Gabarito - UNIVESP - 2021 - Prova - Modelos Probabilísticos para Computação

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GABARITO 
DISCIPLINA 
EEM101 - Modelos Probabilísticos para Computação 
APLICAÇÃO 
30/09/2021 
CÓDIGO 
DA PROVA P013 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
Um engenheiro observou que sempre quando está chovendo em uma determinada praça de pedágio, 
a probabilidade de haver falha no sistema de tarifação automática é de 12%. Além disso, a 
probabilidade de que os eventos “chover na praça de pedágio” e “haver falha no sistema” ocorram 
simultaneamente é de 6%. Diante disso, é possível afirmar que a probabilidade de chover em tal praça 
de pedágio é igual a: 
a) 24% 
b) 20% 
c) 18% 
d) 50% 
e) 72% 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 50%. 
 
 
 
 
Questão 1.2 
A probabilidade de um sistema computacional S1 falhar é de 10%. Além disso, a probabilidade de 
outro um sistema computacional S2 falhar é de 20%. Finalmente, sabe-se que a probabilidade dos 
sistemas S1 e S2 falharem simultaneamente é de 6%. Considerando esses dados, julgue como 
verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações abaixo. 
 
( ) Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” não são mutualmente excludentes. 
( ) Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” são mutualmente excludentes. 
( ) Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” são estatisticamente independentes. 
( ) Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” não são estatisticamente independentes. 
 
 A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: 
a) F – F – F - V. 
b) V – F – F - V. 
c) V – F – V - F. 
d) V – V – V - F. 
e) F – V – V - V. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: V – F – F – V. 
 
JUSTIFICATIVA 
“Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” não são mutualmente excludentes.” 
Verdadeiro, pois, do enunciado, temos que P(S1 ∩ S2) = 0,06, ou seja, os dois eventos podem ocorrer 
simultaneamente, então não são mutualmente excludentes. 
“Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” são mutualmente excludentes.” 
Falso, pois, do enunciado, temos que P(S1 ∩ S2) = 0,06, ou seja, os dois eventos podem ocorrer 
simultaneamente, então não são mutualmente excludentes. 
“Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” são estatisticamente independentes.” 
Falso. Do enunciado, temos que P(S1) = 0,10 e P(S2) = 0,20. Além disso, outro dado do exercício é que 
P(S1 ∩ S2) = 0,06. A condição de independência entre os eventos S1 e S2 é dada por P(S1 ∩ S2) = 
P(S1)×P(S2). No entanto, a partir dos dados do enunciado, verificamos que: 
P(S1 ∩ S2) = 0,06 ≠ P(S1)×P(S2) =0,10×0,20. 
Portanto, os eventos S1 e S2 não são estatisticamente independentes. 
“Os eventos “S1 falhar” e “S2 falhar” não são estatisticamente independentes.” 
Verdadeiro. Do enunciado, temos que P(S1) = 0,10 e P(S2) = 0,20. Além disso, outro dado do exercício é 
que P(S1 ∩ S2) = 0,06. A condição de independência entre os eventos S1 e S2 é dada por P(S1 ∩ S2) = 
P(S1)×P(S2). No entanto, a partir dos dados do enunciado, verificamos que: 
P(S1 ∩ S2) = 0,06 ≠ P(S1)×P(S2) =0,10×0,20. 
Portanto, os eventos S1 e S2 não são estatisticamente independentes. 
 
 
Questão 1.3 
Um laboratório possui dois clusters para computação de alto desempenho, intitulados cluster A e 
cluster B. A probabilidade do cluster A falhar é de 5%. Já a probabilidade do cluster B falhar é de 20%. 
Sabendo que a probabilidade de que pelo menos um dos clusters falhe é igual 18%, a probabilidade 
dos clusters A e B falharem simultaneamente é igual a: 
a) 7% 
b) 38% 
c) 35% 
d) 17% 
e) 2% 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 7%. 
 
JUSTIFICATIVA 
Considere os seguintes eventos: 
A: cluster A falha 
B: cluster B falha 
Do enunciado, temos que P(A)=0,05 e P(B) = 0,20. Além disso, a probabilidade de que pelo menos um 
dos clusters falhe é igual 18%, ou seja, P(A U B) = 0,18. 
A probabilidade de que pelo menos um dos dois clusters falhe é dada pela probabilidade da união 
entre A e B, P(A U B), que, por sua vez, pode ser calculada da seguinte maneira: 
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
0,18 = 0,05 + 0,20 - P(A ∩ B) 🡪 P(A ∩ B) = 0,07 
Logo, a probabilidade dos clusters A e B falharem simultaneamente é de 7%. 
 
 
Questão 1.4 
Em um sistema de computação de alto desempenho, o número diário de componentes que falham 
pode ser modelado por uma variável aleatória discreta X que assume valores no conjunto {0,1, 2, 3, 4}. 
Sabendo que que distribuição de X é dada por P(X = 0) = 0,80; P(X = 1) = 0,09; P(X = 2) = 0,04; P(X = 3) = 
0,04, e P(X = 4) = k, em que k é uma constante, o número estimado de componentes que irão falhar ao 
longo de 365 dias é dado por: 
a) 400 
b) 20 
c) 300 
d) 150 
e) 550 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 150. 
 
JUSTIFICATIVA 
Inicialmente, é necessário calcular a constante k. Dado que a seguinte condição deve ser satisfeita: 
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1, temos que: 
0,80 + 0,09 + 0,04 +0,04 + k = 1 🡪 k = 0,03. 
Portanto, a esperança de X, dada por E(X), é igual a: 
E(X) = 0×0,80 + 1×0,09 + 2×0,04 + 3×0,04 + 4×0,03 = 0,41. 
Logo, o valor esperado de componentes que falham em um dia é igual a 0,41. Ao longo de 365 dias, 
uma estimativa do número de componentes que falham é igual a 0,41×365 ≈ 150. 
 
 
Questão 1.5 
O tempo gasto para execução de programas em um computador de alto desempenho pode ser 
modelado por uma variável aleatória normal de média 70ms e variância 36ms2 N(70; 36). A 
probabilidade de um programa ter um tempo de execução superior a 76ms é aproximadamente dada 
por: 
a) 96% 
b) 72% 
c) 32% 
d) 16% 
e) 66% 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 16%. 
 
JUSTIFICATIVA 
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de execução de um dado programa. Deseja-se, 
então, calcular P(X>76), em que X segue uma distribuição normal N(70; 36). O primeiro passo é obter o 
valor padronizado Z, dado por: 
 
Logo, temos que P(X > 76) = P(Z > 1) = 0,5 – P(0 < Z < 1). 
 
Da tabela da distribuição normal (páginas 337 e 338 do texto-base Estatística Básica: Probabilidade e 
Inferência, de Luiz Gonzaga Morettin), temos que P(0 < Z < 1) = 0,34. Logo: 
P(X > 76) = 0,5 – 0,34 ≈ 16% 
 
 
Questão 1.6 
Os retornos de dois investimentos podem ser modelados por duas variáveis aleatórias discretas X e Y 
cujas funções distribuições de probabilidade são expressas nas tabelas abaixo. 
 
X P(X) 
-1 0,10 
0 0,20 
1 0,40 
2 0,20 
3 0,10 
 
 
Y P(Y) 
-1 0 
0 0,30 
1 0,40 
2 0,30 
3 0 
 
 
Considerando esses dados, considere as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
( ) E(X) = E(Y), ou seja, os valores esperados dos retornos dos dois investimentos são iguais. 
( ) O investimento X apresenta maior dispersão que o investimento Y, pois a variância da variável X é 
maior que a variância de Y. 
( ) O investimento X apresenta menor dispersão que o investimento Y, pois a variância da variável X é 
menor que a variância de Y. 
( ) Nunca há prejuízo no investimento Y, pois a probabilidade do retorno do investimento Y ser negativo 
é igual a zero. 
 
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: 
a) F – V – F - V. 
b) V – V – F - F. 
c) V – F – V - F. 
d) V – V – V - F. 
e) V – V – F - V. 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: V – V – F – V. 
 
JUSTIFICATIVA 
Na sequência, analisamos cada uma das informações: 
(V) E(X) = E(Y), ou seja, os valores esperados dos retornos dos dois investimentos são iguais. 
Verdadeiro. Os valores de E(X) e E(Y) são dados por: 
E(X) = -1×0,10 + 0×0,20 + 1×0,40 + 2×0,20 + 3×0,10 = 1 
E(Y) = -1×0 + 0×0,30 + 1×0,40 + 2×0,30 + 3×0 = 1 
(V) O investimento X apresenta maior dispersão que o investimento Y, pois a variância da variável X é 
maior que a variância de Y. 
Verdadeiro. Os valores de VAR(X) e VAR(Y) são dados por: 
VAR(X) = E(X2) - E(X)2 = (-1)2×0,10 + 02×0,20 + 12×0,40 + 22×0,20 + 32×0,10 - 12 = 1,2 
VAR(Y) = E(Y2) - E(Y)2 = (-1)2×0 + 02×0,30 + 12×0,40 + 22×0,30 + 32×0 - 12 = 0,6 
Logo, VAR(X)> VAR(Y) e, assim, o investimento X apresenta maior dispersão. 
(F) O investimento X apresenta menor dispersão que o investimento Y, pois a variância da variável X é 
menor que a variância de Y. 
Falso. Conforme calculado anteriormente, VAR(X) > VAR(Y). 
(V) Nunca há prejuízo no investimento Y, pois a probabilidade do retorno do investimento Y ser 
negativo é igual a zero. 
Verdadeiro. De fato P(Y = -1) = 0, ou seja, a variável Y nunca assume valores negativos. 
 
 
Questão 1.7 
O tempo de espera em uma fila de processamento (em ms) pode ser modelado por uma variável 
aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade é dada por: 
 
A probabilidade de o tempo de espera nessa fila estar no intervalo entre 0ms e 1ms é igual a: 
a) 90% 
b) 15% 
c) 25% 
d) 75% 
e) 50% 
 
RESOLUÇÃO 
A resposta correta é: 75% 
 
 
 
QUESTÃO DISSERTATIVA 
 
Questão 2 
 
Uma cadeia de Markov 
{Xn , n≥0} 
{Xn , n≥0} 
 
Se, nos estados 0 e 1, representa o funcionamento diário de um sistema computacional. O estado 0 
representa que o sistema opera normalmente e o estado 1 representa que o sistema opera com falha. 
É sabido que: 
 
- Se, em um dado dia, o sistema opera normalmente, a probabilidade de ele continuar a operar 
normalmente no dia seguinte é de 90%, e a probabilidade de ele operar com falha no dia seguinte é 
de 10%. 
 
- Se, em um dado dia, o sistema opera com falha, a probabilidade de ele continuar a operar com falha 
no dia seguinte é de 40%, e a probabilidade de ele operar normalmente no dia seguinte é de 60%. 
 
Sabendo que o sistema opera normalmente na segunda (n = 0), calcule a probabilidade de ele falhar 
na quarta (n = 2), ou seja, dois dias após. 
 
RESOLUÇÃO 
A resolução do exercício requer a execução dos seguintes passos: 
1) Identificar a matriz de transição associada à cadeia de Markov. A partir dos dados do enunciado, 
tem-se que: 
 
 
2) Identificar qual a probabilidade que se deseja calcular, que é dada por: 
 
 
3) Para obter a probabilidade desejada, é possível aplicar as Equações de Chapman-Kolmogorov. De 
forma matricial, temos que: