Medidas_de_Posição_2

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AFE/ UNIGRANRIO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE I
 
Assunto: MEDIDAS DE POSIÇÃO
Introdução
Este estudo visa localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual.
Dentre os elementos típicos temos as medidas de tendência central. Dentre as medidas de tendência central destacamos:
A média aritmética
A mediana 
A moda
 As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os quartis, os percentis.
Média Aritmética (
) – é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles .
= 
 sendo: 
 - média aritmética; 
- valores da variável; n – nº de valores 
- Dados não-agrupados 
	Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética simples.
Ex.: Sabendo-se que a visita a uma loja de jogos virtuais, durante a semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 pessoas, tivemos uma freqüência média de usuários de:
	
= 
= 
= 14 frequentadores.
	Às vezes acontece de a média ser um número diferente de todos os da série de dados que ela representa. Neste caso, costumamos dizer que a média não tem existência concreta. 
Ex.: Considerando os valores 2, 4, 8 e 9, a média será 5.
- Desvio em relação à média = é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.
			
			
= 
- 
Para o exemplo da loja de jogos, temos:
= 
 - 
= 10 – 14 = - 4
- Dados Agrupados
	Sem intervalos de classe
	As freqüências são números indicadores da intensidade de cada valore da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
					
	Com intervalos de classe
	Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada, usando a seguinte fórmula:
, onde 
 é o ponto médio de maior freqüência (ou qualquer dos pontos médios)
	Fases para o cálculo da média 
1ª) Abrimos uma coluna para os valores 
.
2ª) Escolhemos um dos pontos médios (de preferência o de maior freqüência) para valor de 
.
3ª) Abrimos uma coluna para os valores de 
 e escrevemos: zero na linha correspondente à classe onde se encontra o valor de 
; a seqüência – 1, - 2, - 3, ... , logo acima do zero e a seqüência 1, 2, 3, ..., logo abaixo.
4ª) Abrimos uma coluna para os valores do produto 
.
, conservando os sinais + ou – e, em seguida, somamos algebricamente esses produtos.
5ª) Aplicamos a fórmula.
Exemplo:
Consideremos a distribuição:
	i
	ESTATURAS
(cm)
	
	
	
	
	1
	150 ( 154
	4
	152
	- 2
	- 8
	2
	154 ( 158
	9
	156
	- 1
	 - 9 - 17
	3
	158 ( 162
	11
	160
	0
	0
	4
	162 ( 166
	8
	164
	1
	8
	5
	166 ( 170
	5
	168
	2
	10
	6
	170 ( 174
	3
	172
	3
	 9 27
	
	
	
	
	
	
Como, neste caso, 
, 
 = 160, 
= 40, h = 4. Substituindo esses valores na fórmula:
X= 160 + 
= 160 + 1 
, donde 
Obs.: A média é utilizada quando: desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade; houver necessidade de um tratamento algébrico anterior.
A Moda (Mo) – é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
- Dados não-agrupados – Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete.
Ex.: A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, tem moda igual a 10.
Obs.: 1) Existem algumas séries nas quais não exista valor modal ( amodal), isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros; 2) Existem casos onde pode haver dois (bimodal) ou mais valores de concentração.
- Dados agrupados 
	- Sem intervalos de classe – uma vez agrupados os dados é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.
	- Com intervalos de classe – a classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. 
	Para determinação da moda, criou-se a seguinte expressão:
				Mo = l* + 
 denominada fórmula de Czuber e, na qual:
l* é o limite inferior da classe modal.
h* é a amplitude da classe modal
 = f* - f(ant) 
 = f* - f(post) , sendo: f* a freqüência simples da classe modal;
f (ant) a freqüência simples da classe anterior à classe modal.
f (post) a freqüência simples da classe posterior à classe modal.
4) A Mediana (Md) – é um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
	Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) de valores. Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda.
	Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, a média aritmética dos dois números que ocuparem o meio da série.
Exemplo: Dadas as séries: a) 5, 14, 9, 11, 13, 18, 16 o primeiro passo é a ordenação 
 5, 9, 11, 13, 14, 16, 18 com isso a Md = 13
				b) 2, 5, 8, 10, 12, 13, 18, 21, a mediana será a média aritmética 
 entre 10 e 12, logo Md = 11
Obs.: 1) Se os valores de uma série estiver ordenado e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será: - se n for ímpar o termo de ordem será 
; - se n for par o resultado será a média aritmética dos termos de ordem 
 e 
.
2) O valor da mediana pode ou não coincidir com um elemento da série;
3) A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor;
4) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média;
5) A mediana é designada, muitas vezes, valor mediano.
	Dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, implicando na determinação prévia das freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.
A ordem a partir de qualquer um dos extremos é dada por:
Sem intervalos de classe
É o bastante identificar a freqüência acumulada que é imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Exemplo: tabela
	
	
	
	12
	1
	1
	14
	2
	3
	15
	1
	4
	16
	2
	6
	17
	1
	7
	20
	1
	8
	
	
= 8
	
 
 
Logo: Md = 
 Md = 15,5
	
	Com intervalo de classe
	Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
	Na prática temos os seguintes passos:
1) Determinamos as freqüências acumuladas.
2) Calculamos 
3) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior a 
- classe mediana- e, em seguida, empregamos a fórmula:
Md = l* + 
Onde:
l* - limite inferior da classe mediana;
F(ant)- frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f*- freqüência simples da classe mediana;
h*- freqüência do intervalo da classe mediana.
Empregamos a mediana:
Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média.
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