06_Colis_es_em_uma_Dimens_o

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COLISÕES EM UMA DIMENSÃO 
 
Objetivo 
Estudar as leis de conservação do momento linear e da energia numa colisão entre dois 
pêndulos. 
 
Introdução 
É conveniente lembrar algumas propriedades do movimento do pêndulo simples antes 
de iniciar o estudo de colisão unidimensional de que trata esta experiência. O segundo 
experimento (Medição da Aceleração de Gravidade) discute as propriedades do pêndulo 
simples que serão necessárias para o entendimento desta experiência. A primeira, e mais 
importante delas, é a de que ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória a resultante das 
forças que atuam sobre a massa do pêndulo está na direção vertical. Em sendo assim, no 
instante em que o pêndulo passa por este ponto, não existe nenhuma força atuando na direção 
horizontal. Como conseqüência a componente da aceleração nesta direção é nula. Além disso, 
o módulo da velocidade v do pêndulo é máximo neste ponto e é dado aproximadamente pela 
expressão (1), abaixo – vide expressão (10) da experiência da Medição da Aceleração da 
Gravidade: 
 xT
πv
p
2≈ (1) 
onde Tp é o período do pêndulo, o qual independe da massa do mesmo, e x (<<ℓ) é o 
afastamento horizontal quando o pêndulo é levado do ponto O ao ponto b, conforme está 
ilustrado na Figura 1. 
 
Figura 1 
 
T
T
ℓ 
 A seguir, com base em princípios fundamentais, será discutida a colisão entre dois 
pêndulos simples de mesmo comprimento. Considerem-se dois pêndulos, de massas m1 e m2, 
sendo m1 < m2, dispostos de forma que suas posições de equilíbrio correspondam às esferas 
em ligeiro contato, isto é, tangenciando-se 
mutuamente, como mostra a figura 2. 
 
 A esfera de massa m1 é deslocada de 
sua posição de equilíbrio, ao longo de um 
pequeno arco de circunferência, cuja projeção 
sobre a mesa é o afastamento horizontal x em 
relação à origem, conforme está mostrado na 
Figura 1. Quando a esfera é solta, m1 adquire 
velocidade crescente ao longo de sua trajetória 
e colide com a massa m2 que está no ponto 
mais baixo do arco de circunferência. No “instante” da colisão, a única força na direção 
horizontal que atua sobre m1 é a força exercida pela esfera colidida (isto é, m2). Considerando-
se o sistema formado pelas massas m1 e m2, no “instante” da colisão, o momento linear do 
sistema na direção horizontal é conservado, pois a componente horizontal da resultante das 
forças externas exercidas sobre ele é nula. 
 
A conservação do momento linear do sistema formado pelas massas m1 e m2 no 
“instante” da colisão será examinada com maior detalhe no Apêndice I. 
 
 O momento linear do sistema imediatamente antes da colisão, pantes, é dado por 
pantes = m1 vo (2) 
 
onde vo é a velocidade da massa m1 no instante que esta atinge o ponto mais baixo de sua 
trajetória. 
Após a colisão, o momento linear do sistema é distribuído entre m1 e m2, de tal modo 
que estas massas adquirem velocidades v1 e v2 respectivamente. O momento linear pdepois do 
sistema, logo após a colisão, passa a ser expresso por: 
 
pdepois = m1v1 + m2v2 (3) 
 
 Convém observar que as equações (2) e (3) têm caráter vetorial, mesmo estando todos 
os vetores na mesma direção. Cada uma dessas velocidades pode ser calculada a partir da 
equação (1), onde o período Tp e o afastamento x são obtidos experimentalmente. 
 
 A conservação do momento linear do sistema é expressa por: 
 
 pantes = pdepois (4) 
 
 No caso de uma colisão perfeitamente elástica, além da conservação do momento 
linear, ocorre também a conservação da energia cinética (isto é, Kantes = Kdepois.). As 
expressões de Kantes e Kdepois. são dadas, respectivamente, por: 
 Kantes ≡ Ko = 2o1vm2
1
 (5) 
Figura 2 
 
Kdepois ≡ K1 + K2 = 222211 vm2
1vm
2
1 + (6) 
 
 
 No caso de uma colisão inelástica, existe transformação de energia cinética em outros 
tipos de energia (deformação, por exemplo) e, assim, Kantes> Kdepois. Numa colisão 
perfeitamente inelástica, as velocidades de m1 e m2 após a colisão são iguais, isto é, 
v1 = v2 = V. A velocidade V do sistema, após a colisão, também pode ser calculada a partir da 
equação (1), onde o período Tp e o afastamento x são obtidos experimentalmente. Para a 
colisão inelástica, a expressão (3) passa a ser: 
 
pdepois = ( m1+ m2) V (7) 
 
 
Apêndice I - A conservação do momento linear 
 
 Sejam duas partículas de massas m1 e m2 cujo movimento, restrito ao eixo x, foi 
iniciado no instante t=0 (vide Figura Ia). Considere que uma força F1 atue em m1 e F2 atue 
em m2 de forma que as duas partículas se aproximam uma da outra em rota de colisão. Em um 
dado instante, tcol, as partículas começam a se tocar dando início ao processo de colisão (vide 
Figura IIb). Durante este processo além da força externa F2, age sobre a partícula de massa m2 
a força de interação F12 devida à colisão com a partícula de massa m1. Sobre a partícula de 
massa m1 além da força externa F1 age também a força de interação F21 devida à colisão com 
a partícula de massa m2. Estas forças de interação, que aparecem em razão do processo de 
colisão entre as partículas, são forças internas ao sistema formado por elas. A soma vetorial 
destas duas forças F12 e F21, é nula, em decorrência da 3ª lei de Newton (elas formam um par 
ação – reação): 
 F12 + F21 = 0 (I.1) 
 
O intervalo de tempo ∆t , durante o qual agem as forças de interação é muito pequeno. 
Trata-se do “instante” mencionado no texto. A dependência temporal destas forças não é 
simples (vide gráfico à direita da Figura IIb). Apesar da curta duração, as forças de interação 
Figura II 
ou forças internas podem alterar significativamente as velocidades das partículas (vide Figura 
IIc). 
 Nos instantes t < tcol e t > tcol + ∆t o movimento das partículas é regido pelas equações: 
 
 m1a1 = F1 (I.2a) 
 
 
 m2a2 = F2 (I.2b) 
 
 
onde a1 e a2 são as acelerações das partículas de massas m1 e m2 respectivamente. 
 
No intervalo de tempo entre tcol e tcol + ∆t além das forças externas F1 e F2 agem também as 
forças de interação F12 e F21 devidas à colisão entre as partículas. As equações de movimento 
são então: 
 
 m1a1 = m1
dv
dt
1 = F1 + F21 (I.3a) 
 
 m2a2 = m2
dv
dt
2 = F2 + F12 (I.3b) 
 
 Somando (II.3a) e (II.3b) e fazendo uso de (II.1) vem: 
 
 
d
dt
( m1v1 + m2v2 ) = F1 + F2 (I.4) 
 
onde foi considerado que m1 e m2 não dependem do tempo. Sendo o momento linear total do 
sistema a soma dos momenta das partículas, p = m1v1 + m2v2 e chamando de força externa 
total a soma Fext = F1 + F2, a equação (II.4) fica: 
 
 
dt
dp = Fext (I.5) 
 
 Note que as forças de interação F12 e F21 (forças internas no sistema constituído pelas 
partículas de massas m1 e m2) não aparecem nesta equação. Se o somatório das forças 
externas atuando no sistema for nulo (ou seja, se a resultante das forças externas for igual a 
zero), o momento linear total do sistema será constante, isto é, independente do tempo: 
 
 
dt
dp = 0 ou p = constante (I.6) 
 
ou seja, p tem o mesmo valor antes, durante e depois da colisão. Esta é a lei de conservação 
do momento linear e pode facilmente ser generalizada para um sistema de muitas 
partículas. 
 
Bancada ___________ Data________________ Turma_____ 
Nomes: 1- ________________________________________________________ 
 2- ________________________________________________________ 
 
Procedimento Experimental: COLISÕES EM UMA DIMENSÃO 
 
1. Meça o período Tp de um dos pêndulos. Para tanto, deixe a massa oscilar a partir de 
um afastamento x. 
 
O período Tp pode ser definido como sendo o tempo decorrido desde o instante em que a massa 
do pêndulo deixa a posição de maior afastamento da vertical, até o instante em que ela retorna à 
mesma posição. 
Determine um intervalo de tempo ∆t correspondente a n períodos, de modo que 
Tp = ∆t / n. Se você considerarn = 5, por exemplo, seu resultado terá menor incerteza 
do que se medir apenas um único período. 
 
Período Tp de um dos pêndulos = ________________ 
Massa m1 do pêndulo 1 = ______________________ 
Massa m2 do pêndulo 2 = ______________________ 
 
2. Colisão elástica 
 
2.1- Desloque a esfera de massa m1 (m1 < m2) de sua posição de equilíbrio e meça 
cuidadosamente o afastamento horizontal x0. 
 
2.2- Solte então o pêndulo de massa m1 e meça os afastamentos x1 e x2 de cada uma das 
duas esferas, m1 e m2, respectivamente, após a colisão. 
 
2.3- Para tanto, determine primeiro o afastamento x1, coloque o sistema em equilíbrio e 
volte a soltar a esfera de massa m1 da mesma posição x0 anterior. Meça agora o 
afastamento x2 da esfera m2. 
 
2.4- Repita o procedimento descrito acima para outros afastamentos x0 e preencha a 
tabela. 
 
Atente às unidades ao preencher a tabela 
x0 
( ) 
x1 
( ) 
x2 
( ) 
p0antes 
( ) 
p1depois 
( ) 
p2 depois 
( ) 
PTotal depois 
( ) 
 
 
 
 
 xv
pT
2π≈ 
2.5- Para cada valor de x0 determine a variação percentual relativa da quantidade de 
movimento. 
100 x
p
|)p(p|
antes
antesdepois −
 
 
x0 % 
 
 
 
 
Média 
 
2.6- Preencha a tabela abaixo. Lembre-se que a energia cinética pode ser calculada como 
K = p2/2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7- Para cada valor de x0 determine a variação percentual relativa da energia cinética 
100 x
K
)K(K
antes
antesdepois − . 
 
x0 % 
 
 
 
 
Média 
 
x0 
( ) 
K0 
( ) 
K1 
( ) 
K2 
( ) 
KTotal depois 
( )