Geometria_descritiva_Unid_III

Prévia do material em texto

48
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Unidade III
4 INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS
Antes de iniciarmos os estudos relativos à intersecção de 
planos, faremos uma breve revisão sobre o alfabeto do plano, 
lembrando que o plano que não se enquadra em nenhum dos 
tipos de planos abaixo arrolados é denominado plano qualquer.
Plano horizontal
Plano frontal
49
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Plano de topo
Plano vertical
Plano de perfil
4.1 Plano vertical X plano horizontal
Podemos perceber a seguir a reta r, formada pela intersecção do 
plano α (plano vertical qualquer) com o plano β (plano horizontal 
qualquer) que servirá de referência para a construção da épura.
50
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
PV
tvα
α
thα = r1
v1
r
tvβ = r2
β
Observe agora a épura da referida figura:
v1
tvα
r2tvβ
LT
r1
4.2 Plano qualquer X plano horizontal (1)
Para realizarmos a projeção da intersecção de um plano 
qualquer α com um plano horizontal β, partiremos do postulado 
da geometria euclidiana plana que determina que duas retas 
não coincidentes determinam um único plano e dessa forma 
determinaremos o plano α utilizando as retas paralelas r e s.5
51
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
LT
r2
y2
x2
PV u2
s2
u
s
r
x
y
α
β
u1 r1
x1 s1
y1 PH
Observe como fica a épura da figura acima:
x1
y1
u1 s1
x2 r2
LT
r1
y2
u2 s2
4.3 Plano qualquer X plano horizontal (2)
A partir da interseção dos planos α e β, dada por r, projetamos 
sua épura.
r1
PV
α
β
PH
tvα 
tvβ = r2
thα 
LT
r
V1
V2
52
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Então, sua épura fica da seguinte maneira:
LT
tvα 
thα 
r1
r2
v1
α 
tvα ∩ r2 = v2
Utilizamos o sinal de igual no mesmo sentido de 
equivalente.
4.4 Plano qualquer X plano frontal
Primeiro determinamos a intersecção dos planos α e β e 
localizamos seus respectivos traços que serão úteis na construção 
da épura.
PV
LT
β 
αtvα 
r2 r
thα 
thβ 
PH
H2 H1 = H
A épura da figura acima está representada a seguir:
5
53
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
thα 
LT
thβ 
H1
H2
tvα 
r2
4.5 Plano qualquer X plano qualquer
Apresentamos abaixo a intersecção de um plano α qualquer 
com um plano β qualquer. Repare que a intersecção desses 
planos nos fornece uma reta, que chamamos de r, cujos traços 
servirão de base para a projeção da épura.
PV
PH
LT
H2
r2
thβ 
tvβ 
thα 
tvα 
H = H1 
r
r1
v1
v2 = v
α
β
Observe na página seguinte a épura da figura acima:5
54
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
thα 
thβ
α β LT
r1
v1
r2
v2
H1
H2
tvβ tvα
5 INTERSECÇÃO ENTRE RETA E PLANO
Observe a figura abaixo em que, dado um plano α e uma 
reta r, tal que r⊄α, temos um ponto F que é o local onde r 
intercepta o plano α:
α
F
r
Com o objetivo de determinar o ponto F no qual a reta r 
intercepta (fura) o plano α, traçamos pela reta r um plano β 
auxiliar, tal que: a intersecção de β com α seja igual à reta s.
α
F
r
S
β
5
55
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Para nos auxiliar na tarefa de determinar a intersecção entre 
a reta e o plano, podemos traçar β perpendicular a um dos 
planos de projeção (PH ou PV).
Na figura abaixo temos a reta r interceptando o plano α, em 
que tal intersecção deverá ser projetada no plano PP, que é o 
plano de projeção. O plano de projeção PP poderá ser qualquer 
um dos planos (PV ou PH), embora normalmente utilizemos o 
plano horizontal.
α
PP
r
Observe então como ficaria a projeção da intersecção do 
plano α com a reta r, tendo como plano de projeção o plano 
horizontal:
F1
PH
tβH
β
F
r
s α
Agora passemos a um exemplo de como determinar tal 
intersecção na épura.
Dado o plano α e a reta r, projetamos seus traços nos planos 
de projeção da seguinte maneira:
5
10
15
56
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
LT
tαH r1
PV
tαv
α
r2 r
PH
Observe que se fizermos sua épura sem a utilização do plano 
auxiliar β, não teremos elementos suficientes para localizar o 
local onde a reta intercepta o plano α, ficando sua épura dada 
apenas pelos traços de α e pelas projeções de r.
LT
tαH
r1
tαv
r2
Retomemos agora o procedimento anterior, porém 
introduzindo um plano auxiliar β tal r ⊂ β.
5
57
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
r
LT
s1
s
α
F s2
F2
F1
tvβ
thα
β
thβ
r2tvα
Observando a figura acima podemos perceber que se 
traçarmos uma reta perpendicular à linha de terra, passando 
por F2, encontraremos, abaixo da linha de terra, na intersecção 
dessa reta perpendicular com s1 o ponto F1, conforme podemos 
observar na seguinte épura.
LT
r2
s2
F2
tvα tvβ
F1
s1
tvβ
5.1 Quando α é um plano horizontal
Quando α é um plano horizontal, temos que α é perpendicular 
ao plano vertical (PV). Observe a figura a seguir, que mostra uma 
reta r “furando” um plano horizontal α.
5
58
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
r
LT
F2
thα
F1
r1
PV
PH
r2
F
α
A épura de tal figura é dada pelos traços de α e pelas 
projeções de r.
F1
tvαF2
r2
LT
r1
5.2 Quando α é um plano vertical
Quando α é um plano vertical, ou seja, é perpendicular ao 
plano horizontal, temos que as projeções relativas a F (ponto 
em que a reta r “fura” o plano α) são dadas pelas projeções do 
plano α e de r.
5
59
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
r
LT
α
F
F2
F1
thα
PV
PH
r1
r2
tvα
Projetando na épura, temos:
F1
tvα
F2
r2
r1
thα
LT
5.3 Quando α é um plano frontal
Quando α é um plano frontal, procedemos de forma análoga 
ao procedimento empreendido até o momento.
60
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
α
r
LT
thα
F
r1
PV
PH
r2
Observe que, traçando uma reta perpendicular à linha de 
terra e passando por F1 e F2, temos na épura:
thα
r1
F1
r2F2
LT
Questões comentadas
1) Sobre a visibilidade das retas, é incorreto afirmar:
a) É visível no 1º diedro.
b) O observador pode se encontrar nos dois primeiros 
diedros.
c) Em épura, as linhas pontilhadas representam o verso 
de cada plano.
d) A visibilidade em épura permite que se imagine como 
está a reta nos demais quadrantes.
e) Há uma alternativa incorreta.
5
10
61
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Resposta: b) O observador se encontrará apenas no primeiro 
diedro. Com isso, não haverá possibilidade de ser visualizado 
nada nos demais, apenas imaginado.
2) Qual das alternativas a seguir representa o plano frontal?
a) 
A2
r2
B2
B
r
A
π2
π1 A1
B1
r1
b) 
A2
r2
B2
A
r
B
π2
π1
B1
r1
A1
c) 
B
r
A
B2
r2
A2
π2
π1 r1≡
⋅ A1 = B1
d) 
A
B
rA2
r2
B2
π2
π1
B1
r1
A1
62
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
e) 
B
A
r
B2
A2
π2
π1
A1
B1
Resposta: e) Conforme pode ser visualizado, o plano frontal 
é aquele inclinado apresentando projeções nos planos π1 e π2.
3) A figura abaixo: um plano espacial que apresentará a 
épura com todas as descrições abaixo, exceto:
H2
V2
r2
π2sS
π1A
r1
r
H ≡ H1
V≡V2
π2I
a) A reta partindo da Linha da Terra.
b) Abaixo da Linha da Terra há linhas tracejadas 
representando que a cruza o plano π2.
c) H2 estará na Linha da Terra.
d) V2 estará abaixo da Linha da Terra, por estar dando 
“continuidade”à reta. Seria um possível cruzamento da 
reta com o plano π2.
e) O segmento V2H2 é a projeção da reta abaixo do plano 
π1.
5
10
63
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Resposta: b) Realmente há linha tracejada abaixo da Linha 
da Terra, mas é continuação do plano π1.
4) Uma reta pode pertencer ao plano � qualquer. No entanto, 
o que pode acontecer com os pontos V�H na Linha da Terra?
a) Não existe reta.
b) A reta será somente um ponto.
c) A reta parte da Linha da Terra e paralelo ao plano π1.
d) A reta parte da Linha da Terra e paralelo ao plano π2.
e) Nenhuma alternativa é correta.
Resposta: e) Nenhuma alternativa é correta, pois o problema 
é indeterminado. Não tem como saber o que está de fato 
acontecendo.
5) O plano abaixo pode conter que épura?
H ≡ H1 H2
V1
V≡V2
π1A
π2S
π1P
a1
a2 a
a) 
V1 H2
H1V2
r1
r2
5
10
64
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
b) V1H2
H1 V2
a1
a2
c) 
H2
A2
H1
A1
r2
V2
tα2
sα1
V1
d) 
A2 ≡ V2 ≡ B2 t ω2
V 1
A 1
B 1
e) Nenhuma das épuras condiz com a figura.
Resposta: b) A linha “a” cruza o plano π2.
6) A figura espacial a seguir representa uma reta:
tα
π2
M
H2
A2
B2
f2
f1
B1
A1
H ≡ H1
f
B
A
π1
α
sα
65
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
a) Horizontal.
b) Fronto-horizontal.
c) Vertical.
d) Qualquer.
e) Frontal.
Resposta: e) Frontal. 
B
A
r
B2
A2
π2
π1
A1
B1
Frontal
7) A épura abaixo pode ser de qual figura?
tα2
Sα1
M2 ≡ M1 
H2
H1
V1
r2
r1
a) 
M
M2 = V
π2
π1
tα
Sα
α
H ≡ H1
b) 
H ≡ H1 H2
V1
V≡V2
π1A
π2S
π1P
a1
a2 a
5
66
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
c) 
H2
V2
r2
π2sS
π1A
r1
r
H ≡ H1
V≡V2
π2I
d) 
π2
tψ
A B
tω
tσ
V
Sψ
Sσ
π1
ω
ψ
σ
e) Nenhuma destas figuras.
Resposta: a- Pegue uma folha papel e dobre-a ao meio. No 
local da dobra, passe uma reta. Esta reta representará a sua 
Linha da Terra. Desenhe qualquer destas épuras nesta folha e, 
em seguida, dobre-a novamente. Fazendo isso com a épura, 
você encontrará a alternativa “a”.
8) A figura a seguir contém o segmento VH, que pode ser 
visto também na épura. Este segmento representa:
5
67
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
H
V α
β
Sβ
Sα
tα
tβ
π2S
π1A
H1Sβ1
H2
V2
Sα1
tα2tβ2
V1
a) Uma reta.
b) Um plano.
c) A interseção de dois planos.
d) Apenas dois pontos.
e) Uma semirreta.
Resposta: c) É a interseção do plano � com o plano �.
9) O que são retas concorrentes?
a) Retas que se cruzam no plano.
b) Duas retas paralelas ao plano.
c) Duas retas que apresentam um ponto com comum.
d) Duas retas que são paralelas ao plano e apresentam um 
ponto “A” em cada uma delas e no plano.
e) Não existem retas concorrentes.
Resposta: c) Duas retas de direções diferentes que apresentam 
um ponto com comum.
10) Dadas as afirmações:
I. Qualquer coisa que aconteça no primeiro diedro é possível 
representar em uma épura.
5
10
15
68
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
II. Qualquer coisa que aconteça nos quadrantes que não 
seja o primeiro diedro é possível prever com apenas uma linha 
pontilhada.
III. Uma reta é não visível quando está na Linha da Terra.
IV. Basicamente qualquer objeto possui uma reta.
É(são) incorreta(s) a(s) afirmação(ões) acima, exceto:
a) I.
b) II e IV.
c) I e II.
d) III e IV.
e) I e IV.
Resposta: c) I e II são afirmações corretas. No entanto, a 
frase “É incorreta a afirmação acima, exceto” nos estimula 
a responder quais as afirmações são corretas. A afirmação III 
é incorreta, pois qualquer reta “r” na Linha da Terra pode ser 
visível sim; porém, será camuflada pela Linha da Terra, mas isso 
é resolvido representando r�r1�r2. A afirmação IV indica que 
qualquer objeto possui uma reta. Na verdade, uma reta pode 
conter qualquer objeto. Uma esfera, por exemplo, não contém 
uma reta, mas uma reta pode conter uma esfera.
Questões da Unidade III
1. A épura a seguir representa a intersecção de um plano 
________________ com um plano __________________. A 
alternativa que preenche corretamente as lacunas é:
5
10
15
20
69
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
v1
tvα
r2tvβ
LT
r1
a) Perfil e perfil.
b) Perfil e rampa.
c) Perfil e qualquer.
d) Vertical e horizontal.
e) Vertical e rampa.
2. O local onde um plano intercepta os planos de projeção é 
denominado:
a) Traço.
b) Polígono.
c) Apoio.
d) Reta angular.
e) Ponto projetivo.
3. A épura a seguir representa a intersecção de um plano 
___________________ com um plano ____________
_________. A alternativa que preenche corretamente as 
lacunas é:
5
10
15
70
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
x1
y1
u1 s1
x2 r2
LT
r1
y2
u2 s2
a) Perfil e qualquer.
b) Perfil e rampa.
c) Perfil e topo.
d) Vertical e horizontal.
e) Qualquer e horizontal.
4. A intersecção de dois planos é:
a) Um ponto.
b) Uma épura.
c) Uma reta.
d) Uma esfera.
e) Um cilindro.
5. A distância entre um ponto A e o plano horizontal é 
denominada:
a) Cota.
b) Afastamento.
c) Largura.
d) Verdadeira grandeza.
e) Linha de terra.
6. A distância entre um ponto A e o plano vertical é 
denominada:
5
10
15
20
71
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
a) Cota.
b) Afastamento.
c) Largura.
d) Verdadeira grandeza.
e) Linha de terra.
7. A épura a seguir representa a intersecção de um plano 
________________________________ com um plano 
_________________________________________. 
thα 
thβ
α β LT
r1
v1
r2
v2
H1
H2
tvβ tvα
a) Qualquer e qualquer.
b) Perfil e rampa.
c) Perfil e qualquer.
d) Vertical e horizontal.
e) Vertical e rampa.
8. A épura a seguir representa a intersecção de um plano 
________________________________ com um plano 
___________________________________________.
5
10
15
72
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
LT
tvα 
thα 
r1
r2
v1
α 
tvα ∩ r2 = v2
a) Qualquer e qualquer.
b) Perfil e rampa.
c) Perfil e qualquer.
d) Qualquer e horizontal.
e) Vertical e rampa.
9. Determine a épura da intersecção dos planos α e β da 
seguinte figura:
PV
LT
β 
αtvα 
r2 r
thα 
thβ 
PH
H2 H1 = H
5
73
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
a) thα 
LT
thβ 
H1
H2
tvα 
r2
b) 
thα 
thβ
α β LT
r1
v1
r2
v2
H1
H2
tvβ tvα
c) 
LT
tvα 
thα 
r1
r2
v1
α 
tvα ∩ r2 = v2
74
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
d) 
LT
thα 
e) 
LT
thα 
tvα 
10. Ao construirmos uma épura da intersecção entre dois 
planos, devemos atentar fundamentalmente para:
a) Seus diedros correspondentes.
b) Para o rebatimento do plano vertical sobre o plano 
horizontal.
c) As projeções nos planos horizontal e vertical da reta 
que forma a intersecção entre os planos, bem como os 
traços deixados pelos planos.
d) Os traços não têm importância, uma vez que apenas as 
projeções da reta de intersecção entre os dois planos 
são suficientes para a construção da épura.
e) A utilização de um plano auxiliar para determinar os 
traços da intersecção dos dois planos.
Respostas das questões
Questão 1: d.
Comentário: a épura apresentada corresponde à intersecção 
de um plano vertical com um plano horizontal.
5
10
15
75
GEOMETRIA DESCRITIVA
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Questão 2: a.
Comentário: o local no qual um plano intercepta os planos 
de projeção é denominado traço.
Questão 3: e.Comentário: a épura apresentada corresponde à intersecção 
de um plano qualquer com um plano horizontal.
Questão 4: c.
Comentário: a intersecção entre dois planos é uma reta.
Questão 5: a.
Comentário: a distância entre um ponto qualquer do espaço 
e o plano horizontal é chamada de cota.
Questão 6: b.
Comentário: a distância entre um ponto qualquer do espaço 
e o plano vertical é chamada de afastamento.
Questão 7: a.
Comentário: a épura apresentada corresponde à intersecção 
de um plano qualquer com um plano qualquer.
Questão 8: d.
Comentário: a épura apresentada corresponde à intersecção 
de um plano α qualquer com um plano β horizontal.
Questão 9: a.
Comentário: a figura apresentada corresponde à épura da 
intersecção de um plano qualquer α com um plano frontal β.
5
10
15
20
76
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 N
íz
ia
 / 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
11
-0
8-
10
Questão 10: c.
Comentário: ao construirmos uma épura da intersecção 
de dois planos, devemos atentar para os traços desses planos, 
bem como para as projeções em PV e PH da reta formada pela 
intersecção desses dois planos.
Bibliografia básica
MACHADO, Ardevan. Geometria descritiva. São Paulo: 
McGrowHill do Brasil, 1974.
PRÍNCIPE JÚNIOR, Alfredo dos Reis. Noções de geometria 
descritiva. v. 1. São Paulo: Nobel, 1966.
Bibliografia complementar
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de 
matemática elementar. São Paulo: Atual, 1985.
LORIGGIO, Plácido. Geometria descritiva. São Paulo: Nobel, 
1965.
MARMO, Carlos M. B. Geometria descritiva: problemas de 
posições e métricos. São Paulo: Moderna, 1966.
BORGES, Gladys Cabral de Mello. Desenho geométrico e 
geometria descritiva: problemas e exercícios. Porto Alegre: 
Sagra Luzzato, 1999.
GOLUBOV, Jayme Kerbel. Estudos de geometria descritiva. 
Brasília: UNB, 1978.
5