEFINIÇÃO DADA 
Considere  P e F(P) representados na forma de matriz coluna, isto é,   
(onde o “T” indica a transposta da matriz) e seja também a base do 
. Sendo 
um ponto interior do domínio de  F,  para  t  suficientemente pequeno, 
 está no domínio de  F  para  todo  j, onde e também 
estão na forma de matriz coluna. Então, sendo  F  diferenciável em  , tem-se
75
mas , isto é, equivale a , logo
para todo j. Observe que se então , assim
por outro lado, sabe-se que é  a j-ésima coluna da matriz de  L; portanto, a  
j-ésima coluna da matriz de  L  é
daí a matriz de L, indicada por , é dada por 
A transformação linear L é chamada de diferencial de F em Po e é indicada por d PoF. A matriz da 
diferencial de  F  em Po, isto é, a matriz F'( Po) é chamada de matriz jacobiana de  F  em  Po (ou derivada 
de  F  em Po). Portanto, tem-se:
(1) A diferencial de F em Po é definida por d PoF(P) para todo P ∈ Rm;
(2) Para que F seja diferenciável em Po, devem existir todas as derivadas parciais de primeira 
ordem de todas as suas funções coordenadas em Po (isto é, F'(Po) deve existir) e 
.
A expressão F'(Po)(P - Po) + (Po) é a soma da transformação linear aplicada em P - Po com a matriz 
constante F(Po), assim define a função afim A: Rm→ Rn dada por
76
Como (isto é, a diferença F(P) - A(P) tende a  0  mais rapidamente que  P  
tende a Po), diz-se que: a função  F  é aproximada pela função afim  A  numa vizinhança de Po e que A  é 
a função afim que melhor se aproxima de  F  numa vizinhança de  Po.
Geometricamente, a função afim  A  representa uma reta ou um plano, dependendo dos valores de  m  
e  n  (isto é, das dimensões do espaço que contém o domínio e contradomínio de  A, respectivamente), 
como será examinado a seguir:
CLIQUE AQUI 
(a) Se , então  F  é definida por é um número real (ou 
uma matriz  1 x 1), fazendo , a equação da função afim  A  assume 
a forma 
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
(b) Se 
, a função  F  é definida por 
, logo 
é o vetor representado pela matriz (n x 1)
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
fazendo  a função afim  A  terá a forma
que é a equaçãoda reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
como 
tangente à curva C parametrizada por F, A é a parametrização da reta tangente à 
curva  C  em 
77
;
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
(c) Se m = 2 e n = 1, então  F  é definida por 
é a matriz (1 x 2) 
considerando 
, a equação da função afim  A  terá a forma 
ou seja, 
que é a equação da reta tangente ao gráfico de F no ponto ;
que é a equação do plano tangente ao gráfico de F em 
se  F  é diferenciável em 
. 
Se m = 2 e n = 3, no tópico 1 da aula 10  será visto que a função afim  A  é a 
parametrização de uma reta ou um plano em tangente à imagem da função  F.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Encontrar a matriz jacobiana da transformação F(u, v ) = (cos u sen v, euv) num ponto qualquer, 
sua diferencial no ponto (0, π) e a função afim que melhor se aproxima de  F  numa vizinhança de (0, 
π).
SOLUÇÃO 
A matriz jacobiana de F num ponto qualquer (u,v) é
78
Como , a diferencial de F em (0, π) é
 ou então d(0, π) F(u, v) = -(-v, πu).
Assim, a função afim que melhor se aproxima de F numa vizinhança de é dada por
ou então
EXEMPLO PROPOSTO 1
Determinar a matriz jacobiana da transformação F(u, v) = (v cos πu - u sen v, v ln u) num ponto 
qualquer, sua diferencial no ponto (1, π) e a função afim que melhor se aproxima de  F  numa 
vizinhança de (1, π).
O teorema seguinte mostra que diferenciabilidade de uma função vetorial implica em continuidade da 
função.
Teorema 1. Se uma função F: A ⊂ Rm → Rn é diferenciável em Po, então  F  é 
contínua em Po.
A demonstração do teorema  1  é análoga a do teorema  1  do tópico 1 da aula 5  e está sugerida no 
exercício  33  do exercitando deste tópico.
O teorema seguinte estabelece as condições suficientes para que uma função vetorial seja 
diferenciável num ponto.
Teorema 2. Seja F: A ⊂ Rm → Rn definida por F(P) = (f1(P), f2(P), ..., f3(P)), onde 
 existe numa B(Po, r) e é contínua em Po, então  F  é 
diferenciável em Po.
DEMONSTRAÇÃO 
Para demonstrar o teorema, deve-se mostrar que
79
Como o limite de uma função vetorial é igual ao limite das suas funções 
coordenadas, o último limite ficará demonstrado se for provado que
onde .
A fim de calcular então
Aplicando o teorema do valor médio para funções reais de m variáveis 
(teorema 3 do tópico 2 da aula 5), tem-se
onde é um ponto interno ao segmento que liga ; mas
logo
Substituindo na última somatória, obtém-se
Portanto, substituindo no último limite, tem-se
isto porque uma vez que é contínua em 
 e . O que conclui a demonstração.
80
Observação 1
Uma função vetorial é dita diferenciável num conjunto B contido no seu 
domínio, se ela é diferenciável em todos os pontos de B e é dita diferenciável se for 
diferenciável no seu domínio.
Observação 2
Uma função vetorial é dita de classe Ck (k=1,2,...) num conjunto B contido no 
seu domínio, se as derivadas parciais de todas as suas funções coordenadas até a 
ordem k, são contínuas em B.
Segue-se do teorema 2, o seguinte corolário.
strong>Corolário. Seja F: A ⊂ Rm → Rn de classe C1 num conjunto aberto B ⊂ A, 
então  F  é diferenciável em  B.
Assim, a função do exemplo resolvido 1 é diferenciável em todo o R2, por ser de classe C1 em todo o 
R2.
Com a composição das funções vetoriais de várias variáveis (definida no final tópico 1 desta aula), a 
regra da cadeia vista para funções mais simples, agora pode ser generalizada.
Teorema (Regra da Cadeia Generalizada) 3. Sejam as funções G: B ⊂ Rm → Rp
e F: A ⊂ Rp → Rn, tais que G é diferenciável em Po e  F é diferenciável em G(Po), 
então  FoG é diferenciável em Po e (FoG)'(Po) = F'(F(Po))G'(Po).
DEMONSTRAÇÃO 
Devido as diferenciabilidades de G em P0 e de F em G(P0), P0 também é 
ponto interior do domínio de FoG, a prova de tal fato está sugerida no exercício 
38 do exercitando deste tópico. A demonstração estará concluída se for provado 
que F'(G(P0))G'(P0) é a matriz da diferencial de FoG em P0, isto é, que FoG é 
representável na forma
onde 
Como G é diferenciável em e F é diferenciável em P0 e F é diferencial em G
(P0), existem funções Z1 e Z2 tais que 
(1) 
81
onde e
(2) 
onde 
Substituindo G(P) dada em (1) no lado direito da igualdade dada em (2), tem-
se
considerando então a função Z dada por
 daí 
(tomando o módulo dos dois lados e usando a desigualdade triangular). 
Como 
é linear (pelo teorema do tópico 2 desta aula), existe uma constante m tal que 
 logo na desingualdade dada em (3), substituindo 
 por e cancelando obtém-se
(4) 
Mas se (pelo continuidade de G em P0), logo 
 e como o lado direito da 
desigualdade dada em (4) tende a zero se O que conclui a demonstração.
Segue-se do teorema  3, o seguinte corolário.
Corolário. Sejam as funções G: B ⊂ Rm → Rp e F: A ⊂ Rp → Rn, tais que   G   é 
diferenciável num conjunto aberto C ⊂ B, F  é diferenciável num conjunto aberto 
D ⊂ A G(P) ∈ D para todo P ∈ D, então  FoG  é diferenciável em  C  e (FoG)'(P) = 
F'(G(P))G'(P) para todo P ∈ C.
Evidentemente que as diversas fórmulas de derivação de funções compostas, tratadas anteriormente, 
podem ser obtidas da fórmula do corolário do teorema 3, particularizando os valores de m, n e p. Sendo 
assim:
Se m = n = p = 1
(1) Se Se m = n = p = 1 então G: I1 ⊂ R → R e F: I2 ⊂ R → R são definidas por u = G
(x) e y = F(u), desta forma F'(u) e G'(u) são reais (ou matrizes 1 x 1) e resulta da 
corolário que
82
conforme foi estabelecido no tópico 1 da aula 6 do primeiro curso de Cálculo;
Se m = p =1 e n ≥ 2
(2) Se Se m = p =1 e n ≥ 2, então G: I1 ⊂ R → R e F: I2 ⊂ R → Rn são definidas por 
u = G(v) e w = f(f1(u), f2(u),..., fn,(u)), logo F'(u) e G'(u) são matrizes n x 1 e 1 x 1, 
respectivamente, e resulta do corolário que
isto é,
que é fórmula (5) do tópico 1 da aula 2;
Se m = n = 1 e p ≥ 2
(3) Se Se m = n = 1 e p ≥ 2 então G: I ⊂ R → Rp e F: A ⊂ Rp → R são definidas por 
(x1, x2,..., xp) = G(t) = (g1(t),.., g2(t),..., gp(t)) e w = F(x1, x2,..., xp) portando F'(x1, x2,..., xp) 
e G'(t) são matrizes 1xp e px1, respectivamente, assim do corolário, tem-se
ou seja,
que é a fórmula do corolário do teorema 2 do tópico 2 da aula 5.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Sendo F(x, y) = (xy, x2 + y2) e G(u, v) = (u2 - v2, u + v), calcular:
a. (FoG)'(1, 1)
b. (GoF)'(1, 1)
SOLUÇÃO 
(a) Tem-se (FoG)'(1, 1) = F'(G(1, 1)) G'(1, 1), mas
83
e
logo
(b) Tem-se (GoF)'(1, 1) = G'(F(1, 1)) F'(1, 1), mas
logo 
EXEMPLO PROPOSTO 2
Sendo F(x, y) = (x2 - y2, x2y) e G(u, v) = (uv2, u2 - v2), calcular:
a. (FoG)'(1, 1)
b. (GoF)'(1, 1)
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Se achar em (1,-1,1).
SOLUÇÃO 
Sejam (x, y) = F(u, v) = (ue2, u ulnv) e (u, v) = G(r, s, t) = (r - s2 - t2, r2 + s2 - t) então e no 
ponto (1,-1,1), tem-se
mas
84
e
logo no ponto (1,-1,1), obtém-se
portanto no ponto (1,-1,1).
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se calcular em (1, -1, 1).
A matriz jacobiana de uma função F: A ⊂ Rm → Rm num ponto  P  é uma matriz quadrada, logo tem 
determinante, que é chamado de determinante jacobiano  de  F  em  P  e é indicado por F'(P). Se  F  é 
definida por 
o determinante jacobiano de F é também indicado por
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Calcular o determinante jacobiano da função F(u, v) = (u cos v, u sen v) num ponto qualquer.
SOLUÇÃO 
Como tem-se
85
EXEMPLO PROPOSTO 4
Calcular o determinante jacobiano da função F(u, v, w) = (u cos v sen w, u sen v sen w, u cos w) 
num ponto qualquer.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 10, 16 e 22 
são as respectivas questões  3  até  5  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do 
ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com 
extensão DOC ou manuscrito e escaniado, no período indicado na Agenda do ambiente Solar.
LEITURA COMPLEMENTARNo texto “Função Inversa e Implícita” (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.), 
continuamos o nosso estudo sobre a derivação de funções vetoriais de várias variáveis, este tema é 
particularmente aplicado a problemas relacionados com soluções de sistemas de equações não 
lineares.
Fontes das Imagens
86
Cálculo Diferencial II 
Aula 08: Gradiente, Divergente e Rotacional 
Tópico Único: Gradiente, Divergente e Rotacional
VERSÃO TEXTUAL 
O objetivo deste tópico é usar derivadas parciais para definir três operadores, que aparecem 
em várias aplicações em Física e nos teoremas principais do Cálculo Integral de Funções 
Vetoriais (a ser visto no curso posterior de Cálculo). O primeiro desses operadores é chamado de 
gradiente e usa uma função real para definir um campo vetorial, os outros são denominados de 
divergente e rotacional, ambos utilizam campos vetoriais para definir uma função real e outro 
campo vetorial, respectivamente.
Seja uma função real f: A ⊂ Rm → R de variáveis x1,x2, ..., xm - 1 e xm, se todas as derivadas parciais fxi (i 
= 1, 2, ..., m) existem num subconjunto B ⊂ A,  o campo gradiente  de  f  (ou simplesmente, o gradiente de  
f)  é indicado e definido num ponto P ∈ B por:
Em particular, se f é uma função real de variáveis x e y, o grad f é um campo vetorial dado por:
E se f é uma função real de variáveis x, y e z, o grad f é um campo vetorial dado por:
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular o gradiente da função f(x, y) = x2y + xy2. 
SOLUÇÃO 
Da definição de gradiente, tem-se
gradf (x,y) = 
87
EXEMPLO PROPOSTO 1
Calcular o gradiente da função f(x, y, z) = x2y - y2z. 
Se f: A ⊂ Rm → Rm um campo vetorial tal que existe uma função f: A ⊂ Rm → R onde F = grad f num 
subconjunto B ⊂ A diz-se que F é um campo gradiente em B e a função f é um potencial real do campo F 
em B. Em geral, o potencial real de um dado campo gradiente, não é único; entretanto, é possível mostrar 
que dois potenciais quaisquer diferem apenas de uma constante (isto será tratado no curso posterior de 
Cálculo). Outra questão que surge é sobre a existência de um potencial real para um campo vetorial dado, 
a resposta desta questão será estabelecida futuramente (isto também será tratado no curso posterior de 
Cálculo). O exemplo seguinte ilustra um método par achar um potencial de um campo gradiente.
CAMPO GRADIENTE
Ou um campo conservativo.
CAMPO GRADIENTE
Ou potencial escalar.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Sabendo-se que  F(x, y, z) = (2x cos y - z2, -x2 sen y, - 2xz) é um campo gradiente, encontrar o 
potencial real de  f  que satisfaz f(-1, 0, 2) = 3.
SOLUÇÃO 
Como F = grad f, tem-se o
sistema seguinte: 
Da primeira equação (por exemplo), obtém-se
f(x,y,z) = x2 cosy - xz2 + g(y,z).
Resta determinar g(y,z) para que f(x,y,z) satisfaça também as duas últimas equações 
do sistema. Derivando f em relação a y e igualando com a segunda equação do sistema, 
tem-se -x2 sen y + gy(y,z) = -x2 sen y, daí gy(y,z) = 0, isto é, g só depende de z, seja então g
(y,z) = h(z). Substituindo g(y,z) em f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 + g(y,x), fica f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 + 
h(z), que derivando em relação a z e igualando com a terceira equação do sistema, tem-se 
-2xz + h'(z) = -2xz, daí h'(z) = 0, ou seja, h(z) = c onde c é uma constante. Logo, f(x,y,z) = x2
88
cos y - xz2 + c é a solução geral do sistema. Como 3 = f(-1,0,-2) = 5 + c, o potencial real 
procurado é:
f(x,y,z) = x2 cos y - xz2 - 2.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Sabendo-se que F(x, y) = (sen y + 2xy, x cos y + x2) é um campo gradiente, encontrar o potencial 
real de  f  que satisfaz f(0, 0) = - 1.
O operador diferencial vetorial ∇ (lê-se, nabla) é definido por:
Para uma função f: A ⊂ R m → R , define-se  nabla aplicado  a   f   por:
Assim, da definição de campo gradiente, tem-se ∇f(P) = grad f
(P) Doravante será usada a notação ∇f para indicar o gradiente de  uma função  
f.
Sejam  f  e  g  funções reais com derivadas parciais de primeira ordem em relação a todas as suas 
variáveis, então o gradiente tem as seguintes propriedades: Clique aqui para ver.
CLIQUE AQUI PARA VER
PARADA OBRIGATÓRIA
As demonstrações destas propriedades decorrem diretamente da definição de gradiente e estão 
sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico.
Seja um campo vetorial f: A ⊂ R m → Rm , em que cada função coordenada fi (i=1,...m) possui derivada 
parcial em relação a variável  xi  num subconjunto B ⊂ A, então a divergente  de  F  é a função indicada e 
definida num ponto  P  de  B  por:  
89
Em particular, se o campo vetorial F: A ⊂ R 2 → R2 é definido por F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)), então: 
E se o campo vetorial F: A ⊂ R 3 → R3 é definido por F(x, y) = (f(x, y), g(x, y), h(x, y)), então:
O operador ∇ é também usado para representar o divergente de um campo vetorial.  Se f: A ⊂ R m →
Rn é dado por F(P) = (f1(P), f2(P), ..., fm(P)), define-se nabla escalar F  por:
Logo, da definição de divergente, tem-se ∇ F(P) = div F(P) A partir deste momento será usada a 
notação ∇ . F invés de div F. 
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Encontrar o divergente do campo vetorial F(x, y) = (y tag x, ylnxy) num ponto qualquer.
SOLUÇÃO 
Da definição de divergente, tem-se ∇⋅ F(x,y) = assim
∇⋅ F(x,y) = y sec2 x + 
EXEMPLO PROPOSTO 3
Achar o divergente do campo vetorial F(x, y, z) = (yz sec x, x eyz, lnxyz) num ponto qualquer.
Se F é um campo vetorial tal que f: A ⊂ R m → R tem derivadas parciais de segunda ordem em relação 
a cada variável xi (i = 1, 2, ..., m), o laplaciano  de  f  é definido por ∇2 = ∇ . ∇f e a equação ∇2f(P) = 0 é dita a 
equação de Laplace. Uma função que é solução da equação de Laplace num subconjunto  B  do seu 
domínio é chamada uma  função harmônica  em  B.
EXEMPLO RESOLVIDO 4
90
Sendo f(x, x, z) = |r|-1 onde r = xe1 + ye2 + ze3  provar que  f  é harmônica exceto na origem.
SOLUÇÃO 
Como ∇2f(x,y,z) = ∇.∇|r|-1, tem-se
logo f é solução da equação de Laplace exceto na origem, ou seja, f é harmônica em 
qualquer conjunto que não contém a origem.
EXEMPLO PROPOSTO 4
Se f(x, x, z) = |r|-2 onde r = xe1 + ye2 + ze3, verificar se  f  é harmônica em algum subconjunto do seu 
domínio.
Se  F  e  G  são campos vetoriais e  f  é uma função real, o divergente tem das seguintes propriedades:
1. ∇(F ± G) = ∇ F ± ∇ G;
2. ∇ . (FG) = ∇ f(∇ . G) + ∇ f . G;
As demonstrações destas propriedades são consequência direta da definição e estão sugeridas no 
exercício  31  do exercitando deste tópico.
Seja f: A ⊂ R 3 → R 3 um campo vetorial definido por F(x, y, z) = (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)), tal que fy, 
fz, gx, gz e hy existem num subconjunto B ⊂ A, então o rotacional  de  F é o campo vetorial definido num 
ponto  (x,y,z)  de  B  por:   
Se f: A ⊂ R 2 → R 2 é definido por F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) tal que fy e  gx  existem num subconjunto B ⊂
A, a função real dada por gx- fy  também é chamada de rotacional de  F.
É possível encontrar a expressão para rot F usando o operador ∇, sendo assim, define-se  nabla 
vetorial   F  por:
91
Onde os produtos nos cálculos dos determinantes de segunda ordem, indicam derivadas parciais. 
Assim: 
Ou seja 
A partir deste momento será usada a notação ∇ x F invés de  rot F.
EXEMPLO RESOLVIDO 5
Calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (xyz2, xy - yz2, 2xy2 - z). 
SOLUÇÃO 
Por definição, tem-se
EXEMPLO PROPOSTO 5
Calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (xy - yz2, xy2z, 2x2y - z2).
Se F é um campo vetorial tal que 
em todo ponto  P  de um subconjunto  B  do seu domínio, diz-se que  F  é um campo vetorial irrotacional
em B. É possível mostrar que sob certas restrições, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, ele 
é irrotacional (isto será tratado no curso posterior de Cálculo).
Dado um campo vetorial F: A ⊂ R 3 → R 3 , se existe outro campo vetorial G: A ⊂ R 3 → R 3 tal F = ∇ x G 
 num subconjunto B ⊂ A, o campo G  é dito um potencial vetorial do campo F  em  B. A existência de um 
potencial vetorial para um campovetorial dado, está relacionada com campos solenoidais, assim como os 
campos conservativos estão relacionados com campos irrotacionais. É possível mostrar que sob certas 
92
restrições, um campo vetorial tem um potencial vetorial se, e somente se, ele é solenoidal; tais restrições 
referem-se ao campo vetorial e ao conjunto onde é desejado que o campo tenha o potencial vetorial. O 
exemplo 6 a seguir, estabelece um tipo de conjunto (que constitui um grupo de conjuntos amplamente 
utilizados), onde a equivalência se verifica. No curso posterior de Cálculo, será visto um tipo de conjunto 
onde um campo é solenoidal, mas que ele não possui um potencial vetorial nesse conjunto.  
EXEMPLO RESOLVIDO 6
Seja  B  um conjunto aberto do R3, onde dois pontos quaisquer de  B  podem ser ligados através 
de segmentos paralelos aos eixos coordenados. Se F: A ⊂ R 3 → R 3 é de classe C1  em   B ⊂
A, mostrar que F tem  um potencial vetorial em  B  se, e somente se,  F  é solenoidal em  B.
SOLUÇÃO 
Se F tem um potencial vetorial G num subconjunto B do domínio de F, decorre 
facilmente da definição de divergente que ∇⋅F = 0 em B. A verificação está sugerida no 
exercício 34 do exercitando deste tópico. 
Para mostrar que F tem um potencial vetorial em B, suponha que F seja solenoidal em 
B. Sendo F(x,y,z) = (f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)), a existência do potencial vetorial G(x,y,z) = (g1,
(x,y,z),g2,(x,y,z),g3,(x,y,z)) significa que F = ∇ x G, ou equivalente, que existe uma solução G
(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3(x,y,z)) para o sistema
Considerando (isto é, g3 dependendo apenas de z), tem-se
assim (por integração)
onde z0 é constante, f e g são funções que independem de z. Resta determinar as funções f 
e g. Substituindo g1(x,y,z) e g2(x,y,z) f3 na equação de f3, obtém-se
Como F é solenoidal em B, isto é, em B, tem-se 
93
em B, assim
ou seja, f e g devem ser soluções da equação fx(x,y) - gy(x,y) = f3(x,y,z0). Tomando f(x,y) = 
 onde x0 é constante e g(x,y) = , a última equação se verifica. Portanto, se F 
é solenoidal em B, definindo o campo vetorial G: B ⊂ R 3 → R 3 por
tem-se F(x,y,z) = ∇ x G(x,y,z) para (x,y,z) € B.
EXEMPLO PROPOSTO 6
Resolva o exemplo anterior fazendo g2(x, y, z) = α(y).  
Se F e G são campos vetoriais e f é uma função real, o rotacional tem as seguintes propriedades:
1. ∇ x (F ± G) = ∇ x F ± ∇ G;
2. ∇ x (fG) = f(∇ x G) + ∇f x G;
As demonstrações destas propriedades decorrem diretamente da definição e estão sugeridas no 
exercício 31 do exercitando deste tópico.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 6, 9, 12, 
22 e 35 são as respectivas questões  1  até 5  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio 
Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único 
arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente 
Solar.
LEITURA COMPLEMENTAR
No texto "Mudança de Coordenadas"; (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)
inicialmente, apresentamos as coordenadas cilíndricas e esféricas; posteriormente, estudaremos os 
operadores gradiente, divergente e rotacional em outros tipos de coordenadas além das coordenadas 
cartesianas. O tema é aplicado principalmente em Física, é recomendável uma leitura. 
94
Fontes das Imagens
95
 
 
Disciplina 
 
 
0ª
	Microsoft Word - LMAT_Capa_Creditos_Sumario.docx
	4ca523e0871f998f41b91f8ce152fcf4b3207452343873566e315d5716a1e998.pdf
	CalculoDiferencialII_aula_01
	CalculoDiferencialII_aula_02
	CalculoDiferencialII_aula_03
	CalculoDiferencialII_aula_04
	CalculoDiferencialII_aula_05
	CalculoDiferencialII_aula_06
	CalculoDiferencialII_aula_07
	CalculoDiferencialII_aula_08como t varia de 
0 a 2π, a curva C é a circunferência que está na figura seguinte.
2
FIGURA SEGUINTE
EXEMPLO PROPOSTO 1
Mostrar que a curva definida por f(t) = (a sen t, a cos t), onde 0 ≤ t ≤ 2 π, é a mesma circunferência 
do exemplo anterior. Explicar o significado do parâmetro da curva.
O procedimento usado no exemplo resolvido 1, baseado na eliminação do parâmetro, para encontrar a 
representação geométrica da curva definida por uma função vetorial, é na maioria das vezes muito útil. Em 
geral, sempre que for possível eliminar o parâmetro, a técnica pode ser usada para encontrar a 
representação geométrica da curva definida por uma função f: A ⊂ R → Rn entretanto, deve-se observar 
que tal representação geométrica nem sempre é o gráfico da equação cartesiana correspondente.
O que ocorre é o seguinte: A representação geométrica é uma parte, toda 
ou cobre várias vezes o gráfico da equação cartesiana correspondente.
Por exemplo: a função g(u) = (u2,u4) tem equação cartesiana correspondente y = x2, cujo gráfico é uma 
parábola, mas a curva definida por g é apenas a parte dessa parábola no primeiro quadrante juntamente 
com a origem, pois x = u2 ≥ 0 para todo u; a função h(v) = (cos 2v, sen 2v) para 0 ≤ v ≤ 2 π, tem equação 
cartesiana correspondente x2 + y2 = 1, cujo gráfico é a circunferência de centro na origem e raio igual a um, 
porém a curva definida por h cobre duas vezes a circunferência. 
AJUDA
Além do conteúdo de Matemática visto em Geometria Analítica e Álgebra Linear, para continuar 
estudando Cálculo a partir do conteúdo de Matemática do segundo curso de Cálculo, você vai precisar 
a partir deste momento de um complemento sobre “superfícies e curvas” dadas através de equações 
de três variáveis, tais assuntos são estudados em Geometria Analítica Espacial. Faça uma leitura 
atenciosa do texto “Superfície e Curva” (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.), que 
muito vai ampliar seus conhecimentos básicos. 
O problema das curvas do R3 é um pouco mais complexo que no R2, uma vez que se o parâmetro é 
eliminado nas equações paramétricas da curva, encontra-se uma ou duas equações cartesianas com três 
variáveis. Então pode ser afirmado que: ao se encontrar uma única equação cartesiana, com a eliminação 
do parâmetro, a curva está contida no gráfico da equação; quando se obtém duas equações cartesianas, 
3
com a eliminação do parâmetro, a curva está na interseção dos gráficos das equações. Os exemplos a 
seguir, ilustram as duas situações.
Exemplo Resolvido 2
Representar geometricamente a curva C parametrizada por g(u) = (a cos u, a sen u, bu) com a > 0, b > 
0 e -∞ 0 existe um número real 
δ > 0, tal que:
0número real , portanto é um vetor com a mesma direção de e seu limite quando 
 é o vetor . Por outro lado, se  C  é a curva definida por  f, então o vetor tem origem e 
extremidade nas extremidades de e , respectivamente, isto é, 
está na direção da reta secante à curva  C  nas extremidades de e , logo também está na 
direção dessa reta secante. Como a posição limite da secante, quando , se existe, é tangente à curva 
C no ponto P onde , concluí-se que o vetor é tangente à curva C em  P. Em geral, os vetores 
estão com a origem na origem do sistema de coordenadas, então a posição tangente de à 
curva C em P é obtida se for efetuada uma translação de para o ponto P. Clique aqui.
CLIQUE AQUI
A figura ilustra a curva C, alguns dos vetores mencionados na interpretação geométrica de f1 e o 
vetor fq(t) com a origem em P.
Uma função vetorial f é dita derivável num valor, se f ' existe no valor. A função vetorial f é derivável 
num subconjunto I do seu domínio, se f é derivável em todos os valores de I e derivável se for derivável no 
seu domínio. A derivada de uma função vetorial pode ser dada em termos das coordenadas da função. 
Assim, se e , obtém-se
ou seja,
8
se e são deriváveis. Analogamente, sendo tem-se
se , e são deriváveis. Portanto, foi concluído:
Uma função vetorial f é derivável se, e somente se, suas funções 
coordenadas são deriváveis; e neste caso, a derivada da função vetorial tem 
como coordenadas as derivadas das suas funções coordenadas 
correspondentes.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Representar geometricamente o vetor tangente à curva definida por f(t) = (cos t , sen t) no ponto 
em que .
SOLUÇÃO 
O vetor tangente em qualquer ponto da curva é dado por
Logo, no ponto em que , ou seja, em , tem-se
A curva definida por f é uma circunferência de centro em (0,0) e raio 1. Assim, na 
figura seguinte está a curva definida por f e o vetor tangente à curva no ponto P. Clique 
aqui.
CLIQUE AQUI.
Como já foi mencionado, o vetor tangente encontrado tem o ponto inicial na origem, assim sua 
representação geométrica tangente à circunferência é obtida através de uma translação para o ponto 
sobre a curva.
9
Exemplo Proposto 1
Mostrar que o vetor tangente à curva definida por f(t) = (sen t, cos t) no ponto em que está 
posicionado como na figura seguinte. 
Sejam f: A ⊂ R → Rn e g: B ⊂ R → Rn (n = 2,3, ...,r) funções vetoriais deriváveis e α uma função real 
derivável, então: 
5. (Regra da Cadeia). Se α definida por t = α(u), então Du(foα)(u) = Dff(t)α'(u)..
1. Dt[f(t) ± g(t)] = Dtf(t) + Dtg(t)
2. Dt[α(t) f(t)] = α(t)Dtf(t) + α'(t)Dtf(t)
3. Dt[f(t) g(t)] = f(t) Dtg(t) + Dtf(t) g(t)
4. Dt[f(t) x g(t)] = f(t) x Dtg(t) + Dtf(t) x g(t)
5. (Regra da Cadeia). Se α definida por t = α(u) , então Du(foα)(u) = Dff(t)α'(u).
COMO ILUSTRAÇÃO, A PROPRIEDADE (4) SERÁ DEMONSTRADA 
Sendo , somando e subtraindo 
, tem-se 
aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial (dada em  0.5.2 – 
pág. 31), obtém-se 
dividindo ambos os membros por h e tomando o limite quando h tende a 
zero, acha-se
O que conclui a demonstração.
10
Como a derivada de uma função vetorial pode ser obtida derivando as suas funções coordenadas, a 
propriedade (5) é uma consequência da regra da cadeia para funções reais, tratada no primeiro curso de 
Cálculo.
A derivada segunda de uma função vetorial f é a função vetorial indicada e definida num valor t no 
domínio de f ' por 
desde que este limite exista.
Em geral, a representação geométrica de f"(t) não tem uma posição particular em relação à curva 
definida por f, como acontece com f'(t); entretanto, se |f'(t)|tais que 
onde , assim
Por outro lado, como f tem derivada contínua no intervalo [a,b], a função definida por 
é contínua em [a,b], logo o limite da soma 
onde quando tende a zero, existe e é dado por
Portanto, para concluir a demonstração, basta provar que e têm o mesmo valor limite 
quando , ou seja, 
pode ser arbitrariamente pequeno para  n  suficientemente grande e 
suficientemente pequeno.
14
Mas sendo f ' contínua em [a,b], as funções  são também contínuas em [a,b] logo 
uniformemente contínuas em [a,b] (conforme o teorema 2 do texto complementar indicado no 
final do tópico 3 da aula 3 de Matemática I),  assim dado qualquer existe 
tal que  
para cada divisão de [a,b] na qual e cada e em ; também existe tal que
para cada divisão de [a,b] na qual e cada em . Assim, para o dado, existe 
 tal que
para cada divisão de [a,b] na qual . Logo, tem-se 
Como é qualquer, este pode ser considerado arbitrariamente pequeno. O que conclui a 
demonstração.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular o comprimento do arco da hélice cilíndrica, definido por f(t) = (a cos t, a sen t, bt) com 0 ≤
t ≤ 2π.
SOLUÇÃO 
Como f'(t) = ( -a sen t, a cos t, b) é contínua em [0, 2π], o comprimento do arco é então 
dado por
15
Exemplo Proposto 1. Mostrar que o comprimento do arco da curva definida por g(u) =(u cos u, u sen 
u, u) com , é igual a 
Seja C a curva definida por uma função f: A ⊂ R → Rn (n = 2, 3), onde f ' é contínua em todo valor 
de t no domínio de  f. Considere Po um ponto fixo de C, correspondente a um valor to> e P um ponto 
qualquer de C correspondente a um valor  t. Supondo que a distância de Po a P sobre C aumenta quando t 
cresce, a medida do comprimento do arco da curva C de Po a P, é uma função de t chamada função 
comprimento de arco  e é definida por 
A curva C definida por uma função vetorial f é dita uma curva regular (ou então, que a função f é 
regular), se f possui derivada contínua e não nula em todo valor do seu domínio. 
Se C é uma curva regular, então é possível mudar o seu parâmetro t para o parâmetro comprimento 
de arco s. Para justificar tal fato, seja f regular, então sendo f ' contínua |f '| também é contínua, logo pelo 
lema do teorema fundamental do Cálculo (dado no tópico 1 da aula 2 de Matemática II), 
assim s é derivável e tem derivada positiva em todo valor de t no domínio de f, pois f é regular; daí s é 
uma função contínua e crescente, ou seja, s é invertível. Supondo que define a inversa de s, então a 
função vetorial g definida por também define a curva C. Observe que embora g e f definam a 
mesma curva C, g e f têm domínios distintos, o domínio de g é o intervalo [0,L] onde L é o comprimento de 
C desde que C tenha comprimento finito e o domínio de f é o correspondente a variação de t. Clique aqui.
CLIQUE AQUI
A figura mostra como é trocada a variável t da função que define a curva para a variável s da nova 
função que também define a curva.
Diz-se que a curva C definida por g = f(h(s)), está parametrizada pelo comprimento de arco. Deve-se 
observar, por exemplo, que  f(s) não é obtida de f (t) pela simples troca de t por s, mas de t por h(s).  
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Parametrizar pelo comprimento de arco a circunferência definida por f(t) = (r cos t, r sen t).
SOLUÇÃO 
16
Como t = 0 está no domínio de f, pode-se considerar
assim
Sendo s = rt, a inversa de s é definida por . Assim,
é a parametrização da circunferência pelo comprimento de arco.
Exemplo Proposto 2. Provar que a parametrização pelo comprimento de arco da curva definida por 
O exemplo seguinte mostra que se uma curva C esta parametrizada pelo comprimento de arco, então 
o vetor tangente unitário coincide com a derivada da função que define C, o que não acontece quando o 
parâmetro de C não é o comprimento de arco.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Seja C a curva definida pela função f (t) e f (s) a parametrização de C pelo comprimento de arco.  
Provar que f ' (s) é unitário e tangente a C.
SOLUÇÃO 
Pela regra da cadeia (enunciada dada no tópico 1 da aula 6 de Matemática I)
mas , logo
isto é, f ' (s) é unitário. O fato de f ' (s) ser tangente a C, decorre da interpretação 
geométrica da definição de derivada.
Exemplo Proposto 3. Considerando a curva C do exemplo anterior, mostrar que f ''(s) é normal a C em 
cada ponto.
17
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do 
exercitando: 2, 13 e 14 são os respectivos itens (a), (b) e (c) da questão  2;  21 e 23  são os 
respectivos itens  (a) e (b) da questão  3  do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual
do ambiente Solar. As questões 4 e 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula. É 
exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou 
manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do ambiente Solar.
18
Cálculo Diferencial II 
Aula 02: Limite, Continuidade, Derivada, Comprimento de Arco e Vetores Unitários 
Tópico 03: Vetores Tangente e Normais Unitários
O objetivo deste tópico é determinar um conjunto de vetores ortonormais, 
que ao serem transladados para um ponto de uma curva, apresentam certas 
particularidades em relação à curva; tais vetores são utilizados em Física no 
estudo do movimento de partículas, além de terem grande importância em 
estudos posteriores.
ORTONORMAIS
Os vetores A, B e C são ditos ortonormais, se eles são unitários e dois a dois ortogonais. Neste 
caso, qualquer vetor V do R3 pode ser escrito na forma
V = (V . A)A + (V . B)B + (V . C) C.
Pois sendo A, B e C ortonormais, o conjunto {A,B,C} é linearmente independente, logo qualquer 
vetor V do R3 pode ser escrito como combinação de A, B e C, sendo V = aA + bB + cC; então V.A = (aA 
+ bB + cC)A = a(A . A) + b0 = c0 = a|A|2 = a analogamente b = V . B e C = V . C.
Seja C uma curva do Rn (n = 2, 3) definida por f: A ⊂ R → Rn. Sendo  P  o ponto final do vetor f(t) (isto 
é,  P  é um ponto da curva  C), então se f'(t) ≠ 0, o vetor f'(t) é tangente à curva  C  em  P, assim o vetor
é unitário e tangente a C em P. Evidentemente que em cada ponto de C onde existe um vetor tangente, há 
também dois vetores tangentes e unitários, mas o vetor T (t) é citado como o vetor tangente unitário  de  
C  em  P. O vetor curvatura  de  C  em  P  é definido por
e o seu comprimento k(t) = |K(t)| é chamado a curvatura  de  C  em  P. A função curvatura definida por 
é uma função real da variável real   t   e em cada ponto  P  de  C, dá uma medida da mudança de direção da 
curva   C   em   P   (isto é, dá uma medida do quanto a curva deixa de ser reta, numa vizinhança de cada um 
de seus pontos), a demonstração deste fato está no exemplo resolvido  3  deste tópico. Além disso, num 
ponto em que o vetor curvatura existe e é não nulo, sua representação está do lado em que a curva se 
fecha (isto é, do lado oposto em que localmente a reta tangente à curva nesse ponto se encontra), a prova 
está sugerida no exemplo proposto  3  deste tópico. O inverso da curvatura, dado por é chamado 
o raio de curvatura de C em P. Efetuando o produto escalar dos vetores K (t) e T (t), obtém-se K(t) . T(t) = 
19
|f'(t)-1 [T(t) . T'(t)], como [T(t)] = 1, tem-se T'(t).T(t) = 0, daí o vetor curvatura e o vetor tangente unitário são 
ortogonais, isto é, o vetor curvatura é normal à curva C em  P  e o vetor 
é unitário e normal à curva C em P. Observe que substituindo o vetor curvatura e a curvatura, o vetor N(t) 
pode ainda ser dado por
vetor N(t) é chamado o vetor normal unitário (ou ainda, o vetor principal) de C em P. Observe que 
sendo N(t) paralelo a K(t) e k(t) > 0, a representação do vetor N(t) é também do lado em que a curva se 
fecha.Clique aqui.
CLIQUE AQUI
A figura mostra a curva C juntamente com os vetores tangente T e normal N unitários com ponto 
inicial no ponto final def(t).
Sendo C uma curva em R3, como os vetores T(t) e N(t) são unitários e ortogonais, obtém-se |T(t) x N(t)
| = 1. Logo, o vetor T(t) x N(t) é unitário e da definição do produto vetorial, é ortogonal a T(t) e N(t). O vetor
é chamado o vetor binormal unitário  de  C  em  P. 
LEITURA COMPLEMENTAR
O conjunto dos vetores unitários e mutuamente ortogonais T(t), N(t) e B(t), são chamados o 
triedro de Frenet-Serret. Observe que (T(t), N(t), B(t)) é um terno positivo.
TERNO POSITIVO
Um terno (A,B,C) de vetores A, B  e  C  do R3 é dito um terno positivo  ou um terno negativo, 
conforme o produto misto  ABC  seja positivo ou negativo, respectivamente. Segue-se que sendo 
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(A,B,C) um terno positivo, então: os ternos (B,C,A) e (C,A,B) são positivos; e os ternos (A,C,B), 
(C,B,A) e (B,A,C) são negativos. Observe que (e1, e2, e3) é um terno positivo. Segue-se ainda que: 
(a) Se A e B são vetores linearmente independentes, então (A, B, A x B) é um terno positivo;
(b) Sejam A, B e C vetores ortonormais tais que o terno (A,B,C) seja positivo, então A x B = C, B 
x C = A e C x A = B.
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NULLA MOLLIT EST ELIT.
A figura mostra a curva C juntamente com os vetores tangente T e normais N e B unitários com 
ponto inicial no ponto P da curva.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Encontrar o triedro de Frenet-Serret e o raio de curvatura da hélice cilíndrica definida no exemplo 
resolvido 2  do tópico 1 desta aula, num ponto qualquer.
SOLUÇÃO 
Sendo tem-se
assim e, consequentemente,
é o vetor tangente unitário. Sendo então  , o vetor curvatura é 
dado por
daí a curvatura é
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Logo, o vetor normal unitário é
e o vetor binormal unitário é
Como é a curvatura, o raio de curvatura é
Observe que a função curvatura da hélice cilíndrica é uma função constante, isto é, a 
hélice cilíndrica se curva de forma constante ao longo de sua trajetória.
Exemplo Proposto 1. Para a curva do exemplo proposto  2  do tópico da aula 01, mostrar que: 
O plano que contém o ponto P  da curva  C  e é paralelo aos vetores T(t) e N(t) (isto é, o plano que 
contém  P  e tem B(t) como vetor normal), é chamado o plano osculador  de  C  em  P. Existem ainda, dois 
planos contendo o ponto  P  da curva  C, a serem considerados: é o plano retificante  de  C  em  P  paralelo 
aos vetores T(t) e B(t), e o plano normal  de  C  em  P  paralelo aos vetores N(t) e B(t).
A reta que contém o ponto  P  de  C  e é paralela ao vetor N(t), é chamada a reta normal principal  de  
C  em  P. O ponto que está sobre esta reta normal, a uma distância igual ao raio de curvatura e do lado em 
que aponta o vetor N(t) é dito o centro de curvatura  e  C  em  P. A circunferência osculatriz  de  C  em  P  
é a circunferência no plano osculador de  C  em  P, de centro no centro de curvatura e raio igual ao raio de 
curvatura de  C  em  P.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Determinar a circunferência osculatriz da curva definida por no ponto em que t = 0 e 
representar geometricamente a curva e a circunferência osculatriz.
SOLUÇÃO 
Num ponto qualquer o vetor curvatura é
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assim K(0) = (0, 1 e p(0) = 1. O ponto da curva correspondente a t = 0 é (0,0). Como K(0) = e2, 
o sentido do vetor N(0) é o sentido positivo do eixo Y, assim a circunferência osculatriz é a 
circunferência de centro em (0,1) e raio  1,  logo de equação x2 + (y - 1)2 = 1. 
Observe que a curva definida por f é a parábola de equação no plano XY. Na 
figura seguinte aparecem a parábola e a circunferência osculatriz da parábola em 
(0,0).Clique aqui.
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Exemplo Proposto 2. Se C é a curva definida por g(t) = (t . t-1), provar que (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 é a 
equação da circunferência osculatriz de C  no ponto (1,1) e que as representações geométricas de C e da 
circunferência estão na figura seguinte. Clique aqui.
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EXEMPLO RESOLVIDO 3
Seja C a curva definida pela função f(t) e f(s) a parametrização de C pelo comprimento de arco. 
Provar que a curvatura é uma medida da mudança de direção de C.
SOLUÇÃO 
Seja a curva C em R2. Como |T(s)| = 1 , tem-se
T(s) = cos θe1 + sen θe2
onde 
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é a medida do ângulo determinado pelo lado positivo do eixo X  e o vetor T(s) no sentido 
anti-horário
Então Dθ T(s) = - sen θe1 + cos θe2, daí |Dθ T(s)| = 1; por outro lado, a regra da cadeia 
(dada no tópico 1 da aula 6 de Matemática I) estabelece que T'(s) = Dθ T(s) Dsθ, assim |T'(s)| 
= |Dsθ|. Mas da definição de curvatura dada neste tópico, tem-se , pois |f'(s)
| = 1 da parte (a), portanto κ(s) = |Dsθ|. Como Dsθ é a taxa de variação de θ em relação a s 
(conforme visto no tópico 3 da aula 4 de Matemática I), segue-se a afirmação.
Exemplo Proposto 3. Considerando a curva C do exemplo anterior, mostrar que a representação do 
vetor curvatura está do lado em que a curva se fecha. Sugestão: usando T(s) na forma do exemplo 
resolvido  3, verifique que N(s) ± DθT(s) conforme Dsθ seja > 0 oucomum usar   x  e  y  como variáveis independentes, assim resta  z  ser a 
variável dependente: três variáveis, normalmente se utiliza  x,  y  e  z  como variáveis independentes, e  w  
fica como variável dependente, por exemplo, . 
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Achar o domínio das seguintes funções e ilustrar através de uma figura:
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SOLUÇÃO ITEM (A) 
(a) O domínio de f é o conjunto dos pares ordenados (x,y) para os quais x - y ≥ 0, ou seja, x ≥
y. Logo, o domínio de f é o conjunto dos pontos que estão sobre e abaixo da reta y = x e está 
na figura seguinte.
SOLUÇÃO ITEM (B) 
(b) Um par ordenado (x,y) está no domínio de g se x2 + y2 - 1 > 0, ou seja, se x2 + y2 > 1. 
Assim, o domínio de g é o conjunto dos pontos exteriores ao círculo de centro na origem e 
raio unitário. O domínio de g está na figura seguinte.
SOLUÇÃO ITEM (C) 
(c) O domínio de h é o conjunto das triplas (x,y,z) tais que x - y ≠ 0, isto é, x ≠ y. Como y = 0 
define um plano em R3, o domínio de h é o R3 menos os pontos deste plano. O domínio de h 
está ilustrado na seguinte.
Exemplo Proposto 1
Mostrar que o domínio da função dada está na figura abaixo: 
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Uma função polinomial de duas variáveis f  é uma função em que  f(x,y) é uma soma de termos da 
forma amnxmyn, onde amn é um número real fixo e  m  e  n  são inteiros não negativos . O grau da função 
polinomial de variáveis   x  e  y  é o maior dos números dentre as somas dos expoentes de  x  e  y  em  
cada termo. O domínio de uma função polinomial de duas variáveis é o R2. Por exemplo,
f(x, y) = 2x4y2 - x2y3 + x - y + 1 
é uma função polinomial de grau seis.
Uma função racional de duas variáveis g é definida por  onde  p  e  q  são funções 
polinomiais de duas variáveis. O domínio de  g  é o conjunto dos pares (x,y) para os quais q(x, y) ≠ 0. Por 
exemplo,
é uma função  racional de duas variáveis e o domínio de  g  é o  R2 menos os pontos das retas  x=1  e y=-1.
O gráfico   G(f)  de uma função f: A ⊂ Rm → R é o conjunto de todos os pontos (x1, x2, ..., xm, w) do Rm + 
1 onde w = f(x1, x2, ..., xm) e (x1, x2, ..., xm ∈ A, isto é,  
Se uma equação nas variáveis  x, y  e  z  define uma função  f, então o gráfico de  f  é também dito de 
uma superfície do R3. A representação geométrica do gráfico de  f  é a representação de todos os  
pontos (x, y, z) ∈ G(f) num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em R3; para efeito de 
simplificação, um esboço de tal representação geométrica será doravante mencionado como o gráfico de  
f  ou  superfície  f. Cada par  (x,y)  no domínio de  f, corresponde a um único valor de  z  na imagem de  f, 
logo o gráfico de  f  não pode ser interceptado em mais de um ponto por alguma reta paralela ao eixo 
Z. 
Sejam f: A ⊂ Rm → R é e  c  um valor na imagem de  f, então o conjunto dos pontos tais que f(P) 
= c, é chamado de conjunto de nível  de  f  correspondente ao nível  c. Se  m = 2  e z = f(x,y), o conjunto de 
nível de  f  correspondente ao nível  z = c, pode definir uma curva no plano XY de equação  f(x,y) = 
c, quando isto acontece tal conjunto é chamado de curva de nível  de  f  correspondente ao nível  z = c; 
neste caso, observe que tal curva é a projeção no plano XY da curva de interseção do gráfico de  f  com o 
plano  z = c. 
27
Se m = 3 e w=f(x,y,z), é possível que o conjunto de nível de f correspondente ao nível w = c, defina uma 
superfície no R3 de equação  f(x,y,z) = c, tal conjunto é chamado de superfície de nível de f  
correspondente ao nível w = c.
Um método eficiente para visualizar geometricamente o gráfico de uma função real de duas variáveis, 
consiste no seguinte: considerando valores de c na imagem da função, obtêm-se curvas de níveis da 
função, que ao serem elevadas a c unidades ou abaixadas |c| unidades (conforme seja c > 0 ou c 0, tem-se 4x2 + y2 = 0 e 4x2 + y2 = c. 
Então, z = 0 corresponde a origem e as curvas de níveis de g correspondentes a z = c, são 
elipses com centro na origem e eixos sobre os eixos coordenados.
Fazendo x = 0 e y = 0 na equação z = 4x2 + y2, obtém-se z = y2 e z = 4x2, 
respectivamente. Assim, as interseções do gráfico de g com os planos YZ e XZ, são as 
parábolas e . Portanto, o gráfico de g é o parabolóide elíptico que está na 
figura seguinte. O parabolóide pode também ser obtido, observando que a equação z = 4x2 + 
y2, é um caso particular da equação dada em Superfícies Quádricas que faz parte do texto 
"Superfície e Curva".
SOLUÇÃO ITEM (C) 
(c) Seja z = y2 - x2, considerando z = 0 e z = c ≠ 0, tem-se y2 - x2 = 0 e y2 - x2 = c. Então, as 
curvas de níveis de h correspondentes a: z = 0, são as retas y = -x e y = x; z = c > 0, são 
hipérboles cujos eixos coincidem com o eixo Y; z = c 0 para que (x,y) esteja no domínio de j. Seja z = ln (x2 + y2), então z 1 se c > 0). Então, as curvas de níveis de j são circunferências de centro na origem.
Assim, o gráfico de j é a superfície de revolução gerada pela revolução da curva 
em torno do eixo Z. O gráfico de j, encontra-se na figura seguinte.
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Exemplo Proposto 2
Mostrar que o gráfico da função dada está na figura abaixo: 
É possível efetuar a composição de uma função real de várias variáveis com outras funções já 
definidas, como segue:
(a) Se g: I ⊂ R → Rn e f: A ⊂ Rn → R, então f °g é definida por (f°g) = f(g(x)) e é uma função real de uma 
unidade variável real; 
(b) Se g: A ⊂ Rm → R e f: I ⊂ R → Rcurso de Cálculo.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a 
quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 7, 8, 18, 25 e 
32 do exercitando, são as respectivas questões  1  até  5  do trabalho desta aula a ser postado no 
Portfólio individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio 
num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na Agenda do 
ambiente Solar.
Fontes das Imagens
31
Cálculo Diferencial II 
Aula 04: Limite, Continuidade e Derivadas Parciais de Função Real de Várias Variáveis 
Tópico 01: Limite e Continuidade
VERSÃO TEXTUAL 
No primeiro curso de Cálculo, estudou-se limites e continuidades de funções reais de uma 
variável, este tópico tem o objetivo de estender tal estudo para funções reais de várias variáveis. 
Inicialmente, serão vistos alguns pontos e conjuntos especiais necessários a formulação do 
conceito de limite e de outros conceitos ou resultados a serem tratados posteriormente.
O conceito de distância entre dois pontos é generalizado da seguinte forma: sejam P(a1, a2, ..., am) e Q
(b1, b2, ..., bm) pontos do Rm a distância entre P e Q, é indicada e dada por
Se Po é um ponto do Rm e r é um número real positivo, a bola aberta de centro em Po e raio r, indicada 
por B(Po, r), é o conjunto dos pontos P do Rm tais que d(Po, P) 0 existe δ > 0 tal que
Se 0 0 
existe δ > 0 tal que 
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Mostrar que:
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SOLUÇÃO A 
Deve-se mostrar que para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que
0 |x - 3y + 2 - (-5)| 0 existe δ > 0 tal que
0 |x2 + y2 - 5| - 1 |x + 1| - 1 |y - 2| |x2 + y2 - 5| 0, tomando δ = min. , tem-se
0 |x2 + y2 - 5|existem:
SOLUÇÃO A 
(a) Sejam, por exemplo, S1 o conjunto dos pontos do eixo X e S2 o conjunto dos pontos 
do eixo Y. Como Y = 0 em S1 e X = 0 em S2, tem-se
36
e
,
assim o 
não existe. 
SOLUÇÃO B 
(b) Seja S1 o conjunto dos pontos do eixo X, então
Seja o conjunto dos pontos do eixo Y, então
Seja S3 o conjunto dos pontos da curva y = axr onde a ≠ 0 (se a = 0, S3 = S1) e r ≥ 1 (por 
exemplo, se r = 1, S3 é qualquer reta contendo a origem; se r = 2, S3 é uma parábola 
quadrática com vértice na origem, etc.), então
Mesmo os S1 (i = 1,2,3) constituírem uma infinidade de conjuntos que têm origem como 
ponto de acumulação e tendo sido o limite sobre qualquer S1 igual a zero, não é possível 
concluir que o limite é zero (pois não está eliminada a possibilidade de que exista algum 
conjunto ≠S1 que tenha a origem com ponto de acumulação, onde o limite através seja 
diferente de zero). Então, deve-se tentar obter δ > 0 tal que
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0 0. 
Tem-se 
mas
assim
EXEMPLO PROPOSTO 2
Seja Po um ponto no domínio de uma função f: A ⊂ Rm → R, diz-se que f é contínua em Po se 
. Se f não é contínua em Po, então f é dita descontínua em Po.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Mostrar que a função é contínua em (0, 0).
SOLUÇÃO 
Como f(0,0) = 0 por definição da função f, para verificar que f é contínua em (0,0), resta 
mostrar que f (x,y) = 0. Isto é, deve-se provar que dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 
tal que
0yo + k) então em B((xo, yo), r).Clique aqui.
CLIQUE AQUI
Logo, a função
está definida para