[Prof. Andrea Bianchi] Aula11

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FIS 133 - Física IV – Turma 64
Aula 11 – 05/10/2010
Profa. Andrea G. Campos Bianchi
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 Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
“A determinação do movimento estacionário dos elétrons nos átomos introduz números inteiros, ora, até aqui os únicos fenômenos em que intervinham inteiros na física eram os de interferência e os modos normais de vibração. 
Esse fato me sugeriu a idéia de que também os elétrons não deveriam não deveriam ser considerados somente como corpúsculos mas que deveriam estar associados a periodicidade ”.
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Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
Em 1923, o físico Louis de Broglie sugeriu idéias especulativas, baseadas nos resultados obtidos pela teoria de Bohr e ondulatória.
Para os fótons, manifestam-se efeitos que os caracterizam como partículas, mas que ao mesmo tempo dependem de suas propriedades ondulatórias, como a relação entre o momento do fóton (p) e o seu comprimento de onda ():
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 Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
 Se a natureza é simétrica, essa dualidade também deveria ser válida para a matéria.
 Elétrons e prótons, que são geralmente considerados partículas, podem em algumas situações se comportar como ondas.
 Se uma partícula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda e uma freqüência. 
 De Broglie postulou que uma partícula livre com massa de repouso m, deslocando-se com velocidade não-relativística v, deve ter um comprimento de onda  associado a seu momento linear p = mv do mesmo modo que um fóton.
 O comprimento de onda de De Broglie de uma partícula é então:
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 Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
A frequência f, acordo com De Broglie, é também relacionada com a energia da partícula E da mesma forma que ocorre com um fóton, ou seja,
Portanto, a relação entre comprimento de onda e momento linear e a relação entre freqüência e energia, de acordo com De Broglie, são exatamente as mesmas tanto para partículas quanto para ondas.
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Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
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 Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
 Para entender a enorme importância da hipótese formulada por De Broglie, devemos lembrar que naquela época ainda não existia nenhuma evidência experimental direta de que as partículas pudessem ter um caráter ondulatório. 
 Uma coisa é fazermos uma hipótese baseada em observações experimentais, outra completamente diferente é propor tal mudança radical das concepções apenas com base em conceitos teóricos. 
 No período de alguns anos após 1924, uma teoria detalhada, chamada de mecânica quântica, foi desenvolvida por Heisenberg, Schrödinger, Dirac, e outros. O desenvolvimento dessa teoria ocorreu mesmo antes da evidência experimental direta das propriedades ondulatórias das partículas. 
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Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
 Uma partícula não é um ponto geométrico, e sim uma entidade que ocupa uma região do espaço. 
 A distribuição espacial de uma partícula é descrita por uma função chamada função de onda, intimamente relacionada com a função de onda que aplicamos às ondas mecânicas.
 A função de onda para uma partícula livre com uma energia definida possui uma configuração ondulatória com valores bem definidos para a freqüência e para o comprimento de onda. 
 A descrição corpuscular não é incompatível com a descrição ondulatória; o princípio da complementaridade, mostra que é necessário usar o modelo ondulatório juntamente com o modelo corpuscular para tornar possível uma descrição completa da natureza.
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 Ondas de de Broglie – Ondas de Matéria
 No modelo de Bohr, descrevemos os níveis de energia do átomo de hidrogênio com base em órbitas fixas dos elétrons. 
 grande simplificação.
 Entretanto, a idéia mais importante da teoria de Bohr foi a verificação da existência de níveis de energia discretos e suas relações com as freqüências dos fótons emitidos. 
 A nova mecânica quântica ainda estipula certos níveis de energia permitidos para o átomo, porém com uma descrição mais geral para o movimento dos elétrons a partir das funções de onda.
 No átomo de hidrogênio, verificamos que os níveis de energia previstos pela mecânica quântica coincidem com aqueles previstos pelo modelo de Bohr.
 Em átomos mais complexos, para os quais o modelo de Bohr não funciona, a mecânica quântica fornece previsões que concordam muito bem com os valores observados.
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 Ondas de de Broglie– Modelo de Bohr
 Pela condição de Bohr da quantização do momento angular, ou seja, L = mvr deve ser um número inteiro múltiplo da constante de Planck, h.
 
 O método é análogo ao da determinação da freqüência dos modos normais das ondas estacionárias.
 Para que as condições de contorno sejam satisfeitas, o comprimento total da corda deve ser igual a um número inteiro multiplicado pela metade do comprimento de onda. 
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 Ondas de de Broglie– Modelo de Bohr
 Uma onda estacionária em uma corda não transmite nenhuma energia, e o elétron em uma órbita estacionária no modelo de Bohr não irradia nenhuma energia. 
 Imagine que o elétron seja uma onda estacionária distribuída ao longo de uma órbita circular de Bohr. 
Para que essa onda seja contida exatamente e se feche de modo contínuo na órbita, a circunferência deve conter um número inteiro de comprimentos de onda
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 Ondas de de Broglie– Modelo de Bohr
 Para uma órbita de raio r e circunferência 2r 
 
2r = n, onde n = 1,2,3 ... 
De acordo com a relação proposta por De Broglie, o comprimento de onda  de uma partícula com massa m, movendo-se com velocidade não-relativística v, é  = h/mv. 
Combinando 2r = n  com  = h/mu, obtemos 2r = nh/mv, ou seja,
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 Ondas de de Broglie– Modelo de Bohr
 Portanto, a descrição da mecânica quântica conduz naturalmente à quantização do momento angular do elétron.
 Na verdade, a idéia de fazer uma onda estacionária preencher exatamente uma órbita circular parece ser uma noção vaga. 
 Contudo, a concordância da Equação com o modelo de Bohr é importante demais para ser mera coincidência. Ela sugere fortemente que as propriedades ondulatórias do elétron devem realmente ser relevantes para o estudo da estrutura atômica.
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 Ondas de de Broglie – Confirmação Experimental 
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 Ondas de de Broglie
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 Ondas de de Broglie
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 Ondas de de Broglie
 Eles imediatamente concluíram que o feixe de elétrons estava sendo difratado. 
 Eles descobriram uma confirmação experimental direta da hipótese ondulatória.
 Como eles conheciam a velocidade do elétron, eles conseguiram determinar o comprimento de onda de De Broglie
 Por exemplo, considere um elétron acelerado do repouso em um ponto a até um ponto b por um aumento de potencial Vb - Va = Vba. 
 A variação da energia cinética K é igual ao trabalho realizado sobre o elétron eVba. Usando K =p2 /2m
Comprimento de Onda de De Broglie do elétron.
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 Probabilidade e Incerteza
 A descoberta de que a matéria possui uma natureza dual onda-partícula nos forçou a fazer uma reavaliação da linguagem cinemática que usávamos para descrever a posição e o momento linear de uma partícula. 
 Na mecânica clássica newtoniana uma partícula era descrita como um ponto. 
 Podemos descrever sua posição e seu estado de movimento com três coordenadas espaciais e três componentes para a velocidade. 
 Quando observamos uma partícula em uma escala suficientemente pequena, existem limitações fundamentais que impedem a exata determinação da sua posição e sua velocidade. 
 Muitos aspectos do comportamento de uma partícula só podem ser descritos em termos de probabilidades.
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 Probabilidade e Incerteza
Difração em Única Fenda
Considere um comprimento de onda  muito menor do que a largura a da fenda. 
 Então, a maior parte da luz (85%) da figura de difração está concentrada no máximo central, delimitado em ambos os lados pelo primeiro mínimo da difração. 
O ângulo da fronteira entre o máximo central e o primeiro mínimo será designado por:
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 Probabilidade e Incerteza
 Fazemos agora a mesma experiência, porém, usando um feixe
de elétrons em vez de um feixe de luz monocromática.
 Podemos produzir o feixe de elétrons com um dispositivo semelhante ao canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos. 
 O dispositivo produz um feixe estreito de elétrons que possuem aproximadamente a mesma velocidade e a mesma direção e, portanto, o mesmo comprimento de onda de De Broglie.
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 Probabilidade e Incerteza
 Essa figura fornece uma evidência adicional direta da natureza ondulatória do elétron. 
 Cerca de 85% dos elétrons incidentes atingem a placa fotográfica dentro do máximo central. 
 Os elétrons restantes formam os máximos secundários adjacentes ao máximo central. 
Ondas OK !!!
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 Probabilidade e Incerteza
 Contudo e se imaginarmos que os elétrons são partículas ?????
 Em primeiro lugar: nem todos os elétrons seguem a mesma trajetória, embora todos se encontrassem na mesma situação no estado inicial. 
 Na verdade, não podemos prever a trajetória exata de nenhum elétron individual a partir do conhecimento de seu estado inicial. O máximo que podemos dizer é que muitos elétrons incidem em uma região, alguns poucos incidem em outra, e assim por diante. 
 Ou seja, podemos apenas dizer qual é a probabilidade de que um elétron atinja uma determinada área da placa fotográfica. 
 Na mecânica newtoniana, segundo a qual o movimento de uma partícula pode ser completamente determinado quando conhecemos sua posição inicial e sua velocidade com precisão suficiente.
 Em segundo lugar: existem incertezas fundamentais quanto à posição e ao momento linear de uma partícula individual, e essas duas incertezas são indissociáveis. 
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 Probabilidade e Incerteza
 Um elétron que atinge a borda externa do máximo central, formando um ângulo igual a θ1 deve possuir um componente do momento linear py na direção y, bem como um componente px na direção x.
 Embora no estado inicial todos os elétrons possuam somente momento linear na direção x. De acordo com a geometria da situação
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 Probabilidade e Incerteza
Combinando as duas equações:
Para os 85% de elétrons que atingem a placa fotográfica dentro do máximo central (ou seja, entre os ângulos – /a e + /a), vemos que o componente y do momento linear se espalha para fora do centro desde - px/a até + px /a. 
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 Probabilidade e Incerteza
 Vamos agora considerar todos os elétrons que passam pela fenda e atingem a placa fotográfica. 
 Novamente, eles podem atingir regiões acima ou abaixo do centro da figura, de modo que o componente py pode ser positivo ou negativo. 
 Por simetria (py)med= 0.
 Deverá existir uma incerteza py no componente y do momento linear no mínimo igual a px/a
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 Probabilidade e Incerteza
 Quanto menor for a largura a da fenda, mais larga será a figura de difração e maior a incerteza no valor do componente y do momento linear py.
 O comprimento de onda  do elétron está relacionado com seu momento linear px = mvx, por meio da fórmula proposta por De Broglie, logo
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 Probabilidade e Incerteza
 A largura a da fenda representa uma incerteza no componente y da posição do elétron quando ele passa pela fenda. 
 Não podemos saber exatamente onde cada elétron passa através da fenda.
 A posição y e o componente y do momento linear possuem incertezas.
 Podemos diminuir a incerteza do momento linear py somente reduzindo a largura da figura de difração. 
 Para isso é necessário aumentar a largura a da fenda, o que faz aumentar a incerteza da posição. 
 Reciprocamente, quando diminuímos a incerteza da posição reduzindo a largura da fenda, a figura de difração se alarga e a incerteza do momento linear aumenta.
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 Probabilidade e Incerteza
 Nossa experiência geralmente não inclui o contato com partículas microscópicas. Algumas vezes, ao considerar fenômenos muito distantes da nossa experiência cotidiana, somos obrigados a aceitar conclusões que violam nossa intuição.
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 Probabilidade e Incerteza
Princípio da incerteza de Heisenberg
 proposto pela primeira vez pelo físico alemão Werner Heisenberg (1901-1976). 
 Afirma que, em geral, não podemos determinar nem a posição nem o momento linear de uma partícula com uma precisão arbitrariamente grande, como é previsto pela física clássica. Ao contrário, as incertezas dessas duas grandezas desempenham papéis complementares.
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 Probabilidade e Incerteza
 E se usássemos super detectores ??
 Impossível !!!!
 Para detectar uma partícula, o detector teria de interagir com ela, e essa interação produziria inevitáveis perturbações no movimento da partícula, introduzindo uma incerteza em seu estado inicial. 
 Por exemplo: fazendo incidir sobre a partícula fótons com comprimentos de onda muito curtos para localizá-Ia melhor, o momento linear mais elevado h/ faria a partícula sofrer um recuo maior, produzindo maior incerteza em seu momento linear. 
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 Probabilidade e Incerteza– Modelo de Bohr
Considere o modelo de Bohr para o elétron:
 Para uma partícula se deslocando ao longo de uma circunferência, 
podemos substituir x na Equação por r, obtendo 
No modelo de Bohr, o elétron se desloca ao longo de uma circunferência de raio exatamente igual a r, 
Logo, o modelo de Bohr violaria o princípio da incerteza de Heisenberg ?????
Faremos uma descrição mais completa da estrutura atômica a frente; felizmente, verifica-se que os níveis de energia previstos pelo modelo de Bohr são corretos.
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 Probabilidade e Incerteza
Incerteza na energia
 Verifica-se que a energia de um sistema também possui incertezas. 
 A incerteza E depende do intervalo de tempo  t durante o qual o sistema permanece em um dado estado.
 A relação é (princípio da incerteza de Heisenberg para a energia e o intervalo de tempo).
 Um sistema que permanece em um estado metaestável durante um tempo muito longo (t muito grande) pode apresentar um estado de energia muito bem definido (E muito pequeno); contudo, quando ele permanece em um estado durante somente um intervalo de tempo curto (t muito pequeno), a incerteza na energia é correspondentemente maior (E muito grande).
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 Probabilidade e Incerteza
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 Probabilidade e Incerteza
 Experiência de fenda dupla
Igual Fenda Simples !!!!
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 Probabilidade e Incerteza
 O princípio da complementaridade, mais uma vez nos informa que não podemos tentar aplicar simultaneamente o modelo ondulatório e o modelo corpuscular para descrever uma parte da experiência.
 Portanto, não podemos prever exatamente o ponto sobre a figura de interferência (um fenômeno ondulatório) no qual qualquer elétron individual (uma partícula) incidirá. 
 Não podemos nem mesmo saber por qual das duas fendas o elétron passou para construir a figura de interferência. 
 Se fizéssemos fótons incidirem sobre os elétrons para saber por qual das fendas os elétrons passariam, os elétrons recuariam e a figura de interferência não se formaria.
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico
 Usa-se um feixe de elétrons para formar a imagem de um objeto de modo bastante parecido com a formação da imagem por um feixe luminoso.
 LUZ: Um raio de luz pode ser desviado por reflexão ou refração 
 FEIXE DE ELÉTRON: pode ser desviado usando-se um campo magnético ou um campo elétrico. 
 LUZ: Os raios que divergem de um ponto sobre um objeto podem convergir pela ação de uma lente convergente ou de um espelho côncavo.
 FEIXE DE ELÉTRON: Um feixe de elétrons que diverge de uma região pode convergir para outra região mediante a ação de um campo magnético e/ou de um campo elétrico. 
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico
LUZ: O modelo de raios da ótica geométrica é uma aproximação do modelo ondulatório mais geral. A ótica geométrica (ótica com raios) é válida quando os efeitos de interferência e de difração são desprezíveis.
 FEIXE DE ELÉTRON: Analogamente, o modelo do elétron como uma partícula puntiforme se deslocando ao longo de uma trajetória retilínea é uma descrição aproximada do comportamento real do elétron;
esse modelo é útil quando desprezamos os efeitos associados com a natureza ondulatória dos elétrons.
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico
MAIOR RESOLUÇÃO ???
 A resolução de um microscópio é limitada pelos efeitos da difração.
 Usando comprimentos de onda em tomo de 500 nm, um microscópio ótico não pode distinguir objetos com dimensões menores do que algumas centenas de nanômetros, por melhor que seja a lente empregada. 
 De modo análogo, a resolução de um microscópio eletrônico também é limitada pelos comprimentos de onda dos elétrons, mas esses comprimentos de onda podem ser milhares de vezes menores do que o comprimento de onda da luz visível. 
 Como resultado, a ampliação útil de um microscópio eletrônico pode ser milhares de vezes maior do que a ampliação de um microscópio ótico. 
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico
 A capacidade do microscópio eletrônico de formar uma imagem ampliada não depende das propriedades ondulatórias do elétron. 
 Dentro dos limites do princípio de Heisenberg, podemos calcular as trajetórias dos elétrons considerando-os partículas clássicas submetidas a forças elétricas e magnéticas (analogamente ao caso da ótica de raios). 
 Somente quando tratamos da resolução é que as propriedades ondulatórias se tomam relevantes.
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 Exemplo: Microscópio Eletrônico