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Modelos analíticos e numéricos de transformações de nucleação e crescimento geralmente significam que os núcleos estão localizados uniformemente ao acaso, ou seja, de acordo com um processo de ponto de Poisson, dentro da matriz. No entanto, a nucleação pode ser evitada ou dificultada se um novo núcleo tentar formar-se muito próximo a outro núcleo já existente. Nessas circunstâncias, é melhor localizar os núcleos de acordo com um processo pontual em que haja uma zona de exclusão em torno de cada núcleo. O processo de ponto sequencial 3D é um processo de ponto conveniente para modelar como uma situação. Ao alterar a densidade dos núcleos, o processo de pontos sequenciais pode gerar arranjos de núcleos no espaço com características distintas. Neste trabalho, comparamos simulações de computador 3D com núcleos gerados pelo processo de ponto Sequencial com núcleos gerados por um processo de ponto de Poisson. Os parâmetros estereológicos, bem como a função de correção (obtida da função de correlação de dois pontos), caracterizam o andamento da transformação. O processo de ponto sequencial 3D pode produzir uma variedade de resultados. O comportamento da cinética de transformação muda de perto de uma transformação nucleada de acordo com um processo de ponto de Poisson homogêneo para uma transformação próxima a um arranjo periódico de núcleos.
Introdução
A cinética formal ou global é um ramo da teoria das transformações de estado sólido que trata da nucleação e do crescimento de uma forma fenomenológica. A cinética formal não emprega diretamente modelos físicos dos mecanismos de nucleação e crescimento. Em vez disso, a cinética formal “prescreve” como a nucleação e o crescimento ocorrem. Por exemplo, no trabalho pioneiro de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov, JMAK [1–3], eles supuseram que os núcleos estavam localizados aleatoriamente no espaço e as regiões transformadas cresceram com uma forma esférica e uma velocidade constante. Eles obtiveram duas expressões bem conhecidas, cada uma para uma taxa de nucleação diferente. No caso mais simples, o caso de saturação de sítio, a nucleação ocorreria no início da transformação e nenhuma nucleação ocorreria subsequentemente. Em contraste, no caso de taxa de nucleação constante, um número constante de núcleos por unidade de tempo por unidade de volume apareceria. A suposição de nucleação saturada de sítio, que adotamos neste artigo, resulta na expressão bem conhecida fornecida abaixo na Seção 2.3. A teoria JMAK se aplica a núcleos uniformes localizados aleatoriamente no espaço. A teoria JMAK foi estendida em artigos subsequentes. Como exemplo, em 1956, Cahn [4] propôs um modelo analítico para descrever a transformação nucleada nos contornos dos grãos.
Trabalhos mais recentes de Rios e Villa [5–7] revisitaram, generalizaram e obtiveram novos resultados com base nesses trabalhos anteriores. Rios e Villa [5] usaram métodos matemáticos modernos pertencentes à Geometria Estocástica. Por exemplo, Rios e Villa [5] substituíram o conceito de núcleos “uniformes aleatoriamente” por núcleos localizados no espaço de acordo com um processo de ponto de Poisson homogêneo ou heterogêneo. Como visto acima, trabalhos anteriores, até agora, modelaram ou a nucleação do processo de ponto de Poisson ou situações nas quais a nucleação ocorre em “clusters” [4,7]. Até onde sabemos, não existem modelos para a situação em que os núcleos permanecem uniformemente localizados no espaço 3D, mas eles não estão localizados no espaço de acordo com um processo de ponto de Poisson. Nosso trabalho anterior trata apenas da nucleação 2D [8,9]. Encontramos apenas um trabalho experimental de Sudbrack et al. [10] que provou experimentalmente que sua nucleação, embora uniforme, não estava de acordo com um processo de ponto de Poisson. Sudbrack et al. [10] determinaram experimentalmente a função de correlação de pares a partir dos centros de suas regiões transformadas em uma seção plana. Sua função de correlação de par era consistente com cada núcleo tendo uma “zona de exclusão” ou “zona livre de núcleo” ao redor em sua superliga de Ni-Cr-Al.
Acreditamos que existem duas razões principais para esta escassez de trabalhos experimentais sobre o assunto. A primeira razão é que a nucleação nos contornos dos grãos é evidente a partir do exame microestrutural. Em contraste, quando os núcleos permanecem uniformes, pode não ser imediatamente aparente pela microestrutura que a nucleação partiu de um processo de ponto de Poisson. A segunda razão é que a maioria dos artigos experimentais sobre cinética de transformação relatam apenas a fração de volume transformada em função do tempo. Alguns deles também relatam a densidade de área interfacial entre a região transformada e não transformada. No entanto, poucos trabalhos experimentais fazem outras medidas, como a contiguidade ou a função de correlação de dois pontos, o que poderia lançar mais luz sobre a localização dos núcleos. Portanto, o desvio de um processo de ponto de Poisson pode permanecer não detectado. Voltando à zona de exclusão encontrada por Sudbrack et al. [10], é razoável supor que uma diminuição na probabilidade de nucleação em torno de um núcleo pode causar isso. Por exemplo, considere uma liga A-B supersaturada em B da qual precipitado rico em B nucleados. Assim que um núcleo crítico se forma e começa a crescer, a concentração de B cairá perto do precipitado em crescimento. Em outras palavras, a supersaturação de B diminuirá rapidamente em torno do precipitado em crescimento. Portanto, a nucleação na vizinhança do precipitado em crescimento é menos provável. Essa ideia não é nova na solidificação.
Pode-se encontrar a ideia de uma “zona de exclusão” ou uma “zona livre de núcleo” associada à região próxima à interface entre uma partícula sólida e o líquido [11-13]. Shu et al. [12] desenvolveram um modelo analítico para explicar por que a nucleação pode ser suprimida em torno dos grãos em crescimento. Em um artigo recente, Prasad et al. [13] usaram o campo de fase para modelar a formação de uma zona livre de nucleação em torno de um grão em crescimento. Na solidificação, prefere-se o termo "zona livre de núcleo". Continuaremos a usar a denominação: “zona de exclusão” como em nosso trabalho anterior [8,9]. Ventura et al. [8] empregou vários processos pontuais que tinham um raio de exclusão ao redor de cada núcleo. Ventura et al. [8] usaram Matérn I, Matérn II, Strauss hard core e Sequential point process [8,14]. No trabalho de Ventura et al. [8], o processo de ponto sequencial foi particularmente conveniente e comparativamente mais simples de simular. Um "processo de ponto sequencial" é sinônimo de um "processo de inibição sequencial simples". Rios et al. [9] empregaram um processo de ponto sequencial para gerar uma variedade de arranjos de núcleos em 2D e obtiveram excelentes resultados. No entanto, a maioria das transformações de estado sólido ocorre no caso 3D. Portanto, um tratamento 3D do problema é muito mais crítico.
O objetivo deste trabalho é modelar o efeito de uma “zona de exclusão” na nucleação e subsequente crescimento de uma nova região transformada. O processo de ponto sequencial modela a zona de exclusão em torno de cada núcleo. A modelagem analítica de uma transformação de nucleação e crescimento nucleada de acordo com um processo de ponto sequencial não está disponível. Portanto, uma simulação de computador foi necessária. Observe que este trabalho não modela uma transformação específica em um determinado material. Em vez disso, os presentes resultados podem ser usados ​​para analisar qualquer transformação de nucleação e crescimento. As microestruturas geradas, bem como as medições da função de correlação de par, função cumulativa de distribuição de distância do vizinho mais próximo, contiguidade e função de correção, podem ser comparadas com aquelas obtidas por experimento em uma transformação específica. Essa comparação pode, como discutiremos a seguir, fornecer ao experimentalista informações valiosas que lhe permitam detectar se a nucleaçãoocorreu de acordo com um processo de ponto de Poisson. Em resumo, comparamos simulações de computador 3D com núcleos gerados pelo processo de ponto Sequencial com núcleos gerados por um processo de ponto de Poisson.
2 matemáticas
2.1. Processo de ponto de inibição sequencial simples
A realização de um processo de ponto sequencial [8,9,14] dentro de uma matriz computacional é gerada como segue. O primeiro ponto surge aleatoriamente dentro do domínio. Uma zona de exclusão é delimitada por uma bola de raio r ao seu redor - dentro desta zona de exclusão, nenhum outro núcleo pode aparecer. O próximo ponto também é gerado aleatoriamente com sua zona de exclusão, mas sua localização é restrita a regiões fora de uma zona de exclusão. Este processo é repetido sequencialmente para n pontos ou até que não haja mais espaço disponível (estado saturado). Observe que as zonas de exclusão podem se sobrepor. A nucleação dentro de uma zona de exclusão de um determinado núcleo é proibida.
2.2. Funções para descrever o processo de nucleação
a) A função de correlação de pares de processos de pontos A função de correlação de pares, g (r), pode ser definida como a razão do número de pontos (núcleos) por unidade de volume, Nv (r), contido dentro de duas camadas esféricas de raio r e r + dr e o número total de núcleos por unidade de volume, Nv:
(1)
Eq. (1) pode ser aplicado quando os pontos são isotrópicos no espaço. Para um processo de ponto de Poisson homogêneo g (r) ≡ 1. b) Função de distribuição de distância do vizinho mais próximo cumulativa A função de distribuição de distância do vizinho mais próximo cumulativa de um processo de ponto é a função de distribuição cumulativa G (d) da distância, d, de um típico ponto aleatório de x ao ponto mais próximo de x. Para o processo de ponto de Poisson, G (d) tem uma forma analítica
 (2)
2.3. Cinética de transformação
A cinética de transformação da nucleação saturada de sítio em núcleos localizados no espaço de acordo com um processo de ponto de Poisson homogêneo é a expressão bem conhecida [1-3,15]:
 
 (3)
Vv (t) é a fração de volume transformada no tempo t, G é a velocidade de crescimento e Nv é o número de núcleos por unidade de volume. Além disso, pode-se definir um tempo normalizado como = √3 Nv Gt. Essa definição é necessária porque, como será visto a seguir, Nv é diferente para os diferentes casos examinados. O uso do tempo normalizado permite observar o efeito da distribuição dos núcleos no espaço sem a influência do Nv.
2.4. Função de correção
Neste trabalho, calculamos a função de correlação de dois pontos, C2 [16], e a função de correção, 3, proposta por Rickman e Barmak [17] para analisar os resultados da simulação, além dos parâmetros usuais usados ​​na metalografia quantitativa. Por conveniência, apenas os gráficos da função de correção são mostrados.
A função de correlação de dois pontos é a probabilidade de que dois pontos aleatórios dentro da matriz sejam transformados (ou não transformados) ao mesmo tempo. Neste trabalho, a função de correlação de dois pontos foi medida em uma seção plana. O exame de seções planas é comum na prática. Observe que, para materiais isotrópicos, a função de correlação de dois pontos é a mesma, independentemente de ser medida em duas direções normais, ou seja, em uma seção plana ou em três direções normais, ou seja, em 3D. Para núcleos distribuídos no espaço de acordo com um processo de ponto de Poisson homogêneo em 3D, a Eq. (4) fornece uma expressão exata para C2 [17].
(4)
s = r / 2Gt e 3 (s) é a função de correção. 3 também pode ser obtido na Eq. (5) [17]:
C2 (r, t) = [1 - Vv (t)] 2− 3 (s)
 (5)
Para uma explicação mais detalhada de C2 e 3 (s), consulte [16,17].
 
3. Metodologia de simulação computacional
As localizações dos núcleos dentro de células de matriz cúbica 3D 300 × 300 × 300 foram determinadas por um processo de ponto sequencial descrito acima. Uma simulação de computador foi realizada usando o método do cone causal [18,19]. O método do cone causal tem sido usado em muitos artigos de simulação de computador pelos autores [7,19-22]. A Fig. 1 ilustra o método do cone causal para uma transformação saturada de sítio. A Fig. 1a mostra um ponto “x” dentro de uma bola de raio R = Gt centrada em x (linha contínua). A bola na Fig. 1a é o cone causal do ponto x no tempo t. A expressão “cone causal” é usada porque quando se considera o tempo, tem-se um “cone” 4-D que tem a bola da Fig. 1a como a “base” e o tempo como a “altura”. Sempre que um núcleo é “capturado” por este cone, o ponto x se transforma. A bola na Fig. 1a não contém núcleos. Portanto, nenhuma região de crescimento pode ultrapassar x dentro do tempo t. Como resultado, x permanece sem transformação. Em contraste, a Fig. 1b mostra uma bola idêntica, mas contendo um núcleo. Em um momento específico, t, a nova região originada no núcleo (linha tracejada) contida na bola pode crescer e atingir um raio R = Gt. Esta bola de região transformada alcança e transforma o ponto x. Em resumo, para transformar o ponto x, pelo menos um núcleo deve estar presente dentro da bola centrada em x. Claro, essa bola pode conter mais de um núcleo. Cada dimensão da matriz foi considerada como tendo um comprimento igual a 1 mm. Como resultado, o domínio simulado tem um volume igual a 1 mm3. Portanto, Nv é expresso como um número por mm3. Simulamos 3 casos aumentando a densidade de núcleos para avaliar seu efeito na transformação. Ou seja, simulamos transformações com Nv = 100 por mm3, Nv = 1500 por mm3 e Nv = 5346 por mm3 (saturado). O raio de inibição, R, foi de 0,05 mm (5% do comprimento do lado da matriz). Por conveniência, as unidades serão omitidas no texto. Cada quantidade relatada aqui é o valor médio de 50 simulações. Vários de nossos trabalhos anteriores usaram esse número de repetições com resultados confiáveis ​​[8,9].