lista 7° ano

Prévia do material em texto

Números irracionais
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS IRRACIONAIS
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. 
Alguns números irracionais famosos:
 PI que vale 3,14159265 .... 
 Phi φ que vale 1,61803399...
 Raízes quadradas de números primos
Propriedades dos Nº Irracionais
1) Um número irracional não é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional.
3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional.
4) O quociente entre um número irracional e número racional , diferente de zero, é um número irracional.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Irracional, pois a área do circulo é dada por: A=pir², logo um numero racional vezes um numero irracional resulta em um irracional.
Resolução
Resolução
Fácil, letra B
Resolução
Expressões envolvendo todos os conjuntos
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Equações 
Permitir a solução de problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos.
Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra continua o mesmo:
Um papiro egípcio de 3 600 anos, chamado Papiro de Rhind (em homenagem a um antiquário escocês Henry Rhind, que o adquiriu em uma loja de Luxor, no Egito, em 1858) mostra, através do famoso problema “Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem 19”, que o homem já se aventurava, desde aquela época, nos domínios da álgebra.
Para desenvolver o problema e mantê-lo inalterável, enquanto as manipulações procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a relação entre números conhecidos e desconhecidos por meio de uma equação.
Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em que vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas complexos a termos simples.
Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo etc..
Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza.
A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma expressão matemática. 
Assim, por exemplo, a soma de dois números racionais quaisquer pode ser representada por:
a
+
b
Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo:
a área do retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura
A
=
b
x
h
A
b
h
Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais elementos desconhecidos, chama-se equação.
Para encontrar a solução de um problema utilizamos os conhecimentos e as habilidades de cálculo que possuímos. Mas, conhecimentos e técnicas de cálculo apenas não são suficientes: raciocínio, lógica e imaginação são também necessários quando procuramos o caminho que nos levará mais fácil e rapidamente a resposta correta.
	Naquele dia de março de 415, uma multidão de romanos, gregos e egípcios, judeus e cristãos, escravos e homens livres andava pelas ruas de Alexandria. Situada no delta do Nilo, Alexandria era um centro comercial e cultural.
	O museu da cidade era ponto de encontro de sábios de todo Império Romano do Oriente. Era para o museu que ia aquela bonita jovem. Na carroça que a levava pelas ruas cheias de gente, talvez pensasse nas conferências que costumava dar. Freqüentemente falava sobre o matemático Diofanto, grande estudioso em álgebra, que tinha morrido pouco antes. Fazia tempo que ela se dedicava a estudar o trabalho do mestre, a escrever e dar aulas sobre ele.
	De repente, até hoje ninguém sabe por quê, um grupo de desordeiros parou a carroça e, a golpes de afiadas conchas de ostra, matou a jovem conferencista. Assim o mundo perdeu Hipatia, a primeira mulher matemática da história.
Equações na Antiguidade
“
“
Sabe-se pouco sobre Diofanto, um matemático grego que viveu no séc III d.C. Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”, pois foi o primeiro a usar símbolos com significados próprios ao trabalhar problemas.
A obra de Diofanto comportava símbolos e abreviações semelhantes que hoje usamos. Sua principal obra foi encontrar soluções para equações indeterminadas cujas raízes são números inteiros, ou seja, estudava soluções para problemas do tipo:
Neusa tem o dobro mais uma laranja que Emílio. Quantas laranjas tem cada um?
Esse problema se equaciona na forma:
Este problema é indeterminado, pois:
Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.
Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.
Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto chama-se indeterminado.
Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas. 
y = 2x + 1
Neusa
Emílio
Apesar de se conhecer muito pouco sobre Diofanto, conta que é possível saber a idade com que ele faleceu, através de uma inscrição que figura em seu sepulcro sob a forma de um exercício matemático:
Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto.
E os números podem, ó milagre!
Revelar quão dilatada foi sua vida...
Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...
Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,
quando seu queixo se cobriu de penugem....
A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril...
Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito...
O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a
Metade de seu pai, à terra...
E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao
falecimento de seu filho....
Diz-me quantos anos vivera Diofante
Quando lhe sobreveio a morte?
“
“
Esta mesma inscrição poderá ser vista da seguinte forma: 
...
Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...
Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,
quando seu queixo se cobriu de penugem....
A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril...
Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito...
O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a metade de seu pai, à terra...
E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao falecimento de seu filho....
...
...
A minha infância durou 1/6 de minha vida, a barba surgiu após 1 /12 depois de outro 1/7 de minha vida, casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu somente a metade de minha idade. Morri 4 anos após a morte do meu filho....
x
x
_
6
=
+
x
_
12
x
_
7
+
+
5
+
x
_
2
+
4
?
Utilizamos sempre o mesmo método de resolução. Primeiramente, chamamos de x o número que queríamos calcular, a incógnita. Em seguida, traduzimos o problema para a linguagem matemática, isto é, equacionamos o problema. Depois, usando propriedades matemáticas, descobrimos o valor de x. E finalmente, chegamos à resposta do problema.
	Resumindo, temos então as duas seguintes etapas:
Escrevemos a equação do problema, com base nas informações dadas no próprio problema;
Resolvemos a equação, para encontrar o valor de x.
	Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões:
c) O quádruplo de um número resulta 90.
d) A diferença entre um número e dois faz 36.
a) O triplo de um número é igual a 10.
3x = 10
b) A soma de um número com três é igual a 15.
x + 3 = 15
4x =90
x - 2 = 36
e) A terça parte de um número é igual a 66.
f) Os três quartos de um número é igual a 20.
x
_
3
= 66
3x
__
4
= 20
i) A quinta parte de um número é 46.
j) A décima parte de um número faz 78.
g) A soma de um número com sua metade resulta 45.
h) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a 67.
5 + 3x = 67
k) O dobro de um número somada ao triplo de outro número é igual a 96.
x
_
5
= 46
_
2
= 45
x
+
x
 x
__
10
= 78
2x + 3y = 96
f) A soma de três números resulta 123.
x + y + z = 123
o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta parte de um número x resulta 56.
p) Um número par mais 5 é igual a 89.
m) O produto de três números é igual a 34.
n) Um número p, aumentado de vinte e cinco faz 90.
xyz = 34
q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78.
x é ímpar → x - 5 = 78
p + 25 = 90
_
5
= 56
x
-
5x
_
x é par → x + 5 = 89
t) Três números ímpares consecutivos é igual a 990.
s) Três números pares consecutivos perfazem 128.
r) Três números consecutivos totalizam 100.
x + (x + 1) + (x + 2) = 100
x é par → 
x + (x + 2) + (x + 4) = 128
x é ímpar → 
x + (x + 2) + (x + 4) = 990
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro?
x + 16 = 25
9kg
2) Desenvolva a Equação.
56
3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?
2x = 12
6kg
4) Desenvolva a Equação.
5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?
3x = 18
6kg
6) Desenvolva a Equação.
7) Qual o peso do coelho?
x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2kg
8) Desenvolva a Equação.
x + 3 = 5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?
2x = x + 3 + 2
5kg
10) Desenvolva a Equação.
2x = x + 5
11) A balança não está em posição de equilíbrio. Represente simbolicamente esta situação.
13 < 18
Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas conclusões importante!
Considere uma balança com os pratos em equilíbrio.
Se acrescentarmos elementos de mesmo peso em cada um dos pratos
Se trocarmos os pratos
O equilíbrio se mantém.
O equilíbrio se mantém.
Considere outra balança com os pratos em equilíbrio.
Se retirarmos elementos de mesmo peso de cada um dos pratos
O equilíbrio se mantém.
Se duas balanças estão em equilíbrio:
Podemos somar o conteúdo dos pratos do mesmo lado.
O equilíbrio se mantém.
As Equações de Copo de Feijão
	Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau com uma incógnita, chamando a atenção para a “mudança de membro na equação”.
	Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio fundamental o equilíbrio dos membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação corresponde a mudá-los de membro da tal forma que realizem a operação inversa. Só então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar automático.
Neste material cada copo representa a incógnita x, os feijões brancos unidades positivas, os feijões pretos unidades negativas e os copos invertidos, o inverso aditivo da incógnita (-x).
x
-x
+
-
	A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas, acompanhadas da equação correspondente:
x
=
2
__
2
=
10
5
=
1º Exemplo:
3x + 2 - 2 = 8 - 2
2º Exemplo:
3x + 2 = 8
=
3x = 6
x = 2
x - 3 + 3 = 1 + 3
3º Exemplo:
x = 4
=
4x - x - 2 + 2 = x - x - 5 + 2
4º Exemplo:
3x = -3
x = -1
=
3x - x = 5 - 7
5º Exemplo:
x = -1
7 + x - 2x = 5 - 3x
=
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Equações do 1º grau com uma incógnita
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Fácil, letra A
Resolução
Resolução
Resolução
Trabalhando com equações que contÊm frações
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
99
Equações sem parênteses e sem denominadores
Resolver uma equação é determinar a sua solução.
efetuamos as operações.
Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.
Conjunto solução 
Determinamos a solução.
Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal
Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes 
100
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador.
Duas frações com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. 
Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.
101
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores
(3)
(3)
(3)
(2)
(2)
C.S.= 
102
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Resolvendo problemas com equações do 1º grau
Situações-problema
Exemplo 1. Somando as idades de Ana e de Beatriz, obtemos 15 anos. Calcule as duas idades, sabendo que o dobro da idade de Ana é igual ao quádruplo da idade de Beatriz.
Resolução
Ana: x
Beatriz: 15 – x
Equação:
2x = 4(15 – x)
2x = 60 – 4x
2x + 4x = 60
6x = 60
x = 60/6
x = 10 Beatriz: 15 – 10 = 5
Ana tem 10 anos
Beatriz tem 5 anos
116
Situações-problema
Exemplo 2. Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?
Pacote menor: x
Pacote maior: x + 8
Equação
x + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg
2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg
2x = 30 – 8
2x = 22
x= 22/2
x = 11
Pacote maior = 19 kg
 Pacote menor = 11 kg
117
Situações-problema
Exemplo 3. Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 4x
Equação
x + 4x = 120
5x = 120
x = 120/5
x = 24 
4x=96
O preço da estante é R$ 96,00
118
Situações-problema
Exemplo 4. Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor de cada prestação?
R$ 250 – R$ 30 = R$ 220
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 – 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
119
Situações-problema
Exemplo 5. Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12
O número é igual a 12.
120
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Inequações
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Resolvendo problemas com Inequações
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Equações com duas incógnitas
Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
Considere a seguinte situação:
Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes.
Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um?
Representemos por x o total de pontos de Fábio e por y os pontos de João. Os números x e y são naturais.
1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6.
 Podemos indicar essa informação porx + y = 6
		Pontos							
	Fábio	x	0	1	2	3	4	5	6
	João 	y	6	5	4	3	2	1	0
	Par	(x, y)	(0, 6)	(1, 5)	(2, 4)	(3, 3)	(4, 2)	(5, 1)	(6, 0)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)
2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4.
 Podemos indicar essa informação por x - y = 4
		Pontos							
	Fábio	x	4	5	6	7	8	9	10
	João 	y	0	1	2	3	4	5	6
	Par	(x, y)	(4, 0)	(5, 1)	(6, 2)	(7, 3)	(8, 4)	(9, 5)	(10, 6)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)
A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1).
Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto.
X + Y = 6
X – Y = 4
As equações representadas constituem um exemplo de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.
O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as duas equações, é a solução do sistema.
Método da Substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir a expressão encontrada na outra equação.
Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição. 
X + Y = 5
X – Y = 3
Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar a incógnita X.
X = 5 – Y
Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos:
 (5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1
Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da substituição:
Método da Adição
Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro as equações de modo a anular uma das incógnitas.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição.
X + Y = 8
X – Y = 6
Para resolvê-lo, vamos adicionar membro a membro as duas equações.
Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)
X + Y = 8
X – Y = 6
2X = 14, logo X = 7
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da adição:
Método da Comparação
Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das equações.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação.
X + Y = 10
X + 3Y = 14
Iremos isolar a incógnita x em ambas as equações.
Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
X = 10 - Y
X = 14 – 3Y
10 – y = 14 – 3 Y, logo Y = 2
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da comparação:
X + Y = 5
X – Y = 1
X + Y = 20
X – 3Y = -12
Y = 3X + 2
2X – Y = -4
(3, 2)
(12, 8)
(2, 8)
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução de problemas com sistemas de equações
Recife e as vagas de estacionamento
Na edição virtual de um jornal que circula em Pernambuco, publicada em 20/11/2011, lemos: “frota da região metropolitana do Recife chega a 1 milhão de veículos”.
Estacionar no Centro do Recife é muito difícil. As vagas que existem são loteadas pelos flanelinhas, que chegam a cobrar até R$ 10,00 em dias de eventos. 
Na FENEARTE de 2010, havia na Estrada de Belém, próxima ao Centro de Convenções, vagas para até 12 carros. Um determinado flanelinha, para impressionar o motorista, avisa que havia já 48 pneus no local!
Sabendo-se que, na verdade, havia 14 veículos (entre carros e motos), se o motorista insistisse em estacionar haveria alguma vaga ainda?
190
Poderemos representar a quantidade de motos por M.
Cada moto possui apenas 2 pneus, então: 2xM
E a quantidade de carros, representaremos por C.
Como no carro são 4 pneus, temos: 4xC
O problema nos diz que temos 48 pneus no total...
Imagem: Autor desconhecido / Gede / GNU Free Documentation License
Imagem: Autor Lukas 3z / GNU Free Documentation License
Já podemos concluir, então, que o flanelinha estava agindo de má-fé, pois havia 10 carros na Estrada de Belém!
Assim, devemos substituir C = 10 em
Então, além dos 10 carros, havia 4 motos estacionadas!
Certamente ainda caberia mais 1 carro!
Conclusões
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Resolução
Resolução
Resolução
Resolução
p
75
,
5
12
69
33
36
2
36
33
33
=
@
\
+
@
ú
û
ù
ê
ë
é
Î
=
-
@
@
2
,
2
3
73
,
1
73
,
1
41
,
1
14
,
3
41
,
1
2
14
,
3
p
3
25
,
2
75
,
6
25
,
0
2
25
,
0
7
=
=
+
-
1
1
1
1
3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
=
\
=
\
=
\
=
+
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
-
-
-
C
C
C
C
C
2
1
1
15
8
15
8
9
9
=
+
=
+
2
,
5
5
26
5
1
5
45
9
9
45
=
=
+
=
+
(
)
(
)
12
10
6
4
10
2
3
2
2
=
\
+
+
-
=
+
-
-
-
-
=
A
A
A
(
)
(
)
(
)
21
7
3
5
2
5
2
-
=
-
×
-
-
×
+
-
(
)
(
)
(
)
1
48
49
4
3
4
7
2
=
D
\
-
=
D
-
×
-
×
-
=
D
4
102
2
106
2
=
+
-
+
i
i
2
10
5
=
\
=
x
x
8
24
3
-
=
\
-
=
x
x
(
)
20
60
3
60
5
3
12
5
3
=
\
=
=
+
-
=
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
Û
4
6
3
5
+
+
=
-
x
x
{
}
5
=
5
=
x
2
10
2
2
=
x
10
2
=
x
4
3
6
5
+
=
-
x
x
12
6
4
6
+
=
-
x
x
18
2
=
x
9
2
18
=
=
x
x
x
4
12
6
6
+
=
+
-
(
)
(
)
(
)
4
3
6
3
3
4
2
2
1
x
x
+
=
+
-
12
4
12
12
6
12
6
x
x
+
=
+
-
12
4
12
12
6
6
x
x
+
=
+
-
3
1
2
2
2
1
3
+
-
=
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
x
x
x
2
11
2
11
=
Û
-
-
=
x
x
þ
ý
ü
î
í
ì
2
11
11
2
-
=
-
x
2
9
4
3
9
-
-
=
+
+
-
x
x
x
2
4
3
9
9
-
-
=
+
+
-
x
x
x
3
1
3
2
2
2
3
2
3
-
-
=
+
+
-
x
x
x
11
22
2
3
3
25
5
5
1
3
5
=
\
=
-
=
-
Þ
-
=
-
x
x
x
x
x
x
7
35
5
24
3
3
8
2
4
2
1
3
4
=
\
=
=
-
+
-
Þ
=
-
+
-
x
x
x
x
x
x
20
5
4
5
9
36
5
9
32
68
5
9
32
=
\
=
Þ
=
=
-
Þ
=
-
C
C
C
C
C
F
T
T
T
T
T
T
(
)
54
9
6
2
3
12
12
=
\
×
=
Þ
-
=
d
d
d
²
520
26
20
20
80
4
92
12
2
2
m
x
l
l
l
l
=
=
\
=
=
+
+
20
260
13
50
260
2
30
5
5
26
5
3
2
=
\
=
=
+
+
+
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
121
605
5
625
20
5
625
8
6
4
2
=
\
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
40
360
9
36
10
9
36
10
=
\
=
=
Þ
=
-
C
C
C
C
C
10
50
5
50
5
53
3
5
-
>
\
-
>
<
-
<
+
-
x
x
x
x
2
6
3
6
3
8
2
3
<
\
<
-
>
-
-
>
-
x
x
x
x
1
1
3
2
3
2
2
3
3
2
-
<
\
>
-
+
-
>
-
-
>
-
x
x
x
x
x
x
{
}
6
3
2
1
0
3
,
2
,
1
,
0
4
8
2
8
2
1
7
2
=
+
+
+
Þ
<
\
<
-
>
-
-
-
>
-
x
x
x
x
114
5
,
0
57
57
5
,
0
60
3
5
,
0
<
\
<
<
<
+
x
x
x
x
39
63
,
38
11
425
425
11
=
³
\
³
³
x
x
x
x
3
,
23
350
15
1000
650
15
³
\
³
³
+
x
x
x
{
}
(
)
(
)
(
)
6
1
2
3
1
,
2
,
3
4
15
3
1
4
2
16
0
5
5
5
15
6
2
9
3
3
-
=
-
-
-
Þ
-
-
-
-
>
\
+
-
>
+
-
<
\
+
<
+
<
\
+
<
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
î
í
ì
-
=
+
=
-
5
3
2
12
2
3
y
x
y
x
(
)
(
)
î
í
ì
-
=
+
=
-
Þ
î
í
ì
´
-
=
+
´
=
-
10
6
4
36
6
9
2
5
3
2
3
12
2
3
y
x
y
x
y
x
y
x
2
26
13
=
\
=
x
x
3
9
3
5
3
4
-
=
\
-
=
-
=
+
y
y
y
(
)
6
3
2
-
=
-
×
=
×
y
x
concluindo
(
)
(
)
î
í
ì
=
-
=
+
Þ
î
í
ì
´
=
-
´
=
+
55
15
10
21
15
9
5
11
3
2
3
7
5
3
y
x
y
x
y
x
y
x
4
76
19
=
\
=
x
x
1
5
5
11
5
4
3
-
=
\
-
=
=
+
×
y
y
y
(
)
(
)
î
í
ì
=
+
-
=
-
-
Þ
î
í
ì
´
=
+
-
´
=
+
24
6
15
24
6
14
3
8
2
5
2
12
3
7
y
x
y
x
y
x
y
x
0
=
x
4
12
3
12
3
0
7
=
\
=
=
+
×
y
y
y
î
í
ì
=
+
=
+
1
1
a
b
b
a
1
2
2
2
0
=
\
=
î
í
ì
=
+
=
-
x
x
y
x
y
x
1
2
1
=
\
=
+
y
y
6
1080
180
2430
150
1350
330
9
9
2430
150
330
=
\
=
=
-
+
-
=
î
í
ì
=
+
=
+
A
A
A
A
A
B
B
A
B
A
(
)
560
4480
8
7
4480
640
7
640
7
640
=
\
=
-
=
-
=
-
=
î
í
ì
=
=
+
M
M
M
M
M
M
M
H
H
M
M
H
î
í
ì
=
+
=
+
47
12
4
61
,
4
B
A
B
A
04
,
1
57
,
3
61
,
4
:
log
57
,
3
56
,
28
8
47
12
4
44
,
18
4
4
=
\
-
=
=
\
=
î
í
ì
=
+
-
=
-
-
A
A
o
B
B
B
A
B
A
î
í
ì
=
+
=
-
Þ
î
í
ì
=
+
=
-
126
3
3
106
3
5
42
106
3
5
E
C
E
C
E
C
E
C
29
232
8
=
\
=
C
C
13
29
42
=
\
-
=
E
E
2
78
80
26
3
5
16
16
26
=
-
=
×
-
×
=
=
C
E
dobro
o
errado