EDO 1ª Ordem - Parte II

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
- Parte II
Equações Diferenciais de 1ª Ordem (II)
Lı́via Moreira Couto
Viçosa - MG
Julho/2021
1 Substituições em Equações de 1ª Ordem
Algumas equações de 1ª ordem podem ser transformadas em equações já vistas anteriormente, se
fizermos uma mudança de variáveis adequada.
1.1 Equações Homogêneas de 1ª Ordem
As equações homogêneas de 1ª ordem são equações da forma
dy
dx
= F(y/x), onde F(y/x) apesar de
depender de x e de y, depende apenas do quociente y/x.
Seja v = y/x. Então y = vx e, pela regra da cadeia,
dy
dx
= x
dv
dx
+ v. Substituindo este valor de
dy
dx
e y/x = v na equação
dy
dx
= F(y/x), obtemos x
dv
dx
+ v = F(v)⇒ xdv
dx
= F(v)− v. Multiplicando
por
1
x(F(v)− v)
temos
1
F(v)− v
dv
dx
=
1
x
, que é uma equação separável e já sabemos como encontrar a
solução geral.
Depois de encontrada a solução geral da equação
1
F(v)− v
dv
dx
=
1
x
, devemos substituir v = y/x para
encontrar a solução geral de
dy
dx
= F(y/x).
Exemplo: Considere a equação
dy
dx
=
y− x
y+ x
.
Dividindo numerador e denominador por x obtemos
dy
dx
=
y
x −1
y
x +1
.
Seja v =
y
x
. Então, y = vx⇒ dy
dx
= x
dv
dx
+ v.Substituindo o valor de
dy
dx
e
y
x
= v na equação obtemos
x
dv
dx
+ v =
v−1
v+1
⇒ xdv
dx
=
v−1
v+1
− v = v
2 +1
−1− v
. Multiplicando por
v+1
x(v2 +1)
esta equação se torna
v+1
v2 +1
dv
dx
=−1
x
.
Como
∫ v+1
v2 +1
dv =
∫ v
v2 +1
dv+
∫ 1
v2 +1
dv =
1
2
ln(v2 +1)+ arctgv, então a equação diferencial
tem solução
1
2
ln(v2 +1)+ arctgv =− ln |x|+ c⇒ ln |(v2 +1) 12 x|+ arctgv = c.
Substituindo v =
y
x
obtemos a solução
ln
∣∣∣∣∣
((y
x
)2
+1
) 1
2
x
∣∣∣∣∣+ arctg(yx)= c⇒ ln(y2 + x2) 12 + arctg(yx)= c.
1.2 Equações de Bernoulli
As equações de Bernoulli são equações da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn onde n é um número real
qualquer. Para n = 0 e n = 1 esta equação é linear. Para n 6= 0 e n 6= 1, fazemos a mudança de variáveis
v = y1−n.
Multiplicando a equação de Bernoulli por y−n obtemos y−n
dy
dx
+ p(x)y1−n = q(x).
Derivando v = y1−n em relação a x, pela regra da cadeia, obtemos
dv
dx
= (1−n)y−n dy
dx
⇒ y−n dy
dx
=
1
1−n
dv
dx
.
Substituindo os valores encontrados, temos que y−n
dy
dx
+ p(x)y1−n = q(x)⇒ 1
1−n
dv
dx
+ p(x)v= q(x),
que é uma equação linear.
2
Depois de encontrada a solução geral desta equação, devemos substituir v = y1−n para encontrar a
solução geral da equação
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn.
Exemplo: Vamos encontrar a solução geral da equação y′+
1
x
y = xy2.
Se v = y−1, então
dv
dx
=−y−2 dy
dx
.
Multiplicando a equação diferencial por y−2 obtemos y−2
dy
dx
+
1
x
y−1 = x. Fazendo as substituições
y−2
dy
dx
=−dv
dx
e y−1 = v obtemos v′− 1
x
v=−x, que é uma equação linear e tem solução v(x) =−x2+cx.
Assim, a solução da equação dada é y(x) =
1
−x2 + cx
.
1.3 Equações de Ricatti
As equações de Ricatti são equações da forma
dy
dx
= p(x)+q(x)y+ r(x)y2.
Conhecendo uma solução particular da equação y1(x), a equação de Ricatti pode ser resolvida
fazendo a substituição y(x) = y1(x)+ v(x). Então,
dy
dx
=
dy1
dx
+
dv
dx
. Substituindo os valores, obtemos
dy1
dx
+
dv
dx
= p(x) + q(x)(y1 + v) + r(x)(y1 + v)2. Sabendo que y1(x) é solução da equação obtemos
dv
dx
− (q(x)+2y1(x)r(x))v = r(x)v2, que é uma equação de Bernoulli com n = 2.
Exemplo: Consideremos a equação
dy
dx
= e2x +(1+ 2ex)y+ y2. Sabemos que y1(x) = −ex é uma
solução desta equação.
Fazendo a substituição y(x) = −ex + v(x), obtemos a equação dv
dx
− v = v2 que pode ser resolvida
como uma equação separável
1
v2 + v
dv
dx
= 1.
Decompondo
1
v2 + v
em frações parciais obtemos
1
v(v+1)
=
A
v
+
B
v+1
⇒ 1 = A(v+1)+Bv.
Substituindo v = 0,−1 obtemos A = 1 e B =−1. Assim, a equação pode ser escrita como
d
dx
(ln |v|− ln |v+1|) = 1. Integrando obtemos ln
∣∣∣∣ vv+1
∣∣∣∣= x+ c1.
Aplicando a exponencial e substituindo v = y+ ex obtemos que a solução da equação é dada
implicitamente por
y+ ex
y+1+ ex
= cex.
1.4 Equações da forma y′ = F(ax+by)
As equações da forma y′=F(ax+by), com a e b não nulos, podem ser resolvidas fazendo a mudança
de variáveis v = ax+by.
Assim,
dv
dx
= a+b
dy
dx
. Substituindo
dy
dx
=
1
b
dv
dx
− a
b
na equação diferencial obtemos
1
b
dv
dx
− a
b
= F(v)⇒ dv
dx
=
F(v)+ab
b
⇒ b
F(v)+ab
dv
dx
= 1, que é uma equação separável.
Exemplo: Considere a equação
dy
dx
=
y− x
y− x−1
. Vamos resolvê-la fazendo a substituição v = y− x.
O que implica que
dv
dx
=
dy
dx
−1⇒ dy
dx
=
dv
dx
+1.
3
Substituindo v = y−x e y′ = v′+1 na equação obtemos v′+1 = v
v−1
⇒ v′ = 1
v−1
⇒ (v−1)v′ = 1
que é uma equação separável cuja solução é
v2
2
− v = x+ c.
Substituindo de volta v = y− x obtemos que a solução da equação é dada, implicitamente, por
(y− x)2
2
− y = c.
2 Existência e Unicidade de Soluções
Teorema (Existência e Unicidade):
Considere o problema de valor inicial

dy
dt
= f (t,y)
y(t0) = y0
.
Se f (t,y) e
∂ f
∂y
são contı́nuas no retângulo R = {(t,y) ∈ R2|α < t < β,δ < y < γ} contendo (t0,y0),
então o problema tem uma única solução em um intervalo contendo t0.
Teorema (Existência e Unicidade para Equações Lineares):
Considere o problema de valor inicial

dy
dt
+ p(t)y = q(t)
y(t0) = y0
.
Se p(t) e q(t) são funções contı́nuas em um intervalo aberto I contendo t0, então o problema de valor
inicial tem uma única solução neste intervalo.
Exemplo: Considere o problema de valor inicial

dy
dt
= y2
y(t0) = y0
.
Pelo primeiro teorema, este problema de valor inicial tem uma única solução para todo (t0,y0) ∈R2.
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3 Referências Bibliográficas
1. SANTOS, Reginaldo J. - Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - Belo Horizonte:
Imprensa Universitária da UFMG, 2013.
2. ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. - Equações Diferenciais, volume 1 - tradução: Antonio
Zumpano, revisão técnica: Antonio Pertence Jr. - São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
3. BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. - Equações diferenciais elementares e problemas de
valores de contorno - tradução e revisão: Valéria de Magalhães Iório. - Rio de Janeiro: LTC, 2010.
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