Aula_10_2012_01

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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;
Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
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Refinando o Lugar das Raízes
Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:
Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;
Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
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Pólos e zeros a malha aberta e cálculos de:
a. ângulo de saída;
b. ângulo de chegada
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Exemplo: calcule os ângulos de partida para o sistema 
 -1.0000 +1.0000i
 -1.0000 - 1.0000i
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Lugar das raízes para o sistema da Fig. 8.16 mostrando ângulo de saída
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Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de %UP=20%
Raio
Ângulo
(graus)
Plano s
–158,4
–180,0
–199,9
–230,4
–251,5
0,5
0,747
1,0
1,5
2,0
1,5
,5
0,45
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Exercício 
Eboce o Lugar das Raízes para K variando de zero até infinito. Encontre todos os valores que possam refinar o seu desenho.
Encontre o valor de K para que o sistema apresente 27,4% de Ultrapassagem Percentual. Para este ganho qual é o Tempo de Pico e Tempo de Estabilização esperados?
A aproximação de segunda ordem é válida? Porque? 
Qual o erro de estado estacionário para o sistema com o ganho calculado no item “b”?
Para que faixa de valores de o sistema é estável?
Como seria possível ter um erro zero para uma entrada degrau unitário mantendo os índices de desempenho do item “b”?
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Solução:
Trechos do eixo real que pertence ao Lugar das Raízes: entre -2 e -4 e entre -5 e menos infinito;
Número de Zeros finitos da F.T.M.A.: 01- (Um);
Número de Pólos finitos da F.T.M.A.: 04 – (Quatro);
Número de ramos do Lugar das Raízes que vão para infinito: 4-1=3 (Três), o que implica em três Assíntotas;
Centro das assíntotas:
Ângulo das Assíntotas:
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Solução:
Pontos de Saída e Pontos de Chegada:
Ponto de Saída
Ponto de Chegada
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Solução:
Cruzamento com o eixo imaginário:
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Solução:
Cruzamento com o eixo imaginário:
Pontos de Cruzamento com o eixo imaginário
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Solução:
Ângulos de Partida:
Ângulo de Partida
-1
-2
-4
-5
j
-j
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Solução:
Para relação %U.P.= 27,4% temos:
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Cálculo do ganho K para o ponto de operação 
x
x
x
x
o
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F.T.M.F. com o ganho calculado
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Tempo de Pico e Tempo de Estabilização Esperados
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Erro de Estado Estacionário
Sistema do tipo zero portanto temos que calcular 
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%U.P=24,8%
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