Aula 01 Estatística

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AULA 01: Medidas de Posição e Dispersão
SUMÁRIO PÁGINA
Medidas de Posição Central 2
Medidas de Dispersão 10
Medidas Separatrizes e Simetria 17
Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão 27
Lista de Exercícios resolvidos em aula 70
Gabarito 86
E aí pessoal? Firmes no propósito?
É muito importante que vocês não desanimem antes de um edital! Rumo à 
Receita!
V L w /
Dica de um concurseiro
A sua rotina de estudos deve ser regrada como uma vida de 
monge. Não entendam mal, não estou falando em 
quantidade, mas em regularidade. Por exemplo, se você 
tem 2 horas livres para estudar, você vai estudar 2 horas 
todos os dias! Faça chuva ou faça sol, você vai estudar as 
suas duas horas! Seja "quadrado”!
Prontos? Então, vamos logo!
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1. Medidas de Posição Central
Na última aula nós estudamos como resumir dados por meio de tabelas, gráficos e 
diagramas. Porém, muitas vezes, pode ser útil resumir todas as informações que 
temos em um número.
Uma forma utilizada para tanto, são as famosas medidas de posição! No nosso 
caso, vamos estudar as medidas de tendência central.
Olha, as medidas de tendência central vão te dar uma ideia dos valores 
aproximados em torno do qual as observações se agrupam. Há diversos tipos de 
medidas de tendência central, tais como a mediana, a moda, a média aritmética, a 
média geométrica e a média harmônica.
Para estudarmos estas medidas, vamos nos basear no seguinte rol exemplificativo:
Rol: 10, 1 5,24,24,24,29,29,3 6, 36,45,65
Vamos começar com a média! Mais especificamente, a média aritmética.
Pessoal, todo mundo já deve ter ouvido falar na média aritmética, sendo que a 
maior parte das pessoas refere-se a mesma como, simplesmente, média. Isso não é 
à toa, pois essa é a forma mais comum de expressar uma média.
Mais simples, impossível! Voltando ao nosso exemplo, para 
calcularmos a média, basta somarmos todas as observações e dividirmos este 
somatório pelo número total de observações (no nosso exemplo, 11).
No nosso exemplo:
10 + 1 5 + 24 + 24 + 24 + 29 + 29 + 36 + 36 + 45 + 65 
M édia = = 3 0, 6 3
11
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Viram como é fácil? Outra forma de apresentar esta mesma média é por meio da 
atribuição de pesos às observações, ou melhor, levando-se em conta suas 
respectivas frequências.
Como? Bom, para começar vamos colocar nosso rol em forma de uma tabela de 
frequências.
Observação Frequência
10 1
15 1
24 3
29 2
36 2
45 1
65 1
Ao ponderarmos os valores da tabela pelas suas frequências absolutas, o que 
estamos fazendo é atribuir pesos a cada uma das observações, de forma que 
indiquemos quantas vezes cada observação aparece em nossa série. Neste caso, 
multiplique cada uma das observações pela sua respectiva frequência e divida este 
total pelo somatório do total de frequências:
( 1 0 ■ 1 ) + ( 1 5 ■ 1 ) + ( 2 4 ■ 3 ) + ( 2 9 ■ 2) + (3 6 -2) + 45 + 65 
M édia = = 3 0, 6 311
Dá para ver que dá na mesma? Clarp que dá, ao invés de somarmos todas as 
observações, só estamos multiplicando cada uma delas pelo total de vezes que ela 
aparece na série, o que é a mesma coisa!
Vamos deixar bonito! Se chamarmos a i-ésima observação de uma série de xt, de n 
o total de observações e considerarmos 2 como símbolo de somatório de um 
conjunto de dados, a média aritmética será dada por:
2Xj
Mé dia Aritmética = n
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Se quisermos uma fórmula para o caso da média aritmética calculada com as 
frequências:
Vou deixar a cargo de vocês encontrarem a fórmula para o caso em que estivermos 
usando frequências relativas.
Beleza? Mas, este não é o único tipo de média!
Outra média, mas que nos dá resultados diferentes da anterior é a média 
geométrica.
Você calcula a média geométrica do nosso exemplo assim:
Média Geométrica = 1 0 - 1 5-24-24-24-29-29-3 6-3 6-45-65 
Ou, de forma mais genérica, no caso de n observações:
Percebe? Você vai tirar uma raiz n-ésima do produto de uma série de n elementos. 
Isso é média geométrica.
Mais uma? A média harmônica.
Para o nosso exemplo:
Média Aritmé tica =
Tjfi - x{) = ! ( f i - x{) 
n Z/í
Média Geomé trica = vsJx1 - x2 - .
10 + 1 5 + 24 + 24 + 24 + 29 + 29 + 36 + 36 + 45 + 65
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Já que vocês gostam tanto de generalizações:
Média Harmônica =
Xi X2 Xft
-“Professor, eu entendi, mas porque você está falando só superficialmente 
das médias geométrica e harmônica”?
Pelo seguinte, meu querido aluno: não cai muito em prova!
Obs. Relação entre as médias
Uma das coisas mais cobradas com relação aos tipos de médias é a relação entre 
elas no que se refere à magnitude de cada resultado.
Pode-se provar que, para um determinado rol de valores:
Calcule cada uma das médias para o nosso exemplo, você perceberá que isso é 
verdade.
Ok? Vamos partir para outra medida de posição central: a moda!
^ \ 2 p a t e n t o !
------ A moda é definida como a realização mais frequente do
conjunto de valores observados.
Voltemos ao nosso exemplo. Perceba que a observação que tem valor igual à 24 é 
a que aparece a maior quantidade de vezes ao longo da série. Essa é a moda!
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Média Aritmética > Média Geométrica > Média Harmônica
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Uma forma que facilita enxergar a moda é com base em tabelas de frequência, tal 
como construímos acima. Isso porque, basta verificar qual é a observação que mais 
ocorre.
Guarde assim, quando você pensa em "moda”, 
você, provavelmente, pensa em algo que todo mundo está fazendo ou usando, 
certo? Então, a moda de uma série é a "roupa” que as observações mais gostam de 
usar, ou seja, é a realização que mais ocorre.
Beleza? E a mediana?
A mediana é a realização que ocupa a posição central 
da série de observações.
Vamos voltar ao nosso exemplo acima. Naquele caso temos 11 observações, 
portanto a mediana da série é aquela observação que separa a série em duas 
partes iguais.
Não precisa pensar muito para saber que deve ser a sexta observação, pois neste 
caso, haverá cinco observações antes e depois da mesma. No exemplo, a mediana 
será a primeira observação de número igual à 29.
Neste caso fica fácil, mas vamos tornar o procedimento mais analítico.
Se considerarmos que o número de observações pode
n+ 1
ser chamado de n, a mediana será a observação da amostra número .
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Portanto, como temos 11 observações em nosso exemplo, a mediana será a 
observação número = 6 .
-"Tudo bem professor, mas e se o número de observações for par”?
Boa pergunta! Se o número de observações for par, não há observação que divide a 
série em duas partes iguais! Neste caso, você vai tirar uma média aritmética das 
duas que dividem!
Não entendeu? Vamos lá, suponha que nosso rol contenha mais uma observação:
Neste caso, temos 12 observações, portanto não há uma única variável que divida o 
rol em duas partes iguais. Assim, para encontrar a observação:
Portanto, a nossa mediana está emalgum ponto entre a sexta e a sétima 
observação.
-"Mas, este ponto não existe”!
Existe sim! Trata-se do ponto médio entre a sexta e a sétima observação! No nosso 
caso, a sexta e a sétima observação tem valor igual à 29, assim:
n + 1
2
No nosso exemplo:
12 + 1
2 9 + 2 9
= 2 9
2
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Então, nossa mediana tem valor igual à 29.
Certo? Vamos estudar agora algumas propriedades destas medidas de 
posição.
1.1 Propriedades das medidas de posição central
A ideia desta seção consiste no conceito de operador estatístico.
Por meio de um operador estatístico pode-se aplicar determinada operação a 
um conjunto de dados.
Por exemplo, podemos aplicar o operador "média aritmética” em um conjunto de 
dados o que nos dará como resultado a aplicação da seguinte operação no rol:
2Xj
Mé dia Aritmética = X = n
Percebe como funciona? Chame o conjunto de dados de X, assim, se aplicarmos o 
operador "média aritmética”:
Mé dia(X) = 3 0, 6 3
Trata-se tão somente de uma forma simplificada de representar a aplicação de uma 
determinada operação a um conjunto de dados. Isso nos será muito útil em 
explicações posteriores.
Nesta seção, iremos estudar como o operador média responde a determinadas 
operações, tal como a multiplicação de todas as observações por um valor fixo 
qualquer, por exemplo.
Assim, vamos a estas propriedades.
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1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado 
valor fixo, tal como x, toda a média terá resultado igual ao anterior à 
operação mais (menos) x.
Entendeu? Vamos a um exemplo, com base no nosso rol de dados:
Rol: 10, 1 5,24,24,24,29,29,3 6, 36,45,65
Vamos somar 10 em cada uma das observações, de forma que o novo rol seja:
Rol: 20,25,34,34,34,39,39,46,46,55,75
Tire a média:
M édia = 4 0, 6 3
Ora, este é o mesmo resultado anterior mais 10! Essa é a propriedade. Isso vale 
para uma subtração também.
Para uma constante a:
M é dia(a + X) = X + a
Teste!
2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra 
por um determinado valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual 
ao anterior à operação vezes (dividido por) x.
Mesma coisa. Multiplique cada uma das observações do rol por 2:
Rol: 20,3 0,48,48,48, 58, 58,72, 72,90, 1 30
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Qual é a média?
M édia = 6 1, 2 7
Que é o mesmo resultado anterior multiplicado por 2. 
Para uma constante a:
Média(a ■ X) = X ■ a
Tente para o caso da divisão!
2. Medidas de Dispersão
As medidas de dispersão visam tornar a avaliação do conjunto de dados por meio 
de estatísticas-resumo mais próximas da realidade. A simples observação da média 
não nos diz muita coisa sobre um conjunto de dados, a título d eilustração, observe 
o seguinte rol de dados:
Rol: 9; 1 0 ; 5 0 
Rol: 22; 24
A média para ambos os rols será de 23
Suponha que você não consiga visualizar o rol, mas só o resultado da média. Você 
acha que esta medida resumo explica bem como os dados estão dispostos?
Claro que não! Isso porque há uma intensa variabilidade dentro do conjunto de 
dados no primeiro rol, o que não ocorre no segundo.
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Um exemplo bem fácil pode ser detido da análise de um caso de tiro ao alvo! 
Suponha que você dê dois tiros, se você acertar ambos no alvo, na média, você 
acertou no alvo. Agora, se você der dois tiros e um deles ficar 50 metros acima do 
alvo, enquanto o segundo ficar 50 metros abaixo, na média, você acertou no alvo. 
Qual o problema do argumento? Você não levou em conta a variabilidade!
-"Bom, então eu devo encontrar uma medida que mostra o quanto as observações 
estão desviando da média”.
Essa é a ideia! Você pode pensar que uma "média dos desvios de cada observação 
com relação à média” pode nos ajudar a identificar quando há uma intensa 
variabilidade nos dados.
Porém, isso não é possível. Pois, a soma dos desvios de uma série com relação 
à média sempre é igual à zero!
Vamos ao exemplo do nosso primeiro rol de dados:
Rol: 9; 1 0 ; 5 0
Agora, chamando cada observação de xt e a média da série de x, calculemos o 
somatório dos desvios com relação à média, de forma que:
! ( xí - x ) = i9 - 2 3) + ( 10 - 2 3) + (50 - 2 3) = 0
Viram? Isso não é uma coincidência. Isso ocorre sempre!
-”O que fazer então”?
Bom, podemos "trapacear”, criando formas alternativas de mensurar este desvio. 
Uma delas é a medida "desvio médio”:
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Desvio Médio = - ■
n
Para o caso de n observações.
Este "traço” vertical que fica em volta do desvio é chamado de módulo. Qualquer 
número em módulo retorna um valor positivo. Ou seja, aqueles desvios negativos no 
exemplo serão somados como se fossem positivos, assim:
1\x í - x \ |(9 - 2 3) + ( 10 - 2 3) + (50 - 2 3)| 14+1 3 + 2 7
Desvio Médio = = = = 18n 3 3
Percebeu? Este número 18 seria representativo do desvio médio nas 
observações!
Outra possibilidade é a medida de dispersão variância:
2(xj — x )2
Variância =
n
Você pode perceber que esta medida também "resolve” o problema do somatório 
ser igual à zero, pois os valores serão elevados ao quadrado. Veja:
2 ( x ; - x ) 2 (9 - 2 3 )2 + (1 0 - 2 3)2 + (5 0 - 2 3 )2 1 9 6 + 1 69 + 7 2 9
Vari ância = - = = = 3 64,6 6
n 3 3
Mas, isso pode causar um problema de interpretação, pois as variáveis resultantes 
estão elevadas ao quadrado. Então, uma medida muito útil é o desvio padrão, que 
nada mais é do que a raiz quadrada da variância:
2(xj - x )2
Desvio Padrão = i n
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Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 01No nosso caso:
2(Xj - x )2
Desvio Padrão = I n 19, 06
Perceba que o valor fica mais próximo do desvio médio, permitindo uma 
comparação mais acurada.
Pessoal, muitas vezes fica difícil calcular a variância 
em uma prova, já que você tem pouco tempo. Portanto, precisamos de uma 
maneira mais fácil e direta, assim, pode-se provar que:
Variãncia = média dos quadrados — quadrado da média
-“Não entendí”!
Bom, vamos ao nosso famoso exemplo. Primeira coisa, vamos fazer uma tabela 
com as observações e seus valores ao quadrado:
Observ ações Quadrados
9 81
10 100
50 2500
Média 23 893,66
Agora use nossa fórmula:
Vari ãncia = m édia dos quadrados — quadrado da m édia = 893,66 — 529 = 364,66
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Ora, mas esta não é a variância? Exatamente! Dá na mesma, mas, vai por mim, 
isso vai te ajudar demais na resolução de provas. Portanto, decore!
2.1 Propriedades da variância e do desvio padrão
Pessoal, tal como eu fiz no caso da média, não vou ficar derivando as propriedades 
da variância e do desvio padrão, apenas decorem!
1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para 
cálculo da variância (Var) ou de seu respectivo desvio padrão (DP), o 
resultado ficará inalterado.
Veja pessoal, vamos pegar nosso exemplo:
Rol: 9; 1 0 ; 5 0
Agora vamos diminuir 3 de cada observação:
Rol: 6; 7 ; 4 7
Agora, calcule a variância (nova média igual à 20):
I ( X j - x ) 2 (6 - 2 0)2 + (7 - 2 0)2 + (47 - 2 0)2 1 9 6 + 1 69 + 72 9 
Variância = = = = 3 64, 66
n 3 3
Ora, deu na mesma! O mesmo pode-se dizer do desvio padrão, pois se trata de 
raiz quadrada do mesmo número. Isso também vale sempre!
Para quem gostou de analisar as propriedades com base em operadores, para um 
dado valor fixo a:
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Para uma constante a:
Var(a + X) = Var(X)
DP(a + X) = DP(X)
2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um 
determinado valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará 
multiplicada (dividida) por x2, enquanto que o desvio padrão resultante 
ficará multiplicado (dividido) por x.
Olha, um jeito legal de pensar é que "variância lembra quadrados”, enquanto que o 
desvio padrão é a raiz da mesma, portanto o resultado será com a variável em nível, 
isso é sem estar elevada a nada.
Vamos ao nosso exemplo, vamos multiplicar todas as observações por 2:
Rol: 1 8 ;2 0 ; 1 0 0
Agora, calcule a variância (nova média igual à 46):
E(Xj - x )2 (18 - 46)2 + (2 0 - 46)2 + (1 00 - 46)2 784 + 676 + 2 9 1 6 
Variância = = = = 1458,66
n 3 3
Ora, divida este valor por 2 2 = 4 que você vai encontrar a variância original.
E o desvio padrão? Neste caso o fator não multiplica ao quadrado.
Desvio Padrão = ^ 1458,66 = 38, 19
Perceba que este valor é igual ao resultado original 19,09 multiplicado por 2.
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Para quem quiser um jeitinho fácil de lembrar, ao multiplicar as observações de uma 
série por x, a variância ficará multiplicada por x2 e o desvio padrão por x porque:
Obs. Coeficiente de Variação
Conceito simples e que sempre cai em prova. Pessoal, o desvio padrão é muito 
afetado pelo valor absoluto dos dados analisados, o que dificulta a comparação de 
duas séries com valores muito diferentes. Assim, costuma-se utilizar o conceito de 
coeficiente de variação (cv):
Entenderam? Divida o desvio padrão calculado de cada série pela sua respectiva 
média aritmética. Este conceito permite comparações entre os desvios padrões de 
séries com valores muito diferentes.
Guarde isso, pois cai muito!
Beleza pessoal? Vão tomar uma água e voltem logo para continuarmos com 
as medidas separatrizes.
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Não está satisfeito? Então veja em forma de operadores:
Var(a • X) = a2 • Var{X) 
DP{a-X) = a-DP(X)
DP(X)
H
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3. Medidas separatrizes e assimetria
Outra forma de visualizar uma distribuição e de podermos representa-la é por meio 
de suas medidas separatrizes, isso é observações que "separam” os dados de 
uma série de forma bem específica. Isso é feito por meio dos percentis.
Percentil de ordem p significa o valor da observação 
que não é superado por p% das observações da série.
Nós já estudamos uma medida deste tipo: a mediana. Ela divide o conjunto de 
dados em duas partes iguais, tal que metade das observações possuirá valores 
menores do que ela e metade terá valores maiores. Na verdade, ela é um percentil 
de ordem 50.
Outro exemplo de medida separatriz é o quartil. Os quartis são as observações 
que dividem a série em quatro partes iguais.
Os quartis separam uma série de dados em quatro partes iguais, de forma que o 
primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% das observações. Na mesma 
linha, o segundo quartil coincide com a mediana, possuindo valor que não é 
superado por 50% das observações, enquanto que o terceiro quartil tem valor 
superior a 75% das observações.
Outro exemplo: os decis. Estes dividem a série de dados em 10 partes iguais! Por 
exemplo, o 1° decil possui valor que não é superado por 10% das observações. E 
por, aí vai.
Mas, apesar de existirem infinitas possibilidades de percentis, o que nos interessa, 
para fins de prova, são a mediana e os quartis. Já estudamos a mediana, portanto, 
vamos nos aprofundar nos quartis.
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Olhem o exemplo abaixo:
Rol: 2 ; 3 ; 6; 8 ; 9 ; 1 0; 1 3 ; 1 5; 1 8; 2 1 ; 2 3
Veja quais são as observações que dividem a série em quatro partes iguais:
Rol: 2 ; 3 ; 6; 8; 9 ; 10; 1 3 ; 1 5; 18; 2 1; 2 3
Assim:
1° quartil: 6 
2° quartil: 10 
3° quartil: 18
Neste caso específico conseguimos determinar os números da série que 
representam a divisão do conjunto em 4 partes iguais, mas, tal como no caso da 
mediana, isso nem sempre é possível. E se o nosso rol fosse composto de 8 
elementos?
Rol: 2; 3;8 ;9 ;1 3 ;1 5 ;2 1 ;2 3
Aí você vai pensar da seguinte forma: já que há 8 elementos, a divisão da série em 
4 partes deverá ser feita de forma que cada parcela tenha 2 valores. Mas, como 
fazer isso? Da mesma forma que no caso da mediana, encontre o ponto médio que 
cumpra tal função!
Rol: 2 ; 3 ; ponto médio ( 3 e 8); 8; 9 ; ponto mé dio ( 9 e 1 3 ); 1 3 ; 1 5 ; ponto mé dio ( 1 5 e 2 1); 2 1 ; 2 3
Rol: 2 ; 3 ; 5, 5; 8; 9 ; 11; 1 3 ; 1 5; 18; 2 1 ; 2 3
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Gente, se cair na prova, o que não é comum, encontre a mediana geral! Após 
encontrar a mediana, encontre as medianas para cada parcela da mediana 
geral. Por que isso? Porque a mediana da metade dos dados corresponde ao 
1° e 3° quartil. Como fazer isso? Tal como fizemos neste exemplo aqui em 
cima!
Viram? Tranquilo não?
O que é interessante é que o conceito de quartil é
comumente utilizado com o intuito de averiguar o grau de simetria de uma 
distribuição!
Para que isso fique claro precisamos estudar o conceito de distância interquartil 
ou amplitude interquartil.
A distância interquartil (dq) é uma medida da diferença de valores entre o terceiro 
(ç3) e o primeiro quartil {q1)\
dq — Ç3 Çl
Esta medida nos dá uma ideia do grau de dispersão de uma série, pois quanto 
maior este resultado menor é a concentração dos valores da série ao redor da 
mediana.
A ideia de distribuição simétrica tem a ver com a distância entre os diversos 
quartis e as observações extremas das séries estudadas.
-"Como assim, professor”?
Simples. O que nós queremos dizer com distribuição simétrica é que o que ocorre 
com os valores à direita da mediana deve ser “semelhante” ao que ocorre com 
os valores à sua esquerda.
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Um exemplo de distribuição simétrica é a distribuição normal ou gaussiana (tem 
a forma de um “sino”):
Olha só, divida o gráfico em duas partes iguais. Como? Encontre o valor da 
mediana.
Frequência
Perceba que o lado esquerdo é muito semelhante ao esquerdo. Essa é a ideia de 
simetria.
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Assim, para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica as 
observações devem respeitar as seguintes condições:
1) q2 — 1 - observação = última observação — q2
2) Ç2 _ Çi = Ç3 _ Ç2
3) q± — 1 - observa ção = última observa ção — q3
4) Distâncias entre a mediana (q2) e q± e ç3menores do que as distâncias entre 
os extremos (1â e última observação) e q± e q3
Percebam que estou usando o sinal de igual nas expressões acima, mas o 
correto é “aproximadamente igual”, só estou tentando facilitar para vocês na 
notação, ok?
-“Nossa, preciso decorar tudo isso”?
Não! Isso não costuma cair em prova. Eu apenas desejo que vocês entendam a 
ideia de distribuição simétrica. Olhem para as condições e vejam que a distribuição 
normal tende a se encaixar no conceito. Pensem de forma abstrata, pois iremos 
estudar mais da distribuição normal em aulas futuras.
Se quiser decorar uma propriedade, guarde a número (2), pois, na maior parte 
dos casos, esta é resolve o seu problema!
Agora, o que cai muito em prova são as formas de 
distribuição não simétricas! Viu porque você tinha que saber o conceito anterior?
Perceba que se os quantis da direita estiverem mais afastados da mediana do 
que os da esquerda o gráfico representativo desta distribuição seria:
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Esta distribuição tem dados que são assimétricos à direita.
Entenderam o gráfico? A concentração da distribuição ocorre na "parte gordinha” 
do gráfico, com valores mais baixos para as observações "mais comuns”, entretanto 
há algumas observações que têm valores muito altos com relação a todo o rol de 
dados. Estas observações destoam das demais por serem de valores muito 
diferentes da maior parte da amostra. Como estes pontos extremos ocorrem à sua 
direita, ela é assimétrica à direita!
E se for o contrário? E se os quantis da esquerda estiverem mais afastados da 
mediana do que os da direita?
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Neste caso os dados tem comportamento assimétrico à esquerda!
Pessoal, o que é interessante e que cai em prova é o posicionamento da 
média, mediana e moda a depender da assimetria da distribuição!
As relações que você vai ter que guardar são:
Média < Mediana < Moda Moda < Mediana < Média
Vamos pensar de forma intuitiva a fim de que não tenhamos que ficar decorando 
sem pensar!
Pessoal, a moda é o mais fácil, pois ela ocorre no ponto de maior frequencia, ou 
seja, no topo da curva!
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E a média? Se a distribuição é assimétrica à direita isso significa que há 
observações com valores muito altos e que destoam do resto da série, essas irão 
"puxar” o valor da média para cima! Portanto, a média será o valor mais alto neste 
caso, pois trata-se da medida de posição central mais sensível a valores extremos 
(moda e mediana não são afetadas por pontos extremos). Se a distribuição foir 
assimétrica à esquerda faz-se o raciocínio inverso, sendo que a média será 
"puxada” para trás.
E a mediana? Ora, sempre ficará entre a média e a moda.
-“E se a distribuição for simétrica”?
Exatamente, a média terá o mesmo valor da mediana e da moda da série.
Beleza pessoal? Antes de encerrarmos este tópico, vamos fazer uma 
observação!
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Obs. Box-plots ou gráficos em caixa
Este é um assunto que já foi cobrado em concursos, portanto precisamos abordar. 
Trata-se de uma forma gráfica de representar uma distribuição com base nos quartis 
e mediana de uma série de dados.
32 quartil
Mediana
12 quartil
Veja, no eixo vertical dispomos os valp res da série de dados e nos utilizamos da 
caixa para que possamos saber o posicionamento da mediana e dos quartis de uma 
determinada sequência de dados. Assim, este gráfico nos ajuda a verificar a 
simetria da distribuição de dados em estudo.
Além disso, nós podemos verificar a possibilidade de existência de outliers ou 
valores atípicos na nossa série. Veja que do retângulo saem duas “peminhas”, uma 
para baixo e outra para cima! Essas perninhas são indicativas do que é considerado 
como desvios “dentro do esperado”, que é dada por:
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Limite superior = q3 + 1, 5 • dq 
Limite inferior = q1 — 1,5 • dq
Ora, o que isso está dizendo é que qualquer observação que esteja em um intervalo 
de 1,5 vezes a distância interquartil, contada a partir do 1° ou 3° quartil, é 
considerada "dentro do normal”.
l,5IDq
3S quartil — —
Mediana
IS quartil 
1,5 Dq
-“Tudo bem professor, mas e se uma observação superar o limite superior ou 
inferior”?Ótima pergunta! Ela é considerada um valor atípico ou outlier!
Se você ainda não entendeu, calma, nós vamos resolver alguns exercícios no fim da 
aula que vão te ajudar, ok?
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4. Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão
Bom pessoal, até agora estudamos os conceitos de medidas de posição e 
dispersão, mas, para fins de prova, o que realmente importa é a aplicação destes 
conceitos em dados contínuos agrupados em classes.
Primeira coisa que vocês tem que aprender é o conceito de frequência acumulada, 
pois isso está em quase todas as questões de concurso.
Pessoal, a ideia de frequência acumulada é melhor entendida com base em um 
exemplo, suponha uma pesquisa feita sobre a altura de uma determinada população 
em uma região:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
Frequência
Acumulada
1,5 h 1,6 10 10
1,6 h 1,7 10 20
1,7 h 1,8 5 25
1,8 h 1,9 5 30
Total 30 x
Veja o que a informação de frequência acumulada está te dizendo, ela indica 
quantos elementos estão abaixo de um determinado valor.
Perceba que para o grupo que vai de 1,5 m até 1,6 m há 10 indivíduos, assim, 
sabendo-se que há 10 indivíduos com altura entre 1,6 m e 1,7 m, uma classe que 
agrupe todos os indivíduos com altura entre 1,5 m até 1,7 m terá 20 indivíduos. 
Percebe como funciona o conceito de “acumulado”? Assim, como há 30 
indivíduos pesquisados no total, a frequência acumulada na última classe coincide 
com o tamanho da amostra!
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Atenção! O conceito de frequência acumulada pode ser
feito com base nas frequências relativas calculadas para uma série. Neste 
caso, a frequência acumulada irá identificar qual a porcentagem de elementos 
que estão abaixo de um determinado valor.
Muitas vezes a banca vai te dar as frequências acumuladas e, a partir daí, será 
necessário você calcular as frequências absolutas ou relativas.
-"Como faço isso”?
Vamos voltar no nosso exemplo:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
Frequência
Acumulada
1,5 h 1,6 x 10
1,6 h 1,7 y 20
1,7 h 1,8 z 25
1,8 h 1,9 k 30
Total j x
Bom, a frequência absoluta total você já sabe: a frequência acumulada da última 
classe. Assim:
j = 3 0
E a frequência da última classe? Ora, basta realizar uma subtração da frequência 
acumulada da última classe menos a da penúltima:
k = 3 0 - 2 5 = 5
E a da penúltima?
Z = 2 5 - 20 = 5
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Assim:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
Frequência
Acumulada
1,5 h 1,6 10 10
1,6 h 1,7 20-10=10 20
1,7 h 1,8 25-20=5 25
1,8 h 1,9 30-25=5 30
Total 30 x
Viram como se faz? Isso é muito comum em provas.
Beleza? Então, vamos ao que interessa: as medidas de posição e dispersão 
calculadas para dados agrupados em classes.
4.1 Caso da média
Bom, a média é um dos casos mais fáceis. Você vai ter que dar um "chute” para o 
valor representativo de cada classe.
Calcule o ponto médio de cada classe e 
considere que a classe é representada por este valor!
Entenderam? Você calcula o ponto médio do intervalo com base na seguinte 
fórmula:
li T lsponto médio =
Sendo ls o limite superior da classe e lt o limite inferior.
Assim, calculamos:
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Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
1,5 5 10
1,6 5 10
1,7 5 5
1,8 5 5
Total 30
Você percebe que isso é um "chute”? Claro que sim, pois pode ser que nenhuma 
das observações da classe coincida com seu ponto médio. Para o cálculo iremos 
nos utilizar das frequências absolutas ou relativas.
Esta é a metodologia mais comum para calcular a média de uma série agrupada em 
classes. Portanto, agora temos uma tabela de frequências simples, o que torna o 
cálculo bem simples:
l ( f i ■ x{) ■ Xj) 1,5 5 • 1 0 + 1,6 5 • 1 0 + 1,7 5 • 5 + 1,8 5 • 5
Média Aritmética = = =
n I fi 3 0
1,6 6
4.2 Caso da variância, desvio padrão e desvio médio
Da mesma forma que o cálculo da média, precisamos calcular os pontos médios de 
cada intervalo e nos utilizarmos do mesmo como se fosse a observação 
representativa da classe em questão. Ao obtermos os pontos médios, é só calcular 
a variância e o desvio médio com base nas fórmulas:
n
l [ f i • |Xj - x|] 
Desvio Mé dio = - -n
Sendo fo a frequência absoluta da classe.
Bom, a média nós já calculamos, então:
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1 0 • (1,5 5 - 1,66)2 + 1 0 • (1,65 - 1,66)2 + 5 • (1,75 - 1,66)2 + 5 • (1,85 - 1,66)2
Variância = = 0,1 1
1 0 • 11,5 5 - 1,661 + 1 0 • 11,65 - 1,661 + 5 • 11,75 - 1,661 + 5 • 11,85 - 1,661 
Desvio Médio = = 0, 0 8 8
30
Entendeu? Você deve encontrar o ponto médio de cada classe, calcular a média e 
calcular as medidas de dispersão como se os pontos médios fossem as próprias 
observações da série. Tal como no caso da média, isso é um "chute”.
4.3 Caso da moda
Vamos modificar nosso exemplo a fim de que tenhamos uma classe modal:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
1,5 h 1,6 10
1,6 h 1,7 20
1,7 h 1,8 5
1,8 h 1,9 5
Total 40
-"Classe modal, professor”?
Exatamente! Classe modal é aquela que "aparece mais vezes”, tal como o conceito 
de moda no caso de observações não agrupadas em classe.
Então, uma primeira forma simples de se encontrar a moda é por meio da moda 
bruta.
O cálculo da moda bruta é feito de forma a representarmos um intervalo com base 
em seu ponto médio, tal como nos casos anteriormente estudados.
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Neste caso:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
1,5 5 10
1,6 5 20
1,7 5 5
1,8 5 5
Total 40
Simples, não? A moda é 1,65m, pois é a observação que mais ocorre.
Alguns de vocês já devem estar achando que tudo é igual: "é só ficar chutando”. 
Mas, esta não é a única forma, nem a mais comumente cobrada em prova.
O cálculo da moda que mais aparece em concursos
é por meio da fórmula de Czuber:
Moda Czuber = li + h- fclasse fclasse ant
Xfclasse fclasse ant) ^ {fclasse fclasse post)/
Sendo:
l t: limite inferior da classe modal
h: amplitude da classe modal
fdasse: frequência da classe modal
fclasse ant- frequência da classe anterior à modal
fclasse post: frequência da classe posterior à classe modal
É isso aí, não tem jeito, você tem que decorar esta fórmula!
Algumas vezes a banca fornece a fórmula para você, mas não conte com isso.
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Exercício 1
(FCC - Analista Bacen\2005) Considere a distribuição de frequências a seguir 
para resolver a questão abaixo.
Salário
(R$)
Frequência
Absoluta
Simples
1 0 0 0 h 2 0 0 0 2
2 0 0 0 h 3 0 0 0 8
3 0 0 0 h 40 0 0 16
40 0 0 h 5 0 0 0 10
5 0 0 0 h 60 0 0 4
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber é (despreze os 
centavos)
a) 3201,00
b) 3307,00
c) 3404,00
d) 3483,00
e) 3571,00
Moda Czuber = lt + h- fclasse fclasse ant
.2 ' fclasse ( fclasse ant T fclasse post}/
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Resolução
Pessoal, vou deixar para vocês comprovarem que esta fórmula é exatamente igual à 
que eu ensinei.
Bom, sabendo que a classe modal é a terceira, é só substituir:
1 6 - 8
Moda = 3000 + 1000• s 35712-1 6 - ( 8 + 10 )
Simples! Alternativa (e).
Continuando.
Beleza, mas este ainda não é o único jeito de calcular a moda! Tem mais 2 
jeitos, mas que não caem muito. Entretanto, por via das dúvidas, é bom saber.
Bom, outra fórmula é a de King:
Moda King = li + h- fclasse post
fclasse post 3" fclasse
Quer mais um método? Método de Pp arson!
Moda de Pearson = 3 • (Mediana) — 2 • (média)
Como eu disse, as que caem mesmo são as modas de Czuber e a bruta, mas 
não custa dar uma olhada nestas.
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4.4 Caso das medidas separatrizes
Este é o assunto mais importante da aula! Para encontrar tais valores iremos nos 
utilizar de interpolação linear.
Para o uso desta metodologia precisamos das frequências acumuladas e você 
precisa entender o que na verdade elas estão te dizendo. Vamos ao exemplo, mas 
vamos modifica-lo a fim de facilitar os cálculos:
Altura
(metros)
Frequência
Absoluta
Frequência
Relativa*100(%)
Frequência
Acumulada
1,5 h 1,6 20 20% 20
1,6 h 1,7 30 30% 50
1,7 h 1,8 25 25% 75
1,8 h 1,9 25 25% 100
Total 100 100% x
O que eu quero que vocês entendam é o seguinte: qual é a observação que não é 
superada por 50% da amostra?
1,7! Olhe, até 1,7 acumularam-se 50% das observações existentes na série, 
portanto, este é nossa mediana, pois este número não é superado por 50% dos 
valores.
E qual a observação correspondente ao 3° quartil? Exatamente! O 3° quartil está 
em 1,8, pois esta observação não é superada por 75% da série.
Mas, neste exercício a coisa está muito fácil e não é isso que geralmente cai na sua 
prova. No caso, eu modifiquei o exercício para que a mediana e o terceiro quartil 
fossem facilmente visualizáveis e não fossem necessários cálculos para encontra- 
los, apesar de estarmos tratando com frequências absolutas. Entretanto, nem 
sempre é tão fácil!
Quer ter uma noção? Vamos mudar a pergunta, qual a observação que corresponde 
ao 1° decil, ou seja, que não é superada por 10% da série?
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r n N r i i R « ; n < ;C O N C U R S O S
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Veja que isso não pode ser respondido diretamente, pois a primeira classe já 
acumula 20 observações, que coincide com 20% da série. A única coisa que você 
sabe é que o 1° decil deve estar naquela classe, pois o valor que não é 
superado por 10% dos valores deve estar alí!
-"O que posso fazer”?
Há toda uma teoria que explica como encontrar este valor por meio da metodologia 
de interpolação da ogiva. Mas, não vou ficar enchendo a cabeça de vocês com 
teoria, vamos ao que interessa!
A ideia da teoria se baseia no fato de que há uma regularidade da distribuição 
dos dados dentro de uma classe, de forma que a quantidade de dados 
dispostos em uma determinada seção da classe seja proporcional à sua 
amplitude. Por exemplo, se uma determinada classe acumula 50% das 
observações em uma amplitude de 10, 25% do total da série estará acumulado 
em uma observação que corresponde à amplitude de 5 nesta classe.
Calma! O que você deve fazer é utilizar aquela famosa "regra de três” que você 
aprendeu na escola. Veja, no nosso exemplo, 20% das observações, ou o segundo 
decil, corresponde a uma amplitude de 10 cm (1, 6 - 1,5 ), aí fica a pergunta: qual a 
amplitude após o limite inferior corresponde ao acúmulo de 10% das observações? 
Para isso, uma regra de três:
1, 6 — 1, 5 1 Q decil — 1, 5
20% 10%
1 Q decil = 0, 1 • 0, 5 + 1, 5 = 1, 55
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Este é o primeiro decil. Entendeu como funciona? Você identifica a classe em que 
está a observação que você deseja e faz uma regra de três de forma que você 
relacione a amplitude da classe dividida pela sua frequência com o percentual 
acumulado que você deseja.
Não entendeu? Há algumas formas de “ decorar” a metodologia, mas eu não 
acho didático. A melhor forma de aprender é com exercícios e prática.
Vamos fazer mais um exemplo, mas, agora, com base na tabela acima, encontre o 
valor correspondente ao 6° decil! O que estamos procurando é a observação que 
não é superada por 60% da série.
Com certeza, esta observação está na 3â classe, pois a segunda só acumula 50% 
das observações, enquanto que a terceira acumula 75%. Portanto, estamos 
procurando a observação que corresponde a 10% do total da série na terceira 
classe, pois esta observação acumularia os 50% das classes anteriores mais os 
10% desta, resultando em 60% acumulado.
Neste caso, a regra de três que temos de realizar é a seguinte: a terceira classe tem 
amplitude de 0,1 cm para uma frequência relativa de 25%, tal como uma amplitude 
de ( 6 Q decil - 1, 7 ) está para 10%. Assim:
1, 8 - 1, 7 6 Q decil - 1,7
2 5 % r 1 0 %
10%
0, 1'25% = 6 Q decü ~ 1’7
+ 1, 7 = 6 Q decil
6 Q decil = 1,74
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Bom pessoal, o que eu quero é que vocês tenham entendido a ideia. Por isso 
vamos fazer muitos exercícios, assim vocês poderão treinar!
Exercício 2
(Analista/IRB - ESAF/2005) Sendo a moda menor que a mediana e, esta menor 
que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva
a) Simétrica.
b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita.
c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda.
d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita.
e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda.
Resolução
Hora de forçar a memória! Se a média é o valor mais elevado, isso significa que há 
pontos extremos de altos valores (à direita), o que corresponde a uma assimetria à 
direita (a ESAF chamou de "frequências desviadas à direita”). Além disso, se a 
moda é o menor valor, isso significa que o pico está mais à esquerda.
Alternativa (b).
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Exercício 3
(Técnico da Receita Federal - ESAF/2005) Sobre a moda de uma variável, é 
correto afirmar que:
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.
b) a moda é uma medida de dispersão relativa.
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos.
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da 
média e o da mediana.
e) sendo o valor mais provável de distribuição, a moda, tal como a 
probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a 
unidade.
Resolução
Vamos analisar:
a) Errado! Algumas distribuições têm mais de uma moda, são chamadas de 
multimodais.
b) Não, é uma medida de posição e não dispersão.
c) Perfeito! Os valores extremos não afetam o valor da moda nem da mediana.
d) Errado. O da mediana sempre se encontra entre as duas medidas.
e) Errado, isso não tem anda a ver com o conceito.
Alternativa (c).
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Exercício 4
(Analista/IRB - ESAF/2005) O grau ao qual os dados numéricos tendem a 
dispersar-se em torno de um valor médio chama-se
a) média.
b) variação ou dispersão de dados.
c) mediana.
d) correlação ou dispersão.
e) moda.
Resolução
Pessoal, questão puramente conceituai. Trata-se das medidas de dispersão. 
Alternativa (b).
Exercício 5
(AFRFB - ESAF/2005) Para dados agrupados representados por uma curva de 
frequências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda 
são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas 
de posição para uma distribuição negativamente assimétrica.
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana.
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda.
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor.
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média.
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Resolução
Bom, no caso de uma distribuição assimétrica à esquerda:
Moda > Mediana > Mé dia
Perceba que tanto as alternativas (b) e (c) acabam por falar a mesma coisa. Assim, 
a questão deveria ter sido anulada.
Alternativa (c). (gabarito oficial: nula)
Exercício 6
(Técnico da Receita Federal - ESAF/2005) Considere a seguinte distribuição 
de frequências absolutas dos salários mensais, em R$, referente a 200 
trabalhadores de uma indústria (os intervalos são fechados à esquerda e 
abertos à direita:
Classes de salários Frequências absolutas
De R$400 até R$500 50
De R$500 até R$600 70
De R$600 até R$700 40
De R$700 até R$800 30
De R$800 até R$900 10
Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que:
a) O salário modal encontra-se na classe de R$800 até R$900.
b) O salário mediano encontra-se na classe de R$600 até R$700.
c) O salário modal encontra-se na classe de R$600 até R$700.
d) O salário modal encontra-se na classe de R$700 até R$800.
e) O salário mediano encontra-se na classe de R$500 até R$600.
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Resolução
Vamos fazer uma tabela com frequência acumulada:
Classes de salários Frequências absolutas Frequência Acumulada
De R$400 até R$500 50 50
De R$500 até R$600 70 120
De R$600 até R$700 40 160
De R$700 até R$800 30 190
De R$800 até R$900 10 200
Olhe, a moda ocorre na classe de R$ 500 a R$ 600, pois a frequência absoluta é 
mais alta nesta classe. Portanto, o salário modal está na segunda classe.
Quanto à mediana, é fácil ver que ela deve estar na segunda classe, pois, como a 
frequência total é de 200 observações, estamos procurando a 100â observação.
Portanto, tanto o salário mediano como modal estão na segunda classe.
Alternativa (e).
Exercício 7
(Técnico da Receita Federal - ESAF/2005) A tabela mostra a distribuição de 
frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X.
X f’
-1 3k
0 K
+1 6k
Sabendo que “k” é um numero real, a média e o desvio-padrão de X são, 
respectivamente:
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a) 0,3; 0,9.
b) 0,0; 0,3.
c) 0,3; 0,3.
d) k; 3k.
e) 0,3k; 0,9k.
Resolução
Atenção para a palavra "relativa”! Ou seja, a soma de todas as frequência é igual a 
1!
Portanto:
3 K + K + 6 K = 1 0 K = 1 
K = 0,1
Agora fica fácil, vamos calcular a média:
( ( - 1) • 0, 3) + ( 0 • 0, 1) + ( 1 • 0, 6)
M edia = = 0,3
E o desvio padrão é melhor calculado com base naquela formulazinha:
Variância = media dos quadrados — quadrado da media
Portanto, vamos calcular a média dos quadrados:
( ( - 1)2 • 0, 3 ) + ( 0 2 • 0, 1) + ( 1 2 • 0, 6)
Media dos quadrados = =0 ,9
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Portanto:
Vari ãncia = 0,9 — 0,32 = 0,9 — 0,09 = 0,81
O desvio padrão é a raiz quadrada disso:
Desvio Padrão = ^0 ,8 1 = 0,9
Alternativa (a).
Exercício 8
(AFRFB - ESAF/2005) Assinale a opção que expresse a relação entre as 
médias aritmética (X), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n 
valores positivos (X1,X2 ...,Xn)\
a) G < H < X , com G=H=X somente se os n valores forem todos iguais.
b) G < X < H, com G=X=H somente se os n valores forem todos iguais.
c) X < G < H , com X=G=H somente se os n valores forem todos iguais.
d) H < G < X, com H=G=X somente se os n valores forem todos iguais.
e) X < H < G , com X=H=G somente se os n valores forem todos iguais.
Resolução
Essa questão é puramente conceitual.
Média Aritmé tica > Média Geomé trica > Mé dia Harmô nica
A possibilidade de que todas sejam iguais é quando todas as observações são 
iguais.
Alternativa (d).
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Exercício 9
(Gestor fazendário - ESAF/2005) Com base na distribuição de frequências do 
atributo X dada abaixo, assinale a opção que corresponde à estimativa da 
função de distribuição de X no ponto 29. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. Use interpolação da ogiva no 
cálculo da estimativa.
Classes Frequências Acumuladas
15-18 8
18-21 18
21-24 20
24-27 26
27-30 29
30-33 31
a) 0,935
b) 0,903
c) 0,839
d) 0,887
e) 0,871
Resolução
Não falei que isso cai? A questão até te disse para usar interpolação da ogiva.
Uma coisa interessante sobre esta questão é que ela está falando da "estimativa da 
função de distribuição de X no ponto 29”. O que ela quer é a frequência relativaacumulada desta observação.
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Estratégia
C O N C U R S O S ^
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Mas, vamos por partes, vamos fazer uma tabela de frequências simples a partir das 
frequências acumuladas. Faça e você vai ver que vai ficar assim:
Classes Frequências
Acumuladas
Frequência
Simples
15-18 8 8
18-21 18 10
21-24 20 2
24-27 26 6
27-30 29 3
30-33 31 2
Neste caso, a observação que estamos procurando está na 5â classe. Assim, por 
meio da interpolação linear iremos fazer a seguinte correspondência: a amplitude da 
5â classe (30 - 2 7 = 3) está para sua frequência ( 3 ), assim, como a amplitude 
desejada (29 - 27) está para sua frequência, de modo que:
30 - 2 7 29 - 2 7
Portanto, até a observação 29 acumulou-se 28 observações que se referem às 26 já 
acumuladas mais as 2 até o ponto desejado na quinta classe.
Dado o total da amostra de 31 observações, até o ponto 29 a frequência relativa 
acumulada será de:
28
Frequência Relativa Acumulada = Função de Distribuição2g = — 0,9 0 3
Alternativa (b).
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(Analista/IRB - ESAF/2004) As questões 10 e 11 dizem respeito à distribuição 
de frequências conforme o quadro abaixo, no qual não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes.
Classes Frequências Acumuladas
129,5 - 139,5 4
139,5 - 149,5 12
149,5 - 159,5 26
159,5 - 169,5 46
169,5 - 179,5 72
179,5 - 189,5 90
189,5 - 199,5 100
Exercício 10
Assinale a opção que corresponde ao 8° decil.
a) 179,5
b) 189,5
c) 183,9
d) 184,5
e) 174,5
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Resolução
Mais uma para treinar! Como o total acumulado é igual a 100 os cálculos são mais 
fáceis. Vamos colocar a tabela com as frequências simples:
Classes Frequências
Acumuladas
Frequência
Simples
129,5 - 139,5 4 4
139,5 - 149,5 12 8
149,5 - 159,5 26 14
159,5 - 169,5 46 20
169,5 - 179,5 72 26
179,5 - 189,5 90 18
189,5 - 199,5 100 10
Veja, o 8° decil corresponde a observação que não tem valor superado por 80% das 
observações. Este valor está na sexta classe, pois a mesma abrange todas as 
observações que vão de 72 até 90!
Agora, vamos fazer a interpolação da ogiva! Sabendo que a sexta classe 
corresponde a 18% da série e nós desejamos saber qual a observação que acumula 
mais 8% nesta classe, pois até a classe anterior foi acumulado uma frequência de 
72%, (o que somado com 8% gera os 80% procurados) devemos fazer a seguinte 
operação:
189,5 - 1 79, 5 x - 1 79, 5
18 _ 8
Multiplicando invertido temos:
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10
■8 = x - 1 79, 5 
18 '
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x = 183,9
Alternativa (c).
Exercício 11
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do 
número de observações menores ou iguais ao valor 164.
a) 46
b) 26
c) 72
d) 35
e) 20
Resolução
Para resolver esta questão precisamos encontrar qual a frequência acumulada até a 
observação em questão! Bom, para isso iremos nos utilizar da interpolação da ogiva 
novamente.
A observação de valor igual à 164 está na quarta classe, assim, sabendo-se que 
esta classe tem frequência de 20, podemos realizar a seguinte associação:
169, 5 - 159, 5 _ 164 - 159, 5 
2 0 x
10 _ 4,5 
2 0 x
x = 9
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Ou seja, até a observação de valor 164 acumularam-se 9 observações na quarta 
classe. Você já sabe que até a classe anterior foram acumuladas 26 observações, 
portanto:
9 + 2 6 = 35
Portanto, até a observação 164 foram acumuladas 35 observações.
Alternativa (d).
Exercício 12
(SENADO - FGV/2008) O coeficiente de variação amostrai (em porcentagem) 
de um conjunto de salários é 110%. Se os salários deste conjunto forem 
reajustados em 20%, o novo coeficiente de variação amostrai será:
a) 110%
b) 112,2%
c) 114,2%
d) 122%
e) 130%
Resolução
Para realizarmos esta questão precisamos das propriedades da média e da 
variância. Lembra-se da fórmula do coeficiente de variação? Para o nosso exercício:
Veja, reajustar os salários em 20% é a mesma coisa que multiplicar todos os 
salários por 1,2. Vamos relembrar as propriedades da multiplicação de um termo 
fixo sob o desvio padrão e média de uma série:
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Mé dia(a ■ X) = X ■ a 
DP(a-X) =D P (X )-a
Assim:
DP(X) _ 1 , 2 • DP(X) 
X ~ 1, 2 - X
1 2
— ■ 1, 1 = 1 1 0 % 
1 t2
Ou seja, o coeficiente de variação não se altera.
Alternativa (a).
Exercício 13
(CEB - UNIVERSA/2009) Considere o Box-plot abaixo.
* T
10 35 60 68 75 85 100
O asterisco “*” indica:
a) O menor valor
b) 1,5 ■ (Qs - Ri)
c) Qi - 1,5 ■ (q3 - Qi)
d) (Q3 --R i )
e) Um outlier
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Resolução
Essa questão é muito fácil pessoal. Perceba que o asterisco está além do alcance 
das “peminhas”, portanto trata-se de um ponto extremo que não tem 
comportamento dentro do padrão, leia-se outlier.
Exercício 14
(PETROBRÁS - CESGANRIO/2005) O gráfico abaixo é um box-plot da 
distribuição de renda, em mil reais, da população de um determinado 
município.
Box-Plot
12
10
-----------------------------------------------6
■ 5
Qual a probabilidade de uma pessoa deste município ter renda superior à 6 mil 
reais?
a) 0,15
b) 0,20
c) 0,25
d) 0,50
e) 0,75
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Resolução
Viram como são as questões de box-plots? Veja o gráfico e você perceberá que o 
salário de 6 mil reais corresponde à primeira "linha horizontal” do box-plot, ou seja, 
corresponde ao 1° quartil!
Assim, 75% das observações têm valores superiores a 6 mil reais.
Alternativa (e).
Exercício 15
(FINEP - NCE/2011-alterada) Uma amostra aleatória de 100 famílias foi 
selecionada com o objetivo de estimar o gasto médio mensal das famílias com 
medicamentos. Os resultados amostrais estão resumidos na distribuição de 
frequência, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. Não existem 
observações coincidentes com os extremosdas classes.
Gastos (em 10 reais) Frequência Absoluta
de 1 a 3 10
de 3 a 5 30
de 5 a 7 60
total 100
A melhor estimativa para a média ariR mética é:
a) 5 reais
b) 8 reais
c) 50 reais
d) 80 reais
e) 25 reais
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Resolução
Vamos calcular o ponto médio de cada classe:
Gastos (em 10 reais) Ponto Médio Frequência Absoluta
de 1 a 3 2 10
de 3 a 5 4 30
de 5 a 7 6 60
total 100
Agora basta aplicar a fórmula:
2(/j ■ Xj) 2(/j ■ Xj)
Média Aritmé tica = - - = - -
n I f i
Assim:
(2-10) + (4-3 0) + (6-60)
M édia = = 5
100
Mas, cuidado, o exercício está dizendo que os valores na tabela estão em 10 reais, 
portanto, a média não é 5, mas 50!
Alternativa (c).
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Exercício 16
(FINEP - NCE/2011-alterada) As medidas citadas abaixo descrevem uma 
amostra obtida em um experimento aleatório. A única que mede a dispersão 
da amostra é o(a)
a) desvio padrão
b) mediana
c) média aritmética
d) média geométrica
e) moda
Resolução
Tomara que esta questão cai, hein? Muito fácil, afinal, qual é a única medida de 
dispersão na listagem? Desvio Padrão!
Alternativa (a).
Exercício 17
(AFRFB - ESAF/2013) A expectância de uma variável aleatória x — média ou 
esperança matemática como também é chamada — é igual a 2, ou seja: E(x) = 
2. Sabendo-se que a média dos quadrados de x é igual a 9, então os valores da 
variância e do coeficiente de variação de x são, respectivamente, 
iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
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Resolução
Para resolvermos esta questão precisamos nos lembrar de que:
Variància = média dos quadrados — quadrado da média 
Com base no enunciado, sabemos que:
Variància = M édia(x2) — [M é dia(x)]2 = E(x2) — [£(x)]2
Assim:
Var(x) = 9 — ( 2 )2 = 5
Agora, fica fácil achar o coeficiente de variação:
Alternativa (a).
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Exercício 18
(MPE - VUNESP/2013) Foi delineado um experimento separando três grupos 
escolhidos aleatoriamente de 5 homens em cada um, para medir seus níveis 
alcoólicos após beberem certa quantidade de bebida alcoólica. Os 
componentes do grupo A após uma hora, o grupo B após duas horas, e o 
grupo C após 3 horas. A quantidade de mg por grama de álcool foi 
multiplicada por 10 para facilitar os cálculos. Os resultados observados foram:
Grupo A Grupo B Grupo C
11 5 4
10 8 4
9 6 5
8 6 6
12 5 6
Calculando-se as três médias, a soma delas vale
a) 19.
b) 20.
c) 21.
d) 22.
e) 23.
Resolução
Aí fica fácil:
1 1 + 1 0 + 9 + 8 + 1 2
mé dia A = - = 1 0
5 + 8 + 6 + 6 + S 
média B = - = 6
4 + 4 + 5 + 6 + 6 
média C = = 5
Portanto, Soma = 1 0 + 6 + 5 = 21. Alternativa (c).
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O próximo exercício é bom você acompanhar comigo. Vamos treinar a 
aplicação das propriedades da média e variância.
Exercício 19
(STN - ESAF/2013) Suponha que X seja uma variável aleatória com valor 
esperado 10 e variância 25. Para que a variável Y dada por Y = p - q x, com p e 
q positivos, tenha valor esperado 0 e variância 625, é necessário que p + q 
seja igual a:
a) 50
b) 250
c) 55
d) 100
e) 350
Resolução
Bom, vamos aplicar as propriedades de média e variância que já estudamos. 
Primeira coisa, vamos tirar a média de Y:
M édiaÇY) = 0 = M édia(p — qx) = M é dia(p) — M édia(qx)
Como p e q são constantes:
p — qx M édia{x) = p — 10 q = 0
E no caso da variância? Lembre-se de que variância "lembra quadrados”:
Var(Y) = 62 5 = Var(p — qx) = Var{qx)
Isso decorre do fato de que se você tirar a variância de uma constante essa é igual 
à zero, portanto, a variância da parte constante nem conta, portanto, pode 
descartar. Assim:
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Var(qx) = q2Var(x) = q2 ■ 25 = 62 5
Assim:
q = S
Substituindo isso na expressão que obtivemos a partir da esperança:
p — 10q = 0 ^ p — 10 5 = 0 ^ p = 50
Portanto:
p + q = 5 5
Alternativa (c).
Exercício 20
(AFRFB - ESAF/2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas 
populacionais (f’) de uma variável X:
X f'
-2 6a
1 ! la
2 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, 
respectivamente:
a) Média = - 0,5 e variância = 3,45
b) Média = 0,5 e variância = - 3,45
c) Média = 0 e variância = 1
d) Média = - 0,5 e variância = - 3,7
e) Média = 0,5 e variância = 3,7
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Resolução
Primeira coisa que temos de fazer é determinar o valor de “a”. Ora, o que nós 
sabemos de frequência relativa? A soma de todas deve ser igual a 1. Portanto:
6a + la + 3 a = l ^ a = 0,1
Agora reescreva a tabela
X f'
-2 0,6
1 0,1
2 0,3
Calcular a média:
( - 2 ) ■ 0, 6 + ( l ) ■ 0, l + ( 2 ) ■ 0, 3 
M edia = ^ = —0,5
E a variância? Vamos encontrar a média dos quadrados, porque fica mais fácil:
( - 2 )2 ■ 0,6 + ( l ) 2 ■ 0,l + (2 )2 ■ 0,3 
M edia = ̂ = 3,7
Assim:
Variância = media dos quadrados — quadrado da media = 3 , 7 — (—0, 5)2 = 3,45 
Alternativa (a).
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Exercício 21
(CETESB - VUNESP/2013) Numa classe, as notas de uma prova ficaram assim 
distribuídas: 1 aluno tirou 10, 13 tiraram 8, 6 tiraram 6, 4 tiraram 5, 10 tiraram 1 
e 6 tiraram zero. A média e a moda desta classe foram, respectivamente,
a) 5,3 e 8.
b) 5,3 e 5.
c) 5,3 e 8.
d) 4,5 e 1.
e) 4,5 e 8
Resolução
Para responder esta questão, vamos construir a tabela de frequência para o 
modelo:
Nota Frequência
10 1
8 13
6 6
5 4
1 10
0 6
A moda é o mais fácil: nota 8, pois basta ver qual é a observação que mais ocorre.
Para calcularmos a média:
1 0-1 + 8-1 3 + 6- 6 + 5- 4 + 1-1 0- 0- 6
M édia = = 4,540
Alternativa (e).
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Exercício22
(ICMS-RJ - FCC\2014) O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez 
um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 
400 funcionários, obtendo os seguintes resultados:
Salários (em número de SM) Frequência absoluta
41----- 6 43
61----- 3 100
8 1----- 10 X
10 I----- 12 y
12 I----- 16 40
Total 400
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio 
dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas 
condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários 
mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de 
classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,93
b) 8,72
c) 8,54
d) 8,83
e) 8,62
Resolução
Essa questão não é difícil pessoal, mas também não é fácil.
Veja, você tem informação sobre qual o valor da mediana pelo método de 
interpolação, mas, agora, o raciocínio é inverso, o exercício pede que você encontre 
o tamanho do intervalo.
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Ora, o que você tem de fazer é encontrar os valores de x e y e, a partir daí, calcular 
a média com os pontos médios de cada classe. Então, vamos lá.
Se a mediana é 8,8 SM, isso significa que, até 8,8, ficaram acumuladas 50% das 
observações, ou seja, 200. Então, como até a classe anterior já tinham sido 
acumuladas 148 observações, isso significa que, na classe x, foram necessárias 52 
observações para encontrar a mediana. Então:
range da classe = 1 0 — 8 = 2 0, 8
x _ 2 00 - 148 = 52
Assim:
0, 8x = 1 0 4 ^ x = 130
Agora, o y fica fácil:
48 + 100 + 13 0 + y + 40 = 400 ^ y = 82
Agora, vamos calcular a média com base nos pontos médios. Bom, os pontos 
médios são fáceis de achar, certo?
Ponto M é d io Frequência Absoluta
5 48
7 100
9 130
11 82
14 40
Assim:
Média =
5 x 48 + 7 x 100 + 9 x 13 0 + 1 1 x 82 + 14 x 40
400
3572
400 8,9 3
Alternativa (a).
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Exercício 23
(TRT - FCC\2013) Em uma tabela de distribuição de frequências relativas, 
representando a distribuição dos salários dos funcionários em um órgão 
público, obteve-se pelo método da interpolação linear que o valor da mediana 
foi igual a R$ 4.400,00 e pertencente ao intervalo de classe [4.000,00; 5.000,00), 
em R$. Se 35% dos funcionários possuem um salário maior ou igual a R$ 
5.000,00, então a respectiva frequência relativa correspondente ao intervalo 
em que pertence a mediana é, em %, igual a
a) 15.
b) 40.
c) 20.
d) 25.
e) 18.
Resultado
Se 35% dos funcionário têm salários superiores a R$ 5.000 e a mediana é de R$ 
4.400, isso significa que a amplitude de R$ 600,00 (5.000 - 4.400) nesta classe 
corresponde a 15% de toda a amostra. Agora, fica fácil calcular a frequência relativa 
da classe:
600 1000
Alternativa (d).
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Exercício 24
(TRT - FCC\2013) A quantidade de determinadas ocorrências por dia em uma 
fábrica, durante um período de 80 dias, pode ser observada pelo quadro 
abaixo.
Quantidade de Ocorrências 0 1 2 3 4 5 Total
Número de Dias 6 10 m 20 n 4 30
Dado que a média aritmética, ponderada pelo número de dias, de ocorrências 
por dia é igual a 2,5, verifica-se que a soma da moda e da mediana é igual a
a) 4,25.
b) 5,00.
c) 4,50.
d) 5,50.
e) 4,00.
Resolução
Esse exercício exige que você monte um sistema de equações, afinal há duas 
informações (quantidade total de dias e média ponderada) e duas variáveis (m e n). 
Veja, você sabe que:
6 + 1 0 + m + 2 0 + n + 4 = 8 0 ^ m + n = 40 
Você sabe também que:
Média ponderada =
6 x 0 + 1 0 x 1 + m x 2 + 20x 3 + n x 4 + 4 x 5
80
= 2,5
Então:
0 + 1 0 + 2 m + 6 0 + 4n + 2 0
= 2,5 ^ 1 0 + 2 m + 6 0 + 4n + 2 0 = 200
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2m + 4n = 1 1 0
Agora basta resolver o sistema, com base na primeira equação:
m = 40 — n
Substituindo na última:
2( 4 0 — n )+ 4 n = 11 0 ^ 8 0 — 2 n + 4n = 11 0
2n = 3 0 ^ n = 1 5
Assim:
m = 4 0 - 1 5 = 2 5
Fica fácil perceber que a moda é 2, pois esta classe é a que tem a maior frequência 
(25).
A mediana também está nesta classe, pois é nela que esta concentrada a 
observação número 40. Assim, a moda mais mediana:
Moda + Medana = 2 + 2 = 4
Alternativa (e).
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Exercício 25
(Ministério da Integração Nacional - 2012/ESAF) A distribuição de frequências 
em classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de 
uma amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a 
seguir.
Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal.
a) 14,5
b) 15,0
c) 15,8
d) 16,1
e) 16,5
Resolução
Vamos refazer a tabela com base no ponto médio de cada classe:
x f
5 22
15 13
25 10
35 3
45 2
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Agora, é só calcular a média:
Média =
5 x 22 + 15 x 13 + 25 x 10 + 35 x 3 + 45 x 2 
2 2 + 1 3 + 1 0 + 3 + 2 15
Alternativa (b).
Exercício 26
(Ministério da Integração Nacional - 2012/ESAF) Determine o valor mais 
próximo da mediana do salário mensal da distribuição de frequências 
apresentada na Questão 25, interpolando linearmente dentro das classes, se 
necessário.
a) 15
b) 14,3
c) 13,7
d) 12,3
e) 7,3
Resolução
Vamos começar coma elaboração de uma tabela de distribuição acumulada:
x f f acumulada
o-io 22 22
10-20 13 35
20-30 10 45
30-40 3 48
40-50 2 50
Por esta tabela, podemos perceber que a mediana está entre 10 e 20, pois, nesta 
classe, acumulam-se 25 das 50 observações.
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Devemos fazer uma interpolação, pois queremos encontrar qual a observação 
correspondente a 3 observações na segunda classe, o que daria 25 observações.
Assim:
1 0( 1 0 a 2 0) x
— = 3 ^ 1 3 x = 3 0 ^ x = 2,3
Portanto, dado que estamos na segunda classe, a observação correspondente a 
50% das observações é:
1 0 + 2,3 = 1 2 , 3
Alternativa (d).
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