Tensão de tração em barras cilíndricas e circulo de morh

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CENTRO UNIVERSITÁRIO LUTERAN DE SANTARÉM 
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
LEANDRO FERREIRA BENEVENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCIPIOS DE TRABALHO VIRTUAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santarém-PA 
2021 
 
 
LEANDRO FERREIRA BENEVENTES 
 
 
 
PRINCIPIO DE TRABALHO VIRTUAL 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao curso de 
engenharia civil do Centro Universitário 
Luterano de Santarém, como requisito 
parcial para obtenção da nota de Grau I 
na disciplina de Resistencia dos Materiais. 
 
Professor: Nadir Pires Martins 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santarém-PA 
2021 
LISTAS DE FIGURAS 
 
Figura 1 ......................................................................................................... 8 
Figura 2 ......................................................................................................... 8 
Figura 3 ......................................................................................................... 8 
Figura 4 ......................................................................................................... 9 
Figura 5 ......................................................................................................... 9 
Figura 6 ......................................................................................................... 9 
Figura 7 ......................................................................................................... 9 
Figura 8 - Barras cilíndricas .............................Erro! Indicador não definido. 
Figura 9 - Diagramas tensão-deformação .......Erro! Indicador não definido. 
Figura 10 - Plano representado pelas tensões que nele atuam no sistema . 11 
Figura 11 - Planos de tensões de cisalhamento, máx.min. .......................... 12 
Figura 12 - Planos perpendiculares entre si no sistema .............................. 12 
Figura 13 - Círculo de Mohr. ........................................................................ 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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file:///C:/Users/leobe/Documents/8°%20Semestre%20-%202021-2%20-%20Eng%20Civil/Material%20-%20Resistencia%20dos%20Materiais/Trabalho%20-%20Tensão%20de%20tração%20em%20barras%20cilíndricas%20e%20circulo%20de%20morh.doc%23_Toc82028419
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
LISTAS DE FIGURAS ................................................................................... 3 
1. Introdução ................................................................................................. 5 
2 DESLOCAMENTOS VIRTUAIS .................................................................. 6 
2.1 Tensão normal .......................................Erro! Indicador não definido. 
2.2 Tensão de flexão....................................Erro! Indicador não definido. 
2.3 Tensão de Cisalhamento .......................Erro! Indicador não definido. 
2.4 Materiais dúcteis e frágeis ......................Erro! Indicador não definido. 
3 LEI DE HOOKE ............................................Erro! Indicador não definido. 
3.1 COEFICIENTE DE POISSON ................Erro! Indicador não definido. 
3.2 Propriedade mecânicas dos materiais....Erro! Indicador não definido. 
3.3 Limite de proporcionalidade ...................Erro! Indicador não definido. 
3.4 Limite elástico ........................................Erro! Indicador não definido. 
3.5 Regiões elástica e plástica .....................Erro! Indicador não definido. 
3.6 Curva tensão-deformação ......................Erro! Indicador não definido. 
4 CIRCULO DE MOHR................................................................................ 10 
5 CONCLUSÃO ........................................................................................... 12 
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual das forças 
externas equivale ao trabalho virtual das forças internas. Neste contexto, a palavra 
virtual significa que as forças e os deslocamentos envolvidos podem não 
corresponder um ao outro, somente é necessário que as forças estejam 
estaticamente admissíveis e os deslocamentos cinematicamente admissíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 CORPO RÍGIDO 
 
Um corpo rígido mantém a sua forma e o tamanho (volume) em qualquer 
instante de tempo e não desenvolve os esforços internos nem as tensões (o termo 
“tensão” será explicado na disciplina MMC). A sua posição no plano (no espaço), 
está descrita via 3 (6) parâmetros independentes, assim diz que tem 3 (6) graus de 
liberdade cinemática. Nesta disciplina os corpos rígidos serão principalmente 
representados pelas barras, e apenas em alguns casos, também pelas placas, 
discos, cilindros ou esferas. 
1.1 O conjunto de corpos rígidos 
 
Vários corpos rígidos formam um conjunto quando ligados pelas ligações 
internas. A forma das ligações internas é igual, como dado na disciplina de Estática, 
serão então rótulas, ou encastramentos deslizantes. 
 
Figura 1 - Rótulo interna 
 
 
Figura 2 - Encastramento deslizante interno 
 
2 DESLOCAMENTOS VIRTUAIS 
 
O princípio dos trabalhos virtuais permite a formulação das condições de 
equilíbrio em termos do trabalho, que é uma grandeza escalar. Assume-se que o 
conceito de trabalho seja familiar. O mesmo não se aplica, contudo, ao termo virtual. 
Assim, antes da enunciação do princípio dos trabalhos virtuais, algumas definições e 
informações preliminares precisam ser consideradas. 
Um conjunto de deslocamentos virtuais (ou simplesmente variações de 
deslocamentos) é composto de deslocamentos que gozam das seguintes 
características: 
 
Além das ligações internas, serão também utilizadas as ligações externas 
que são novamente iguais às dadas na disciplina de Estática: apoio fixo, apoio 
móvel, encastramento e encastramento deslizante. 
 
 
Figura 3 - Apoio movel 
 
Figura 4 - Apoio fixo 
 
Figura 5 – Encastramento 
 
Figura 6 - Encastramento deslizante 
 
• São pequenos (isto é, parcelas de segunda ordem, ou superior, de uma 
expansão em série de Taylor são desprezáveis). 
 
• São arbitrários, mas compatíveis com os vínculos internos e externos do 
sistema mecânico. Traduzindo este fato para um corpo elástico, diz-se que as 
condições de contorno geométricas (vínculos externos) são respeitadas e que 
a configuração assumida pelo corpo é tal que sua continuidade também é 
respeitada, isto é, ela não apresenta fissura ou outros vazios. 
 
• São deslocamentos da posição verdadeira do sistema mecânico (por 
exemplo, deslocamentos da posição de equilíbrio estático, ou da trajetória 
verdadeira de cada ponto do sistema, num dado instante). 
 
• São diferenciais, satisfazendo, pois, as regras da diferenciação, comuns ao 
cálculo infinitesimal. 
 
• Não são deslocamentos verdadeiros, isto é, são virtuais. Esta é, geralmente, 
a característica que mais confunde. Dizer que não são deslocamentos 
verdadeiros equivale a dizer que não ocorrem efetivamente, sendo, assim, 
imaginários ou virtuais. Portanto, não existe variação de tempo associada a 
esses deslocamentos, ou seja, o tempo transcorrido durante sua ocorrência é 
nulo. Para lembrar esta característica, são ordinariamente representados por 
 , em vez de d. 
 
 
 
A hipótese da compatibilidade dos deslocamentos virtuais com os vínculossignifica que as equações de vínculo 4.1, quais sejam, 
 
 
 
Figura 7 
 
 
 
devem ser satisfeitas. Acima, k f é uma das (p-n) equações 1.2 e i  são variações 
virtuais das coordenadas i, devido ao deslocamento virtual (ou variação) do 
sistema. 
Expandindo as equações 4.1 em série de Taylor e desprezando os termos 
de ordem segunda e superiores (deslocamentos virtuais pequenos), tem-se 
 
 
Figura 8 
 
Comparando as expressões 1.2 e 4.2, chega-se à conclusão de que 
 
Figura 9 
 
A expressão 4.3 é uma condição necessária para que os deslocamentos i  
= ,i 1,p, sejam compatíveis com os vínculos associados às expressões 1.2. 
Nota-se que os deslocamentos (ou variações) i  , i = 1, p, são arbitrários, 
mas não são independentes (vide Eq. 4.3). Isto decorre do fato de que as i não são 
coordenadas generalizadas (p n  ) , ou seja, não são linearmente independentes. 
Se as coordenadas na Eq. 1.2 fossem dependentes do tempo e, mais ainda, se o 
tempo figurasse como uma variável explícita, ter-se-ia 
 
 
Figura 10 
como condições de vínculo. 
Para um conjunto de deslocamentos virtuais, seria ainda possível escrever 
que 
 
Figura 11 
devido à compatibilidade dos deslocamentos virtuais com os vínculos. 
De novo, desenvolvendo as equações 4.5 em série de Taylor e desprezando 
os termos de ordem dois ou acima, tem-se que 
 
Figura 12 
donde se conclui que 
 
Figura 13 
Nota-se ainda que, no desenvolvimento da Eq. 4.6, a variável tempo não foi 
considerada (ou seja, não aparece o termo ( ) k    f / t t), já que não existe 
associação de tempo com os deslocamentos virtuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS – FORMULAÇÃO VETORIAL 
 
O princípio dos trabalhos virtuais será estabelecido para um sistema de 
partículas. A sua generalização para sistemas com corpos rígidos e/ou elásticos 
será imediata, como se verá adiante. 
Tome-se, pois, uma partícula mi de um sistema de partículas, isto é, um 
sistema constituído de pontos materiais ligados entre si de forma arbitrária, como 
ilustrado na figura 4.1. Indicando as grandezas vetoriais por letras em negrito (como 
será feito daqui em diante), seja Ri a resultante de todas as forças que atuam em mi 
. Se a partícula estiver em equilíbrio estático, Ri será nula. 
 
Figura 14 - Sistema de partículas 
 
4 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS EM MECANISMO 
 
Seja o mecanismo manivela-alavanca ilustrado na figura 9. Os esforços 
aplicados ao sistema, e que podem realizar trabalho virtual, são a força vertical F, 
que age na extremidade da alavanca, e o momento M, que age na manivela. O 
sistema está em equilíbrio sob a ação desses esforços. Determinar a relação entre 
F, M e a variável primária (coordenada generalizada) q na condição de equilíbrio 
estático. As variáveis A e X, indicadas na figura 4.5, são variáveis secundárias. 
 
 
 
Figura 15 - Mecanismo manivela-alavanca 
 
 
 
 
Neste tipo de representação, é possível notar que: 
a) Os planos das tensões principais são representados por pontos que se 
encontram no eixo, já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero. 
b) As tensões de cisalhamento, máxima e mínima, são representadas por 
pontos que são simétricos em relação ao eixo. Lembrar que nestes planos ocorre a 
mesma tensão normal e que as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais 
opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A tensão normal que atua nos planos das tensões de cisalhamento, 
máxima e mínima, é igual à média aritmética das tensões principais. 
d) Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que à 
mesma distância do eixo, porém em lados opostos. Note-se aqui que a tensão 
normal média dos dois planos é igual à tensão média das tensões principais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) A figura geométrica que satisfaz a todas estas condições 
simultaneamente é um círculo. A este círculo se dá o nome de Círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
5 CONCLUSÃO 
Pode-se que para obter o exato alongamento, o modulo de elasticidade e a 
deformação de uma barra cilíndrica, é esencial a realizassam do ensaio de tração 
(um ensaio destrutivo), ou seja, para que se possa verificar as propriedades dos 
materiais é necessário leva-os até a ruptura (destruição) do material. No entanto 
nem todos os ensaios são destrutivos, outros ensaios testam as características dos 
materiais sem danifica-lo. 
Foi apresentado também sobre equações de transformações de tensões, 
cujas umas das equações de estado plano de tensão, conhecida como Círculo de 
Mohr e para que seja possível o uso do mesmo, é necessário que cada plano seja 
representado por um ponto em um sistema de coordenadas, com demonstrações de 
Figura 16 - Planos de tensões de cisalhamento, máx.min. 
Figura 17 - Planos perpendiculares entre si no sistema . 
Figura 18 - Círculo de Mohr. 
construção da circunferência, sobre os planos principais e as tensões principais, 
bem como as tensões máximas e mínimas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
BRITO, H.; Resistencia dos materiais: Estado duplo de tensão. Círculo de Mohr. USP, São 
Paulo, 2015. 
MARTINS, C. A.; Introdução ao Estudo das Tensões. Agosto 2020. 
MORILLA, C. J.; Resistência dos Materiais II. UNISANT, São Paulo. 
BITTENCOURT D. M. A.; Resistencia dos matérias I: Círculo de Mohr para tensões. Goiás.