FENOMENOS_DE_TRANSPORTE_BIRD_2ED_ESP (1)

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FENOMENOS DE 
TRANSPORTE 
S E G U N D A E D I C I Ó N 
Fenómenos 
de transporte 
Segunda edición 
R. Byron Bird 
Warren E. Stewart 
Edwin N. Lightfoot 
Departamento de Ingeniería Química 
Universidad de Wisconsin-Madison 
O LIMUSA WILEY 8 
Bird, Robert 
Fenómenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed. 
-- México : Limusa Wiley, 2006. 
1062 p. : il., fot. ; 20 cm. 
ISBN: 968-1 8-6365-8. 
Rústica. 
1. Dlnamica de fluidos 
l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut. 
111. Viliagórnez Velázquez, Hugo, tr. \V. Zetina Vélez, Atma Rosa, colab. 
LC: QA929 Dewey: 530.1 38 - dc21 
V E R S I ~ N AUTORIZADA AL ESPAÑOL DE LA OBRA 
ORIGINALMENTE PUBLICADA EN INGLES POR JOHN WILEY 
& SONS, CON EL T~TULO 
TRANSPORT PHENOMENA 
COLABORAD~R EN LA TRADUCCI~N 
HUGO VILLAG6MEZ VELÁZQUEZ 
REVISI~N T~CNICA 
ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VÉLEZ 
INGENIERA Q~~~MICA POR LA FACULTAD DE QU~MICA DE LA 
UN~VERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE MEKICO. 
DOCEME EN MATEMATICAS, UNAM. PROFESORA DE LA 
ESCUELA DE CIENCIAS QU~MICAS DE LA UNIVERSIDAO LA 
SALLE. 
FENÓMENOS DE TRANSPORTE 
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA 
PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGÚN 
SISTEMA O MÉTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO 
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~N O CUALCiUlER SISTEMA DE 
RECUPERACI~N Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN 
CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. 
O 2006, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. 
GRUPO NORIEGA EDITORES 
BALOEFIAS 95, MCx ico , D.F. 
C.P. 06040 
m 51 30 0700 
55 12 2903 
+ tirnusa@noriega.com.mx 
www.noriega.com.mx 
SEGUNDA EDICIÓN 
HECHO EN MEXICO 
ISBN 968-1 8-6365-8 
Prólogo 
La transferencia de cantidad de movimiento, la transmisión de calor y la transferen- 
cia de materia surgieron como ramas independientes de la física clásica desde hace 
mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un área 
fundamental de las ciencias de ingeniería. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace 
menos de medio siglo, continúa avanzando y encontrando aplicaciones en campos 
nuevos como la biotecnología, la microelectrónica, la nanotecnología y la ciencia de 
polimeros. 
La evolucibn de los fenómenos de transporte ha sido tan rápida y extensa que 
es imposible abarcarla por completo en un solo libro. A pesar de que hemos inclui- 
do muchos ejemplos representativos, nuestro interés primordial, necesariamente, 
han sido los aspectos básicos de este campo. Además, en pláticas con colegas hemos 
encontrado que los fenómenos de transporte se enseñan de varias formas y a diver- 
sos niveles. En esta edición se ha incluido suficiente material para cubrir dos moda- 
lidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez, 
puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en 
otro sobw transmisión de calor y transferencia de materia, lo que proporciona más 
oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicaciones prácticas. 
La identificación de algunas secciones como opcionales (O) y otras como avanzadas 
(O) puede ser útil para estudiantes y profesores. 
Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemático, los 
fenómenos de transporte con más significativos por su importancia física. La esen- 
cia medular de este tema la constituye el planteamiento cuidadoso y conciso de los 
principios de conservación, junto con las expresiones de densidad de flujo (flux), re- 
calcando las semejanzas y diferencias entre los tres procesos de transporte conside- 
rados. A menudo, la especialización hasta las condiciones límite y las propiedades 
físicas en un problema específico puede proporcionar una visión útil con esfuerzo 
mínimo. No obstante, el lenguaje de los fenómenos de transporte es matemático, y 
en este libro hemos asumido que el lector está familiarizado con ecuaciones diferen- 
ciales ordinarias y con an6lisis vectorial elemental. Introducimos el uso de las ecua- 
ciones diferenciales parciales con una explicación suficiente de modo que el 
estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las técnicas numéri- 
cas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se con- 
centre en la comprensión fundamental. 
A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliográficas, esto 
con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histórico propio y 
para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las 
aplicaciones. Hemos estado particularmente interesados en presentar a los pioneros, 
a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiración 
útil. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizás algunos de 
nuestros lectores encuentren en ellos inspiración para realizar contribuciones seme- 
jantes. 
Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramien- 
tas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribió Ia primera 
edición hace más de 40 años. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el 
texto, dentro de los Límites de espacio y de nuestras habilidades, y nos hemos esfor- 
zado por anticipar desarrollos futuros. Algunos de los cambios mis importantes res- 
pecto a la primera edición incluyen los siguientes: , 
vi Prólogo 
propiedades de transporte de sistemas de dos fases 
uso de "densidades de flujos combinadas" para establecer balances de envol- 
tura y ecuaciones de variación 
conservación de la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias 
obtención completa del balance de energía mecánica 
tratamiento más amplio de la teoría de la capa límite 
dispersión de Taylor 
análisis mejorados de transporte turbulento 
análisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados 
inclusión de más material sobre coeficientes de transmisión de calor y trans- 
ferencia de masa 
análisis más completos de análisis dimensional y escalación 
métodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes 
sistemas iónicos, separaciones de membrana y medio poroso 
relación entre la ecuación de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo 
uso de la convención "Q + W" en tratamientos de energía, de conformidad 
con los textos más importantes de física o fisicoquímica. 
Sin embargo, siempre es la generación más joven de profesionistas la que ve el fu- 
turo con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia 
imperfecta. 
Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenóme- 
nos de transporte aumente en vez de disminuir. Cada una de las estimulantes nuevas 
tecnologías que están floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de interés 
detallado que se quiera, por las leyes de conservación y las expresiones de densi- 
dad de flujo, junto con información sobre los coeficientes de transporte. Adaptar 
los planteamientos de los problemas y las técnicas de solución para estas nuevas 
áreas indudablemente mantendrá ocupados a los ingenieros durante mucho tiem- 
po, y lo único que podemos esperar es haber proporcionado una base útil a partir 
de la cual empezar. 
El é,to de cada libro nuevo depende de muchas más personas que las que se 
sefialan en la portada. La deuda más evidente es ciertamente con los estudiantes 
perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseñado mucho más de lo 
que nosotros les hemos enseñado. Asimismo, los profesores que revisaron el manus- 
crito merecen un agradecimiento especial por sus numerosas correcciones y comen- 
tarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham 
(Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley), 
William B. Russel (Universidad de Princeton), Jay D. Schieber (Instituto de Tecnolo- 
gía de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Kármán para Dinámica de Fluidos). 
Sin embargo, en un nivel más profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y 
las tradiciones departamentalescreadas por nuestros antecesores aquí en Madison. 
En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria está dedicado 
este libro. 
Madison, Wisconsin. R.B.B. 
W.E.S. 
E.N.L. 
Contenido 
. -p. . .. - -- 
Prólogo Ej. 2.3-1 Determinación de la viscosidad a parfir de 
datos de flujo capilar 59 , , . 
Capítulo O El tema de los fenómenos Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular 
de transporte 1 horizontal 60 
S2.4 Flujo a través de un hibo concéntrico 61 
s2.5 lujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 64 
52 6 Flujo reptante alrededor dc una esfera 66 
Parte I Transporte de cantidad fl 2 6-7 Dettrnllrrncicín de la ziiscosrdnd a partir dr la zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnra que desrterrdt 70 
de n3ovbiento I'reguntns para discusióii 70 
Probiemas 71 
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del 
transporte de cantidad de 
movimiento 11 
51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte 
de cantidad de movimiento moiecular) 11 
Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de 
mouirniento 16 
1 . 2 Generalización de Ia ley de viscosidad 
de Newton 16 
1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la 
presión y la temperatura 22 
Ej. 1.3-1 Esfimación de la viscosidad a parfir de las 
propiedades críticas 24 
51.4" Teoría rnolecular de la viscosidad de gases 
a baja densidad 25 
Ej. 1.4-7 Cá[cuIo de la viscosidad de u n gas puro a baja 
denstdad 29 
Ej. 1.4-2 Predicción de la viscosidad de una mezcla de 
gases a baja densidad 30 
51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31 
Ej. 1.5-1 Estimación de la viscosidad de un líquido 
puro 33 
s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34 
7 Transporte de cantidad de movimiento 
convectivo 37 
Preguntas para discusión 40 
Problemas 41 , 
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento 
en la envoltura y distribuciones de 
velocidad en flujo laminar 45 
2 . Balances de cantidad de movimiento en Ia 
envoltura y condiciones límite 46 
s2.2 Flujo de una pelicula descendente 48 
Ej. 2.2-2 Cálculo de fa velocidad de una película 53 
Ej. 2.2-2 Película descendente con viscosidad 
variable 53 
S2.3 flujo a través de un tubo circular 54 
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas 
isotérmicos 85 
53.1. Ecuación de continuidad 87 
Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies sólidas 
para fluidos nmtonianos incompresibles 88 
53.2 Ecuación de movimiento 89 
93.3 Ecuación de energía mecánica 91 
53.4" Ecuación de cantidad de movimieiito angular 93 
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la 
derivada sustancial 94 
Ej. 3.5-2 La ecuación de Bernoulli para el flujo en 
estado estacionario de fluidos no viscosos 97 
S3.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver 
problemas de flujo 98 
Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular 
largo 99 
Ej. 3.6-2 Película desccndentr con viscosidad 
variable 101 
Ej. 3.6-3 Operacidn de un uiscocímetro 
de Couette 101 
Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un líquido en 
rofación 106 
Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira 
lentamente 108 
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de 
variación 110 
Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro 
circular 171 
Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en un tanque 
agitado 214 
Ej. 3:7-3 Caída de presión para flujo reptante en un 
tubo de relleno 117 
Preguntas para discusión 118 
Problemas 118 
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más 
de una variable independiente 129 
4 Flujo dependiente del tiempo de fluidos 
newtonianos 129 
vii 
viii Contenido 
Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone 
sribifamente en movimiento 130 
Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos 
ldminas paralelas 132 
Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una 
ldmina que oscila 135 
54.2" Solución de problemas de flujo usando una 
función de corriente 137 
Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238 
g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo 
del potencial de velocidad 141 
Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de un 
cilindro 145 
Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de un canal 
rectangular 146 
Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148 
54.4" mujo cerca de superficies sólidas por medio de la 
teoría de la capa limite 150 
Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana 
(solucidn aproximada) 154 
E j . 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lámina plana 
(solución eracfa) 155 
Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157 
Preguntas para discusión 158 
Problemas 159 
Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo 
turbulento 173 
5 . 1 Comparaciones de los flujos laminar y 
turbulento 175 
55.2 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para 
fluidos incompresibles 178 
55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de 
una pared 181 
35.4 Expresiones empíricas pa7.a la densidad de flujo 
de cantidad de movimiento turbulento 184 
Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresión de e s fumo de 
Reynolds en la vecindad de la pared 186 
55.5 Flujo turbulento en ductos 187 
Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en un tubo 
C ~ ~ C U ! U ~ 188 
Ej. 5.5-2 Aplicación de la fdrmula de longitud de 
mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en un tubo 
circular 190 
Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la 
viscosidad de remolino 190 
55.6" Flujo turbulento en chorros 191 
Ej. 5.6-1 Distribución de velocidad con ajusfe de 
tiempo en un chorro de pared circular 191 
Preguntas para discusión 196 
Problemas 196 
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas 
isotérmicos 201 
6 . 1 Definición de factores de fricción 202 
56.2 Factores de fricci6n para flujo en tubos 204 
Ej. 6.2-3 Cuída de presión requerida para una 
velocidad de flujo dada 208 
Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una caída de presión 
dada 209 
96.3 Factores de fricción para flujo alrededor de 
esferas 210 
Ej. 6.3-1 Determinación del diámetro de una esfe~a que 
desciende 214 
56.4" Factores de fricción para columnas de 
relleno 215 
Preguntas para discusión 220 
Problemas 221 
Capítulo 7 Balances macroscópicos para 
sistemas con flujo isotérmico 229 
7 . 1 Balance macrosc6pico de materia 231 
E j . 7.1-1 Vaciado de un tanque esférico 231 
57.2 Balance macroscópico de cantidad de 
movimiento 233 
Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por u n chorro 
(Parte a) 234 
57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento 
angular 235 
Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en un recipienfe 
mezclador 236 
57.4 Balance rnacroscópico de energía mecánica 237 
Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por un chorro (Parte b) 239 
s7.5 Estimación de la pérdida viscosa 240 
E j . 7.5-1 Potencia necesa~ia para el flujo en una 
tuberfa 242 
s7.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas 
de estado estacionario 244 
Ej. 7.6-1 Aumenfo de presidn y ptrdida por fricción en 
un ensanchamiento brusco 244 
Ej. 7.6-2 Rendimiento deun eyector 
líquido-líquido 246 
Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de un fubo 247 
Ej. 7 . 64 Chorro que incide 250 
Ej. 7.6-5 Flujo isoférmico de un líquido a través de un 
orificio 251 
57.7" Uso de los balances macroscópicos para problemas 
de estado no estacionario 253 
Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleración en flujo no 
esfacionnrio desde un tanque cilíndrico 253 
Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256 
57.8. Deducción del balance macroscópico de energía 
mecánica 258 
Preguntas para discusi6n 261 
Problemas 261 
Capítulo 8 Líquidos poliméricos 271 
8 . 1 Ejemplos del comportamiento de líquidos 
poliméricos 272 
98.2 Reometría y funciones del material 277 
58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos 
newtonianos generalizados 281 
Ej. 8.3-1 Flujo laminar en un tubo circular de un 
fiuido incompresible que obedece la ley 
de potencias 284 
Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que 
obedece la ley de potencias 284 
Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos de un 
fluido que obedece la ley de pofencias 285 
98.4" Elasticidad y los modelos viscoelásticos Lineales 286 
Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitudpequeña 289 
Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelástico no estacionario cerca de 
una lámina oscilatoria 290 
58.50 Las derivadas corrotacionales y los modelos 
viscoelásticos no lineales 291 
Ej . 8.5-1 Funciones del material para el modelo de 
Oldroyd de 6 constantes 293 
58.6. Teorias moleculares para líquidos 
poliméricos 295 
Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo 
ENEF-P 297 
Preguntas para discusión 300 
Problemas 301 
Preguntas para discusión 334 
Problemas 335 
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura 
y distribuciones de temperatura en 
sólidos y en fIujo laminar 341 
510.1 Balances de energía en la envoltura: condiciones 
límite 342 
s10.2 Conducción de calor con una fuente de calor 
eléctrica 343 
Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una 
determinada elevación de temueratura en un 
alambre calentado por una corriente elécfrica 347 
Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de 
transmisidn de calor y temperatura ambiente de1 
aire especificados 347 
510.3 Conducción de calor con una fuente de calor 
nuclear 348 
510.4 Conducción de calor con una fuente de calor 
viscosa 351 
910.5 Conducción de calor con una fuente de 
calor química 354 
910.6 ~ond;ccion de calor a través de paredes 
compuestas 357 
E). 10.t;-! Partrlt-S 1 cilínclrrn~s cornpucsfas 360 
Parte 11 Transporte de energía 910.7 Condiiccióii de cal;)r en una aleta de 
erifrianiiento ,762 
Capítulo 9 Conductividad térmica y los Ej. 10.7-1 Error en la medición del terinopar 364 
mecanismos de transporte de 510.8 Convección forzada 366 
energía 309 s10.9 Convección libre 372 
Preguntas para discusi6n 376 
9 . 1 Ley de Fourier de la conducción de calor Problemas 377 
(transporte molecular de energía) 310 
Ej. 9.1-1 Medición de la conductividad térmica 315 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas 
59.2 Dependencia de la conductividad térmica con no isotérmicos 393 
respecto a la temperatura y la presión 316 
Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad 
férrnica 318 
Teoría de la conductividad térmica de gases a baja 
densidad 318 
Ej. 9.3-1 Cálculo de la conductividad térmica de un 
gas monoatómico a baja densidad 323 
E]. 9.3-2 Estimación de la conductiuidad térmica de un 
gas poliatómico a baja densidad 324 
Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad térmica de 
una mezcla de gases a baja densidad 324 
Teoría de la conductividad térmica de 
líquidos 325 
Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad térmica de un 
líquido 326 
Conductividad térmica de sólidos 327 
Conductividad térmica efectiva de sólidos 
compuestos 328 
Tkansporte de energía convectiva 331 
Trabajo asociado con movimientos 
moleculares 332 
Ecuación de energía 394 
Formas especiale; de la ecuación de energía 396 
La ecuación de movimiento de Boussinesq para 
convección forzada y libre 399 
Uso de las ecuaciones de variación para resolver 
problemas de estado estacionario 400 
E j . 11.4-1 Transmisión de calor por convección forzada 
en estado estacionario en flujo laminar en un tubo 
circular 401 
Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos con 
generación de calor viscoso 404 
Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una película no 
isot&tnica 405 
Ej. 11.4-4 Enfriamienfo por transpiración 406 
Ej. 11.4-5 Transmisión de calor por conveccidn libre 
desde una ldmina vertical 408 
Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin fricción en un gas 
ideal 411 
Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles 
de velocidad, temperatura y presión en una onda de 
choque estacionaria 412 
x Contenido 
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de 
variación para sistemas no isotérmicos 416 
E j . 11.5-1 Distribución de temperafura alrededor de un 
cilindro largo 419 
Ej . 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de 
fluido; formación de las celdas de Bénard 421 
Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentín 
calentador eléctrico 423 
Preguntas para discusión 424 
Problemas 425 
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más 
de una variable independiente 439 
512.1 Conducción de calor no estacionaria en 
sólidos 439 
Ej. 12.2-1 Calen famiento de una placa 
semiinfinita 440 
Ej . 12.1-2 Calentamiento de una placa finita 441 
Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de 
una pared con densidad de flujo de calor 
sinusoidal 445 
Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con 
un fluido bien agitado 446 
512.2" Conducción de calor estacionaria en flujo laminar 
incompresible 448 
Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubo con densidad de 
flujo de caior constante en la pared 449 
Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de 
flujo de calor constanfe en la pared: solución 
asin fótica para la región de embocadura 450 
512.3" Flujo potencial de calor estacionario en 
sólidos 452 
Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una 
pared 453 
512.4' Teoría de la capa limite para flujo no 
isotérmico 454 
Ej.12.4-1 Transrnisió~i de calor en convección forzada 
laminar a lo largo de una ldmina plana calentada 
(método integral de von Kfrmán) 456 
Ej. 12.4-2 Transmisidn de calor en convección forzada 
laminar a lo largo de una ldminn plana calentada 
(solución asintótica para números de Prandfl 
elevados) 458 
E j . 12.4-3 Convección forzada en flujo tridimensional 
estacionaria a números de.Prandt1 elmados 460 
Preguntas para discusión 463 
Problemas 463 
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en 
flujo turbulento 479 
513.1 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para 
flujo no isotérmico incompresible 479 
913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca 
de una pared 481 
513.3 Expresiones empíricas para la densidad de flujo 
de calor turbulento 482 
Ej . 13.3-1 Una relación aproximada para la densidad 
de flujo de calor en una pared para flujo turbulento 
en un tubo 483 
513.4' Distribución de temperatura para flujo turbulento 
en tubos 4&4 
513.5" Distribución de temperatura para flujo 
turbulento en chorros 488 
513.6. Análisis de Fourier de transporte de energía en el 
flujo en un tubo con números de Prandtl 
elevados 490 
Preguntas para discusión 491 
Problemas 492 
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas 
no isotéxmicos 497 
514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisión 
de calor 498 
Ej. 14.1-1 Cdlculo de los coeficientes de transrnisidn de 
calor a partir de datos experimentales 501 
514.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de 
transmisión de calor para convección forzada 
a través de hibos y rendijas 503 
514.3 Coeficientes de transmisión de calor para 
convección forzada en tubos 509 
Ej. 14.3-1 Diseño de un calentador tubular 514 
514.4 Coeficientes de transmisión de calor para 
convección forzada alrededor de objetos 
sumergidos 514 
514.5 Coeficientes de transmisión de calor para 
convección forzada a través de lechos de 
relleno 518 
s14.6" Coeficientes de transmisión de caior para 
convección libre y mixta 519 
Ej. 14.6-1 Pérdida de calor por convección libre desde 
un fubo horizontal 523 
514.7" Coeficientes de transmisión de calor para 
condensación de vapores puros sobre superficies 
sólidas 524 
Ej. 14.7-1 Condensación de vapor en una superficie 
vertical 527 
Preguntas para discusión 528 
Problemas 528 
Capítulo 15 Balances rnacroscópicos para sistemas 
no isotérmicos 533 
-- 
515.1 Balance macrosc6pico de energía 534 
515.2 Balance macroscópico de energía mecánica 536 
515.3 Uso de los balances macroscópicos para resolver 
problemas de estado estacionario con perfiles 
de velocidad planos 538 
Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539 
Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de gas ideal 540 
515.4 Las formas d de los balances macroscópicos 541 
Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos 
O a confracorriente 543 
Contenido xi 
Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uíz fluido 
compresible a través de una fuberiá de grandes 
dirnensioms 444 
515.5" Uso de los balances macroscópicos para resolver 
problemas de estado no estacionario y problemas 
con perfilesde velocidad no planos 547 
Ej . 15.5-1 Calentamiento de un líquido en un tanque 
agitado 547 
Ej. 15.5-2 Operación de un controlador de temperatura 
simple 550 
Ej. 15.5-3 Flujo de fluidos compresibles a través de 
medidores de calor 553 
Ej. 15.5-4 Expansión libre intermitente de un fluido 
compresible 554 
Preguntas para discusión 557 
Problemas 557 
Capitulo 16 Transporte de energía por 
radiación 571 
316.1 El espectro de radiación electromagn6tica 572 
516.2 Absorción y emisión en superficies sólidas 574 
916.3 Ley de distribución de Manck, ley de 
desplazamiento de Wien y ley de 
Stefan-Boltzmann 577 
E j . 16.3-1 Tmperatura y emisión de enerpk radiante 
del Sol 581 
516.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío 
a diferentes temperaturas 581 
Ej. 16.4-1 Estimación de la constanfe solar 586 
Ej . 16.4-2 Transmisión de calor radiante entre 
discos 586 
516.5" Radiación entre cuerpos no negros a diferentes 
temperaturas 586 
Ej. 16.5-1 Escudos de radiación 589 
Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiación y por 
convección libre en un tubo horizontal 590 
Ej. 16.5-3 Radiación y convección combinadas 590 
516.6" Transporte de energía radiante en medios 
absorbentes 591 
Ej. 16.6-1 Absorción de una emisión de rayos de 
radiación monocromdfica 593 
Preguntas para discusión 593 
Problemas 594 
,-,,ae * ,'wwP RL<&<. 
l'a "rannsporte de materia 
%m><* JfQh 
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de 
transporte de materia 599 
917.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte 
molecular de materia) 600 
Ej. 17.1-1 Difusión del helio a través de cristal 
Pyrex 605 
Ej. 17.1-2 Equivalencia de -OAB y -OBA 606 
917.2 Dependencia de las difusividades con respecto a Ia 
temperatura y la presión 607 
Ej. 17.2-1 Estimación de la difusividad a baja 
densidad 609 
Ej. 17.2-2 Estimación de la autodifusividad a alta 
densidad 610 
El. 17.2-3 Estimación de la difusividad binaria a alta 
densidad 610 
517.3" Teoría de la difusión en gases a baja densidad 611 
Ej. 17.3-1 Cómputo de la difusividad de masa para 
gases monoatómicos a baja densidad 615 
917.4" Teoría de la difusión en líquidos binarios 615 
E j . 17.4-1 Esf~macidn de la difusividad 
en líquidos 618 
317.5" Teoría de la difusión en suspensiones 
coloidales 618 
517.6" Teoría de la difusión en polímeros 620 
317.7 Transporte de materia y molar por 
convección 620 
517.8 Resumen de densidades de flujo de masa y 
molar 624 
$17.9" Ecuaciones de Maxweil-Stefan para difusión de 
varios componentes en gases a baja densidad 626 
Preguntas para discusión 627 
Problemas 627 
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en 
sólidos y flujo laminar 633 
518.1 Balances de materia en h envoltura: condiciones 
límite 635 
918.2 Difusión a través de una película de gas 
estancada 636 
Ej. 18.2-1 Difusión con una iriterfase móvil 640 
Ej. 18.2-2 Determinación de la difusividad 641 
Ej. 18.2-3 Difusión a través de una película esférica 
no isofémiica 641 
318.3 Difusión con una reacción química 
heterogénea 643 
Ej. 18.3-1 Difusiórr can una reacción heterogénea 
Ientn 645 
s18.4 Difusión con una reacción química 
homogénea 646 
Ej. 18.4-1 Absorción de un gas con reacción química 
en un tanque agitado 648 
518.5 Difusión a una película líquida descendente 
(absorción de un gas) 650 
Ej. 18.5-1 Absorción de un gas desde burbujas 
ascendentes 654 
518.6 Difusión a una película líquida descendente 
(disolución de un sólido) 655 
518.7 Difusión y reacción química dentro de un 
catalizador poroso 658 
518.8" Difusión en un sistema gaseoso de tres 
componentes 662 
Preguntas para discusión 664 
Problemas 664 
xii Contenido 
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas 
de varias componentes 681 
g19.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de 
varias componentes 681 
Ej. 19.1-1 Difusión, convecci6n y reaccidn 
quimica 685 
519.2 Resumen de las ecuaciones de variación de varias 
componentes 686 
919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias 
componentes 691. 
E j . 19.3-1 Entalpiá molar parcial 692 
s19.4 Uso de las ecuaciones de variación para 
mezclas 694 
Ej. 19.4-1 Transporfe sirnultdneo de calor 
y de materia 694 
Ej. 29.4-2 Pofil de concentración en un reactor 
tubular 697 
Ej . 19.4-3 Oxidación catalítica del monóxido de 
carbono 699 
Ej. 19.4-4 Conducfividad ténntca de un gas 
poliatómico 701 
519.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de 
variación para mezclas binarias 
no reactivas 702 
Ej. 19.5-1 Distribución de concenfracidn alrededor de 
un cilindro largo 704 
Ej. 19.5-2 Fomacidn de niebla durante la 
deshumidificación 706 
Ej. 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles 708 
Preguntas para discusión 710 
Problemas 71 0 
Capítulo 20 Distribuciones de concentración 
con más de una variable 
independiente 719 
520.1 Difusión dependiente del tiempo 720 
Ej. 20.1-1 Evaporación en estado no estacionario de un 
liquido (el "problema de Arnold") 721 
Ej . 20.1-2 Absorcibn de un gas con reacción 
rdpida 724 
Ej. 20.1-3 Difusión no estacionaria con reacción 
homoghea de primer orden 726 
Ej. 20.1-4 Influencia det drea interfacial variable sobre 
la transferencia de materia en una interfase 728 
520.2' Transporte en estado estacionario en capas límite 
binarias 731 
Ej. 20.2-1 Difusión y rmcción química en flujo 
laminar isotPrmico a lo largo de una Límina plana 
soluble 733 
Ej. 20.2-2 Convección forzada desde una lámina plana 
a altas velocidades de transferencia de 
rnnteria 735 
Ej. 20.2-3 Analogías aproximadas para la lámina plam 
a bajas velocidades de transferencia de 
materia 741 
520.30 Teoría de capa límite en estado estacionario para 
flujo alrededor de objetos 741 
Ej. 20.3-1 Transferencia de materia para flujo reptante 
alrededor de una burbuja de gas 745 
520.40 Transporte de materia de capa límite con 
movimiento interfacial complejo 746 
Ej. 20.4-1 Transferencia de materia con deformación 
interfacial no uniforme 751 
Ej. 20.4-2 Absorción de un gas con reaccidn rápida y 
deformación interfacial 752 
920.5. "Dispersión de Taylor" en flujo laminar 
en un tubo 753 
Preguntas para discusibn 758 
Problemas 758 
Capítulo 21 Distribuciones de concentración en 
flujo turbulento 769 
521.1 Fluctuaciones de concentración y la concentración 
con ajuste de tiempo 769 
921.2 Ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad 
deA 770 
521.3 Expresiones semiempíncas para ¡a densidad 
de flujo turbulento de materia 771 
521.4" Mejoramiento de la transferencia de materia 
por medio de una reacción de primer orden en 
flujo turbulento 772 
521.5. Mezclado turbulento y flujo turbulento con 
reacción de segundo orden 777 
Preguntas para discusión 782 
Problemas 782 
Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas 
no isotérmicas 787 
522.1 Definición de los coeficientes de transferencia 
en una fase 788 
522.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de 
transferencia de materia 793 
s22.3 Correlación de los coeficientes binarios de 
transferencia en una fase 797 
Ej. 22.3-1 Evaporación desde una gota que cae 
libremente 801 
Ej. 22.3-2 El psicrómetro de bulbo húmedo 
y seco 802 
Ej. 22.3-3 Transferencia de materia en flujo reptanfe a 
trav6s de lechos de relleno 805 
Ej. 22.34 Transferencia de materia a gotas 
y burbujas 806 
522.4 Definición de los coeficientes de transferencia 
en dos fases 807 
Ej. 22.4-1 Determinación de la resistencia 
de controI 810 
Ej. 22.4-2 Inferacción de las resistencias de fase 812 
Ej. 22.4-3 Promedio de área 814 
522.5" Transferencia de materia y reacciones 
quimicas 815 
Contenido xiii 
E j . 22.5-1 Estimación del área interfacial en una 
columna de relleno 816 
E j . 22.5-2 Estimación de los coeficientes volumétricos 
de transferencia de materia 817 
Ej. 22.5-3 Correlaciones insensibles al modelo para 
absorción con reacción rápida 818 
€j22h0 Combinación de transmisión de calor y 
transferencia de materia por convección libre 820 
Ej. 22.6-1 Aditividad de los números de Grashof 820 
E j . 22.6-2Transmisidn de calor por conveccidn libre 
como fuente de transferencia de materia por 
conveccidn forzada 820 
$22.7" Efectos de las fuerzas interfaaales sobre la 
transmisión de calor y la transferencia de 
materia 822 
E j . 22.7-1 Eliminación de lo circulacidn en una burbu- 
ja de gas ascendente 824 
Ej. 22.7-2 Inestabilidad de Marangoni en una película 
descendente 825 
922.8" Coeficientes de transferencia a altas velocidades 
de transferencia neta de materia 826 
Ej. 22.8-1 Evaporación rdpida de un lfquido desde una 
superficie plana 834 
Ej. 22.8-2 Factores de correccidn en la a~aporación de 
una gotita 835 
Ej. 22.8-3 Desempeño corregido de un bulbo húmedo 
piara velocidad de transferencia de materia 835 
Ej . 22 -84 Comparación de los modelos de película y de 
penetración para evaporacidn no estacionaria ett un 
tubo largo 837 
E j . 22.8-5 Polariuzción de concentración en 
ultrafiltrnción 838 
522.9. Aproximaciones matriciales para transporte de 
materia de varias componentes 842 
Preguntas para discusión 849 
Problemas 849 
Capitulo 23 Balances macroscópicos en sistemas 
de varias componentes 853 
323.1 Balances macrosc6picos de materia 854 
Ej . 23.1-1 Disposición de un producto de desecho no 
estacionario 855 
E j . 23.1-2 Partidores de muestras binarios 857 
Ej. 23.1-3 Balances macroscdpicos, "capacidad 
separathra" y la "función de valor" de Dirac 859 
E j . 23.1 -4 Análisis por compartimientos 862 
Ej . 23.1-5 Constantes de tiempo e insensibilidad 
al modelo 865 
s23.2' Balances macrosc6picos de cantidad de 
moviiniento y de cantidad de movimiento 
angular 868 
s23.3 Balance macroscópico de energía 868 
923.4 Balance macroscópico de energía mecánica 869 
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver 
problemas de estado estacionario 869 
Ej. 23.5-1 Balances de energúl para un convertidor de 
dióxido de azufre 869 
E). 23 .S-2 Altura de una torre de abcorcidn 
de relleno 872 
Ej. 23.5-3 Cascadas lineales 877 
Ej. 23.54 Expansión de una niacla degases reacfivn a 
través de una boquiILa adiabática sin fricción 881 
523.6" Uso de los balances macrosc6picos para resolver 
problemas de estado no estacionario 884 
Ej. 23.6-1 Puesta en marcha de un reactor 
químico 884 
Ej. 23.6-2 Ope~ación de una columna de ell le no en 
estado no estacionario 885 
Ej. 23.6-3 Utilidad de los monlentos de orden 
bajo 889 
Preguntas para discusión 892 
Problemas 892 
Capitulo 24 Otros mecanisinos del transporte 
de materia 899 
524.1 Ecuación de variación para entropia 900 
524.2. Expresiones de densidad de flujo para calor 
y materia 902 
Ej. 24.2-1 Difusidn termica y la columnu de Clusius- 
Dickel 906 
Ej. 24.2-2 Di@si6n de presión 
y la ultracen frifugadora 908 
924.3' Difusión de concentración y fuerzas 
impulsoras 910 
924.4' Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas 
de Maxwell-Stefan 912 
Ej. 24.4-1 Centrifugado de profefnas 913 
Ej. 24.4-2 Proteínas como partículas 
hidrodindmicas 916 
Ej. 24.4-3 Difusión de cales eví una solucidn 
acuosa 917 
Ej. 24.4-4 Desviaciones con respecfo a la 
elecfroneutralidad local: electrodsrnosis 919 
Ej. 24.4-5 Fuerzas impulsoras adicionales de 
transferencia de materia 921 
524.5" Transporte de materia a través 
de membranas selectivamente 
permeables 923 
Ej. 24.5-2 Difusidn de concentracidn entre fases 
z7olumAricas mayores preexistentes 926 
Ej. 24.5-2 Ulftafiftración y ósmosis inversa 928 
Ej. 24.5-3 Membranas cargadas y exclusidn de 
Donnan 930 
s24.6' Transporte de masa en medios 
porosos 932 
E j . 24.6-1 Difusión de Knudsen 934 
Ej. 24.6-2 Transporte desde una solución binaria 
externa 937 
Preguntas para discusión 938 
Problemas 939 
Epílogo 945 
xiv Contenido 
A peiid ices 
Apéndice A Notación vectorial y tensorial 947 
Operaciones vectoriales desde un punto de vista 
geométrico 948 
operaciones vectoriales en términos de 
componentes 951 
Ej . A.2-1 Wernostrnci6n de una identidad 
vecforial 955 
Operaciones tensoriales en términos de 
componentes 956 
operaciones diferenciales para vectores 
y tensores 962 
E j . A.4-1 Probar una identidad tensorial 966 
Teoremas integrales para vectores y tensores 968 
Álgebra de vectores y tensores en coordenadas 
curvilíneas 970 
Operaciones diferenciales en coordenadas 
curvilíneas 974 
Ej . A.7-I Operaciones diferenciales en coordenadas 
cilindricas 977 
Ej. A.7-2 Operaciones diferenciales en coordenadas 
esféricas 984 
Operaciones integrales en coordenadas 
curvilíneas 986 
Comentarios adicionales sobre la notación 
vector-tensor 988 
Apéndice B Densidades de flujo y las ecuaciones 
de variación 991 
1 Ley de viscosidad de Newton 991 
sB.2 Ley de conducción de calor de Fourier 993 
5B.3 (Primera) Ley de Fick de la difusión binaria 994 
gB.4 La ecuación de continuidad 994 
5B.5 La ecuación de movimiento en términos de T 995 
3B.6 La ecuación de movimiento para un fluido 
newtoniano con p y p constantes 996 
58.7 La función de disipación m, para fluidos 
newtonianos 997 
50.8 La ecuación de energía en términos de q 997 
5B.9 La ecuación de energía para fluidos newtonianos 
puros con p y k constantes 998 
5B.10 La ecuación de continuidad para la especie a en 
términos de j, 998 
gB.11 La ecuación de continuidad para la especie A en 
términos de wA para p%AB constante 999 
Apéndice C Temas matemáticos 1001 
C . Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y 
sus soluciones 1001 
5C.2 Expansión de funciones en serie de Taylor 1002 
5C.3 Diferenciación de integrales 
(fórmula de Leibniz) 1003 
5C.4 La función gamma 1004 
5C.5 Las funciones hiperbólicas 1005 
5C.6 La función de error 1006 
Apéndice D La teoría cinética de los gases 1007 
D . Ecuación de Boitzmann 1007 
5D.2 Ecuaciones de variación 1008 
5D.3 Expresiones moleculares para las densidades 
de flujo 1009 
5D.4 Soluci6n de la ecuación de Boltzmann 1009 
5D.5 Las densidades de flujo en términos de las 
propiedades de transporte 1010 
5D.6 Las propiedades de transporte en términos de 
las fuerzas intermoleculares 1010 
5D.7 Comentarios finales 1011 
Apéndice E Tablas para predicción de 
propiedades de transporte 1013 
E Parámetros y propiedades críticas de la fuerza 
intermolecular 1014 
5E.2 Funciones para la predicción de propiedades 
de transporte de gases a bajas densidades 1016 
Apéndice F Constantes y factores de 
conversión 1017 
§El Constantes matemáticas 1017 
5F.2 Constantes físicas 1017 
5F.3 Factores de conversión 1018 
Notación 1023 
Índice de autores 1029 
Índice temático 1037 
Capítulo 0 
El tema de los fenómenos de transporte 
0 . ¿Qué son los fenómenos de transporte? 
50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fenómenos de transporte 
w.3 Las leyes de conservación: un ejemplo 
50.4 Comentarios finales 
El propósito de este capitulo introductono es describir el alcance, los objetivos y los 
métodos del tema de los fenómenos de transporte. Es importante tener una idea 
acerca de la estructura del campo antes de entrar en los detalles; sin esta perspecti- 
va no es posible apreciar los principios unificadores del tema y la interrelación de 
los diversos temas individuales. Para entender muchos procesos en ingeniería, agri- 
cultura, meteorología, fisiología, biología, química analítica, ciencia de materiales, 
farmacia y otras áreas, es esencial tener una buena comprensión de los fenómenos 
de transporte. Tales fenómenos constituyen una rama bien desarrollada y eminen- 
temente útil de la física que trasciende muchas áreas de la ciencia aplicada. 
0 . ¿QUÉ SON LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE? 
El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente 
relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia. 
La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la trans- 
misión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia 
estudia el transporte de materia de varias especies químicas. En un nivel introduc- 
torio, estostres fenómenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes 
razones: 
A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, bio- 
lógicos, agrícolas y meteorológicos; de hecho, el desarrollo de cualquier pro- 
ceso de transporte en forma individual es la excepción, más que la regla. 
Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están 
bastante relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones 
simples es la base para resolver problemas "por analogía". 
Las herramientas matemáticas necesarias para describir estos fenómenos son 
muy semejantes. Aunque el propósito de este libro no es enseñar matemáti- 
cas, se pedirá al estudiante que revise varios temas matemáticos a medida 
que se avanza. Aprender cómo aplicar las matemáticas puede ser un resulta- 
do indirecto bastante útil del estudio de esta materia. 
Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenóme- 
nos de transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está 
2 Capitulo O El tema de los fenómenos de transporte 
hecha de moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares 
son responsables de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión. 
Los objetivos principales de este libro son proporcionar una visión completa y ba- 
lanceada del campo de los fenómenos de transporte, presentar las ecuaciones fun- 
damentales de la materia y mostrar corno usarlas para resolver problemas. 
Hay numerosos y excelentes tratados sobre dinámica de fluidos, transmisión de 
calor y transferencia de materia. Además, hay muchas revistas de investigación de- 
dicadas a estos temas individuales e incluso a subcampos especializados. El lector 
que domine el contenido de este libro estará en posibilidad de consultar tratados y 
revistas, y abordar con mayor profundidad otros aspectos de la teoría, técnicas expe- 
rimentales, correlaciones empíricas, métodos de diseño y aplicaciones. Es decir, este 
libro no debe considerarse como la presentación completa del tema, sino más bien co- 
mo un escalón para llegar a la abundancia de conocimientos que está más allá. 
90.2 TRES NIVELES EN LOS QUE ES POSIBLE ESTUDIAR 
LOS FEN~MENOS DE TRANSPORTE 
En la figura 0.2-1 se muestra el diagrama de un sistema grande; por ejempjo, una 
pieza de equipo grande a travQ de la cual fluye una mezcla de fluido. El transpor- 
te de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular 
se pueden describir en tres niveles distintos. 
Nivel macroscópico (figura 0.2-la). En este nivel se anota un conjunto de ecuacio- 
nes denominadas "balances macroscópicos", que describen cómo cambian la mate- 
ria, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular en 
el sistema debido a la introducción y eliminación de estas entidades por las corrien- 
tes que entran y salen, y también debido a otras entradas al sistema provenientes del 
entorno. No se hace ningún intento por comprender todos los detalles del sistema. 
A1 estudiar un sistema de ingeniería o uno biológico es conveniente empezar con es- 
ta descripción rnacroscópica a fin de hacer una valoracián global del problema; eii 
algunos casos todo lo que se requiere es esta visión general. 
Nivel microscópico (figura 0.2-16). En este nivel se analiza lo que esta ocurriendo a 
la mezcla de fluido en una pequeña región dentro del equipo. Se anota un conjunto 
de ecuaciones denominadas "ecuaciones de variación", que describen cómo la mate- 
ria, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular cam- 
bian dentro de esta pequeña región. El objetivo aquí consiste en obtener información 
Q = calor añadido al sistema 
A' 
Figura 0.2-1 a) Sistema 
de flujo macroscí>pico ' W, = trabajo realizado sobre el que contiene N2 y 02; 
1 sistema por el entorno b) región microscópica 
por medio de partes móvikes dentro del sistema 
macrciscópico que contie- 
ne Ni y 02, que se 
encuentran en estado de 
flujo; C ) colisiún entre 
una molécuIa de N, y una 
molécula de Q1. 
50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fen6menos de transporte 3 
, acerca de la velocidad, la temperatura, la presión y los perfiles de concentración den- 
tro del sistema. Esta información más detallada puede ser necesaria para comprender 
algunos procesos. 
Nivel molecular (figura 0.2-112). En este nivel se busca una comprensión funda- 
mental de los mecanismos de transporte de materia, cantidad de movimiento, ener- 
gía y cantidad de movimiento angular en términos de la estructura molecular y las 
fuerzas intermoleculares. En general éste es el dominio del físico teórico o del físico 
químico, aunque hay ocasiones en que los ingenieros y los científicos aplicados de- 
ben participar en este nivel. Esto es particularmente cierto si los procesos que se es- 
tán estudiando implican moléculas complejas, intervalos extremos de temperahra 
y preción, o sistemas químicamente reactivos. 
Debe resultar evidente que estos tres niveles de descripción suponen diferentes 
"escalas de longitud": por ejemplo, en un problema industrial tipico, en el nivel ma- 
croscópico las dimensiones de 10s sistemas de flujo pueden ser del orden de centí- 
metros o metros; el nivel microscópico implica lo que está ocurriendo en el intervalo 
de micras a centímetros; y los probgemas en el nivel molecular contemplan interna- 
los aproximados de 1 a 1000 nanómetros. 
Este libro está dividido en tres partes que tratan lo siguiente: 
Flujo de fluidos puros a temperatura constante (haciendo énfasis en el trans- 
porte viscoso y convectivo de cantidad de movimiento): capítulos 1 a 8. 
Flujo de fluidos puros con temperatura variable (haciendo énfasis en el trans- 
porte de energía conductivo, convectivo y radiactivo): capítulos 9 a 16. 
Flujo de mezclas de fluidos de composición variable (haciendo énfasis en el 
transporte difusivo y convectivo de materia): capítulos 17 a 24. 
Es decir, avanzamos desde los problemas más simples hasta los más difíciles. En ca- 
da una de estas partes comenzamos con un capitulo inicial que aborda algunos re- 
sultados de la teoría molecular de las propiedades de transporte (viscosidad, 
condudividad térmica y difusividad). En seguida procedemos al nivel microscópico 
y aprendemos cómo determinar la velocidad, la temperatura y Ios perfiles de con- 
centración en varios tipos de sistemas. La discusión concluye con el nivel macroscó- 
pico y la descripción de grandes sistemas. 
A medida que se avance en el análisis, e1 lector apreciará que existen muchas re- 
laciones entre los niveles de descripción. Las propiedades de transporte especifica- 
das en la teoría molecular se usan en el nivel microscópico. Además, las ecuaciones 
que se desarrollan en el mismo nivel son necesarias para proporcionar alguna infor- 
mación inicial a la solución de problemas en el nivel macroscópico. 
También hay relaciones entre las tres áreas de transporte de cantidad de movi- 
miento, energía y materia. Al aprender cómo resolver problemas en un áxea, también 
se aprenden las técnicas para resolverlos en otra. Las semejanzas de las ecuaciones en 
las tres áreas significan que en muchos casos es posible resolver un probIema "por 
analogia"; es decir, tomar una solución directamente de un área y, carnbianGr, luego 
los símbolos en las ecuaciones, anotar la solución de un problema en otra área. 
EI estudiante encontrará que estas relaciones - en t r e niveles y entre los diver- 
sos fenómenos de transporte- refuerzan el proceso de aprendizaje. A medida que 
se pasa de la primera parte del libro (transporte de cantidad de movimiento) a la se- 
gunda (transporte de energía), y luego a la tercera (transporte de materia), la histo- 
ria será muy parecida, pero los "nombres de los jugadores" cambiarán. 
En la tabla 0.2-1 se muestra la disposición de los capítulos en forma de una "ma- 
triz'' de 3 x 8. Un rápido vistazo a la matriz deja muy claro qué tipos de interrelacio- 
4 Capítulo OEl tema de los fenómenos de transporte 
Tabla 0.2-1 Organización de los temas en este libro 
Cantidad de 
Tipo de transporte movimiento Energía Materia 
Transporte debido al 1 Viscosidad y el 9 Conductividad 17 Difusividad y los 
movimiento tensor de esfuerzo térmica y el vector vectores de 
molecular (densidad de flujo de densidad de densidad de flujo 
de cantidad de Aujo de calor de materia 
movimiento) 
Transporte en una 2 Balances de 10 Balances de 18 Balances de 
dimensión (métodos envoltura de la envoltura de envoltura de 
de balances de cantidad de energía y materia y 
envoltura) movimiento y distribuciones de distribuciones de 
distribuciones de temperatura concentración 
velocidad 
Transporte en 3 Ecuaciones de 11 Ecuaciones de 19 Bcuaciones de 
medios continuos variación y su uso variación y su uso variación y su uso 
arbitrarios (uso de [isotérmicasl [no isotérmicas] [mezclas] 
las ecuaciones 
generales de 
transporte) 
Transporte con dos 4 Transporte de 12 Transporte de 20 Transporte de 
variables cantidad de energía con dos materia con dos 
inde~endientes movimiento con variables variables 
r,inétodos especiales) dos variables independientes independientes 
independientes 
Transporte en flujo 5 Transporte 13 Transporte 21 Transporte 
turbulento y turbulento de turbulento de turbulento de 
propiedades de cantidad de energía; materia; 
zransporte de movimiento; conductividad difusividad de 
remolino viscosidad de térmica de remo1 ino 
remolino remolino 
Transporte a través 6 Factores de 14 Coeficientes de 22 Coeficientes de 
de límites de fases fricción; uso de transmisión de transferencia de 
correlaciones calor; uso de materia; uso de 
empíricas correlaciones correIaciones 
empíricas empíricas 
Transporte en 7 Balances 15 Balances 23 Balances 
grandes sistemas, macroscópicos macroscópicos macroscópicos 
como piezas de [isotérmicos] [no isotérmicosl [mezclas] 
equipo o partes de 
este 
Transporte por 8 Transporte de 16 Transporte de 24 Transporte de 
medio de otros cantidad de energía por materia en 
mecanismos movimiento en radiación sistemas de varios 
líquidos componentes; 
poliméricos efectos cruzados 
nes pueden esperarse en el transcurso del estudio del libro. Recomendamos estudiar los 
temas por columnas, en particular para cursos de pregrado. Para bs estudiantes de pos- 
grado, p r otra parte, hacer e1 estudio de los temas por renglones puede ser una opor- 
tunidad para reforzar las relaciones entre las tres áreas de los fenómenos de transporte. 
g0.3 Las leyes de conservación: un ejemplo 5 
En los tres niveles de descripción -molecular, microscópico y macroscópico-, 
las leyes de conservación desempeñan un papel fundamental. La obtención de las le- 
yes de conservación para sistemas moleculares es directa e instructiva. Con física 
elemental y un mínimo de matemáticas es posible ilustrar los conceptos principales 
y revisar cantidades físicas clave que se encontrarán a lo largo de este libro. Ese es 
el tema de la siguiente sección. 
El sistema que consideramos es el de dos moléculas diatómicas que chocan. Para fa- 
cilitar las cosas, suponemos que las moléculas no interactúan químicamente y que ca- 
da una de ellas es homonuclear; es decir, que sus núcleos atómicos son idénticos. Las 
moléculas están en un gas a baja densidad, de modo que no es necesario considerar 
interacciones con otras moléculas en el entorno. En la figura 0.3-1 se muestra la coli- 
sión entre las dos moléculas diatómicas hornonucleares, A y B, y en la figura 0.3-2 se 
muestra la notación para especificar las ubicaciones de los dos átomos de una molé- 
cula por medio de vectores de posición trazados desde un origen arbitrario. 
En realidad, la descripción de eventos que ocurren a nive1 atómico y molecular 
debe hacerse usando mecánica cuántica. Sin embargo, excepto para las moléculas 
más ligeras (H2 y He) a temperaluras menores que 50 K, la teoría cinética de los ga- 
ses puede desarrollarse con bastante precisión por medio de la mecánica clásica. 
Antes y después de una colisión deben mantenerse varias relaciones entre can- 
tidades. Tanto antes como después de la colisión se supone que las moléculas están 
lo suficientemente distanciadas, de modo que las dos moléculas son incapaces de 
"percibir" la fuerza intermolecular entre ellas; más allá de una distancia aproxima- 
da de 5 diámetros moleculares se sabe que la fuerza intermolecular es despreciable. 
Las cantidades después de la colisión se indican con primas. 
a) Según la ley de conservación de la materia, la materia total de las moléculas que 
entran a la colisión y salen de ésta debe ser igual: 
Aquí rnA y rnB son las masas de las molécuIas A y B. Debido a que no hay reacciones 
químicas, las masas de las especies individuales también se conservan, de modo que 
,,@--\ 
k., 1. Figura 0.3-1 Coli- 
sión entre molécu- -"O : 
1 
Molécula A antes de la colisión / 
las diatómicas 
i / Molécula B antes de la colisióii hornonucleares, co- 
l L 
/ \ mo Nz y O2 La mo- 
/ \ lécula A está 
/ 
/ '\ compuesta por dos '\ átomos, A l y A2 
La molécula B está 
compuesta tarnbih 
Molécula B después de la coli51on Dc,r dos ~1 r 
Molécula A después de la colisión y H2. 
6 Capitulo O El tema de los fenbmenos de transporte 
O 
Origen arbitrario 
fijado en ei espacio Figvra 0.3-2 Vectores de posición para los átomos A l y A2 en la molécula A. 
b) Según la ley de conseniación de la cantidad de movimiento, la suma de las canti- 
dades de movimiento de todos los átomos antes de la colisión debe ser igual a la co- 
rrespondiente después de la colisi6n, de modo que 
donde rAl es el vedor de posición para el átamo 1 d e la molécula A, y fAl es su ve- 
locidad. Luego se escribe rAl = FA + RAl, de modo que rAl está escrito como la suma 
del vector de posición para el centro de masa y el vector de pasición del átomo res- 
pecto al centro de masa, y se reconoce que RA2 = -RAr; las mismas relaciones tam- 
bién se escriben para los vectores de velocidad. Asi, podemos volver a escribir la 
ecuación 0.3-3 como 
Es decir, el planteamiento de conservación puede escribirse en términos de las ma- 
sas y velocidades moleculares, y las cantidades at6micas correspondientes pueden 
eliminarse. Para obtener la ecuación 0.3-4 se usó la ecuación 0.3-2 y el hecho de que 
para moléculas diatómicas hornonucleares se cumple que mAl = nzA2 = mA. 
C) Se@ la ley de conservacidn de la energia, la energía del par de moléculas que 
chocan debe ser la misma antes y después de la colisi6n. La energía de una moiécu- 
la aislada es la suma de las energías cinéticas de los dos átomos y la energía poten- 
cial interatómica, que describe la fuerza del enlace químico que une los dos 
átomos I y 2 de la molécuia A, y es una función de la distancia interatómica I rA;! - 
rAl 1 . En consecuencia, la conservación de la energía lleva a lo siguiente: 
Nótese que utilizamos la notación estándar abreviada de que*l = (tAl fAl). Luego 
escribimos la velocidad del átomo 1 de la molécula A como la suma de la velocidad 
del centro de masa de A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; es decir, 
kAl = tA +RAI . Así, 4 ecuación 0.3-5 se convierte en 
donde uA = $ mA1Ri1 + mA2R& + #A es la suma de las energías cinéticas de los áto- 
mos, referida al centro de masa de la molécula A, y el potencial interat6mico de la mo- 
90.4 Comentarios finales 7 
léala A. Es decir, la enex@ de cada molécuia se divide en su energía &ética respecto 
a coordenadas fijas y en h energla interna de la mol6cda (que h l u y e sus energías de 
vibración, rotadonal y potencial). La w d 6 n 0.3-6 hace evidente que ias energías ciné- 
ticas de ki inolécuias que chocan pueden transformarse en energía intema o viceversa. 
Esta idea de un intercambio entre en* cinbtica y energía interna surgir6 de nuevo 
d o analicemos las daames de energía m los niveles micmc6pico y m a m p m . 
d) Pot iíltimo, la ley de conservación de la cantidad de movimiento altgular puede 
apiicarse a una colisión paraobtener 
donde X se usa para indica el producto cruz de dos vectores. Luego & introducen 
los vectores de centro de maca y de pusici6n relativa y los vectores de velocidad co- 
mo antes, y obtenemos: 
donde lA = [ R ~ ~ x mAjtAl] + IR, x es la suma de 10s momentos de canti- 
dad de movimiento angular de los Atomos referida a un origen de coordenadas en 
el centro de masa de h-molécula; es decir, la "cantidad de movimiento angular fn- 
terno". El punto importante es que existe la posibilidad de intercambio entre la can- 
tidad de movimiento angular de las moléculas (respecto al origen de coordenadas) 
y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la mo- 
lécula). Más tarde se hará referencia a este hecho en relación con la ecuación de va- 
riación para la cantidad de movimiento angular. 
Lac leyes de conse~ación, se&n se aplican a colisiones de moléculas mon~atd- 
micas, pueden obtenerse a partir de los resultados anteriores como sigue: las ecua- 
ciones 0.3-1,032 y 0.3-4 son aplicables directamente; la ecuación 0.3-6 es aplicable si 
se omiten las contribuciones de en+ intema; y Ia ecuación 0.3-8 puede usarse si se 
descartan los términos de la cantidad de movimiento angular interno. 
Una parte importante de este libro estii relacionada con el establecimiento de las 
leyes de conservaci6n en los niveles microscópico y macroscópico y su aplicación a 
problemas de interés en ingenie& y ciencias. El anáIisis anterior debe proporcionar 
un entorno aceptable para emprender esta tarea. Para repasar las leyes de conserva- 
ción por especie para materia, cantidad de movimiento y energia en los niveles mi- 
croscópico y macroscópico, consdte las tablas 19.2-1 y 23.5-1. 
.4 COMENTARIOS FINALES 
Para utilizar de manera inteligente los balances macroscópicos, es necesario valerse 
de informaci6n sobre transporte de interface que proviene de las ecuarione~ de va- 
riación. Pata usar estas ecuadones se requieren las propiedades de transporte, que 
est6n descritas por vanas teorias moleculares. En consecuencia, desde el punto de 
vista de la enseñanza, parece mejor comenzar en el nivel molecular y progresar ha- 
cia sistemas m6s grandes. 
Todos los tratamientos teóricos van acompañados de ejemplos pafa ilustrar ró- 
mo la teoria se aplica a la solución de problemas. Al final de cada capitulo se pre- 
cenan probIemas para reforzar las ideas desarrolladas en el capítulo. Los problemas 
e s t h agrupados en cuatro clases: 
8 Capítulo O El tema de los fenómenos de transporte 
Clase A: problemas numéricos, diseñados para destacar ecuaciones importan- 
tes del texto y para desarrollar sensibilidad respecto a los órdenes de 
magnitud. 
Clase B: problemas analíticos que requieren realizar deducciones elementales 
aplicando conceptos fundamentales del capítulo. 
Clase C: problemas analíticos más avanzados que pueden requerir consultar 
los conceptos de otros capítulos o de otros libros. 
Clase D: problemas que requieren habilidades matemáticas intermedias. 
Muchos de los problemas y ejemplos ilustrativos son más bien elementales en el 
sentido de que implican sistemas demasiado simplificados o modelos muy ideales. 
No obstante, es necesario empezar con estos problemas elementales para entender 
cómo funciona la teoría y adquirir confianza en su empleo. Además, algunos de es- 
tos problemas pueden ser muy útiles para reaLizar estimaciones sobre el orden d e 
magnitud en problemas complejos. 
A continuación se presentan algunas sugerencias para estudiar el tema de los fe- 
nómenos de transporte: 
Leer siempre e1 libro teniendo lápiz y papel a la mano; trabajar todos los de- 
talles de los desarrollos matemáticos y anotar los pasos faltantes. 
Siempre que sea necesario, consultar los textos de matemáticas para repasar 
cálculo, ecuaciones diferenciales, vectores, etc. Ésta es una oportunidad exce- 
lente para repasar los contenidos matemáticos aprendidos previamente (aun- 
que quizá no con tanto cuidado como debió haber sido). 
Empeñarse en interpretar físicamente 10s resultados clave; es decir, adquirir 
el hábito de relacionar las ideas físicas con las ecuaciones. 
Preguntar siempre si los resultados parecen razonables. Si los resultados no 
coinciden con la intuición, es importante descubrir cuál es el error. 
Acostumbrarse a comprobar las dimensiones de todos los resultados. Ésta es 
una muy buena manera de ubicar errores en las deducciones. 
Esperamos que el lector comparta nuestro entusiasmo por el tema de los fenómenos 
de transporte. Para dominar la materia se requerirá algo de esfuerzo, pero las re- 
compensas merecerán el tiempo y la energía invertidos. 
¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y 
energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades? 
¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, tra- 
bajo y momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas canti- 
dades? 
Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4. 
Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación 
0.3-5. 
Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afec- 
ta este hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación? 
Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular. 
'Qué se entiende por energía interna?, ¿y por energía potencial? 
La ley de conservación de la materia, jsiempre es válida? ¿Cuáles son sus limitaciones? 
Capítulo 1 
Viscosidad y mecanismos del transporte 
de cantidad de movimiento 
91.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento rnolecular) 
512 Generalizaci6n de la ley de viscosidad de Newton 
1.3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura 
51.4" Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 
51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 
91.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 
51.7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo 
La primera parte de este libro trata acerca del flujo de fluidos viscosos. Para fluidos de 
peso molecular bajo, la propiedad física que caracteriza la resistencia a fluir es la vis- 
cosidad. Cualquiera que haya comprado aceite para motor sabe que algunos aceites 
con más ''viscosos'' que otros y que la viscosidad es una función de la temperatura. 
Empezamos en 91.1 con el flujo cortante simple enfxe láminas paralelas y analiza- 
mos cómo la cantidad de movimiento se transfiere a través del fluido por acción vis- 
cosa. Éste es un ejemplo elemental de transporte de cantidad de movimiento molecular y 
sirve para introducir la "ley de viscosidad de Newton" junto con la definición de vis- 
cosidad p. Luego, en 51.2 mostramos cómo es posible generalizar la ley de Newton 
para patrones de flujo arbitrarios. Los efectos de la temperatura y la presión sobre 
la viscosidad de gases y líquidos se resumen en 91.3 por medio de una griSfica adi- 
mencional. A continuación, s1.4 dice cómo las viscosidades de los gases pueden cal- 
cularse a partir de la teoría cinética de los gases, y en 91.5 se proporciona un análisis 
semejante para los líquidos. En s1.6 se presentan algunos comentarios sobre la vis- 
cosidad de suspensiones y emukiones. 
Por último, en s1.7 se muestra que la cantidad de movimiento también puede 
transferirse por el movimiento volumétrico (global) del fluido y que tal fransporfe de 
la cantihd de movimiento convectiva es proporcional a la densidad p del fluido. 
51.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTE DE CANTIDAD 
DE MOVIMIENTO MOLECULAR) 
En la figura 1.1-1 se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, se- 
paradas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea 
un gas o un líquido. Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O 
la placa inferior se pone en movimiento en la direcciónx positiva a una velocidad 
constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movi- 
miento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario 
que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es 
12 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Figura 1.1-1 Forma- 
ción del perfil de velo- 
Fluido inicialmente 
en reposo cidad laminar 
estacionario para un 
fluido contenido entre 
dos placas. El flujo se 
denomina "laminar" 
t = o Placa inferior puesta porque las capas adya- 
en movimiento centes del fluido ("lá- 
t pequeño q 
t grande e 
minas") se deslizan 
una sobre otra de ma- 
nera ordenada. 
Formación d e la velocidad 
en flujo no estacionario 
Distribución final 
d e velocidad para 
flub estacionario 
el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste 
con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una licua- 
dora a gran velocidad). Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado es- 
tacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza 
constante 1". El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue: 
Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e in- 
versamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcio- 
nalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad. 
Ahora volvamos la atención a la notación que se utilizará a lo largo del texto. 
Primero sustituimos F/A por el símbolo T ~ ~ , que es la fuerza en Ia dirección x sobre 
un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejer- 
cida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V / Y se sustituye 
por -dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en 
Esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional 
al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de 
N e ~ f o n . ~ En realidad no debemos referirnos a la ecuación 1.1-2 como una "ley", ya 
' Algunos autores escriben la ecuación 1 .l-2 en la fonna 
donde .ryx [=] Ibf/pi& v, [=] pie/s, y [=] pie y p [=] lb,/pie . S; la cantidad g, es el "factor de conversión gravitaciorial" 
con el valor de 32.174 poundals/lb En este libro siempre usaremos la ecuación 7.1-2 en vez de la ecuación 1.1-2a. f' 
Sir isaac Newton (1643-1723, profesor en la Universidad de Cambridge y luego director de la Casa de 
Moneda, fue el fundador de la mecánica cldsica y contribuyó también a otros campos de la física. En realidad, la 
ecuación 1.1-2 no aparece en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Sir Isaac Newton, aunquc la idea 
seminal está presente ahí. Para comentarios ilustrativos, véase D.J. Acheson, Eleincntn y Fluid Qnainics, Oxford 
University Press, 1990, @.l. 
51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 13 
que Newton la sugirió como un empirismo:3 la proposición más simple que puede 
hacerse para relacionar el esfuerzo y el gradiente de velocidad. Sin embargo, se ha 
encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y líquidos con peso molecu- 
lar menor que aproximadamente 5000 está descrita por la ecuación 1.1-2, y tales flui- 
dos se denominan fluidos nautonianos. Los líquidos poliméricos -suspensiones, 
pastas, lechadas (lodos) y otros fluidos complejos- no son descritos por la ecuación 
1.1-2 y se denominan fluidos no newtonianos. Los líquidos poliméricos se describen 
en el capítulo 8. 
La ecuación 1.1-2 puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la su- 
perficie sólida en movimiento en y = O el fluido adquiere cierta cantidad de movi- 
miento en la dirección x. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de 
movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movi- 
miento en la dirección x. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la dirección x se 
transmite a través del fluido en la dirección y positiva. En consecuencia, rF también 
puede interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de la dirección x, 
en la dirección y positiva, donde el término "densidad de flujo" (f Iux) significa "flujo 
por área unitaria". Esta interpretación es consistente con la representación molecu- 
lar de transporte de cantidad de movimiento y con las teorías cinéticas de los gases 
y los líquidos. También está en armonía con el tratamiento análogo que se da más 
adelante para la transmisión de calor y el transporte de materia. 
La idea planteada en el párrafo anterior puede parafrasearse afirmando que la 
cantidad de movimiento va "cuesta abajo" desde una región de alta velocidad hacia 
una región de baja velocidad: de la misma forma en que un trineo se desliza cuesta 
abajo desde un lugar elevado hasta otro más bajo, o como fluye el calor de una región 
de alta temperatura a una región de baja temperatura. En consecuencia, e1 gradien- 
te de velocidad puede entenderse como una "fuerza impulsora" del transporte de 
cantidad de movimiento. 
En lo que sigue, algunas veces nos referiremos a la ley de Newton de la ecua- 
ción 1.1-2 en términos de fuerzas (lo cual recalca la naturaleza mecánica del tema), 
y otras veces en términos de transporte de cantidad de movimiento (lo cual recalca 
las analogías con el transporte de calor y de materia). Este punto de vista dual pro- 
bará su utilidad en las interpretaciones físicas. 
A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v para representar 
la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así, 
Esta cantidad se denomina viscosidad cincmáfica. 
A continuación se exponen algunos comentarios sobre las unidades de las can- 
tidades que se han definido. Si el significado del símbolo [=] es "tiene unidades de", 
entonces en el sistema SI se tiene que % I=l ~ / r n ~ = Pa, v , I=l m/s y y [=1 m, de mo- 
do que 
ya que las unidades en ambos miembros de la ecuación 1.1-2 deben coincidir. En la 
tabla 1.1-1 se resume lo anterior y también se proporcionan las unidades para los sis- 
3Una relación de la forma de la ecuación 1.1-2 proviene de la teoría cinéiica simple de los gases (ecuación 1.4-7). 
No obstante, una teoría rigurosa para gases bosquejada en el apéndice D hace evidente que la ecuación 1.1-2 surge como 
el primer término en una expansión, y que es de esperar la aparición de términos adicionales (de orden superior). Tam- 
bién, incluso una tmría cinética elemental de ios Líquidos predice un comportamiento no newtoniano (ecuación 1.5-6). 
14 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Tabla 1.1-1 Resumen de unidades para cantidades 
relacionadas con la ecuación 1.1-2 
SI %S Inglés 
ryx pa dina/cm2 poundals/piez 
ei, m/s cm/s pie / S 
Y m cm pie 
E*. P a - S gm/cm-s=poise Ib,/pie.s 
Y m2/s cm2/s pie2 / S 
Nota: el pascal, Pa, es lo mismo que N/m2; y el newton, N, 
es lo mismo que kg . m/s2. La abreviatura de "centipow" es "cp". 
temas cgs e inglés. Las tablas de conversibn del apéndice F seren muy útiles para re- 
solver problemas numéricos que implican diversos sistemas de unidades. 
Las viscosidades de los fluidos varían sobre muchos órdenes de magnitud, con 
la viscosidad del aire a 20°C igual a 1.8 X lod5 Pa S y la del glicerol aproximada- 
mente de 1 Pa . s, donde algunos aceites de siiicón son aún mds viscosos. En las ta- 
blas 1.1-2,l.l-3 y 1.1-4 se muestran datos experimentaIes4 para fluidos puros a 1 atm 
de presión. Nótese que para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un in- 
cremento en la temperatura, mientras que para líquidos la viscosidad suele dismi- 
nuir con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es 
transportada por las moléculas en vuelo Iibre entre coIisiones, pero en los iiquidos 
el transporte seUeva a cabo predominantemente en virtud de las fuerzas intermole- 
culares que experimentan pares de moléculas a medida que serpentean aleatoria- 
Tabla 1.1-2 Viscosidad de1 agua y del aire a 1 atm de presión 
Agua (Ilq.1' Aireb 
Temperatura Viscosidad Viscosidad cinembtica Viseasidad Viscosidad cinemática 
T(o0 dmPa . S) v(cmZ/s) p(mPsr . S) vlcm2/s> 
<alculados a partir de los resultadas de R.C. Hady y R,L. Cattington, 1. Research Npt, BUT, Standarda, U , 
573-578 (1949); y J.E Gwidellc, J.R. Coe, Ir,, y T.B, Gd&y,J. Reaearch Ngt. Bur, Stanáard@, 48,l-31 (1952), 
Calculados a partir de "Tables of Themal PmperHes of Gaeee", Npfional B~reuu o! Standarda Circular 
464 (1955), capitula 2. 
- ~ 
' Unít extensa representación de técnicas experimentales para medir propiedades de transporte puede encontrar- 
se en W.A. Wakeham, A. Nagashima y J. V. Sengers, Measuremenf of Ihe Transpart Pmperties of Ffuids, CRC Press, h a 
Ratón, Fla. (1991). Las fuentes de datos experimentales son: Landolt-Bomtein, Zuhlenwute und Funktionen, Vol. II,5, 
Springer (19681969); Intrmational Cn'fical Ibbles, McGraw-HU, Nueva York (1926); Y.S. Touloukian, P.E. Liley y S.C. 
Saxena, Thermophysical Pmperties of Matter, Plenum Pmss, Nueva York (1970); y también numerosos manuales de quí- 
mica, fs~ca, dinámica de fluidos y transmisión de calor. 
s1.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento molecular) 15 
Tabla 1.1-3 Viscosidades de alanos p;ases Y líquidos a presión atrnosf6ricaa 
Temperatura Viscosidad Temperatura Viscosidad 
Gases V°C) p(mPa . S) Líquidos T("C) ,u(mPa S) 
i-C4Hlo 23 0.0076c (Cz&)20 O 0.283 
sh 23 0.0153 25 0.224 
Ch 20 0.0109b C6H6 20 0.649 
H20 100 0.01211d Br2 25 0.744 
CQ 20 0.0146~ Hg 20 1.552 
N2 20 0.0175~ C2H50H O 1.786 
0, 20 0.0204 25 1.074 
Hg 380 0.0654~ 50 0.694 
H2m4 25 25.54 
Glicerol 25 934 
Vaiores tomados de N.A. Lange, Handbook of Chemisty, McGraw-Hill, Nueva York, 15a ed. (19991, 
tabIas 5.16 y 5.18. 
b H.L. Johnston y K.E. McKloskey, J. Phys. C . . , 44,1038-1058 (1940). 
C CRC f i n d h k of Chemisty and Physics, CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1999). 
d hndolt-Bornstein Zahlenwerfe und Funktionen, Springer (1969). 
Tabla 1.1-4 Viscosidades de algunos metales 
líquidos 
Temperatura Viscosidad 
Metal T("C) da S) 
Datos tomados de The Reactor Handbwk, Vol. 2, Atomic 
Energy Commission AECD-3646, U.S. Govemment 
Printing Office, Washington, D.C. (mayo 1955), 
pp 258 et seq. 
mente en torno a sus vecinas. En s 1 . 4 y 1.5 se proporcionan algunos razonamien- 
tos de la teoría cinética elemental para explicar la dependencia de fa viscosidad con 
respecto a la temperatura. 
16 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Cdlcttlo de la densidad de 
flujo de caiitidad de 
Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario ry, en 
y/pies2 cuando la velocidad V de la placa inferior en la figura 1 .l-1 es 1 pie/s en la di- 
reccion x positiva, la separación Y de las placas es de 0.001 pie y la viscosidad ,LL del flui- 
do es 0.7 cp, 
movimiento 
Debido a que T ~ , se pide en unidades del sistema inglés, es necesario convertir la viscosidad 
a ese sistema de unidades. Así, con ayuda del apéndice F se encuentra quep = (0.7 cp)(2.0886 
x = 1.46 X 10-5 lbi ~ / ~ i e s ~ . El perfil de velocidad es lineal, de modo que 
dv, - Av, - -1 .O pie / s 
= -1 000s-1 
dy Ay 0.001 pie 
Al sustituir en la ecuación 1.1-2 se obtiene 
En la sección precedente Ia viscosidad se definió por medio de la ecuación 1.1-2, en 
términos de un flujo cortante simple en estado estacionario en el que v, es una fun- 
ción sólo de y, y v y y v, son cero. Por lo general se tiene interés en flujos más com- 
plicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las 
tres coordenadas y quizá del tiempo. En consecue~icia, es necesario contar con una 
expresión más general que la ecuación 1.1-2, pero que pueda simplificarse a la ecua- 
ción 1.1-2 para fhjo cortante en estado estacionario. 
Esta generalizaciiin no es sencilla; de hecho, a los niatemáticos les llevó casi un 
siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aquí todos los detalles de este de- 
sarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinámica de fluid0s.l 
En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al 
descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Ne~7ton. 
Para hacerlo consideraremos un patrón de flujo muy general, donde Ia veloci- 
dad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender 
del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por 
En esta situación, hay nueve componentes del esfuerzo r.. (donde i y j pueden asu- 
'1 
mir las designaciones .y, y y z), en vez de la componente r que aparece en la ecuación 
'Y 1 .l-2. En consecuencia, debemos comenzar por la definicion de estas componentes del 
esfuerzo. 
' W Prager, Introducfíon to Mechanics of Conti?run, Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tcnsors, and the 
Basic Equntions offiuid Mecknnics, Freiitice-Hall, Englewood CIiHs, N.J. (19621, pp. 30-34,99112; L. Landau y E.M. 
Lifshitz, Fluid Mechanicc, Pergamon, Londres, 2a. edición (1987), pp. 44-45. Lev Davydavich Landau (1908-1968) 
recibió e1 premio Nobei en 1962 por su obra sobre dinámica de heüo y dinámica de superfluidos. 
51.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton 17 
En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño elemento de volumen en forma de cu- 
bo dentro del campo de flujo, donde el área de cada cara es unitaria. El centro del 
elemento de volumen está en la posición x, y, z. En cualquier instante es posible re- 
banar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su 
interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en for- 
ma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posi- 
ble preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada) 
para sustituir la fuerza que ejercía sobre esta superficie el fluido que se ha elimina- 
do. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada 
con las fuerzas viscosas. 
La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo 
tanto, en (a) Ia fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector p8,; 
es decir, ia presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario 6, en la dirección 
x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) será pS y en Y' 
(c) la fuerza será p6,. Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea es- 
tacionario, así como cuando esté en movimiento. 
Las fuerzas viscosas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gra- 
dientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial 
ni paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie (véase 
la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por área unitaria -, ejercida sobre el 
área sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por área unitaria T y 7,. 
Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares!; por 
ejemplo, 7, tiene las componentes T,,, rXy y r,,. Por lo tanto, ahora es posible resu- 
mir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas de la 
figura 1.2-1. Esta tabuIación es un resumen de las fuerzas por área unitaria (esfuer- 
zos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presión termodinámica como por 
Figura 1.2-1 Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares 
a los tres sistemas de coordenadas. Los planos sombreados tienen área unitaria. 
18 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
los esfuerzos viscosos. Algunas veces serfi conveniente coniar con un símbolo que 
incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definencomo sigue: 
Aquí aii es la delta de Kronecker, que es 1 si i = j y cero si i # j. 
Al igual que en la sección precedente, rii (y también 7) puede interpretarse en 
dos formas: 
P.. = pS.- + T. = fuerza en la dirección j sobre un área unitaria perpendicular a la di- 
11 '1 '1 
rección i, donde se entiende que el fluido en la región de menor x i 
ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor xi. 
P = POij + rii = densidad de flujo de la cantidad de movimiento j en la dirección i 
1) 
positiva; es decir, de la región de menor xi a la de mayor xi. 
En este libro se usan ambas interpretaciones; Ia primera es particularmente útil pa- 
ra describir las fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies sólidas. Los esfuer- 
zos rXx = p + rxx, T T ~ = p + T ~ , rz7 = p + +zz se denominan esfuerzos normales, mientras 
que las cantidades restantes, % = T y, rYZ = % ,... se denominan esfuerzos cortantes. 
Estas cantidades, que tienen dos subíndices asociados con las direcciones de coor- 
denadas, se denominan "tensores", así como las cantidades (como la velocidad) que 
tienen un subíndice asociado con las direcciones de coordenadas se denominan 
"vectores". En consecuencia, nos referiremos a T como el tensor de esfuerzo viscoso 
(con componentes T..) y a a como el tensor de esfuerzo molecular (con componentes 
r! 
m+). Cuando no hay posibilidad de confusión, los modificadores "viscoso'' y "mole- 
cular" pueden omitirse. En el apéndice A puede consultarse un análisis sobre vecto- 
res y tensores. 
La cuestión ahora es, ¿cómo están relacionados estos esfuerzos T~~ con los gra- 
dientes de velocidad en el fluido? Al generalizar la ecuación 1.1-2 se impusieron va- 
rias restricciones sobre los esfuerzos, como sigue: 
Tabla 1.2-1 Resumen de las componentes del tensor de esfuerzo moiecular 
(o tensor de densidad de cantidad de movimiento rnolecu1ar)a 
Vector de fuerza Componentes de las fuerzas (por área unitaria) 
por área unitaria que actúan sobre la cara sornbreada (componentes 
sobre la cara de la densidad de flujo de cantidad de movimiento 
normal (densidad de flujo de cantidad a través de Ia cara sombreada) 
a la cara de movimiento a través de la 
sombread a cara sombreada) Componente x Componente y Componente z 
Éstas se refieren como componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento 1 
molecular" porque están asociadas con los movimientos molecularec, según se analiza en 51.4 y en el 
apéndice D. Las componentes adicionales del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento 
convectivo", asociadas con el movimiento volum&rico del fluido, se analizan en 51.7. I 
I 
51.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton 19 
Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gra- 
dientes de velocidad: 
rij = -ZkCI Clijkl - dnk donde i, j, k, y 1 pueden ser 1.2 o 3 (1.2-3) 
3 X l 
Aquí las 81 cantidades piiw son "coeficientes de viscosidad". Las cantidades 
x l , x, y x, en las derivadas denotan las coordenadas cartesianas x, y, z , y vl, 
v2 y v3 son las mismas que u,, vy y u,. 
Planteamos que las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto 
al tiempo no deben aparecer en las expresiones. (Para fluidos viscoelásti- 
cos, como se analiza en el capítulo 8, las derivadas respecto al tiempo o las 
integrales respecto al tiempo son necesarias para describir las respuestas 
elásticas.) 
No esperamos que esté presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuen- 
tra en un estado de rotación pura. Este requerimiento conduce a la necesidad 
de que ri j sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad. Por 
esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinación de los gradientes 
de velocidad permanece sin cambio. Puede demostrarse que las únicas com- 
binaciones lineales simétricas de los gradientes de velocidad son 
Si el fluido es icotrópico, es decir, si no tiene una dirección preferida, enton- 
ces los coeficientes enfrente de las dos expresiones en la ecuación 1.2-4 deben 
ser escalares, de modo que 
Así, ;hemos reducido el número de "coeficientes de viscosidad" de 81 a 2! 
Por supuesto, queremos simplificar la ecuación 1.2-5 a la ecuación 1.1-2 para 
la situación de flujo que se muestra en la figura 1.1-1. Para ese flujo elemen- 
tal, la ecuación 1.2-5 se simplifica a r = A dv,/dy, y por lo tanto, la constante 
YX 
escalar A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad p. 
Finalmente, por un acuerdo común asumido entre la mayoría de los especia- 
listas en dinámica de fluidos, la constante escalar B se iguala a $ p - K , donde 
K se denomina viscosidad dilatacional. La razón para escribir B de esta manera 
es que por la teoría cinética se sabe que K es idénticamente cero para gases 
monoatómicos a baja densidad. 
Así, la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 
1.1-2 es entonces el conjunto de nueve relaciones (de las cuales seis son indepen- 
dientes): 
Aquí 7.- = T.., e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Estas relaciones para los 
'1 I' 
esfuerzos en un fluido newtoniano están asociadas con los nombres de Navier, 
20 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Poisson y Stokes2 Si se desea, este conjunto de relaciones puede escribirse de mane- 
ra más concisa en la notación vector-tensor del apéndice A como 
donde 6 es el tensor unitario con componentes Vv es el tensar del gradiente de velo- 
cidad con componentes (d/axi)vi' (Vv)+ es la "transpuesta" del tensor del gradiente 
de velocidad con componentes (a/ax>v, y (V v) es Ia divergencia del vector de ve- 
locidad. 
La conclusión importante es que se tiene una generalización de la ecuación 
1.1-2, y esta generalización implica no uno sino dos coeficientes3 que caracterizan al 
fluido: la viscosidad p y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver pro- 
blemas de dinámica de fluidos no es necesario conocer K . Si el fluido es un gas, a me- 
nudo se supone que actúa como un gas ideal monoatómico, para el que K es 
idénticamente cero. Si el fluido es un líquido, a menudo se supone que es incompre- 
sible, y en el capítulo 3 se demuestra que para líquidos incompresibles (V - v) = O, y 
en consecuencia el término que contiene a K se elimina de cualquier manera. La vis- 
cosidad dilatacional es importante para describir la absorción del sonido en gases 
poliatómicos4 y para describir la dinámica de fluidos de líquidos que contienen bur- 
bujas gaseosa^.^ 
La ecuación 1.2-7 (o Ia 1.2-6) es importante y se usará a menudo. Por lo tanto, en 
la tabla B.l se escribe completamente en coordenadas cartesianas (x , y, z), cilíndricas 
(r, O, z) y esféricas (r, O, +). Los datos de esta tabla para las coordenadas curvilíneas 
se obtienen por los métodos que se describen en sA.6 y sA.7. Se sugiere que los es- 
tudiantes principiantes no se preocupen por los detalles de tales deducciones, sino 
que más bien se concentren en utilizar los resultados tabulados. Los capítulos 2 y 3 
proporcionan bastante práctica para efectuar lo anterior. 
Las componentes del esfuerzo significan lo mismo en coordenadas curvilíneas 
que en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, 7, en coordenadas cilíndricas, que se 
encontrará en el capítulo 2, puede interpretarse como: i) la fuerza viscosa en la di- 
rección z sobre un área unitaria perpendicular a la dirección r, o ii) la densidad de 
flujo viscoso de cantidad de movimiento en la dirección z en la dirección r positiva. 
En la figura 1.2-2 se ilustran algunos elementos de superficie típicos y componentes 
de esfuerzo tensoriales que surgen en la dinámica de fluidos. 
Los esfuerzos cortantes suelen ser fáciles de visualizar, pero los esfuerzos nor- 
males pueden provocar problemas conceptuales. Por ejemplo, r,, es una fuerza por 
área unitaria en la direcci6n z sobre un plano perpendicular a la direcciOn z. Para el 
flujo de un ff uido incompresible en el canal convergente de la figura 1.2-3, intuitiva- 
mente se sabe que v, aumentaal disminuir z; por lo tanto, según la ecuación 1.2-6, 
existe un esfuerzo T ~ , = -2p4L(dvz/az) diferente de cero que actúa sobre el fluido. 
ZC.-L.-M.-H. Navier, Ann. Chimie, 19,244-260 (1821); S.-D. Poisson, J. Ecole Polytech., 13, Cahier 20, 1-174 (1831); 
G.G. Stokes, Ttans. Camb. Phil. Soc., 8,287-305 (1845). Claude-Louis-Marie-Henn Navier (178518.16) h e ingeniero 
civil cuya especialidad era la construcción de carreteras y puentes; George Gabriel Stokes (1819-1903) ensenó en la 
Universidad de Cambridge y fue presidente de la Roya1 Cociety. Navier y Stokes son bien conocidos debido a las 
ecuaciones de Navier-Stokes (véase capítulo 3). Véase también D.J. Acheson, Elementay Fluid Mechanics, Oxford 
University Press (1990), pp. 209-212,218. 
Algunos autores se refieren a p como la "viscosidad del esfuerzo cortante", pero esta denominación es inapro- 
piada porquep puede surgir tanto en flujos no cortantes como en flujos cortantes. La expresión "viscosidad dinámica" 
también se observa ocasionalmente, pero este ténnino tiene un significado muy especifico en el campo de la viscoelas- 
ticidad y es un término inadecuado para p . 
'L. Landau y E.M. Lifshitz, op. cit., capítulo VIII. 
G.K. Batchelor, An lntroducfion Lo Fluid Dynamicc, Cambridge University Press (1967), pp. 253-255. 
s1.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton 21 
La fuerza ejercida por el 
fluido en la dirección 
+ü sobre el elemento 
de superfiae (RdB)(dz) es 
-~,,gl, ,~Rd@dz 
Esfera sólida 
"YR, 
La fuerza ejercida por el 
fluido en la diFecci6n 
6 sobre el elemento de 
Y superficie (M@)(R sen 8 d#) 
es - ~ ~ I , , ~ ~ ~ s e n B d 8 @ 
Cilindro súüdo 
de radio R 
La fuerza ejercida por el La fuerza ejercida por el 
fluido en la dirección fluido en la direcci6n 
+z sobre el elemento $ sobre el elemento de 
de superficie (RdB){dz) es superficie (Rd8) (R sen 13 dq5) 
-r,l,,~RdOdz es -7@lrE RR2senedB@ 
Cilindro sólido @ La fluido z fuerza sobre en ejercida el la elemento dirección por el 
de superficie (dr)(dz) es 
+TOZ 1 O = ( m / z ~ - & ~ dz 
W a Y 
I 
(0) 
fl ia fuerza ejercida por el 
fluido en la direcci6n 
I r sobre el elemento de 
Cono s6lido 
-7&10=ar~enadr& 
Figura 1.2-2 a) Algunos elenientos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de 
coordenadas cilíndricas. b) Algunos elementos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el 
sistema de coordenadas esféricas. 
Nota sobre la convención de signos para el tensor de esfuerzo. Respecto a la ecuación 
1.1-2 (y en la generalización en esta sección) hemos recalcado que ryx es la fuerza 
en la dirección x positiva sobre un plano perpendicular a la dirección y, y que 
esta es la fuerza ejercida por el fluido en la región de menor y sobre el fluido de 
mayor y. En la mayor parte de los libros sobre dinámica de fluidos y elasticidad, las 
palabras "menor" y "mayoí' con intercambiabIes y la ecuación 1.1-2 se escribe como 
22 Capíhilo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una 
situación en que los esfuerzos normales no son cem. Debi a que u, es '@ una función de r y z, la componente de esfuerzo normal rz2 
-&(dv,/dz) es diferente de cero. También, como v, depende de r y z, la 
componente de esfuerzo normal T , ~ = -@(du,/Jr) no es igual a cero. Sin 
vztr) embargo, en la pared todos los esfuerzos nom~ales desaparecen para 
fluidos descritos por la ecuacidn 1.2-7 en el supuesto de que la densidad 
sea constante (véanse el ejemplo 3.1-1 y el problema 3C.2). 
T = +p(dv,/dy). Las ventajas de la convención de signos que se usa en este libro 
YX 
son: a) la convención de signos usada en la ley de viscosidad de Newton es consisten- 
te con la que se usa en la Iey de Fourier de conducción de calor y la ley de difusión 
de Fick; b) la convención de sígnos para rii es la misma que para la densidad de flu- 
jo de cantidad de movimiento convectivopw (véanse 93.7 y la tabla 19.2-2); c) en la 
ecuación 1.2-2, los términos $ij y 7ij tienen ef mismo signo fijado, y los términos p y 
T~~ con ambos positivos para compresión (en concordancia con el uso común en ter- 
modinámica); 6) todos los términos en la producción de entropía en la ecuación 24.1-5 
tienen el mismo signo. En las ecuaciones 1.1-2 y 1.2-6 resulta evidente que la con- 
vención de signos es arbitraria, por lo que puede usarse cualquiera de éstas, con tal 
be que el significado físico del signo se comprenda claramente. 
1.3 DEPENDENCIA DE LA VISCOSIDAD CON RESPECTO A LA PRESIÓN 
Y LA TEMPERATURA 
En varios manuales de ciencias e ingeniería pueden encontrarse datos extensos so- 
bre las viscosidades de gases y líquidos puros.1 Cuando se carece de datos experi- 
mentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por 
métodos empíricos, utiIizando otros datos sobre la sustancia dada. Aquí presenta- 
mos una correlación de estados corresporzdierítes, que facilita tales estimaciones e ilus- 
tra tendencias generales de viscosidad con la temperatura y la presión para fluidos 
ordinarios. El principio de los estados correspondientes, que tiene una sólida base 
científica? se utiIiza bastante para correlacionar datos de la ecuación de estado y ter- 
modinámicos. Análisis de este principio pueden encontrarse en libros de texto de fi- 
sicoquímica y termodinámica. 
' J.A. Schetz y A.E. Fuhs (compiladoros), Handbook of Fluid Dynamics and Fluid Machincry, Wiley-lnterscience, 
Nueva York (19661, Vol. 1, capítulo 2; W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I. Cho, Handbwk of H ~ a t Transfer, McGraw-Hill. 
Nueva York, 3a. edición (1999), capitulo 2. Otras fuentes se mencionan en la nota de pie de página 4 de 51.1. 
J . Millat, J.H. Dymond y C.A. Nieto de Castro (compiladores), Trarrsport Properties of Fluids, Cambridge 
University Press (19961, capituIo 11, por E.A. Mason y EJ. Uribe, y capitulo 12, por M.L. Huber y H.M.M. Haiiley. 
51.3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura 23 
Figura 1.3-1 La viscoci- 
dad reducida p, = p / p , 
como una función de la 
temperatura reducida 
para varios valores de Ia 
presión reducida. [O.A. 
Uyehara y K.M. Watson, 
Nat. Pefroleum N m s , Tech. 
Section, 36,764 (4 de oct., 
1944); revisada por K.M. 
Watson (1960). Una 
versión a gran escala de 
esta gráfica se encuentra 
disponible en O.A. 
Hougen, K.M. Watson y 
R.A. Ragatz, C.P.P. Charts, 
Wiley, Nueva York, 2a. 
edición (1960).] 
Temperatura reducida T , = T/T, 
La gráfica de la figura 1.3-1 proporciona una visión global de la dependencia de 
la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura. La viscosidad reducida ,u, = 
,u /,u, se graficó contra la temperatura reducida T, = T / T , para varios valores de la 
presión reducida p, = p l p , . Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adi- 
mensionaI dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto critico. El dia- 
grama muestra que la viscosidad de un gas tiende a un límite (el límite a baja 
densidad) a medida que la presión se hace más pequeña; para la mayor parte de los 
gases, este límite casi se alcanza a 1 atm de presión. La viscosidad de un gas a baja 
densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que Ia viscosidad 
de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura. 
Rara vez hay valores experimentales disponibles de la viscosidad crítica ,u,. Sin 
 embargo,^, puede estimarse en una de las siguientes formas: i) si se conoce un va- 
lor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas dadas, de preferencia 
en condiciones cercanas a las de interés, entonces ,u, puede calcularse a partir de 
,u, = ,u/,u,; o bien, ii) si se cuenta con datos de pV-T críticos, entoncesp, puede esti- 
marse a partir de estas relaciones empíricas: 
24 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
- 
Aquí, y, está en micropoises, p, en atm, Te en K y Ve en cm3/g-mol. En el apéndice 
E se proporciona unatabulación de viccosidades críticas3 calculadas con el método i. 
La figura 1.3-1 también puede usarse para una estimación gruesa de viscosida- 
des de mezclas. Para una mezcla con N componentes se utilizan las propiedades 
"seudo~ríticas"~ definidas como 
Es decir, el diagrama se usa exactamente como para fluidos puros, pero con las pro- 
piedades seudocriticas en vez de las propiedades críticas. Este procedimiento empí- , 
rico funciona razonablemente bien, a menos que en la mezcla haya sustancias , 
químicamente distintas o las propiedades críticas de los componentes difieran bas- 
tante. 
Hay muchas variantes del método anterior, así como vanos otros empiricmos. 
Lo anterior puede encontrarse en la extensa compilación de Reid, Prausnitz y 
P ~ l i n ~ . ~ 
Estimar la viscosidad del N, a 50°C y 854 atm, dadas M = 28.0 g/g-mol, pc = 33.5 atm y 
T, = 126.2 K. 
Estimación de la 
viscosidad a partir de 
las propiedades 
críticas 
Al aplicar la ecuación 1.3-lb se obtiene 
= 189 micropoises = 189 X poise 
La temperatura y presión reducidas son 
A partir de la figura 1.3-1 se obtiene p, = p / p C = 2.39. Por lo tanto, el valor anticipado de 
viscosidad es 
p = pcí,u/p,) = (189 x 10-6)(2.39) = 452 x poise (1.3-5) 
El valor medido6 es 455 x poise. Esta concordancia es extraordinariamente buena. 
3 0 . A . Hougen y K.M. Watson. Chemical Procas Principies, Parte 111, Wiley, Nueva York (19471, p. 873. Olaf 
Andreas Hougen (1893-1986) fue pionero en el desarroiio de la ingeniería química durante cuatro d6cadas; junto con 
K.M. Watson y X.A. Ragatz, escribió libros.importantes sobre tennodiárnica y cinética. 
O.A. Hougen y K.M. Watson, ChemiLiI Procesc Priilciplss, Parte 11, Wiley, Nueva York (19471, p. óO4. 
R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. +liiig, The Properties of Cases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York, 4a. 
edición (198'71, capítulo 9. 
A M.1-F. Michels y R.E. Gibson, Proc Roy. Soc. (Londres), Al34,288-307 (1931). 
51.4 Teona molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 25 
51.40 TEORÍA MOLECULAR DE LA VISCOSIDAD 
DE GASES A BAJA DENSIDAD 
Para adquirir una mejor comprensión del concepto transporte de cantidad de mo- 
miento rnolecular, analizaremos este mecanismo de transporte desde el punto , 
vista de una teoría cinética elemental de los gases. 
Consideramos un gas puro compuesto de moléculas esféricas rígidas que no se 
atraen entre sí de diámetro d y masa m, y el número de densidad (número de molé- 
culas por volumen unitario) se toma como n. Se supone que la concentración de las 
moléculas del gas es tan pequeña que la distancia media entre moléculas es muchas 
veces su diámetro d. En un gas como éste se sabe1 que, en equilibrio, las velocida- 
des moleculares están dirigidas aleatoriamente y tienen una magnitud media dada 
por (véase el problema 1C.1) 
donde K es la constante de Boltzmann (véase el apéndice F). La frecuencia de born- 
bardeo molecular por área unitaria sobre uno de los lados de cualquier superficie es- 
tacionaria expuesta al gas es 
La distancia media recorrida por una molécula entre colisiones sucesivas es la tra- 
yectoria libre media A, dada por 
En promedio, las moléculas que llegan a un plano habrán experimentado su última 
colisión a una distancia a del plano, donde a está dada de manera muy aproximada 
Por 
El concepto de la trayectoria libre media es intuitivamente atractivo, aunque sólo 
tiene sentido cuando A es grande en comparación con la amplitud de las fuerzas in- 
termoleculares. El concepto es idóneo para el modelo molecular de esferas rígidas 
considerado aquí. 
Para determinar la viscosidad de un gas en términos de los parárnetros del mo- 
delo molecular, consideremos el comportamiento del gas cuando fluye paralelo al 
plano xz con un gradiente de velocidad du,/dy (véase la figura 1.4-1). Suponemos 
que las ecuaciones 1.4-1 a 1.4-4 siguen siendo válidas en esta condición de no equi- 
librio, en e1 supuesto de que todas las velocidades moIeculares se calculen con res 
' Las cuatro primeras ecuaciones en esta sección se proporcionan sin demostración. Justificaciones detalladas se 
dan en libros sobm teoría cinbtica; por ejemplo, E.H. Kennard, Kinetic Theory of G a s , McGraw-Hill, Nueva York 
(19381, capítulos 11 y 111. También E.A. Guggenheim, Elements of the Kinefic Theoy of Gases, Pergamon Press, Nueva 
York (1960), capitulo 7, ha escrito un breve informe de la teoría elemental de la viscosidad. Para resúmenes legibles di. 
la teoría cinética de los gases, consúltese el Libro de R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicnl Chemktry, Wiey, Nueva York. 
3a. edición (20011, capítulo 17, o bien, el de R.S. Berry, S.A. Rice y J. Ross, Physiml Chemisty, Oxford University Fress, 
2a. edición (2000), capitulo 28. 
26 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
L/ 
Perfil de velocidad v,k) 
desde e' plano Figura 1.4-1 Transporte 
con componente molecular de cantidad de 
movimiento en la dirección 
x desde el plano en (y - a) 
hasta el plano en y. 
pecto a la velocidad media v en la región en que la molécula dada tuvo su última 
colisión. La densidad de flujo de cantidad de movimiento en la dirección x a través 
de cualquier plano con y constante se encuentra al sumar las cantidades de movi- 
miento x de las moléculas que cruzan en la dirección y positiva y restar las cantida- 
des de movimiento x de aquellas que cruzan en la dirección opuesta, como sigue: 
Al escribir esta ecuación, hemos supuesto que todas las moléculas tienen velocida- 
des representativas de la región en que chocaron por última vez y que el perfil de 
velocidad u,(y) es esencialmente h e a l para una distancia de varias trayectorias li- 
bres medias. En vista de la última suposición, es posible escribir inclusive 
Al combinar las ecuacionec 1.4-2, 1.4-5 y 1.4-6 se obtiene para la densidad de flujo 
neto de la cantidad de movimiento de x en la dirección y positiva 
Ésta es la misma forma que la ley de viscosidad de Newton dada en la ecuación 
1.1-2. Al comparar las dos ecuaciones se obtiene una ecuación para la viscosidad 
o bien, a1 combinar las ecuaciones 1.4-1,1.4-3 y 1.4-8 
Esta expresión para la viscosidad fue obtenida por ~ a x w e l l * en 1860. La cantidad 
n-d2 se denomina sección transversal de colisión (véase la figura 1.4-2). 
James Clerk Mvrwell(1831-1897) fue itno de los más grandes fisicos de todos los tiempos; es particularmente 
famoso por su desarrollo en el campo del elechomagnetismo y su contribución a la teoría cinética de los gases. En 
relacidn con ésta, véase J.C. Maxwell, Phil. Mag., 19, 19, Prop. XIll (11160); S.G. Bmsh, Am. l . Phys., 30, 269-281 (1962). 
Hay algo de controversia concerniente a las ecuaciones 1.4-4 y 1.4-9 (vease S. Chaprnan y T.G. Cowling, The 
Mathematicul i7feoy of Non-Uniform Gases, Carnbridge University Press, 3a. edición, 1970, p. 98); R.E. Cumingham y 
R.J.J. Williarns, Difision in Gases and Porous Media, Plenum Press, Nueva York (1980), 56.4. 
51.4 Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 27 
Círculo de área ~ d 2 Figura 1.4-2 Cuando dos esferas rígidas de diámetro d se 
,----[ aproximan entre sí, el centro de una esfera (en O') "ve" un 
I circulo de área mi2 alrededor del centro de la otra esfera , 
I (en O), sobre el que puede ocurrir una colisibn. E1 área vd2 
I 
1 se denomina "sección transversal de colisión". 
i 
I 
5 
1 
\ 
La deducción anterior, que proporciona una imagen cuaiitativamente correcta 
de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad, aclara por 
qué queríamos introducir el término "densidad de fiujo de cantidad de movimien- 
to" para ryx en 51 .l. 
La qredicción de la ecuación 1.4-9 de quep es independiente de la presión con- 
cuerda con datos experimentales hasta aproximadamente 10 atm a temperaturas 
por arriba de la temperatura crítica (véase la figura 1.3-1). La dependencia predicha 
respecto a la temperatura es menos satisfactoria; los datos para varios gases indican 
que p aumenta más rápidoque fl. Para describir mejor la dependencia de p res- 
pecto a la temperatura, es necesario reemplazar el modelo de esferas rígidas por uno 
que retrate de manera más precisa las fuerzas de atracción y de repulsión. También 
es necesario abandonar las teorías de la trayectoria libre media y usar la ecuación de 
Boltzmann para obtener de manera más exacta la distribución molemlar de veloci- 
dad en sistemas que no están en equilibrio. Relegando los detalles al apéndice D, 
presentamos aquí Ios resultados 
Una rigurosa teoría cinética de gases monoatómicos a baja densidad h e desarro- 
llada a principios de siglo xx por Chapman en Inglaterra y de manera independiente 
por Enskog en Suecia. La teoría de Chapman-Enskog proporciona expresiones para 
las propiedades de transporte en términos de la energla pofencial intmolecular q(r), 
donde r es la distancia entre un par de moléculas que están experimentando una co- 
lisión. Así, la fuerza intermolecular está dada por F(r) = - d p / d r . La forma funcional 
exacta de <p(r) no se conoce; sin embargo, para moléculas no polares, una expresión 
empírica satisfactoria es el potencial de ~ennard-Jones6 (6-22) dado por 
Sydney Chapman (1888-1970) ensefió en el Imperial CoIlege en Londres, y después de eso trabajó en el. High 
Altitude Observatory en Boulder, Colorado; además de su trabajo seminal sobre teoría cinética de los gases, 
contribuyó a la teoría cinética de plasmas y a la teoría de flamas y detonaciones. David Enskog (1884-1947) es famoso 
por su trabajo sobre teorías cineticas de gases a baja y alta densidad. La referencia estándar para la teoría cinética de 
gases diluidos de Chapman-Enskog es S. Chapman y T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-UniJorm Gases, 
Cambridge University Press, 3a. editi6n (1970); las pp. 407-409 proporcionan un resumen histórico de la teoría 
cinética. Véase también D. Enskog, Inaugural Dissertation, Uppsala (1917). Además, J.H. Ferziger y H.G. Kaper, 
Mathematical Tkeory of Transport Processes in Gases, North-Holiand, Amsterdam (1972), es un informe bastante legible 
de la teoría molecular. 
La extensión de Curtiss-Hirschfeldes de la teoría de Chapman-Enskog a mezclas de gases con varios 
componentes, así como el desarrollo de tablas útiles para cómputos, pueden encontrarse en J.O. Hirschfelder, C.F. 
Curtiss y R.B. Bird, Moieculor Tkeory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York, 2a. reimpresión corregida (1964). Véase 
también C.F. Curtiss, J. Ckem. Pkys., 49,2917-2929 (1968), así como las referencias proporcionadas en el apéndice E. 
Joseph Oakland fIvschfelder (1911-1990), director fundador del Instituto de Química Teórica de la Universidad de 
Wisconsin, especialista en fuerzas intermoleculares y aplicaciones de la teoría cinética. 
C.F. Curtiss y 1.0. Hirschfelder, J. C h m . Phys., 17,550-555 (1949). 
J.E. (Lennard-Jones), Proc. Roy. Soc., A106,441-462,463-477 (1924). Véase también R.J. Siibey y R. A. Alberty, Phy- 
siml Ckemisfry, Wley,2a. edición (2001), §§11.10, 16.14 y 17.9; y R.S. Berry,S.A. Rice y J. Ross, Physical Chemisty, Oxford 
Universiiy Precs, 2a. edición (2000), S10.2. 
28 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
donde u es un diámetro caracteristico de las moléculas, a menudo denominado diá- 
metro de colisidn, y E es una energía característica, en realidad la máxima energía de 
atracción entre un par de moléculas. Esta función, que se muestra en la figura 1.4-3, 
presenta los rasgos caracteristicos de las fuerzas intermoleculares: atracciones débi- 
les a separaciones grandes y repulsiones fuertes a separaciones pequeñas. Se cono- 
cen valores de los parámetros cr y E para muchas sustancias; en la tabla E.l se 
proporciona una lista parcial; para una lista más extensa consultar otras fuente^.^ 
Cuando se desconocen u y E, es posible estimarlas a partir de las propiedades del 
fluido en el punto crítico (c) del líquido en el punto de ebullición normal (b), o del 
sólido en el punto de fusión (m) por medio de las siguientes relaciones empíricad 
~ ( r ) A Figura 1.4-3 Función de energía 
E / K = 0.77Tc a = 0.841 vb/3 o bien a = 2.44(~, /~ , )~ /~ (1.4-lla, b, c) 
Las moléculas se 
repelen entre sí a/> 
separaciones r < r,,, 
Aquí E / K y T están en K, a está en angstroms (1 A = 10-lo m), V está en cm3/g-m01 
y pc está en atmósferas. 
La viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecuiar M puede escri- 
birse en términos de los parámetros de Lennard-Jones como 
I potencial cp(r} que describe la 
I Las moléculas se atraen interacción de dos moléculas 
= := entre sí a separaciones 
I esféricas no polares. El potencial 
I r>rm 
I 
de Lennard-Jones (6-121, dado por 
I Cuando r = k, 1 ~p I la ecuación 14-10, es una de las 
1 
I ha caído hasta muchas ecuaciones empíricas 
5 JmnKT 
p=-- o bien p = 2.6693 x 10- 5 m - (1 -4-14) 
16 ?rcT2n 02n 
menos de 0.01 E propuestas para ajustar esta 
- curva. Para r < r,, las moléculas 
r se repelen enhe sí, mientras que 
para r > r,, las moléculas se 
atraen entre sí. 
En la segunda forma de esta ecuación, si T [=lK y a [=]A, entonces ,u [=] g/crn - s. 
La cantidad adimensional flp es una función de variación lenta de la temperatura 
adimensional K T / E , del orden de magnitud de la unidad, dada en la tabla E.2. Se de- 
nomina "integral de colisión para la viscosidad", ya que explica los detalles de las 
trayectorias que siguen las moléculas durante una colisión binaria. Si el gas estuvie- 
ra compuesto por esferas rígidas de diámetro u (en vez de por moléculas reales con 
fuerzas de atracción y repulsión), entonces fiF sena exactamente igual a la unidad. 
Por tanto, la función puede interpretarse como si describiese la desviación res- 
pecto al comportamiento de las esferas rígidas. 
Aunque Ia ecuación 1.4-14 es un resultado de la teoría cinética de los gases mo- 
noatómicos, se ha descubierto que también es extraordinariamente buena para los 
gases poliatómicos. La razón de esto es que, en la ecuación de conservación de can- 
51.4 Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 29 
tidad de movimiento para una colisión entre moléculas poliatómicas, las coordena- 
das del centro de masa son más importantes que las coordenadas internas [véase 
50.3bI. La dependencia respecto a la temperatura predicha mediante la ecuación 
1.4-14 concuelda bien con la que se encontró a partir de la línea a baja densidad en 
la correlación empírica de la figura 1.3-1. La viscosidad de los gases a baja densidad 
aumenta con la temperatura, aproximadamente como de la potencia 0.6 a la 1.0 de 
la temperatura absoluta, y es independiente de la presión. 
Para calcular la viscosidad de una mezcla de gases puede usarse la extensión 
para varios componentes de ia teoría de Chapman-Ensk~g.~(~ De manera alternati- 
va, es posible usar la siguiente fórmula empírica bastante satisfactoria:' 
donde las cantidades adimensionales son 
Aquí N es el número de especies químicas en la mezcla, x, es la fracción molar de la 
especie a, p, es la viscosidad de la especie pura a a la temperatura y presión del sis- 
tema, y M, es el peso molecular de la especie a. Se ha demostrado que Ia ecuación 
1.4-16 reproduce valores medidos de las viscosidades de mezclas dentro de una des- 
viación media aproximada de 2%. La dependencia de la viscosidad de la mezcla res- 
pecto a la composición es extremadamente no lineal para algunas mezclas, en 
especial aquellas de gases ligeros y pesados (véase el problema 1A.2). 
Para resumir, las ecuaciones 1.4-14, 1.4-15 y 1.4-16 son fórmulas útiles para cal- 
cular viscosidades de gases no poIares y de mezclas de gases a baja densidad a par- 
tir de valores tabulados de los parámetros a y E / K de la fuerza intermolecular. No 
proporcionan resultados confiables para gases que constan de moléculas polares o 
bastante alargadas debido a los campos de fuerza dependientes del ángulo que exis- 
te entre esas moléculas. Para vapores polares, como H20, NH,, CH,OH y NOCl, 
una modificacióndependiente del ángulo de la ecuación 1.4-10 ha dado buenos re- 
sul tado~.~ Para los gases ligeros Hg y He por debajo de aproximadamente 100 K, es 
necesario tener en cuenta los efectos c~ánt icos .~ 
Hay disponibles muchos empirismos adicionales para estimar viscosidades 
de gases y mezclas de gases. Una referencia estándar es la de Reid, Prausnitz y 
I'oling.10 
Calcular la viscosidad del C 0 2 a 200,300 y 800 K y 1 atm. 
Cálculo de la 
viscosidad de un gas 
puro a baja densidad 
7C.R. Wilke, J. Chem. Phys., 18,517-519 (1950); véase también J.W. Buddenberg y C.R. Wilke, Ind. Eng. C h m . , 41, 
1345-1347 (1949). 
E.A. Mason y L. Monchick, J. Chem. Phys., 35,1676-1697 (1961) y 36,1622-1639,2746-2757 (1962). 
1.0 Wschfelder, C.E Curtiss y R.B. Bird, op. cit., capítulo 10; H.T. Wood y C.F. Curtiss, J . Chem. Phys., 41, 1167- 
1173 (1964); R.J. Munn, EJ. Smith y E.A. Mason, J. C h m . Phys., 42,537-539 (1965); S. Imam-Rahajoe, C.F. Curtiss y R.B. 
Bernstein, J. Chem. Phys., 42,530-536 (1965). 
'O R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Poiing, The Properties of Gases and Liquids, MGraw-HiIi, Nueva York, 4a. 
edición (1987). 
30 Capitulo 1 Viscosidad y mecaiiismos del transporte de cantidad de movimiento 
Usar la ecuación 1.4-14. A partir de la tabla E.1 se encuentra que los par6metros de Lennard- 
Jones para el COZ son E/K = 190 K y a = 3.996 A. El peso molecular del CO, es 44.01. Al sus- 
tit~iir ?,: y u en la ecuación 1.4-14 se obtiene 
donde p [=l g/cm - S y T [=] K. Los cáIcu1os restantes pueden presentarse en una tabla. 
Viscosidad (g/ cm . S) 
T(K) KTIE % .\/T Predicha Observadal' 
Para efectos de comparación, en la última columna se muestran datos experimentales. La 
buena concordai-icia era de esperarse, ya que los parámetros de Lennard-Jones de la tabla E. 1 
se obtuvieron a partir de datos de viscosidad. 
Calcular la viscosidad de la siguiente mezcla de gases a 1 atm y 293 K a partir de los datos pro- 
porcionados sobre las componentes puras a las mismas presión y temperatura: 
Predicción de la -. f 
viscosidad de una -9 
mezcla de gases a baja Fracción Peso Viscosidad, p, 
densidad Especie a molar, x, molecular, M, (g / cm . S) * q c f 1 ; 
1. COZ 0.133 44.01 1462 x 10-7 
2. O2 0.039 32.00 2031 X 10-7 
Usar las ecuaciones 1.4-16 y 1.4-15 (en ese orden). Los cálculos pueden sistematizarse en for- 
ma tabular; así: 
11 H.L. Johnstnn y K.E. McCloskey, J. Phys. Chem., 44,1038-1058 (1940). 
i 
91.5 Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31 
Así, la ecuación 1.4-15 p r o p o r c i o n a 
E1 valor o b s e ~ a d o ' ~ es 1793 X g/cm . s. 
Kirkwood y colaboradores desarrollaron una rigurosa teoría cinética de las propie- 
dades de transporte de líquidos mon~atómicos.~ Sin embargo, esta teoría no condu- 
ce a resultados fáciles de usar. Una teoría más antigua, desarrollada por ~ ~ r i n g ~ y 
colaboradores, aunque menos bien fundamentada teóricamente, proporciona una 
descripción cualitativa del mecanismo de transporte de cantidad de movimiento en 
líquidos y permite una estimación gruesa de la viscosidad a partir de otras propie- 
dades físicas. Analicemos brevemente esta teoría. 
En un líquido puro en reposo, las moléculas individuales están constantemente 
en movimiento. Sin embargo, debido a su estrecha cercanía, el movimiento está bas- 
tante restringido a una vibración de cada molécula dentro de una "caja" formada 
por sus vecinos más próximos. Esta caja se representa por medio de una barrera de 
energía de altura A GA/Ñ, donde A es la energía libre de activación molar para es- 
capar de la caja en el fluido estacionario (véase la figura 1.5-1). Según Eyring, un 1í- 
/Sitio vacante o 
"hueco" en la retícula 
Capa C 
Capa B 
Figura 1.5-1 Ilustración de un 
proceso de escape en e1 flujo de - En el fluido en poso 
'60 - un líquido. La molécula 1 debe 
b - En el fluido bajo esfuerzo 7yx pasar a través de un "cuello de 
W - botella" para alcanzar un sitio 
X vacante. 
1 2 ~ . Herning y L. Zipperer, Gas-und Wasserfoch, 79,49-54,69-73 (1936). 
J.H. lMng y J.G. Kirkwood, J. Chem. Phys., 18,817-823 (1950); R.J Bearman y J.G. Kirkwood, 1. Cheni. Phys., 28, 
136-146 (1958). Para publicaciones adicionales, véase John Gamble Kirkwood, Collected Works, Gordon and Breach, 
Nueva York (1967). John Gamble Kirkwood (1907-1959) contribuyó mucho a la teoría cinética de 10s líquidos, 
~ r o ~ i e d a d e s de soluciones de polúneros, teoría de electrólitos y termodinámica de procesos irreversibles. 
S. Giasstone, K.J. Laidler y H Eyring, Theory of Rate Processrs, McCraw-Hill, Nueva York (19411, capítulo 9; H. 
Eyring, D. Henderson, B.J. Ctover y E.M. Eyríng, Statisticnl Mechanics, Wiley, Nueva York (19641, capitulo 16. Véase 
tambih R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicul Chonistry, Wey, 3a. edición (2001), 520.1; y R.S. Beny, S.A. Rice y J. Ross, 
Physical Chernisfry, Oxford University Press, 2a. edición (2000), capitulo 29. Henry Eyring (1901-1981) desarrolló 
teorías para las propiedades de transporte basándose en modelos físicos simples; también desarrolló la teoría de las 
veloQdades de &acción absolutas 
32 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
quido en reposo experimenta continuamente reordenamientos, en los que una mo- 
lécula a la vez escapa de su "caja" hacia un "hueco" adyacente, y que entonces las 
moléculas se mueven en cada una de las direcciones de coordenadas en saltos de 
longitud a a una frecuencia v por molécula. La frecuencia está dada por la ecuación 
de velocidad 
KT 
Y = -exp(-~GJ / RT) (1.5-1) 
h 
Donde K y h son las constantes de Boltzmann y Planck, respectivamente, fl es el nú- 
mero de Avogadro y R = ÑK es la constante del gas (véase el apéndice F). 
En un fluido que circula en la dirección x con un gradiente de velocidad dv,/dy, 
la frecuencia de los reordenamientos moleculares aumenta. El efecto puede explicar- 
se al considerar la barrera de energía potencial como distorsionada bajo el esfuerzo 
aplicado T ~ , (véase la figura 1.5-11, de modo que 
donde Ves el volumen de un m01 de líquido, y t ( a / o ) ( ~ ~ V/2) es una aproximación 
al trabajo realizado sobre las molécuIas a medida que se mueven hacia la parte su- 
perior de la barrera de energía, moviéndose con el esfuerzo cortante aplicado (sig- 
no positivo) o contra el esfuerzo cortante aplicado (signo negativo). Ahora definimos 
u+ como la frecuencia de saltos hacia adelante y u- como la frecuencia de saltos ha- 
cia atrás. Entonces, a partir de las ecuaciones 1.5-1 y 1.5-2 se encuentra que 
KT 
v , = -exp(-aC; / RT) exp(+ar,v / Z S R T ) 
h 
(1 -5-3) 
La velocidad neta con que las moléculas en la capa A se deslizan por encima de las 
que están en la capa B (figura 1.5-1) es justamente la distancia recorrida por salto (a) 
multiplicada por la frecuencia neta de saltos adelante (u, - u-); esto proporciona 
El perfil de velocidad puede considerarse como lineal sobre la muy pequeña distan- 
cia S que hay entre las capas A y B, de modo que 
Al combinar las ecuaciones 1.5-3 y 1.5-5, finalmente se obtiene 
Lo anterior predice una relación no lineal entre el esfuerzo cortante (densidad de 
flujo de cantidad de movimiento) y el gradiente de velocidad; es decir, flujo no new- 
toniano. Este comportamiento no lineal se analiza con más detalle en el capítulo 8. 
51.5 Teoría molecular de la viscosidad de iíquidos 33 
"3 EJEMPLO 1.5-1 
i 
Estimación de la 
viscosidad de un líquido 
puro 
Sin embargo, la situación general es que a7 .I'/~sRT << 1. Entonces puede usar- 
se la serie de Taylor (véase 5C.2) senh x = x + (!/3!)x3 + (1 / 5 ! ) x 5 + -.- y quedarse con 
un solo término. Así, la ecuación 1.5-6 es de la forma de la ecuación 1.1-2, con la vis- 
cosidad dada por 
El factor S / a puede tomarse como la unidad; esta simplificación no implica pérdida 
de precisión, ya que AG; suele determinarse empíricamente para hacer que la ecua- 
ción coincida con datos experimentales de viscosidad. 
Se ha encontrado que las energíaslibres de activación, AG;, determinadas al 
ajustar la ecuación 1.5-7 a datos experimentales de viscosidad contra temperatura, 
son casi constantes para un fluido dado y están relacionadas simplemente con la 
energía interna de vaporización en el punto de ebullición normal, como sigue:3 
Al usar este empirismo y hacer S/a = 1, la ecuación 1.5-7 se convierte en 
La energía de vaporización en el punto de ebullición normal puede estimarse apro- 
ximadamente a partir de la regla de Trouton 
Con esta aproximación adicional, la ecuación 1.5-9 se transforma en 
Las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 coinciden con el largo tiempo usado y aparentemente 
exitoso empirismo p = A exp(B/'D. La teoría, a pesar de ser sólo de naturaleza apio- 
ximada, proporciona la disminución observada de la viscosidad respecto a la tem- 
peratura, pero cuando se usan las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 es común encontrar 
errores hasta de 30%. Dichas ecuaciones no deben usarse para moléculas delgadas 
muy largas, como n-C,,H,,. 
Además, hay disponibles muchas fórmulas empíricas para predecir la viscosi- 
dad de Iíquidos y mezclas de líquidos. Para conocer esas fórmulas es necesario con- 
sultar libros de texto de fisicoquímica e ingeniería química.4 
Estimar Ia viscosidad del benceno liquido, C6HQ a 20°C (293.2 K). 
J.E Kincaid, H. Eyring y A.E. Stearn, &m. R m . , 28,301-365 (1941). 
Véase, por ejemplo, 1.R. Partington, Treatise on Phycicnl Chemistry, Longmans, Green (1949); o R.C. Reid, J.M. 
Prausnitz y B.E. Poling, The Progerties of &es m d l iquids , McGraw-HiU, Nueva York, 4a. edición (1987). Véase 
también P.A. Egelctaff, An Intruducfion fo the LGuid Stnte, Oxford University Press, 2a. edición (1944), capitulo 13; y J.P. 
Hansen e 1.R McDonald, Theoy of Simple Liquids, Academic Press, Londres (1986), capitulo 8. 
34 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Se usa la ecuación 1.5-11 con la siguiente información: 
Debido a que esta información está en unidades cgs, los valores del número de Avogadro y 
la constante de Manck se usan en el mismo conjunto de unidades. Al sustituir en la ecuación 
1.5-11 se obtiene: 
( 6 . 0 2 3 x10~~) (6 .624 XIO- '~) e x p r . 8 x (273.2 +80.1) 
P = 
(89.0) 293.2 
= 4 . 5 ~ 1 0 - ~ ~ / c m - s o bien 4 . 5 x 1 0 - ~ ~ a - s o bien 0.45mPa-S 
91.6" VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y DE EMULSIONES 
Hasta ahora hemos estado analizando fluidos que constan de una fase homogénea 
simple. Ahora nos enfocaremos brevemente en los sistemas de dos fases. La descrip- 
ción completa de tales sistemas es, por supuesto, bastante compleja, aunque a me- 
nudo es útil sustituir la suspensión o la emulsión por un sistema hipotético de una 
fase, que luego se describe por medio de la ley de viscosidad de Newton (ecuacio- 
nes 1.1-2 o 1.2-7) con dos modificaciones: i) la viscosidad p se reemplaza por una vis- 
cosidad efectiva ,uef, y ii) los componentes de velocidad y esfuerzo vuelven a definirse 
entonces (sin cambio de símbolo) como las cantidades análogas promediadas sobre 
un volumen grande respecto a las distancias entre partículas y pequeño respecto a 
las dimensiones del sistema de flujo. Este tipo de teoría es satisfactorio en la medi- 
da en que el flujo implicado sea estacionario; en flujos dependientes respecto al 
tiempo, se ha demostrado que la ley de viscosidad de Newton es inadecuada y los 
sistemas de dos fases deben considerarse como materiales viscoelásticos.' 
La primera contribución especializada a la teoría de la viscosidad de suspensiones 
de esferas fue proporcionada por Einstein? quien consideró una suspensión de esfe- 
ras rigidas tan diluidas que el movimiento de una esfera no afecta el flujo del fluido 
en la vecindad de cualquier otra esfera. Entonces es suficiente analizar sólo el mo- 
' Para suspeiisiones diluidas de esferas rígidas, el comportamiento lineal viscoelástico ha sido estudiado por H. 
Frohlich y R. Sack, Proc. Roy. Soc., A185,415-430 (19461, y para emulsiones diluidas, la deducción análoga ha sido 
proporcionada por J.G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A218, 122-132 (1953). En estas dos publicaciones, el fluido se describe 
mediante el modelo de Jeffreys (véase la ecuación 8.4-4) y los autores encontraron las relaciones enhe los tres 
parámehos en el modelo de Jeffreys y las constantes que describen la estructura del sistema de dos fases (la fracción 
de volumen de material suspendido y las viscosidades de las dos fases). Para comentarios adicionales concernientes a 
suspensiones y reologfa, v6ase R.B. Bird y J.M. Wiest, capítulo 3 del Haiidbook of Fluid Dynamics and Fluid Machinery, 
].A. Cchetz y A.E. Fuhs (compiladores), Wiley, Nueva York (1996). 
Albert Einstein (1879-1955) recibió el premio Nobel por su explicación del efecto fotoelkchico, no por su 
desarrollo de la teoría especial de la relatividad. Su trabajo seminal sobre suspensiones apareciii en A. Einstein, Ann. 
Phys. (Lglpz~g), 19,289-306 (1906); errata, ibíd, 24,591-592 (1911). En la publicación original, Einstein cometió un error 
en la deducción y obtuvo @ en lugar de 5 @. Después de que experimentos confirmaron que esta ecuación no coincidía 
con los datos experimentales, volvió a calcular el coeficiente. La deducción original de Einstein es bastante larga; para 
un d e s m i l o más conciso, véase L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxford, Za. edición 
(19871, pp. 73-75. La formufacidn matemática del comportamiento de fluidos con vanas fases puede encontrarse en 
D.A. Drew y S.L. Pasman, Theoy of Multicomponent Fluids, Springer, Berlín (1999). 
51.6 Wscosidad de suspensiones y de emulsiones 35 
vimiento del fluido alrededor de una sola esfera, y los efectos de las esferas indivi- 
duales son aditivos. La ecuación de Eins tein es 
donde po es la viscosidad del medio de suspensión, y @ es Ia fracción de volumen 
de Ias esferas. El resultado precursor de Einstein ha sido modificado de varias ma- 
neras, de las cuales a continuación describiremos algunas. 
Para suspensiones diluidus de partículas de varias formas, la constante 5 debe susti- 
tuirse por un coeficiente distinto, dependiendo de la forma particular. Las suspen- 
siones de partículas alargadas o flexibles presentan viscosidad no n e ~ t o n i a n a . ~ 
Para suspensiones concentradas de esferas (es decir, @ mayor que aproximadamen- 
te 0.051, las interacciones de las partículas se vuelven apreciables. Se han desarrolla- 
do varias expresiones semiempíricas, de las cuales una de las m6s simples es la 
ecuación de Mwney7 
donde @o es una constante empírica cuyo valor varía aproximadamente entre 0.74 y 
0.52, y estas cifras corresponden a los valores de $ para empaque más compacto y 
empaque cúbico, respectivamente. 
Otro método para suspensiones concentradas de esferas es la "teoría de celdas", 
donde se analiza la energía de disipación en el "flujo comprimido" entre las esferas. 
Como ejemplo de este tipo de teoría citamos la enuzcidn de Grahams 
en la cual = 2 - # / , donde @,. es 1a fracción de volumen 
correspondiente al empaque más compacto de las esferas determinado experimen- 
talmente. Esta expresibn se simplifica a la ecuación de Einstein para @ -r O y a la 
ecuación de Frankel-Acrivos9 cuando $ + #-. 
Para suspensiones concentradas de partículas no esféricas, puede usarse la ecuación 
de ~rieger-~ougherty:lO 
Los parámetros A y #nia, a utilizar en esta ecuación se muestran tabulados" en la ta- 
bla 1.61 para suspensiones de varios materiales. 
H.L. Frisch y R. Simha, capítulo 14 de Rheology, Vol. 1 P.R. Eirich, compilador), Academic Pms, Nueva York 
(19561, Secciones 11 y 111. 
E.W. Meniii, capihilo 4 de Modem Chemical Enginm.ng, Vol. 1 (A. Acrivos, compilador), Reinhold, Nueva York 
(19631, p. 165. 
E.J. Hinch y L.G. Leal, J. Fluid Mech., 52,685712 (1972); 76,187-208 (1976). 
W.R. Sdiowalter, Mechanics ofNon-Newlonian Fluids, Pergamon, Oxford (1978), capitulo 13. 
'M. Mooney, J. Coll. Sci., 6,162-170 (1951). 
8A.L. Graham, Appl. Sci. Res., 37,275-286(1981). 
N.A. Frankel y A. Acrivos, Chem. Engr. Sci., 22,847-853 (1967). 
'O I.M. Krieger y T.J. Doughaty, Tmns. Soc. Rheol., 3, 137-152 (1959). 
l1 H.A. Barnes, J.F. Hutton y K. Walters, An Introduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (19891, p. 125. 
36 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Tabla 1.6-1 Constantes adimensionales para utilizar 
en la ecuación 1 .ó-4 
Sistema A ,j,& Referencia 
Esferas (subrnicras) 2.7 0.71 a 
Esferas (40 pm) 3.28 0.61 b 
Yeso molido 3.25 0.69 c 
Dióxido de titanio 5.0 0.55 c 
Laterita 9.0 0.35 c 
Varilias de vidrio (30 X 700 pm) 9.25 0.268 d 
Láminas de vidrio (100 x 400 pm) 9.87 0.382 d 
Granos de cuarzo (53-76pm) 5.8 0.371 d 
Fibras de vidrio (radio axial7) 3.8 0.374 b 
Fibras de vidrio (radio axial14) 5.03 0.26 b 
Fibras de vidrio (radio axial21) 6.0 0.233 b 
a C.G. de Kruif, E.M.F. van Ievsel, A. Vrij y W.B. Russel, en 
Viscwlastirity and Rheology (A.S. Lodge, M. Renardy, J.A. Nohel, 
edc.), Academic Press, Nueva York (1985). 
b H. Giesekus, en Physical Properties of Foods (J. Jowitt, et al., eds.), 
Appiied Science Publishers, capitulo 13. 
R.M. Turian y T.-F. Yuan, AlChE journnl, 23,232-243 (1977). 
d E. Clarke, Trans. Inst. C h . Eng., 45,251-256 (1966). 
Para suspensiones concentradas se observa un comportamiento no newtoniano, in- 
cluso cuando las partículas suspendidas son esféricas.ll Esto significa que la visco- 
sidad depende del gradiente de velocidad y puede ser distinta en flujo cortante a 
como se presenta en flujo de alargamiento. En consecuencia, ecuaciones como la 
1.6-2 deben usarse con cautela. 
Para emulsiones o suspensiones de gotitas minúsculas, donde el material suspendi- 
do puede experimentar circulación interna pero reteniendo su forma esférica, la vis- 
cosidad efectiva puede ser mucho menor que la viscosidad de suspensiones de 
esferas sólidas. La viscosidad de emulsiones diluidas se describe entonces con la 
ecuación de Taylor:12 
donde yl es la viscosidad de la fase dispersa. Sin embargo, debe observarse que con- 
taminantes con actividad superficial, a menudo presentes incluso en líquidos puri- 
ficados, pueden detener efectivamente la circulación interna;13 así, las gotitas se 
comportan como esferas rígidas. 
l2 G.I. Taylor, Proc. Roy. Soc., AX38,41-48 (1932). Geofhy lngram Taylor (1886-1975) es famoso por la dispersión 
de Taylor, los vórtices de Taylor y su trabajo sobre la teoría estadística de la turbulencia; abordó muchos problemas 
com~lejos en formas ingeniosas en las que utilizó al máximo los procesos físicos implicados. 
V.G. Levich, Physicochemical Hydrodymmics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1%2), capitulo 8. Veniamin 
Grigorevich Levich (1917-19871, físico y e l ~ u ú n i c o , realizó muchas contribuciones a la solución de problemas 
importantes en difusión y transferencia de materia. 
51.7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo 37 
Para suspensiones diluidas de esferas cargadas, la ecuación 1.6-1 puede reemplazar- 
se por la ecuación de Srnoluchoui~ki~~ 
en la que D es la constante dieléctrica del fluido en suspensión, k, es la conductivi- 
dad eléctrica específica de la suspensión, 5 es el potencial electrocinético de las par- 
tículas y R es el radio de la partícula. La presencia de cargas superficiales en 
suspensiones estables no es poco común. Otras fuerzas superficiales, menos bien 
comprendidas, también son importantes y frecuentemente provocan que las partí- 
culas formen agregados disperso^.^ Una vez más, aquí se encuentra un comporta- 
miento no newtoniano.15 
$1.7 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONVECTIVO 
Hasta ahora hemos analizado el transporte de cantidad de movimiento molecular, lo cual 
condujo a un conjunto de cantidades vli' que proporcionan la densidad de flujo de 
cantidad de movimiento j a través de una superficie perpendicular a la dirección i. 
Luego relacionamos los mil con los gradientes de velocidad y la presión, y encontra- 
mos que esta relación implicaba dos parámetros materiales p y K. En 51.4 y 51.5 vi- 
mos cómo surge la viscosidad a partir de la consideración del movimiento aleatorio 
de las moléculas en el fluido; es decir, el movimiento molecular aleatorio respecto al 
movimiento volumétrico (global) del fluido. Además, en el problema 1C.3 se de- 
muestra cómo se origina la contribución de la presión a T , ~ a partir de los movimien- 
tos moleculares aleatorios. 
La cantidad de movimiento puede, además, transportarse por medio del flujo 
volumétrico del fluido, y este proceso se denomina transporte convectivo. Para anali- 
zarlo utilizamos la figura 1.7-1 y centramos nuestra atención en una región de for- 
ma cúbica en el espacio a través de la cual circula el fluido. En el centro del cubo 
(ubicado en x, y, z ) el vector de velocidad del fluido es v. Así como hicimos en g1.2, 
consideramos tres planos mutuamente perpendiculares (los planos sornbreados) 
que pasan por el punto x, y, 2, y preguntamos cuánta cantidad de movimiento pasa 
a través de cada uno de ellos. Se considera que cada pIano es de área unitaria. 
El caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es v,. Este fluido 
lleva consigo una cantidad de movimiento pv por volumen unitario. Por tanto, la 
densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área sombreada es v,pv; 
nótese que ésta es la densidad de flujo de cantidad de movimiento desde la región de 
menor x hacia la región de mayor x. De manera semejante, la densidad de flujo 
de cantidad de movimiento a través del área sombreada en (b) es vypv, y la densi- 
dad de flujo de cantidad de movimiento a través de1 área sombreada en (c) es u,pv. 
Estos tres vectores (pv,v, pvyv y pvzv) describen la densidad de flujo de canti- 
dad de movimiento a través de las tres áreas perpendiculares a los ejes respectivos. 
Cada uno de estos vectores tiene una componente x-, y- y z-. Estas componentes 
pueden disponerse como se muestra en la tabla 1.7-1. La cantidad pv,uy es la densi- 
l4 M. von Smoluchowski, Kolloid Zeits., 18, 190-195 (1916). 
l5 W.B. Russel, The Dynamics ofColloida1 Systms, U . of Wisconsin Press, Madison (1987), capitulo 4; W.B. Russel, 
D.A. Saville y W.R. Schowalter, Colloidal Dispersions, Cambridge University Prms (1989); R.G. Larson, Tlie Ctructurc. attd 
Rheology of Complm Fluids, Oxford University Press (1998). 
38 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Figura 1.7-1 Las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de planos 
de área unitaria perpendiculares a las direcciones de coordenadas. 
dad de flujo convectivo de cantidad de niovimierito en la dirección y a través de una 
superficie perpendicular a la dirección x. Esto debe compararse con la cantidad T 
ry ' 
que es la densidad de flujo molecular de cantidad de movimiento en la dirección y 
a través de una superficie perpendicular a la dirección x. La convención de signos 
para ambos modos de transporte es la misma. 
La colección de nueve componentes escalares proporcionadas en la tabla 1.7-1 
puede representarse como 
Debjdo a que cada componente d e p w tiene dos subíndices, cada uno asociado con 
una dirección de coordenadas, p w es un tensor (de segundo orden); se denomina 
Tabla 1.7-1 Resumen de las componentes de la densidad de flujo de cantidad 
de movimiento convectivo 
Densidad de flujo 
Dirección de cantidad de 
Componentes de flujo de cantidad de 
movimiento convectivo 
normal a la cara movimiento a través 
sombreada de la cara sombreada Componente x Componente y Componente z 
51 .? Transporte de cantidad de movimiento convectivo 39 
tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo. La tabla 1.7-1 para las 
componentes del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convecti- 
vo debe compararse con la tabla 1.2-1 para las componentes del tensor de densidad 
de flujo de cantidad de movimiento molecular. 
A continuación preguntamos cuál debe ser la densidad de flujode cantidad de 
movimiento convectivo a través de un elemento de superficie cuya orientación esta 
dada por un vector normal unitario n (véase Ia figura 1.7-2). Si un fluido fluye a tra- 
vés de la superficie dS con una velocidad v, entonces el caudal volumétrico a través 
de ia superficie, desde el lado negativo hacia el lado positivo, es (n v)dS. Por tan- 
to, el caudal de cantidad de movimiento a través de la superficie es (n - v )pvdS , y la 
densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo es (n . v ) p v . Según las re- 
glas para la notación vector-tensor proporcionadas en el apéndice A, lo anterior 
también puede escribirse como [n pwl; es decir, el producto punto del vector nor- 
mal unitario n con el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento con- 
vectivopw. Si dejamos que n sea sucesivamente los vectores unitarios que apuntan 
en Ias direcciones x, y, z (es decir, a,, ay y a,), obtenemos las entradas de la segunda 
columna en la tabla 1.7-1. 
De manera semejante, la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular total a 
través de una superficie de orientación n está dada por [n . m1 = p n + [n - TI. Se entien- 
de que ésta es la densidad de flujo desde el lado negativo hacia el lado positivo de la 
superficie. Esta cantidad también puede interpretarse como la fuerza por área unita- 
ria ejercida por el material negativo sobre el material positivo a través de la superfi- 
cie. En el problema 1D.2 se proporciona una interpretación geométrica de [n rl. 
En 51.2 de este capítulo definimos el transporte de cantidad de movimiento molecu- 
lar, y en esta sección hemos descrito el transporte de cantidad de movimiento convecti- 
vo. Al estabIecer 10s balances de envoltura de cantidad de movimiento en el capítulo 
2 y el balance general de cantidad de movimiento en el capítulo 3, encontraremos 
útil definir la densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado, que es la suma de 
la densidad de flup de cantidad de movimiento molecular y la densidad de flujo de 
cantidad de movimiento convectivo: 
Debe recordarse que la contribución p8 no contiene velocidad, sólo la presión; la 
combinación p w contiene la densidad y productos de las componentes de la velo- 
cidad; y la contribución T contiene la viscosidad y, para un fluido newtoniano, es 1i- 
neal en los gradientes de velocidad. Todas estas cantidades son tensores de segundo 
orden. 
La mayor parte del tiempo trataremos con componentes de estas cantidades. 
Por ejemplo, Ias componentes de + son 
Figura 1.7-2 La densidad de flujo de cantidad de 
movimiento convectivo a través de un plano de orientación 
x arbitraria n es (n . v)pv = [n . pvv). 
40 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
Tabla 1.7.-2 Resumen de la notación para densidades de flujo de cantidad de movimiento 
Símbolo Significado Referencia 
P W Temor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo Tabla 1.7-1 
T Tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento viscosoa Tabla 1.2-1 
qr = p6 + T Tensor de flujo de cantidad de movimiento moleculaP Tabla 1.2-1 
t$ = ++w Tensor de flujo de cantidad de movimiento combinado Ecuación 1.7-2 
a Para fluidos viscoelásticos (vease el capítulo 8). éste debe denominarse tensor de densidad de flujo de cantidad 
de movimiento viscoet6stico o tensor de esfierzo viscoelástico. 
b Éste puede referirse como tensor de esfuerzo molecular. 
y así sucesivamente, en forma paralela a las entradas de las tablas 1.2-1 y 1.7-1. La 
cuestión importante por recordar es que 
= densidad de flujo combinado de cantidad de movimiento en la dirección y que 
XY 
pasa a través de una superficie perpendicular a la dirección x por mecanismos 
molecuhres y convectivos. 
El segundo índice proporciona la componente de cantidad de movimiento que se es- 
tá transportando y el primer índice da la dirección de transporte. 
Los diversos símbolos y nornencIatura que se usan para densidades de fldjo de 
cantidad de movimiento se muestran en la tabla 2.7-2. Para todas las densidades 
de fi ujo se utiliza la misma convención de signos. 
Comparar la ley de viscosidad de Newton y la ley de elasticidad de Hooke. ¿Cual es el ori- 
gen de estas "leyes"? 
Verificar que "cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario" tiene las mis- 
mas unidades que "fuerza por área unitaria". 
Comparar y contrastar los mecanismos molecular y convectivo para el transporte de canti- 
dad de movimiento. 
iCuáles son los significados físicos de los parámetros de Lennard-Jones y cómo pueden de- 
terminarse a partir de datos de viscosidad? ¿La determinación es única? 
¿Cómo dependen las viscosidades de los líquidos y de los gases a baja densidad de la tempe- 
ratura y la presión? 
El potencial de Lennard-Jones depende sólo de la separación intermolecular. ¿Para qué tipos 
de moléculas podría esperarse que este tipo de potencial sea inapropiado? 
Bosquejar la función de energía potencial <p(r) para esferas rígidas que no se atraen. 
Las moléculas que sólo difieren en sus isótopos atómicos tienen los mismos valores de los pa- 
rámetros de potencial de Lennard-Jones. ¿Esperaría usted que la viscosidad del CD4 sea ma- 
yor o menor que la del CH, a las mismas temperatura y presión? 
La viscosidad del fluido A es el doble de la viscosidad del fluido B; ¿qué fluido esperaría que 
fluyese más rápido a través de un tubo horizontal de longitud L y radio R cuando se impone 
la misma diferencia de presión? 
Hacer un bosquejo de la fuerza intermolecular F ( r ) obtenida a partir de la función de Len- 
nard-Jones para cp(r). También, determinar el valor de r, en la figura 1.4-3 en términos de los 
parámetros de Lennard-Jones. 
Problemas 41 
11. ¿Qué conceptos básicos se utilizan al pasar de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 
1.1-2 a la generalización en la ecuación 1.2-6? 
12. ¿Qué obras de referencia pueden consultarse para encontrar más información acerca de la 
teoría cinktica de los gases y los líquidos, y también para obtener empirismos útiles para 
calcular Ia viscosidad? 
PROBLEMAS 
@ Estimarión de la viscosidad de un gas denso. Esti- 
mar la viscosidad del nitrógeno a 68°F y 1000 psig por me- 
dio de la figura 1.3-1, usando la viscosidad crítica de la tabla 
E.1. Proporcionar el resultado en unidades de lb,/pie - s. 
para el significado de "psig", consulte la tabla F.3-2. 
z v c 
Respuesta: 1.4 X lb,/pie . s. 67 q m . 
lk2 Estimación de la viscosidad del fluonuo de meti- 
lo. Usar la figura 1.3-1 para encontrar la viscosidad en Pa . s 
del CH3F a 370°C y 120 atm. Usar los valores siguientes1 
para las constantes criticas: T, = 4.5S°C, p, = 58.0 atm, p, = 
0.300 g/cm3. 
1A.3 Cálculo de las viscosidades de gases a baja densi- 
dad. Pronosticar las viscosidades del oxígeno, nitrógeno y 
metano moleculares a 20°C y presión atmosférica, y expre- 
sar los resultados en d a . s. Comparar los resultados con 
datos experimentales proporcionados en este capítulo. 
Respuestas: 0.0202,0.0172,0.0107 d a . s. 
lk4 Viscosidades de mezclas de gases a baja densidad. 
- Disponer de los datos siguientes2 para b s viscosidades de 
mezclas de hidrógeno y Freón-12 (diclorodifiuorometano~ 
a 25°C y 1 atm: 
Fracción molar de H2: 0.w 0.25 0.50 0.75 1.00 
p x lo6 (poise): 124.0 128.1 131.9 135.1 88.4 
Usar las viscosidades de las componentes puras para calcu- 
lar las viscosidades a las tres composiciones intermedias 
por medio de las ecuaciones 1.4-15 y 1.4-16. 
Respuesta muestra: A 0.5, p = 0.01317 cp 
lA.5 Viscosidades de mezclas cloro-aire a baja densi- 
dad, Pronosticar las viscosidades (en cp) de mezclas cloro- 
aire a 75°F y 1 atm, para las siguientes fracciones molares 
de cloro: 0.00, 0.25,0.50,0.75,1.00. Considerar el aire como 
una componente simple y use las ecuaciones 1.4-14 a 1.4-16. 
Respuestas: 0.0183,0.0164,0.0150,0.0139,0.0130 cp 
' K.A. Kobe y R.E. Lynn, Jr., Chem. Revs. 52, 117-236 (1953), véase 
pág. 202. , 
* J.W. Buddenberg y C.R. Wiike, Ind. Eng. Chem. 41,1345-1347(1949). 
Estimación de la viscosidad líquida. Estimar la vis- 
de agua líquida saturada a_O0C y a 100°C por me- 
dio de a) la ecuación 1.5-9, con AUWp = 897.5 Btu/lb, a 
10O0C, y b) la ecuaci6n 1.5-11. Comparar los resultados con 
los valores de la tabla 1.1-2. C Y ~ le& c fi ,_ks-:. 
Respuesta: b) 4.0 cp, 0.95 cp '"'S 
1A.7 Velocidad molecular y trayectoria libre media. Cal- q cu r la velocidad molecular media U (en crnjs) y la trayec- 
toria libre media h (en cm) para el oxígeno a 1 atm y 273.2 
K. Un valor razonable para d es 3 A. iCu61 es la razón de la 
payectoria libre media al diametro molecular bajo estas 
condiciones? ¿Cuál sería el orden de magnitud de la razón 
correspondiente en el estado líquido? 
Respuestas: ii = 4.25 x lo4 cm/s, A = 9.3 x cm 
I 
lB.l Perfiles de velocidad y las componentes de esfuer- 
zo vi.. Para cada una de las siguientes distribuciones de ve- 
locidad, hacer un bosquejo que tenga sentido y que 
muestre el patrón de flujo. Después encontrar todas las 
componentes de r y p w para el fluido newtoniano. El pa- 
rámetro b es una constante. 
a) U, = by, v = O, v, = O 
Y 
b) v, = by, u = bx, v, = O 
Y 
c)v,= -by,v =bx,v-,=O 
Y 
d) U, = - :bx, y = - :by, u, = bz 
18.2 Un fluido en estado de rotaci6n rígida. 
a) Comprobar que la distribución de velocidad (c) en el 
problema 1B.1 describe un fluido en un estado de rotaci6n 
pura; es decir, que el fluido está girando como un cuerpo rí- 
gido. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación? 
b) Para ese patrón de flujo, evaluar las combinaciones si- 
métricas y antísimétricas de las derivadas de la velocidad: 
C) Comentar los resultados del inciso b) en relación con el 
desarrollo en 51.2. 
- 
1B.3 Viscosidad de suspensiones. Los datos de Vand" 
para suspensiones de pequeñas esferas de vidrio en solu- 
". Vand, J. Phys. Colloid Chem., 52,277-299,300-314,314-321 (1948) 
42 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 
ciones de glicerol acuosas de ZnI, pueden representarse 
hasta aproximadamente 4 = 0.5 mediante la expresión se- 
miempírica 
Comparar este resultado con la ecuación 1.62. 
Respuesta: la ecuación de Mooney proporciona un buen 
ajuste de los datos de Vand si a $o se le asigna el muy razo- 
nable valor de 0.70. 
1C.1 Algunas consecuencias de la dietribuci6n de Max- 
well-Boltzmann. En la teoría cinética simplificada en 51.4, 
se hicieron varias afirmaciones sin demostrar conceniien- 
tes al comportamiento de un gas en equilibrio. En este pro- 
blema y en el siguiente se muestra que algunas de esas 
afirma'ciones son consecuencias exactas de la distribución 
de velocidad de Maxwell-Boltzmann. 
La dis+ribuci6n de Maxwell-Boltzmann de velocidades 
molenilares en un gas ideal en reposo es 
donde u es la velocidad molecular, n es el niimero de den- 
sidad y f(u,, u y uJdu$u,fu, es el número de moléculas por 
volumen unitano del que se espera tenga velocidades entre 
u, y u, + d u , uy y uy + du,,, u, y u, + du,. A partir de esta 
ecuación se concluye que la distribución de la velocidad 
molemlar u es 
a) Verificar la ecuación 1.4-1 obteniendo la expresión para 
la velocidad media ü a partir de 
b) Obtener los valores medios de las componentes de la ve- 
locidad TI,, iiy y üZ. El primero de estos se obtiene a partir de 
¿Qué puede concluirse a partir de los resultados? 
C) Obtener la energía cinética media por molécula mediante 
El resultado correcto es m 7 = q KT. 
1C.2 Frecuencia de colisiones con la pared. Se quiere en- 
contrar la frecuencia Z con que las moléculas de un gas 
ideal golpean un área unitaria de una pared, solamente en 
un lado. El gas esta en reposo y en equilibrio con una tem- 
peratura T y el número de densidad de las moléculas es n. 
Todas las moléculas tienen masa m. Todas las moléculas en 
la región x < O con u, > O golpearán un área S en el plano yz 
en un tiempo corto At si están en el volumen Su$. El nú- 
mero de colisiones contra la pared por área unitaria por 
tiempo unitario ser5 
Verificar el desarrollo anterior. 
1C.3 Presión de un gas ideaL4 Se desea obtener la p re 
si6n que un gas ideal ejerce sobre una pared teniendo en 
cuenta la velocidad de transferencia de cantidad de movi- 
miento de las moléculas a la pared. 
a) Cuando una molécula que se desplaza a una velocidad u 
choca con una pared, las componentes de la velocidad de 
llegada son u , uy y u,, y después de una reflexión especu- 
lar en la pared, sus componentes son -u,, uy y u,. Así, la 
cantidad de movimiento neta transmitida a la pared por 
Ia mol6cluIa es 2mu,. Las moléculas cuya componente x de 
la velocidad es igual a u , y que chocarán con la pared du- 
rante un breve intervalo de tiempo At, deben estar dentro 
del volumen Su,At. ¿Cuántas moléculas con componentes 
de velocidad en el internalo de u,, u , u, a u, + Au,, uy + Auy, 
u, + bu, chocarán contra un área h e la pared con una v e 
locidad u, en un intervalo de tiempo At? El resultado será 
flux, U , uZ)du$u#uz por Su,ht. Asf, la presión que ejerce el 
gas sotre la pared será 
Explicar con todo detalle c6mo se obtuvo esta expresión. 
Verificar que esta relación es dimensionalmente correcta. 
b) Inserte la ecuación lC.I-1 para la distribución en equili- 
brio de Maxwell-Boitzmann en la ecuación lC.3-1 y efectúe 
R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physical Chemistry, Wiley, Nueva York, 3a. 
edición (20011, pp. 639-640. 
Problemas 43 
la integración. Verificar que este procedimiento conduce a b) Demostrar que según la tabla 1.2-1, la fuerza por área 
= n ~ T , la ley del gas ideal. unitaria sobre AOBC es 6 , ~ + Gy.rr + 6 , ~ , Escriba ex- 
presiones de fuerza semejantes para XOCA y AOAB. 
1 ~ . 1 Rotación uniforme de un fluido. C) Demostrar que el balance de fuerzas para el elemento de 
volumen OABC da 
a) Verificar que la distribución de velocidad en un fluido en 
estado de rotación pura (es decir, que gira como un cuerpo = S ~ < n . ~ i ) ( ~ i ~ q ) = i n . g ~ 8i q91 (1~.2-1) 
deido), es v = [w x rl, donde w es la velocidad angular ' 1 " 
(una constante) y r es el vector de posición, con componen- donde los índices i, j toman los valores x, y, z. La doble ope- 
tes x, y, z. ración suma en la Última expresión es el tensor de esfuerzo 
b) LCuáles son Vv + (VvIt y (V-v) para el campo de flujo en u escrito como una suma de productos de díadas unitarias 
el inciso a)? y componentes unitarias. 
c) hterpretar la ecuación 1.2-7 en términos de los resulta- 
dos del inciso b). 
1D.2 Fuerza sobre una superficie de orientación arbitra- 
rias (figura 1D.2) Considerar el material dentro de un ele- 
mento de volumen OABC que se encuentra en estado de 
equilibrio, de modo que la suma de las fuerzas que actúan 
sobre las caras triangulares AOBC, AOCA, AOAB y 
AABC debe ser cero. Sea dS el área de AABC, y sea e1 vec- 
tor r, la fuerza por área unitaria que actúa desde el lado 
negativo hacia el lado positivo de dS. Demostrar que IT, = 
[n .TI. 
a) Demostrar que el área de AOBC es la misma que el área 
de la proyección AABC sobre el plano yz; esta área es (n . 
8JdS. Escriba expresiones similares para las áreas de 
AOCA y AOAB. 
Figura 1D.2 Elemento de volumen OABC sobre el que se 
realiza un balance de fuerzas. El vector a, = [n . r] es la 
fuerza por área unitaria ejercida por el material negativo 
(material dentro de OABC) sobre el material positivo (material 
fuera de OABC). El vector n es el vector normal unitario 
dirigido hacia afuera sobre la cara ABC. 
M. Abraham y R. Becker, The Classical Theory of Elechicity and Magne- 
tism, Blackie and Sons, Londres (19521, pp. 44-45. 
Capítulo 2 
Balances de cantidad de movimiento 
en la envoltura y distribuciones 
de velocidad en flujo laminar 
2 . Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite 
g2.2 Flujo de una película descendente 
52.3 Flujo a través de un tubo circular 
52.4 Flujo a través de un tubo conc~ntrico 
52.5 Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 
9 . 6 Flujo reptante alrededor de una esferaEn este capítulo mostraremos cómo obtener los perfiles de velocidad para flujos la- 
minares de fluidos en sistemas de flujo simples. En estas deducciones se utilizan la 
definición de viscosidad, las expresiones para las densidades de flujo de cantidad 
de movimiento rnolecular y convectivo, y el concepto de balance de cantidad de mo- 
vimiento. Una vez que se obtienen los perfiles de velocidad, a continuación es posi- 
ble obtener otras cantidades como la velocidad máxima, la velocidad media o el 
esfuerzo cortante en una superficie. A menudo, estas últimas son las cantidades de 
interés en problemas de ingeniería. 
En la primera sección se hacen algunas observaciones generales sobre cómo es- 
tablecer balances diferenciales de cantidad de movimiento. En las secciones que si- 
guen trabajaremos en detalle varios ejemplos clásicos de patrones de flujo viscoso. 
Estos ejemplos deben comprenderse a fondo, ya que en capítulos posteriores se pre- 
sentarán frecuentes ocasiones para referirnos a ellos. Aunque estos problemas son 
más bien simples e implican sistemas ideahados, no por ello dejan de usarse a me- 
nudo para resolver problemas prácticos. 
Los sistemas que se estudian en este capítulo están dispuestos de modo que el 
lector pueda dominar poco a poco una variedad de factores que se presentan en la 
solución de problemas de flujo viscoso. En 52.2, el problema de la película descen- 
dente ilustra el papel de la fuerza de gravedad y el uso de las coordenadas cartesia- 
nas; también muestra cómo resolver el problema cuando la viscosidad puede ser 
una función de la posición. En 52.3, el flujo en un tubo cilíndrico ilustra el papel de 
las fuerzas de presión y de gravedad, así como el empleo de las coordenadas cilín- 
dricas; se proporciona una extensión aproximada al flujo compresible. En 52.4, el 
flujo entre tubos concéntrico, anular, cilíndrico, recalca el papel desempeñado por 
las condiciones límite. Después, en 52.5, la cuestión de las condiciones Límite se 
aborda con más detalle en el análisis de1 flujo de dos líquidos adyacentes inmisci- 
bles. Por último, en g2.6 se analiza brevemente el flujo alrededor de una esfera para 
ilustrar un problema en coordenadas esféricas y también para indicar cómo mani- 
pular las fuerzas tanto tangenciales como normales. 
46 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de vefocidad en flujo laminar 
1 Fluido que contiene 11 partículas diminutas 
Figura 2.0-1 a) Flujo laminar: las capas del 
fluido se mueven suavemente unas sobre 
otras en la dirección del flujo, y b) flujo 
turbulento: el patrón de flujd es complejo y 
dependiente del tiempo, con considerable 
movimiento perpendicular a la dirección 
principal de flujo. 
1 
Los métodos y problemas de este capítulo son válidos sólo para flujo estaciona- 
rio. Por "estacionario" se entiende que las componentes de presión, densidad y ve- 
locidad en cada punto de la corriente no cambian con el tiempo. Las ecuaciones 
generales para flujo no estacionario se proporcionan en el capitulo 3. 
Este capitulo sólo se ocupa del flujo laminar, es decir, el flujo ordenado que se ob- 
serva, por ejemplo, en el flujo por un tubo a velocidades lo suficientemente bajas de 
modo que partículas minúsculas inyectadas en el tubo se mueven siguiendo una 1í- 
nea delgada. Esto contrasta de manera muy clara con el caótico "flujo turbulento" a 
velocidades suficientemente altas donde las partículas son arrojadas y dispersadas 
a lo largo de toda la sección transversal del tubo. El flujo turbulento constituye el te- 
ma del capítulo 5. Los dibujos que se muestran en la figura 2.0-1 ilustran la diferen- 
cia entre los dos regímenes de flujo. 
2.1 BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA ENVOLTURA 
Y CONDICIONES LÍMITE 
Los problemas que se analizan en los apartados 52.2 a 52.5 se abordan establecien- 
do balances de cantidad de movimiento sobre una delgada "envoltura" del fluido. 
Para flujo estacionario, el balance de cantidad de movimiento es 
' velocidad 
de entrada de 
cantidad 
de movimiento 
por transporte 
. convectivo 
' velocidad 
de salida de 
cantidad 
de movimiento 
por transporte . convectivo ! 
' velocidad 
de entrada de 
cantidad de 
movimiento - 
por transporte 
. molecular I 
' velocidad 
de salida de 
cantidad de 
movimiento 
por transporte 
. molecular 
fuerza de 
gravedad que 
Éste es un planteamiento restringido de la ley de conservación de la cantidad de mo- 
vimiento. En este capítulo aplicamos tal planteamiento sólo a una componente de la 
cantidad de movimiento; a saber, la componente en la dirección del flujo. Para escri- 
bir el balance de cantidad de movimiento se requieren las expresiones para las den- 
sidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo dadas en la tabla 1.7-1 y las 
densidades de flujo de cantidad de movimiento molecular dadas en la tabla 1.2-1; 
debe recordarse que la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular in- 
cluye las contribuciones de la presión y la viscosa. 
En este capítulo e1 balance de cantidad de movimiento se aplica sólo a sistemas 
en los que únicamente hay una componente de velocidad, que depende sólo de una 
variable espacial; además, el flujo debe ser rectilíneo. En el capítulo siguiente el con- 
52.1 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite 47 
cepto de balance de cantidad de movimiento se extiende a sistemas de estado no es- 
tacionario con movimiento curvilíneo y con más de una componente de velocidad. 
En este capítulo, el procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo 
viscoso es como sigue: 
Se identifican la componente de velocidad que no se elimina y la variable es- 
pacial de la cual depende. 
Se escribe un balance de cantidad de movimiento de la forma de la ecuación 
2.1-1 sobre una delgada envoltura perpendicular a la variable espacial rele- 
vante. 
Se hace que el espesor de la envoltura tienda a cero y se usa la definición de 
la primera derivada para obtener la ecuación diferencial correspondiente pa- 
ra la densidad de flujo de cantidad de movimiento. 
Se integra esta ecuación para obtener la distribución de densidad de flujo de 
cantidad de movimiento. 
Se inserta la ley de viscosidad de Newton y se obtiene una ecuación diferen- 
cial para la velocidad. 
Se integra esta ecuación para obtener la distribución de velocidad. 
Se usa la distribución de velocidad para obtener otras cantidades, como la ve- 
locidad máxima, la velocidad media o la fuerza sobre superficies sólidas. 
En las integraciones mencionadas antes aparecen varias constantes de integración, 
mismas que se evalúan usando "condiciones límite"; es decir, postulados acerca de 
la velocidad o el esfuerzo en los límites del sistema. Las condiciones límite (condi- 
ciones frontera) de mayor uso son las siguientes: 
a. En interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con 
que se mueve la superficie sólida; esta afirmación se aplica tanto a la compo- 
nente tangencia1 como a la componente normal del vector velocidad. La 
igualdad de las componentes tangenciales se denomina "condición sin desli- 
zamiento". 
b. En un plano interfacial líquido-líquido de x constante, las componentes tan- 
genciales de velocidad o y v, son continuas a través de la interfase (la "con- 
dición sin deslizamient~"), así como también lo son las componentes del 
tensor de esfuerzo molecular p + T~, , rxy y 7=. 
c. En un plano interfacial líquido-gas de x constante, las componentes del tensor 
de esfuerzo 7 y 7xz se toman como iguales a cero, siempre que el gradiente de 
ry 
velocidad del lado del gas no sea demasiado grande. Esto es razonable, ya 
que las viscosidades de los gases son mucho menores que las de Ios líquidos. 
En las condiciones limite anteriores se presupone que a través de la interfase no pa- 
sa ningirn material; es decir, que en la superficie entre las dos fases no hay adsor- 
ción, absorción, disolución, evaporación, fusión o reacción química.Las condiciones 
límite que contemplan estos fenómenos aparecen en los problemas 3C.5 y 11C.6, así 
como en s18.1. 
En esta sección hemos presentado algunas directrices para resolver problemas 
sendos de flujo viscoso. En algunos problemas puede ser conveniente hacer lige- 
ras modificaciones a estas directrices. 
48 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
92.2 FLUJO DE UNA PEL~CULA DESCENDENTE 
El primer ejemplo que se anafizará es el del flujo de un líquido que desciende por 
una lámina plana inclinada de longitud L y ancho W, como se muestra en la figura 
2.2-1. Estas películas se han estudiado en conexión con torres de pared mojada, ex- 
perimentos de evaporación y absorción de gases, así como aplicaciones de recubri- 
mientos. Se considera que la viscosidad y la densidad del fluido son constantes. 
Es difícil hacer una descripción completa del flujo líquido debido a las pertur- 
baciones que hay en los bordes del sistema (z = 0, z = L, y = O, y = W). A menudo es 
posible obtener una descripción adecuada si se ignoran dichas perturbaciones, par- 
ticularmente si W y L son grandes en comparación con el espesor 6 de la película. 
Para caudales pequeños es probable que las fuerzas viscosas eviten una aceleración 
continua del liquido que desciende por la pared, de modo que v, se vuelve indepen- 
diente de z en una distancia corta hacia abajo en la lámina. En consecuencia, parece 
razonable postular que v, = v,(x), vx = O y vy = O, y además que p = p(x) . A partir de 
la tabla B.1 se observa que las únicas componentes de T que no se eliminan son en- 
tonces T~~ = rzr = -p(dvz/dx). 
Ahora, como "sistema" seleccionamos una delgada envoltura perpendicular a 
la dirección x (véase la figura 2.2-2). Después efectuamos un balance de cantidad de 
movimiento en la dirección z sobre esta envoltura, que es una región de espesor Ax, 
acotada por los planos z = O y z = L, y que se extiende una distancia W en la direc- 
ción y. Las varias contribuciones al balance de cantidad de movimiento se obtienen 
entonces con ayuda de las cantidades en las columnas "componente z" de las tablas 
1.2-1 y 1.7-1. Al usar las componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad 
de movimiento combinado" +, definido en 1.7-1 a 1.7-3, podemos incluir de una vez 
todos los mecanismos posibles para el transporte de cantidad de movimiento: 
velocidad de entrada de cantidad 
@ de movimiento en la dirección z a través 
de la superficie en z = O (w~)$,,I,=o (2.2-1) 
velocidad de salida de cantidad de 
movimiento en la dirección .z a través de 
la superficie en z = I, (WW$zzlz=~ 
velocidad de entrada de cantidad de (3 movimiento en la direccibn r a haves 
de la superficie en x (Lw($xz) l x 
velocidad de salida de cantidad de 
@ movimiento en la dirección z a través 
de la superficie en x + Ax (Lw)(#xz) I x + h 
Perturbación de salida 
Perturbación de entrada y 
&Entrada de líquido 
Figura 2.2-1 Diagrama 
esquemático del experimento de 
Direcci6n de . 
" la descendente, donde & , V I 
1.1 a la gravedad la a n pelicu' i n r l i r s ,, los efectos finales. 
52.2 Flujo de una película descendente 49 
fuerza de gravedad que actúa sobre 
e1 fluido en la dirección t (LW AxNpg cos P ) (2.2-5) 
Al usar las cantidades 4, y #,, se toma en cuenta el transporte de cantidad de mo- 
vimiento en la dirección z a través de todos los mecanismos, convectivo y molecu- 
lar. Nótese que tomamos las direcciones hacia "adentro" y hacia "afuera', en la 
dirección de los ejes x y z positivos (en este problema ocurrió que éstas coincidieron 
con las direcciones del transporte de cantidad de movimiento en la dirección 2). La 
notación I x + h x significa "evaluado en x + Ax", y g es la aceleración de la gravedad. 
Cuando estos términos se sustituyen en el balance de cantidad de movimiento 
en la dirección z de la ecuación 2.1-1. se obtiene 
Cuando esta ecuación se divide entre LWAx y se toma el limite cuando Ax tiende a 
cero, se obtiene 
El primer término del miembro izquierdo es exactamente la definición de la deriva- 
da de @, respecto a x. En consecuencia, la ecuación 2.2-7 se convierte en 
En este momento es necesario escribir explícitamente qué Son las componentes @, y 
$,,, usando la definición de + en las ecuaciones 1.7-1 a 1.7-3 y las expresiones pa- 
ra -rXZ y T,, que se proporcionan en el apéndice 8.1. Esto asegura que no omitimos nin- 
guna de las formas de transporte de cantidad de movimiento. Por tanto, obtenemos 
, 
y = W 
\ 
\ ~i recu6n de 
z = L la gravedad 
Figura 2.2-2 Envoltura de espesor Ax sobre la que se realiza un balance de cantidad de 
movimiento en la direcci6n z. Las flechas muestran las densidades de flujo de cantidad 
de movimiento asociadas con las superficies de la envoltura. Debido a que v, y vy son ambas 
cero, pvp, y pv u son cero. Como v, no depende de y y z, a partir de la tabla B.l se concluye que 
Y 
T~~ = O y rtt = O. Por consiguiente, no es necesario considerar las densidades de flujo subrayadas 
con una lhea discontinua. Tanto p como p,u, son iguales en z = O y z = L, y por tanto no aparecen 
en la ecuación fina1 para el balance de cantidad de movimiento en la dirección z, ecuaci6n 2.2-10. 
D Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 1 
Siguiendo los postulados de que u, = vz(x), v, = O, v = O, y p = p(x), vemos que i) de- 
bido a que vx = O, el término pup, en la ecuación $2-9a es cero; ii) como vZ = U,(*), 
el término -&(dv,/d,) en la ecuación 2.2-9b es cero; üi) como v, = v,(x), el término 
pvp, es e1 mismo en z = O y z = L; y iv) como p = p(x), la contribución de p es la misma 
en z = O y z = L. Por tanto, T~ depende sólo de x, y la ecuación 2.2-8 se simplifica a 
Ésta es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento 
T ~ ~ . Puede integrarse para obtener 
TXZ = bg COS /3)x + C1 (2.2-11) 
La constante de integración puede evaluarse usando la condición limite en la inter- 
fase gas-líquido (véase s2.1): 
La sustitución de esta condición límite en la ecuación 2.2-11 muestra que CI = O. En 
consecuencia, la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento es 
1 
T,, = (pg cos B)x (2.2-13) 
. - 
como se muestra en la figura 2.2-3. 1 
X 
Distribución de densidad 
la gravedad 
< c( ,'- ' Figura 22-3 Resultados finales para el problema de la película descendente, en los que re 
indican la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribución de 
velocidad. También se muestra la envoltura de espesor Ax sobre la que se realizó el balance de 
cantidad de movimiento. 
52.2 Flujo de una película descendente 51 
A continuación se sustituye la ley de viscosidad de Newton 
en el miembro izquierdo de la ecuación 2.2-13 para obtener 
que es la ecuación diferencial para la distribución de velocidad. Puede integrarse 
para llegar a 
La constante de integración se evalúa usando la condición límite sin deslizamiento 
en la superficie sólida: 
C.L. 2: e n x = d , v,=O (2.2-17) 
La sustitución de esta condición limite en la ecuación 2.2-16 muestra que C2 =@g cos 
B/&)d2. Por consiguiente, la distribución de velocidad es 
Esta distribución parabólica de velocidad se muestra en la figura 2.2-3. Es consisten- 
te con los postdados hechos inicialmente y, por tanto, debe ser una solución posible. 
Otras soluciones pueden ser posibles, pero normalmente se requieren experimentos 
para establecer si en realidad es posible que se presenten otros patrones de flujo. 
Volveremos a esta cuestión después de la ecuación 2.2-23. 
Una vez que se conoce la distribución de velocidad, es posible calcular varias 
cantidades: 
i) La velocidad máxima v,,,, es claramente la velocidad en x = O; es decir, 
p g ~ 2 COS p 
vz,m&x = 
2~ 
ii) La velocidad media (v,) sobre una sección transversal de la película se obtiene 
como sigue: 
52 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimientoen la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
La doble integral en el denominador de la primera línea es el área de la sección 
transversal de la película. La doble integral en el numerador es el caudal volumétri- 
co que pasa a través de un elemento diferencial de la sección bansversal, v#x dy, in- 
tegrado cobre toda la sección transversal. 
iii) La velocidad de flujo másico w se obtiene a partir de la velocidad media o por 
integración de'la distribución de velocidad 
W 6 
w = 1, pv,dxdy = pWG(oz) = p 2 g ~ G 3 COS p 3~ 
iv) El espesor de la película S puede proporcionarse en términos de la velocidad 
media o de la velocidad de flujo másico como sigue: 
v) La fuerza por área unitaria en la dirección z sobre un elemento de superficie 
perpendicular a la dirección x es + 7, evaluado en x = S. Ésta es la fuerza ejercida 
por el fluido (región de menor x ) sobre la pared (región de mayor x). La componen- 
te z de la fuerza F del fluido sobre la superficie del sólido se obtiene al integrar el esfuer- 
zo cortante sobre la interface fluido-sólido: 
Ésta es la componente z del peso del fluido en toda la película, como era de esperar. 
Observaciones experimentales de películas descendentes muestran que en rea- 
lidad hay tres "regímenes de flujo", y que éstos pueden clasificarse según el número 
de Reynolds,l Re, para el flujo. Para películas descendentes, el número de Reynolds 
se define como Re = 4 3 ( ~ , ) p / ~ . Así, los tres regímenes de flujo son: 
flujo laminar con ondulaciones despreciables Re < 20 
flujo laminar con ondulaciones pronunciadas 20 < Re < 1500 
flujo turbulento Re > 1500 
El análisis que se acaba de proporcionar es válido sólo para el primer régimen, ya 
que fue restringido por los postulados que se plantearon al principio. En la superfi- 
cie del fluido aparecen ondulaciones a todos los números de Reynolds. Para núme- 
ros de Reynolds menores que aproximadamente 20, las ondulaciones son muy 
largas y crecen más bien de manera lenta a medida que se desplazan hacia abajo por 
la superficie del líquido; como resultado, las fórmulas que se obtuvieron antes son 
útiles hasta aproximadamente Re = 20 para láminas de longitud moderada. Por arri- 
ba de ese valor de Re, el crecimiento de la ondulación aumenta bastante rápido, aun- 
que el flujo siga siendo laminar. Aproximadamente a Re = 1500, el flujo se vuelve 
'La denominación de este gmpo admensional se debe a Osborne Reynolds (1842-1912), profesor de ingeniería 
en la Universidad de Manchester, quien estudió la transición laminar-turbulento, la transmisi6n turbulenta de calor y 
la teoría de la lubricacián. En el siguiente capítulo veremos que el número de Reynolds es la razón de las fuerzas 
inerciales contra las fuerzas viscosas. 
$2.2 Flujo de una película descendente 53 
Irregular y caótico, por lo que se dice que es hirb~lento.~J Hasta el momento no re- 
sulta claro por qué para delinear los regímenes de flujo debe usarse el valor de1 nú- 
mero de Reynoids. En el apartado s3.7 se tratará con más detalle esta situación. 
Las reflexiones anteriores ilustran un aspecto muy importante: el análisis teóri- 
co de los sistemas de flujo esth limitado por los postulados que se estabIecen al plan- 
tear el problema. Es absolutamente necesario realizar experimentos a fin de 
establecer los regímenes de flujo con Ia intención de conocer cuándo ocurren inesta- 
bilidades (oscilaciones espontáneas) y cuándo el flujo se vuelve turbulento. Median- 
te el análisis teórico puede obtenerse alguna información sobre el principio de Ja 
inestabilidad y la delimitación de los regímenes de flujo, aunque éste es un tema ex- 
traordinariamente dificil. Éste es un resultado de la naturaleza no lineal intrínseca 
de las ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos, como se explicará en el capítulo 
3. En este momento basta señalar que los experimentos desempeñan un papel muy 
importante en el campo de la dinámica de fluidos. 
Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2 x m2/s y una densidad de 0.8 X 10" 
kg/m3. Si se desea tener una película descendente de espesor igual a 2.5 rnm en una pared 
Cdlculo de la vertical, jcuál debe ser la velocidad de ff ujo másico del líquido? 
de una película 
Según la ecuación 2.2-21, la velocidad de flujo rnásico en kg/s es 
Así, para obtener la velocidad de flujo másico es necesario insertar un valor para el ancho de 
la pared en metros. Éste es el resultado deseado en ef supuesto de que el flujo sea iaminar y 
sin ondulaciones. Para determinar el régimen de flujo se calcula el nhmero de Reynolds, 
usando las ecuaciones 2.2-21 y 2.2-24 
Este numero de Reynolds es lo suficientemente bajo como para que las ondulaciones no sean 
pronunciadas, y en consecuencia la expresión para ia velocidad de flujo másico en la ecua- 
ci6n 2.2-24 es razonable. 
Vuelva a trabajar eI problema de la película descendente para una viscosidad dependiente de 
la posiciónp = ,uoecax/s, que surge cuando la película no es isotbrmica, como en la condensa- 
Pel*cula con ción de un vapor sobre una pared. Aquí yo es la viscosidad en la superficie de la película y a 
viscasidud variable es una constante que describe lo rápido que disrninuyep a medida que x crece. Una variacion 
así podría presentarse en el flujo de un condensado que desciende par una pared con un gra- 
diente de temperatura lineal a través de la película. 
G D Fuiford, Adv C h m Engr., 5,151 236 (19641, C Wiutaker, htd Eng C h Fund , 3 132-142 (1964), VG 
Levich, Physicochemical Hydrodimics, Prentice-Haii, Englewood CLúfs, N J (2962) 
H -C Chang, Ann R ~ G F h r d Mech, 26,10$136 ( 1 9 4 ) ; S H Hwang y H -C Chang, Phys Flurds, 30.1259-1268 
(1987) 
54 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en fluJo laminar 
El desarrollo procede como antes hasta la ecuación 2.2-13. Después, al sustituir la ley de New- 
ton con la variable viscosidad en la ecuación 2.2-13 se obtiene 
Esta ecuaci6n puede integrarse, y usando las condiciones límite en la ecuacibn 2.2-17 es posi- 
ble evaluar la constante de integracibn. Así, el perfil de velocidad es 
Como verificación evaluamos la distribución de velocidad para el problema de viscosidad 
constante (es decir, cuando a es cero). No obstante, al hacer a = O se obtiene m - en las dos 
expresiones entre paréntesis. 
Esta dificultad puede superarse si las dos exponenciales se expanden en serie de Taylor 
(véase 92.2) como sigue: 
lo que coincide con la ecuación 2.2-18. 
A parti* de Ia ecuación 2.2-27 puede demostrarse que la velocidad media es 
El lector puede comprobar que este resultado se simplifica a la ecuación 2.2-20 cuando a tien- 
de a cero. 
$2.3 FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR 
EI flujo d e fluidos en tubos circulares es algo común e n física, química, biología e in- 
geniería. El flujo laminar de fluidos en tubos circulares puede analizarse por medio 
del balance de cantidad de movimiento descrito en 52.1. La única característica nue- 
va que se introduce aquí es el uso d e coordenadas cilíndricas, que son las coordena- 
das naturales para describir posiciones en un tubo d e sección transversal circular. 
Así, consideramos el flujo laminar, en estado estacionario, d e u n fluido d e den- 
sidad constante p y viscosidad p en un tubo vertical de longitud L y radio R. El 1í- 
quido fluye hacia abajo por influencia de una diferencia d e presión y d e gravedad; 
el sistema de coordenadas es el que se muestra en' la figura 2.3-1. Se especifica que 
la longitud del tubo es muy grande respecto al radio del tubo, d e modo que los 
92.3 Flujo a través de un tubo circular 55 
+=Id = densidad de flujo 
de cantidad de movimiento de 
entrada en la dirección z en z = O 
= densidad de flujo de 
cantidad de movimiento de salida 
en la dirección z en r + Ar 
+- Pared del tubo 
&lz=L = de'ncidad de flujo de 
cantidad de movimiento de salida 
en la dicción z enz = L 
Figura 2.3-1 Envoltura cilíndrica de fluido 
sobre laque se realizó el balance de cantidad de 
movimiento en la dirección z para flujo axial en 
un tubo circular (véanse las ecuaciones 2.3-1 a 
2.3-5). Las densidades de flujo de cantidad de 
movimiento $, y #, en la dirección z se 
proporcionan completamente en las ecuaciones 
2.3-9a y 2.3-9b. 
"efectos finales" carezcan de importancia a lo largo de la mayor parte del tubo; es 
decir, podemos ignorar el hecho de que en la entrada y en la salida del tubo el flujo 
no necesariamente es paralelo a la pared del tubo. 
Postulamos que u, = v,(r), v, = O, v, = O y p = p(z). Con estos postulados, a par- 
tir de la tabla B.l puede verse que las únicas componentes de 7 que no desaparecen 
son T~~ = rZr = -,u(dvz/dr). 
Como sistema se elige una envoltura cilindrica de espesor Ar y longitud L, y co- 
menzarnos por enumerar las diversas contribuciones al balance de cantidad de mo- 
vimiento en la dirección z: 
d = f v velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la 
superficie en tubos concéntricos en z = O ( 2 ~ r A r ) @ ~ ~ ) l ~ = o (2.3-1) 
velocidad de salida de cantidad de 
movimiento en la dirección z a través de la 
superficie en tubos concéntricos en z = L (2mAr)(@,,)Iz=~ (2.3-2) 
velocidad de entrada de cantidad de 
movimiento en la dirección z a través 
de la superficie cilindrica en r (2rrL)(#rz)lr = (2mWJIr (2.3-3) 
velocidad de salida de cantidad de 
movimiento en la dirección z a través 
de la superficie cilíndrica en r + Ar ( 2 4 r -I- ~ r ) L ) ( $ ~ ~ ) l ~ + ~ ~ = ( 2 ~ r L $ ~ ~ ) l ~ + ~ ~ (2.3-4) 
fuerza de gravedad que actúa en la 
' 
dirección z sobre la envoltura 
cilíndrica (2.rrrArL)pg (2.3-5) 
56 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
Las cantidades #,, y $, explican el transporte de cantidad de movimiento por todos 
los mecanismos posibles, convectivo y molecular. En la ecuación 2.3-4, (r + Ar) y 
(r)l,+h, son dos formas para escribir lo mismo. Nótese que consideramos que la "en- 
trada" y la "salida" están en las direcciones positivas de los ejes r y z. 
Ahora sumamos las contribuciones al balance de cantidad de movimiento: 
Al dividir la ecuación 2.3-6 entre 2 d A r y tomar el limite como Ar + O, se obtiene 
La expresión del miembro izquierdo es la definición de la primera derivada de r$, 
respecto a r. Por tanto, la ecuación 2.3-7 puede escribirse como 
Ahora es necesario evaluar las componentes #, y $,, a partir de la ecuación 1.7-1 y 
el apéndice B.l: 
A continuación tomamos en consideración los postulados que se hicieron al princi- 
pio del problema; a saber, que v, = vz(r), v, = O , u* = O y p = p(z). Después hacemos 
las siguientes simplificaciones: 
i) como u, = O, podemos eliminar el término pv,v, en la ecuación 2.3-9a; ii) debido a 
que v, = v,(r), el término pv,v, es el mismo en ambos extremos del tubo; y iii) ya que 
u, = v,(r), el término -2pdvz/8z es el mismo en ambos extremos del tubo. Por tan- 
to, la ecuación 2.3-8 se simplifica a 
donde Y = p - pgz es una abreviatura conveniente para la suma de los términos de 
presión y gravedad.1 Es posible integrar la ecuación 2.3-10 para obtener 
' La cantidad designada por 9 se denomina presidn modifimda. En general se define mediante 9 = p +pgh, donde 
h es la distancia "hacia arriba", es decir, en la dirección opuesta a la gravedad a partir de algún plano de referencia 
seleccionado de antemano. Por tanto, en este problema h = z . 
52.3 Fiujo a través de un tubo circular 57 
La constante C1 se evalúa utilizando la condición límite 
C.L. 1: en r = 0, rn = finito (2.3-12) 
En consecuencia, CI debe ser cero, ya que en caso contrario la densidad de flujo de 
cantidad de movimiento seria infinita en el eje del tubo. Por tanto, la distribución 
de densidad de flujo de cantidad de movimiento es 
Esta distribución se muestra en la figura 2.3-2. 
La ley de viscosidad de Newton para esta situación se obtiene a partir del apén- 
dice B.2 como sigue: 
Luego, al sustituir esta expresión en la ecuación 2.3-13 se obtiene la siguiente ecua- 
ción diferencial para la velocidad: 
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse 
para obtener 
La constante C2 se evalúa a partir de la condición límite 
Distribución parabólica 
de velocidad v,(r) 
Figura 2.3-2 Distribuciones 
Distribuciún lineal de la dedensidad de flujo de 
densidad de flujo de cantidad cantidad de movimiento y 
de movimiento T J Y ) distribuciones de velocidad 
para el flujo que circula 
hacia abajo eñ un tubo 
circular. 
1 
58 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
A partir de lo anterior se encuentra que C2 es (Y,, - PL)R2/4L. Por tanto, la distxi- 
bución de velocidad es 
Observamos que la distribución de velocidad para flujo laminar incompresible de 
un fluido newtoniano en un tubo largo es parabólica (véase la figura 2.3-2). 
Una vez que se ha establecido el perfil de velocidad, es posible obtener varias 
cantidades derivadas: 
i) La velocidad mrixirna v , , ~ ocurre para r = O y su valor es 
ii) La velocidad media (u,) se obtiene al dividir el caudal volumétrico total en- 
tre el área de la sección transversal 
iii) La velocidud de flujo músico w es el producto del área de la sección transver- 
sal T R ~ , la densidad p y la velocidad media (u,) 
Este resultado bastante conocido se denomina ecuación de Hagen-Poise~ille.~ 
Se utiliza, junto con datos experimentales de la velocidad de flujo (gasto) y 
la diferencia de presión modificada, para determinar la viscosidad de flui- 
dos (véase el ejemplo 2.3-1) en un "viscosímetro capilar". 
iv) La componente z de la fuerza, F,, del fluido sobre la superficie mojada del tubo 
es justamente el esfuerzo cortante T~ integrado sobre el área mojada 
Este resultado establece que la fuerza viscosa F, es equilibrada por h fuer- 
za de presión neta y por la fuerza de gravedad. Esto es exactamente lo que 
se obtendría al hacer un balance de las fuerzas que actúan sobre el fluido 
en el tubo. 
- p- - 
* G. Hagen, Ann. Phys. C h ,46,423442 (1839); J.L. Poiseuille, Comptes Rendus, 11,961 y 1041 (1841). Jean Louis 
Poiseuille (1799-1869) h e un físico interesado en el flujo del torrente sanguíneo. Aunque Hagen y Poiseuille 
establecieron la dependencia del caudal del flujo respecto a la cuarta potencia del radio del tubo, fue E. Hagenbach 
quien dedup por primera vez la ecuacibn 2.3-21, Pogg. Annulen der Physllt u . Chemie, 108,385126 (1860). 
52.3 Flujo a través de un tubo circular 59 
Los resultados de esta sección son sólo tan válidos como los postulados que se 
establecieron al inicio de la misma; es decir, que u, = v,(r) y y = p(z). Experimental- 
mente se ha demostrado que estos postulados son verdaderos para números de Rey- 
nolds hasta aproximadamente 2100; más alIá de este valor, el flujo es turbuIento si 
hay cualesquiera perturbaciones apreciables en el sistema; es decir, rugosidad o vi- 
braciones en la pared.3 Para tubos circulares, el número de Reynolds se define como 
Re = D(v,)p/p , donde D = 2R es el diámetro del tubo. 
A continuación se resumen todas las suposiciones que se hicieron para obtener 
la ecuación de Hagen-Poiseuille. < 9,2 
CU,&I CI h.& M 4 c . a) El flujo es laminar; esto es, Re debe ser menor que aproximadamente 2100. 
b) La densidad es constante ("flujo incompresible"). 
C) El flujo es "estacionario" (es decir, no cambia con el tiempo). 
d) El fluido es newtoniano (la ecuación 2.3-14 es válida). 
e) Se ignoran los efectos finales. En realidad, para constituir el perfil parabóli- 
co se requiere una "longitud de entrada", después de la embocadura al tu- 
bo, del orden de Le = 0.035D Re. Si la sección de interés del tubo incluye la 
región de embocadura, es necesario aplicar una corrección.* La corrección 
fraccionaria en la diferencia de presión o en la velocidad de flujo másico 
nunca excede L , / L si L > Le. 
f) El fluidose comporta como un continuo; esta suposición es váIida, excepto 
para gases muy diluidos o tubos capilares muy estrechos, donde la trayec- 
toria libre media molecular es comparable al diámetro del tubo (la "región 
de flujo deslizante") o mucho mayor que el diámetro del tubo (el "flujo de 
Knudsen" o régimen de "flujo de molécula libre").5 
g) En la pared no hay deslizamiento, de modo que la condición límite (C.L. 2) 
es válida; ésta es una suposición excelente para fluidos puros bajo las condi- 
ciones supuestas en f). para un análisis de deslizamiento en la pared, véase 
el problema 23.9. 
Por un tubo horizontal de 1 pie de largo y 0.1. pulg de diámetro interior fluye glicerina 
(CI-120H CEIOH . C H 2 0 H ) a 26.5"C. Para una caída de presión de 40 psi, el caudal volurné- 
trico w / p es 0.00398 pies3/min. La densidad de la glicerina a 26.5"C es 1.261 g/cm3. A partir 
viscosidad a partir de de los datos del flujo, calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises y en Pa . s. 
datos de flujo capilar 
. . . . . 
A.A. Draad rresis doctoral, Universidad Técnica de Delft (1996)1, en un experimento cuidadosamente controla- 
do logró flujo laminar hasta Re = 50,000. También estudió el perfii no parab6lico de velocidad inducido por el. 
movimiento de rotación de la Tierra (a través del efecto de Coriolis). Véase también A.A. Draad y F.T.M. Nieuwstadt, 
l. Fluid. Mech., 361,207-308 (1998). 
].H. Perry, Chemical Engineers Handbook, McGraw-Hiii, Nueva York, 3a. edici6n (1950), pp. 388-389; W.M. Kays 
y A.L. London, Cornpact Heat Exchangers, McGraw-HiU, Nueva York (195% p. 49. 
Martin Hans Christian Knudsen (1871-1949), profesor de fisica en la Universidad de Copenhague, efectuó 
experimentos clave sobre el comportamiento de gases muy diluidos. Las conferencias que dictó en la Universidad de 
Glacgow fueran publicadas como: M. Knudsen, The Kinetic 'hoy o f h e s , Methuen, Londres (1934); G.N. Patterson, 
Molecular Flow of Gases, Wdey, Nueva York (1956). VPase también J.H. Ferziger y H.G. Kaper, Mathematical Theory 0f 
Transport Processes in Gases, North-Holknd, Amsterdam (1972), capítulo 15. 
60 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
S O L ~ C I Ó N 
A partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 2.3-21) se obtiene 
T ( 40- p22) (6.8947 x 10 4 dinas / cm2 pulg x -- 
Ib / pulg2 12 pulg 
pie3 1 lnin 
- x - - 
min 60 s 
Para comprobar si el flujo es laminar, calculamos el número de Reynolds 
- 
pulgx 2.54- Cm ) (4.92&) 
pulg 
= 2.41 (adimensional} 
Por tanto, efectivamente el flujo es laminar. Además, la longitud de entrada es 
L, = 0.035D Re = (0.035)(0.1/12)(2.41f = 0.0007 pie (2.3-25) 
En consecuencia, los efectos de entrada no son importantes, y el valor de la viscosidad dado 
antes se ha calculado apropiadamente. 
Obtener una expresión para la velocidad de flujo masico w para un gas ideal que circuIa en 
flujo laminar por un tubo circular largo. Se considera que el flujo es isotérmico. Supóngase 
que el cambio de presión a lo largo del tubo no es muy grande, de modo que la viscosidad 
tubo circular puede considerarse como constante a través de todo el tubo. 
horizontal6 
Este problema puede resolverse aproximadamente si se supone que la ecuación de Hagen-Poi- 
seuille (ecuación 2.3-21) puede aplicarse sobre una pequeña longitud dz del tubo como sigue: 
Para eliminar p en favor de p, usamos la ley del gas ideal en la forma p / p = po/po, donde po y 
po son la presión y la densidad en z = O. Así se obtiene 
. . . . - 
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, 2a. ediaón (1987). 517, problema 6. Una solución con per- 
turbación de este problema fue obtenida por R.K. Prud'homme, T.W. Chapman y J.R. Bowen, Appl. Sci. Res., 43, 67-74 
(1986). 
52.4 Flujo a través de un tubo concéntrico 61 
La velocidad de flujo másico w es la misma para toda z. Por tanto, la ecuación 2.3-27 puede 
integrarse desde z = O hasta z = L para obtener 
Debido a que p; - P; = (po + pt) (pO - pL), finalmente obtenemos 
1 donde pmed,, = (po + pL) es la densidad media calculada a la presión media pmedia = \ ( p o + pL) 
A continuación resolveremos otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilín- 
dricas; a saber, el flujo axial en estado estacionario de un líquido incompresible en 
una región anular entre dos cilindros coaxiales de radios KR y X como se muestra en 
la figura 2.4-1. El fluido circula hacia arriba en el tubo; es decir, en dirección opues- 
ta a la acción de la gravedad. Establecemos los mismos postulados que en 52.3: v, = 
u,(r), vo = 0, vr = O y p = p(z) . En seguida, se hace un balance de cantidad de movi- 
miento sobre una delgada envoltura cilíndrica del liquido y llegamos a la siguiente 
ecuación diferencial: 
Distribución 
de velocidad 
Esfuerzo cortante o 
distribución d e 
densidad de flujo de 
cantidad de movimiento 
Figura 2.4-1 Distribuciones de 
densidad de flujo de cantidad de 
movimiento y de velocidad para el 
flujo que circula hacia arriba en una 
región anular cilíndrica. Nótese que la 
densidad de Aujo de cantidad de 
movimiento cambia de signo en el 
mismo valor de r para el cual Ia 
velocidad tiene un máximo. 
62 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
Esta ecuación difiere de la ecuación 2.3-10 &lo en que aquí 9 = p + pgz, ya que la 
coordenada z está en la dirección opuesta a la de acción de la gravedad (es decir, z 
es la misma que la h de la nota de pie de página 1 en 52.3). Al integrar la ecuación 
2.4-1 cc obtiene 
justamente como en la ecuación 2.3-11. 
La constante C1 no puede determinarse inmediatamente, ya que no se cuenta 
con información sobre la densidad de flujo de cantidad de movimiento en las super- 
ficies fips r = KR y r = R. Todo lo que sabemos es que habrá un máximo en la curva 
de velocidad en algún plano (hasta el momento desconocido) r = hR al cual la den- 
sidad de flujo de cantidad de movimiento serh cero. Es decir, 
Cuando se despeja C1 en esta ecuación y se sustituye en la ecuación 2.42, se obtiene 
La única diferencia entre esta ecuación y la ecuación 2.4-2 es que la constante de in- 
tegración C1 se ha eliminado a favor de una constante diferente A . La ventaja de es- 
to es que sabemos la significación geométrica de A. 
Ahora sustituimos la ley de viscosidad de Newton, rrz = -p(dv , /dr) , en la ecua- 
ción 2.4-4 para obtener una ecuación diferencial para u, 
Luego, al integrar esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables, 
se obtiene 
vz = - ( O - "'R' [(ir - *A2 l.(;)+ C 2 ] 
4C1L 
Ahora evaluamos las dos constantes de integración, A y C2, utilizando la condición 
sin deslizamiento sobre el limite de cada sólido 
Al s ~ c t i t u i ~ l u e ~ o estas condiciones límite en la ecuación 2.4-6 se obtienen dos ecua- 
ciones simultáneas: 
A partir de las ecuaciones anteriores se encuentra que las dos constantes de integra- 
ción A y C2 son 
52.4 Flujo a íravés de un hibo conc6ntrico 63 
Estas expresiones pueden insertarse en las ecuaciones 2.4-4 y 2.4-6 para obtener la 
distribución de densidad de cantidad de movimiento y la distribución de la veloci- 
dad1 como sigue: 
Nótese que cuando el flujo en anillo se vuelve muy delgado (es decir, cuando K es 
sólo ligeramente menor que la unidad), estos resultados se simplifican a los corres- 
pondientes para una rendija plana (véase el problema 2B.5). Cuando se presente la 
oportunidad, siempre es una buena idea comprobar los "casos iímite" como éstos. 
El límite inferior de K -+ O no es tan simple, porque la razón in(R/r)/in(l/~) 
siempre es importante en una región próxima a la frontera interior. Por tanto, la 
ecuación 2.4-14 no se simplifica a la distribución parabólica. Sin embargo, la ecua- 
ción 2.4-17 para la velocidad de flujo másico se simplifica a la ecuación de Hagen- 
Poiseuilie. 
Una vez que se tienen las distribuciones de densidad de flujo de cantidadde 
movimiento y de velocidad, la obtención de otros resultados de interés es directa: 
i) La velocidad tnáxima es 
donde h2 está dada en la ecuación 2.4-12. 
ii) La velocidad media está dada por 
iii) La velocidad de flujo másico es w = rR2(1 - K~)~(U,) , o bien, 
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre las superficies del sólido se obtiene suman- 
do las fuerzas que actúan sobre los cilindros interior y exterior, como sigue: 
' H. Lamb, Hydrodynamics, Carnbridge University Press, 2a. edición (1895), p. 522. 
64 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
El lector debe explicar Ia elección de signos que se colocan frente a los esfuerzos cor- 
tantes en la ecuación anterior y también proporcionar una interpretación del resul- 
tado final. 
Las ecuaciones que acaban de obtenerse son válidas sólo para flujo laminar. La 
transición de laminar-turbulento ocurre en la vecindad de Re = 2000, donde el nú- 
mero de Reynolds se define como Re = 2R(1 - ~) (v , )p /~u . 
52.5 FLUJO DE DOS FLUIDOS INMISCIBLES ADYACENTESI 
Hasta el momento hemos considerado situaciones de flujo con limites sólido-fluido 
y líquido-gas. En seguida proporcionaremos un ejemplo de problema de flujo con 
una interfase líquido-líquido (véase la figura 2.5-1). 
Dos líquidos inmiscibles incompresibles fluyen en la dirección z en una delga- 
da rendija horizontal de longitud L y ancho W bajo el efecto de un gradiente de pre- 
sión horizontal (po - pL) /L . Los caudales de los fluidos se ajustan de modo que una 
mitad de la rendija está llena del fluido I (la fase más densa) y la otra mitad está ocu- 
pada por el fiuido 11 (la fase menos densa). Los fluidos circulan lo suficientemente 
lentos de modo que no ocurren inestabilidades; es decir, la interfase permanece 
exactamente plana. Se desea encontrar las distribuciones de densidad de flujo de 
cantidad de movimiento y de velocidad. 
Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a la siguiente ecua- 
ción diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento: 
Distribución 
de velocidad, 
Plano de esfuerzo 
cortante cero 
flujo de cantidad de movimiento 
Figura 2.5-1 Flujo de dos fluidos inmiscibles entre un par de láminas horizontales bajo el efecto 
de un gradiente de presión. 
' El flujo adyacente de gases y líquidos en conductos ha sido revisado por A.E. Dukler y M. Wicks, IIL en el 
capítulo 8 de Modern Chemical Englneering, Vol. 1, "Physical Operations", A. Acrivos (ed.), Reinhold, Nueva York 
(1963). 
52.5 Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 65 
Esta ecuación se obtuvo tanto para la fase 1 como para la fase 11. A1 integrar la ecua- 
ción 2.5-1 para las dos regiones se obtiene 
De inmediato utilizamos una de Ias condiciones límite; a saber, que la densidad de 
flujo de cantidad de movimiento T,, es continua en la interfase fluido-fluido: 
Lo anterior afirma que C\ = Cf ; por tanto, cancelamos el supraíndice y denomina- 
mos C1 a ambas constantes de integración. 
Cuando la ley de viscosidad de Newton se sustituye en las ecuaciones 2.5-2 y 
2.5-3, se obtiene 
Estas dos ecuaciones pueden integrarse para obtener 
Las tres constantes de integracion pueden determinarse a partir de las siguientes 
condiciones límite sin deslizamiento: 
enx=O, 7j z = u11 z 
enx = -b, $ = O 
en x = +b, v," = O 
Cuando se aplican estas tres condiciones límite, se obtienen tres ecuaciones simul- 
táneas para las constantes de integración: 
a partir de la C.L. 2: c; = c; 
a partir de la C.L. 3: 
a partir de la C.L. 4: 
66 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
A partir de estas tres ecuaciones se obtiene 
Los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad son 
Estas distribuciones se muestran en la figura 2.5-1. Si ambas viscosidades son igua- 
Ies, entonces la distribución de velocidad es parabdica, como es de esperar para un 
fluido puro que circula entre láminas paralelas (véase la ecuación 28.3-2). 
Es posible obtener la velocidad media en cada capa y los resultados son 
A partir de las distribuciones de velocidad y de densidad de flujo de cantidad de 
movimierito proporcionadas, también es posible calcular la velocidad máxima, la 
velocidad en la interfase, el plano de esfuerzo cortante cero y la resistencia sobre las 
paredes de la rendija. 
52.6 FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA1-4 
En las secciones precedentes se han resuelto varios problemas elementales de flujo 
viscoso. Todos ellos trataban de flujos rectilíneos con una sola componente de velo- 
cidad que no desaparece. Debido a que el flujo alrededor de una esfera implica dos 
' G.G. Stokes, Trans. Cambridge Phil. Sociegi, 9,s-106 (1851). Para fiujo reptante alrededor de un objeto de forma 
arbitraria, vkase H. Brenner, Chem. Engr. Sci., 19,703-íZ7 (1964). 
* L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2a. edición, Pergamon, Londres (1987),§20. 
G.K. Bakhelor, Afl Intmduction to Fluid Dynarnics, Cambridge University Press (1967),§4.9. 
' S. Kim y S.J. Karriia, Microhydrodynamics: Principies and Selected ApplicutMns, Butterworth-Heinemann, Boston 
(19911, s.2.3; este übro contiene un análisis exhaustivo de problemas de "flujo reptante". 
s2.6 Flujo repiante alrededor de una esfera 67 
componentes de velocidad que no desaparecen, u, y ve, tal flujo no puede compren- 
derse a satisfacción por medio de las técnicas explicadas al principio de este capítu- 
lo. Aún así, aquí se justifica la realización de un breve análisis del flujo alrededor de 
una esfera debido a la importancia que tiene el flujo alrededor de objetos sumergi- 
dos. En el capítulo 4 demostraremos cómo obtener las distribuciones de velocidad 
y de presión. Por ahora sólo citamos los resultados y mostramos cómo pueden usar- 
se para obtener algunas relaciones importantes que serán necesarias en análisis pos- 
teriores. EI problema tratado aquí, y también en el capítulo 4, se ocupa del "fluj~ 
reptante"; es decir, de flujo muy lento. Este tipo de flujo también se denomina "flu- 
jo de Stokes". 
Aquí consideramos el flujo de un fluido incompresible alrededor de una &a 
sólida de radio R y diámetro D como se muestra en la figura 2.6-1. El fluido tiene 
una densidad p y una viscosidad y, y se aproxima a la esfera fija ascendiendo verti- 
calmente en la dirección z con una velocidad uniforme u,. Para este problema, "flu- 
jo reptante" significa que el número de ReynoIds Re = D v d l y es menor que 
aproximadamente 0.1. Este régimen de flujo se caracteriza por la ausencia de forma- 
ción de remolinos corriente abajo a partir de la esfera. 
En el capítulo 4 se encuentra que las distribuciones de velocidad y de presih 
para este flujo reptante spn 
Radio de la esfera = R 't 
actúan sobre la superfi 
de la esfera 
El fluido asciende 
con una 
velocidad u, 
Figura 2.6-1 Esfera de radio 
R alrededor de la cual circula 
un fluido. Se muestran las 
coordenadas r, 0 y 4. Para 
más información sobre 
coordenadas esféricas, 
consúltese la figura A.8-2. 
i 68 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 1 
En la última ecuación, la cantidad po es la presión en el plano t = O lejos de la esfe- 
ra. El término -pgz es la presión hidrostática que resulta del peso del fluido, y el tér- 
mino que contiene a v, es la contribución por el movimiento del fluido. Las 
ecuaciones 2.6-1,2.&2 y 2.6-3 muestran que la velocidad del fluido es cero en la su- 
perficie de la esfera, Además, en el límite cuando r -+ w, la velocidad del fluido es 
en la dirección z con magnitud uniforme v,. Esto se concluye a partir de que v, = v, 
cos 8 - ve sen 8, que puede obtenerse usando la ecuación A.6-33 y u, = vy = O, lo que 
se concluye a partir de las ecuaciones A.6-31 y A.6-32. 
Las componentes del tensor de esfuerzo T en coordenadas esféricas pueden ob- 
tenerse a partir de la distribución de velocidadmostrada antes utilizando la tabla 
B.1. Estas componentes son 
y todas las demás componentes son cero. Nótese que los esfuerzos normales para 
este flujo son distintos de cero, excepto en r = R. 
A continuación determinaremos la fuerza ejercida por el fluido que corre sobre 
la esfera. Debido a la simetría alrededor del eje z , la fuerza resultante estará en la di- 
rección z. Por consiguiente, la fuerza puede obtenerse integrando las componentes 
z de las fuerzas normal y tangencia1 sobre la superficie de la esfera. 
Integración de la fuerza normal 
En cada punto de la superficie de la esfera, el fluido ejerce una fuerza por área uni- 
taria -(p + r,)(,=, sobre el sólido que actúa en forma normal a la superficie. Como 
el fluido está en la región de mayor v y la esfera está en la región de menor r, es ne- 
cesario añadir un signo menos en concordancia con la convención de signos estable- 
cida en 51.2. La componente z de la fuerza es -(p + T ~ ) ~ ~ = ~ ( c o s O). En seguida la 
multiplicamos por un elemento diferencial de superficie R~ sen 0 d0 d+ para obtener 
la fuerza sobre el elemento de superficie (véase la figura A.8-2). A continuación in- 
tegramos sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza normal resultante en 
la dirección z: 
Según la ecuación 2.6-5, el esfuerzo normal 7, es cero5 en r = R y puede omitirse en 
la integral de la ecuación 2.6-7. La distribución de presión en la superficie de la es- 
fera es, según la ecuación 2.6-4, 
En el ejemplo 3.1-1 demostraremos que para fluidos newtonianos incompresibles, los tres esfuerzos normales 
son cero en superficies fiias de sólidos para todos los flujos. 
52.6 Flujo reptante alrededor de una esfera 69 
Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación 2.6-7 y se efectúa la integración, 
el término que contiene a po da cero, el término que contiene la aceleración de la gra- 
vedad g da la fuerza de flotación, y el término que contiene la velocidad de aproxi- 
mación v, da la "resistencia de forma", como se muestra en seguida: 
La fuerza de flotación es la masa de1 fluido desplazado ( 5 7 r ~ ~ ~ ) por la aceleración 
de la gravedad tg). 
E' 
S Integración de la fuerza tangencia1 3 
En todo punto de la superficie sólida también hay un esfuerzo cortante que actúa 
tangenciaimente. La fuerza por área unitaria ejercida en la direcci6n -8 por el flui- 
do (región de mayor r) sobre el sólido (región de menor r) es +7d(,R. La componen- 
te z de esta fuerza por área unitaria es ( ~ ~ 1 , ~ ) sen B. Ahora multiplicamos esto por 
el elemento de superficie R2 sen O d6d+ e integramos sobre toda la superficie esféri- 
ca. Así se obtiene la fuerza resultante en la dirección z: 
La distribución de esfuerzo cortante sobre la superficie de la esfera, a partir de la 
ecuación 2.6-6. es 
- 3 PV-2 
~ r e I r = ~ - 5~ sen 8 
Al sustituir esa expresión en la integral de la ecuación 2.6-10 se obtiene la "resisten- 
cia de fricción" 
Por tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera está dada por la suma de las 
ecuaciones 2.6-9 y 2.6-12: 
F = 4 ? T R ~ ~ ~ + 2 ~ p R v , + 4quRv, 
fuera de mistencia resistencia 
flataci6n de fonna de fricción 
o bien, 
F = Fb +h = $ rPPg -t 6npRum 
fuerza de hiena 
flotan6n cinbtica 
El primer término es la fuerza de flotación, que estaría presente en un fluido en repo- 
so; es la masa del fluido desplazado multiplicada por la aceleración de la gravedad. 
El segundo término, la fuerza cinética, resulta del movimiento del fluido. La relación 
70 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
se conoce como Zq de Stokes.l Se usa para describir el movimiento de partículas co- 
loidales bajo un campo eléctrico, en la teoría de la sedimentación, y en el estudio del 
movimiento de partículas de aerosoles. La ley de Stokes es útil sólo hasta un núme- 
ro de Reynolds Re = Dv&/,u aproximadamente igual a 0.1. A Re = 1, la ley de Sto- 
kes predice una fuerza que es alrededor de 10% demasiado bajq. El comportamiento 
del flujo para números mayores de Reynolds se analizará en el capitulo 6. 
Este problema, que no puede resolverse con el método de balance de envoltura, 
recalca la necesidad de un método más general para manejar problemas de flujo 
donde las líneas de flujo de corriente no son rectilíneas. Bste es el tema del capítulo 
que sigue. 
Determinar una relación que permita obtener la viscosidad de un fluido al medir la veloci- 
dad final ut de una pequeña esfera de radio R en el fluido. 
viscosidad a partir de Ea 
velocidad final de una S O L U C I ~ N 
esfera que desciende 
Si una pequeña esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un 
movimiento acelerado hasta alcanzar una velocidad constante: la velocidad final. Una vez que 
se alcanza esta condición de estado estacionario, la suma de todas las fuerzas que actúan so- 
bre la esfera debe ser cero. La fuerza de gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la 
caída, y las fuerzas de flotación y cinética actúan en la dirección opuesta: 
Aquí p, y p son las densidades de la esfera sólida y el fluido. Al despejar la veIocidad final en 
esta ecuación se obtiene 
Este resultado puede usarse sólo si el número de Reynolds es menor que aproximadamente 0.1. 
Este experimento proporciona un método aparentemente simple para determinar la vis- 
cosidad. No obstante, es dificil evitar que una esfera homogénea gire durante su descenso, y 
si en efecto gira, entonces no puede usarse la ecuación 2.6-17. Algunas veces se usan esferas 
pesadas para imposibilitar la rotación; entonces el miembro izquierdo de la ecuación 2.6-16 
debe sustituirse por m, la masa de la esfera, multiplicada por la aceleración de la gravedad. 
l. Resumir el procedimiento utilizado en la solución de problemas de flujo viscoso por el méto- 
do de balances de envoltura. ¿Qué tipos de problemas pueden resolverse con este método? 
¿Cuáles no pueden resolverse con el mismo método? ¿Cómo se usa la definición de la prime- 
ra derivada en el metodo? 
2. ¿Cuáles de los sistemas de flujo presentados en este capítulo pueden usarse como viscosíme- 
tro? Enumerar las dificultades que podrían encontrarse con cada uno. 
3. ¿Cómo se definen los números de Reynolds para películas, tubos y esferas? ¿Cuáles son las 
dimensiones de Re? 
4. ¿Cómo puede modificarse la fórmula del espesor de la película en 52.2 para describir una pe- 
lícula delgada descendente en la pared interior de un cilindro? ¿Qué restricciones deben im- 
ponerse a esta fórmula modificada? 
Problemas 71 
5. ¿Cómo pueden usarse los resultados en S2.3 a fin de estimar el tiempo necesario para vaciar 
un tubo vertical que está abierto en ambos extremos? 
6. Comparar la dependencia radial del esfuerzo cortante para el flujo laminar de un líquido 
newtoniano en un tubo y en tubos conc4ntncos. Para el flujo anular, ¿por qué cambia de sig- 
no la función? 
7. Demuestre que la ecuación de Hagen-Poiseuille es dimensionalmente consistente. 
8. ¿Qué diferencias hay entre el flujo en un tubo circular de radio R y el flujo en el mismo tubo 
con un delgado alambre colocado a lo largo de su eje? 
9. ¿En qué condiciones cabría esperar que el análisis en 52.5 fuese inaplicable? 
10. ¿Es válida la ley de Stokes para pequeñas gotas de aceite que caen en agua? ¿Y para burbu- 
jas de aire que ascienden en benceno? ¿Y para pequeñas partículas que caen en el aire, si los 
diámetros de las partículas son del orden de la trayectoria libre media de las moléculas en el 
aire? 
11. Dos líquidos inmixibles, A y B, circulan en flujo laminar entre dos láminas paralelas. ¿Es po- 
sible que los perfiles de velocidad sean de la forma siguiente? Explique su respuesta. 
Líquido A 
Líquido B 
12. ¿Cuál es la velocidad terminal de una partícula coloidal esférica que tiene una carga eléctri- 
ca e en un campo eléctrico de intensidad %? ¿Cómo se usa este hecho en el experimento de 
Millikan de la gota de aceite? 
PROBLEMAS ZA.1 Espesorde una película descendente. Por una pared vertical fluye agua a 20°C de manera 
descendente con Re = 10. Calcular a) el caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pa- 
red, y b) el espesor de la película en pulgadas. 
Respuestas: a) 0.727 gal/h . pie; b) 0.00361 pulg 
2A.2 Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Un método para deter- 
minar el radio de un tubo capiiar es medir la velocidad del flujo de un liquido newtoniano 
que circula en el tubo, Encontrar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos de flujo: 
Longitud del tubo capilar 50.02 cm 
Viscosidad cinemática del liquido 4.03 x lop5 m2/s 
Densidad del líquido 0.9552 x ld kg/m3 
Caída de presión en el tubo horizontal 4.829 x lo5 Pa 
Velocidad de flujo másico a través del tubo 2.997 x lou3 kg/s 
¿Qué dificultades pueden encontrarse con este método? Sugiera algunos otros metodos para 
determinar los radios de tubos capilares. 
2A.3 Velocidad de flujo a través de tubos concéntricos. Un tubo concéntrico horizontal de 27 pies 
de longitud tiene un radio interior de 0.495 putg y un radio exterior de 1.1 pulg. Una solución 
acuosa de sacarosa (C12H22011) al 60% se bombeara a través del anillo a 20°C. A esta tempe- 
ratura la densidad de la solución es 80.3 Ib/pie3 y la viscosidad es 136.8 Ib,/pie h. ¿Cuál es 
el caudal volum~tnco cuando la diferencia de presión que se imprime es de 5.39 psi? 
Respuesta: 0.110 pies3/s 
72 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
2A.4 Pérdida de particulas catalíticas en un gas de chimenea. 
a) Estimar el diámetro máximo de las partículas de un catalizador constituido por microes- 
feras, que pueden perderse en el gas que sale de la chimenea en una unidad de cracking de 
un fluido, en las siguientes condiciones: 
Velocidad del gas en el eje de la chimenea = 1.0 pie/s (verticalmente hacia arriba) 
Viscosidad del gas = 0.026 cp 
Densidad del gas = 0.045 lb/&$ 
Densidad de una partícula del catalizador = 1.2 g/crn3 
Expresar el resultado en micrones (1 micrón = m = 1 pm). 
b) ¿Es permisible usar la ley de Stokes en el inciso a)? 
Respuestas: a) 110 pm; Re = 0.93 
2B.1 Diferente elección de coordenadas para el problema de la película descendente. Obtener 
nuevamente el perfil de velocidad y la velocidad media en 52.2, sustituyendo x por una coor- 
denada T medida lejos de la pared; es decir, E = O es la superficie de la pared, y T = 6 es la in- 
terface líquido-gas. Demostrar entonces que la distribución de velocidad está dada por 
y luego usar este resultado para obtener la velocidad media. Demuestre cómo es posible ob- 
tener la ecuaci6n 28.1-1 a partir de la ecruaci6n 2.2-18 haciendo un cambio de variable. 
2B.2 Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo. En este capitulo hemos utiliza- 
do el siguiente procedimiento: i) obtener una ecuaci6n para la densidad de flujo de cantidad 
de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley de Newton para obtener una 
ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv) integrar esta última para obtener 
la distribución de velocidad. Otro método es el siguiente: i) obtener una ecuación para la den- 
sidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) insertar la ley de Newton para obtener una 
ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de velocidad, iii) integrar esta última pa- 
ra obtener la distribución de velocidad. Aplicar este segundo método al problema de la pelí- 
cula descendente sustiíuyendo Ia ecuación 2.2-14 en la ecuacibn 2.2-10 y prosiguiendo como 
se indica hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración. 
2B.3 Flujo laminar en una rendija estrecha (véase la figura 28.3). 
Flujo a través de una rendija, con B <i W << L. 
Problemas 73 
a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos pare- 
des paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W, de modo que los "efectos 
de borde" carecen de importancia. Hacer un balance diferencial de cantidad de movimien- 
to y obtener las siguientes expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de can- 
tidad de movimiento y de velocidad: 
En estas expresiones 9 = p + pgh = p - pgz. 
b) ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la velocidad máxima para este flujo? 
c) Obtener la ecuación análoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija. 
d) Elaborar un dibujo significativo para mostrar por que el análisis anterior no es aplicable 
si B = W. 
e) ¿Cómo puede obtenerse el resultado del inciso b) a partir de los resultados de §2.5? 
Respuestas: b) (v,)/v,,,, = 
2B.4 Flujo laminar en una rendija con una pared móvil ("flujo de Couette plano"). Extienda el 
problema 2B.3 permitiendo que la pared en x = B se mueva en la dirección z positiva a una 
velocidad estable v,,. Obtenga a ) Ia distribución de esfuerzo cortante, y b) la distribución de ve- 
locidad. Elabore dibujos cuidadosamente identüicados de estas funciones. 
2B.5 Relación entre las fórmulas de la rendija y de los tubos concéntricos. Cuando un flujo anu- 
lar es muy delgado puede considerarse, con una muy buena aproximaci6n, como una rendi- 
ja eshecha. Por consiguiente, los resultados del problema 28.3 pueden aplicarse con las 
modifiaciones pertinentes. Por ejemplo, la velocidad de flujo másico en un anillo con pared 
exterior de radio R y pared interior de radio (1 - E)R, donde E es pequeño, puede obtenerse 
a partir del problema 2B.3 sustituyendo 2 B por ER, y W por 2a(l - +&)R. De esta forma se ob- 
tiene la velocidad de flujo másico: 
Demostrar que este mismo resultado puede obtenerse a partir de la ecuación 2.4-17 al tomar 
para K el valor 1 - E en toda la fórmula y luego desarrollar la expresión para w en potencias 
de E. Para esto se requiere usar la serie de Taylor (véase 5C.2) 
y después realizar una división larga. El primer término en la serie resultante será la ecuación 
28.51. Precaucidn: en la deducción es necesario usar los primeros cuatro términos de la serie 
de Taylor en la ecuación 2B.5-2. 
28.6 Flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular (vkase la figura 
28.6). En un experimento de absorción de gases, un fluido viscoso avanza hacia arriba por un 
74 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
----, 
Distribución 
dentro del tubo 
] cantidad 
L de movimiento 
1 en la dirección z 1 
1 deespesor Ar f 
Distribución 
de velocidad 
fuera en la 
película 
Salida de cantidad 
de movimiento en la 
dirección z en la envoltura 
deespesorAr 
Fuerza de 
gravedad que 
actúa sobre el 
volumen 2mArL 
aR- 1 
Figura 2B.6 Distribución de velocidad y balance de cantidad de movimiento en la dirección t 
para eI flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. 
pequeño tubo circuIar y luego hacia abajo en flujo laminar por el exterior del tubo. Realice un 
balance de cantidad de movimiento sobre una envoltura de espesor Ar en la película, como 
se muestra en la figura 2B.6. Note que las flechas de "entrada de cantidad de movimiento" y 
"salida de cantidad de movimiento" siempre se toman en la dirección positiva de coordena- 
das, aun cuando en este problema la cantidad de movimiento fluye a través de las superficies 
cilíndricas en la dirección r negativa. 
a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (ignorando los 
efectos finales) es 
b) Obtener una expresión para la velocidad de flujo másico en la película. 
C) Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la ecuación 2.2-21 si el espesor de 
la película es muy pequeño. 
28.7 Flujo en tubos concéntricos con un cilindro interior que se mueve axialmente (véase la fi- 
gura 2B.7). Una varilla cilíndrica de radio KR se mueve axialmente con velocidad v, = vo a lo 
largo del eje de una cavidad cilíndrica de radio R como se observa en la figura. La presión enambos extremos de la cavidad es la misma, de modo que el fluido se mueve a través de la re- 
gi6n anular solamente debido al movimiento de la varilla. 
Problemas 75 
I Cilindro de I 
Varilla de radio KR quése L 
mueve con velocidad o, 
Fluido a la presión 
Figura 28.7 Flujo en tubos concénhicos donde el cilindro interior se 
mueve axialmente. 
a) Encontrar la distribución de velocidad en la regi6n anular estrecha. 
modificada Po \ - modificada 9 0 
radio interior R + 
b) Encontrar la velocidad de flujo másico a través de la región anular. 
Fluido a la presiún 
C) Obtener la fuerza viscosa que actúa en la varilla sobre la longitud L. 
d) Demostrar que el resultado del inciso c) puede escribirse coma una fórmula de "rendija 
plana" multiplicada por una "corrección de curvatura". Problemas de este tipo se presen- 
tan en el estudia del desempeño de matrices para alambre recubiert0.l 
lnír / R) Respuestas: a) %=- 
u~ In K 
-2?TLpV0 2 d) Fz = -(1- 1 & - & E + - .) donde & = 1 - K (vease el problema 28.5) 
28.8 Análisis de wn medidor de flujo capilar (véase la figura 2B.8). Determinar la velocidad del 
flujo (en lb/h) que circula por el medidor de flujo capilar que se muestra en la figura. El flui- 
do que circula por el tubo inclinado es agua a 20°C, y el fluido del manometro es tetracloru- 
ro de carbona (CCI,) con densidad 1.591 g/cm3. El diámetro capilar es 0.010 pulg. Nata: para 
calcular el caudal son suficientes las mediciones de H y L; no es necesario medir B. il'or qué? 
Figura 28,8 Medidor de flujo capilar. 
' J.B. Paton, P.H. Squires, W.H. Darneii, F.M. Cash y J.E Carley, Processing of Thermoplastic Matenals, E.C. Bernhardt 
(compiladar), Reinhold, Nueva York (1959), capítulo 4. 
76 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
28.9 Fenómenos a baja densidad en flujo compresible por un tubo2J (figura 28.9). Amedida que 
disminuye la presión en el sistema estudiado en el ejemplo 2.3-2, se presentan desviaciones 
respecto a las ecuaciones 2.3-28 y 2.3-29. El gas se comporta como si se deslizara en la pared 
del tubo. Un convencionalismo2 es sustituir la condición limite de costumbre "sin desliza- 
miento" en la que u, = O en la pared del tubo por 
donde 5 es el coeficiente de deslizamiento. Repetir la deducción en el ejemplo 2.3-2 usando la 
ecuación 2B.9-1 como condición límite. También, usar el hecho experimental de que el coefi- 
ciente de deslizamiento varía inversamente con la presión 5 = &,/p. donde es una constan- 
te. Demostrar que la velocidad de flujo de masa es 
donde pmedia = (po + pL). 
Cuando la presión disminuye aún más, se alcanza un régimen de flujo en el cual la trayec- 
toria libre media de las moléculas del gas es grande respecto al radio del tubo (flujo de Knud- 
sen). En ese régimen3 
donde m es la masa molecular y K es la constante de Boltzmann. Para la obtención de este re- 
sultado se supuso que todas las colisiones de las moléculas con las superficies del sóIido son 
difusas y no especulares. Los resultados en las ecuaciones 2.3-29,2B.9-2 y 28.9-3 se resumen en 
la figura 2B.9. 
L 
Flujo de molécula libre 
o flujo de Knudsen 
, , , . 
C Figura 28.9 Comparación de los regímenes 
Pmedia de flujo en un gas que circula por un tubo. 
2B.10 Flujo incompresible en un tubo ligeramente ahusado, Un fluido incompresible circula por 
un tubo de sección transversal circular, para la que el radio del tubo cambia linealmente des- 
de R, en la embocadura del tubo hasta un valor ligeramente menor RL en la salida del tubo. 
Supóngase que la ecuación de Hagen-Poiseuille es aproximadamenfe válida sobre una longitud 
diferencial, dz, del tubo, de modo que la velocidad de flujo másico es 
E.H. Kennard, Kinetic Theoy of Gases, McGraw-Hill, Nueva York (1938), pp. 292-295,300-306. 
M. Knudsen, The Kinetic Theory of Gases, Methuen, Londres, 3a. edición (1950). También véase R.J. Silbey y R.A. 
Alberty, Physical Ckemistry, Wiley, Nueva York, 3a. edici6n (2001). 517.6. 
Problemas 77 
Ésta es una ecuación diferencial para 9 como una función de z pero, cuando se inserta Ia ex- 
presión explícita para R(z), no se resuelve fácilmente. 
a) Escribir la expresión para R como una función de z. 
b) Cambiar la variable independiente en la ecuación anterior por R, de modo que la ecuación 
se convierta en 
C) Integrar la ecuación, y luego demostrar que la solución puede reordenarse para obtener 
Interpretar el resultado. La aproximación usada aquí de que un flujo entre superficies no pa- 
ralelas puede considerarse localmente como flujo entre superficies paralelas, algunas veces se 
denomina aproximación de lubricacidn y se usa ampliamente en la teoría de la lubricaci6n. Al 
realizar un análisis cuidadoso del orden de magnitud, puede demostrarse que, para este pro- 
blema, la aproximación de lubricación es vtílida en tanto se cumpla que4 
2B.11 El viscosímetro de plato y cono (véase la figura 2B.11). Un viscosímetro de plato y cono cons- 
ta de una lámina plana (plato) estacionaria y un cono invertido, cuyo ápice apenas toca el pla- 
to. El liquido cuya viscosidad ha de medirse se coloca en la separación entre el plato y el cono. 
b + o angular n) 
\ Área dilerekcial / 
Figura 28.11 Viscosímetro de plato y cono: 
a) vista lateral del instrumento; b) vista 
superior del sistema de plato y cono, donde 
se muestra un elemento diferencial r dr dd; 
E ) distribución de velocidad aproximada 
dentro de la región diferencial. Para igualar 
los sistemas en (a) y (c), se identifican las 
siguientes equivalencias: V = nr y b = r sen 
= rq0. 
R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassagcr, Dynainics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Wiley-Interscience, Nueva York, 
2a. edición (19071, pp. 16-18. 
78 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
El cono se hace girar a una velocidad angular i2 conocida, y se mide el momento de torsi6n 
T, necesario para hacer girar el cono. Encontrar una expresión para la viscosidad del. fluido 
en términos de i2, T, y el ángulo $o entre el plato y el cono. Para instrumentos comerciales, 
es aproximadamente igual a un grado. 
a) Suponer que la distribución de velocidad en la separación puede aproximarse bastante 
por la velocidad correspondiente para flujo entre láminas paralelas, donde la lámina su- 
perior se mueve a velocidad constante. Comprobar que esto conduce a la distribuci6n de 
velocidad aproximada (en coordenadas esfericas) 
Esta aproximación debe ser bastante buena debido a que SI, es muy pequeño. 
b) A partir de la distribución de velocidad en la ecuacián 2B.11-1 y el apéndice 8.1, demos- 
trar que una expresión razonable para el esfuerzo cortante es 
7@+ = ,~(fl/$~lg) (2B.11-2) 
Este resultado demuestra que el esfuerzo cortante es uniforme a través de toda la separación. 
Este hecho es lo que hace tan atractivo al viscosímetro de plato y cono. Este instmmento se 
usa ampliamente, sobre todo en la industria de polímeros. 
C) Demostrar que el momento de torsión necesario para hacer girar el cono está dado por 
T, = $ I ~ ~ ~ R ~ / I / I ~ (28.11-3) 
Ésta es la fórmula normal para calcular la viscosidad a partir de mediciones del momento de 
torsión y la velocidad angular para el montaje de plato y cono con R y 4, conocidos. 
d) Para un instrumento de plato y cono con radio 10 cm y ángulo +o igual a 0.5 grados, ¿que 
momento de torsión (en dinas . cm) se requiere para hacer girar el cono a una velocidad 
angular de 10 radianes por minuto si la viscosidad del fluido es 100 cp? 
Respuesta: d) 40,000 dinas - cm 
2B.12 Flujo de un fluido en una red de tubos (figura 28.12). Un fluido circula en flujo laminar des- 
de A hasta B a travPs de una red de tubos, como se muestra en la figura. Obtener una expre- 
sión para la velocidad de flujo rnásico w del fluido que entra en A (o sale por B ) como una 
función de la caída de presión modificada BA - BB. Ignorar las perturbaciones en las diver- 
sas unionesde Los tubos. 
Respuesta: w = 3 w ( P A - Y ~ ) R ~ ~ 
2OpL 
\ I A 
Todos los iubos tienen el mismo 
radio R y la misma longitud L 
fluido 
Figura 2B.12 Flujo de un fluido en una 
red con ramificaciones. 
Problemas 79 
Distribución 
parabólica de la partícula 
t 
Presión 
Po 
t 
Presión 
PL 
Figura 2C.1 Trayectoria de una particula en un colector eI6ctrico de polvo. La partícula que 
empieza en z = O y termina en x = +B no necesariamente puede recorrer la distancia más larga en 
la dirección z. 
2C.1 Desempeño de un colector eléctrico de polvo (véase la figura 2C.l).5 
a) Un separador de polvo consta de dos Láminas con cargas opuestas entre las cuales fluyen 
gases que contienen el polvo. Se desea establecer un criterio para la longitud mínima del 
separador en términos de la carga sobre la partícula e, la intensidad del campo eléctrico 
%, la diferencia de presión (po - pL), la masa m de la partícula, y la viscosidad ,u del gas. 
Es decir, ¿para qué longitud L habrá alcanzado Ia partícula más pequeña presente (de ma- 
sa m ) la lámina inferior justo antes de que pueda ser arrastrada fuera del canal? Supónga- 
se que el flujo entre las láminas es laminar, de modo que la distribución de velocidad se 
describe por ia ecuación 28.3-2. También supóngase que la velocidad de la particula en la 
dirección z es la misma que la velocidad del fluido en la direcaón z. Todavía más, supón- 
gase que es posible ignorar la resistencia de Stokes y la fuerza de gravedad que actúan so- 
bre la esfera en la medida en que ésta se acelera en la direccibn x negativa. 
b) Vuelva a trabajar el problema, ignorando la aceleración en la dirección x, pero incluyendo 
la resistencia de Stokes. 
c) Comparar la utilidad de las soluciones en los incisos a) y b), considerando que las particu- 
las estables de un aerosol tienen diAmetros efectivos que miden aproximadamente entre 1 
y 10 micrones y densidades de alrededor de 1 g/cm3. 
Respuesta: a ) L,, = [12(p0 - pL)2~5m/25p2e8]1 /4 
2C.2 Distribución del tiempo de residencia en el flujo por un tubo. La función del tiempo de resi- 
dencia F ( t } se define como la fracción del. fluido que circula por un conducto que fluye com- 
pletamente a través de éste en un intervalo de tiempo t. El. tiempo de residencia media t, se 
define también por la relación 
a) Un líquido newtoniano incompresible fluye por un tubo circular de longitud L y radio R, 
y la velocidad media de flujo es (v,). Demostrar que 
F(t) = O para t 5 (L/~(v,)) 
F ( I ) = i - ( ~ / 2 ( ~ , } t ) ~ para t 2 ( L / 2 ( u z ) ) 
b) Demostrar que t , = (L/(v,}). 
$ ~ a respuesta proporcionada en la p h e r a edición de este libro era incorrecta, como nos indicó en 1970 Nau Gab 
Lee de la Universidad Nacional de S e d 
80 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 1 
2C.3 Distribución de velocidad en un tubo. El lector ha recibido un trabajo que debe evaluar pa- 
ra su publicación en una revista técnica. El trabajo trata de la transmisión de calor para el flu- 
jo en un tubo. Los autores establecen que, debido a que están trabajando con flujo no 
isotérmico, deben obtener una expresión "general" para la distribución de velocidad, que 
pueda utilizarse incluso cuando la viscosidad del fluido sea una función de la temperatura (y 
por tanto, de la posición). Los autores establecen que una "expresión general de la distribu- 
ción de velocidad para el flujo en un tubo" es 
donde y = r / R . Los autores no proporcionan la deducción, y tampoco una cita bibliográfi- 
ca donde encontrarla. Como evaluador del trabajo, el lector está obligado a obtener la fórmu- 
la y enumerar todas las restricciones implicadas. 
2C.4 Viscosímetro de cilindro descendente (véase la figura z C . ~ ) . ~ Un viscosímetro de cilindro 
descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R), cerrado en ambos 
extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio KR). El pedazo de metal está 
equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el del tubo. 
La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse 
cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuaci6n que proporcione la viscosi- 
dad del fluido en términos de la velocidad terminal vo del pedazo de metal y las diversas can- 
tidades geornétricas que se muestran en la figura. 
a) 'Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por 
El pedazo de 
metal cilindrico 
T 
desciende con 
velocidad vo 
i 
I i 
1 / k- Contenedor cilindrico 
1 1 Heno de fluido I z + 
Figura 2C.4 Viscosímetro de 
cilindro descendente con 
un cilindro sólido estrechamente 
ajustado que se mueve en dirección 
vertical. El cilindro suele estar 
equipado con aletas para 
mantenerlo centrado dentro del 
tubo. El fluido liena por completo 
el tubo, y las partes superior e 
inferior están cerradas. 
J. ~ohrenz, G.W. Swift y E Kurata, NChE Journal, 6,547-550 (1960) y 7,6S (1961); E. Ashare, R.B. Bird y ,.A. ks- 
carboura, AiChE loumal, 11,910-916 (1965). 
Problemas 81 
donde 6 = r/R es una coordenada radial adimensional. 
b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener 
P= (po - p ) g ( ~ ~ ) 2 [( ln- :) - ( I - K ~ - )] 
2vo 1 + K 2 
donde p y p0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente. 
C) Demostrar que, para rendijas de anchura pequeña, el resultado del inciso b) puede desa- 
rrollarse en potencias de E = 1 - K para obtener 
Véase 92.2 para consultar información sobre el desarrollo en serie de Taylor. 
2C.5 Película descendente sobre una superficie cónica (véase la figura 2C.5).' Un fluido circula 
hacia arriba por un tubo circular y luego hacia abajo sobre una superficie cónica. Encontrar el 
espesor de la película como una función de la distancia s hacia abajo en el cono. 
a) Supóngase que los resultados de $2.2 pueden aplicarse aproximadamente sobre cualquier 
región pequeña de la superficie del cono. Demostrar que al realizar un balance de masa 
sobre un anillo del líquido contenido entre s y s + As se obtiene: 
d d 3 
-(ss(v)) = O o bien -(s6 ) = O 
ds ds 
b) Integrar esta ecuación y evaluar la constante de integración igualando la velocidad de flu- 
jo de masa w hacia arriba por el hibo central a la correspondiente del fluido que circula 
hacia abajo en la superficie cónica en S = L. Obtener la siguiente expresión para el espesor 
de la película: 
6.d 3 p (9 
w p 2 g ~ sen 2P s 
I s = distancia corriente abajo 
\ del cono. medida-desde 
el ápice del cono 
El espesor de la ' película es 6 0) 
t Enbada del fluido mn ~ g w a 2C.S l>eiícuia descendente 
de flujo másico w sobre una superficie cónica. 
R.B. B i d , en Selected Topr'cs in Tmnsport Phenomena, CEP Symposium Series #58,6X, 1-15 (1965). 
82 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
T~ireccií ln del flujo con 
veloc~dad de flujo 
másico w (lb,,/s) 
Figura 2C.6 Bomba de cono giratorio. La 
variable r es la distancia del eje de rotación 
hacia el centro de la rendija. 
2C.6 Bomba de cono giratorio (véase la figura 2C.6). Encontrar la velocidad de flujo másico a tra- 
vés de esta bomba como una función de ia aceleración de la gravedad, la diferencia de pre- 
sión impresa, la velocidad angular del cono, la viscosidad y la densidad del fluido, el ángulo 
del cono, y otras cantidades geométricas identificadas en la figura. 
a) Primero, analizar el sistema sin la rotación del cono. Supóngase que es posible aplicar lo- 
calmente los resultados del problema 2B.3. Es decir, adaptar la solución para la velocidad 
de flujo másico de ese problema haciendo las sustituciones siguientes: 
sustituir (Po - PL)/L por - d P / d z 
sustituir W por 2m = 2 r z sen /3 
para obtener así 
La velocidad de flujo másico w es constante sobre el intervalo de z. Por tanto, esta ecuación 
puede integrarse para obtenerL 3 pw l n 2 (yl - p 2 ) ~ - 
4.ir B~~ sen P LI 
b) Luego, modificar el resultado anterior para tener en cuenta que el cono está girando con 
veIocidad angular 0. La fuerza centrífuga media por unidad de volumen que actúa sobre 
el fluido en la rendija tendrá una componente z dada aproximadamente por 
¿Cuál es el valor de K? Incorporar esto como una fuerza adicional que tiende a impulsar el 
fluido a través del canal. Demostrar que lo anterior lleva a la siguiente expresión para la ve- 
locidad de flujo másico: 
Problemas 83 
Rapidez de ascenso 
Elemento 
Tubo de Bourdon 
capilar f 
/ 
Presión en Presión en 
el exterior = p, el interior = pi Figura 2C.7 Indicador de la rapidez de ascenso. 
Aquí, Y, = p, + pgL, cos 8. 
2C.7 Un indicador simple de la rapidez de ascenso (véase la figura 2C.7). En circunstancias apro- 
piadas, el aparato que se muestra en la figura puede usarse para medir Ia rapidez de ascen- 
so de un avión. La presión manométrica dentro del elemento de Bourdon se toma como 
proporcional a la rapidez de ascenso. Para efectos de este problema puede suponerse que el 
aparato tiene las siguientes propiedades: i) el tubo capilar (de radio R y longitud L, con R << 
L) es de volumen despreciable pero su resistencia al flujo es considerable; ii) el elemento de 
Bourdon tiene un volumen constante V y ofrece una resistencia despreciable al flujo; y iii) el 
flujo en el capilar es laminar e incompresible, y el caudal volumétrico sólo depende de las 
condiciones en los extremos del capilar. 
a) Desarrollar una expresiiin para el cambio en la presión del aire con la altitud, desprecian- 
do cambios en la temperatura, y considerando que el aire es un gas ideal de composicián 
constante. (Sugerencia: escribir un balance de envoltura en el que el peso del gas se equili- 
bre contra la presión estática.) 
b) Haciendo un balance de masa sobre el manómetro, desarrollar una relación aproximada 
entre la presión manométrica p, - p, y la rapidez de ascenso u, para un largo ascenso con- 
tinuo a velocidad constante. Despreciar e1 cambio en la viscos~dad del aire y suponer que 
los cambios en la densidad del aire son pequeños. 
C) Desarrollar una expresión aproximada para el "tiempo de reIajación" t,, del indicador; es 
decir, el tiempo necesario para que Ia presión manométrica descienda a 1 / e de su valor ini- 
cial cuando la presión externa cambia repentinamente desde cero (respecto al interior del 
manómetro) hasta algún valor constante diferente, y se mantenga indefinidamente en es- 
te nuevo valor. 
d) AnaIizar la utilidad de este tipo de indicador para un avión pequeño. 
e) Justificar los signos positivo y negativo que aparecen en la figura. 
Respuestas: a) d p / d z = -pg = -(pM/RT)g 
b) pi - p, = v , ( ~ , u L / . ~ ~ R ~ ) ( M ~ v / R ~ / T ) , donde Rg es la constante del gas y M es cl 
peso molecular. 
c) t, = (128/.rr)@VL/D4 p ), donde p = $ ( p , + p,) 
2D.1 Viscosímetro de bola rodante. Se ha proporcionado un análisis aproximado del experimen- 
to de la bola rodante, donde se usan los resultados del problema 2B.3.* Lea el documento ori- 
ginal y compruebe los resultados. 
H.W. Lewis, Anal. Chem., 25,507 (1953); R.B. Bird y R.M. Turian, Id. Eng. C h m . Fundamrntals, 3,87 (1964); J . S ~ S - 
ták y F. Ambros, Rheol. Acta, 12,70-76 (1973). 
84 Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 
Nivel inicial del líquido 
(z, t) = espesor de la película 
Pared del recipiente contenedor Figura 2D.2 Adherencia de un fluido viscoso a 
la pared de un recipiente durante el drenado. 
2D.2 Drenado de líquidos9 (véase la figura 2D.2). iCuánt0 líquido queda adherido en la superfi- 
cie interna de un recipiente grande cuando éste se vacía? Como se muestrá en Ia figura, en la 
pared queda una delgada película de liquido a medida que desciende el nivel del liquido en 
el recipiente. El espesor local de la película es una función tanto de z (la distancia hacia aba- 
jo a partir del nivel inicial del líquido) como de t (el tiempo transcurrido). 
a) Hacer un balance de masa de estado no estacionario sobre una porción de la película en- 
tre z y z + Az para obtener 
b) Usar la ecuación 2.2-18 y una suposición de estado casi estacionario para obtener la si- 
guiente ecuación diferencial parcial de primer orden para S(z,t): 
c} Resolver esta ecuación para obtener 
¿Qué restricciones deben imponerse a este resultado? 
J.J. van Rossum, Appl. Sn. Research, A7,121-144 (1958); tambien vease V.G. Levich, Physicochemiml Hydrodynamics, 
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1962), capítulo 12. 
E 
Capítulo 3 
Ecuaciones de variación 
para sistemas isotérmicos 
3 . 1 Ecuación de continuidad 
532 Ecuación de movimiento 
53.3 Ecuaci6n de energía mecánica 
53.4" Ecuaci6n de cantidad de movimiento angular 
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 
53.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 
En el capitulo 2 se determinaron distribuciones de velocidad para varios sistemas de 
flujo sencilIos, aplicando el método de balances de envoltura de cantidad de movi- 
miento. Las distribuciones de velocidad resultantes se usaron para obtener otras 
cantidades, como Ia velocidad media y la fuerza de resistencia. El método de balan- 
ces de envoltura se utilizó para familiarizar al principiante con el concepto de ba- 
lance de cantidad de movimiento. Aunque no se mencionó en el capítulo 2, en 
varios puntos se utilizó implícitamente este concepto de balance de materia. 
Establecer un balance de envoltura para cada problema que se presenta es una 
tarea tediosa. Lo que se requiere es un balance general de materia y un balance ge- 
neral de cantidad de movimiento que puedan aplicarse a cualquier problema, inclu- 
yendo problemas con movimiento no rectilíneo. Ése es el punto principal de este 
capítulo. Las dos ecuaciones que se obtienen se denominan ecuación de continuidad 
(para el balance de materia) y ecuación de movimiento (para el balance de cantidad de 
movimiento). Estas ecuaciones pueden usarse como punto de partida para estudiar 
todos los problemas que implican el flujo isotérmico de un fluido puro. 
En el capitulo 11 se amplía la capacidad para resolver problemas al desarrollar 
las ecuaciones necesarias para fluidos puros no isotérmicos, esto se logra al añadir 
una ecuación para temperatura. En el capítulo 19 se avanza aun más y se agregan 
ecuaciones de continuidad para las concentraciones de las especies individuales. 
Por tanto, a medida que se va del capítulo 3 al capítulo 21 y luego al capítulo 19, po- 
dremos analizar sistemas cada vez más complejos, usando todo el conjunto de ecua- 
ciones de variación. Debe resultar evidente que el capítulo 3 es muy importante (quizá 
el más importante del libro), por lo que debe dominarse por completo. 
En 53.1 se desarrolla la ecuación de continuidad realizando un balance de ma- 
teria sobre un pequeño elemento de volumen a través del que circula el fluido. Des- 
pués se deja que e1 tamaño de este elemento tienda a cero (por Lo que se considera 
al fluido como un continuo) y se obtiene la ecuación diferencial parcial deseada. 
En 53.2 se desarrolla la ecuación de movimiento al efectuar un balance de can- 
tidad de movimiento sobre un pequeño elemento de volumen y dejar que éste se 
haga infinitamente pequeño. De nuevo se obtiene aquí una ecuación diferencial par- 
86 Capitulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
cial, Esta ecuación de movimiento puede usarse, junto con un poco de ayuda de la 
ecuación de continuidad, para plantear y resolver todos los problemas proporciona- 
dos en el capítulo 2 y muchos otros problemas más complicados. Por tanto, esta 
ecuación es fundamental en fenómenos de transporte. 
En 93.3 y 53.4 se hace una breve digresión a fin de introducir las ecuaciones de 
continuidad para energía mecánica y cantidad demovimiento angular. Estas ecua- 
ciones se obtienen a partir de la ecuación de movimiento y por tanto no contienen 
ninguna información física nueva. No obstante, constituyen un punto de partida 
conveniente para varias aplicaciones de este libro, en particular los balances macros- 
cópicos del capítulo 7. 
En g3.5 se introduce la "derivada sustancial". Ésta es la derivada respecto al 
tiempo que sigue el movimiento de la sustancia (es decir, el fluido). Debido a que se 
utiliza ampliamente en libros de dinámica de fluidos y fenómenos de transporte, 
más adelante demostramos cómo es posible volver a escribir las diversas ecuaciones 
de variación en términos de las derivadas sustanciales. 
En 53.6 se analiza la solución de problemas de flujo mediante las ecuaciones de 
continuidad y movimiento. Aunque éctas son ecuaciones diferenciales parciales, po- 
demos resolver muchos problemas postulando la forma de la solución y luego eli- 
minando muchos términos en estas ecuaciones. De esta forma se termina con un 
conjunto más simple de ecuaciones por resolver. En este capitulo resolveremos sólo 
problemas en los que las ecuaciones generales se reducen a una o más ecuaciones 
diferenciales ordinarias. En el capítulo 4 se analizarán problemas más complejos que 
requieren algo de destreza para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Des- 
pués, en el capitulo 5 las ecuaciones de continuidad y movimiento se usan como 
punto de partida para analizar el flujo turbulento. Posteriormente, en el capítulo 8, 
las mismas ecuaciones se aplican a flujos de líquidos poliméricos, que son fluidos 
no newtonianos. 
Por último, 53.7 se dedica a escribir las ecuaciones de continuidad y movimien- 
to en forma adimensional. Esto esclarece el origen del número de Reynoids, Re, 
mencionado a menudo en el capitulo 2, y por qué desempeña un papel crucial en la 
dinámica de fluidos. Este análisis establece las bases para realizar estudios a escala 
y con modelos. En el capítulo 6 nuevamente se presentan números adimensionales 
en relación con correlaciones experimentales de la fuerza de resistencia en sistemas 
complejos. 
Al final de 52.2 se recalcó la importancia de los experimentos en dinámica de 
fluidos. Aquí se repiten esas palabras de advertencia y se indica que las fotografías 
y otras formas de visualización de flujo han permitido una comprensión mucho más 
profunda de los problemas de flujo de lo que sería posible sólo con la teoría.' Debe 
recordarse que cuando se deduce un campo de flujo a partir de las ecuaciones de va- 
riación, no significa que es la única solución admisible fííicamente. 
En este capítulo algunas veces se utilizan notaciones vectoriales y tensoriales, 
esencialmente con objeto de abreviar expresiones que de otra forma serían muy ex- 
tensas. El estudiante principiante encontrará que para leer este capítulo y para re- 
solver problemas de flujo basta un conocimiento elemental de la notación vectorial 
y tensorial. El estudiante avanzado encontrará que el apéndice A es útil para adqui- 
rir una mejor comprensión de las manipulaciones vectoriales y tensoriales. Respecto 
a la notación, es necesario recordar que aquí se usan los símbolos en cursiva nomal 
para escalares, letras normales en negritas para vectores, y los símbolos griegos en 
'Se recomienda particularmente M. Van Dyke, An AIbuln of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982); H. 
Werlé, Ann. Rev. FluidMech; 5,361-382 (1973); D. V. Boger y K. Walters, Rheological Phenomena in Focus, Elsevier, 
Amsterdam (1993). 
53.1 Ecuación de continuidad 87 
Figura 3.1-1 Elemento de volumen fijo 1 dx Ay Az a travks del que circuia un 
fluido. Las flechas indican la densidad de 
flujo de materia de entrada y salida en el 
volumen en Ias dos caras sombreadas 
localizadas en x y x + Ax. 
negritas para tensores. También, las operaciones de producto punto entre parénte- 
sis ( ) son escalares, y las escritas entre corchetes [ 1 son vectores. 
Esta ecuación se deduce al realizar un balance de materia sobre un elemento de vo- 
lumen Ax Ay Az, fijo en el espacio, a través del que circula un fluido (véase la figu- 
ra 3.1-1): 
velocidad de velocidad de velocidad { aumento ] = entrada }-{&'"":] (3.1-11 
de materia de materia 
Ahora debemos traducir este enunciado físico simple a un lenguaje matemático. 
Empezamos por considerar las dos caras sombreadas, que son perpendiculares 
al eje x. La velocidad de entrada de materia en el elemento de volumen a través de 
la cara sombreada en x es (pv,) [,Ay Az, y la velocidad de salida de materia a través 
de la cara sombreada en x .t Ax es (pX) l,+h Ay Az. Expresiones semejantes pueden 
escribirse para los otros dos pares de caras. La velocidad de incremento de materia 
dentro del elemento de volumen es Ax Ay Az ( d p / d t ) . El balance de materia queda 
por tanto como 
Al dividir toda la ecuación entre Ax Ay Az y tomar el límite cuando Ax, Ay y Az tien- 
den a cero, y luego usando las definiciones de las derivadas parciales, se obtiene 
Ésta es la ecuación de continuidad, que describe la velocidad de variación respecto al 
tiempo de la densidad del fluido en un punto fijo en el espacio. Esta ecuación pue- 
de escribirse de manera mas breve usando notación vectorial como sigue: 
88 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
ETEMPLO 3.1-1 
Esfierzos normales en 
supeuficies súlidas para 
velocidad de velocidad neta de 
incremento adición de materia 
de materia por conveccion, por 
por unidad unidad de volumen 
de volumen 
Aquí ( 7 . p ~ ) se denomina "divergencia de pv", y algunas veces se escribe como "div 
pv". El vector pv es la densidad de flujo de materia y su divergencia tiene un signi- 
ficado simple: es la velocidad neta con que sale o se emite la densidad de flujo de 
materia por unidad de volumen. En la deducción que se presenta en el problema 
3D.l se utiliza un elemento de volumen de forma arbitraria; no es necesario usar un 
elemento de volumen rectangular como se hizo aquí. 
Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad es aquella 
para un fluido de densidad constante, para el que la ecuación 3.1-4 asume la forma 
particularrnerite simple 
(fluido incompresible) (V v) = O (3.1-5) 
Por supuesto, ningún fluido es verdaderamente incompresible, aunque a menudo 
en aplicaciones de ingeniería y biología, suponer una densidad constante da por re- 
sultado una simplificación considerable y un error muy pequeño.l~~ 
Demostrar que para cualquier tipo de patrón de flujo y para fluidos newtonianos con densi- 
dad constante, los esfuerzos normales son cero en los limites fluido-sólido. Éste es un resul- 
tado importante que usaremos a menudo. 
fluidos newtonianos 
incompresibles SOLUCIÓN 
Visualizamos el flujo de un fluido cerca de alguna superficie sólida, que puede o no ser pla- 
na. El flujo puede ser bastante general, donde las tres componentes de velocidad sean funcio- 
nes de las tres coordenadas y del tiempo. En algún punto P sobre la superficie establecemos 
un sistema de coordenadas cartesianas con el origen en P. Ahora preguntamos cuál es el es- 
fuerzo normal 72, en P. 
Según la tabla 0.1 o la ecuación 1.2-6, T,, = -2p(dv,/dz), porque (VT) = O para fluidos in- 
compresible~. Asi, en el punto P sobre la superficie del sólido 
Primero sustituimos la derivada dv,/dz usando la ecuación 3.1-3 con p constante. Siii embar- 
go, sobre la superficie sólida en z = O, Ia velocidad v, es cero debido a la condici6n sin desli- 
zamiento (véase 5j2.11, y en consecuencia la derivada du,/dx sobre la superficie debe ser cero. 
Lo mismo es cierto de dv ldy sobre la superficie. En consecuencia, T,, es cero. También es cier- 
Y 
to que T,, y T~~ son cero en la superficie debido a la desaparición de las derivadas en z = O . 
L.D. Landau y E.M. Lifschitz, Fluid Mechanics, 13ergamon Press, Oxford (19871, p. 21, indican que, para flujos 
estacionarios isentriipicos (que suelen enconharse en aerodinámica) la suposici6n de incompresibilidad es válidacuando la velocidad de1 fluido es pequeña en comparación con la del sonido (es decir, número de Mach bajo). 
La ecuación 3.1-5 constituye la base del capítulo 2 de la obra de G.K. Batchelor, An Introduction fo Fluid 
Dynamics, Cambridge University Press (1967), que es un extenso análisis de las consecuencias cinemáticas de la 
ecuación de continuidad. 
93.2 Ecuación de movimiento 89 
(Nota: la desaparición de 10s esfuerzos normales sobre superficies sólidas no es válida para 
fluidos poliméricos, que son viscoelásticos. Para fluidos compresibles, los esfuerzos norma- 
les en superficies s6Iidas son cero si Ia densidad no cambia con el tiempo, como se muestra 
en el problema 3C.2.) 
Para obtener la ecuación de movimiento escribimos un balance de cantidad de mo- 
vimiento sobre el elemento de volumen Ax Ay Az en la figura 3.2-1 de la forma 
velocidad de velocidad fuerza [ incremento ] = [ de entrada 1 - [.""L] + [ extema ] .3.2-l) 
de cantidad de cantidad cantidad de sobre el fluido 
de movimiento de movimiento movimiento 
Nótese que la ecuación 3.2-1 es una extensión de la ecuación 2.1-1 para problemas 
de estado no estacionaBo. Por consiguiente, procedemos casi de la misma forma que 
en el capítulo 2. No obstante, además de incluir el término de estado no estaciona- 
rio, es necesario permitir que el fluido se mueva a través de las seis caras del ele- 
mento de volumen. Recuérdese que la ecuación 3.2-1 es una ecuación vectorial con 
componentes en cada una de las tres direcciones de coordenadas x, y y z. Desarro- 
llamos la componente x de cada término de la ecuación 3.2-1; las componentes y y z 
pueden tratarse en forma semejante.' 
Primero, consideramos las velocidades de flujo de la componente x de cantidad 
de movimiento de entrada y salida en el elemento de volumen que se muestra en la 
figura 3.2-1. La cantidad de movimiento entra y sale en Ax Ay AZ por dos mecanis- 
mos: transporte convectivo (véase s1.7) y transporte molecular (véase 51.2). 
La velocidad a Ja que la componente x de cantidad de movimiento entra a tra- 
vés de la cara sombreada en x por todos los mecanismos (tanto convectivo como 
rnolecular) es (4,)I, Ay Az, y la velocidad a la que sale de la cara sombreada en x + 
Ax es (+w)lx+ax Ay Az. Las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la di- 
rección x entra y sale a través de las caras en y y y + Ay son (<fiyx)Iy Az Ax y (4yX)IY+A3 
Figura 3.2-1 Elemento de voIumen fijo 
Ax Ay Az, con seis flechas que indican 
la densidad de flujo de cantidad de 
movimiento en la dirección x a través 
de las superficies por todos los 
mecanismos. Las caras sombreadas 
están ubicadas en x y x + Ax. 
' En este Libro todas las ecuaciones de variaci6n se deducen aplicando las leyes de conservación a una regiGn Ax 
Ay Az fija en el espacio. Las mismas ecuaciones pueden obtenerse usando una región arbitraria fija en el espacio o una 
que se desplace junto con el fluido. Estas deducciones se describen en el problema 3D.1. Los estudiantes avanzados 
deben faidkizarse con tales deducciones. 
90 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos I 
Az Ax, respectivamente. De manera semejante, las velocidades a las que la cantidad 
de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras z y z + Az son (4,,)tZ 
AX Ay y (C$I,)I,+~ Ax Ay. Al sumar estas contribuciones se obtiene la rapidez neta de 
adición de cantidad de movimiento en la dirección x 
a través de los tres pares de caras. 
Luego está la fuerza externa (típicamente la fuerza de gravedad) que actúa so- 
bre el fluido en el elemento de volumen. La componente x de esta fuerza es 
P&AX AY 'h (3.2-3) 
Las ecuaciones 3.2-2 y 3.2-3 proporcionan las componentes x de los tres términos en 
el miembro derecho de la ecuación 3.2-1. Así, la suma de estos términos debe igua- 
larse a la velocidad de incremento de cantidad de movimiento en la dirección x den- 
tro del elemento de volumen: Ax Ay Az c?(pv,)/ált. Al hacer lo anterior se obtiene la 
componente en la dirección x del balance de cantidad de movimiento. Cuando esta ' 
ecuación se divide entre Ax Ay Az y se toma el limite cuando Ax, Ay y Az tienden a 
cero, resulta la siguiente ecuación: 
Aquí hemos utilizado las definiciones de las derivadas parciales. Ecuaciones seme- 
jantes pueden obtenerse para las componentes en Ias direcciones y y z del balance 
de cantidad de movimiento: 
Al usar notación vectorial-tensorial, estas tres ecuaciones pueden escribirse como 
sigue: 
Es decir, al dejar que i sea sucesivamente x, y y z, pueden reproducirse las ecuacio- 
nes 3.2-4, 3.2-5 y 3.2-6. Las cantidades pv, son las componentes cartesianas del vec- 
tor pv, que es la cantidad de movimiento por unidad de volumen en un punto en el 
fluido. De manera semejante, las cantidades pgi son las componentes del vector pg, 
que es la fuerza externa por unidad de volumen. El término -[V-$1; es la i-ésima 
componente del vector -[V.+]. 
Cuando la i-ésima componente de la ecuación 3.2-7 se multiplica por el vector 
unitario en la i-ésima dirección y las tres componentes se suman vectorialmente, se 
obtiene 
que es el planteamiento diferencial de la ley de conservación de cantidad de movi- 
miento. Es la traducción de la ecuación 3.2-1 a símbolos matemáticos. 
53.3 Ecuación de energía mecánica 91 
En la ecuación 1.7-1 se demostró que e1 tensor de densidad de flujo de cantidad de 
movimiento combinado + es la suma del tensor de densidad de flujo de cantidad 
de movimiento convectivo p w y el tensor de densidad de flujo de cantidad de mo- 
vimiento molecular ~ r , y que éste puede escribirse como la suma de p8 y r. Cuando 
se inserta 4 = p w + p8 + T en la ecuación 3.2-8, se obtiene la siguiente ecuación de mo- 
virnient~:~ 
d 
ZPV = - [ V . p w ] - v p - I V . T ] + S 
veloadad de velocidad veloadad de adia6n fuerza externa 
incremento de adici6n de de cantidad de movimiento sobre el fluido 
de cantidad de cantidad de por transporte rnolecular por por unidad 
movimiento movimiento por unidad de volumen de volumen 
por unidad m n v d n 
de volumen por unidad 
de volumen 
En esta ecuación, V p es un vector denominado "gradiente de (el escalar) p", y algu- 
nas veces se escribe como "grad p". El símbolo [V. TI es un vector denominado "di- 
vergencia de (el temor) T", y [V-pwl es un vector denominado "divergencia de (el 
producto diádico) pw". 
En las dos secciones siguientes proporcionaremos algunos resultados formales 
que están basados en la ecuación de movimiento. Las ecuaciones de variación para 
energía mecánica y cantidad de movimiento angular no se usan para resolver pro- 
blemas en este capítulo, sino que se difieren hasta el capítulo 7. Ce recomienda a los 
estudiantes interesados que primero repasen estas secciones y después las consul- 
ten a medida que sea necesario. 
53.3 ECUACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA 
, í 
La energía mecánica no se conserva en un sistema de flujo, aunque esto no es un 
impedimento para desarrollar una ecuación de variación para esta cantidad. De he- 
cho, a lo largo de este libro obtendremos ecuaciones de variación para un número 
de cantidades que no se conservan, como la energía interna, la entalpía y la entro- 
pía. La ecuación de variación para energía mecánica, que implica sólo términos me- 
cánicos, puede deducirse a partir de la ecuación de movimiento proporcionada en 
53.2. En el siguiente texto se hace referencia en varias ocasiones a la ecuación resul- 
tante. 
Tomamos el producto punto del. vector velocidad v con la ecuación de movi- 
miento en la ecuación 3.2-9 y luego hacemos un reordenamiento bastante laborioso, 
usando la ecuación de continuidad en la ecuación 3.1-4. También separamos en dos 
partes cada uno de los términos que contienen a p y T. El resuitado final es la ecua- 
ción de variación para energíh cinética: 
Esta ecuación se atribuye a A.-L. Cauchy, Ex. de mnth., 2.106-111 (1827). (Barón) Augustin-Louis Cauchy (1789- 
1857), originalmente preparado como ingeniero, hizo grandes contribucionesa la física y matemáticas teóricas, 
incluyendo el dlcuio de la variable compleja. 
92 Capitulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
d (12 = - (V l, pv2v) - (V . pv) - p(-v v) 
velocidad de velocidad de adición velocidad de velocidad de 
incremento de energía anética trabajo realizado conversión reuersible 
de energía por convecdón por por la presibn de energía &ética 
únética por unidad de volumen del entorno sobre en energía interna 
unidad de el fluido 
volumen 
(3.3-1)' 
- (V. [7 . VI) - (-7 :Vv) + p(v . g) 
velocidad de trabajo velocidad de velocidad de 
reaiizado por las conversión trabajo realizado 
fuerzas viscosas irreversible de por la fuerza externa 
sobre el fluido energía cinética sobre el fluido 
en energía interna 
En este momento no resulta claro por qué hemos atribuido la importancia física in- 
dicada a los términos p(V . v) y (?:Vd. El significado de éstos no puede apreciarse 
en su justa dimensión sino hasta haber estudiado el balance de energía en el capítu- 
lo 11. Ahí se verá cómo estos mismos dos términos aparecen con signo opuesto en 
la ecuación de variación para energía interna. 
Ahora introducimos la energía potencial2 (por unidad de materia) 6, definida por 
g = -v&. Luego el último térmipo en la ecuación 3.3-1 puede volver a escribirse co- 
mo - p(v a ~ 6 ) = -(V a pv 6) - t W V . pv). La ecuación de cptinuidad en la ecuación 
3.14 puede usarse ahora para susJituir +&v - pv) por -@(Jp/df). La última expre- 
sión puede escribirse como -J(p@) /Jt , si la energía potencial es independiente del 
tiempo. Esto es válido para el campo gravitacional para sistemas que están situados 
en la superficie de la Tierra; así,& = gh, donde g es la aceleración (constante) de la 
gravedad y h es la coordenada de elevación en el campo gravitacional. 
Con la introducción de la energía potencial, la ecuación 3.3-1 asume la siguien- 
te forma: 
d 
-(+PV~ dt + p 6 ) = - (V. (+v2 + p6)v) 
Ésta es una ecuación de variación para energía cinética más energfá potencial. Debido a 
que las ecuaciones 3.3-1 y 3.3-2 contienen sólo términos mecánicos, a las dos se les 
llama ecuación de variación para energíá mecánica. 
El término p(V v) puede ser positivo o negativo, dependiendo de que el fluido 
experimente expansión o compresión. Los cambios de temperatura resultantes pueden 
ser bastante grandes para gases en compresoras, turbinas y tubos de choque. 
El término ( - ~ V V ) siempre es positivo para fluidos newtonianoc,3 porque puede 
escribirse como una suma de términos elevados al cuadrado: 
-. . 
' Esta interpretación bajo el término (eVv) es correcta sólo para fluidos newtonianos; para fluidos viscoelásticos, 
como polimeros, este término puede incluir conversión reversible a energía elástica. 
2Sig= -63 es un vectot de magnitud en la dirección z negativa, entonces la energía potencial por unidad de 
masa es 6 = $2, donde z es la elevaci6n en el campo gravitacional. 
Una consecuenaa divertida de la disipaa6n viscosa para el aire es el estudio de H.K. Moffatt [Nature, 404,833- 
834 (20M))I de La forma en que una moneda girando llega al reposo en una mesa. 
93.4 Ecuación de cantidad de movimiento angular 93 
que sirve para definir las dos cantidades @, y q,. Cuando el índice i asume los va- 
lores l, 2 y 3, las componentés de la velocidad vi se convierten en u, vy y v,, y las 
coordenadas cartesianas xi se convierten en x, y y z. El simbolo S .. es la delta de Kro- 
9 
necker, que es O si i = j y 1 si i = j. 
La cantidad (-T:VV) describe la degradación de energia mecánica en energía 
térmica que ocurre en todos los sistemas de flujo (algunas veces se denomina calen- 
tamiento por disipación vi~cosa).~ Este caIentamiento puede producir aumentos consi- 
derables de temperahra en sistemas con grandes gradientes de viscosidad y de 
velocidad, como en lubricación, extrusión rápida y vuelo a alta velocidad. (Otro 
ejemplo de conversión de energía mecánica en calor es el frotamiento de dos varas 
para producir fuego, actividad que presumiblemente son capaces de hacer los niños 
exploradores.) 
Al hablar de "sistemas isotérmicos", entendemos sistemas en los que no hay 
gradientes de temperatura impuestos externamente y no hay un cambio apreciable 
de temperatura debido a la expansión, la contracción o la disipación viscosa. 
El uso más importante de la ecuación 3.3-2 es para el desarrollo del balance ma- 
croscópico de energia mecánica (o ecuación de ingeniería de Bernoulli) que se pre- 
senta en la sección 7.8. 
A partir de la ecuación de movimiento puede obtenerse otra ecuación al formar el 
producto cmz del vector de posición r (cuyas coordenadas cartesianas son x, y, z ) 
con la ecuación 3.2-9. La ecuación de movimiento según se dedujo en g3.2 no con- 
tiene la suposición de que el temor de esfuerzo (o de densidad de flujo de cantidad 
de movimiento) T es simétrico. (Por supuesto, las expresiones dadas en s2.3 para el 
fluido newtoniano son simétricas; es decir, T.. = rji-) 
'1 
Cuando se forma el producto cruz, se obtiene -luego de algunas manipulacio- 
nes vectoriales-tensoriales- la siguiente ecuación de variación para la cantidad de mo- 
vimiento angular: 
a - p[r X V I = -[V pv[r X vil-[V. [r X p8]t~ -[V. [r X T ~ ] ~ ] + [ r ~ pg] - [&:TI (3.4-1) 
d t 
Aquí E es un tensor de tercer orden con componentes (el símbolo de pemutación 
definido en gA.2). Si el tensor de esfuerzo T es simétrico, como para fluidos newto- 
nianos, el último término es cero. Según las teorias cinéticac de gases diluidos, liqui- 
dos monoatómicos y polímeros, el tensor T es simétrico, en ausencia de momentos 
de torsión eléctricos y magnéticos.' Si, por otra parte, T es asimétrico, entonces el ÚI- 
timo término describe la rapidez de conversión de cantidad de movimiento angular 
global en cantidad de movimiento angular interno. 
La suposición de un tensor de esfuerzo simétrico, entonces, es equivalente a 
afirmar que no hay interconversión entre cantidad de movimiento angular global y 
cantidad de movimiento angular interno, y que las dos formas de cantidad de movi- 
miento angular se conservan por separado. Esto corresponde, en la ecuación 0.3-8, 
a igualar por separado los términos del producto cruz y los términos de cantidad de 
movimiento angular interno. 
G.G. Stokes, Trans. Cnmb. Phil. Soc., 9,8106 (18511, véanse pp. 57-59. 
' J.S. Dahler y L.E. Ccnven, Nature, X92,36-37 (1961); S. de G m t y P. Mazur, Nonequilibrium Thermodynarnics, 
North Hoiiand, Amsterdam (1962), capítulo W. Una revisión de la literatura puede encontrarse en G.D.C. Kuiken, 
Ind. Eng. Chem. Res., 34,3568-3572 (1995). 
94 Capitulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
La ecuación 3.4-1 sólo se menciona en el capítulo 7, donde indicamos que el ba- 
lance macroscópico de cantidad de movimiento angular puede obtenerse a partir de 
ella. 
Antes de proseguir es oportuno señalar que en fenómenos de transporte pueden en- 
contrarse varias derivadas diferentes respecto al tiempo. Ilustraremos esas deriva- 
das por medio de un ejemplo familiar; a saber, la observación de la concentración de 
peces en el río Mississippi. Puesto que los peces se están moviendo, en general su 
concentración es una función de la posición (x , y, r ) y del tiempo (t) . 
Derivada parcial respecto al tiempo dldt 
Supóngase que estamos en un puente y observamos la concentración de peces justo 
debajo de nosotros como una función del tiempo. Así podemos registrar la veloci- 
dad de variación respecto al tiempo de la concentración de peces en un sitio fijo. El 
resultado es ( d ~ / d t ) ( , ~ , ~ , la derivada parcial de c respecto a t, para x, y y z constantes. 
Derivada total respecto al tiempo dldt 
Ahora supóngase que subimos en una lancha de motor y recorremos el río en todas 
direcciones, algunas veces río arriba, otras corriente abajo y otras a lo ancho. Duran- 
te todo el tiempo observamos la concentración de peces. En cualquier instante, la ve- 
locidad observada de variación dela concentración de peces respecto al tiempo es 
donde dx ld t , d y / d t y dz/dt son las componentes de la velocidad del bote. 
Derivada sustancial respecto al tiempo D/Dt 
A continuación subimos a una canoa y, ya sin energías, simplemente dejamos que 
flote al garete con la corriente, y observamos la concentración de peces. En esta si- 
tuación la velocidad del observador es la misma que la velocidad v de la corriente, 
cuyas componentes son v,, v y u,. Si en cualquier instante reportamos la velocidad 
y. , de variación de la concentracion de peces respecto al tiempo, entonces escribimos 
El operador especial D / D t = d / d t + v . V se denomina derivada susfancial (significan- 
do que la velocidad de variación respecto al tiempo se reporta a medida que el ob- 
servador se mueve con la "sustancia"). También se usan los términos derivada 
material, derivada hidrodinámica y derivada siguiendo el movimiento. 
Ahora necesitamos saber cómo convertir ecuaciones expresadas en términos de 
d / d t en ecuaciones escritas con D/Dt. Para cualquier función escalar f (x , y, z, t ) es 
posible hacer las siguientes manipulaciones: 
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 95 
Tabla 3.5-1 Las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
en la forma D / DF 
Nota: a la izquierda se proporcionan los números de emaci6n 
para las formas ói l d t 
DP (3.1-4) - = - p ( V . v ) Dt (A) 
Dv (3.2-9) p - - - V p - [ V . ~ ] + p g 
Dt (8) 
D (3.3-1) p - (iv2) = - ( v . V p ) - ( v . [V- TI) -t p(v . g ) D f (C) 
D 
(3.4-1) p D i L i x v l = - i ~ - { r x p 6 ] 1 - [ ~ { r x ~ / ] + [ r x p ~ ] (DY 
Las ecuaciones (A) a (C) se obtienen a partir de las ecuaciones 3.143.2-9 y 3.3-1 
sin suposiciones. La ecuaaón (D) se escribe sólo parar sirnptrico. 
Según Ia ecuación de continuidad, la cantidad en el segundo paréntesis en la segun- 
da línea es cero. Por tanto, la ecuación 3.5-3 puede escribirse en forma vectorial como 
De manera semejante, para cualquier función vectorial f(x, y, z, t ) , 
Estas ecuaciones pueden usarse para volver a escribir las ecuaciones de variación 
proporcionadas en s3 .1 a 3.4 en términos de la derivada sustancial, como se mues- 
tra en la tabla 3.5-1. 
La ecuación A en la tabla 3.5-1 indica cómo la densidad aumenta o disminuye a 
medida que uno se desplaza con el fluido, debido a la compresión [(V . v) < 01 o ex- 
pansión [(V . v) > O] del fluido. La ecuación B puede interpretarse como (masa) X 
(aceleración) = suma de las fuerzas de presión, fuerzas viscosas y la herza externa. 
En otras palabras, la ecuación 3.2-9 es equivalente a la segunda ley de movimiento 
de Newton aplicada a una pequeña burbuja de fluido cuya envolvente se mueve lo- 
calmente con la velocidad v del fluido (véase el problema 3D.1). 
A continuación analizaremos brevemente las tres simplificaciones más comunes 
de la ecuación de m~vimiento.~ 
i) Para p y p constantes, la inserción de la expresión newtoniana para 7 de la 
ecuación 1.2-7 en la ecuación de movimiento conduce a la muy famosa ecuación de 
' Para discusiones de la historia de éstas y otras relaciones famosas de dinlimica de fluidos, véase H. Rouse y S. 
Ince, History oftiydraulics, Iowa Institute of Hydraulics, Iowa City (1959). 
96 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 1 
Figura 3.5-1 Ecuación de estado para un fluido 
ligeramente ligeramente compresible y un fluido incompresible 
compresible con 
p - po = Ktp - pg), cuando T es constante. 
donde K es una constante 
/Huid0 incompresible 
con p = po 
Navier-Stokes, deducida por primera vez a partir de los razonamientos moleculares 
de Navier y de los razonamientos del continuo de S t ~ k e s : ~ 
D 2 D 
p-v=-Vp+pVv+pg obien ~ - V = - V P + ~ V ~ V (3.5-6,7) 
Dt Dt 
En la segunda forma hemos usado la "presión modificada" 9 = p + pgh que se in- 
trodujo en el capítulo 2, donde h es la elevación en el campo gravitacional y gh es la 
energía potencial gravitacional por unidad de masa. La ecuación 3.5-4 es un punto 
de partida normal para describir flujos isotérmicos de gases y líquidos. 
Debe recordarse que, cuando se supone que p es constante, la ecuación de esta- 
do (a T constante) es una línea vertical en una gráfica de p contra p (véase la figura 
3.5-1). Así, ya no es posible determinar la presi6n absoluta a partir de p y T, aunque 
las ecuaciones 3.5-6 o 3.5-7 siguen permitiendo determinar gradientes de presión y 
diferencias instantáneas. También es posible obtener las presiones absolutas si p se 
conoce en algún punto del sistema. 
ii) Cuando en la ecuación de Navier-Stokes se desprecian los términos de acelera- 
ción - e s decir, cuando p(Dv/Dt) = O-, se obtiene 
que se denomina ecuación de flujo de S t o k e s . Algunas veces se denomina ecuación de 
flujo reptante, porque el término p[v . Vv], que es cuadratico en la velocidad, puede 
eliminarse cuando ei flujo es extremadamente lento. Para algunos flujos, como el 
flujo de Hagen-Poiseuille en un tubo, el término p[v - Vvl se elimina, y no implica 
una restricción a flujo lento. La ecuación de flujo de Stokes es importante en teoría 
de lubricación, el estudio de movimientos de partículas en suspensión, el flujo a tra- 
vés de medios porosos y el desplazamiento de microbios en un medio fluido. Sobre 
este tema hay una literatura abundante3 
iii) Cuando se d e s p r e c i a r i las fuerzas viscosas; es decir, [V . TI = O, la ecuación de 
movimiento se convierte en 
L.M.H. Navier, Mémoires de I 'Acadhie Royale des Sciences, 6, 38940 (1827); G.G. Stokes, Proc. Cambridge Phil. 
%c., 8,287-319 (1845). 
J. Happel y H . Brenner, h w Rqnolds Number Hydrodynamics, Martinw Nijhoff, La Haya (1983); S. Kim y S.J. 
Karrila, Mimhydmdynamics: Principies and Selecfed Applications, Butterworth-Heinemann, Boston ( 1 9 9 1 ) . 
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 97 
que se conoce como ecuación de Euler para fluidos "no viscoso^".^ Por supuesto, no 
existen fluidos verdaderamente "no viscosos", aunque hay muchos en los que las 
fuerzas viscosas son relativamente poco importantes. Ejemplos son el flujo alrede- 
dor de las alas de un avidn (excepto cerca del b i t e sólido), el flujo corriente arriba 
en las superficies de empotramiento de puentes, aigunos problemas en dinámica de 
gases compresibles y el flujo de corrientes o~eánicas.~ 
La ecuación de Bernoulli para el flujo en estado estacionario de fluidos no viscosos es una de 
las ecuaciones más conocidas en dinámica de fluidos clá~ica.~ Mostrar cómo se obtiene a par- 
La ecuacidn de tir de la ecuación de movimiento de Euler. 
~ ~ m o u z l i para el flujo 
en estacionario 
de fluidos no viscosos S o L u c l Ó ~ 
Se omite el ikrmino de la derivada respecto al. tiempo en la ecuación 3.5-9 y luego se usa la 
identidad vectorial [v - Vv1= V(V . v) - [v x [V x VI] (ecuación A.4-23) para volver a escri- 
bir las ecuaciones como 
pv$$ - p[v x [V x v]] = - Vp - pgVh (3.5-10) 
Al escribir el último término, g se ha expresado como -v& = --gVh, donde h es la elevación 
en el campo gravitacional. . 
A continuación se divide la ecuación 3.5-10 entre p y luego se forma el producto punto 
con el vector unitario s = v/lvl en la dirección del flujo. Al hacer esto, puede demostrarse que 
el término que implica el rotacional del campo de velocidad se elimina (un ejercicio apropia- 
do en análisis vectorial) y (S . V) puede sustituirse por d / d s , donde s es b distancia a lo largo 
de una lííea de flujo de corriente. Así, se obtiene 
Cuando esta expresi6n se integra a lo largo de una línea de flujo de corriente desde el punto 
1 hasta el punto 2, se obtiene 
que se denomina ecuación de Bernoulli. Esta ecuación rehciona la velocidad, la presión y la ele- 
vación de dos puntos a lo largo de una línea de flujo de corriente en un fluido que se encuen- 
tra en flujo en estado estacionario. Se utiliza en situaciones en las que puede suponerse que 
la viscosidad desempeñaun papel bastante menor. 
L. Euler, Mtm. A&. Sci. Berlin, 11,217-273,274-315,316-361(1755). El matemático de origen suizo Leonhard 
Euler (1707-1783) ense% en San Petersburgo, Basilea y Beriín, y publicó bastante en muchos campos de las 
matemáticas y la física. 
Véase, por ejemplo, D.J. Acheson, Eletnenfary Fluii Mechanics. Clarendon Press, Oxford (1990), capítulos 3-5; y 
G.K. Batchelar, An Introductwn lo FIuid Dymmics, Cambndge UNversity Press (19671, capítuio 6. 
Daniel Bernoulli (1700-1782) fue uno de los primeros investigadores en dinámica de fluidos y también de la 
te& cin&ca de los gases. Sus ideas sobre hidrodinámica están resumidas en D. Bemoulli, Hydrodpmia sive de 
viribics el motibus jitridorum commentufii, Argentorati (1738); sin embargo, en realidad él no proporcionó la ecuación 3.5- 
12. El aédito de la deducción de la ecuación 3.5-12 es de L. Euler, Histoires de I'Académie de Berlin (1755). 
98 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Para casi todas las aplicaciones de la ecuación de movimiento, debemos insertar la 
expresión para 7 de la ecuación 1.2-7 en la ecuación 3.2-9 (o, en forma equivalente, 
las componentes de T de la ecuación 1.2-6 o del apéndice B.l en las ecuaciones 
3.2-5,3.2-6 y 3.2-7). Luego, para describir el flujo de un fluido newtoniano a tempe- 
ratura constante se requiere, en general, 
La ecuación de continuidad Ecuación 3.1-4 
La ecuación de movimiento Ecuación 3.2-9 
Las componentes de T Ecuación 1.2-6 
La ecuaci6n de estado P = P(P) 
Las ecuaciones para las viscosidades CL = p(p), K = d p ) 
Estas ecuaciones, junto con las condiciones límite e inicial necesarias, determinan 
por completo las distribuciones de presión, densidad y velocidad en el fluido. Rara 
vez se usan en su forma completa para resolver problemas de dinámica de fluidos. 
Por conveniencia suelen usarse formas restringidas, como en este capítulo. Si es 
apropiado suponer densidad y viscosidad constantes, entonces se usan 
La ecuación de continuidad Ecuación 3.1-4 y tabla 8.4 
La ecuación de Navier-Stokes Ecuación 3.5-6 y tablas 8.5, 6.6 y 8.7 
junto con condiciones inicial y límite. A partir de lo anterior se determinan las dis- 
tribuciones de presión y de velocidad. 
En el capítulo 1 proporcionamos las componentes del tensor de esfuerzo en 
coordenadas cartesianas, y en este capítulo hemos obtenido las ecuaciones de conti- 
nuidad y movimiento en coordenadas cartesianas. En las tablas 8.1 a B.7 se presen- 
ta un resumen de estas ecuaciones clave en tres sistemas de coordenadas bastante 
utilizados: cartesianas (x, y, z), cilíndricas (r, O, z) y esféricas (r , O , # ) . Los estudiantes 
no deben preocuparse por la deducción de estas ecuaciones, pero sí deben familia- 
rizarse muy bien con las tablas en el apéndice B y usarlas para plantear problemas 
de dinámica de fluidos. Es conveniente que los estudiantes avanzados analicen los de- 
talles del apéndice A y aprendan cómo desarrollar las expresiones para las diversas 
operaciones V, como se hizo en 55A.6 y A.7. 
En esta sección ilustraremos cómo plantear y resolver algunos problemas que 
implican el flujo en estado estacionario, isotérrnico y laminar de fluidos newtonia- 
nos. Las soluciones analíticas relativamente simples que se proporcionan aquí no 
deben considerarse como un fin en sí mismas, sino como una preparación para 
avanzar hacia la solución analítica o numérica de problemas más complejos, el uso 
de varios métodos aproximados o el uso de análisis dimensional. 
La solución completa de problemas de flujo viscoso, incluyendo demostracio- 
nes de unicidad y criterios para estabilidad, es una tarea impresionante. De hecho, 
algunos de los matemáticos aplicados más conocidos del mundo han dedicado su 
atención al reto de resolver las ecuaciones de continuidad y movimiento. El estu- 
diante bien puede sentirse incompetente al enfrentar por primera vez estas ecuacio- 
nes. Todo lo que pretendemos hacer en los ejemplos ilustrativos de esta sección es 
resolver algunos problemas para flujos estables cuya existencia se conoce. En cada 
caso comenzamos estableciendo algunos postulados sobre la forma de las distribucio- 
nes de presión y velocidad; es decir, adivinamos cómo p y v deben depender de la po- 
sición en el problema que se está estudiando. Luego eliminamos todos los términos 
en las ecuaciones de continuidad y movimiento que sean innecesarios según los 
~ 3 . 6 - Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 99 
postulados establecidos. Por ejemplo, si se postula que v, es una función sólo de y, 
entonces pueden eliminarse términos como dv, /dx y d2v,/dz2. Una vez que se eli- 
minan todos los términos innecesarios, a menudo lo que queda es un reducido nú- 
mero de ecuaciones relativamente simples; y si el problema es suficientemente 
sencillo, puede obtenerse una solución analítica. 
Es necesario recalcar que cuando se enumeran los postulados se utiliza la intui- 
ción, que se basa en la experiencia cotidiana con fenómenos de flujo. La intuición a 
menudo nos indica que un flujo será simétrico respecto a un eje, o que alguna com- 
ponente de la velocidad es cero. Una vez que se utihza la intuición para establecer 
tales postulados, debemos recordar que la solución final está restringida de manera 
correspondiente. No obstante, al comenzar con las ecuaciones de variación, cuando 
termina el "proceso de eliminación" por lo menos contamos con una lista completa 
de todas las suposiciones utilizadas en la solución. En algunos casos es posible vol- 
ver atrás, eliminar algunas de las suposiciones y obtener una mejor solución. 
En varios ejemplos que serán analizados, encontraremos una solución de las 
ecuaciones de dinámica de fluidos. Sin embargo, debido a que las ecuaciones com- 
pletas son no lineales, puede haber otras soluciones del problema. Así, la solución 
completa de un problema de dinámica de fluidos requiere que se especifiquen los 1í- 
mites de los regímenes de flujo estable, así como todos los intervalos de comporta- 
miento inestable. Es decir, debemos elaborar un "mapa" que muestre los diversos 
regímenes de flujo posibles. Por regla general, soluciones analíticas pueden obtener- 
se sólo para los regímenes de flujo más simples; el resto de la información suele ob- 
tenerse experimentalmente o por medio de soIuciones numéricas muy detalladas. 
En otras palabras. aunque se conozcan las ecuaciones diferenciales que gobiernan el 
movimiento del fluido, queda mucho por conocer sobre cómo resolverlas. Ésta es un 
área desafiante de las matemáticas aplicadas, que se encuentra muy por encima del 
nivel de un libro de texto introductorio. 
Cuando se encuentran problemas dificiles, es necesario investigar en algunos de 
los tratados avanzados de dinámica de fluidos.l 
Ahora nos dedicaremos a los ejemplos ilustrativos. Los dos primeros son pro- 
blemas ya analizados en e1 capitulo precedente; vo~vemos a trabajarlos precisamen- 
te para ilustrar el uso de las ecuaciones de variación. Después consideraremos 
algunos otros problemas cuyo planteamiento seria difícil por el método de balances 
de envoltura del capitulo 2. 
Volver a trabajar el problema de flujo en un tubo del ejemplo 2.3-1 usando las ecuaciones de 
continuidad y movimiento. Esto ilustra el empleo de las emaciones tabuladas para densidad 
en un y viscosidad constantes en coordenadas cilíndricas, dadas en el apéndice B. 
tubo circular largo 
S O L U C ~ ~ N 
PostuIamos que v = Szv,(r, 2). Este postulado implica que no hay flujo radial (u, = 0) y.; flujo 
tangencia1 (ue = O}, y que u, no depende de 0. Por consiguiente, podemos descartar mucl~os 
términos de las ecuaciones de variación tabuladas, quedando 
' R. Berker, Handbuch der Physik, volumen ViI1-2, Springer, Berlín (1963), pp. 1-384; G.K. Batchelor, A n 
lntroduction tu Fluid Mechnics , Cambridge Universiiy Press (1967); L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics. 
Pergamon Press, Oxfard, 2a. edición (1987); J.A. Schetz y A.E. Fuhs(compiladores), Handbook o f f lu id Q n a m i c s and 
Fluid Machinery, Wiley-Interscience, Nueva York (7996); R.W. Johnson (compilador), The Handbook of Fluid Dynatnics. 
CRC Press, Boca Ratón, Ha. (1998); C.Y. Wang, A n n . Revs. Fluid. Mech., 23,159-177 11991). 
100 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isoténnicos 
ecuación de continuidad %=o 
a2 
ecuación de movimiento para Y 
ecuación de movimiento para 8 
ecuación de movimiento para z 
La primera ecuación indica que v, depende cólo de r; por tanto, las derivadas parciales que 
aparecen en el segundo término del miembro derecho de la ecuación 3.64 pueden sustituir- 
se por derivadas ordinarias. Al usar la presión modificada 9 = p + pgh (donde h es la altura 
por arriba de algún plano arbitrario dado), evitamos la necesidad de calcular las componen- 
tes de g en coordenadas ciiíndricas, y obtenemos una solución válida para cualquier orienta- 
ci6n del eje del tubo. 
Las ecuaciones 3.6-2 y 3.6-3 muestran que 9 es sólo una función de z, y la derivada par- 
cial en el primer término de la ecuación 3.6-4 puede sustituirse por una derivada ordinaria. 
La única forma en que una función de r más una función de z puede ser igual a cero es que 
cada término individual sea una constante -por ejemplo, Co-, de modo que la ecuaci6n 
3.6-4 se reduce a 
La ecuación 9 puede integrarse de una vez. La ecuación v, puede integrarse simplemente 
"quitando" una operación tras otra en el miembro izquierdo (no "resolver" la derivada com- 
puesta que ahí aparece). Así se obtiene 
Las cuatro constantes de integración pueden encontrarse a partir de las condiciones límite: 
C.L. 4 en r = O, u, = finita (3.6-12) 
Las soluciones resultantes son: 
La ecuación 3.6-13 es la misma que la ecuación 2.3-18. En el ejemplo 2.3-1 no se obtuvo el per- 
fil de velocidad en la ecuación 3.6-12, aunque se postuló de manera tácita; esto hubiera podi- 
do hacerse aquí también, pero elegimos trabajar con un número mínimo de postulados. 
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 101 
Como se indicó en e1 ejemplo 2.3-1, la ecuación 3.6-13 es válida sólo en el régimen de flu- 
jo laminar, y en ubicaciones no muy próximas a la entrada y a la salida del tubo. Para núme- 
ros de Reynolds aproximadamente superiores a 2100, corriente abajo de la región de entrada 
existe un régimen de flujo turbulento, asi la ecuación 3.6-13 deja de ser válida. 
Plantear el problema del ejemplo 2.2-2 usando las ecuaciones del apéndice B. Esto ilustra el 
uso de la ecuación de movimiento en términos de r. 
scosidad variable 
i SOLUCION 
Así como en el ejemplo 2.2-2, postulamos un flujo de estado estacionario con densidad cons- 
tante, pero cuya viscosidad depende de x . Postulamos, como antes, que las componentes x y 
y de la velocidad son cero y que v, = v,(x). Con estos postulados, la ecuación de continuidad 
se cumple idénticamente. Según la tabla B.1, las únicas componentes de 7 diferentes de cero 
son rXz = T= = -p (dv , /dx ) . Las componentes de la ecuación de movimiento en Mrminos de T 
son, a partir de la tabla B.5, 
donde P es el ángulo que se muestra en la figura 2.2-2. 
Al integrar la ecuación 3.6-14 se obtiene 
p = pgx sen P -t f(y, z ) (3.6-17) 
dondef(y,z) es una función arbitraria. La ecuación 3.6-15 muestra que f no puede ser una fun- 
ción de y. Luego se reconoce que la presión en la fase gaseosa es casi constante a la presión 
atmosférica presente p,,. Por consiguiente, en la interfase gas-líquido x = O, la presión tam- 
bién es constante al valor p,,. En consecuencia, f puede igualarse a p,,, para obtener final- 
mente 
Así, la ecuación 3.6-16 se convierte en 
d 
-7, = pg cos B 
d x 
que es igual a la ecuación 2.2-10. El resto de la solución es lo mismo que en s2.2. 
Antes se mencionó que la medición de la diferencia de presión contra velocidad de flujo má- 
sic0 a través de un tubo cilíndrico constituye la base para determinar la viscosidad en visco- 
simetros capilares comerciales. La viscosidad también puede determinarse midiendo el 
oiscosímeho de momento de torsión necesario para hacer girar un objeto sólido en contacto con un fluido. El 
precursor de todos los viscosírnetros rotacionales es el instrumento de Couette, que se mues- 
tra en la figura 3.6-1. 
102 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Cilindro exterior U@ es una función de r 
indro interior 
estacionario I / I 
El péndulo está suspendid 
y puede girar Libremente 
En esta 
región el 
fluido se 
mueve con 
v, = v8(r) 
/ 
El fluido en el interior 
es estacionario 
(b) 
Figura 3.6-1 a) Flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio entre dos cilindros; el cilindro exterior se 
mueve con velocidad angular R,. b) Diagrama de un viscosímetro de Couette. Uno mide la velocidad angular R, de la copa y 
la desviación Bb del péndulo con operación en estado estacionario. La ecuación 3.6-31 proporciona la viscosidad p en términos 
de a, y del momento de torsión T, = k,Bb. 
El fluido se coIoca en la copa, que luego se hace girar con velocidad angular constante S1, 
(el subhdice "o" significa externa). El líquido viscoso en rotación hace que el péndulo suspen- 
dido gire hasta que el momento de torsión producido por la transmisión de cantidad de movi- 
miento en el fluido sea igual al producto de la constante de torsión k, y e1 desplazamiento 
angular Ob del péndulo. E1 desplazamiento angular puede medirse observando Ia desviación de 
un haz de luz reflejado desde un espejo montado en el péndulo. Las condiciones de medición 
son controladas, de modo que en la región anular entre los dos cilindros coaxiales mostrados 
en la figura hay un flujo en estado estacionario, tangencial y laminar. Debido al arreglo usado, 
los efectos finales sobre la región que incluye la altura L de péndulo son despreciabIes. 
Para analizar esta medición, aplicamos las ecuaciones de continuidad y movimiento pa- 
ra p y p constantes al flujo tangencial en la región anular airededor del péndulo. A fin de 
cuentas, queremos obtener una expresión para la viscosidad en tkrminos del momento de tor- 
sión T, (la componente z) sobre el cilindro interior, la velocidad angular a, de la copa girato- 
ria, la altura L del péndulo, y los radios KR y R del péndulo y la copa, respectivamente. 
En la porción anular en consideración, el fluido se mueve siguiendo un patrón circular. Pos- 
tulados razonables para la presión y Xa velocidad son: ve = ve(?-), u, = O, u, = O, y p = p(r, 2). ES 
de esperar que p dependa de z debido a la gravedad y de r debido a la fuerza centrífuga. 
Para estos postulados, todos los términos en la ecuación de continuidad son cero, y las 
componentes de la ecuación de movimiento se simpIifican a 
componente r 
componente 0 
componente z 
g3.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 203 
La segunda ecuación proporciona la distribuwn de velocidad. La tercera ecuación propor- 
ciona eI efecto de la gravedad sobre la presión (el efecto hidrostático), y la primera ecuaci6n 
indica cómo la fuerza centrífuga afecta la presión. Para este problema sólo necesitamos la 
componente 8 de la ecuación de mo~imiento.~ 
Un inexperto podría sentir la tentaci6n de realizar las diferenciaciones en la ecuación 3.6-21 
antes de resolver la ecuación diferenciai, pero no debe hacerlo. Todo lo que debe hacer es "qui- 
tar" una operaci6n a la vez - d e la misma forma como una persona se desviste- como sigue: 
Las condiciones límite son que el fluido no se desliza en las dos superficies cilíndricas: 
Estas condiciones limite pueden usarse para obtener las constantes de integración, que luego 
se insertan en la ecuación 3.6-26. Así se obtiene 
Al escribir el resultado de esta forma, con terminos semejantes en el numerador y en el deno- 
minador, resulta evidente que ambas condiciones límite se cumplen y que la ecuación es di- 
mensionalmente consistente. 
A partir de la distribución de velocidad es posibleencontrar la densidad de flujo de can- 
tidad de movimiento usando la tabla B.1: 
Así, el momento de torsión que actúa sobre el cilindro interior esta dado por el producto de 
la densidad de flujo de cantidad de movimiento de entrada (-r,), la superficie del cilindro 
y el brazo de palanca, como sigue: 
El momento de torsión también esta dado por T, = Por consiguiente, la medición de 
la velocidad angular de la copa y la desviación angular del péndulo hacen posible deter- 
Véase R.B. Bird, C.E Curtiss y W.E. Stewart, Qlon. Eng. SN., 11, 114-117 (1959) para un método de obtención de 
p(r, Z ) para este sistema El u i m e n t o de depmdencia respecto al tiempo para los perfdes en estado estacionario lo pro- 
porcionan R.B. Bird y C.F. C&s, Chem. Eng. Sci, I1,lW-113 (1959). 
104 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Figura 3.6-2 Número crítico de Reynolds para el flujo 
tangencial en tubos concéntricos, donde el cilindro 
exterior gira y el interior permanece estacionario [H. 
Schlicliting, Boundary Lnyer Theoy, Mc-Graw-Hill, 
Nueva York (1955), p. 3571. 
minar la viscosidad. El mismo tipo de análisis puede hacerse para otros viscosímetros rota- 
cionales? 
Para cualquier viscosímetro es esencial conocer cuándo ocurrirá turbulencia. El número 
crítico de Reynolds (fl$2pIp),,, por arriba del cual el sistema se vuelve turbulento, se mues- 
tra en la figura 3.6-2 como una función de la relación K del radio. 
Podría preguntarse qué ocurre si el cilindro externo se mantiene fijo y se deja que el 
cilindro interior gire a velocidad angular C$ (el subíndice "i" significa interior). En- 
tonces la distribución de velocidad es 
Lo anterior se obtiene estableciendo los mismos postulados (véase la ecuación 
3.6-20) y resolviendo la misma ecuación diferencial (ecuación 3.6-21), pero con un 
conjunto diferente de condiciones límite. 
La ecuación 3.6-32 describe exactamente el flujo para valores pequeños de Ri. 
No obstante, cuando fii alcanza un valor critico (fLirCrit = 41.3(p/R2(1 - K ) ~ / ~ ~ ) para 
K = l), e¡ fluido desarrolla un flujo secundario, que se sobrepone al flujo primario 
(tangencial) y es periódico en la dirección axial. Se forma un sistema muy claro de 
vórtices toroidales, denominado vórtices de Tay[or, como se muestra en las figuras 
3.6-3 y 3.6-4b. Los lugares geométricos de los centros de estos vórtices son círculos 
cuyos centros están localizados sobre los ejes comunes de los cilindros. Este movi- 
miento sigue siendo laminar, aunque ciertamente es inconsistente con los postula- 
dos establecidos al inicio del problema. Cuando la velocidad angular fli aumenta 
aún más, los lugares geométricos de los centros de los vórtices se convierten en on- 
das viajeras; es decir, el flujo se vuelve, además, periódico en la dirección tangencial 
[véase la figura 3.6-4(c)I. Además, la velocidad angular de las ondas viajeras es apro- 
ximadamente igual a $ Ri. Cuando la velocidad angular fli sigue creciendo, el flujo 
se vuelve turbulento. En la figura 3.6-5 se muestran los diversos regímenes de flujo, 
con los cilindros interior y exterior girando, determinados para un aparato y un flui- 
3 J . ~ . VanWazer, J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E. Colweii, Viscosity and Fluw Measurement, Wiley, Nueva York (1963); 
K. Walters, Rheornetry, Chapman and Hall, Londres (1975). 
53.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 105 
Cilindro interior ' 
Figura 3.6-4 Bosquejos que muesiran 
Figura 3.6-3 Vórtices toroidales los fenómenos observados en el espacio 
contrarrotacionales, denominados vórtices de anular entre dos cilindros: a) flujo 
Taylor, observados en el espacio anular entre puramente tangencial; b) flujo 
dos cilindros. Las líneas de flujo de corriente simplemente periódico (vórtices de 
tienen forma de helices, con los ejes enrollados Taylor), y c) flujo doblemente periódico 
alrededor del eje común de los cilindros. Esto donde un movimiento ondulatorio se 
corresponde a la figura 3.5-4(b). superpone a los vórtices de Taylor. 
FLujo turbulento / 
Figura 3.6-5 Diagrama de régimen de flujo para el flujo entre dos 
cilindros coaxiales. La Iínea recta identificada como "Rayleigh" es 
la solución analítica de Lord Rayleigh para el fluido no viscoso. 
[Véase D. Coles, J. Fluid. Mech., 21,385-425 (1965).] 
106 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
do específicos. Este diagrama demuestra lo complicado de este sistema que en apa- 
riencia es simple. En otra parte pueden encontrarse detalles adiciona le^.^^^ 
El análisis precedente debe servir como una seria advertencia de que los posh- 
lados intuitivos pueden ser engañosos. Pocas personas pensarían en postular las so. 
luciones simplemente periódica y doblemente periódica que acaban de describirse, 
A pesar de ello, esa información está contenida en las ecuaciones de Navier-Stokes. 
Sin embargo, debido a que los problemas que implican inestabilidad y transiciones 
entre varios regímenes de flujo son demasiado complejos, para describirlos estarnos 
obligados a usar una combinación de teoría y experimentación. La teoría sola aún 
no es capaz de proporcionar todas Ias respuestas, de modo que en los años por ve- 
nir será necesario realizar experimentos cuidadosamente controlados. 
Un líquido de densidad y viscosidad constantes se encuentra en un recipiente cilúidrico de 
radio R como se muestra en la figura 3.6-6. Se hace que el recipiente gire alrededor de su pro- 
Fomza de Ea pio eje a una vebcidad angular O. El eje del cihndro es vertical, de modo que g, = O, go = O y 
superficie de un g, = -g, donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Encontrar la forma de 
líquido en rotación superficie libre del líquido una vez que se establece el estado estacionario. 
Para este problema es conveniente usar coordenadas cilíndricas, y las ecuaciones de variación 
se proporcionan en las tablas B.4 y B.6. Para estado estacionario postulamos que v, y v, son, 
ambas, cero, y que ve depende sólo de r. También postulamos que p depende de z debido a Ia 
fuerza de gravedad y de r debido a la fuerza centrifuga, pero que no depende de 8. 
El trabajo inicial sobre este tema fue realizado por John Williarn Strutt (Lord Rayleigh) (1842-1919), quien 
estableció el campo de la acústica en su obra Theory of Sound, escrita en una casa flotante en el rio Nilo. Algunas 
referencias origmaies sobre la inestabilidad de TayIor son: J.W. Strutt (Lord Rayleigh), Pmc. Roy. Sor., A93,148-154 
(1916); (3.1. Taylor, Phil. Tren.., A223,289-343 (1923) y Proc. Roy. Soc., A157, 546-564 (1936); P. Schultz&mow y H. 
Hein, Zeits. Flugwiss., 4,2840 (1956); D. Coles, J. Fluid Mech., 21,385-425 (1965). Véase también R.P. Feyunan, R.B. 
Leighton y M. Sands, l'he Feynmn Lectures in Physics, Addison-Wesley, Reading, M A (19641, g1-6. 
Ohms referencias sobre inestabilidad de Taylar, así como inestabilidad en otros sistemas de flujo, son: L.D. 
Landau y E.M. Lifsliitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987), pp. 99-106; S. Chandrasekhar, 
Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford Universiv Press (1961), pp. 272-342; H. Schlichting y K. Gersten, 
Boundary-Layer Theoy, 8a. edicidn (2000), capítulo 15; P.G. Drazin y W.H. Reid, Hydrodynarnic Stability, Cambridge 
Univcrsity Press (1981); M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982). 
Y\ p = p(r, z) 
dentro del fluido 
Figura 3.6-6 Líquido en rotación con una 
t 
i - superficie Libre, cuya forma es una paraboloide 
1-R-1 de revolución. 
P ' Patm 
i 1 isuperficie enla\ 1 1 
\ / 
\ I 
\ ' / -1- 
i 
L 
33.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 107 
Estos postulados dan O = O para le ecuación de continuidad, y la ecuación de movimien- 
to da: 
componente r 
componente 0 
componente z O=---@ dP (3.6-35) 
az 
La componente 0 de la ecuacibn de movimiento puede integrarse para obtener 
donde C, y C, son constantes de integracián. Debido a que ve no puede ser infinitaen r = 0, 
la constante C, debe ser cero. En r = R, la velocidad ve es RQ Por tanto, C, = 2fl y 
lo cual establece que cada elemento del líquido en rotación se mueve como si fuese un ele- 
mento de un cuerpo rígido (en realidad, pudimos postular que el liquido giraría como un 
cuerpo rígido y apuntar directamente la ecuacibn 3.6-37). Cuando el resultado de la ecuación 
3.6-37 se sustituye en la ecuacidn 3.633, entonces se obtienen estas dos maciones para los 
gradientes de presión: 
Cada una de estas ecuaciones puede integrarse, como sigue: 
donde f, y f, son funciones de integración arbitrarias. Debido a que hemos postulado que p 
no depende de 9, podemos elegir fi = -pgz + C y f2 = m 2 r Z + C, donde C es una constante, 
y satisfacer las ecuaciones 3.6-38 y 3.639. Así, la solución de estas dos ecuaciones tiene la 
forma 
La constante C puede determinarse al requerir que p = pat, en r = O y que z = zO, donde 6sta 
es la elevación de la superficie del Iíquido en r = O. Una vez que C se obtiene de esta forma, 
se llega a 
Esta ecuación proporciona la presión en todos los puntos dentro del liquido. Justo en la inter- 
fase Iíquido-aire, p =: p,,,, y con esta sustitución la ecuacibn 3.6-43 proporciona la forma de la 
interfase líquido-aire: 
fista es la ecuación de una parábola. El lector puede verificar que la superficie libre de un 1í- 
quido en un recipiente de tubos concéntrico y giratorio obedece a una relación semejante. 
108 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Una esfera sólida de radio R gira lentamente a velocidad angular constante fl en un gran 
cuerpo de fluido en reposo (véase la figura 3.67). Obtener expresiones para las distribuciones 
Flujo cerca de una de presión y de velocidad en el fluido y para el momento de torsión T, necesario para man- 
esfera que gira tener el movimiento. Se supone que fa esfera gira lo suficientemente lento, de modo que es 
lentamente adecuado utilizar la versión de flujo reptante de la ecuación de movimiento en la ecuación 3.5-8. 
Este problema ilustra el planteamiento y h solución de un problema en coordenadas esféricas. 
Las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas esféricas se proporcionan en las 
tabIas B.4 y B.6, respectivamente. PostuIamos que, para flujo reptante estacionario, la distri- 
bución de velocidad tendrá la forma general v = S v (u , O ) , y que la presión modificada será + .4 de la forma 9 = 9 (r, 13). Como se espera que la soluc~ón sea simétrica respecto al eje z, no hay 
dependencia respecto al ángulo 4. 
Con estos postulados, la ecuación de continuidad se cumple con exactitud, y las compo- 
nentes de la ecuación de movimiento para flujo reptante se vuelven 
componente r 
componente 8 
1 d dv l a 
componente # O=-- r2 dr f 2 ~ ) + - - ( l b ( v 4 dr r2 dI3 sen 0 30 
Las condiciones límite pueden resumirse como 
C.L. 1: en r = R, v, = O , v , = O, v4 = Rfl sen 0 (3 6-48) 
C.L. 2: cuando r + w , v+. -* O, v, + 0, v4 + O (3.6-49) 
C.L. 3: cuando r + w , p + po (3.6-50) 
donde 9 = p + pgz, y po es la presión del fluido lejos de la esfera en z = 0. 
La ecuación 3.6-47 es una ecuación diferencial parcial para v4(r, O). Para resolverla, inten- 
tamos una solución de la forma v - f(r) sen O . Esto es sólo una conjetura, aunque es consic- 
tenle con la condición límite en fa-ecuación 3.6-48. Cuando esta forma de ensayo para la 
distribución de la velocidad se inserta en la ecuación 3.6-47, se obtiene la siguiente ecuación 
diferencial ordinaria para flr): 
Para hacer girar a la esfera se 
requiere un momento de 
torsión T, 
Figura 3.6-7 Esfera que gira Ientamente en una extensión 
infinita de fluido. El flujo primario es vd = Q,R(R/r)2 sen B. 
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 109 
Ésta es una "ecuación equidimensional", que puede resolverse al suponer una solución de 
ensayo f = rn (véase la ecuación C.1-14). Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 
3.651 se obtiene n = 1, -2. Así, la soIución de la ecuación 3.6-51 es 
de modo que 
Al aplicar las condiciones limite se muestra que C1 = O y C2 = aR3. Por consiguiente, la expre- 
sión final para la distribución de velocidad es 
A continuación evaluamos el momento de torsión necesario para mantener la rotación de la 
esfera. h e ser& la integral, sobre la superficie de la esfera, de la fuerza tangencia1 ( T ~ + ~ , = ~ ) R ~ 
sen OdOdd ejercida sobre el fluido por un elemento de superficie sólido, multiplicada por el 
brazo de palanca R sen 0 para ese elemento: 
T = jo2' 1: (7,+,1,=, <R sen ~ > ~ ~ s e n a i ~ d 
= r 1; ( 3 f l sen BXR sen O)RZ sen Ltiai+ 
Al pasar de la primera a la segunda línea hemos usado la tabla B.l, y al pasar de la segunda 
a ¡a tercera, hemos hecho la integración sobre el intervalo de la variabIe +. La integral en la 
4 tercera línea es 3. 
A medida que aumenta la velocidad angular, ocurren desviaciones respecto al "flujo pri- 
mario" de la ecuación 3.6-54. Debido a los efectos de la fuerza centrífuga, el fluido es atraído 
hacia los polos de la esfera y alejado de Psta a partir del ecuador como se muestra en la figura 
3.6-8. Para describir este "flujo secundario", es necesario incluir el término [v . Vv] en la ecua- 
ción de movimiento, lo cual puede hacerse utitizando un método de función de ~orr iente .~ 
X 
Figura 3.6-8. Bosquejo que muestra el flujo secundario el 
1 1 1 1 1 I I 1 
J I I t I l l l 
cual aparece alrededor de una esfera que gira a medida que se 
&sta lateral incrementa el número de Reynolds. 
6Véase, por ejemplo, el desamlio de O. Hassager en R.B. Bi, R.C. Armsbng y O. Hassager, Dynarnics 0f 
Polyme~ic Liquids, volumen 1, Wiley-lnterscience, Nueva York, 2a. ediciún (19871, pp. 31-33. También véase L. Landau y 
E.M. Lifshitz, FLuid Mechanies, Pergamon, Oxford, 2a. edición (19871, p. 65; y L.G. Leal, Liminar Flow and Convective 
Transport Processes, Butterworth-Heinemann, Boston (1992), pp. 180-181. 
110 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
$3.7 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN 
Supóngase que se han reunido datos experimentales, o se han tomado fotografías, 
del flujo que circula por cierto sistema que no puede analizarse resolviendo analíti- 
camente las ecuaciones de variación. Un ejemplo de tal sistema es el flujo de un flui- 
do a través de un medidor de orificio en un tubo (éste consta de un disco con una 
perforación en el centro, colocado en el tubo, con un dispositivo detector de la pre- 
sión corriente arriba y corriente abajo del disco). Ahora supóngase que queremos 
realizar un modelo a mayor (o menor) escala del sistema experimental, a fin de lle- 
var a cabo uno nuevo en el que ocurran exactamente los mismos patrones de flujo 
[aunque apropiadamente a mayor (o menor) escala]. Antes que nada se requiere 
contar con semejanza geornéfrica: es decir, las razones de todas las dimensiones del tu- 
bo y el disco perforado del sistema origina1 y del sistema a mayor (o a menor) esca- 
la deben ser las mismas. Además, se debe tener semejanza dimimica: es decir, los 
gmpos adirnensionales (como el número de Reynolds) en las ecuaciones diferencia- 
les y las condiciones límite deben ser los mismos. El estudio de la semejanza dinLi- 
mica se comprende mejor si las ecuaciones de variación se escriben, junto con las 
condiciones límite e inicial, en forma adimen~ional.',~ 
Para facilitar las cosas, restringimos el presente análisis a fluidos de densidad y 
viscosidad constantes, para los cuales las ecuaciones de variación son las ecuaciones 
3.1-5 y 3.5-7 
D 
p-v = -VB + ,Uv2v 
D t 
En la mayor parte de los sistemas de flujo es posible identificar los siguientes "fac- 
tores de escala": una longitud característica lo, una velocidad característica u,,, y una 
presión modificada característica Po = po + pgh, (por ejemplo, éstas podrian ser el 
diámetro de un tubo, la velocidad media de flujo, y la presión modificada en la sa- 
lida del tubo). Luego esposible definir variables adimensionales y operadores dife- 
renciales como sigue: 
.. v 9-Po 
v = - y=- 
: 9-T0 
o bien P= ---- 
vo pua2 P o lo 
Hemos sugerido dos opciones para la presión adimensional; la primera es conve- 
niente para altos números de Reynolds, y la segunda para bajos números de Rey- 
' G. Birkhoff, Hydmdymrnics, Dover, Nueva York (1955), capitulo IV. Nuestm procedimiento del análisis dimen- 
sional corresponde al "an6lisis inspecciona1 completo" de Birkhoff. 
RW. Powell, An Elemnitary Text in Hydraulics and Fluid Mechnnics, Macmillan, Nueva York (1951), capítulo Vnl; 
y la obra de H. Rouse y S. Ince, Histoy of Hydmulics, Dover, Nueva York (1963) tiene material histórico interesante rela- 
cionado con grupos adimensionales y las personas en cuyo honor se denominaran. 
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variaci6n 111 
nolds. Cuando las ecuaciones de variación en las ecuaciones 3.7-1 y 3.7-2 se vuelven 
a escribir en términos de las cantidades adimensionales, se convierten en 
o bien 
En estas ecuaciones adimensionales, los cuatro factores de escala lo, vol p y ,u apare- 
cen en un grupo adimensional. E1 recíproco de este gmpo recibe su denominación 
en honor de un famoso experto en dinámica de fluidos3 
Re = - = numero de Reynolds PnPl 
La magnitud de este grupo adimensional proporciona una indicación de la irnpor- 
tancia relativa de las fuerzas inercia1 y viscosa en el sistema de fluido. 
A partir de las dos formas de la ecuación de movimiento dadas en la ecuación 
3.7-9, es posible adquirir cierta perspectiva sobre las formas especiales de la ecua- 
ción de Navier-Stokes dada en 93.5. La ecuación 3.7-9a proporciona la ecuación de 
Euier de la ecuación 3.5-9 cuando Re -+ m, y la ecuación 3.7-913 proporciona la ecua- 
ción de flujo reptante de la ecuación 3.5-8 cuando Re << 1. Las regiones de aplica- 
bilidad de éstas y otras formas asintóticas de la ecuación de movimiento se 
considerarán con más detalle en 934.3 y 4.4. 
Grupos adimensionales adicionales pueden presentarse en las condiciones íni- 
cial y límite; dos que aparecen en problemas con interfases fluido-fluido son 
Fr = 3 = número de Fvoude [,',l 
La primera contiene la aceleración de la gravedad g, y Ia segunda contiene la ten- 
sión interfacial a, que puede entrar en las condiciones límite, como se describe en el 
problema 3C.5. Aún pueden aparecer otros grupos, como razones de longitudes en 
el sistema de flujo (por ejemplo, la razón de1 diámetro del tubo al diámetro de la per- 
foración en un medidor de orificio). 
Debe hacerse u n estudio experimental del flujo de un fluido newtoniano incompresible que 
pasa por un cilindro circular. Se desea conocer cómo los patrones de flujo y la distribución de 
Flujo transversal 
alrededor de un 
oilindro circulaP 
Véase la nota de pie de página en 92. 
William Froude (1810-1879) estudi6 en Oxford y trabajó como ingeniero civil en el campo de los ferrocarriles y 
buques de vapor. Algunas veces el número de Froude se define como la raíz cuadrada del p g o dado en la ecuación 
3.7-11. 
Moritz Weber (1871-1951) fue profesor de arquitectura naval en Beriín; otro gmpo adimensional que implica la 
tensión superficial es el número copilar, definido como Ca = [ ~ w ~ / u ] . 
Este ejemplo está adaptado de la obra de R.P. Feymnan, R.B. Leighton y M. Sands, The Feynrnan h tures un 
Physics, volumen 11, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1964),§41-4. 
93.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 113 
Si se tiene la habilidad suficiente para resolver las ecuaciones adimensionales de variación 
junto con las condiciones lfrnite adimensionales, las soluciones deben ser de la forma siguiente: 
Es decir, la velocidad adimensional y la presión modificada adimensional sólo pueden de- 
pender de los pardmetros adimensionales Re y L/D y de las variables independientes adi- 
mensionales X, y, i y t. 
Así se completa el análisis dimensional del problema. No se ha resuelto el problema de 
flujo, aunque se ha decidido sobre un conjunto conveniente de variables adimensionales pa- 
ra volver a plantear el problema y sugerir la forma de la solución. El andlisis muestra que si 
se desea catalogar los patrones de flujo para el flujo pasando por un cilindro, basta registrar- 
los (por ejemplo, fotogrAficamente) para una serie de números de Reynolds Re = D v d / p y 
valores L/D; así, es innecesario realizar investigaciones por separado sobre los papeles de L, 
D, v, p y p. Esta simplificación ahorra bastante tiempo y dinero. En caso de que se decida 
atacar numéricamente el problema, comentarios semejantes son validos para Ia tabulación de 
resultados num4ric0s.~B 
Los experimentos implican algunas diferencias necesarias respecto al análisis ante- 
rior: el tamaño de la corriente es finito e inevitablemente hay fluctuaciones de velo- 
cidad en el estado inicial y en el fluido corriente arriba. Estas fluctuaciones se 
extinguen con rapidez cerca del cilindro a Re < 1. Para Re que se aproxima a 40, el 
amortiguamiento de las perturbaciones se hace más lento, y más allá de este límite 
aproximado siempre se observa flujo no estacionario. 
Los patrones de flujo observados a grande varían bastante con el número de 
Reynolds, como se muestra en la figura 3.7-2; a Re << 1 el flujo es ordenado, como 
se observa en (a). A Re aproximadamente igual a 10, detrás del cilindro aparece un 
par de vórtices, como puede verse en (b). Este tipo de flujo persiste hasta alrededor 
de Re = 40, cuando aparecen dos "puntos de separación" a los cuales las líneas de 
flujo de corriente se separan de la superficie sólida. Además, el flujo se vuelve per- 
manentemente no estacionario; los vórtices comienzan a "despegarse" del cilindro 
para desplazarse corriente abajo. Con más aumento de Re, los vórtices se separan 
regularmente desde lados alternos del cilindro, como se muestra en (c); este arreglo 
regular de vórtices se denomina "caile de vórtice de von Kármán". A Re aún mayor 
se presenta un movimiento fluctuante desordenado (turbulencia) en la estela del ci- 
lindro, como se ve en (d). Por último, a Re próximo a lo6, aparece turbulencia co- 
rriente arriba del punto de separación, y la estela se estrecha bruscamente como se 
muestra en (e). Resulta evidente que el flujo no estacionario que se muestra en los 
tres últimos dibujos debe ser muy difícil de calcular a partir de las ecuaciones de va- 
riación. Es mucho más fácil observarlo experimentalmente y correlacionar los resul- 
tados en términos de las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24. 
Las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24 también pueden utilizarse para obtener un mode- 
lo a mayor escala a partir de un solo experimento. Supóngase que queríamos prede- 
cir los patrones de flujo alrededor de un cilindro de diámetro D1 = 5 pies, alrededor 
'Coluciones analíticas de este problema a un Re muy pequeno y L/D infinito se revisan en L. Rosenhead 
(cornpilador), Laminar Boundary inye~s, Oxford Univelsity Ress (1963), capitulo IV. Una caraderisbca importante de 
este problema bidimensional es la ausencia de una soluci6n de "flujo reptante". Así, el término [v . Vvl en la ecuación 
de movimiento debe incorporarse, incluso en el &te cuando Re + O (véase el probtema 3B.9). Esto contrasta de 
manera muy marcada con la situación de flujo lento alrededor de una esfera (v6anse 82.6 y 9 . 2 ) y para flujo alrededor 
de otros objetos hidiiensionales finitos. 
Para estudios por computadora del flujo a ldedor de un cilindro largo, véase EH. Harlow y J.E. From, 
Scientific American, 212,104-110 (19651, y S.J. Sherwin y G.E. Karniadakis, Compuf. Math., 123,189-229 (1995). 
114 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Punto de estancamiento P~nto de SePXaaón 
1 
Calle del 
(c) 
vórtice 
~e = 102 
de von 
Kármán 
Punto de se'paraa6n 
(4 Estela 
Re= 104 turbulenta 
f unto de separaa6n 
(e) Estela 
Re = lo6 turbulenta 
Figura 3.7-2 Tipos 
de comportamiento 
para el flujo 
alrededor de un 
cilindro, ilustrando 
losdiversos 
regímenes de flujo 
que se observan a 
medida que se 
incrementa el. número 
de Reynolds. Las 
regiones de flujo 
turbulento están 
Punto de separación sombreadas. 
del cual debe circular aire a una velocidad de aproximación (v,)~ = 30 pies/s, por 
medio de un experimento en un modelo a escala de diámetro DI, = 1 pie. Para tener 
semejanza dinámica es necesario elegir condiciones tales que Iie,, = ReI. Luego, si en 
el experimento a peqqrieña escala se usa el mismo fluido que en el sistema grande, 
de modo que pII/pII = pI/pI, se encuentra que la velocidad del aire requerida en el 
modelo a pequeña escala es = 150 pies/s. Con los números de Reynolds asi 
igualados, los patrones de flujo en el modelo y en el sistema a escala normal se ve- 
rán similares; es decir, son geométricamente semejantes. 
Más aún, si Re está en el intervalo de formación de vórtices periódicos, enton- 
ces el intervalo de tiempo adimensional f,v,/ D entre vórtices será igual en los dos 
sistemas. Así, 10s vórtices se extenderán 25 veces más rápido en el modelo que en 
el sistema a escala normal. La regularidad de los vórtices extendiéndose a números 
de Rejmolds que varían aproximadamente de 102 a lo4 se utiliza comercialmente pa- 
ra la medición precisa de flujo en grandes tuberías. 
- -vy* E - d i 4 
.%JBMPLO 3,$+&."- Se desea predecir el comportamiento del flujo en un gran tanque de aceite, sin desvladores, 
&?e k~&@,RT~#-?~," mostrado en la figura 3.7-3, como una función de la velocidad de rotación del impulsor. Se 
Flujo estacionario en un propone hacer esto por medio de experimentos con un modelo en un sistema geométrica- 
tanque agitado mente semejante más pequeño. Determinar las condiciones necesarias para que los estudios 
en el modelo proporcionen un medio directo de predicción. 
g3.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 115 
Figura 3.7-3 Perfiles medios a largo plazo de la forma de superficies libres, con Re, = Re,,. 
Se considera un tanque de radio R, con un impulsor centrado de diámetro global D. En el 
tiempo t = O, el sistema es estacionario y contiene liquido hasta una altura H por arriba del 
fondo del tanque. Inmediatamente después del tiempo i = O, el impulsor comienza a girar a 
una velocidad constante de N revoluciones por minuto. Se desprecia la resistencia de la at- 
mósfera sobre la superficie del liquido. La forma y la posición inicial del impulsor se descri- 
ben con la función Simp(r, e, Z) = 0. 
El flujo esta gobernado por las ecuaciones 3.7-1 y 3.7-2, junto con la condición inicial 
\ Alturas 
iniciales de 
los líquidos 
'f 
Hn 
1 
A 
HI 
7 
y las siguientes condiciones límite para la región líquida: 
,- 
- - - - + - - - - - - m & - - - - 
I-\\\,,,f; 
- 
-DI 
Z t 
fondo del tanque e n z = O y O s r < R , v = O (3.7-26) 
pared del tanque e n r = R , v = O (3.7-27) 
superficie del impulsor en S. (u, 0 - 27rNt, z) = O, v = 27rN18~ 
'"'P 
(3.7-28) 
interfase gas-líquido en Si,,@, 0, z, t) = O (n . v) = O (3.7-29) 
Las ecuaciones 3.7-26 a 3.7-28 son las condiciones sin deslizamiento y de impermeabilidad; la 
superficie S. (r, ti - 27rNt, z) = O describe la ubicación del impulsor después de Ni rotacio- -c nes. La ecuacion 3.7-29 es la condición de que no hay flujo de materia a través de la interfase 
gas-líquido, descrita por S,,(r, 0, z, t ) = 0, que tiene un vector normal unitario local n. La ecua- 
ción 3.7-30 es un balance de fuerzas sobre un elemento de esta interfase (o un enunciado de la 
continuidad de la componente normal del tensor IT de la densidad de flujo de cantidad de 
movimiento) donde se desprecian las contribuciones viscosas desde el lado del gas. Esta in- 
terfase es estacionaria inicialmente en el plano z = H, y a partir de entonces su movimiento se 
obtiene mejor por medición, aunque también puede pronosticarse en principio por la solu- 
ción numérica de este sistema de ecuaciones, que describe las condiciones iniciales y la ace- 
leración posterior Dv/Dt de cada elemento del fluido. 
Después, a las ecuaciones se las dota de carácter adirnensional usando las cantidades 
características vo = ND, lo = D y 9, = p,,, junto con coordenadas polares adimensionales 
116 Capítulo 3 Ecuaciones de variaci6n para sistemas isotémicos 
r = r / D, 0 y i = z / D. Luego, las ecuaciones de continuidad y movimiento aparecen como en 
las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9, con Re = D ~ N ~ / ~ . La condición inicial asume la forma 
y las condiciones M t e se vuelven: 
fondo del tanque 
pared del tanque 
superficie del impulsor en Sin,( i, 0 - 271 t , ¿) = O ir = 27r r8, (3.7-34) 
interfase gas-líquido en gint(i, 0, i; i) = O, (n . Y) = O (3.7-35) 
Para pasar de la ecuación 3.7-30 a la ecuación 3.7-36 se us6 la ley de viscosidad de Newton en 
la forma de la ecuación 1.2-7 (pero omitiendo el último término, como es apropiado para 1í- 
quidos incompresibles). También se us6 la abreviatura j = Vv + (Vv)* para el tensor de v e l ~ 
cidad de la deformación, cuyas componentes cartesianas adimensionales son y = ( q / d i i ) + 
(ai>,laXi). 
-S cantidades entre dobles corchetes son cantidades adimensionales conocidas. La fun- 
ción 5, ( i., 0 - 2vt, 2) es conocida para el diseño de un impulsor dado. La función descone 
cida S,,&, 8, í, i) puede medirse fotográficamente, o en principio puede calcularse a partir del 
planteamiento del problema. 
Por inspección de las ecuaciones adimensionales se encuentra que los perfiles de veloci- 
dad y de presión deben tener la forma 
para una forma y una ubicación dadas del impulsor. El lugar geométrico correspondiente de 
la superficie libre esta dado por 
donde Re = @ N p / p y Fr = D1\12/g. Para observaciones con ajuste de tiempo a i grande desapa- 
rece la dependencia respecto a i , así como también desaparece la dependencia respecto a 0 
para esta geometría de tanque axialmente simétrico. 
Estos resultados proporcionan las condiciones necesarias para el experimento propuesto 
con un modelo: los dos sistemas deben i) ser geométricamente semejantes (tener los mismos 
valores de R/D y H/D, la misma geometría y ubicación del impulsor), y ii) operar a los mis- 
mos valores de los números de Reynolds y de Froude. La condición ii) requiere que 
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 117 
donde se usa la viscosidad cinemática u = p /p . Por regla general, ambos tanques operarán en 
el mismo campo gravitacional gI = gIf, de modo que la ecuación 3.7-41 requiere 
Al sustituir esta ecuación en la ecuación 3.7-40 se obtiene el requerimiento 
Éste es un resultado importante; a saber, que el tanque más pequeño (11) requiere un fluido 
de menor viscosidad cinemática para mantener la semejanza dinámica. Por ejemplo, si se usa 
un modelo a escala con D, = +D,, entonces en el experimento a menor escala es necesario usar 
un fluido con viscosidad cinemiitica vII = vi/%%. Resulta evidente que los requerimientos pa- 
ra la semejanza dinámica son más restrictivos aquí que en el ejemplo previo, debido al grupo 
adimensional adicional Fr. 
En muchos casos prácticos, la ecuación 3.7-43 demanda valores bajos inalcanzables de blr 
Entonces no es posible hacer un modelo a una escala mayor exacta a partir de un simple ex- 
perimento con un modelo. No obstante, en algunas circunstancias puede saberse que el efec- 
to de uno o más grupos adimensionales es pequefio, o incluso predecible a partir de la 
experiencia con sistemas semejantes; en tales situaciones sigue siendo posible hacer un mo- 
delo a mayor escala aproximada a partir de un simple e ~ ~ e r i m e n t o . ~ 
Este ejemplo muesfra la importancia de incluir las condiciones limite en un análisis di- 
mensional. Aqui el número de Froude sólo apareció en la condicibn límite de la superficie li- 
bre en la ecuación 3.7-36. No utilizar esta condición puede dar por resultado la omisión de la 
restricción en la ecuación 3.7-42, y podria eIegirse erróneamente un = vI. Si ocurre esto, con 
Ren = ReI, entonces el número de Froude en el tanquemás pequeño sería demasiado grande, y 
el vórtice sena demasiado profundo, como se muestra. son la línea punteada en la figura 3.7-3. 
Demostrar que el gradiente axial medio de la presión modificada 9 para flujo reptante de un 
fluido de p y p constantes a través de un tubo de radio R, relleno uniformemente en una lon- 
flujo reptante en un gitud L >>- Dp con partículas sólidas de tamaiio característico D, << R, es 
tubo de relleno 
Aquí, (. . e ) denota un promedio sobre una sección transversal del tubo dentro de la longitud 
rellena L, y la función K(geom1 es una constante para una geometría dada del lecho (es decir, 
una forma y una disposición dadas de las partículas). 
Se eIigen Dp como la longitud caracteristica y {u,) como la velocidad caracteristica. Entonces 
el movimiento intersticial del fluido esta determinado por las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9b, con 
= V/ {U,) y 9 =(P - 9 )D / p {U,), junto con condiciones sin deslizamiento sobre las su- 
0 P 
Para una inirduccion a los métodos para hacer modelos a mayor escala con semejanza dinámica incompleta, 
véase R.W. Poweli. An Elementay Text in Hydrnulics and Fivid Mechanics, Macmiiian, Nueva York (1951). 
118 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
perficies del sólido y la diferencia de presión modificada A(Y) = (Po) - (LPL). Las solucio- 
nes para+ y @ en flujo reptante ( D p (u,) p l P + O ) dependen en forma correspondiente sólo 
de F, 0 y Z para una disposición y una forma dadas de una partícula. Entonces el gradiente 
axial medio 
depende sólo de la geometría del lechg en la medida en que R y L. sean grandes respecto a Dp. 
Al insertar la expresión anterior para @ , de inmediato se obtiene la ecuación 3.7-44. 
l. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,)\, en la ecuación 3.1-2? ¿Cuál es el signifi- 
cado fisico de (V . v)? ¿Y de (V . pv)? 
2. Hacer un balance de materia sobre un elemento de volumen (Ar)(rAO)(Az> para deducir la 
ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas. 
3. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,v,)[, en la ecuación 3.2-2? ¿Cuál es el sig- 
nificado físico de [V .pw])? 
4. iQué ocurre cuando f se iguala a la unidad en Ia ecuación 3.5-4? 
5. La ecuación B en la tabla 3.5-1 no está restringida a fluidos con densidad constante, aun cuan- 
do p esté a la izquierda de la derivada sustancial. Explicar este hecho. 
6. En el problema de flujo anular tangencia1 en el ejemplo 3.6-3, ¿es de esperar que los perfiles 
de velocidad relativos al cilindro interior sean iguales a las dos situaciones siguientes: i) el 
cilliidro interior está fijo y el cilindro exterior gira con velocidad angular a; ii) el cilindro exte- 
rior está fijo y el cilindro interior gira con velocidad angular -O? Se supone que ambos flu- 
jos son laminares y estables. 
7. Supóngase que, en el ejemplo 3.6-4, hay dos líquidos inmiscibles ei i el vaso de precipitado 
giratorio. ¿Cuál sería el perfil de la interfase entre las dos regiones líquidas? 
8. El sistema analizado en el ejemplo 3.6-5, ¿seria util como viscosimetro? 
9. En la ecuación 3.6-55, explicar por medio de un dibujo trazado cuidadosamente la elección de 
los límites en la integración y el significado de cada factor en el primer integrando. 
10. ¿Qué factores deben tenerse en cuenta al diseñar un tanque mezclador que se usará en la 
Luna usando 10s datos de un tanque semejante en la Tierra? 
PROBLEMAS 
3A.1 Momento de torsión necesario para hacer girar un 
cojinete de fricción (figura. 3A.1). Calcular el moniento de 
torsión, en lbi. pie, y la potencia en caballos que se necesi- 
tan para hacer girar ei eje del cojinete de fricción que se 
muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción 
sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosi- 
dad del Iubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lb,/pie3. 
Despreciar el efecto de la excentricidad. 
Resptiestos: 0.32 lbi. pie; 0.012 hp = 0.009 kW 
Figura 3A.1 Cojinete 
de fricción. 
Problemas 119 
3A.2 Pérdida por fricción en cojinetes? Cada una de las 
dos hbfices en una gran embarcación de motor es impulsa- 
da por un motor de 4000 hp. EI eje que conecta el motor y 
la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de 
cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre 
de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una 
viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie 
de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que 
se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar 
el efecto de la excentricidad. 
jA.3 Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la 
desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago 
superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un 
barómetro portátil indica una presión de 750 mm Hg. Usar 
la ecuación de movimiento para calcular la presión 
barornétrica en la cima del Government Peak (2023 pies 
sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas 
Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel de lago 
es 70% y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a 
raz6n constante de 3°F por 1000 pies. La aceleración de la 
gravedad en la orilla sur de1 lago Superior es aproximada- 
mente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud 
puede despreciarse para este problema. 
Respuesta: 713 mm Hg = 9.49 X 104 N/m2 
haciendo girar una paila de resina plástica de endure- 
cimiento lento a velocidad constante hasta que se endurezca. 
Calcular la velocidad de rotación necesaria para producir 
un espejo de distancia focal f = 100 cm. La distancia focal es 
la mitad del radio de curvatura en el eje, que a su vez está 
dado por 
Respuesta: 21.1 rpm 
3A.6 Diseño de un tanque agitado a mayor escala. Se 
realizarán experimentos con un tanque agitado a menor 
escala para diseñar una instalación geométricarnente seme- 
jante con dimensiones lineales 10 veces más grandes que el 
modelo a escala. El fluido en el tanque grande será un 
aceite pesado con p = 13.5 cp y p = 0.9 g/cm3. La velocidad 
del impulsor del tanque grande debe ser de 120 rpm. 
a) Determinar la velocidad del impulsor para el modelo a 
menor escala, en concordancia con los criterios para mode- 
lado a mayor escala dados en el ejemplo 3.7-2. 
b) Determinar la temperatura de operación del modelo si 
como fluido agitado se usará agua. 
Respuestas: a) 380 rpm, b) T = 60°C 
3A.7 Arrastxe de aire durante el drenado de un tanque 
3A.4 Determinación de la viscosidad con un viscosi- (figura 3A.í?. Se conctmirá un tanque de 
metro de cilindro (un viscosímetro de Couette-Hatschek o de melaza de 60 pies de diámetro con una tubería de 
de McMichaeI). Se desea medir las viscosidades de solu- desagiie de pie de diámetro, a pies de la pared 
ciones de sacarosa con una concentración aproximada de 60% lateral del tanque y extensi6n vertical hacia arriba 
por peso a aproximadamente 200C un viscosímeho de desde el fondo del tanque es de 2 pie. Por experiencia se 
cilindro que se muestra en la figura 3.6-1. Este instm- sabe que a medida que la melaza yale del tanque, se forma 
mento consta de un nlindro interior de 4.000 cm de diámetro un vórtice, y a medida que desciende el nivel del liquido, 
rodeado por un cilindm giratorio de 4.500 cm de este vórtice termina por llegar a la tubería de salida, permi- 
La I0qik id es 4.00 cm. La viscosidad de una tiendo la succión de aire por la melaza. Es necesario evitar 
solución de sacarosa al 60% a 20°C es de unos 57 cp y su den- este fenómeno. 
sidad es aproximadamente 1.29 g/crn3. Para predecir el nivel mínimo de liquido al que puede 
Con base en la anterior parece posible que evitarse este arrastre de aire, a una velocidad de vaciado de 
10s efectos finales s e r b importantes, y por consiguiente se m gal/min, se ha propuesto un estudio con un modelo en 
ha decidido calibrar el viscosímetro haciendo mediciones en 
soluciones conocidas, cuya viscosidad sea aproximadamente 
igual a la de las soluciones de sacarosa desconocidas. 
Determinar un valor razonablepara el momento de 
torsión que debe usarse en la calibración si las mediciones 
de dicho momento son confiables hasta un error de 100 
dinas/cm y la velocidad angular puede medirse con una 
confiabilidad de 0.5%. iCuál es la velocidad angular resul- 
tante? 
3A.5 Fabricación de un espejo parabolico. Se ha pro- 
puesto elaborar el soporte para un espejo parabolico, 
' Este problema es una conh5bución del profesor E.J. Crosby, de la ~i~~~~ 3 ~ ~ 7 ~~~~~d~ de un tanque de 
Universidad de Wisconsin. 
120 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
el que se use un tanque más pequeño. Por conveniencia, 
como fluido en el estudio del modelo se usará agua a 68°F 
Determinar las dimensiones del tanque y las condi- 
ciones de operación idóneas para el modelo si la densidad 
de la melaza es 1.286 g/cm3 y SU viscosidad es 56.7 cp. 
Puede suponerse que, en el tanque a escala real o en el 
modelo, el perfil del vórtice depende sólo de la cantidad de 
liquido en el tanque y la velocidad de salida; es decir, que 
el vórtice se establece muy rápido. 
3 Flujo entre cilindros coaxiales y esferas concéntri- 
cas. 
aparato, es necesario entender el flujo en un ducto cuya sec- 
ción transversal es un triángulo equilátero. LO anterior se 
logra más fácilmente instalando un sistema de coordenadas 
como se muestra en la figura 3B.2b. 
a) Comprobar que la distribución de velocidad para el flujo 
laminar de un fluido newtoniano en un ducto de este tipo 
está dada por 
b) A partir de la ecuación 38.2-1 encontrar la velocidad a) El espacio entre dos cilindros coaxiales está lleno de un 
media, la velocidad máxima y la velocidad de flujo rnásico. fluido incompresible a temperatura constante. Los radios 
de las superficies mojadas interior y exterior son KR Y R, 
respectivamente. Las velocidades angulares de rotaaón de Respuestas: b) (v,) = (P*-P,)H~ - 9 -- 
60p.L Vz,máx; los cilindros interior y exterior son 0, y OO. Determinar la 
distribución de velocidad en el fluido y los momentos de 
W = &t90 - p r , ) f f 4 p torsión sobre los dos cilindros necesarios para mantener el 18OpL 
movimiento. 
b) Repetir el inciso U para dos esferas concéntricas. 33.3 Flujo laminar en un ducto cuadrado. 
Respuestas: a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud 
L y su sección transversal es cuadrada, limitada por las rec- 
tas x = 2 B y y = +B. Un colega comenta al lector que la dis- 
l-K tribución de velocidad está dada por 
3B.2 Flujo laminar en un ducto triangular (figura 
3B.2).2 En la figura 3 B . b se muestra un tipo de intercambia- 
dor de calor compacto. Para analizar el desempeño de este 
Figura 3B.2 
a) Elemento de un 
(0 ) intercambiador de >.., 
calor compacto, 
que muestra los 
canales de una 
sección transversal 
triangular; 
b) sistema de 
y =*' coordenadas para 
un ducto en forma 
de triángulo 
(b) equilátero. 
Debido a que este colega a veces le ha malinformado en el 
pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado. 
¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la 
ecuación diferencial relevante? 
b) Según el artículo de revisión escrito por Berker? la 
velocidad de flujo másico en un ducto cuadrado está dada 
Por 
Comparar el coeficiente en esta expresión con el coeficiente 
que se obtiene a partir de la ecuación 3B.3-1. 
3B.4 Flujo reptante entre dos esferas concéntricas (figu- 
ra 3B.4). Un fluido newtoniano muy viscoso circula en el 
espacio entre dos esferas concéntricas, como se muestra en 
la figura. Se desea encontrar la velocidad del flujo cn el sis- 
tema como una función de la diferencia de presión impues- 
ta. Despreciar los efectos finales y postular que u, depende 
- R. Berker, Handbucir der Physik, voluinen VIII/2, Springer, Berlíi~ 
Uli planteamiento alternativo del perfil develocidad se encuentra (1963); vPanse las pp. 67-77 para flulo laminar en conductos con secciones 
en L.U. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a. hansversales no circulares. También véase W.E. Stewart, AIChE Jouri~ai, 8, 
edición (1987), p. 54. 425-428 (1962). 
Problemas 121 
Figura 3B.4 Flujo reptante 
en la región entre dos 
esferas concéntricas 
estacionarias. 
El disco en z = B 
La tensión superficial gira con velocrdad 
hace que el fluido con & angular 0 viscosidad (L y densidad El disco en p se mantenga en su sitio z = O está fijo Ambos discos 
tienen radios R 
y R > r B 
Figura 3B.5 Viscoshetro de discos paralelos. 
E6 ,, \Salida de fluido 
una fórmula para deducir la viscosidad a partir de estas 
mediciones. Supóngase flujo reptante. 
de r y O, con las otras componentes de la velocidad 
@wal a cero. 
a") Usar la ecuación de continuidad para demostrar que u, 
den g = ~ ( r ) , donde u(r) es una función de r por determinar. 
3" - ' 
b) Escribir la componente 6 de la ecuación de movimiento 
para este sistema, suponiendo que el flujo es suficiente- 
niente lento, de modo que el término [v - Vv] es desprecia- 
ble. Demostrar que lo anterior da 
r 
o=- - -+p l doP [ l (r2%)] (38.4-1) 
r ae sen O r' dr 
ihiih 
h) Separar lo anterior en dos ecuaciones 
f , ? 
donde B es la constante de separaci611, y resolver las dos 
eduaciones para obtener 
I 
a) Postular que para valores pequeños de R los perfiles de 
velocidad tienen la forma v, = O, u, = O y ve = rf(z); ¿por qué 
parece razonable esta forma para la velocidad tangencia¡? 
Postular además que 9 = P(r, z). Anotar las ecuaciones 
simplificadas de continuidad y movimiento resultantes. 
b) A partir de la componente 6 de la ecuación de movi- 
miento, obtener una ecuación diferencial para ftz). Resolver 
la ecuación paraflz) y evaluar las constantes de integración. 
Al final, esto lleva al resultado ve = Ckr(z/B). ¿El lector 
hubiera podido adivinar este resultado? 
c) Demostrar que la ecuación deseada que funciona para 
deducir la viscosidad es p = 2BTz/dlR4. 
d) Analizar las ventajas y las desventajas de este instru- 
mento. 
38.6 Flujo axial circulante en tubos concéntricos (figu- 
ra 3B.6). Una varilla de radio KR se mueve hacia arriba con 
velocidad constante vo a través de un recipiente cilíndrico 
de radio interior R que contiene un líquido newtoniano. El 
líquido circula en el cilindro, moviéndose hacia arriba a lo 
largo de la varilla central móvil y hacia abajo a lo largo de la 
pared fija del recipiente. Encontrar la distribución de velo- 
cidad en la regionanular, lejos de Ias perkirbaciones finales. 
U ( T ) = '"1-g2)R [ ( l - ~ ) + ~ ~ - q ) ] (38.4-5) 
i; 4p ln cot (E / 2) 
La vanlla de radio KR 
S5 "' se mueve hana arriba 
donde y Y2 son los valores de la presión modificada a 
f = E y 6 = .rr - E , respectivamente. 
d) Usar los resultados anteriores para obtener la velocidad 
de flujo másico 
/ - < ~ ( 9 ~ - - B , ) R ~ ( ~ - K ) ~ ~ (3B.4-6) 
w = El cilindro de longltud L 
12p in C O ~ (E / 2) I I hene un radio interior 
m. 
4 ;$ R (con L >> R) 
3B.5 Viscosimeho de discos paralelos (figura 3B 5). Un 
fluido, cuya viscosidad debe medirse, se coloca en el inter- 
valo de espesor B que hay entre los dos discos de radio R. 
Ce mide e1 momento de torsión T, necesario para hacer 
girar el disco superior a una velocidad angular 0. Obtener 
Figura 3B.6 Flujo circulante 
producido por una varilla que 
se mueve axialmente en una 
región anular cerrada. 
122 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Flujos semejantes a éste ocurren en los seHos de alguna 
maquinaria de vaivén o alternativa; por ejemplo, en el espa- 
cio anular entre anillos de pistones. 
a) Primero, considerar el problema en que la región anular 
es bastante estrecha; es decir, donde K es apenas menor que 
la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por una 
delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura. 
Demostrar que en este límite la distribución de velocidad 
está dada por 
donde 4 = r / R . 
b) Despubs, trabajar el problema sin la suposición de la 
rendija delgada. Demostrar que la distribución de veloci- 
dad estádada por 
3B.7 Densidades de flujo de cantidad de movimiento 
para flujo reptante dentro de una ranura (figura 3B.7). Un 
líquido newtoniano incompresible circula muy lentamente 
hacia el interior de una ranura muy delgada de espesor 2B 
(en la dirección y) y ancho W (en la dirección 2). La velocidad 
de flujo másico en la ranura es w. A partir de los resultados 
del problema 2B.3 puede demostrarse que la distribución 
de velocidad dentro de la ranura es 
en sitios no muy próximos a la entrada. En la región fuera 
de la ranura, las componentes de velocidad para flujo rep- 
tanle son 
Las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.7-4 son sólo aproximadas en la 
región cerca de la entrada de la ranura para ambos x r O y 
x 5 O. 
a) Encontrar las componentes de la densidad de flujo de 
cantidad de movimiento convectivo p w dentro y fuera de la 
ranura. 
b) Evaluar la componente xx de pvv en x = -a, y = 0. 
C) Evaluar la componente xy de pvv en x = -a, y = + a. 
d) ¿El flujo total d e energía cinética a través del. plano 
x = -a es igual al flujo total de energía cinética a través de 
la ranura? 
e) Comprobar que las distribuciones de vebcidad dadas en 
las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.74 satisfacen la relación (V . v) = 0. 
f ) Encontrar el esfuerzo normal T~~ e ~ e l plano y = O y tam- 
bi6n en la superficie sólida en x = 0. 
g) Encontrar el esfuerzo cortante T~~ en la superficie sólida 
en x = O. LES sorprendente este resultado? Para comprender 
el resultado, Les de ayuda trazar el perfil de velocidad vy 
contra x en algún plano y = a? 
33.8 Distribución de velocidad para flujo reptante 
hacia una ranura (figura 3B.7)> Se desea obtener la distribu- 
ción de velocidad dada para la región corriente arriba en el 
problema previo. Se postula que ve = O, u, = O, v, = v,(r, O ) 
y 8 = P(Y, 8). 
a) Demostrar que la ecuación de continuidad en coorde- 
nadas cilíndricas da u, = P @ ) / r , dondeJ(8) es una función de 
0 para la cual d f / d 8 = O en 8 = O y f = O en 0 = x /2 . 
b) Escribir las componentes r y 8 de la ecuación de 
movimiento de flujo reptante, e insertar la expresión para 
f(0) del inciso a). 
C) Diferenciar la componente r de la ecuaci6n de movimien- 
to respecto a 0 y la componente 0 respecto a r. Demostrar 
que lo anterior conduce a 
d) Resolver esta ecuación diferencial y obtener una expre- 
sión para f (0 ) que contenga tres constantes de integración. 
Adaptado de R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics 0f 
Figura 3B.7 Flujo de líquido hacia una ranura desde una Poiymeric Liquids, volumen 1, wiley-~nterscience, Nueva York, 2a. edición 
región semiinfinita x < 0. (19871, pp. 42-43. 
Problemas 123 
&. &valuar las constantes de integración usando las dos b) Demostrar que la componente x de la herza por unidad 
gQndicione~ limite en el inciso a) y el hecho de que la veloci- de área ejercida por el líquido sobre el cilindro es 
+dade flujo mdsico total a través de cualquier superficie 
debe ser igual a W . Esto da - plr-R cos 8 + r,I,,, sen O (30.9-5) 
C) Obtener la fuerza F, = 2C7fLpvm ejercida en la dirección 
(3B'8-2) x sobre una longitud L del cilindro. 
0 ~ ~ , , u é s , a partir de las ecuaciones de movimiento del 3B.10 Flujo radial entre discos paralelos (figura 38.10). 
I;;C-co b), obtener 9(r , 0) como Una parte de un sistema de lubricación consta de dos dis- 
cos entre los cuales un Iubricante fluye radialmente. El flujo 
9(r,0)=9., -% cos 20 se lleva a cabo debido a una diferencia de presión modifi- 
~ w ~ r (3B'8-3) cada Ol - g2 entre los radios interior y exterior rl y r2, 
respectivamente. 
í$uál es el significado físico de Y,? 
I a) Escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento 
g) Demuestre que el esfuerzo normal total ejercido sobre la para este sistema de flujo, suponiendo flujo newtoniano en 
superficie sólida en 0 = ~ / 2 es estado estacionario, laminar e incompresible. Considere 
6 sólo la región rl 5 r 5 r2 y un flujo dirigido radialmente. 
B. 2 W J ( p + ~ e e ) f e = ~ / 2 =pm +- (3B.8-4) b) Demostrar cómo la ecuación de continuidad permite hí 
,), 
TW~Y' simplificar la ecuación de movimiento para obtener 
&) Luego, evalúe re, en la misma superficie sólida. 
$2 dop 1 d24 
i) Demuestre que el perfil de velocidad obtenido en la ecuación +p-- (3B.10-1) -'F=-dr í-dz2 
3B.8-2 es el equivalente de las ecuaciones 3B.7-2 y 3B.7-3. 
donde Q = ni, es una función sólo de z. ¿Por qué 4 es inde- 
3B.9 Fluio transversal Iento alrededor de un cilindro pendiente de r? 
(véase la figura 3.7-1). Un fluido newtoniano incompresible 
C) Puede demostrarse que no existe solución para la se aproxima a un cilindro estacionario con una velocidad 
ecuación 33.10-1 a menos que se omita eI término no lineal uniforme estacionaria u, en la dirección x positiva. Cuando 
que contiene a 4. La omisión de este término corresponde a las ecuaciones de variación se resuelven para flujo reptante, 
la "suposición de flujo reptante". Demostrar que para flujo se encuentran las siguientes expresiones5 para la presión y 
la velocidad en la vecindad inmediata del cilindro (no son reptante, la ecuación 3B.10-1 puede integrarse respecto a r 
para obtener válidas a grandes distancias): 
tl, COS 8 
p(r,O)=p= -CPp- pgr sen 0 
Y 
d) Demostrar que al integrar aún más respecto a z se 
a, = Cv.[f h(~) R 4 4 r (E)'] COSO (3B.9-2) obtiene 
Aquí p, es la presión lejos del cilindro en y = O y 1 Entrada de fluido 
C = 
2 (3B.9-4) 
ln(7.4 / Re) 
con el número de Reynolds definido como Re = 2 R v d / p . 
z = +b 
a) Usar estos resultados para obtener la presión p, el esfuer- - - - - - - z = -b 
zo cortante rro y el esfuerzo normal r,, en la superficie del 
cilindro. 
r = r1 
5Véase G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Figura 33.1° Flujo radia1 hacia afuera en el entre dos 
UNversity PESS (19671, pp. 244-246,261. discos circulares paralelos. 
124 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
e) Demostrar que la velocidad de flujo másico es Bernoulli para Y1 - Y,, la diferencia entre las presiones 
modificadas corriente arriba y corriente abajo de la contrac- 
f ) Bosquejar las curvas P(r) y v,(r, z). 
ción? ¿Este resultado coincide con observaciones experi- 
(38.10-4) mentales? 
b) Repetir la deducción para flujo horizontal isotérmico de 
un gas ideal a través de una contracción repentina. 
3B.11 Flujo radial entre dos cilindros coaxiales. Consi- 
38.14 Ecuación de Torricelli para el vaciado de un 
dérese un flujo incompresible, a temperatura constante, que tanque (figura 38.14). Un gran tanque descubierto se llena 
fluye radialmente entre dos envolturas cilíndricas porosas 
de un líquido hasta una altura h. Cerca del fondo del tanque 
con radios interior y exterior KR y R. hay un orificio que permite la salida del fluido a la atmós- 
a) Demostrar que la ecuación de continuidad conduce a fe& Aplique 1a"ec;ación de Bernoulli a una línea de co- 
vr = C / r , donde C es una constante. rriente que se extiende desde la superficie del líquido en la 
parte superior hasta un punto en la corriente de salida justo b) Simplificar las componentes de la ecuación de movi- fuera del recipiente. Demuestre que esto conduce a una 
miento a fin de obtener las siguientes expresiones para la 
velocidad de salida =*h. Esta expresión se conoce 
distribución de presión modificada: como ecuación de Torricelli. 
d 9 
Para obtener este resultado es necesario suponer 
3 . 1 1 - 1 incompresibilidad (lo que suele ser razonable para casi 
dr d 0 dz todos los líquidos) y que la altura de la superficie del fluido 
C) Integrar la expresión anterior para dB/dr para obtener 
d) Anotar todas las componentes diferentes de cero de T 
para este flujo. 
e) Repetir el problema para esferas concéntricas. 
3B.12 Distribución de presión en fluidos incompresi- 
bles. Penélope está mirando fijamente un vaso de precipi- 
tado lleno de un líquido, que para todos los propósitos 
prácticos puede considerarse como incompresible y cuya 
densidad es po. Ella le dicea usted que está intentando com- 
prender cómo la presión del líquido varia con la profundi- 
dad. Tomó el origen de coordenadas en la interfase 
líquido-aire, con el eje x positivo apuntando lejos del Iíqui- 
do. Ella comenta lo siguiente: 
"Si simplifico la ecuación de movimiento para un liqui- 
do incompresible en reposo, obtengo O = - d p / d z - ~ ~ y . 
Puedo resolver esto y obtener p = p,,, - p d z . Eso parece 
razonable: la presión crece al aumentar la profundidad." 
"Pero, por otra parte, la ecuación de estado para cual- 
quier fiuido es p = p(p, T), y si el sistema está a ternperatu- 
ra constante, esto precisamente se simplifica a p = p(p). Y, 
como el. fluido es incompresible, p = p(po), y iP debe ser una 
constante en todo el fluido! ¿Cómo es posible?" 
Resulta evidente que Penélope requiere dc ayuda. 
Proporcione una explicación Útil. 
cambia tan le,ntamente con el tiempo, que la ecuación de 
Bernoulli puede aplicarse en cualquier instante (suposición 
de estado casi estacionario). 
Superficie del 
liquido en la cual 
"1 = 0 Y P = Patm 
Línea de flujo de comente típica 
'2" Salida de fiuido 
cn la cual 
"2 = U~aciado Y P = Patm 
Figura 38-14 Vaciado del fluido de un tanque. Los puntos 
"1" y "2" están sobre la misma línea de flujo de corriente. 
3B.15 Forma de una superficie libre en flujo anular tan- 
gencial. 
a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos 
cilindros verticales de radios KR y R, y el liquido está abier- 
to a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuan- 
do el. cilindro interior gira con velocidad angular fli y el 
cilindro exterior permanece fijo, la superficie libre del líqui- 
do tiene la forma 
38-13 Flujo de un fluido a través de una contracción 
repentina. 2 ( [ - 2 +41n [- f2 ) (38.15-1) 
a) Un liquido incompresible fluye a través dc una contrac- 
ción repentina de un tubo de diámetro DI a otro hlbo de diá- donde zR es la altura del liquido en la pared del cilindro 
metro más pequeño D2. ¿Qué predice la ecuación de exterior, y f = r/R. 
Problemas 125 
p - - - pp 
b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y e l 
cilindro exterior girando a una velocidad angular Q,. 
,Demostrar que la forma de la superficie del líquido es 
e $ ' 
i5) Trazar un dibujo en el que se comparen estas dos formas 
;ie la superficie del líquido. 
3&.16 Flujo en una ranura con flujo transversal uni- 
/ / ' gome (figura 3B 16). Un fluido circula en la dirección x posi- 
tiva a través de un largo ducto plano de longitud L, ancho 
w y espesor B, donde L >> W >> B. El ducto tiene pare- 
des porosas en y = O y y = B, de modo que puede mante- 
&rse un flujo transversal constante, con v - 
:( 
y - ., una 
qonstante, en todas partes. Flujos de este tipo son impor- 
tantes en relación con procesos de separación en los que se 
utiliza el efecto de difusión por barrido. Al controlar cuida- 
dosamente el flujo transversal es posible concentrar los cons- 
ifituyentes más grandes (moléculas, partículas de polvo, 
etcétera) cerca de la pared superior. 
a) Demostrar que el perfil de velocidad para el sistema está 
dado por 
medio de la ranura, con las paredes porosas situadas en 
y = 2 b. Su respuesta al inciso a) es 
donde a = bvop/p y 77 = y / b ¿Este resultado es equivalente 
a la ecuación 3B.16-l? 
3C.1 Viscosímetro de compresión de discos paralelos6 
(figura 3C.I). Un fluido llena por completo la región entre 
dos discos de radio R. El disco inferior está fijo, y el disco 
superior se hace aproximar muy lentamente al inferior con 
una velocidad constante vo, empezando desde una altura 
Ho (y Ho << R). La altura instantánea del disco superior es 
H(t). Se desea encontrar la fuerza necesaria para mantener 
la velocidad vo. 
Éste es un problema intrínsecamente bastante cornpii- 
cado de flujo en estado estacionario. No obstante, puede 
obtenerse una solución aproximada fitil al hacer dos sim- 
plificaciones en las ecuaciones de variación: i) se supone 
que la velocidad vo es tan lenta que pueden omitirse todos 
los términos que contienen derivadas respecto al tiempo; 
ésta es la denominada suposición de "estado casi esta- 
cionario"; ii) se usa el hecho de que % << R para despreciar 
bastantes términos en las ecuaciones de variación por medio 
$d 
( B , - P ~ ) B ~ I y e * ~ / ~ - l de argumentos de orden de magnitud. Nótese que la veloci- 
Vr = - --- /AL A ( B 8 - 1 ) 
(3B.16-1) dad de disminución del volumen del fluido entre los discos 
es rR2u,, y que esto debe ser igual a la velocidad del flujo 
donde A = Buo p/ p. 
b) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la direc- 
ción x es 
7% , 
8 ! 
c) Verificar que los resultados anteriores se simplifican a los 
del problema 2B.3 en el límite de que no hay flujo transver- 
sal en absoluto (es decir, A -t O). 
d) Un colega también ha resuelto este problema, pero 
tomando un sistema de coordenadas con y = O en e1 plano 
Figura 3B.16 flujo en una rendija de longitud L, ancho 
espesor B. Las paredes en y = O y y = B son porosas, y el 
fluido circula en la dirección y con veIocidad uniforme 
"" = U(,. 
que sale de entre Ios discos, que es 2~rRH(v,)l,,~. Por tanto, 
I I 
El disco superior se , 
mueve lentamente I I I 
hacia abajo a velocidad I 1 
constante vg j - + 
1 Z t ' H ( f ) 
y-í-17 El disco inferior 
est.5 fijo 
Figura 3C.1 Flujo comprimido en un viscosírnetro de 
compresión de discos paralelos. 
W Y 
J.R. Van Wazer, J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E. Colwell, Vistos@ nnd F~OW 
Measurernent, Wiley-Interscience, Nueva York (19631, pp. 292-295. 
126 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
Ahora argumentamos que vr(r, z) será del. orden de magni- 
tud de ( ~ , ) l , = ~ y que v,(r, Z) es del orden de magnitud de vo, 
de modo que 
Este resultado puede usarse para obtener la viscosidad a 
V , = (R/Hlv& v, = -vo (3C.1-2,3) 
partir de mediciones de la fuerza y la velocidad. 
y entonces V Z I << Ahora es posible estimar el orden de f) Repetir el para un virosímetro que es operado 
magnitud de varias derivadas como sigue: a medida que r de tal forma que una burbuja circular centrada de líquido 
va de o a '' la de va desde cero hasta nunca llena completamente el espacio entre las dos lámi- 
aproximadamente (X/H)vo. Este tipo de razonamiento per- nas. Sea V e1 volumen de la muestra y obtener 
mite obtener 
( R / H)vo -O - vo -= -- 
dr X - O H 
8v, (-v0)-0 - g) Repetir el análisis para un viscosímetro que es operado - "0 , etc. 
dz H-O H 
(3C'16) con una fuerza constante aplicada F o Entonces, la viscosi- 
dad debe determinarse midiendo H como una función del 
a) Use el análisis de orden de magnitud que acaba de deli- tiempo, y la velocidad de la lamina superior no es una cons- 
nearse para demostrar que la ecuación de continuidad y la tante. Demostrar que 
componente r de la ecuación de movimiento se vuelven 
(despreciando 8,) l - I ++ 4 F t (3C.1-16) 
1 d dv [FJ(t)l2 H: 3.rr@ continuidad: --(ni,)+-=O (3C.1-6) 
r dr az 3C.2 Esfuerzos normales en superficies sólidas para flui- 
movimiento: 
con las condiciones límite 
dos compresibles. Extender el ejemplo 3.1-1 a fluidos com- 
(3C'1-7) preiibles. Demostrar que 
(3C.Z-8) 
Analizar el significado físico de este resultado. 
C.L. 2: en z = H(t), v, = O, v, = v a (3C.l-9) 
3C.3 Deformación de una linea de fluido (figura 3C.3). Un 
C.L. 3: en r = R, p = patm fluido está contenido en el espacio anular entre dos cilin- (3C.1-10) dros de radios K R Y R. El cilindro interior se hace girar con - 
velocidad angular constante de fli. Considérese una línea b) A partir de las ecuaciones 3C.1-7 a 3C.1-9, obtener 
de partículas del fluido en el plano z = O que se extiende 
desde el cilindro interior hasta el cilindro exterior y que 
Vr = L ( * ) z ( z - H ) (3C.1-11) inicialmente se encuentra en B = O, normal a las dos super- 
2p d r ficies. ¿Cómo se deforma esta línea de fluido en una curva 
c) Integrar la ecuación 3C.1-6 respecto a z y sustituir el re- 
sultado de la ecuación3C.1-II para obtener 
f f 3 1 d d p 
vo =---- 12p r dr ( r ~ ) 
(3c.1-12) Curva del fluido 
d) Resolver la ecuación 3C.1-12 para obtener la distribución 
de presión 
Línea del Buido 
3 r r u o ~ ~ 1- - .=P.;... (L)'] (3C.1-13) 
exterior fijo angular a, 
e) Integrar [(p + T ~ ~ ) - patml 50bre la superficie del disco en 
movimiento para encontrar Ia fuerza total necesaria para Figura 3C.3 Deformación de una línea de fluido en flujo de 
mantener e1 movimiento de disco: Couette. 
¿Cuál es la longitud, 1, de Ia curva después de N 
luciones del cilindro interior? Usar la ecuación 3.6-32. 
, 
3c.4 ~ é t o d o s alternativos para resolver el problema del 
v$cpjímetro de Couette por medio de conceptos de canti- 
kaLd de movimiento angular (figura. 3.6-1). -- 
er un balance de envoltura de la canfidad de movtmlenfo 
r sobre una envoltura delgada de espesor AY para 
d 
-(r27,*) = O (3C.4-1) 
d r 
insertar la expresión apropiada para 7, en térmi- 
nos del ~radiente de la componente tangencia1 de Ia veloci- - 
dad. Luego resolver la ecuación diferencial resultante con 
fáYtondiciones límite para obtener la ecuación 3.6-29. 
t -.. k$) Demostrar cómo obtener la ecuación 3C.4-1 a partir de la 
)InfHiZczón de variacidn para cantidad de movimiento angular dada 
enla ecuación 3.4-1. 
, fi 8 : 
,3C.5 Condiciones límite interfaciales de dos fases. En 
$2.1 se proporcionaron condiciones límite para resolver 
' problemas de flujo viscoso. En ese momento no se men- 
cionó el papel de la tensión interfacial. En la interfase entre 
dos fluidos inrniscibles, 1 y 11, debe usarse la siguiente 
condicidn Ii~nite:~ 
Gsto es esencialmente un balance de cantidad de 
$movimiento escrito para un elemento interfacial dS por la 
que no pasa materia, y que además carece de masa o vis- 
cosidad interfacial. Aqui, n1 es el vector unitario normal a 
dS y que apunta hacia la fase 1. Las cantidades RI y R2 son 
10s radros principales de curvatura en dS, y cada uno de 
éstos es positivo si su centro está en la fase 1. La suma 
(1 /R1) + (1 /R2) también puede expresarse como ('7 . nl). La 
cantidad u es la tensión interfacial, que se supone cons- 
tante. 
a) Demostrar que, para una diminuta gota esférica de 1 en 
reposo en un segundo medio 11, la ecuación de Laplace 
i 
Problemas 127 
relaciona las presiones dentro y fuera de la diminuta gota. 
¿La presión en la fase 1 es mayor que en la fase 111, o al revés? 
¿Cuál es la relación entre las presiones en una interfase 
plana? 
b) Demostrar que la ecuación 3C.5-1 conduce a la siguiente 
condición límite adimensional 
donde hV = (h - ho)/lo es la elevación adimensional de d~,.$' 
y $11 s y tensores c@ rapidez de deformación adimensio- 
nales yRl = Rl/lo yR, = RJI, son radios de curvatura adi- 
mensionales. Más aiín, 
I 
$1 = P -~o+~ 'g th -ho ) . 
~ ' ~ 0 2 (3C.54,5) 
-u p1i-F70+pT'g(h-hg) Y = 
P I V O 
En las expresiones anteriores, las cantidades con subíndice 
cero son los factores de escala, válidos en ambas fases. 
Identificar los grupos adimensionales que aparecen en la 
ecuación 3C.5-3. 
CI Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la 
ecuación 3.7-36 bajo las suposiciones hechas en el ejemplo 
3.7-2. 
3D.1 Deducción de las ecuaciones de variación mediante 
teoremas sobre integrales (figura 3D.1). 
a) Un fluido circula a través de alguna región del espacio 
tridimensional. Seleccionar una "burbuja" arbitraria de ese 
Figura 3D.1 "Burbuja" móvil de fluido a la que se aplica la 
7L. h n d a u y E.M. Lifshitz, Fiuid Mech~nics, Pergarnon, Oxford, 2a. segunda ley de movimiento de Newton. Cada elemento d e la 
edición (19871, ecuación 62.13. L.E. Scriven, Chem. Eng Sci., 12, 98-108 superficie del fluido dS(t) del elemento d e volumen V(t) móvil 
(19601, ha desarro]Iado fórmulas nene,.ales incluvendo la densidad que se deforma se desplaza con la velocidad instantánea local ., 
viscosidad en exceso. "(t) del fluido. 
128 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 
fluido; es decir, una región acotada por alguna superficie 
S(t) que encierra un volumen V(t), cuyos elementos se mue- 
ven con la velocidad local del fluido. Aplicar a este sistema 
la segunda ley de movimiento de Newton para obtener 
donde los términos de la derecha explican las fuerzas 
superficiales y volumétricas que actúan sobre el sistema. 
Aplicar la fórmula de Leibniz para diferenciar una integral 
(véase §A.5), reconociendo que en todos los puntos sobre la 
superficie de la burbuja, la velocidad de la superficie es 
idéntica a la velocidad del fluido. Luego, aplicar el teorema 
de Gauss para un tensor (véase 5A.5) de modo que cada tér- 
mino en la ecuación sea una integral de volumen. Debido a 
que la elección de la "burbuja" es arbitraria, pueden elimi- 
narse todos los signos de integral, y se obtiene la ecuación 
de movimiento de la ecuación 3.2-9. 
b) Deducir la ecuaci6n de movimiento escribiendo un ba- 
lance de cantidad de movimiento sobre una región arbi- 
traria de voIumen V y superficie S, fija en e1 espacio, a 
través de la cual circula un fluido. Al hacerlo, simplemente 
repetir la deducción dada en 53.2 para un elemento redan- 
gular del fluido. Para completar la deducción se requiere el 
teorema de Gauss para un tenscr. 
Este problema muestra que aplicar la segunda ley de 
movimiento de Newton a una "burbuja" arbitraria en movi- 
miento del fluido, equivale a establecer un balance de can- 
tidad de movimiento sobre una región arbitraria fija en el 
espacio a través de la que se mueve el fluido. Tanto en a) 
como en b) se obtiene el mismo resultado que el que se 
obtuvo en s3.2. 
C) Deducir la ecuación de continuidad usando un elemento 
de volumen de forma arbitraria, tanto móvil como fijo, por 
los métodos presentados en a) y b). 
3D.2 La ecuación de variación para vorticidad. 
a) Al tomar el rotacional de la ecuación de movimiento de 
Navier-Stokes (ya sea en la forma D / D t o en la forma d/d t ) , 
obtener una ecuación para la vorticidad, w = [V X VI del flui- 
do; esta ecuación puede escribirse en dos formas: 
donde E es un tensor de tercer orden cuyas componentes 
son el símbolo de permutación eijk (véase 5A.2) y u = @lp 
es la viscosidad cinemdtica. 
b) ¿Cómo se simplifican las ecuaciones en el inciso a) para 
flujos bidimensionales? 
3D.3 Forma alternativa de la ecuación de movimiento? 
Demostrar que, para un fluido newtoniano incompresible 
con viscosidad constante, la ecuación de movimiento 
puede escribirse en la forma 
donde 
'EG. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge Univenity Press, edición 
comgida (1 995). 
Distribuciones de velocidad con más 
de una variable independiente 
4 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 
54.2" Solución de problemas de flujo usando una función de corriente 
54.3" Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 
54.4" Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa límite 
En el capítulo 2 se vio que los problemas de flujo viscoso con líneas de flujo de co- 
rriente rectas pueden resolverse mediante balances de envoltura de cantidad de 
movimiento. En el capítuio 3 se presentaron las ecuaciones de continuidad y movi- 
miento, que constituyen una mejor forma para plantear problemas. El método se 
ilustró en 93.6, pero el estudio se restringió a problemas de flujo en los que sólo era 
necesario resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. 
En este capítulo analizaremos varias clases de problemas que implican las solu- 
ciones de ecuaciones diferenciales parciales: flujo de estado no estacionario t+I.l), flu- 
jo viscoso en más de una dirección (§4.2), el flujo de fluidos no viscosos (54.3) y el flujo 
viscoso en capas límite (g.4). Debido a que todos estos tópicos se abordan extensa- 
mente en tratados de dinámica de fluidos, aquí proporcionamos sólo una introduc- 
ción e iiustramos algunos wétodos ampliamente usados para resolver problemas. 
Además de los métodos analíticos que se proporcionan en estecapítulo, tam- 
bién se cuenta con una literatura cada vez más extensa sobre métodos numéricos.' 
El campo de dinámica de fluidos computacional ya está desempeñando un papel 
importante en el terreno de los fenómenos de transporte. Los métodos numérico y 
analítico tienen papeles complementarios entre sí, donde los métodos numéricos 
son indispensables para resolver problemas prácticos complicados. 
4 . FLUJO DEPENDIENTE DEL TIEMPO DE FLUIDOS NEWTONIANOS 
En g3.6 sólo se resolvieron problemas de estado estacionario. Sin embargo, en mu- 
chas situaciones la velocidad depende tanto de la posición como del tiempo, y el 
flujo se describe por medio de ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección 
ilustraremos tres técnicas que se usan ampliamente en dinámica de fluidos, conduc- 
ción de calor y difusión (así como también en muchas otras ramas de física e inge- 
niería). En cada una de estas técnicas, el problema de resolver una ecuación 
diferencial parcial se convierte en un problema de resolver una o más ecuaciones 
diferenciales ordinarias. 
' R.W. Johnson íed.), The H n d h k of Fluid Dymmics, CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1998); C. Pozrikidis, I n t d u d i o n 
fo Themetical and Computationnl Fluid Dynomics, Oxford University Piess (1997). 
130 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
El primer ejemplo ilustra el método de combinación de variables (o método de solu- 
ciones por semejanza). Este método es útil sólo para regiones semiinfinitas, de modo 
que la condición inicial y la condición límite en el infinito pueden combinarse en 
una nueva condición límite simple. 
El segundo ejemplo ilustra el método de separación de variables, donde la ecuación 
diferencial parcial se separa en dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Así, la 
solución es una suma infinita de productos de las soluciones de las ecuaciones dife- 
renciales ordinarias. Estas ecuaciones diferenciales ordinarias suelen analizarse en 
textos de matemáticas de nivel intermedio bajo el título de problemas de "Sturm- 
Liouville" .l 
E1 tercer ejemplo demuestra el método de respuesta sinusoidal, que es de utiLidad 
para describir la forma en que el sistema responde a perturbaciones periódicas ex- 
ternas. 
Los ejemplos ilustrativos se eligieron por su sencillez física, de modo que es po- 
sibie concentrarse primordialmente en los métodos matemáticos. Debido a que to- 
dos los probIemas analizados aquí son lineales en la velocidad, también es posible 
utilizar las transformadas de Laplace, y a quienes estén familiarizados con este te- 
ma se les invita a resolver los tres ejemplos de esta sección aplicando esa técnica. 
Un cuerpo semiinfinito de llquido con densidad y viscosidad constantes está limitado por 
abajo por una superficie horizontal (el plano xz). Inicialmente el fluido y el sólido están en re- 
poso. L~ego, al instante t = O, Ia superficie sólida se pone en movimiento en Ia dirección x po- 
que se pone súbitumrnt' sitiva CBII velocidad vo, como se muestra en la figura 4.1-1. Encontrar la velocidad v, como 
en movimiento una función de y y t. En la dirección x no hay gradiente de presión ni fuerza de gravedad, y 
se supone que el flujo es laminar. 
Para este sistema, v, = v,(y, t), v = O y v, = O. Luego, a partir de la tabla 8.4 se encuentra que 
Y 
la ecuación de continuidad se cumple directamente, y a partir de Ia tabla B.6 se obtiene 
t < o 
Fluido en 
reposo 
t = O 
Pared que se 
pone en 
movimiento 
"o 
Fluido en 
flujo no Figura 4.1-1 Flujo viscoso de un fluido cerca 
estacionario de una pared que súbitamente se pone en 
='O movimiento. 
' Véase, por ejemplo, M.D. Greenberg, Foundations of Applied Mathcmatics, Prentice-Haii, Englewood Cliffs, N.J. 
(1978),5203. 
g.1 F'iujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 131 
donde v = p/p. Las condiciones inicial y límite son 
C.I.: 
C.L. 1: 
C.L. 2: 
en t s O, v, = O para toda y 
eny =O, a, = U, para toda t > O 
eny = 00, V, =O . para toda t > O 
A continuación introducirnos una velocidad adimensional4 = v,/vo, de modo que la ecua- 
ción 4.1-1 se convierte en 
84 $4 -=y- (4.1-5) 
dt ay2 
con +(y, 0) = 0, +(O, t) = 1 y 4403, f ) = O, Como las condiciones inicial y límite s61o contienen 
números puros, la solución de la ecuación 4.1-5 debe ser de la forma 4 = $(y, f; v). Sin embar- 
go, ya que 4 es una función adimensional, las cantidades y, f y u siempre deben aparecer en 
una combinación dimensional. Las únicas combinaciones adimensionales de estas tres can- 
tidades son y&o potencias o rnúitiplos de esto. Por tanto, concluimos que 
donde 
Éste es el "método de combinación de variables (independientes)". El "4" se incluye para que 
el resultado final en la ecuación 4.1-14 se vea más claramente; esto s610 lo sabremos hacer des- 
pués de resolver el problema sin ese número. La forma de la solución de la ecuación 4 .16 es 
posible esencialmente porque en el sistema físico no hay longitud o tiempo característicos. 
A continuacibn convertimos las derivadas en la ecuación 4.1-5 en derivadas respecto a la 
"variable combinada" .q como sigue: 
Luego, al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.1-5 se obtiene 
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria del tipo dado en la ecuación C.l-8, y las condicio- 
nes limite asociadas son 
La primera de estas condiciones límite es la misma que la ecuación 4.1-3, y la segunda ir-iu- 
ye las ecuaciones 4.1-2 y 4.1-4. Si ahora se hace d Q / d q = +, se obtiene una ecuación de primer 
orden de variables separables para +, que puede resolverse para obtener 
Después, al integrar por segunda vez se obtiene 
+ = ~ ~ [ ~ x ~ ( - i j ~ ) d ~ + c2 
O 
132 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
1.0 Figura 4.1-2 Distribución de 
0.9 velocidad, en forma adimensional, 
para flujo en la vecindad de una 
0.8 pared que súbitamente se pone en 
0.7 movimiento. 
v, 0.6 - 
vO 0.5 
0.4 
0.3 
0.2 
0.1 
o 
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 
y/* 
La elección de O para el límite inferior de la integral es arbitraria; otra elección hubiera pro- 
ducido un valor distinto de C2, que sigue siendo indeterminado. Nótese que hemos sido cui- 
dadosos en usar una barra superior para la variable de integración (3) a fin de distinguirla de 
la 7 en el límite superior. 
La aplicación de estas dos condiciones límite permite evaluar ambas constantes de inte- 
gración, y por último se obtiene 
1: e x p í - ? ~ ~ 
4(3=1- exp(-$)d~= 1 - erf q (4.1-14) [ exp ( -+ )d~ 
Esta relación de integrales se denomina función de error, lo cual se abrevia como erf q (véase 
SC.6). Es una función bien conocida, disponible en manuales matemáticos y en programas de 
computación Cuando la ecuación 4.1-14 vuelve a escribirse en las variables originales, se con- 
vierte en 
donde erfc q se denomina funcidn de ermr complementariu. En la figura 4.1-2 se muestra una 
gráfica de la ecuación 4.1-15. Nótese que, al graficar el resultado en términos de cantidades 
adimensionales, sólo se requiere una curva. 
La función de error complementaria erfc q es una función monótona decreciente que va 
de 1 a 0 y cae a 0.01 cuando 77 es aproximadamente 2.0. Podemos usar este hecho para defi- 
nir un "espesor de la capa límite" S como esa distancia y para la cual v, ha caído a un valor 
de 0 . 0 1 ~ ~ . Esto proporciona S = 4 6 c o m o una escala de longitud natural para la difusión de 
cantidad de movimiento. Esta distancia es una medida de lo que la cantidad de movimiento 
ha "penetrado" en el cuerpo del fluido. Nótese que este espesor de la capa límite es propor- 
cional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. 
Se desea volver a resolver el ejemplo ilustrativo precedente, pero con una pared fija a una dis- 
tancia b de la pared móvil en y - O. Este sistema de flujo tiene un límite de estado estaciona- 
rio cuando t -+ 03, mientras que el problema del ejemplo 4.1-1 no lo tenía. 
estacionario entre 
dos laminas paralelasSOLUCIÓN 
Así como en el ejemplo 4.1-1, la ecuación para la componente x de la velocidad es 
@.1 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 133 
Ahora las condiciones límite son 
C.I.: en t 5 O, v, = O para O 5 y i- b 
C.L. 1: en y = O, v, = vo para toda t > O 
C.L. 2: en y = b, v, = O para toda t > O 
Es conveniente introducir las siguientes variables adimensionales: 
Las elecciones para la velocidad y posición adimensionales aseguran que estas variables irrin 
de O a 1. La elecci6n del tiempo adimensional se hace para que en la ecuación diferencial par- 
cial transformada no haya parámetros: 
La condición inicia1 es 4 = O para r = O, y las condiciones limite son # = 1 para 77 = O y Q = O 
para 7 = 1. 
Sabemos que en un tiempo infinito el sistema alcanza un perfil de velocidad de estado 
estacionario #,(q), de modo que en T = m, la ecuación 4.1-21 se convierte en 
con 4, = 1 para g = O, y 4, = O para 7) = 1. Así, se obtiene 
para el perfil limitante de estado estacionario. 
Luego es posible escribir 
donde #f es Ia parte transitoria de la soluci6n, que desaparece a medida que el tiempo tiende 
a infinito. Así, al sustituir esta expresión en la ecuación diferencial original y en las condicio- 
nes Limite, se obtiene para # J ~ 
con$, =+,para ?=O, y #,=Opara 77 = O y l . 
Para resolver la ecuación 4.1-25 se usa el "método de separación de variables (depen- 
dientes)", donde se supone una solución de la forma 
Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-25 y luego dividir entre el producto fg 
se obtiene 
134 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
El miembro izquierdo es una función sólo de T, y el derecho es una función sólo de 77. Esto 
significa que ambos lados deben ser iguales a una constante. Elegimos designar la constante 
como -c2 (igualmente hubiera podido usarse c o +c2, pero la experiencia indica que estas 
elecciones hacen algo mas complicados los procedimientos matemáticos subsecuentes). En- 
tonces la ecuación 4.1-27 puede separarse en dos ecuaciones 
Estas ecuaciones tienen las siguientes soluciones (véanse las ecuaciones C.l-1 y C.l-3). 
g = A ~ ~ ~ ~ T 
f .= B sen c q + C cos cv 
donde A, B y C son constantes de integración. 
A continuación aplicamos las condiciones limite e inicial como sigue: 
C.L. 1: debido a que 4, = O para q = O, la función f debe ser cero para 77 = O. Por tanto, C debe 
ser cero. 
C.L. 2: debido a que 4, = O para q = 1, la función f debe ser cero para q = 1. Esto es cierto si B 
= O o si sen c es cero. La primera opción llevana a que f = O para todo 77, lo cual sería física- 
mente inaceptable. Por consiguiente, asumimos la segunda opción, que lleva al requerimien- 
to de que c = O, +m, +27r, 2 3 ~ - . Identificamos estos diversos valores admisibles de c 
(denominados "valores propios, valores característicos o eigenvalores") como c, y escribimos 
c, = nw, con n = 0, 2 1 , 52, I 3 . . (4.1-32) 
Por tanto, hay muchas funciones admisibIes fn (denominadas "funciones propias o funciones 
características") que satisfacen la ecuación 4.1-29 y las condiciones límite; a saber, 
Las funciones correspondientes que satisfacen la ecuación 4.1-28 se denominan g, y están da- 
das por 
g, = ~ , e x ~ ( - n ~ d ~ ) , con n = O, 51, +2, 23, . - . (4.1-34) 
C.I.: las combinaciones fd, satisfacen la ecuación diferencial parcial para 4, en la ecuación 
4.1-25, así como también lo hace cualquier superposición de tales productos. Por consiguien- 
te, para la solución de la ecuación 4.1-25 escribimos 
+m 
$t = D, exp(-n2r27) sen nav (4.1-35) 
,,=a 
donde aún deben determinarse los coeficientes de expansión D, = A,Bn. En la operación su- 
ma, el término n = O no contribuye; también, debido a que sen(-n)wv = -sen(+n)wq, pode- 
mos omitir todos los términos con valores negativos de n. Por tanto, la ecuación 4.1-35 se 
convierte en 
m 
4, = Dn exP(-n2r27) sen naT 
n = l 
Según la condición inicial, 4, = 1 - para T = O, de modo que 
m 
1-q= D, sennaq 
n-1 
$4.1 Flujo dependiente de1 tiempo de fluidos newtonianos 135 
iAhora debemos determinar todos los Dn a partir de esta ecuación! Esto se hace multiplican- 
do ambos lados de la ecuación por sen mnq, donde m es un entero, y luego integrando sobre 
el intervalo físicamente pertinente desde 71 = O hasta 7 = 1, así: 
[ (l-q)senm7iníq= sen nnq sen m q d q 
n = l 
(4.1-38) 
E1 miembro izquierdo da 1 /mr; las integrales en el miembro derecho son cero cuando n = m 
ya cuando n = m. Por tanto, la condición inicial lleva a 
La expresión final para el perfil de velocidad adimensional se obtiene a partir de las ecuacio- 
nes 4.1-24,4.1-36 y 4.1-39 como 
exP(-n2r2r) sen nnq (4.1-40) 
Así, la solución consta de un término Iímite de estado estacionario menos un término transi- 
tono, que desaparece al aumentar ei tiempo. 
Aquellos lectores que intenien por primera vez el método de separación de varia- 
bles encontrarán bastante larga y complicada la secuencia de pasos anterior. Sin em- 
bargo, ningún paso específico en el desarrollo es particularmente difícil. La soluci6n 
final en la ecuación 4.1-40 se ve muy complicada debido a la operación suma infini- 
ta. En realidad, excepto para valores muy pequeños del tiempo, sólo pocos de los 
primeros términos de la serie contribuyen de manera apreciable. 
Aunque no lo demostraremos aquí, la solución de este problema y la del proble- 
ma precedente están relacionadas estrechamente.* En el límite de un tiempo breve 
que tiende a desaparecer, Ia ecuación 4.1-40 se hace equivalente a la ecuación 4.1-15- 
Esto es razonable, ya que, para un tiempo muy corto, en este problema el fluido es- 
tá en movimiento sólo muy cerca de la pared en y = O, y el fluido no puede "sentir" 
la presencia de la pared en y = b. Debido a que la solución y el resultado en el ejern- 
plo 4.1-1 son por mucho más sencillos que los de éste, a menudo se usan para repre- 
sentar el sistema si sólo están implicados tiempos pequefios. Esto es, por supuesto, 
una aproximación, pero bastante útil. A menudo también se usa en problemas de 
transmisión de calor y transporte de materia. 
Un cuerpo serniinfinito de líquido está limitado en un lado por una superficie plana (el pla- 
no xz). Inicialmente el fluido y e1 sólido están en reposo. Al instante t = O la superficie sólida 
caminar no se hace oscilar sinusoidalmente en la dirección x con amplitud Xo y frecuencia (circular) w. Es 
estacionario cerca de decir, el desplazamiento X del plano a partir de su posici6n en reposo es 
una ldmina que oscila 
X(t) = Xo sen ot 14.1-41) 
y entonces la velocidad del fluido para y = O es 
dX 
v,(O,t) = - = Xoo cos wf (4.1-42) 
df 
Para una solución por series particularniente buena para tiempos breves, véase H.S. Carslaw y J.C. Jaeser, 
Conduction of Heat in Solids, Oxford University Pms, 2a. edición (19591, pp. 308-310. 
136 -Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
Designamos la amplitud de la velocidad de oscilación por vo = Xow y volvemos a escribir la 
ecuación 4.1-42 como 
v,(O, f ) = vO cos wt = vo % {le"t) (4.1-43) 
donde %{z) significa "la parte real de 2". 
Para sistemas oscilantes, por regla general no se tiene interés en la solución completa, si- 
no sólo en el "estado estacionario periódico" que existe después de que han desaparecido [% 
"oscilaciones transitorias" iniciales. En ese estado todas las partículas del fluido en el sistema 
ejecutarán oscilaciones sinusoidales con frecuencia o, pero con fase y amplitud que son fun- 
ciones s610 de la posición. Esta solución de "estado estacionario periódico" puede obtenerse 
por una técnica elemental que se usa en forma extensa. Matemáticamente es una solución 
asintótica para t + m. 
Una vez más, la ecuación de movimiento está dada por 
y las condiciones inicial y límite están dadas por 
C.I.: en t 5 O, v, = O para toda y (4.1-45) 
C.L. 1: en y = O, u, = vo%(8Wt] para toda t > O (4.1-46) 
C.L. 2: en y = m, u, = O paratoda t > O (4.1-47) 
La condición inicial no ser& necesaria, ya que nos ocupamos s610 de la respuesta del fluido 
después de que la lámina ha estado oscilando durante mucho tiempo. 
Postulamos una solución oscilatoria de la forma 
Aquí v0 se elige como una función compleja de y, de modo que v,(y, t) difiere de v,(O, t) tanto 
en amplitud como en fase. Sustituimos esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-44 y obte 
nemos 
A continuación se usa el hecho de que si 3 {z,w] = Vi (z,wt, donde z , y z, son dos cantidades 
complejas y w es una cantidad compleja arbitraria, entonces zl = z2. Así, la ecuación 4.1-49 se 
convierte en 
con las siguientes condiciones limite: 
La ecuación 4.1-50 es de la forma de la ecuación C . 1 4 y su solución es 
g4.2 Solución de problemas de flujo usando una función de corriente ' 137 
Debido a que fi= ~(l/t/Sf(l + i ) , esta ecuación puede volver a escribirse como 
La segunda condición límite requiere que Cl = O, y la primera condición límite da C2 = vo. Por 
consiguiente, la solución de la ecuación 4.1-50 es 
A partir de este resultado y la ecuación 4.1-48 se obtiene 
o finalmente, 
En esta expresión, la exponencial describe la atenuación del movimiento oscilatono; es decir, 
la disminución en la amplitud de las oscilaciones del fluido con un incremento en la distan- 
cia a partir de la lámina. En el razonamiento del coseno, la cantidad - aq se denomina 
desplazamiento de fase; es decir, describe en qué medida las oscilaciones del fluido a una dis- 
tancia y de la pared están "fuera de paso" con las oscilaciones de la pared misma. 
Debe recordarse que la ecuación 4.1-57 no es la solución completa del problema según se 
plantea en las ecuaciones 4.1-44 a 4.1-47, sino sób la solución "periúdica de estado estaciona- 
rio". La solución completa se proporciona en el problema 4D.1. 
- 
Hasta este punto hemos elegido los ejemplos y problemas de modo que en la velo- 
cidad del fluido sólo había una componente que no desaparece. Es más difícil obte- 
ner soluciones de la ecuación completa de Navier-Stokes para flujo en dos o tres 
dimensiones. El procedimiento básico es semejante: se resuelven simultáneamente 
las ecuaciones de continuidad y movimiento, junto con las condiciones inicial y 1í- 
mite idóneas, para obtener 10s perfiles de presión y velocidad. 
Sin embargo, tener la velocidad y la presión como variables dependientes en la 
ecuación de movimiento plantea una mayor dificultad en los problemas de flujo 
multidimensional que en los más sencillos analizados previamente. En consecuen- 
cia, a menudo conviene eliminar la presión al tomar el rotacional de la ecuación de 
movimiento, luego de usar el vector identidad [v Vvl = $V(v . v ) - [v X [V X VI], 
que está dado en la ecuación A.4-23. Para fluidos de viscosidad y densidad constan- 
tes, esta operación da 
2 [V x v] - [V X[V x [V x VI]] = vv2[v x VI (4.2-1) 
at 
Ésta es la ecuación de variación para la verticidad [V X vl; en el problema 3D.2 se pro- 
porcionan otras dos formas de escribirla. 
Así, para problemas de flujo viscoso es posible resolver la ecuación para la vor- 
ticidad (una ecuación vectorial de tercer orden) junto con la ecuación de continui- 
dad y las condiciones inicial y límite relevantes para obtener la distribución de 
velocidad. Una vez que se conoce ésta, la distribución de presión puede obtenerse a 
partir de la ecuación de Navier-Stokes en la ecuación 3.5-6. Algunas veces este mé- 
138 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
todo para resolver problemas de flujo es conveniente incluso para los flujos unidi- 
mensionales previamente analizados (véase, por ejemplo, el problema 4B.4). 
Para flujos planos o axisimétricos, la ecuación para la vorticidad puede volver a 
formularse introduciendo la función de corrienfe $. Para hacer esto, expresamos las 
dos componentes de velocidad que no desaparecen como derivadas de $ de tal for- 
ma que la ecuación de continuidad se cumpla de manera automática (véase la tabla 
4.2-1). La componente de la ecuación para la vorticidad que corresponde a la direc- 
ción en que no hay flujo se convierte entonces en una ecuación escalar de cuarto or- 
den para $. Luego, las dos componentes de la velocidad que no desaparecen pueden 
obtenerse una vez que se encuentra la ecuación para el escalar 9. En la tabla 4.2-1 se 
proporcionan los problemas más importantes que pueden tratarse de esta manera.1 
La función de corriente en sí también es interesante. Las superficies de @ cons- 
tante contienen Zzízeas de corrienfe? que en flujo de estado estacionario son las trayec- 
torias de los elementos del fluido. El caudal volumétrico entre las superficies $ = I,+ 
y $ = es proporcional a - 
En esta sección se considera, como un ejemplo, el flujo reptante estacionario que 
pasa por una esfera estacionaria, que está descrito por Ia ecuación de Stokes de la 
ecuación 3.5-8, válida para Re << 1 (véase el análisis justo después de la ecuación 
3.7-9). Para flujo reptante, el segundo término en el miembro izquierdo de la ecua- 
ción 4.2-1 se iguala a cero. Así, la ecuación es lineal, y por tanto hay muchos méto- 
dos disponibles para resolver el problema.3 Usaremos el método de la función de 
corriente basado en la ecuación 4.2-1. 
Usar la tabla 4.2-1 a fin de establecer la ecuación diferencial para la función de corriente para 
el flujo de un fluido newtoniano alrededor de una esfera estacionaria de radio R a Re << 1. 
Flujo reptante Obtener las distribuciones de velocidad y presión cuando el fluido se aproxima a la esfera en 
alrededor de una la dirección z positiva, como se muestra en la figura 2.6-1. 
esfera 
Para flujo reptante estacionario, todo el miembro izquierdo de la ecuación D de la tabla 4.2-1 
puede igualarse a cero, y la ecuación $ para flujo axisimétrico se convierte en 
o bien, en coordenadas esféricas 
-- - 
' Para una técnica aplicable a flujos m6s generales, véase J.M. Robertson, Hydrodynamics in Theo y and Application, 
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 77; para ejemplos de fiujos tridimensionales usando dos funciones de 
corriente, véase el problema 4D.5 y también J.P. k n s e n y W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci., 29,819-825 (1974). A. Lahbabi 
y H.-C. Chang, C h m . Eng. Sci., 40,434-447 (1985) trabajaron flujo con número Re alto a través de arreglos cúbicos de 
esferas, incluyendo soluciones de estado estacionario y transición a la turbulencia. W.E. Stewart y M.A. McCleiiand, 
AIChE Journal, 29,947-956 (1983) proporcionaron soluciones asintóticas concordantes para convección forzada en flujos 
tridimensionales con calentamiento viscoso. 
Véase, por ejemplo, G.K. Batchelor, An lntroduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), 92.2. El 
capítulo 2 de este libra es un extenso análisis de la cinemática del movimiento de fluidos. 
3La solución dada aquí se concluye a partu de la proporcionada por L.M. Milne-Thomson, Theoretical 
Hydrodynamics, Macmiüan, Nueva York, 3a. edición (1955), pp. 555-557. Para otros métodos, véase H. Lamb, 
Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1949, @337,338. Para un análisis de fluja no estacionario alrededor de una esfera, 
véase R. Berker, en Handbuch der Physik, volumen VIII-2, Springer, Berlín (1963),§69; o bien, H. Villat y J. Kravtchenko, 
Lecons sur les Fluides Vkqueux, Gauthier-ViUars, París (1943, capítulo VII. El problema de encontrar las fuerzas Y 
momentos de torsión sobre objetos de formas arbitrarias se analiza con todo detalle en S. Kim y S.J. Karnila, 
Microhydrodynamics: Principies and Selecfed Applicafions, Butterworth-Heinemann, Boston (19911, capítulo 11. 
140 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones limite: 
cuando r + m, 2 2 C.L. 3: + + - i v _ r sen 0 (4.2-6) 
Las dos primeras condiciones límite describen la condicibn sin deslizamiento en la superficie 
de la esfera. La tercera implica que vz + u, lejos dela esfera (esto puede verse al reconocer 
que u, = u, cos 8 y ve = -u, sen O lejos de la esfera). 
A continuación postulamos una solución de la forma 
ya que por lo menos cumplirá la tercera condición límite en la ecuación 4.2-6. Cuando esta 
ecuación se sustikiye en la ecuación 4.2-3, se obtiene 
El hecho de que la variable 0 no aparece en esta ecuación sugiere que el postulado en la ecua- 
ción 4.2-7 es satisfactorio. La ecuación 4.2-8 es una ecuación "equidirnensional" de cuarto or- 
den (véase la ecuación C.l-14). Cuando una solución de ensayo de la forma f(r) = Crn se 
sustituye en esta ecuación, se encuentra que n puede tener los valores -1 ,1 ,2 y 4. Por consi- 
guiente, fir) tiene la forma 
flr) = Clr-I + C2r + C3? + C4P (4.2-9) 
Para cumplir la tercera condición límite, C4 debe ser cero, y Cg debe ser - u,. Por tanto, la 
función de comente es 
$(r, 8) = (Clrpl + C2r - tu,?) sen2 0 (4.2-10) 
Luego, se obtienen las componentes de la velocidad usando la tabla 4.2-1 como sigue: 
Ahora, las dos primeras condiciones límite dan C1 = - $v,.U3 y C2 - $v,R, de modo que u, 
Éstas son las componentes de velocidad dadas sin demostración en las ecuaciones 2.6-1 y 2.6-2. 
Para obtener la distribución de presión, estas componentes de velocidad se sustituyen en 
las componentes r y 6 de la ecuaci6n de Navier-Stokes (dada en la tabla B.6). Después de un 
procedimiento algo tedioso, se obtiene 
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 141 
Estas ecuaciones pueden integrarse (cf. las ecuaciones 3.6-38 a 3.6-41) y, al utilizar la condi- 
ción límite de que cuando r -t m la presión modificada 9 tiende a po (la presión en el plano 
z = O lejos de la esfera), se obtiene 
2 
~ = ~ - ~ ~ - 3 ( 5 ) ( : ) 2 R COSO 
Ésta es igual a la distríbuci6n de presión dada en la ecuación 2.6-4. 
En g . 6 se mostr6 cómo es posible integrar las distribuciones de velocidad y presión so- 
bre la superficie de la esfera para obtener la fuerza de resistencia. Ese mktodo para obtener la 
fuerza del fluido sobre el sólido es general. Aqui evaluamos la "fuerza cinética" Fk al igualar 
la velocidad para realizar trabajo sobre la esfera (fuerza x velocidad) con la velocidad de di- 
sipación viscosa dentro del fluido; así, 
2 w w .. 
&v.. = -lo (rvv)r2dr sen MM+ 
O R 
Al insertar la función (-r:Vv) en coordenadas esfbricas de la tabla B.7 se obtiene 
Luego, los perfiles de velocidad de las ecuaciones 4.2-13 y 4.2-14 se sustituyen en la ecuación 
4.2-19. Una vez que se efectúan las (¡extensas!) diferenciaciones e integraciones, finalmente se 
obtiene 
que es la ley de Stokes. 
Como se indicó en s2.6, la ley de Stokes está restringida a Re < 0.1. La expresión para la 
fuerza de resistencia puede mejorarse al volver atrás e incluir el término iv Vv]. Luego, al 
usar el método de expansiones asinfóticas concordanfes se obtiene el siguiente resultado4 
donde y = 0.5772 es la constante de Euler. Esta expresión es aceptable hasta Re aproximada- 
mente igual a 1. 
H.3' FLUJO DE FLUIDOS NO VISCOSOS POR MEDIO DEL EMPLEO 
DEL POTENCIAL DE VELOCIDAD' 
Por supuesto, sabemos que 10s fluidos no viscosos (es decir, fluidos desprovistos de 
viscosidad) no existen en realidad. Sin embargo, se ha encontrado que la ecuación 
de movimiento de Euler de la ecuación 3.5-9 es útil para describir los flujos de flui- 
Proudman y J.R.A. Pearson, 1. Fluid. Mech., 2,237-262 (1957); W. Chester y D.R. Breach, J . Fluid. Mech., 37, 751- 
760 (1969). 
' R.H. Kirchhoff, capitulo 7 del H a m f b k of Fluid Dynamics (R.W. Johnson, compilador), CRC Press, Boca Ratón, 
Fia. (1998) 
142 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
dos de baja viscosidad a Re > > 1 alrededor de objetos aerodinámicos y que propor- 
ciona una descripción razonablemente aceptable del perfil de velocidad, excepto 
muy cerca del objeto y más ailá de la línea de separación. 
Entonces, la ecuación para la vorticidad en la ecuación 3D.2-1 puede simplifi- 
carse omitiendo el término que contiene la viscosidad cinemática. Si, además, el flu- 
jo es estacionario y bidimensional, entonces desaparecen los términos a l a t y [w . 
Vv]. Esto significa que la vorticidad w = IV x VI es constante a lo largo de una línea 
de flujo de corriente. Si el fluido que se aproxima a un objeto sumergido no tiene 
vorticidad lejos de éste, entonces el flujo será tal que w = [V X vl es cero en todo el 
campo de flujo. Es decir, el flujo es irrotacional. 
Para resumir, si se supone que p = constante y que [V x VI = O, entonces puede 
esperarse que los flujos bidimensionales proporcionen una descripción razonable- 
mente aceptable del flujo de fluidos de baja viscosidad alrededor de objetos sumer- 
gidos. Este tipo de flujo se denomina flujo potencial. 
Por supuesto, sabemos que esta descripción del flujo es inadecuada en la vecin- 
dad de superficies sólidas. Cerca de estas superficies utilizamos un conjunto dife- 
rente de suposiciones, que conducen a la teorúl de la capa límite, que se analizará en 
s4.4. Al resolver las ecuaciones de flujo potencial para el "campo lejano" y las ecua- 
ciones de la capa límite para el "campo cercano" y luego hacer corresponder asintó- 
ticamente las soluciones para Re grande, es posible adquirir una comprensión de 
todo el campo de flujo alrededor de un objeto aerodinárnic~.~ 
Para describir el flujo potencial comenzamos con la ecuaci6n de continuidad pa- 
ra un fluido incompresible y con la ecuación de Euler para un fluido no viscoso 
(ecuación 3.5-9): 
(continuidad) (V v) = O (4.3-1) 
(movimiento) 
En la ecuaci6n de movimiento hemos usado la identidad vectorial [v - Vv] = V : v2 
- Iv X [V X vll (véase la ecuación A4.23). 
Para el flujo irrotacional en dos dimensiones, el enunciado de que [V x v] = O es 
(irrotacional) 
y la ecuación de continuidad es 
(continuidad) 
La ecuación de movimiento para flujo irrotacional estacionario puede integrarse pa- 
ra obtener 
(movimiento) g4v;? I -t vi) + 9 = constante (4.3-5) 
Es decir, la suma de la presión y la energía cinética y potencial por unidad de volu- 
men es constante en todo el campo de flujo. Ésta es la ecuación de Bernoulli para flu- 
'M. Van Dyke, Perturbafion Methods in FIuid íhjnarnics, The Parabolic Precc, Stanford, Cal. (1975) 
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del. potencial de velocidad 143 
jo potencial incompresible, y la constante es la misma para todas las líneas de flujo 
de corriente. (Esto debe compararse con la ecuación 3.5-12, la ecuación de Bernoulli 
para un fluido compresible en cualquier tipo de flujo; ahí la suma de las tres contri- 
buciones es una constante diferente en cada línea de flujo de corriente.) 
Deseamos resolver las ecuaciones 4.3-3 a 4.3-5 para obtener u,, vy y 9 como fun- 
ciones de x y y. Ya hemos visto en la sección previa que la ecuación de continuidad 
en flujos bidimensionales puede cumplirse escribiendo las componentes de la velo- 
cidad en términos de una función de corriente $(x, y). Sin embargo, cualquier vector 
que tenga un rotacional cero también puede escribirse como el gradiente de una 
función escalar (es decir, [V X vJ = O implica que v = -V4). Es muy conveniente, 
entonces, introducir un potencial de velocidad 4(x, y). En vez de trabajar con las com- 
ponentes v , y vy de la velocidad, elegimos trabajar con 3r(x, y) y +(x, y) . Luego se ob- 
tienen las siguientes relaciones: 
(función de corriente) 
(potencial de velocidad) 
Ahora las ecuaciones 4.3-3 y 4.3-4 se cumplirán automáticamente. Al igualar las ex- 
presiones para las componentes de la veIocidad se obtiene 
Éstas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son las relaciones que deben ser sa- 
tisfechas por las partes real e imaginaria de cualquier función analítica3 w(z) = 4(x, 
y) + i$tx, y), donde z = x + iy. La cantidad w(z) se denomina potencial complejo. Al di- 
ferenciar la ecuación 4.3-10 respecto a x y la ecuación 4.3-11 respecto a y y luego su- 
mar, se obtieneV2+ = O. Al diferenciar respedo a las variables en orden inverso y 
luego restar, se obtiene V2$ = O. Es decir, tanto +(x, y) como $(x, y) satisfacen la ecua- 
ción bidimensional de Lap1ace4 
Como una consecuencia del desarrollo anterior, parece que cualquier función 
analítica w(z) produce un par de funciones 4(x, y) y $(x, y) que son el potencial de 
velocidad y la función de corriente para algún problema de flujo. Además, las cur- 
vas 4(x, y) = constante y $tx, y) = constante son entonces las líneas equipotenciales y 
las líneas de flujo de corriente para el problema. Las componentes de la velocidad se 
obtienen entonces a partir de las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7, las ecuaciones 4.3-8 y 
4.3-9 o a partir de 
- 
Aquí se supone que el lector tiene algún conocimiento de las funciones analíticas de una variable compleja. 
Introducciones útiles al tema pueden encontrarse en V.L. ShPeter, E.B. Wylie y K.W. Bedford, Fluid Mechnics. 
McGraw-m, Nueva York, 9a. edici6n (1998), capfhilo 8, y en M.D. Greenberg, Fortndations o/ Applied M n t h a t i c s , 
Prentice-Hd, Englewood Cliffs, N.1. (19781, capítulos 11 y 12. 
Incluso para flujos tridimensionales, la suposición de flujo irrotacional sigue permitiendo la definición de un 
potencial de velocidad. Cuando v = -V+ se sustituye en (V . v) = O, se obtiene la ecuación tridimensional de Laplace 
@6 = O . La solución de esta ecuación es el tema de la "teoría de potencial", para la que existe una literatura bastante 
abundante. Véanse, por ejemplo, P.M. M o m y H. Feshbach, Methods of Theoreticill Physics, McGraw-Hill, Nueva York 
(1953), capítulo 11; y J.M. Robertcon, Hydmdynomics in Theory and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 
(1963, que recalca las apIicaciones en ingeniería. Hay muchos problemas de flup a través de medios porosos, 
conducción de calor, difusión y conducción eléctrica descritos por la ecuación de Laplace. 
144 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente ! 
donde dw/dz se denomina velocidad compleja. Una vez que se conocen las componen- 
tes de la velocidad, entonces es posible encontrar la presión modificada a partir de 
la ecuación 4.3-5. 
DP manera alternativa, las líneas equipotenciales y las líneas de flujo de corrien- 
te pueden obtenerse a partir de la función inversa z(w) = x(4, $1 + iy(+,4), donde z(w) 
es cualquier funci6n analítica de w. Entre las funciones x(4, $1 y y(#, I,/J) es posible eli- 
minar $ y obtener 
Una eliminación semejante de + proporciona 
Al hacer 4 = una constante en Ia ecuación 4.3-13 se obtienen las ecuaciones para las 
líneas equipotenciales para algún problema de flujo, y al hacer $ = constante en la 
ecuaci6n'4.3-14 se obtienen las ecuaciones para las lineas de flujo corriente. Las com- 
ponentes de la velocidad pueden obtenerse a partir de 
Así, a partir de cualquier función analítica w(z), o su inversa z(w), podemos cons- 
truir una red de flujo con líneas de flujo de corriente = constante y líneas equipo- 
tenciales + = constante. La tarea de encontrar w(z) o z(w) para satisfacer un problema 
de flujo dado es, sin embargo, considerablemente más difícil. Existen algunos méto- 
dos especiales>,5 aunque a menudo es más conveniente consultar una tabla de pla- 
nos conforman te^.^ 
En los dos ejemplos ilustrativos que siguen mostraremos cómo usar el potencial 
complejo w(z) para describir el flujo potencial alrededor de un cilindro, y la función 
inversa z(w) para resolver el problema de flujo potencial hacia el interior de un ca- 
nal. En el tercer ejemplo resolveremos el flujo en la vecindad de una esquina, que se 
estudiará con mayor detalle en §4-4 por el método de la capa limite. Es necesario te- 
ner en cuenta algunos comentarios generales: 
a) Las líneas de flujo de corriente son perpendiculares a las líneas equipotencia- 
les en todas partes. Esta propiedad, evidente a partir de las ecuaciones 4.3-10 
y 4.3-11, es útil para la construcción aproximada de redes de flujo. 
b) Las líneas de flujo de corriente y las h e a s equipotenciales pueden intercam- 
biarse para obtener la solución de otro problema de flujo. Esto se concluye a 
partir del inciso a) y de que tanto 4 como $ son soluciones de la ecuación bi- 
dimensional de Laplace. 
C) Cualquier línea de flujo de corriente puede sustituirse por una superficie só- 
lida. Esto se concluye a partir de la condición límite de que la componente 
normal de la velocidad del fluido es cero en una superficie sólida. La compo- 
nente tangencia1 no está restringida, ya que en flujo potencial se supone que 
el fluido es capaz de deslizarse libremente a lo largo de la superficie (la su- 
posición de deslizamiento total). 
J. Fuka, capitulo 21 en la obra de K. Rektorys, Suniey of Applicable Mathmatics, h4lT Press, Cambridge, M a s 
(1969). 
H. Kober, Dictionnry of Conforma1 Represmtationc, Dover, Nueva York, 2a. edición (1957). 
54.3 Flujo de f l ~ d o s no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 145 
a) Demostrar que el potencial complejo 
w(r) = -u-R($+:) 
describe el flujo potencial alrededor de un cilindro circular de radio R, cuando Ia velocidad 
de aproximación es vm en la dirección x positiva. 
b) Encontrar las componentes del vector velocidad. 
C) Encontrar la distribución de presión sobre la superficie del cilindro, cuando la presión mo- 
dificada lejos del cilindro es 9,. 
a) Para encontrar la función de corriente y e1 potencial de velocidad, escribimos el potencia1 
complejo en la forma w(z) = +(x, y) -c $(.E, y): 
Por tanto, la función de corriente es 
Para hacer una gráfica de las líneas de flujo de corriente es conveniente volver a escribir Ia 
ecuacibn 4.3-18 en forma adimensional 
donde 9 = +/v,R, X = x l R y Y = y/R. 
En la figura 4.3-1 las líneas de flujo de corriente se graficaron como las curvas P = cons- 
tante. La línea de flujo de corriente = O proporciona un círculo unitario, que representa la 
superficie del cilindro. La línea de flujo de corriente Y = -$pasa por el punto X = O, Y = 2, et- 
cétera. 
b) Las componentes de vebcidad pueden obtenerse a partir de la función de Aujo de corrien- 
te usando las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7. También pueden obtenerse a partir de la velocidad 
compleja segun la ecuación 4.3-12 como sigue: 
Por consiguiente, las componentes de la velocidad como una función de la posición son 
C) Sobre la superficie del cilindro, p. = R, y 
146 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 
Figura 4.3-1 Líneas de flujo de corriente 
para el flujo potencial alrededor de un 
- - cilindro según la ecuación 4.3-19. 
- - / *- - - - - - - 1 - - - - - - - 
a=<+* 
= &(l- cos 2 0 ) ~ + (sen 20)~1 
= 4 2 sen2 e 
Cuando O es cero o m, la velocidad del fluido es cero; estos se denominan puntos de es. 
tancarniento. A partir de la ecuación 4.3-5 sabemos que 
id t 9=iP3m+ 9- (4.3-24) 
Luego, a partir de las dos úItimas ecuaciones obtenemos la distribución de presión sobre la 
superficie del cilindro 
Nótese que la distribución de presión modificada es simétrica respecto al eje x; es decir, pa- 
ra flujo potencial no hay resistencia de forma sobre e1 cilindro (paradoja de d'Alen~bert).~ Por 
supuesto, ahora sabemos que ésta en realidad no es una paradoja, sino simplemente el re- 
sultado de que el fluido no viscoso impide aplicar la condición límite sin deslizamiento en 
la interfase. 
Demostrar que la función inversa 
Flujo hacia el interior de 
un canal rectangular 
representa el flujo potencial hacia el interior de un canal rectangular de serniancho b. Aqui V, 
es la magnitud de la velocidad corriente abajo lejos de la entrada del canal. 
S O L U C I ~ N 
Primera se introducen las variables de distancia adirnensionales 
y las cantidades adimensionales 
Las paradojas hidrodinámicas se analizan en G. Birkhoff, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1955). 
N.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 147 
La función inversa de la ecuación 4-3-26