MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E MÉTODO GRÁFICO NO MRUV

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E EXATAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA 
 
 
 
DISCENTES: ARTHUR HENRIQUE VERBE DA SILVA 
BRUNO HENRIQUE JANUÁRIO SANTOS 
DANIELLE LÚCIA COUTINHO BORGES DA CUNHA 
DAVI AUGUSTO BAIO 
MURILO BICHUETTE NASSIF 
 
 
 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E MÉTODO GRÁFICO NO MRUV 
 
 
 
 
 
PROF. DRA. ARIANA DE CAMPOS 
DISCIPLINA DE LABORATÓRIO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
UBERABA-MG 
OUTUBRO, 2019 
1. OBJETIVOS 
Determinar a aceleração e sua incerteza no Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV), por meio do método dos mínimos quadrados e do 
método gráfico, comparando os dois métodos. 
2. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Foram coletados, em laboratório, os dados apresentados na Tabela 1, onde 
também estão expressos os cálculos da média, desvio padrão e incerteza de cada tempo t 
dos cinco sensores. Na tabela, x representa as posições dos cinco sensores com uma 
incerteza instrumental ∆x = 0,05, t representa os tempos medidos com um cronômetro, 
oito vezes para cada sensor, t possui uma incerteza instrumental de 5% da medida. 
x(cm) 12,00 22,00 32,00 42,00 52,00 
t1 (s) 0,4473 0,6138 0,7392 0,8485 0,9469 
t2 (s) 0,4449 0,6111 0,7364 0,8455 0,9440 
t3 (s) 0,4479 0,6140 0,7393 0,8485 0,9470 
t4 (s) 0,4467 0,6131 0,7385 0,8476 0,9462 
t5 (s) 0,4494 0,6155 0,7408 0,8499 0,9483 
t6 (s) 0,4488 0,6148 0,7401 0,8491 0,9475 
t7 (s) 0,4481 0,6144 0,7398 0,8490 0,9474 
t8 (s) 0,4473 0,6137 0,7392 0,8484 0,9469 
t̅ (s) 0,4476 0,6138 0,7392 0,8483 0,9468 
σ 0,00148 0,0013136 0,0013125 0,0013152 0,0012736 
σA 0,00052457 0,00046445 0,00016406 0,00046500 0,00045029 
σB 0,0223792 0,03069 0,0369581 0,042415625 0,04733875 
σC 0,022385347 0,030693514 0,0369584 0,042418173 0,047340891 
t̅ ± ∆t (s) (0,45±0,02) (0,61±0,03) (0,74±0,04) (0,85±0,04) (0,95±0,05) 
Tabela 1: Dados coletados e cálculos de média, desvio padrão e incerteza de t. 
2.1 MÉTODO GRÁFICO 
log 𝑡 = log A + n log x 
𝒏 =
𝐥𝐨𝐠 𝒚𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝒚𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒙𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝒙𝟏
 
𝒏 =
𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟗𝟒𝟔𝟖 − 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟔
𝐥𝐨𝐠 𝟓𝟐 − 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐
 
𝒏 =0,5109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑨 =
�̅�
�̅�𝒏
 
𝑨 =0,126371 
Determinando aceleração 
�̅� =
2
𝐴
1
𝑛
 
�̅� = 122,02 𝑐𝑚/𝑠2 
Propagação de erros 
∆�̅� = �̅�√(
∆𝑥
𝑥
)
2
+ (
2∆𝑡
𝑡
)
2
 
 
∆�̅� =12,20 𝑐𝑚/𝑠2 
�̅� = (122 ± 12) 𝑐𝑚/𝑠2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas X0,5109 (cm) t (s) ∆t (s) 
1 3,559944221 0,44755 0,022385347 
2 4,832603347 0,6138 0,030693514 
3 5,849476332 0,739163 0,0369584 
4 6,719046707 0,848313 0,042418173 
5 7,491707788 0,946775 0,047340891 
Médias 
5,690555679 0,7191202 
0,035959 
 
∆�̅�𝑛 = 0,004691 
 
 
2.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
Tabela 3 - Método dos Mínimos Quadrados para o n 
Medidas log x (cm) log t (s) (logxi - 
logx̅).logti 
(log xi − logx̅)
2 (log ti – n.log xi − b)
2 
1 1,0792 -0,3491 0,130592 0,139891007 1,03433.10-6 
2 1,3424 -0,2120 0,023482 0,012271904 4,01714.10-6 
3 1,5051 -0,1312 -0,006819 0,002698664 4,77489.10-8 
4 1,6232 -0,0715 -0,012149 0,028916316 3,51941.10-7 
5 1,7160 -0,0237 -0,006242 0,06906491 3,08005.10-8 
Médias 1,453201 
 
-0,15752 
 
∑ = 
0,128864 
n = 
0,509661 
 
∆n = 
0,002688 
 
∑ = 
0,252842802 
 
∑ = 
5,48196.10-6 
b = 
-0,898158547 
 
 
Na tabela a seguir é encontrado o coeficiente angular, com base no n que foi 
obtido na tabela anterior. 
Tabela 4 - Método dos Mínimos Quadrados para o A 
Medidas X0,509661(cm) t̅ (s) (xi.ti) (xi)2 (ti-A.xi)2 
1 3,548274 0,4476 1,588029949 12,59024712 0,200301 
2 4,832603 0,6138 2,966251935 23,35405511 0,37675044 
3 5,849476 0,7392 4,323716474 34,21637336 0,54636194 
4 6,719047 0,8483 5,699854669 45,14558865 0,71963495 
5 7,491708 0,9468 7,092961641 56,12568558 0,8963829 
Médias 5,688222 0,71914 ∑ = 
21,67081467 
∑= 
171,4319498 
∑= 
2,73943123 
A= 
0,126410594 
∆A= 
0,06320542 
 
 
Com os valores do gráfico do coeficiente angular e de n conseguimos calcular 
a aceleração isolando-a na equação: 
�̅� =
2
𝐴
1
𝑛
 
�̅� = 115,72 cm/s2 
Para calcular a propagação de erro, utiliza-se a fórmula: 
∆�̅� = �̅�√(
∆𝐴
𝑛𝐴
)
2
+ (
ln 𝐴
𝑛2
) (∆𝑛)2 
∆�̅� = 113,55 
�̅� = (115 ± 113)𝑐𝑚/𝑠2 
 
 
3. CONCLUSÃO 
Foram determinadas a aceleração e sua incerteza no MRUV, por meio do 
método dos mínimos quadrados e do método gráfico, foi feita a comparação dos dois 
métodos.