Atividade conectada Matematica Analçise combinatória

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Secretaria Adjunta de Gestão Educacional - SAGE 
 
 
 
Aprendizagem Conectada 
Atividades Escolares 
2° ano do Ensino Médio 
 
Matemática - Carga horária mensal 12 horas 
Códigos das Habilidades Objetos de conhecimentos 
EM13MAT301 
 
 
 
EM13MAT310 
 - Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de 
outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares 
simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem 
apoio de tecnologias digitais. 
- Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo 
agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos 
princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias 
diversas, como o diagrama de árvore. 
Nome da Escola: 
Nome do Professor: 
Nome do estudante: 
Período: ( ) vespertino ( ) matutino ( ) noturno Turma 2° ano ___ 
 
Matemática e a vacina contra o 
Coronavírus. 
 
O sequenciamento do Coronavírus possibilita o desenvolvimento de vacinas. As 
cientistas brasileiras, Ester Sabino, diretora do Instituto de Medicina Tropical da USP e 
Jaqueline Goes de Jesus, pós-doutoranda na USP, em apenas 48 horas sequenciaram o 
genoma do Coronavírus (COVID-19) do primeiro caso da doença confirmado no Brasil. E 
para entender mais sobre esse sequenciamento do Coronavírus, o Blog da Saúde 
conversou com duas pesquisadoras que fazem parte do grupo, a Dra. Camila Malta 
Romano, pesquisadora científica dos LIMs (Laboratórios de Inteligências Múltiplas) do 
Hospital das Clinicas e do Instituto de Medicina Tropical e a professora Dra. Maria Cássia 
Jacintho Mendes Corrêa, Professora Associada do Departamento de Doenças Infecciosas 
(USP) e coordenadora do Ambulatório de Hepatites Virais do Hospital das Clínicas (USP), 
para entender melhor esse assunto. Confira: 
 
Inicialmente vamos explicar o que seria um sequenciamento de genoma. 
 
 
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Sequenciamento é a leitura do genoma de um organismo. Todos os organismos 
vivos são compostos por DNA ou RNA. Tanto um como outro são formados por um conjunto 
de letras (bases nitrogenadas) que funcionam como um código (palavras). Por exemplo, 
cada trinca de bases nitrogenadas – letras - representam um aminoácido, que nada mais é 
do que um bloquinho utilizado para construir as proteínas de um organismo. Portanto, como 
analogia, entenda-se que o genoma é o conjunto de palavras de um livro, que só pode ser 
lido se cada letra de cada palavra for corretamente identificada. No caso do Coronavírus, 
seu genoma é de RNA. 
 
 
Agora apresentamos de que forma é feito um sequenciamento. 
Há diversas formas, atualmente, de sequenciar um genoma, ou parte dele. Uma das 
maneiras mais básicas e utilizadas por várias plataformas de sequenciamento utiliza 
marcadores acoplados às bases (letras) chamados de fluoroforos. Basicamente, fazemos 
uma cópia do DNA a ser sequenciado, utilizando para a síntese dessa cópia essas bases 
com marcadores no lugar das bases (letras) comuns que estão sendo copiadas. Após feita 
a cópia utilizando marcadores coloridos/fluorescentes, um aparelho “escaneia” esse DNA 
marcado, e interpreta as cores dos marcadores utilizados para sintetizar esse DNA. Essa 
interpretação, portanto, nos retorna qual é a sequência certinha das bases nitrogenadas 
(letras) que compunham o DNA copiado. 
 
 
 
Atividade 1 
 Pensando na necessidade de identificar cada letra de um 
conjunto de palavras que formam o genoma. Seria possível 
identificar esse conjunto de palavras por meio de 
expressões matemáticas? 
Atividade 2 
 Qual expressão matemática é semelhante a esse processo 
de sequenciamento? 
 
 
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A importância da descoberta do sequenciamento do Coronavírus. 
Para o desenvolvimento de vacinas e drogas para tratamento, é fundamental saber 
qual é a real diversidade do patógeno. Por exemplo, o HIV sofre mutações no seu genoma 
muito facilmente, o que dificulta não somente o desenvolvimento de uma vacina (outros 
fatores também estão envolvidos na dificuldade em produzir uma vacina para o HIV) mas 
também o de drogas eficientes. 
Não é incomum pacientes com HIV desenvolverem “resistência” ao medicamento. 
Isso ocorre não porque o paciente ficou resistente, mas sim o vírus! 
Portanto, saber como o Coronavírus se comporta em nível genômico pode ajudar a 
desenvolver drogas eficientes. Além disso, através do genoma dos vírus é possível saber 
qual a rota de transmissão (por exemplo, se os vírus que chegaram aqui são provenientes 
da China, da Itália, da Alemanha) pois, após um vírus entrar numa determinada população, 
eles vão acumulando mutações, e aos poucos vão os diferindo da população da qual ele 
saiu. 
 Então, comparando vírus de populações diferentes, podemos traçar sua rota de 
dispersão. Esta descoberta pode ajudar o Brasil e o Mundo no combate ao Coronavírus. 
Pois, o conhecimento do genoma do vírus possibilita o desenvolvimento de vacinas e 
medicamentos que possam ser utilizados na prevenção e no tratamento desse vírus. Além 
disso possibilita conhecer as rotas de transmissão desse vírus. 
Nesse contexto, podemos perceber a importância de entender como é a estrutura do 
DNA para que possamos estudar matematicamente possibilidades de desenvolver a vacina 
contra o Coronavírus. 
 Para tanto temos a seguinte informação: 
No mês de junho de 2000, dois grandes 
empreendimentos científicos concluíram 
simultaneamente, a primeira e mais importante 
fase de um projeto comum: o projeto Genoma. 
Esse projeto, de interesse científico para toda a 
humanidade, visa mapear o DNA (ácido 
desoxirribonucleico), molécula que contém o que 
podemos chamar de código da vida. Nela estão 
registradas todas as informações relativas a 
características físicas e genéticas, propensão a 
doenças e funcionamento do organismo de cada 
um de nós. É sem dúvida, nossa mais completa 
carteira de identidade 
Figura: 1 
 
 
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O nível de conhecimento do DNA já 
possibilitou, por exemplo, o desenvolvimento de 
testes que permitem a identificação de 
paternidades e soluções de dúvidas criminais e 
legais que antes permaneciam sem reposta. 
Deve-se à J. Watson e F. Crik a proposição inicial 
do modelo do DNA na década de 50, o que lhes 
valeu o Prêmio Nobel de Medicina. 
Esses Cientistas propuseram um modelo 
que explicava a constituição da molécula do 
DNA. Era o modelo de uma dupla hélice, 
contendo em cada cadeia uma sequência de 
bases nitrogenadas, denominadas: adenina (A), 
timina (T), citosina (C) e guanina (G). 
As duas hélices que formam 
a molécula de DNA ligam-se uma à 
outra pelos pares específicos 
dessas bases. Assim, a adenina 
liga-se sempre à timina (A – T ou T 
– A) e a citosina liga-se à guanina 
(C – G ou G – C). 
 
 A Partir da molécula do DNA se dá a síntese do RNA (ácido ribonucleico), 
substância responsável pela síntese de proteínas na célula. 
Quando a dupla hélice do DNA se abre para que ocorra a produção de uma molécula 
de RNA, a sequência de bases nitrogenadas existentes em uma cadeia determina a 
sequência que terá o RNA. Podemos dizer que um RNA produzido contém a mensagem do 
DNA. Como o RNA vai promover a síntese das proteínas a partir dos 20 tipos de 
aminoácidos existentes e como a mensagem contida no RNA vem do DNA, podemos dizer 
que é este último que determina a sequência de ligações dos aminoácidos, de forma a 
sintetizar uma proteína. 
 
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Cada aminoácido, dos 20 existentes, é codificado por 
uma sequência de três bases nitrogenadas, “escolhidas” 
entre as quatro bases, A, T, G e C. É fácil entender a 
necessidade de três bases para cada aminoácido. Com duas 
bases (AA, AT, TA, TT, GG, GC, etc), só poderíamos 
codificar 16 aminoácidos (42 = 16). Como são 20 os tipos de 
aminoácidos que podemfazer parte da construção das 
proteínas celulares, precisamos de sequências de três bases 
nitrogenadas. 
É interessante notar que existem 64 arranjos 
possíveis para apenas 20 aminoácidos. Isso nos leva à 
conclusão de que muitos arranjos de três bases se repetem 
para um mesmo aminoácido, de tal maneira a denotar a 
existência de um código que relacione esses trios de bases 
com cada aminoácido. 
Essas e outras combinações e recombinações 
traduzirão um conjunto de informações que, de acordo com 
os trabalhos publicados em junho de 2000, já chegaram a 
mais de 3 bilhões de características relativas ao código da 
vida humana. Esse número, segundo os cientistas do projeto 
Genoma, constituem a identificação de aproximadamente 
97% do mapeamento completo do DNA. 
 
Figura: 2 
Atividade 3 
 A imagem da Figura: 2, nos lembra uma sequência que estudamos 
anteriormente. Represente a sequência que podemos identificar nessa 
figura. 
 Nota-se que os arranjos e combinações dos aminoácidos se repetem. Para 
você existe alguma expressão matemática que pode nos ajudar a identificar 
cada possibilidade de arranjo, ou de combinação? 
 
 
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Desafio 1: Considerando o arranjo dos aminoácidos com duas bases (AA, AT, TA, TT,...). 
Explique qual o significado da palavra ANAGRAMA. 
 
Desafio 2: Apresente os anagramas da palavra MATEMÁTICA. 
 
Desafio 3: Apresente os anagramas do seu primeiro nome. 
 
Sequenciamento: Arranjos e Combinações. 
 
Vimos que o sequenciamento é a leitura do genoma de um organismo. Pois, cada 
um dos organismos vivos é formado por um conjunto de letras (bases nitrogenadas) que 
funcionam como um código (palavras). Dessa forma, podemos compreender que no caso 
do Coronavírus, seu genoma é formado de RNA (ácido nucleico formado a partir de um 
molde de DNA e que está relacionado com a síntese de proteínas). Assim, podemos 
entender porque o teste rápido tem como princípio a identificação do RNA. Para que seja 
identificado o genoma viral é preciso realizar o sequenciamento, ou seja, a leitura desse 
genoma. O teste rápido possibilita identificarmos o RNA e assim, com a síntese das 
proteínas envolvidas é possível a produção do medicamento que irá combater o vírus em 
questão. 
Pensando matematicamente, notamos que para todo o processo exposto acima é 
necessário à realização de diversos arranjos e combinações. Em matemática, temos a 
Análise Combinatória que pode contribuir para facilitar os arranjos e combinações em 
cada situação, necessária à compreensão da síntese de proteína relacionada. 
Historicamente, um dos primeiros matemáticos a elaborar estudos sobre o número de 
Atividade 4 
Em Matemática existem muitas representações que utilizam letras do 
alfabeto: 
 
a. Nesse sentido, quais são as letras que representam cada um dos 
20 tipos de aminoácidos que existem? 
 
b. A representação encontrada no item a lembra o conteúdo de qual 
disciplina? O que isso significa para você? 
 
 
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combinações possíveis para um determinado fenômeno foi o italiano NiccoloTartaglia 
(1500-1557), que confeccionou uma tabela contendo o número de combinações possíveis 
no lançamento de dois dados. Porém, somente no século XVII, Blaise Pascal (1623-1662) 
e Pierre de Fermat (1601-1665) sistematizaram a Análise Combinatória. 
Hoje, a Análise Combinatória é uma ferramenta bastante importante em muitas áreas 
da matemática nas quais é necessário obter o número de configurações ou permutações 
possíveis em uma dada situação problema, bem como em outras áreas, como na genética. 
A Análise Combinatória envolve alguns tipos de cálculos que é preciso realizarmos para a 
efetiva resolução de situações problemas que posteriormente iremos precisar resolver. 
Primeiramente, precisamos compreender o termo Fatorial, pois é a partir do Fatorial é que 
iniciaremos os estudos de Análise Combinatória. 
O Fatorial é o produto de números inteiros positivos consecutivos. Assim, seja n um 
número natural, chama-se fatorial de n e representa-se por n! o produto de todos os 
números naturais de n até 1. Dessa forma tendo n = 3 seu fatorial será: 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Também é importante destacar que o desenvolvimento de um fatorial pode ser 
representado utilizando um outro fatorial. Veja: 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
Ou podemos simplificar como abaixo, lembrando que a simplificação fatorial você 
deve conhecer o valor onde parou. 
5! = 5 . 4 . 3! 
Analogamente, podemos ter:10! = 10. 9! = 10 . 9 . 8! = 10 . 9 . 8 . 7! 
Dessa forma, em termo geral, teremos: n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! =... 
Essas características são bem úteis para a simplificação de cálculos que envolvem 
fatoriais. Veja: 
a) 
5!
3!
 = 
5 . 4 . 3!
3!
 = 5 . 4 = 20 
 
b) 
(𝑛+1)!
(𝑛−1)!
= 
(𝑛+1) . 𝑛 . (𝑛−1)!
(𝑛−1)!
 = (𝑛 + 1) . 𝑛 
 
c) Calcule o valor de n na expressão (n+2)! + (n+1)! = 15n!. 
Aplicando o fatorial: 
 
(n+2)(n+1)n! + (n+1)n! = 15n! simplificando, temos: 
(n+2)(n+1) + (n+1) = 15 resolvendo a expressão, teremos: 
 
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n2 +4n -12 = 0 resolvendo a equação, temos: 
n = 2 ou n = -6 consideramos somente o valor positivo, logo: 
n = 2 
 
 
O termo Contagem é o segundo conhecimento matemático que precisamos para 
promover a utilização da Análise Combinatória e esse termo está diretamente relacionado 
ao Princípio Fundamental da Contagem, que estabelece de quantas maneiras dois ou 
mais eventos correlacionados podem ocorrer. Assim, se um evento A pode ocorrer de m 
maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras, um segundo evento B pode 
ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras que esses eventos podem 
Atividade 5 
 Quatro pessoas, Ana, Bruno, Carlos e Davi chegaram ao 
mesmo tempo em uma agência bancária que possui apenas um 
atendente. De quantas maneiras podemos formar uma fila entre 
eles, determinando assim a ordem em que eles serão 
atendidos? 
 Determine o valor das seguintes expressões: 
a) 
20!
18!
 = 
 
b) 
10!
7! 3!
 = 
 
c) 
(𝑎+3)!
(𝑎+1)!
 = 
 
d) 
(𝑎+2)!
𝑎!
 = 20 
 
 
 
 
 
 
 
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ocorrer, um seguido do outro, é dada por (m .n).Vamos analisar a seguinte questão. 
Quantos números naturais, de três algarismos distintos, podemos escrever utilizando os 
algarismos 3, 4, 5 e 7? 
 Considerando que não podemos contar números com algarismos repetidos, tais 
como 355, 447 ou 777, montamos o diagrama abaixo. 
 
 O diagrama apresenta 24 pontos terminais, indicando que é possível escrever 24 
números distintos utilizando os algarismos dados. Agora, observe o diagrama e note que é 
possível resolver o problema utilizando o quadro de possibilidades. Para a Centena 
, temos apenas 4 possibilidades, para a dezena temos 3 possibilidades, pois cada 
número escolhido para centena, restarão apenas 3 números e para a unidade 
temos somente 2 possibilidades, pois se escolhemos um número para a centena e outro 
número para a dezena, então restarão apenas 2 números. Dessa forma, podemos resolver 
por meio do produto entre essas possibilidades. Veja: 
C D U TOTAL 
 4 3 2 24 
De modo geral, podemos representar o número de possibilidades de um acontecimento 
por: 
 
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p1 .p2 .p3, ... , pn 
Os Anagramas são palavras obtidas a partir de uma outra quando se trocam as 
posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham significados. Assim 
quantos são os anagramas da palavra AMIGA? 
Considerando que na palavra AMIGA a letra A repete duas vezes, teremos a 
seguinte solução: 
 
5!
2!
 = 
5 . 4 . 3 . 2!
2!
 = 5 . 4 . 3 = 36 anagramas.Desafio 4: Em um almoxarifado, a identificação dos materiais é feita através de plaquetas 
onde aparecem duas vogais distintas e três algarismos distintos. Qual o maior número 
possível de itens do almoxarifado que podem assim serem identificados? 
 
Desafio 5: Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. 
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem 
posar para tirar a foto? 
 
Desafio 6: De quantas formas podemos escolher os símbolos de uma placa de carro, 
sabendo que ela deve ser composta por 3 letras (escolhidas de um alfabeto com um total 
de 26 letras) e 4 dígitos (cada um no intervalo de 0 a 9)? 
Atividade 6 
 Quantos são os anagramas da palavra AMIGO? 
 Quantos são os anagramas da palavra ABACATE? 
 Com os algarismos 0, 1, 3 e 5 vamos achar quantos números de 
três algarismos? 
 Quantos números pares de quatro algarismos podemos escrever 
utilizando os seguintes algarismos 2, 3, 4, 5 e 7? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências: 
 
http://www.blog.saude.gov.br/index.php/perguntas-e-respostas/54104-confira-a-entrevista-
sobre-o-sequenciamento-do-coronavirus acessado em 04/05/2020. 
 
NOVAIS, Vera Lúcia Duarte de. Ozônio: aliado e inimigo. São Paulo: Scipione, 1998. 
 
QUADROS, Sérgio. A invenção das máquinas térmicas. São Pulo: Scipione, 1996. 
 
SOUZA, Maria Helena Soares de, SPINELLI, Walter. Guia prático para cursos de 
laboratório. São Paulo: Scipione, 1997. 
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