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Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Equação de Difusão de Calor (Revisão) ● Balanço de Energia na seção do Cubo: dx Área A qx qxdqx ⋅A⋅dx⋅c p⋅ ∂T ∂ t E˙ A =qx E˙ e −qxdqx E˙ s q˙ A⋅dx E˙G sendo dqx=− ∂ ∂ x k A ∂T∂ x ⋅dx ⋅A⋅dx⋅c p⋅ ∂T ∂ t = ∂ ∂ x k ∂T∂ x A⋅dxq˙ A⋅dx ⋅c p⋅ ∂T ∂ t = ∂ ∂ x k ∂T∂ x q˙ Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Equação de Difusão de Calor com Variação de Área ● Balanço de Energia na seção do abaixo: dx qx qxdqx ⋅A⋅dx⋅c p⋅ ∂T ∂ t E˙ A =qx E˙ e −qxdqx E˙ s q˙ A⋅dx E˙G sendo dqx=− ∂ ∂ x k A x ∂T∂ x ⋅dx ⋅A x⋅dx⋅c p⋅ ∂T ∂ t = ∂ ∂ x k⋅A x⋅∂T∂ x dxq˙ A x⋅dx ⋅c p⋅ ∂T ∂ t = 1 A x ∂ ∂ x k⋅A x ∂T∂ x q˙ Área A(x) Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on ⋅c p⋅ ∂T ∂ t E˙Ac =1 r ∂ ∂r k⋅r ∂T∂r 1r2 ∂∂ k ∂T∂ ∂∂ z k ∂T∂ z E˙e−E˙ s q˙ E˙G (2.20) Condução de Calor Unidimensional ● Regime Estacionário Equação geral ● Sem geração de Energia ● Fluxo de Calor unidimen- sional (radial) d d r k⋅r d Td r =0 Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Solução geral da Equação Unidimensional com Temperaturas de Parede Conhecidas ∫ dd r r d Td r dr=∫0drC 1 d T d r = C1 r ∫ d Td r dr=C 1⋅∫ 1 r drC2 T r =C1⋅ln r C 2 Condução de Calor em Geometrias Cilíndricas resulta em perfil logarítmico de temperaturas d d r r d Td r =0 Considerando k constante: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Solução para o caso de Parede de Tubo com Temperaturas Conhecidas T 1 T 2 r=riT r i=T 1 r T r i=C1⋅ln r iC 2 C 2=T 1−C1⋅ln r i (I) r=reT r e=T 2 T r e=C 1⋅ln r eC2 T 2=C1⋅ln r eT 1−C1⋅ln r i C 2 (I) r i r e T 2−T 1=C1⋅ln re−ln r i C1= T 2−T 1 ln re / ri T r =T 1 T 2−T 1 ln r e / r i ln r /r i C 2=T 1 T 2−T 1 ln re/ ri ln ri ln re / ri Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Cálculo do Fluxo de Calor Com base na Lei de Fourier : q = −k A ∂T ∂ r = −k A d d r [T 1 T 2−T 1ln re /r i ln r /r i] T r q=−2⋅⋅k⋅L ln re /r i ⋅T 2−T 1= 2⋅⋅k⋅L ln re /r i ⋅T 1−T 2 T q = −k⋅ A 2⋅⋅r⋅L ⋅ T 2−T 1 ln re/ri d d r ln r=−k⋅2⋅⋅r⋅L⋅ T 2−T 1 ln r e/ r i 1 r Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Definição de Resistência Térmica em Cascas Cilíndricas Do apresentado anteriormente é fundamental pode-se definir o conceito de resistência térmica: q= T R term Rterm= T q Para o caso de Cascas Cilíndricas: Rterm= T q = T 2⋅⋅k⋅L ln re / ri ⋅T Rterm= ln re /r i 2⋅⋅k⋅L Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Coeficiente Global é útil em trocadores de calor! Coeficiente Global de Transmissão de Calor h2,T ∞ ,2 RCond RConv,1RConv,2 h1,T ∞ ,1 q=U r⋅Ar⋅ T T∞ ,2−T ∞,1 U i⋅Ai=U e⋅Ae= 1 Req q= T T∞ ,2−T ∞,1 Req ∧ T 1 T 2 r r i r e IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área de referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área de referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Coeficiente Global é útil em trocadores de calor! Coeficiente Global de Transmissão de Calor h2,T ∞ ,2 RCond RConv,1RConv,2 h1,T ∞ ,1 q=U⋅A⋅ T T ∞,2−T ∞ ,1 U⋅A= 1 Req q= T T∞ ,2−T ∞,1 Req ∧ T 1 T 2 r r i r e Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Observações importante sobre geometrias cilíndricas ● Não existe condução pura na direção radial em geometrias cilíndricas não vazadas. ● caso exista condução na direção axial, não existe variação de área e o problema é tratado como geometria plana. ● soluções envolvendo condições de contorno de 2ª e 3ª espécies são resolvidos através de circuitos térmicos. ● apenas condições de 2ª espécie não permitem a solução do problema Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Espessura Crítica de Isolamento R isol Rconv h ,T ∞ r r e Req=RisolRconv Req= ln r e /r i 2⋅⋅k⋅L 1 h⋅2⋅⋅r e⋅L Aconv Analisando a dependência de Req com o re: ● A resistência de convecção é inversa- mente proporcional a área (re) ● A resistência de condução é direta- mente proporcional a área (re) Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Análise de Req por suas derivadas ∂ Req ∂ re = 1 2⋅⋅k⋅L ⋅ ∂ ln re−ln r i ∂ re 1 h⋅2⋅⋅L ∂1/r e ∂ re ∂ Req ∂ re = 1 2⋅⋅k⋅L ⋅1 r e 1 h⋅2⋅⋅L − 1r e2 Analisando a dependência de Req com a derivada em relação a re: Buscando o ponto crítico: ∂ Req ∂ re =0 1 2⋅⋅r c k⋅L = 1 h⋅2⋅⋅rc 2⋅L r c= k isol hconv Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Análise do Resultado ∂2 Req ∂ re 2 = ∂ ∂ r e 1k− 1h⋅r e = 2h⋅re20Ponto de Mínimo Assim para um determinado dispositivo: ● se Req < Req,c, um aumento de espessura re provoca aumento da dissipação de calor (diminuição da resistência térmica) ● se Req = Req,c, tem-se a máxima dissipação de calor ● se Req > Req,c,um aumento de espessura re provoca efeito isolante (aumento da resistência térmica) Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Comportamento da Req em Sistemas Cilíndricos