Geometria Analítica de Vetores

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Geometria analítica 
Vetores 
Vetores no plano e no espaço 
→ Grandezas vetoriais apresentam 
magnitude, direção e sentido 
 → Segmentos de reta orientados 
com mesma direção, sentido e 
comprimento apresentam o mesmo 
valor 
→ v=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
Soma de vetores 
Soma Comutativa 
→ Sejam v e w vetores. Definimos a 
soma v+w por: 
 
→ Regra “cabeça na bunda” 
Soma Associativa 
→ Dados u, v e w vetores 
(𝑣 + 𝑤) + 𝑢 = 𝑣 + (𝑤 + 𝑢) 
 
Vetor nulo 
→ Tem sua origem coincidindo com 
a sua extremidade 
→ Representado por 0⃗ 
 
Vetor simétrico 
→ Denotado por –v, apresenta o 
mesmo comprimento, mesma direção 
e sentido contrário a v 
→ Sendo assim: 
𝑣 + (−𝑣) = 0⃗ 
 
Multiplicação por escalar 
→ Em uma multiplicação de um 
vetor v por um escalar α, αv, temos: 
 É o vetor nulo se α=0 ou v=0 
 Se α≠0 e v≠0, então αv 
o Tem comprimento |α| 
vezes o comprimento 
de v 
o Mesma direção de v 
o Se α˃ 0, αv tem 
mesmo sentido de v 
o Se α˂0, αv tem 
sentido contrário de v 
 Se w= αv dizemos que w é 
múltiplo escalar de v 
 
Sistema de coordenadas 
retangulares ou cartesianas 
→ Seja v um vetor no plano 
definimos como componentes 
(𝑣1; 𝑣2) 
Soma 
→ 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2), 𝑤 = (𝑤1; 𝑤2) 
𝑣 + 𝑤 = (𝑣1 + 𝑤1; 𝑣2 + 𝑤2) 
Multiplicação por um escalar 
→ 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2), α é um escalar 
α𝑣 = (α𝑣1; α𝑣2) 
 
Vetores no espaço 
→ Primeiramente, vamos definir um 
sistema de coordenadas regulares no 
espaço 
→ Escolher o ponto de origem e 
definir as retas x, y e z 
→ Cada par de eixos determina um 
plano chamado de plano coordenado, 
os três planos são xy, yz e xz 
Definição 
→ Seja v um vetor no espaço. 
Definimos as componentes de v 
como sendo as coordenadas 
(𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) do ponto final do 
representante de v que tem ponto 
inicial na origem. 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) 
→ Um vetor no espaço 𝑣 =
(𝑣1; 𝑣2; 𝑣3) pode ser escrito como 
uma matriz linha ou coluna 
Teorema 
 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
 (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
 𝑢 + 0⃗ = 𝑢 
 𝑢 + (−𝑢) = 0⃗ 
 𝛼(𝛽𝑢) = (𝛼𝛽)𝑢 
 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 
 (𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 
 1𝑢 = 𝑢 
 
Norma de vetor 
→ Seja . 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2; 𝑣3), então: 
‖𝑣‖ = √𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑣1
2 
 
Distância entre pontos 
→ Sendo 𝑃 = (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) e 
𝑄 = (𝑥2; 𝑦2; 𝑧2) então: 
𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
= (𝑥2 − 𝑥1; 𝑦2 − 𝑦1; 𝑧2 − 𝑧1) 
→ Temos 
‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
= √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 + (𝑧2 − 𝑧1)
2 
 
Vetor unitário 
→ Vetor unitário (u) na direção do 
vetor v 
𝑢 =
1
‖𝑣‖
𝑣