Aula 06 Estatística

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AULA 06 - Distribuição de Probabilidade Conjunta
SUMÁRIO PÁGINA
Distribuição conjunta de variáveis discretas 2
Esperança e covariância 7
Distribuição conjunta de variáveis contínuas 11
Lista de Exercícios resolvidos em aula 45
Gabarito 59
Bem vindos de volta! Agora vamos estudar as distribuições de probabilidade 
conjuntas, ou seja, como podemos analisar o comportamento probabilístico de duas 
variáveis conjuntamente.
Esta aula será mais curta, pois não é um assunto muito cobrado e aprofundado em 
concursos. Porém, já caiu. Então, tem que saber e pronto! Porém, isso não 
significa que a aula será fácil, muito pelo contrário.
Mas, antes, uma dica de concurseiro.
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DICAS DE UM CONCURSEIRO
Estamos em uma época farta de concursos bons, tais 
como Receita, ISS/SP, e, quem sabe em breve, AFT. Não 
fiquem empolgados demais de forma a perder seu foco. 
Muitas vezes, o concurseiro fica tão empolgado que se 
esquece de focar no seu objetivo. Tentem manter a calma 
e pensem como seria bom se você atingisse o seu 
objetivo.
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1. Distribuição conjunta de variáveis discretas
Muitas vezes um experimento gera valores para mais de uma variável, ou seja, um 
mesmo ponto amostral se refere a valores de mais de uma variável.
A título de ilustração, suponha que você faça uma pesquisa em vários lares que 
adotaram até 3 animais, podendo ser gatos ou cachorros. Neste caso, você pode ter 
duas variáveis, uma primeira (X) que indicaria a quantidade de gatos adotados em 
cada lar, e uma segunda variável binária, que assumiria valor igual a 1 se o primeiro 
animal adotado for um gato. Assim:
X = quantidade de gatos adotados
y ( 1 ,se o primeiro animal adotado fo i um gato)
\ 0 , caso contrário )
Se nós colocarmos todas as possibilidades em uma tabela:
Resultados X Y
GGG 3 1
GCG 2 1
GGC 2 1
GCC 1 1
CGG 2 0
CGC 1 0
CCG 1 0
CCC | 0 0
A partir desta tabela, podemos construir a famosa tabela de dupla entrada de 
distribuição de probabilidade conjunta. Essa tabela irá nos mostrar qual a 
probabilidade de ocorrência conjunta de valores de ambas as variáveis. Veja a 
tabela abaixo.
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__ X
V 0 1 2 3
0 1/8 2/8 1/8 0
í
0 1/3 2/8 1/8
Para o entendimento de como “ler” esta tabela, tome o exemplo da primeira célula. 
A primeira célula é:
1
P{X, Y )=P {X = 0 e Y = 0) = O
Ora, o que está sendo dito é que a probabilidade (X) e (Y) assumirem valores iguais 
a zero, isso é, só serem adotados cachorros, é de 1/8.
O interessante é que podemos obter todas as informações importantes sobre as 
distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis, somente com base 
nesta tabela.
Por exemplo, você pode obter qual a probabilidade de o primeiro animal adotado ser 
um gato, independentemente da quantidade de animais adotados. Assim, o que 
você estaria buscando é:
P(Y = 1 ) = ?
Esse é o caso que chamamos de probabilidade marginal. A probabilidade 
marginal de um evento é a sua probabilidade de ocorrência, independente do valor 
assumido pela outra variável. No presente caso:
1 2 1 4 1
P(y = 1> = 0 + 8 + 8 + 8 = 8 = 2 = 50%
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Você entendeu o que fizemos? Nós apenas somamos todos os elementos ao longo 
da linha que especifica Y = 1.
Da mesma forma, poderíamos obter as probabilidades marginais de X ao somarmos 
as colunas. Por exemplo:
Em outros termos, o que se está fazendo é avaliar qual a probabilidade de 
ocorrência de:
P(X = 1) = P((X = 1 e Y = 0) ou (X = 1 e Y = 1))
Isso facilita a visualização da forma como a probabilidade marginal é obtida por 
meio do cálculo da probabilidade da ocorrência de Y independentemente do valor de 
X.
Além disso, nós podemos usar a tabela de dupla entrada para encontrarmos as 
probabilidades condicionais. Lembra-se da fórmula? Para dois eventos quaisquer 
(A e 5), a probabilidade de ocorrência de A dado que B já ocorreu é dada por:
Então, agora podemos calcular esta probabilidade para valores específicos de cada 
evento, sendo que será bem mais fácil.
Vamos a um exemplo. Qual é a probabilidade de adotarmos 3 gatos, dado que a 
primeira adoção foi um felino? Ora, isso é a mesma coisa que:
P(X = 3\Y = 1)
P(X = 3 e Y = 1) 
P(Y = 1)
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O denominador é a própria probabilidade marginal de Y = 1. Essa é fácil de 
encontrar, pois basta somar todas as entradas ao longo da linha que indica este 
valor:
A probabilidade conjunta fica fácil de encontrar na tabela, pois basta procurar a 
entrada relativa ao que estamos procurando, no caso X = 3 e Y = 1 . Se você olhar 
na tabela você encontrará:
P(.X = 3 e Y = 1 ) = l
Olha só como encontrar:
Viu? Basta procurar a intersecção relativa às probabilidades procuradas. Essa 
intersecção vai te dizer qual a probabilidade de X e Y assumirem determinados 
valores. Assim, o valor procurado é dado por:
P(X = 3\Y = 1)
P(X = 3 e Y = í) (g)
P(Y = 1 ) 4
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Assim, podemos colocar o formato da tabela de uma forma mais didática:
\ X
y
0 1 2 3
0 P(X=0 e Y=0) P(X=1 e Y=0) P(X=2 e Y=0) P(X=3 e Y=0)
1 P(X=0 e Y = l) P(X=1 e Y = i) P(X=2 e Y = l) P(X=3 e Y = l)
Assim fica fácil encontrar qualquer probabilidade condicional. A título de ilustração 
imagine que queiramos saber a probabilidade de uma pessoa ter 2 gatos adotados 
dos seus 3 animais, sendo que o primeiro foi um cachorro. Esta pergunta é 
equivalente a:
Primeiramente, precisamos calcular a probabilidade marginal para Y = 0:
O que já era meio que óbvio, certo? Pois, como sabíamos que esta variável só pode 
assumir dois valores, se P(Y = 1) = 1 / I , então P(Y = 0) = 1 /2 .
Assim, consultando a tabela podemos encontrar a probabilidade condicional em 
questão, dada por:
P(X = 2| Y = 0)
P(X = 2 e Y = 0) (g)
P(r = 0) - ( i )
1
4
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Agora, eu quero que vocês prestem atenção em algo importante: a 
independência entre as variáveis.
Isso vem causando dúvidas em alguns alunos, a definição de independência. No 
nosso exemplo, dizer que as variáveis são independentes é o mesmo que defini-las 
da seguinte forma:
Ou seja, as probabilidades condicionais são iguais às respectivas probabilidades 
marginais. Por exemplo,X será independente de Y se a sua probabilidade 
condicionada a esta variável for igual a sua probabilidade marginal.
Assim, nós podemos saber se as variáveis do nosso exemplo são independentes. 
Veja o exemplo que resolvemos:
Viram? A probabilidade de X ser igual a 2 muda se condicionarmos tal valor a Y = 0 
(de 1/8 para 1/4). Ou seja, estas variáveis não são independentes!
2. Esperança e Covariância
Nós já estudamos o conceito de esperança, então vamos aplica-lo ao nosso estudo 
de distribuições conjuntas. Para encontrarmos a esperança de uma variável, basta 
aplicarmos o conceito à distribuição marginal de uma variável. Só lembrando:
P(X\Y) = P(X) 
P(Y\X) = P(Y)
P(X = 2\Y = 0) =
P(X = 2 e Y = 0) 
P(Y = 0)
1
4
E (X )= X 1 -P1 +X2 -P2 ...Xn -Pn
Sendo Pn a probabilidade associada a variável Xn.
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Assim, a esperança de Y é dada por:
Entendeu? Agora fica fácil encontrar a variância da variável, pois nós já sabemos 
que:
Então, basta encontrarmos a esperança dos quadrados para definirmos a seguinte 
função:
Viu? Não tem segredo para encontrar a variância de uma variável! O que nós 
precisamos estudar ágora é um conceito ligado à variância conjunta de duas 
variáveis: a covariância.
-“Variância conjunta, professor”?
É isso aí! O que nós vamos tentar encontrar é uma medida que expressa o quanto 
duas variáveis "flutuam em conjunto”. Isso é feito por meio do valor médio do 
produto dos desvios de duas variáveis.
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Variància = média dos quadrados — quadrado da média
Var(Y) = E(Y2) - [E(Y)]2
Então, vamos calcular a esperança dos quadrados:
Portanto, a variância desta variável será dada por:
1 1 z 1
Var(Y) = E(Y2) - [ E ( Y ) ] 2 = - - { - j = -
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Como é que é”?
Vamos por partes. Defina covariância:
A covariância é o valor médio do produto dos desvios entre duas variáveis 
(X e Y). Assim, para duas variáveis quaisquer, defina a covariância como:
Porém, há uma forma mais simples de aplicarmos esta fórmula:
Cov(X, Y) = E(X ■ Y) - E(X) ■ E(Y)
Cov(X, Y) = média dos produtos — produto da média
Bom, a forma mais simples de encontrarmos a covariância é com base no segundo 
método acima descrito. Vamos fazer isso para nosso exemplo. Nós podemos 
encontrar a esperança de cada uma das duas variáveis isoladamente de forma bem 
simples, tal como demonstramos acima. Assim, precisamos encontrar a esperança 
do produto das mesmas!
Isso é feito da seguinte forma, vamos rearranjar os valores da nossa tabela de 
forma a encontrarmos as probabilidades dos produtos das variáveis. Assim:
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X Y XY
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
0 1 0
1 1 1
2 1 2
3 1 3
Agora faça assim, veja qual a probabilidade deste produto ocorrer na tabela lá em 
cima. Assim, fica fácil. Vamos calcular a esperança dos produtos:
E(X ■ Y)
1 2 1
+ 0'■ + 0 ' ■ —
8 8 8
8
8
1
Nós ainda não calculamos a esperança de X, então vamos a ela:
1 3 3 1 10
E{X) = 0- + 1 -ES 2 ■ + 1 - = =1,25
w 8 8 8 8 8 '
Agora, vamos calcular a covariância:
Cov(X, Y) = E(X ■ Y) - E(X) ■ E(Y) = 1 - 1,25 ■ 0, 5 = 0 ,375
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A covariância é utilizada para indicar um grau de "associação entre as variáveis”. Se 
as variáveis estiverem positivamente (negativamente) correlacionadas, a 
covariância será positiva (negativa).
Por exemplo, as variáveis "renda média” e "gastos em consumo” de uma economia 
tendem a estar positivamente correlacionadas, de forma que, na média, quanto 
maior a renda, maior deve ser o gasto em consumo. Neste caso, a covariância entre 
tais variáveis deve ser positiva.
Se duas variáveis são independentes, a sua covariância é zero! Porém, atenção, o 
fato de a covariância ser igual a zero não significa que duas variáveis são 
independentes.
Ótimo! Vamos aprofundar um pouco mais e estudar os mesmos conceitos 
para distribuições contínuas.
3. Distribuição conjunta de variáveis contínuas - tema extra
O que vamos falar agora é um assunto mais complicado. Portanto, não precisa ficar 
desesperado, pois isso quase nunca é cobrado em concurso (a não ser em 
concursos mais específicos).
A distribuição conjunta de variáveis contínuas é dada por uma função similar a 
nossa famosa função densidade de probabilidade (fdp): a função densidade 
conjunta (fdc).
A fdc para duas variáveis quaisquer, X e Y, é dada por:
fdc = f{X,Y)
Esta função tem características semelhantes da nossa fdp. Vamos complicar sua 
vida um pouquinho (hora de lembrar-se dos conceitos básicos de cálculo):
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1 ) fÇX, Y ) > 0
2 ) j j f (X ,Y )d X d Y = 1
-“Não entendi nada! Você está doido, professor!”
Calma, vamos por partes.
A primeira propriedade tem a ver com o fato de que, tal como uma fdp, a fdc é 
ligada ao conceito de probabilidade de ocorrência. Portanto, o menor valor que a 
mesma pode assumir é zero, pois não há como a "probabilidade” de ocorrência de 
um evento ser negativa.
A segunda propriedade nos diz que o somatório (lembre-se de que o conceito de 
integral está intimamente relacionado a somatório) das duas variáveis, para todas 
suas ocorrência possíveis, deve ser igual a 1. Isso está nos dizendo que a 
probabilidade de ocorrência de qualquer elemento contido no espaço amostral é 
igual a 1. Lembre-se do conceito de distribuição de probabilidade acumulada!
-“Mas, para que isso”?
Vejam o seguinte exercício.
Exercício 1
Dada a seguinte fdc:
p a ra 0 < x < 1 e 
0, caso contrárh
Determine o valor de “ A” .
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Resolução
Ora, vocês sabem que:
+ to + to
f(x ,y )d x d y = 1
— TO — TO
Assim, primeiro vamos resolver para x e depois para y. Bom, primeiramente, vamos 
definir os intervalos superiores e inferiores para as duas variáveis, o que pelo 
enunciado sabemos que são 0 e 1 para ambas as variáveis.
i i
j j f(x ,y )d x d y = 1 
o o
Agora, vamos substituir a função específica:
i i
j j Axydxdy = 1
0 o
Resolver para x basta integrar a função nesta variável e tirar a outra para fora como 
se fosse uma constante (junto com A).
1 i
w xdxdy = 1 
o o
Bom, vocês já aprenderam qual a integral de x, certo? Ora, é o valor que derivado 
gerax . Assim:
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Derive esta função para ver que isso é verdade! Então, vamos resolver a integral 
definida lá em cima:
1
Assim, defina a função neste intervalo e diminua o valor do intervalo inferior do 
superior:
1
2
d y = l
Agora, integre com relação a y:
i ,
l M
f A - - - y d y = J - y d y = l
A integral de y é fácil, pois é igual a de x. Então:
A
2
= l
A l 2 0 2
- T _ T
A
2
1
2 .
= l
A
4
l ^ A = A
Verdade! Não é nada trivial, mas dá para fazer, caso seja necessário.
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Veja que a integral deve ser definida dentro do intervalo que se deseja 
analisar, portanto se você quiser avaliar outro intervalo, basta mudar o 
intervalo em que você está definindo a integral. Vamos ver como isso é feito 
nos exercícios.
Bom, vamos continuar com alguns conceitos importantes que já discutimos, mas 
aplicados ao caso de variáveis contínuas, tal como a distribuição marginal para 
cada variável.
Olhe, até agora nós encontramos as distribuições marginais por meio da 
probabilidade de que esta assuma um determinado valor independentemente do 
que acontece com as demais. Na verdade, nós “somávamos” as linhas ou colunas 
da nossa tabela de dupla entrada de distribuição conjunta.
O que vamos fazer no caso de variáveis contínuas é muito semelhante. Vamos 
“somar” as probabilidades de que uma variável assuma um valor ao longo de um 
intervalo, independentemente do valor assumido pelas demais.
Exercício 2
Dada a seguinte fdc:
p a ra 0 < x < 1 e 
0, caso contrárh
Encontre a função densidade de probabilidade marginal para .
Resolução
-“Função densidade de probabilidade marginal, professor”?
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Exatamente. Pense comigo, se nós integrarmos a função acima, mas sem definir 
um intervalo, nós teremos uma função como resultado de tal operação.
Veja, vamos integrar esta função com relação a x, tratando y como uma constante:
Viram? Esta é uma função de y! Ou seja, para qualquer valor de x, a probabilidade 
de um determinado intervalo só depende de y. Intuitivamente, o que estamos 
fazendo é "somar” as probabilidades de y para todos os valores possíveis de x. Esta 
é a função densidade de probabilidade marginal. Se vocês quiserem saber a 
probabilidade de um determinado intervalo, basta integrar a função com relação a y 
e definir a integral no intervalo desejado.
Retornando.
Bom, nós podemos retirar qualquer informação de uma determinada fdc, tal 
como variância e covariância. Porém, a maior parte disso não será importante 
para o seu concurso. Mas, algumas coisas podem ser importantes, tal como a 
esperança de uma variável, bem como o cálculo da probabilidade condicional.
A esperança é fácil, pois nós já vimSs como fazer isso na nossa aula anterior. 
Vamos usar nosso exemplo para facilitar. A diferença é que nós vamos nos basear 
na já calculada função de distribuição marginal.
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Exercício 3
Dada a seguinte fdc:
para O C x C l e 0 < y < l 
0, caso contrário
Encontre a esperança de y .
Resolução
Bom, se você quiser a esperança de uma variável, primeira coisa a fazer é calcular 
sua função de distribuição marginal. No caso de y, se chamarmos a função de 
distribuição marginal de g(y), já temos isso calculado:
Agora é só fazer o que você já sabe, "somando” todos os valores possíveis de y 
multiplicados pela sua "probabilidade”. Ora, nós já vimos que isso é:
g(y) = 2 y
i
EÇy) = I y 2ydy
o
Essa é a nossa esperança! Agora é só integrar.
i
0
iv3! 1 n 3 o3i 2
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Percebe que no final das contas é a mesma coisa que estudamos na aula 
anterior? A única diferença é que você tem que encontrar a distribuição 
marginal primeiro.
Para finalizarmos, vamos ver como podemos encontrar as probabilidades 
condicionais. Ou seja, se eu te perguntar, qual a probabilidade de que uma variável 
esteja em um determinado intervalo, dado que a outra está em outro, como 
encontrar tal valor? Pense em termos da nossa antiga fórmula:
Agora aplique ao nosso caso contínuo:
Legal, agora você consegue encontrar a probabilidade condicional. Vamos a mais 
um exemplo.
Exercício 4
Dada a seguinte fdc:
Encontre a função que define / x|y.
Resolução
Bom, nós já temos calculados, dos exercícios anteriores, / (y ) e, pelo enunciado, 
sabemos /(x ,y ), portanto:
h l y ~ f(y)
para 0 < x < 1 e 
0, caso contrárh
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, / ( * . y ) 4xy ^
h 'y - f ( y) “ 2y ~ i x
Veja que resultado interessante você chegou. A probabilidade condicional de 
x dado y é igual à probabilidade marginal de x . O que isso quer dizer mesmo? 
Isso! As variáveis são independentes! Veja no caso de y :
Assim, as variáveis são independentes pois:
/(x|y) = g {x )
f(y\x ) = g (y )
Boa pessoal, vamos praticar um pouco!
Exercício 5
(MTUR - ESAF/2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; 
P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos dependentes.
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos.
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes.
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes.
e) P(ADB) = 0 e os eventos são independentes.
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Resolução
Perceba o que está ocorrendo:
PC4) = P(A\B) = 0, 2 5
Portanto, os eventos são independentes. Se A é independente de B, então B é 
independente de A. Portanto:
P(fl) = P(B\A) = 0, 5
Alternativa (d).
Exercício 6
(MTUR - ESAF/2014) Uma variável aleatória contínua x possui função 
densidade dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3x2 para 0 < x < 1; f(x) = 0 para x > 
1. Desse modo, a expectância de x é igual a:
a) 1/3
b) 3/4
c) 1/4
d) 1/2
e) 1/5
Resolução
Vamos definir nosso problema de forma matemática, pois fica mais fácil de 
visualizar:
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3 x 2,se 0 < x < 1 
0, caso contrário
A esperança (também chamada de expectância) é dada por:
E{x) = I x ■ 3 x2 dx
o
Vamos resolver:
E{x) = I 3 x 3 dx = 3 I x 3 dx = 3
x 4! 1 _ 3 14 041 _ 3
4 4 4 4o
Alternativa (b).
Exercício 7
(MTUR - ESAF/2014) Considerando a variável aleatória contínua bidimensional 
definida por f(x,y) = 6xy para 0 < x < 1 e 0 < y < 1, então a probabilidade de 
conjuntamente ocorrer 0 < x < 0,5 e 0 < y < 0,5, ou seja, P(x < 0,5 , y < 0,5) é 
igual a:
a) 2/3
b) 1/8
c) 3/62
d) 3/32
e) 1/6
Resolução
Ótima forma de treinar um intervalo. O que o exercício está pedindo é:
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Entendeu? Ora, você quer calcular o valor acumulado de probabilidade até 0,5 para 
cada uma das variáveis contínuas, portanto, integre a função e a defina até tal valor.
Vamos lá, começando por x:
0,5 0,5
I I 6xydxdy =
o o
0,5 0,5 0,5
6y I xdxdy = I 6y
0 0 0
0,5 ±
dy = J 6y Qdy
Agora, vamos integrar em y:
6 1 
8 8
6
64
3
32
Alternativa (d).
Exercício 8
(INEA - FGV\2013) Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de 
probabilidade conjunta dada na tabela a seguir
A probabilidade condicional P[X = 0 | y = 2] é igual a
a) 30%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 60%.
e) 70%.
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Resolução
Pessoal, a melhor forma de fazer este exercício é por meio de um raciocínio inverso, 
gerando a tabela que teria dado origem a esta "tabela resumida". Pense e você verá 
que ela tem a seguinte forma:
x\y 0 1 2
0 0,2 0,1 0,3
1 0 0,2 0,2
Perceba que as probabilidade acima já somam 1, portanto pode-se concluir que o 
elemento (x,y) = ( 1, 0 ) tem probabilidade de ocorrer igual à zero.
Assim, basta fazer o seguinte cálculo:
P(x = 0|y = 2)
P(x = 0 e y = 2)
P(y = 2 )
Vamos encontrar a probabilidade de y=2:
P(y = 2 ) = 0, 3 + 0, 2 = 0 ,5
Olhando na tabela, nós sabemos que P(x = 0 e y = 2) = 0, 3, portanto:
P(x = 0|y = 2 )
P(x = 0 e y = 2 ) 0, 3
P(y = 2 ) = Õ5
0, 6 = 6 0 %
Alternativa (d).
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(IMESC - VUNESP/2013) Leia o enunciado a seguir para responder às 
questões de números 9 e 11.
Uma variável aleatória contínua tem a função de distribuição de probabilidade
dada por:
f(x) = 2x; 0 < x < 1;
f(x) = 0 fora desse intervalo.
Exercício 9
Então, a probabilidade de que x seja menor do que 0,8 é igual a
a) 0,84.
b) 0,78.
c) 0,70.
d) 0,64.
e) 0,60.
Resolução
O que o exercício está pedindo é a probabilidade acumulada até 0,8. Nós já vimos 
que isso se faz assim:
0
Portanto:
P(0 < x < 0, 8) = I 2 xdx = 2 I xdx = 2
0,8 0,8
Alternativa (d).
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Exercício 10
O valor esperado é, aproximadamente,
a) 0,25.
b) 0,38.
c) 0,50.
d) 0,58.
e) 0,67.
Resolução
Nós já sabemos que para encontrar o valor esperado precisamos fazer a seguinte 
operação:
x ■2xdx
Assim:
E (x) = | x ■ 2 xdx = 2 | x z dx = 2 ■ = 2 - — =
o o 3 o 3 3 3
Isso é, aproximadamente, 0,67.
Alternativa (e).
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mais
X INDO
fundo Exercício 11
A variância da variável aleatória é, aproximadamente,
a) 0,01.
b) 0,06.
c) 0,11.
d) 0,18.
e) 0,22.
Resolução
Vamos aprofundar um pouco? Não é difícil, você vai ver.
Qual o jeito mais fácil de calcular a variância?
variància = média dos quadrados — quadrado da média = E (x 2) — [£ (x)]2
Ora, o segundo membro nós já temos, pois basta elevar o resultado do exercício 
anterior ao quadrado.
E o primeiro membro?
E {x 2 ) = 1 *2 ■ 2 xdx
Viu? Nada demais. Agora encontre este valor!
E{x) = I x2 ■ 2 xdx = 2 I x 3 dx = 2
4
= 2 ■
i 4 0 ̂ _ 2 _ 1
T ~ T ~ 4 ~ 2
Portanto:
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Var(x) = E(x2) - [£(x)]2 \ - \ = 0’ 5 -0 ,44 = 0,06
Alternativa (b).
Exercício 12
(DEGASE - CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de:
a) 0,48
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,89
e) 0,90
Resolução
Vamos fazer uma questão de probabilidade para treinar um pouco.
Se dos 20 homens 20% foram aprovados:
Aprovados = 20 x 80% = 1 6
Já das mulheres:
Aprovadas = 1 0 x 9 0 % = 9
Assim, a probabilidade, dentre os aprovados, de selecionarmos um homem é de:
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16
P(homem\aprovado) = ̂̂ + g = ^ ̂
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Alternativa (c).
Exercício 13
(DEGASE - CEPERJ/2012) A distribuição apresenta assimetria negativa, que é 
caracterizada, tipicamente, pelas seguintes relações:
A) média < mediana < moda
B) média < moda < mediana
C) moda < média < mediana
D) moda < mediana < média
E) mediana < moda < média
Resolução
Basta lembrar-se de como é uma distribuição de assimetria negativa:
Alternativa (a).
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Exercício 14
(DEGASE - CEPERJ/2012) Dois candidatos A e B irão realizar prova para 
determinado concurso. Supondo que a probabilidade de o candidato A ser 
aprovado é de 0,40 e a probabilidade de o candidato B ser aprovado é de 0,30, 
e que a aprovação ou não de um dos candidatos não interfere nas chances de 
aprovação do outro candidato, a probabilidade de ambos serem aprovados no 
concurso é de:
a) 0,10
b) 0,12
c) 0,30
d) 0,40
e) 0,70
Resolução
Questão muito fácil. Como a probabilidade de um candidato ser aprovado não 
interferenas chances do outro, a probabilidade de os dois serem aprovados é de:
P(A ser aprovado) x P(B ser aprovado) = P(A e B serem aprovados)
Assim:
P(A e B serem aprovados) = 0,4 x 0, 3 = 0 ,12
Alternativa (b).
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Exercício 15
(IBGE - CESGRANRIO/2010) Um comitê é formado por três pesquisadores 
escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de 
não haver nenhum estatístico é
a) 1/ 35
b) 4/35
c) 27/243
d) 64/243
e) 3/7
Resolução
Esta é aquela questão clássica de probabilidade.
Qual é a probabilidade de 1 sucesso? Bom, é:
Isso é, o valor de hum (1) (o conjunto formado por "economista”, "economista” e 
"economista”) dividido pela quantidade de combinações possíveis. Assim:
1
P(sucesso) =
W,3
1 1
35
P(sucesso) =
Alternativa (a).
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Exercício 16
(STN - ESAF/2008) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e 
somente se:
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
Resolução
Questão puramente teórica. Os eventos são independentes se a ocorrência de um 
não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.
Alternativa (d).
(BACEN - CESPE/2013) Considerando que um investidor obtenha retornos 
diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 
0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes.
Exercício 17
A probabilidade de o investidor obter retorno superior a R$ 40,00 é maior que 
25%.
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Resolução
Esta questão é muito fácil, pois a probabilidade de obtermos retornos superior a R$ 
40,00 é a soma das probabilidade de obtermos R$ 50,00 e R$ 100,00:
P(R $ 5 0) + P(R $ 100) = 0,2 5 + 0,0 5 = 0, 30 = 30%
Alternativa correta.
Exercício 18
O retorno diário esperado pelo investidor é inferior a R$ 20,00.
Resolução
Vamos tirar a esperança do processo:
EÇretorno) = 0, 7 ■ 1 0 + 0, 2 5 ■ 50 + 0,05 ■ 100 = 24, 5 
Alternativa errada.
Exercício 19
Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, 
então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é 
maior que 73%.
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Resolução
Esta questão já foi muito discutida no meio dos concursos. Seu gabarito consta 
como correta, porém, já foi mais do que mostrado, que ela está errada!
Vamos ver o que houve.
Olhe, como os eventos são independentes a probabilidade de intersecção de 
ambos é igual ao produto de suas probabilidades:
P ( 1 0 n 1 0 0) = P ( 1 0 ) ■ P ( 1 0 0) = 0, 7 • 0,0 5 = 0 ,0 3 5
-“Para que isso é necessário”?
Ora, o que está sendo pedido é:
P ( 1 0 U 1 0 0) = ?
Assim, nós já sabemos que:
p ( 1 0 n 1 0 0) = P ( 1 0) + P ( 1 0 0) - P ( 1 0 n 1 0 0)
Substituindo os valores:
P ( 1 0 n 1 0 0) = P ( 1 0) + P ( 1 0 0) - P ( 1 0 n 100) = 0, 7 + 0,05 - 0,03 5 = 0 ,7 1 5
Ou seja, o item está errado! Porém o gabarito consta como certo. O problema é que, 
para chegarmos no resultado do gabarito, precisaríamos considerar os eventos 
como dependentes (mutuamente exclusivos, na verdade), o que vai contra o próprio 
enunciado.
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Exercício 20
(Ministério das Cidades - CETRO/2013) Para construir o boxplot, utilizam-se 
as seguintes medidas, exceto:
a) valor mínimo.
b) primeiro quartil.
c) mediana.
d) valor máximo.
e) variância.
Resolução
Vamos nos lembrar do "boxplot”:
35 quartil
Mediana
15 quartil
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Neste caso, nós temos os quartis, a mediana e os valores extremos. Portanto, das 
alternativas, o único parâmetro que não consta é a variância.
Alternativa (e).
Exercício 21
(Ministério das Cidades - CETRO/2013) Com relação a covariância, assinale a 
alternativa correta.
a) Se duas variáveis são diretamente correlacionadas, a covariância e 
negativa.
b) A covariância e o único elemento que define a dependência entre duas 
variáveis.
c) Se duas variáveis são inversamente correlacionáveis, a covariância esta 
entre 0 e 1.
d) Se duas variáveis são independentes, a covariância é zero.
e) A covariância não é um bom elemento para definir a correlação entre as 
variáveis.
Resolução
Questão puramente conceitual.
a) Neste caso, a covariância é positiva.
b) Não, pois há diversas formas de mensurar a dependência.
c) Errado, pois, neste caso, a covariância é negativa.
d) Perfeito, conforme definição.
e) Essa é justamente uma das utilidades da covariância.
Alternativa (d).
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(ICMS-SP - FCC\2009) Para resolver às questões de números 22 e 23, 
considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição 
dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um 
ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe 
iguais a x e y, respectivamente.
II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo).
Valores A rrecadados (R$) Frequências Relativas
1.000.00 I---------- 2 .000,00 0,10
2.000,00 I----------3 .000,00 X
3.000,00 I---------- 4 .000,00 V
4.000,00 I---------- 5 .000,00 0,20
5.000,00 I---------- 6 .000,00 0,10
Total 1,00
Exercício 22
A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais 
a R$ 3.000,00 é
a) 70%
b) 65%
c) 55%
d) 45%
e) 40%
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Resolução
Bom, nós vamos precisar de 2 equações para encontrarmos estas duas incógnitas.
A primeira é fácil, dado que a soma das frequências relativas deve ser igual a 1:
0, 1 + x + y + 0, 2 + 0, 1 = 1 ^ x + y = 0,6
A segunda equação vem da afirmação II, no que se refere a média aritmética com 
os pontos médios das classes. Os pontos médios serão o valor inferior da classe 
mais R$ 500,00, pois a amplitude da classe é de R$ 1.000,00. Assim, para 
encontrar a média:
1500 x 0, 1 + 2 500 X x ! 3 500 x y + 4500 x 0,2 + 5 500 x 0, 1 = 3 3 50 
Rearranjando a expressão acima:
150 + 2 500x + 3 500y + 900 + 550 = 3 3 50 ^ 2500x + 3500y = 1750 
Bom, com base na primeira equação, sabemos que:
x = 0, 6 — y
Substituindo na segunda:
2 500 ( 0,6 - y ) + 3 500y = 1 750 ^ 1500 - 2 500y + 3 500y = 1 7 5 0
Portanto:
1000y = 2 50 ^ y = 0, 2 5 
Com base na primeira equação:
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x = 0, 6 — 0, 2 5 = 0, 3 5
Assim, fica fácil encontrar a porcentagem de recolhimentos superiores a R$ 3.000:
Recolhimentos > 3.000 = y + 0,2 + 0, 1 = 0,55 = 55%
Alternativa (c).
Exercício 23
Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva 
mediana é
(A) R$ 3.120,00
(B) R$ 3.200,00
(C) R$ 3.400,00
(D) R$ 3.600,00
(E) R$ 3.800,00
Resolução
Agora que conhecemos x e y, sabemos que até x acumulam-se 45% das 
observações e até y 70%. Portanto, a mediana está na classe do y e corresponde a 
5% das observações nesta classe. Assim:
0,2 5 0,0 5
w õ õ ~ —
Ou seja, uma amplitude de 1.000 corresponde a 25%, assim como 5% corresponde 
a x. Resolvendo:
0,2 5 x = 50 ^ x = 2 0 0
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Portanto, a mediana é iguala a soma do limite inferior da classe mais R$ 200,00:
m ediana = 3 000 + 2 00 = 32 00
Alternativa (b).
Exercício 24
(TRT 16ã - FCC\2014) Uma população, considerada de tamanho infinito, 
apresenta uma distribuição normal com média p e uma variância populacional 
igual a 576. Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 extraída 
desta população, obteve-se um intervalo de confiança para p igual a [194,48 ; 
205,52], com um nível de confiança de (1 - a). Considerando uma outra 
amostra aleatória desta população, independente da primeira, de tamanho 144 
obteve-se um novo intervalo de confiança para p com um nível de confiança (1 
- a). A amplitude deste novo intervalo é igual a:
a) 8,00.
b) 9,20.
c) 8,60.
d) 9,60.
e) 9,84.
Resolução
Como encontrar a amplitude?
Pense:
a
X = p ± z -
Vn
Assim, nós sabemos que, no caso da primeira amostra:
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194,48 = p — z- —
y n
2 05,52 = p + z - —
y n
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Nós sabemos o valor do desvio padrão populacional (o) e do tamanho da amostra
(n):
24
194,48 = u — z- ■
^ 10
24
2 05, 52 = p + z - ■
Agora é só resolver o sisteminha:
24
194,48 + z- = p
Substituindo na equação de baixo:
I 24 \ 24
2 05, 52 = (1194,48 + z - — = j + z - —
24
1 1, 0 4 = 2-z-
10
z = 2,3
Assim:
24
194,48 + 2,3 - = p = 2 0 0
Agora, vamos encontrar a amplitude do intervalo de confiança da segunda amostra, 
já que conhecemos z. A amplitude do intervalo é tão somente:
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o
2 ' z ' ~ ^
Ora, você não vai somar e diminuir este valor da média a fim de encontrar o 
intervalo de confiança? Então, a amplitude será dada por duas vezes este valor, 
pois este valor será acrescentado a este intervalo do lado esquerdo e direito. Assim:
a 2 4
2 ' z ' = 2 ' 2 ,3 ' = 9 ,2
Alternativa (b).
Exercício 25
(MI-CENAD - 2011\ESAF) A distribuição de frequências em classes do salário 
mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória 
de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir.
X f
mais de 0 a 10 2 2
mais de 10 a 20 13
mais de 20 a 30 10
mais de 30 a 40 3
mais de 40 a 50 2
Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal.
a) 14,5
b) 15,0
c) 15,8
d) 16,1
e) 16,5
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Resolução
Bom, vamos refazer a tabela com base nos respectivos pontos médios:
x f f(%)
5 22 0,44
15 13 0,26
25 10 0,2
35 3 0,06
45 2 0,04
A terceira coluna refere-se à frequência relativa de cada observação. Assim, fica 
fácil encontrar a média:
5 x 0,44 + 15 x 0,2 6 + 2 5 x 0,2 + 3 5 x 0,06 + 45 x 0,04
M édia = = 1 5
Alternativa (b).
Exercício 25
(MI-CENAD - 2011\ESAF) Determine o valor mais próximo da mediana do 
salário mensal da distribuição de frequências apresentada na Questão 24, 
interpolando linearmente dentro das classes, se necessário.
a) 15
b) 14,3
c) 13,7
d) 12,3
e) 7,3
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Resolução
É fácil verificar que a mediana está na segunda classe, dado que a primeira 
acumula 44% das observações e a segunda 26%. Portanto, precisamos de 6% da 
segunda classe para completarmos o acumulado de 50% das observações, que é a 
própria mediana.
Bom, como sempre, uma simples regra de três, a segunda classe tem 26% das 
observações com uma amplitude de 10 observações, tal como 6% das observações 
está para x:
26 6
= ^ 2 6x = 60 ^ x = 2, 3
1 0 x
Portanto, a mediana é o somatório do limite superior da 1â classe mais essa 
amplitude encontrada. Assim:
1 0 + 2, 3 = 12,3
Alternativa (d).
Exercício 26
(MI-CENAD - 2011\ESAF) Seja X uma variável aleatória contínua com função 
densidade de probabilidade constante no intervalo [0,2]. Determine sua 
variância.
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 5/7
e) 5/6
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Resolução
Pessoal, é só lembrar da fórmula que eu dei na aula 05, página 19.
{ f i - a ) 2
Vari ância(X) = —
Sendo a o limite inferior do intervalo e p o superior. Assim:
Alternativa (a).
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Lista dos exercícios resolvidos
Exercício 1
Dada a seguinte fdc:
p a r a 0 < x < 1 e 0 < y < l 
0, caso co n trá r io
Determine o valor de “ A” .
Exercício 2
Dada a seguinte fdc:
Í 4 xy, p a r a 0 < x < 1 e 0 < y < l }
’yy \ 0, caso co n trá r io )
Encontre a função densidade de probabilidade marginal para .
Exercício 3
Dada a seguinte fdc:
p a r a 0 < x < l e 0 < y < l 
0, caso co n trá r io
Encontre a esperança de .
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Exercício 4
Dada a seguinte fdc:
p a r a 0 < x < 1 e 0 < y < l 
0, caso co n trá r io
Encontre a função que define / x|y.
Exercício 5
(MTUR - ESAF/2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; 
P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos dependentes.
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos.
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes.
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes.
e) P(ADB) = 0 e os eventos são independentes.
Exercício 6
(MTUR - ESAF/2014) Uma variável aleatória contínua x possui função 
densidade dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3x2 para 0 < x < 1; f(x) = 0 para x > 
1. Desse modo, a expectância de x é igual a:
a) 1/3
b) 3/4
c) 1/4
d) 1/2
e) 1/5
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Exercício 7
(MTUR - ESAF/2014) Considerando a variável aleatória contínua bidimensional 
definida por f(x,y) = 6xy para 0 < x < 1 e 0 < y < 1, então a probabilidade de 
conjuntamente ocorrer 0 < x < 0,5 e 0 < y < 0,5, ou seja, P(x < 0,5 , y < 0,5) é 
igual a:
a) 2/3
b) 1/8
c) 3/62
d) 3/32
e) 1/6
Exercício 8
(INEA - FGV\2013) Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de 
probabilidade conjunta dada na tabela a seguir
A probabilidade condicional P[X = 0 | y = 2] é igual a
a) 30%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 60%.
e) 70%.
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(IMESC - VUNESP/2013) Leia o enunciado a seguir para responder às 
questões de números 9 e 11.
Uma variável aleatória contínua tem a função de distribuição de probabilidade
dada por:
f(x) = 2x; 0 < x < 1;
f(x) = 0 fora desse intervalo.
Exercício 9
Então, a probabilidade de que x seja menor do que 0,8 é igual a
a) 0,84.
b) 0,78.
c) 0,70.
d) 0,64.
e) 0,60.
Exercício 10
O valor esperado é, aproximadamente,
a) 0,25.
b) 0,38.
c) 0,50.
d) 0,58.
e) 0,67.
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ê INDO
Tnais fundo Exercício 11
A variância da variável aleatória é, aproximadamente,
a) 0,01.
b) 0,06.
c) 0,11.
d) 0,18.
e) 0,22.
Exercício 12
(DEGASE - CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de:
a) 0,48
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,89
e) 0,90
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Exercício 13
(DEGASE - CEPERJ/2012) A distribuição apresenta assimetria negativa, que é 
caracterizada, tipicamente, pelas seguintes relações:
A) média < mediana < moda
B) média < moda < mediana
C) moda < média < mediana
D) moda < mediana < média
E) mediana < moda < média
Exercício 14
(DEGASE - CEPERJ/2012) Dois candidatos A e B irão realizar prova para 
determinado concurso. Supondo que a probabilidade de o candidato A ser 
aprovado é de 0,40 e a probabilidade de o candidato B ser aprovado é de 0,30, 
e que a aprovação ou não de um dos candidatos não interfere nas chances de 
aprovação do outro candidato, a probabilidade de ambos serem aprovados no 
concurso é de:
a) 0,10
b) 0,12
c) 0,30
d) 0,40
e) 0,70
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Exercício 15
(IBGE - CESGRANRIO/2010) Um comitê é formado por três pesquisadores 
escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de 
não haver nenhum estatístico é
a) 1/ 35
b) 4/35
c) 27/243
d) 64/243
e) 3/7
Exercício 16
(STN - ESAF/2008) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e 
somente se:
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
(BACEN - CESPE/2013) Considerando que um investidor obtenha retornos 
diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 
0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes.
Exercício 17
A probabilidade de o investidor obter retorno superior a R$ 40,00 é maior que 
25%.
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Exercício 18
O retorno diário esperado pelo investidor é inferior a R$ 20,00.
Exercício 19
Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, 
então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é 
maior que 73%.
Exercício 20
(Ministério das Cidades - CETRO/2013) Para construir o boxplot, utilizam-se 
as seguintes medidas, exceto:
a) valor mínimo.
b) primeiro quartil.
c) mediana.
d) valor máximo.
e) variância.
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Exercício 21
(Ministério das Cidades - CETRO/2013) Com relação a covariância, assinale a 
alternativa correta.
a) Se duas variáveis são diretamente correlacionadas, a covariância e 
negativa.
b) A covariância e o único elemento que define a dependência entre duas 
variáveis.
c) Se duas variáveis são inversamente correlacionáveis, a covariância esta 
entre 0 e 1.
d) Se duas variáveis são independentes, a covariância é zero.
e) A covariância não é um bom elemento para definir a correlação entre as 
variáveis.
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(ICMS-SP - FCC\2009) Para resolver às questões de números 22 e 23, 
considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição 
dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um 
ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe 
iguais a x e y, respectivamente.
II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo).
Valores A rrecadados (R$) Frequências Relativas
1.000,00 I---------- 2 .000,00 0,10
2.000,00 I----------3 .000,00 X
3.000,00 I---------- 4 .000,00 V
4.000,00 I---------- 5 .000,00 0,20
5.000,00 I---------- 6 .000,00 0,10
Total 1,00
Exercício 22
A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais 
a R$ 3.000,00 é
a) 70%
b) 65%
c) 55%
d) 45%
e) 40%
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Exercício 23
Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva 
mediana é
(A) R$ 3.120,00
(B) R$ 3.200,00
(C) R$ 3.400,00
(D) R$ 3.600,00
(E) R$ 3.800,00
Exercício 24
(TRT 16ã - FCC\2014) Uma população, considerada de tamanho infinito, 
apresenta uma distribuição normal com média p e uma variância populacional 
igual a 576. Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 extraída 
desta população, obteve-se um intervalo de confiança para p igual a [194,48 ; 
205,52], com um nível de confiança de (1 - a). Considerando uma outra 
amostra aleatória desta população, independente da primeira, de tamanho 144 
obteve-se um novo intervalo de confiança para p com um nível de confiança (1 
- a). A amplitude deste novo intervalo é igual a:
a) 8,00.
b) 9,20.
c) 8,60.
d) 9,60.
e) 9,84.
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Exercício 25
(MI-CENAD - 2011\ESAF) A distribuição de frequências em classes do salário 
mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória 
de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir.
X f
mais de 0 a 10 2 2
mais de 10 a 20 13
mais de 20 a 30 10
mais de 30 a 40 3
mais de 40 a 50 2
Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal.
a) 14,5
b) 15,0
c) 15,8
d) 16,1
e) 16,5
Exercício 25
(MI-CENAD - 2011\ESAF) Determinp o valor mais próximo da mediana do 
salário mensal da distribuição de frequências apresentada na Questão 24, 
interpolando linearmente dentro das classes, se necessário.
a) 15
b) 14,3
c) 13,7
d) 12,3
e) 7,3
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Exercício 26
(MI-CENAD - 2011\ESAF) Seja X uma variável aleatória contínua com função 
densidade de probabilidade constante no intervalo [0,2]. Determine sua 
variância.
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 5/7
e) 5/6
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Gabarito
5 - d
6 - b
7 - d
8 - d
9 - d
10 - e
11 - b
12 - c
13 - a
14 - b
15 - a
16 - d
17 - C
18 - E
19 - C (?)
20 - e
21 - d
22 - c
23 - b
24 - b
25 - b
26 - d
27 - a
Mais uma etapa concluída. Continuem estudando firme!
Um abraço e bons estudos. 
jeronymo@estrategiaconcursos.com.br
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