Geometria espacial

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Geométria Espacial
Professor Marcos Wilder
Poliedros
2
Superfície poliédrica fechada
É uma superfície poliédrica fechada.
Não é uma superfície poliédrica fechada.
23.1
Uma superfície poliédrica fechada é composta de um número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies coincida com apenas um lado de alguma das outras superfícies.
3
Poliedro
a) 
b) 
c) 
23.2
É chamado de poliedro o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela.
Exemplos
4
Elementos de um poliedro
23.3
face
aresta
vértice
5
Nomenclatura de um poliedro
Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu número de faces.
“várias”
“face”
23.4
Poli
edro
6
Nomenclatura de um poliedro
Exemplos
a) hexaedro
6 faces
8 vértices
12 arestas
b) tetradecaedro
14 faces
16 vértices
28 arestas
c) dodecaedro
12 faces
20 vértices
30 arestas
23.4
7
Nomes de poliedros estudados 
com maior frequência
23.4
	Número de faces				
					
4
5
6
7
Nome do poliedro
tetraedro
pentaedro
hexaedro
heptaedro
	Número de faces			
				
Nome do poliedro
8
12
20
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8
Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não convexo (ou côncavo). 
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Observação:
Um plano  divide o espaço em dois semiespaços de mesma origem .
23.5
9
	Poliedros convexos
	
	Poliedros não convexos
	
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Exemplos
23.5
10
Relação de Euler
V + F – 2 = A
número de vértices
número de faces
número de arestas
23.6
V + F = A + 2
11
	Poliedro	V	F	A	V + F	V + F − 2
						
						
						
Relação de Euler
Observe que a relação de Euler é válida para os 
poliedros abaixo.
23.6
8
6
12
14
12
6
6
10
12
10
6
5
9
11
9
12
Relação de Euler
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo. 
V = 24
F = 14
A = 36
24 + 14 – 2 = 36
não convexo
23.6
Observe:
13
Exercício resolvido
R1.	Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices. 
Resolução 
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros convexos, temos: 
V + F – 2 = A  A = 8 + 6 – 2  A = 12 
Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.
23.7
14
Exercício resolvido
R2.	Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 5 faces quadradas?
Resolução 
Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.
As 4 faces triangulares têm 12 lados (4  3) e as 5 faces
quadradas têm 20 lados (5  4). Então, o número de arestas é dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo: 
V + 9 – 2 = 16  V = 9
Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.
23.8
15
Exercício resolvido
R3.	Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de 7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e 2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro? 
Resolução 
5 vértices com 4 arestas: (5  4) arestas = 20 arestas 
2 vértices com 5 arestas: (2  5) arestas = 10 arestas
23.9
16
Exercício resolvido
R3.
Resolução 
Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada vértice), temos:
A = = 15
Pela relação de Euler, obtemos:
V + F = A + 2  7 + F = 15 + 2  F = 10
Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces. 
23.9
20 + 10
2
17
Poliedros de Platão
Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se, 
e somente se: 
é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler; 
todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas; 
em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m 
de arestas.
23.10
18
Poliedros de Platão
Exemplo
a)
Esse poliedro é de Platão, pois:
todas as faces têm 4 arestas;
em todos os vértices concorrem 
3 arestas;
ele é convexo, portanto a relação de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12).
23.10
19
b)
Esse poliedro não é de Platão, pois, embora seja convexo e em todos os vértices concorra o mesmo número de arestas, nem todas as faces têm o mesmo número de arestas. Há faces quadrangulares, pentagonais e uma triangular. 
23.10
Poliedros de Platão
Exemplo
20
	Classe	Característica	Exemplo
			
			
			
As cinco classes de poliedros de Platão
23.11
Tetraedro
4 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 
3 arestas
Hexaedro
Octaedro
6 faces quadrangulares,
e em cada vértice concorrem 3 arestas
8 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 
4 arestas
21
	Classe	Característica	Exemplo
			
			
As cinco classes de poliedros de Platão
23.11
Dodecaedro
12 faces pentagonais, e em cada vértice concorrem 
3 arestas
Icosaedro
20 faces triangulares, e em cada vértice concorrem 5 arestas
22
Poliedros regulares
Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si. 
Observações:
Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a compõe é regular; 
Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes.
23.12
pentágono
regular
23
Poliedros regulares
Veja a seguir os cinco poliedros regulares.
23.12
tetraedro
regular
hexaedro
regular (cubo)
octaedro
regular
dodecaedro
regular
icosaedro
regular
24
Planificação da superfície de um poliedro
A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em comum com outra face.  
Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada de molde do poliedro, planificação da superfície do poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro. 
As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo menos um de seus lados.
23.13
25
Planificação da superfície de um poliedro
Exemplo
23.13
26
Exercício resolvido
R4.	Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações. 
	Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as 
	outras 9 planificações.
23.14
27
Exercício resolvido
R4.
Resolução 
A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada. Estas são as outras possibilidades:
23.14
28
Exercício resolvido
R5.	Desenhar duas planificações diferentes da superfície do tetraedro regular.
Resolução 
23.15
ou
29
Exercício resolvido
R6.	Na planificação da superfície 
de um cubo, foi assinalado 
um ponto A. Marcar nessa planificação o ponto que coincidirá com A depois de 
o cubo ser montado.
Resolução 
23.16
30
Exercício resolvido
R7.	Qual é o número de vértices do sólido obtido ao dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura ao lado?
Resolução 
O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7.
Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o número de arestas é:
Como vale a relação de Euler, temos: 
V = 15 – 7 + 2 ou V = 10
23.17
A =
5  4 + 2  5
2
= 15
31
Prismas
50
Chama-se prisma o poliedro formado por todos os segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas extremidades é um ponto da região P e a outra extremidade é um ponto no plano .
Prismas
Vamos considerar dois planos paralelos,  e , uma região poligonal P contida em  e uma reta r que intercepta os planos  e .
23.18
51
Prismas
Exemplos
a)
b)
c)
23.18
52
Elementos de um prisma
23.19
bases: são as regiões poligonais 
P e P', congruentes e situadas 
em planos paralelos (a e b, 
respectivamente); 
faces laterais: as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc.; 
arestas das bases: os segmentosAB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc.; 
arestas laterais: os segmentos AA’, BB’, CC’ etc.; 
altura do prisma: a distância h entre os planos das 
bases (a e b). 
Considerando o prisma ao lado, temos: 
53
Classificação dos prismas
1o critério
Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos 
 e  que contêm as bases:  
23.20
faces laterais 
são retângulos
prisma reto
faces laterais 
são paralelogramos
prisma oblíquo
se a reta r não é 
perpendicular aos planos 
 e  prisma oblíquo
se a reta r é 
perpendicular aos planos 
 e  prisma reto
54
2o critério
Consideramos o polígono que determina as bases: 
23.20
Classificação dos prismas
se esse polígono é um triângulo
 prisma triangular
se é um pentágono 
 prisma pentagonal, 
e assim por diante.
se é um quadrilátero 
 prisma quadrangular
55
Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas bases são superfícies poligonais regulares.
Prisma regular
23.21
Este prisma não é regular, pois as suas bases não são polígonos regulares.
Este prisma é regular, pois ele é reto e as suas bases são quadradas. 
Exemplos
56
Paralelepípedo
Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos. Esses prismas podem ser retos ou oblíquos. 
23.22
Exemplos
Paralelepípedo
oblíquo
Paralelepípedo
reto-retângulo ou
bloco retangular
cubo
57
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo que não pertencem a uma mesma face. 
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo
23.23
d =
58
23.23
d =
Medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo
59
Sabemos que: d =  
Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos: 
d = = =	 Þ
Þ d = 
Logo, a diagonal mede cm.
Exercício resolvido
R8. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo ao lado.
Resolução 
23.24
60
Exercício resolvido
R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal excede em cm a diagonal da base.
Resolução 
Sendo d a medida da diagonal do cubo e 
f a medida da diagonal da base, temos, pelos 
dados do problema: 
d = f + ⇒ d – f = 
Também temos:   
23.25
61
Portanto: = cm
Exercício resolvido
R9.
Resolução 
Por se tratar de um cubo, sabemos que: d = 
Assim: d – f =
23.25
62
Representações planas de prismas
Observe, a seguir, a planificação da superfície de um prisma.
Por meio dela, identificamos muitas características desse prisma. Veja:
tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta 7 regiões poligonais; 
23.26
63
Representações planas de prismas
tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem ser faces laterais de um prisma, que devem ser necessariamente quadriláteros; 
tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as pentagonais são bases; 
tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos vértices do prisma; 
é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares; 
tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já que é reto. 
23.26
64
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Área da superfície de um prisma
Área da base (Abase): área da face que é base; 
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais; 
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das
duas bases, ou seja:
23.27
65
Exercício resolvido
R10.	Calcular a área total da superfície 
de um paralelepípedo reto-retângulo 
de dimensões a, b e c (medidas dadas em uma mesma unidade).
Resolução 
Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de seis retângulos congruentes dois a dois:
Atotal = 2ab + 2ac + 2bc ⇒ Atotal = 2(ab + ac + bc)
23.28
66
Exercício resolvido
R11.	Calcular a área total da superfície de um cubo 
de aresta a.
Resolução
Como o cubo é um paralelepípedo 
reto-retângulo de arestas congruentes, temos:
Atotal = 2(a a + a a + a a)  				
Atotal = 6a2
23.29
67
Exercício resolvido
R12.	Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal regular abaixo.
23.30
68
Exercício resolvido
R12.
Resolução 
A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a.
Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado ℓ é dada por: 
A =
23.30
Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto, suas faces laterais são retangulares e congruentes, de dimensões a e h.
Assim, a área lateral é dada por: Alateral = 6 ⋅ a ⋅ h
69
Exercício resolvido
Portanto, a área da base do prisma é dada por:
Abase =
Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 6ah + 2 ⋅
⇒ Atotal = 3a(2h + a )
23.30
Assim, a área de um hexágono regular de lado ℓ é: 
A =
R12.
Resolução 
70
Exercício resolvido
R13.	Determinar a área total da superfície de um prisma triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as arestas da base formam um triângulo retângulo de catetos que medem 6 cm e 8 cm.
Resolução 
O prisma tem base triangular. Assim:
Abase = = 24  
23.31
71
Exercício resolvido
A área lateral é dada pela soma das áreas das faces retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos:
x2 = 62 + 82 ⇒ x = 10
Portanto: Alateral = 6 ⋅ 12 + 8 ⋅ 12 + 10 ⋅ 12 = 288 
Logo, a área total é dada por:  
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase 
Atotal = 288 + 2 ⋅ 24 = 336 
Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm2.
23.31
R13.
Resolução 
72
Exercício resolvido
R14.	Determinar a área total da superfície do prisma oblíquo de base quadrada representado ao lado, sabendo que as faces laterais são congruentes. 
Resolução 
O prisma tem base quadrada. Assim: 
Abase = 102 ⇒ Abase = 100
Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter 
a altura h. 
23.32
73
Assim:
Alateral = 4 ⋅ (10 ⋅ 15 ) = 600   
Exercício resolvido
sen 60º = 
área do paralelogramo
Logo:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase 
Atotal = 600 + 2 ⋅ 100  
Atotal = 200 (1 + 3 )
Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3 )cm2.
23.32
R14.
Resolução 
74
Volume de um prisma
O volume de um prisma corresponde a um único número real V positivo obtido pela comparação da porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do espaço ocupado por uma unidade de medida de volume.
A unidade de medida de volume que usualmente consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u), sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo unitário é 1 u3. 
 Se a aresta do cubo unitário mede 1 m  V = 1 m3
 Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm  V = 1 mm3
23.33
75
Volume de um prisma
Exemplo
Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm.
23.34
76
Volume de um prisma
Exemplo
Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado 
por 4 ⋅ 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à 
camada da base. 
Logo, tem 3 ⋅ 8 = 24 cubos unitários no total.
Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 cubos de
1 cm3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm3.
23.34
77
Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c
Vcubo = a3
Volume de um paralelepípedo 
reto-retângulo
23.35
78
Secção transversal de um prisma
Um plano intercepta um sólido através de uma superfície chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela à base do prisma, ela é denominada secção transversal.
23.36
79
Dois sólidos, S1 e S2, apoiados num plano  e contidos num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V 
se todo plano , paralelo a , secciona os dois sólidos 
de modo que as secções sejam regiões planas de mesma área (A).
23.37
Princípio de Cavalieri
80
Exemplo
Sobre uma mesa, formamosuma pilha com certa quantidade de cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível situação desse tipo.
23.37
Princípio de Cavalieri
81
Exemplo
Observando as pilhas, é possível notar que: 
a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade de cartões idênticos; 
os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm 
a mesma área, pois são idênticos; 
a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção 
do espaço. 
23.37
Princípio de Cavalieri
82
Vprisma = área da base x altura
Volume de um prisma qualquer
23.38
83
Exercício resolvido
R15.	Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado, com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de massa de cimento. Qual é o volume necessário de massa para revestir essa área?
Resolução 
A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura
de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou 
0,04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 ⋅ 8 ⋅ 0,04 Þ 
Þ V = 64 ⋅ 0,04 Þ V = 2,56
Logo, são necessários 2,56 m3 de massa para o revestimento.
23.39
84
Exercício resolvido
R16.	Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem 
a forma do prisma a seguir.
23.40
85
Exercício resolvido
Vamos decompor a figura da casa em dois prismas.
1.) Prisma reto-retângulo 
V1 = Abase ⋅ altura 
V1 = 4 ⋅ 5 ⋅ 3 
V1 = 60
23.40
R16.
Resolução 
86
Exercício resolvido
2.) Prisma reto de base triangular 
V2 = Abase ⋅ altura 
V2 = ⋅ 5
V2 = 10
Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por V1 + V2, ou seja, 70 m3. 
23.40
R16.
Resolução 
87
Exercício resolvido
R17.	Um reservatório de água tem a forma do prisma hexagonal regular da figura ao lado e está cheio. Se forem consumidos 3.000 litros, quanto baixará, em metro, o nível da água desse reservatório? 
Resolução 
Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o 
nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros indicados. Os 3.000 litros consumidos ocupam o volume de um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da figura e altura de x metro.
23.41
88
Exercício resolvido
A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado 2 m, cuja área é dada por: 
Abase = Þ Abase = Þ Abase = 6
Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma correspondente aos 3.000 litros:
V = Abase ⋅ x = 6 ⋅ x
23.41
R17.
Resolução 
89
Exercício resolvido
Como 3.000 litros = 3 m3, temos:
6 ⋅ x = 3 ⇒ x = 0,5
Portanto, o nível da água baixará 0,5 metro.
23.41
R17.
Resolução 
90
ck
lk
hk
c
l
h
h
a
2
2
3
A base do prisma é um quadrado logo
10
10
20
Pirâmides
113
Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V 
e um ponto da região S.
Pirâmides
Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em  e um ponto V fora de .
23.42
114
Elementos de uma pirâmide
23.43
Considerando a pirâmide desenhada
ao lado, temos: 
base: a região poligonal S; 
vértice da pirâmide: o ponto V; 
faces laterais: as superfícies 
triangulares AVB, BVC, ..., NVA; 
arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;
arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;
altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e 
o plano a.
115
Classificação das pirâmides
Consideramos o número de arestas da base: 
23.44
se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal, 
e assim por diante.
se a base tem 3 arestas pirâmide triangular
se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular
116
Representações planas de pirâmides
Até aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como 
a ilustrada abaixo.
23.45
117
Representações planas de pirâmides
Como os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser representada por meio de planificações de sua superfície. Em um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo menos uma aresta em comum com outra. Observe:
23.45
ou
118
Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. 
23.46
Pirâmide regular
119
23.46
Observações:
O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono. 
As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular. 
Pirâmide regular
120
Elementos das pirâmides regulares
23.47
121
23.48
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
122
23.48
Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
123
	Base	Figura	Relação
			 
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
23.49
Triângulo 
equilátero
ou
124
	Base	Figura	Relação
			 
Quadrado
23.49
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
ou
125
	Base	Figura	Relação
			 
Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Hexágono 
regular
ou
23.49
Exercício resolvido
R18.	Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), 
a medida do apótema da base (m) 
e a altura da pirâmide (h).
Resolução 
No ΔDMA, temos: 
Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem: 
23.50
127
Exercício resolvido
Agora, no ΔDMO, temos:
Portanto, as medidas são: 
 cm, cm e		 cm
23.50
R18.
Resolução 
128
Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície de uma pirâmide
Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares);
Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja: 
23.51
129
Atotal =
Área da superfície de uma pirâmide
Observação:
Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por:
23.51
130
Exercício resolvido
R19.	Determinar a área da superfície de uma pirâmide regular hexagonal sabendo que a aresta da base mede ℓ e a aresta lateral mede a.
Resolução 
A base da pirâmide é uma superfície hexagonal 
regular de lado ℓ. Portanto, a área da base é dada por:
Abase =
23.52
131
Exercício resolvido
Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base ℓ e altura g.
No triângulo retângulo VMB, temos:
Dessa forma:
Alateral =
23.52
R19.
Resolução 
132
Exercício resolvido
Portanto: 
Atotal = Alateral + Abase =
Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é:
Atotal =
23.52
R19.
Resolução 
=
133
Propriedades das pirâmides
1a propriedade: A razão entre a área S’ de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é:
2a propriedade: Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas têm o mesmo volume. 
23.53
134
Vpirâmide triangular =
Volume de uma pirâmide de base triangular
23.54
135
Vpirâmide = área da base x altura
Volume de uma pirâmide qualquer
23.55
136
Exercício resolvido
R20. Calcularo volume do octaedro regular de aresta a.
Resolução
Observe que o sólido é formado por duas pirâmides quadrangulares regulares cuja área da base é 
Abase = a2.
OB é igual à metade da medida da 
diagonal do quadrado da base.
Portanto: OB = 
23.56
137
Exercício resolvido
R20.
Resolução 
No triângulo retângulo BOE, temos:
Logo, o volume do octaedro é:
Voctaedro = 2 = 2
23.56
138
Exercício resolvido
R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a.
Resolução
 
A área da base é a área de uma superfície triangular equilátera de lado a. Logo: Abase = 
A altura h é tal que: 
Assim:
Vtetraedro = ⇒ Vtetraedro = ⇒ 
⇒ Vtetraedro = 
23.57
139
Exercício resolvido
Resolução 
Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.
23.58
R22. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm.
140
Exercício resolvido
Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos:
Cálculo da altura h da pirâmide:
23.58
R22. 
Resolução
141
Exercício resolvido
Cálculo da área da base:
Abase =
Abase =
Cálculo do volume da pirâmide:
Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =
Portanto, o volume da pirâmide é cm3.
23.58
R22. 
Resolução
142
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano .
23.59
Tronco de pirâmide
143
Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.
23.59
Tronco de pirâmide
144
Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: 
base maior: superfície poligonal ABCDEF; 
base menor: superfície poligonal 
A’B’C’D’E’F’; 
faces laterais: superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc.;
altura do tronco (ht): distância entre a base maior e a base menor (ht = H – h).
Elementos de um tronco de pirâmide
23.60
145
Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: 
as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; 
as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; 
a altura de uma face lateral é o apótema do tronco 
(de medida p).
23.61
146
Área da base menor (Ab): área 
da superfície poligonal que forma 
a base menor (A’B’C’D’E’F’). 
Área da base maior (AB): área 
da superfície poligonal que forma 
a base maior (ABCDEF). 
Área lateral (Alateral): soma das áreas dos trapézios laterais
 (A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, D’DEE’, E’EFF’ e F’FAA’). 
23.62
Área da superfície de um tronco de pirâmide
147
Atotal = Alateral + Ab + AB
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja:
23.62
Área da superfície de um tronco de pirâmide
148
Razão de semelhança
Observação:
Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos.
 			 = ... =
 
 
23.63
149
 Vtronco =
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
Volume de um tronco de pirâmide
Observação:
Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas.  
ou
23.64
150
R23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. 
Resolução 
AB = 102 = 100
Logo: AB = 100 cm2 
Ab = 42 = 16
Logo: Ab = 16 cm2 
Vtronco = 
Þ Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312 
Logo, o volume do tronco é 312 cm3.
23.65
Exercício resolvido
151
R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm.
Resolução 
Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é: 
Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3. 
23.66
Exercício resolvido
152
R25.	Um tronco de pirâmide regular tem 
a aresta lateral medindo dm 
e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular 
a área de cada base, a área lateral 
e o volume do tronco.
Resolução 
 Cálculo da área de cada base:
 Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2
AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2 
23.67
Exercício resolvido
153
R25.
Resolução 
 Cálculo da área lateral:
Para calcular a área lateral, precisamos 
da medida de M’M indicada na figura. 
Vamos destacar a face lateral BB’C’C.
Pela figura ao lado, temos:
A área de cada face lateral (trapézio BB’C’C) é:
ABB’C’C = 
23.67
Exercício resolvido
154
A área lateral do tronco de pirâmide é: 
Alateral = 4 ⋅ 35 Þ Alateral = 140; 
logo: Alateral = 140 dm2  
 Cálculo do volume do tronco:
Para calcular o volume, precisamos 
determinar a altura do tronco de pirâmide. 
Observe o trapézio O’M’MO destacado: 
Pela figura, temos:
23.67
R25.
Resolução 
Exercício resolvido
ht + 32 = 52 Þ ht = 4 
2
155
Exercício resolvido
Portanto: 
Vtronco = 
Þ Vtronco =
Vtronco = 208
Logo, o volume do tronco é 208 dm3.
23.67
R25.
Resolução 
156
x
9
5
18
20
x
r
l
g
h
l/2
l
g
4
3
6
5
h
2
4
Cilindros
177
a
g
g
b
eixo
a 90º
Base
Base
O
*
O
*
R
h
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
a
Cilindro Circular Reto
O
*
g
g
h
1) o eixo é perpendicular aos planos das bases.
R
D
C
ou Cilindro de Revolução
R
B
A
O’
*
2) g = h
A
B
D
C
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
CCilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Cilindro de Revolução: 
	Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
 Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
Meridiana
A
B
C
 D
O
*
O’
*
h
Se ABCD
é um quadrado  cilindro eqüilátero
Cilindro equilátero é o cilindro reto em que h = 2R
 Seção Meridiana
	Planificação :
R
x
h
	Planificação :
R
x
h
	Planificação :
R
x
h
	Planificação :
R
x
h
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
	Planificação :
R
h
x
R
R
2pR
Áreas e Volumes
AL = 2p Rh
At = AL+ 2 Ab
V = p R2. h
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab = p R2
Área Base
( Ab )
Exercício resolvido
23.67
R26. Um cilindro reto tem 12 cm de altura e 10 cm de diâmetro na base, o valor da área total e do volume é 
Resolução 
5
12
225
2
10
pelo teorema da tangente
parte da face superior
1
1
h
Cones
246
a
O
*
h
a 90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vértice
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
R
V
g’
g
eixo
Cone Circular Reto
O*
g
2) No DVOA : 
A
B
V
ou Cone de Revolução
g2 = h2 + R2
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base. 
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
A
B
C
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
A
B
C
 Cone de Revolução: 
 Um cone reto pode ser obtido ao girar um 
 D retângulo em torno de um dos seus lados. 
O DVBA é a seção meridiana do cone.
Seção
Meridiana
O
*
A
B
V
g
2R
Seção Meridiana
Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone é um Cone Eqüilátero.
g=2R
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
R
x
h
g
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
	Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
	Planificação do Cone Reto 
x
h
g
R
g
q
2pR
R
Angulo q
q =
2pR
 g
	Planificação do Cone Reto 
 AL = p R g
At = AL+ Ab
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
 Ab = p R2
Área Base
( Ab )
Áreas e Volume
V = p R2 h
 1 
 3
Tronco de Cone
Elementos:
R  raio da base maior
r  raio da base menor
hT  altura do tronco
gT  geratriz do tronco
R
r
gT
hT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
	Área Lateral do Tronco(ALT)
	ALT = (R + r)gT 
	Área Total do Tronco(ATT)
	ATT = ALT + Ab + AB
ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)
	Volume do Tronco (VT)
	VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3 m
8 m
3 m
4 m
G
Exercício resolvido
R27. Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:
Resolução 
Exercício resolvido
R28. Os raios das bases de um tronco circularreto são 3 m e 2 m. sabendo que a altura do tronco é 6 m, o volume do tronco é:
Resolução 
2m
3m
6m
g
r
h
g
6
8
r
3r
Logo multiplicando por 3 o volume do cone chegaremos ao volume do cilindro
r
7
5V2
H
H/3
Essa é muito fácil, essa figura tem a forma de um solido de revolução o cone
Esferas
315
 Esfera de Revolução: 
 Uma esfera ser obtida ao girar um 
 semicírculo em torno de um dos seus lados. 
r
r
r
r
 Esfera de Revolução: 
 Uma esfera ser obtida ao girar um 
 semicírculo em torno de um dos seus lados. 
r
r
 Esfera de Revolução: 
 Uma esfera ser obtida ao girar um 
 semicírculo em torno de um dos seus lados. 
Volume
( V )
 A = 4p R2
Área Base
( Ab )
Área e Volume
V = p R3 
 4 
 3
Exercício resolvido
R29. Quantos metros quadrados de plástico são gastos aproximadamente para fazer o balão da figura ao lado?
Resolução 
12 cm
Exercício resolvido
R30. Qual é o volume de uma bola do basquete do NBB (Novo Basquete Brasil) cujo diâmetro me 26 cm:
Resolução 
A circunferência percorrida pelo motoqueiro deve ser projetada no chão, uma vez que o único foco de luz está direcionado a ele. Como a circunferência está na vertical em relação ao chão, sua projeção é representada por um segmento de reta congruente a medida do diâmetro desta circunferência. Somente a alternativa E apresenta um segmento de reta.
9
8
19
2
16
9
?
9
16
2
=
\
-
=
+
=
+
=
=
=
+
=
+
V
V
V
V
F
A
A
F
V
8
12
20
2
18
12
2
18
2
36
36
3
12
:
_
12
=
\
-
=
+
=
+
+
=
+
=
\
=
=
=
×
V
V
V
A
F
V
A
A
A
es
triangular
faces
80
26
22
32
26
;
22
;
32
12
2
24
24
4
6
6
8
:
10
2
20
2
15
5
15
3
5
5
6
1
6
6
:
15
2
30
2
20
10
20
4
5
10
5
2
7
10
:
=
+
+
=
+
+
Þ
=
=
=
=
=
Þ
=
×
Þ
î
í
ì
=
=
=
=
+
=
Þ
î
í
ì
=
×
=
×
Þ
î
í
ì
=
=
=
=
+
=
Þ
î
í
ì
=
×
=
×
Þ
î
í
ì
=
=
C
B
A
C
B
A
A
F
V
C
A
F
V
B
A
F
V
A
8
2
6
2
6
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
F
V
F
V
A
F
V
V
A
12
2
19
9
2
19
2
38
2
20
6
12
20
5
4
6
3
2
12
4
3
9
4
2
3
=
\
+
=
+
Þ
+
=
+
=
=
+
+
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
=
×
=
×
=
×
=
+
+
=
V
V
A
F
V
A
F
6
2
9
5
2
9
2
18
2
12
6
12
4
3
6
3
2
5
=
\
+
=
+
Þ
+
=
+
=
=
+
=
Þ
î
í
ì
=
×
=
×
=
V
V
A
F
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3
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3
3
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3
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9
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6
54
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2
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cubo
cubo
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t
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p
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2
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p
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r
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r
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7
24
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_
3
3
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2
2
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H
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V
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V
submerso
volume
H
R
V
H
R
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p
p
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p
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p
p
p
p
p
p
p
p
2
H
2
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2
2
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A
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V
V
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r
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r
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p
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2
2
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2
3
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12
12
3
9
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12
3
2
1
2
12
3
2
2
12
3
8
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4
12
3
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3
4
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6
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2
8
2
8
2
2
8
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V
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r
R
r
R
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R
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t
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_
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y
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de
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FMT
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