Medidas de Posição e Dispersão - Introdução à Bioestatística

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PARA DADOS BRUTOS E AGRUPADOS 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 Definição: soma de todas as observações dividida 
pelo número delas. 
 𝑀𝑒 = 
𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯+𝑥𝑛
𝑛
 
MODA 
 Definição: realização mais frequente de um 
conjunto de dados. 
 É representada por Mo. 
 Quando um conjunto apresenta mais de 2 modas 
é chamado de multimodal. 
MEDIANA 
 Definição: realização que ocupa a posição central 
de uma série de observações, quando estão 
ordenadas segundo suas grandezas. 
 Se o número n de observações é ímpar, mas 
mediana é o valor que ocupa a região central. 
 𝑀𝑑 = 
𝑛+1
2
 
 Se o número n de observações é par, a mediana é 
calculada a partir da média aritmética dos dois 
valores centrais. 
 𝑀𝑑 = 𝑀𝑒 = 
𝑥 + 𝑦
2
 
QUANTIL 
 Descrição: quantidades que dividem a 
distribuição de valores em grupos do mesmo 
tamanho. 
 Podem ser classificados como: quartis, decis e 
percentis. 
 Usados quando temos um grande número de 
observações. 
Quartil: 
 Dividem a distribuição em quatro partes de 
mesmo tamanho. 
 1° quartil (Q1): deixa ¼ dos valores 
abaixo dele e ¾ acima. 
 2° quartil (Q2 = Md): deixa ½ dos valores 
abaixo dele e ½ acima. 
 3° quartil (Q3): deixa ¾ dos valores 
abaixo dele e ¼ acima. 
 Para encontrarmos os quartis, precisamos 
primeiro encontrar a mediana e separar as 
observações em dois grupos do mesmo tamanho. 
 
Decil: 
 Definição: são quantis que separam a 
distribuição de valores em 10 grupos do mesmo 
tamanho. 
 𝐷𝑖 = 
𝑖 (𝑁+1)
10
 
Di = posição do elemento desejado 
i = 1, 2 , 3 ,..., 9 
N = n° de observações 
Percentil: 
 Definição: é o valor tal que pelo menos 100p% 
das observações são menores ou iguais a ele e 
pelo menos 100(1-p)% são maiores ou iguais a 
ele. 
 (100p)% das observações < P100p. 
 100(1-p)% das observações > P100p. 
 O percentil de ordem 50% é a mediana. 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS 
AGRUPADOS 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
 Moda: é o valor de xi, que é o maior valor de ni ou 
maior valor de fi. 
 Mediana: é o primeiro valor com frequência 
relativa acumulada maior ou igual a 50%. 
 Média aritmética: 
 
DISTRIBUIÇÃO EM INTERVALOS DE CLASSES 
 Quando as observações estão agrupadas em 
intervalos de classes as medidas de posição são 
apenas aproximações para as medidas do 
conjunto original. 
 Considerando a distribuição abaixo: 
 
 Li e li: denotam os limites superior e 
inferior da classe i. 
 Li = li + 1. 
 x1 é o ponto médio do intervalo. 
𝑥1 = 
𝑙𝑖 + 𝐿𝑖
2
 
 A moda e a média são calculadas da mesma 
maneira que na distribuição simples de 
frequência. 
 Para encontrar a mediana é preferível 
utilizar o histograma. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 Analise dos desvios das observações em relação 
à uma medida de tendência central. 
 Considere os dados abaixo: 
 
DESVIO MÉDIO 
 Definição: medida das distancias dos pontos de 
um conjunto de valores à sua média. 
 
VARIÂNCIA 
 Definição: média dos quadrados dos desvios em 
relação à média. 
 
Ou 
 
DESVIO PADRÃO 
 Definição: é a raiz quadrada da variância. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA DADOS 
AGRUPADOS 
 No caso de dados agrupados em classes de 
frequências, os valores serão apenas 
aproximações. 
DESVIO MÉDIO 
 
VARIÂNCIA 
 
DESVIO PADRÃO 
 
BOXPLOT 
 Definição: fornece informações sobre a 
assimetria, achatamento, dispersão e posição dos 
dados, também informa sobre dados 
discrepantes. 
 É útil quando precisamos comparar várias 
distribuições. 
 É construído a partir do esquema de cinco 
números: 
 Quartis: Q1, Q2 e Q3. 
 Extremos: M (valor máximo) e m (valor 
mínimo). 
 Também calculamos as seguintes quantidades, 
que definem as observações discrepantes: 
 
 Todo ponto menor que Li ou maior que 
Ls será considerado discrepante 
(chamado de outlier). 
 Construção do boxplot: 
 Um eixo vertical com os valores das 
variáveis. 
 Do lado do eixo é construído uma caixa 
cujo a base fica na altura de Q1 e o topo 
fica na altura de Q3. 
 No interior da caixa é marcada uma linha 
na altura mediana, ou seja, na altura de 
Q2. 
 Do alto da caixa segue uma linha até o 
maior valor que não seja discrepante e 
da base segue uma linha até o menor 
valor que não seja discrepante. 
 
GRÁFICOS DE SIMETRIA 
 Os quantis são uteis para verificar se a 
distribuição de dados é simétrica. Se um conjunto 
for perfeitamente simétrico teremos: 
 𝑞(0,5) − 𝑥(𝑖) = 𝑥(𝑛+1−𝑖) − 𝑞(0.5) 
 Se n for par: i = 1, 2, ..., n/2. 
 Se n for ímpar: i = 1, 2, ..., (n+1)/2. 
 Os quantis podem ser assimétricos à direita ou à 
esquerda. 
 Se os quantis da direita estão mais 
afastados da mediana do que os da 
esquerda, será assimétrico à direita. 
 Se os quantis da esquerda estão mais 
afastados da mediana do que os da 
direita, será assimétrico à esquerda.