Cálculo 3 - Aula 4 - Testes de convergência de séries

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@Mv_Tonin @MvTonin Movimento Toninmv_tonin
CÁLCULO 3
AULA 4 – TESTES DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIES
PLANEJAMENTO
CÁLCULO 3
AULA 4 FÓRMULAS E 
CONCEITOS 
PRINCIPAIS
TESTE DA 
INTEGRAL
TESTE DA 
COMPARAÇÃO
TESTE DE 
COMPARAÇÃO 
DO LIMITE
2 14 20 25
o Antes, estávamos descobrindo a convergência ou divergência
das séries através da definição
o Agora, aprenderemos novas técnicas:
• Teste da integral
• Teste de comparação
• Teste de comparação do limite
• Teste da razão
• Teste da raiz
• Teste da série alternada
TESTES DE CONVERGÊNCIA1
1
TESTE DA INTEGRAL
o Integral que possui um ou dois extremos com o valor ±∞
▪ Exemplo:
• 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
o Como resolver ?
• Transformar em uma integral definida, substituindo o infinito
por ±𝑡 e fazendo 𝑡 → ∞ em um limite fora da integral
• 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
1׬
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
REVISÃO - INTEGRAL IMPRÓPRIA1
3
o 𝑓 é decrescente se 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2) para 𝑥1 < 𝑥2
REVISÃO - FUNÇÕES DECRESCENTES2
4𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3
o Além de analisar um gráfico, podemos fazer o teste das 
derivadas
• 𝑓′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 em (𝑎, 𝑏), 𝑓 é crescente em (𝑎, 𝑏)
• 𝑓′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 em (𝑎, 𝑏), 𝑓 é decrescente em (𝑎, 𝑏)
• 𝑓′ 𝑥 = 0 ∀𝑥 em (𝑎, 𝑏), 𝑓 é constante em (𝑎, 𝑏)
o Para saber onde ela decresce, basta ver onde a derivada é 
negativa
REVISÃO - FUNÇÕES DECRESCENTES2
5
o Sendo 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥)
o Sendo 𝑓(𝑥) uma função:
• Contínua, positiva (ou seja, com valores de 𝑦 positivos) e 
decrescente no intervalo [1,∞)
o A série σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é convergente se 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for convergente
o A série σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é divergente se 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for divergente
TESTE DA INTEGRAL3
6
𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥)
Ou seja, transformar a fórmula do termo geral em uma função de 𝑥
o Não é estritamente necessário começar a série ou a integral 
em 𝑛 = 1
▪ Exemplo:
• Podemos testar a série σ𝑛=4
∞ 1
(𝑛−3)2
com 4׬
∞ 1
(𝑥−3)2
𝑑𝑥, já que 
graficamente a função decresce depois de 𝑥 = 4
TESTE DA INTEGRAL3
7
𝑥 = 4
Dessa forma, posso representar o 
intervalo do slide anterior como [𝑘,∞)
▪ Testar se a série σ𝑛=1
∞ 1
𝑛2+1
é convergente ou divergente
o Primeiramente, transformar a série em uma 𝑓 𝑥 :
• 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2+1
EXEMPLO 14
8
É contínua, positiva e decrescente 
no intervalo [1,∞)𝑓 𝑥 =
1
𝑥2 + 1
o Agora, podemos aplicar o teste da integral
• 1׬
∞ 1
𝑥2+1
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
1׬
𝑡 1
𝑥2+1
𝑑𝑥
• lim
𝑡→∞
1׬
𝑡 1
𝑥2+1
𝑑𝑥
• lim
𝑡→∞
(𝑡𝑔−1(𝑥))1
𝑡
• lim
𝑡→∞
𝑡𝑔−1 𝑡 − 𝑡𝑔−1(1)
•
𝜋
2
−
𝜋
4
=
𝜋
4
EXEMPLO 14
න
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = 𝑡𝑔−1(𝑥)
É uma integral fundamental
O arco de tangente de 𝑡 é o ângulo 
cuja tangente é igual a 𝑡
• De acordo com o teste, como a integral converge em um valor 
real, a série é convergente
EXEMPLO 14
10
https://www.geogebra.org/classic/x5cftwsm
▪ Testar se a série σ𝑛=1
∞ 1
𝑛
é convergente ou divergente
o Primeiramente, transformar a série em uma 𝑓 𝑥 :
• 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
EXEMPLO 25
11
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
É contínua, positiva e decrescente 
no intervalo [1,∞)
o Agora, podemos aplicar o teste da integral
• 1׬
∞ 1
𝑥
𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
1׬
𝑡 1
𝑥
𝑑𝑥
• lim
𝑡→∞
1׬
𝑡 1
𝑥
𝑑𝑥
• lim
𝑡→∞
(ln 𝑥 )1
𝑡
• lim
𝑡→∞
ln 𝑡 − ln(1)
• lim
𝑡→∞
ln 𝑡 = ∞
o Se o limite da integral diverge, a série também diverge
EXEMPLO 25
12
න
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥)
É uma integral fundamental
EXEMPLO 25
13
https://www.geogebra.org/classic/f6u3qvep
TESTE DA COMPARAÇÃO
o Trata-se de comparar a série desejada com uma série parecida, 
que seja de análise fácil ou conhecida
TESTE DA COMPARAÇÃO1
15
Geométrica
෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1
Para 𝑟 = 1 a série diverge
Para |𝑟| < 1 a série converge em 𝑎
1−𝑟
Para |𝑟| > 1 a série diverge
Harmônica
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛
Sempre diverge
P-série
෍
𝑛=1
∞
1
𝑛𝑝
Se 𝑝 > 1 a p-série converge
Se 𝑝 ≤ 1 a p-série diverge
o Considere σ𝑎𝑛 e σ𝑏𝑛 séries com termos positivos
o Para todo 𝑛:
• Se σ𝑏𝑛 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, então σ𝑎𝑛 converge
• Se σ𝑏𝑛 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, então σ𝑎𝑛 diverge
TESTE DA COMPARAÇÃO1
16
Se 𝑏 converge, ela se aproxima de um 
valor. Se os termos de 𝑎 são menores 
que os de 𝑏, podemos assumir que 𝑎
também converge
Se 𝑏 diverge, ela vai até ±∞. Se os 
termos de 𝑎 são maiores que os de 𝑏, 
podemos assumir que 𝑎 também vai 
até ±∞, logo, também diverge 
▪ Testar se a série σ𝑛=1
∞ 5
2𝑛2+4𝑛+3
é convergente ou divergente
o Temos que encontrar uma série que já sabemos analisar 
o Se 𝑛 for um valor muito grande, o termo dominante no 
denominador é 2𝑛2
• Podemos fazer a seguinte análise:
•
5
2𝑛2+4𝑛+3
<
5
2𝑛2
EXEMPLO2
17
Dica do termo 
dominante !!
• σ𝑛=1
∞ 5
2𝑛2
=
5
2
σ𝑛=1
∞ 1
𝑛2
•
1
𝑛2
é uma p-série com 𝑝 > 1
• Logo, é convergente
o Pelo teste, se σ𝑏𝑛 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, então σ𝑎𝑛 converge
• σ𝑛=1
∞ 5
2𝑛2+4𝑛+3
é convergente
EXEMPLO 2
18
EXEMPLO 2
19
https://www.geogebra.org/classic/dp4ybd7k
5
2𝑛2 + 4𝑛 + 3
<
5
2𝑛2
TESTE DE COMPARAÇÃO DO LIMITE
o Considere σ𝑎𝑛 e σ𝑏𝑛 séries com termos positivos
o Se:
• lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐
• 𝑐 for um número positivo
• Ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem
o Novamente, devemos comparar com séries fáceis de analisar 
ou já conhecidas
TESTE DE COMPARAÇÃO DO LIMITE1
21
▪ Testar se a série σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
é convergente ou divergente
• 𝑎𝑛 =
1
2𝑛−1
• Pelo termo dominante, podemos assumir 𝑏𝑛 =
1
2𝑛
o Aplicando o teste:
• lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= lim
𝑛→∞
1
2𝑛−1
1
2𝑛
EXEMPLO2
22
o lim
𝑛→∞
1
2𝑛−1
1
2𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛
2𝑛−1
= lim
𝑛→∞
1
1−
1
2𝑛
= 1 = 𝑐 > 0
o Temos que analisar se σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛
converge ou diverge 
• É uma série geométrica
• σ𝑛=1
∞ 1. (
1
2
)𝑛 = σ𝑛=2
∞ 1. (
1
2
)𝑛−1
• 𝑎 = 1 e 𝑟 =
1
2
• Como |𝑟| < 1 a série converge
EXEMPLO2
23
o 𝑐 > 0 e σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛
converge 
o Logo σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
também converge
EXEMPLO2
24
https://www.geogebra.org/classic/jnp6ck4h
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
26
න
1
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
න
1
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Para saber onde uma função decresce, ver onde 
a derivada é negativa
𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) contínua, positiva e decrescente no intervalo [1,∞)
A série σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é convergente se 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for convergente
A série σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é divergente se 1׬
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for divergente
Integral imprópria e decrescimento de função
Teste da integral
FÓRMULAS E CONCEITOS PRINCIPAIS1
27
σ𝑎𝑛 e σ𝑏𝑛 séries com termos positivos
Para todo 𝑛:
Se σ𝑏𝑛 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, então σ𝑎𝑛 converge
Se σ𝑏𝑛 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, então σ𝑎𝑛 diverge
σ𝑎𝑛 e σ𝑏𝑛 séries com termos positivos
Se:
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐
𝑐 for um número positivo
Ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem
Teste da comparação
Teste da comparação do limite
o Aulas de cálculo 3 – UNICAMP – Professora Elaine Cristina Poletti
o Livro – Stewart, Cálculo, vol II, 7ª edição
o Conteúdo de cálculo 3 - https://www.respondeai.com.br/materias
o KhanAcademy - Teste da integral - https://pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-series-new/bc-10-4/v/integral-test-divergence
FONTES:
https://www.respondeai.com.br/materias
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new/bc-10-4/v/integral-test-divergence