Fórmulas de Cálculo

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R E G R A S D E D I F E R E N C I A Ç Ã O
PÁGINA DE REFERÊNCIA 5
Fórmulas Gera is
1. 2.
3. 4.
5. (Regra de Produto) 6. (Regra do Quociente)
7. (Regra da Cadeia) 8. (Regra da Potência)
Funções Exponenc ia i s e Logar í tmi cas
9. 10.
11. 12.
Funções Tr igonométr i cas
13. 14. 15.
16. 17. 18.
Funções Tr igonométr i cas Inversas
19. 20. 21.
22. 23. 24.
Funções H iperbó l i cas
25. 26. 27.
28. 29. 30.
Funções H iperbó l i cas Inversas
31. 32. 33.
34. 35. 36.
d
dx !cotgh
!1x" ! 1
1 ! x 2
d
dx !sech
!1x" ! ! 1xs1 ! x 2
d
dx !cossech
!1x" ! ! 1% x %sx 2 " 1
d
dx !tgh
!1x" ! 1
1 ! x 2
d
dx !cosh
!1x" ! 1sx 2 ! 1
d
dx !senh
!1x" ! 1s1 " x 2
d
dx !cotgh x" ! !cossech
2xddx !sech x" ! !sech x tgh x
d
dx !cossech x" ! !cossech x cotgh x
d
dx !tgh x" ! sech
2xddx !cosh x" ! senh x
d
dx !senh x" ! cosh x
d
dx !cotg
!1x" ! ! 1
1 " x 2
d
dx !sec
!1x" ! 1xsx 2 ! 1
d
dx !cossec
!1x" ! ! 1xsx 2 ! 1
d
dx !tg
!1x" ! 1
1 " x 2
d
dx !cos
!1x" ! ! 1s1 ! x 2
d
dx !sen
!1x" ! 1s1 ! x 2
d
dx !cotg x" ! !cossec
2xddx !sec x" ! sec x tg x
d
dx !cossec x" ! !cossec x cotg x
d
dx !tg x" ! sec
2xddx !cos x" ! !sen x
d
dx !sen x" ! cos x
d
dx !loga x" !
1
x ln a
d
dx ln % x % !
1
x
d
dx !a
x " ! a x ln addx !e
x " ! e x
d
dx !x
n " ! nx n!1ddx f !t!x"" ! f -!t!x""t-!x"
d
dx ( f !x"t!x" ) ! t!x"f -!x" ! f !x"t-!x"*t!x"+2ddx * f !x"t!x"+ ! f !x"t-!x" " t!x"f -!x"
d
dx * f !x" ! t!x"+ ! f -!x" ! t-!x"
d
dx * f !x" " t!x"+ ! f -!x" " t-!x"
d
dx *cf !x"+ ! c f -!x"
d
dx !c" ! 0
Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:45 AM Page 5
Fórmulas Bás i cas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Fórmulas Envo lvendo
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29. y du!a 2 " u 2"3'2 ! ua 2 sa 2 " u 2 " C
y duu 2 sa 2 " u 2 ! ! sa
2 " u 2
a 2u " C
y duusa 2 " u 2 ! ! 1a ln , sa 2 " u 2 " au , " C
y u 2 dusa 2 " u 2 ! u2 sa 2 " u 2 ! a
2
2
ln(u " sa 2 " u 2 ) " C
y dusa 2 " u 2 ! ln(u " sa 2 " u 2 ) " C
y sa 2 " u 2u 2 du ! ! sa
2 " u 2
u " ln(u " sa
2 " u 2 ) " C
y sa 2 " u 2u du ! sa 2 " u 2 ! a ln , a " sa 2 " u 2u , " C
y u 2 sa 2 " u 2 du ! u8 !a 2 " 2u 2" sa 2 " u 2 ! a
4
8
ln(u " sa 2 " u 2 ) " C
y sa 2 " u 2 du ! u2 sa 2 " u 2 " a
2
2
ln(u " sa 2 " u 2 ) " C
sa 2 " u 2 , a & 0
y sec u tg u du ! sec u " C
y cossec2u du ! !cotg u " C
y sec2u du ! tg u " C
y cos u du ! sen u " C
y sen u du ! !cos u " C
y a u du ! a uln a " C
y e u du ! e u " C
y duu ! ln % u % " C
n " !1y u n du ! u n"1n " 1 " C,
y u dv ! uv ! y v du
TABELA DE INTEGRAIS
PÁGINA DE REFERÊNCIA 6
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. y duu 2 ! a 2 ! 12a ln , u ! au " a , " C
y dua 2 ! u 2 ! 12a ln , u " au ! a , " C
y duusu 2 ! a 2 ! 1a sec!1 ua " C
y dua 2 " u 2 ! 1a tg!1 ua " C
y dusa 2 ! u 2 ! sen!1 ua " C
y cossec u du ! ln % cossec u ! cotg u % " C
y sec u du ! ln % sec u " tg u % " C
y cotg u du ! ln % sen u % " C
y tg u du ! ln % sec u % " C
y cosecc u cotg u du ! !cossec u " C
Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:47 AM Page 6
Fórmulas Envo lvendo
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Fórmulas Envo lvendo
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
sa 2 ! u 2 , a & 0
y sa 2 ! u 2 du ! u2 sa 2 ! u 2 " a
2
2
sen!1
u
a " C
y u 2sa 2 ! u 2 du ! u8 !2u 2 ! a 2" sa 2 ! u 2 " a
4
8
sen!1
u
a " C
y du!u 2 ! a 2"3'2 ! ! ua 2 su 2 ! a 2 " C
y duu 2su 2 ! a 2 ! su
2 ! a 2
a 2u " C
y u 2 dusu 2 ! a 2 ! u2 su 2 ! a 2 " a
2
2
ln % u " su 2 ! a 2 % " C
y dusu 2 ! a 2 ! ln % u " su 2 ! a 2 % " C
y su 2 ! a 2u 2 du ! ! su
2 ! a 2
u " ln % u " su 2 ! a 2 % " C
y su 2 ! a 2u du ! su 2 ! a 2 ! a cos!1 a% u % " C
y u 2su 2 ! a 2 du ! u8 !2u 2 ! a 2" su 2 ! a 2 ! a
4
8
ln % u " su 2 ! a 2 % " C
y su 2 ! a 2 du ! u2 su 2 ! a 2 ! a
2
2
ln % u " su 2 ! a 2 % " C
su 2 ! a 2 , a & 0
y du!a 2 ! u 2"3'2 ! ua 2 sa 2 ! u 2 " C
"
3a 4
8
sen!1
u
a " Cy !a 2 ! u 2"3'2 du ! ! u8 !2u 2 ! 5a 2"sa 2 ! u 2
y duu 2sa 2 ! u 2 ! ! 1a 2u sa 2 ! u 2 " C
y duusa 2 ! u 2 ! ! 1a ln , a " sa 2 ! u 2u , " C
y u 2 dusa 2 ! u 2 ! ! u2 sa 2 ! u 2 " a
2
2
sen!1
u
a " C
y sa 2 ! u 2u 2 du ! ! 1u sa 2 ! u 2 ! sen!1 ua " C
y sa 2 ! u 2u du ! sa 2 ! u 2 ! a ln , a " sa 2 ! u 2u , " C
TABELA DE INTEGRAIS
PÁGINA DE REFERÊNCIA 7
Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:48 AM Page 7
Fórmulas Envo lvendo
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62. y duu nsa " bu ! ! sa " bua!n ! 1"u n!1 ! b!2n ! 3"2a!n ! 1" y duu n!1sa " bu
y u n dusa " bu ! 2u
nsa " bu
b!2n " 1" !
2na
b!2n " 1" y u
n!1 du
sa " bu
y u nsa " bu du ! 2b!2n " 3" (u n!a " bu"3'2 ! na y u n!1 sa " bu du)
y sa " buu 2 du ! ! sa " buu " b2 y duusa " bu
y sa " buu du ! 2sa " bu " a y duusa " bu
!
2
s!a
tg!1
a " bu
!a " C, se a % 0
y duusa " bu ! 1sa ln , sa " bu ! sasa " bu " sa , " C, se a & 0
y u 2 dusa " bu ! 215b 3 !8a 2 " 3b 2u 2 ! 4abu"sa " bu " C
y u dusa " bu ! 23b 2 !bu ! 2a"sa " bu " C
y usa " bu du ! 215b 2 !3bu ! 2a"!a " bu"3'2 " C
y u 2 du!a " bu"2 ! 1b 3 #a " bu ! a 2a " bu ! 2a ln % a " bu %$ " C
y duu!a " bu"2 ! 1a!a " bu" ! 1a 2 ln , a " buu , " C
y u du!a " bu"2 ! ab 2!a " bu" " 1b 2 ln % a " bu % " C
y duu 2!a " bu" ! ! 1au " ba 2 ln , a " buu , " C
y duu!a " bu" ! 1a ln , ua " bu , " C
y u 2 dua " bu ! 12b 3 [!a " bu"2 ! 4a!a " bu" " 2a 2 ln % a " bu %] " C
y u dua " bu ! 1b 2 (a " bu ! a ln % a " bu %) " C
a " bu
TABELA DE INTEGRAIS
PÁGINA DE REFERÊNCIA 8
-
Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:50 AM Page 8
Fórmulas Tr igonométr i cas
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83. y u cos u du ! cos u " u sen u " C
y u sen u du ! sen u ! u cos u " C
y sen au cos bu du ! ! cos!a ! b"u2!a ! b" ! cos!a " b"u2!a " b" " C
y cos au cos bu du ! sen!a ! b"u2!a ! b" " sen!a " b"u2!a " b" " C
y sen au sen bu du ! sen!a ! b"u2!a ! b" ! sen!a " b"u2!a " b" " C
y cossecnu du ! !1n ! 1 cotg u cossecn!2u " n ! 2n ! 1 y cossecn!2u du
y secnu du ! 1n ! 1 tg u secn!2u " n ! 2n ! 1 y secn!2u du
y cotg nu du ! !1n ! 1 cotg n!1u ! y cotg n!2u du
y tgnu du ! 1n ! 1 tgn!1u ! y tgn!2u du
y cosnu du ! 1n cosn!1u sen u " n ! 1n y cosn!2u du
y sennu du ! ! 1n senn!1u cos u " n ! 1n y senn!2u du
y cossec3u du ! ! 12 cossec u cotg u " 12 ln % cossec u ! cotg u % " C
y sec3u du ! 12 sec u tg u " 12 ln % sec u " tg u % " C
y cotg3u du ! ! 12 cotg2u ! ln % sen u % " C
y tg3u du ! 12 tg2u " ln % cos u % " C
y cos3u du ! 13 !2 " cos2u" sen u " C
y sen3u du ! ! 13 !2 " sen2u" cos u " C
y cotg2u du ! !cotg u ! u " C
y tg2u du ! tg u ! u " C
y cos2u du ! 12 u " 14 sen 2u " C
y sen2u du ! 12 u ! 14 sen 2u " C
TABELA DE INTEGRAIS
PÁGINA DE REFERÊNCIA 9
Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:52 AM Page 9
84.
85.
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Fórmulas Tr igonométr i cas Inversas
87.
88.
89.
90.
91.
Fórmulas Exponenc ia i s e Logar í tmi cas
96. 100.
97. 101.
98. 102.
99.
Fórmulas H iperbó l i cas
103. 108.
104. 109.
105. 110.
106. 111.
107. 112. y cossech u cotgh u du ! !cossech u " Cy sech u du ! tg!1 % senh u % " C
y sech u tgh u du ! !sech u " Cy cotgh u du ! ln % senh u % " C
y cossech2u du ! !cotgh u " Cy tgh u du ! ln cosh u " C
y sech2u du ! tgh u " Cy cosh u du ! senh u " C
y cossech u du ! ln % tgh 12 u % " Cy senh u du ! cosh u " C
y eau cos bu du ! eaua 2 " b2 !a cos bu " b sen bu" " C
y 1u ln u du ! ln % ln u % " Cy eau sen bu du ! e
au
a 2 " b 2 !a sen bu ! b cos bu" " C
y u n ln u du ! u n"1!n " 1"2 *!n " 1" ln u ! 1+ " Cy u neau du ! 1a u neau ! na y u n!1eau du
y ln u du ! u ln u ! u " Cy ueau du ! 1a 2 !au ! 1"eau " C
!
senn"1u cosm!1u
n " m "
m ! 1
n " m y sennu cosm!2u du
y sennu cosmu du ! ! senn!1u cosm"1un " m " n ! 1n " m y senn!2u cosmu du
y u n cos u du ! u n sen u ! n y u n!1 sen u du
y u n sen u du ! !u n cos u " n y u n!1 cos u du
y u cos!1u du ! 2u 2 ! 14 cos!1u ! us1 ! u
2
4
" C
y u sen!1u du ! 2u 2 ! 14 sen!1u " us1 ! u
2
4
" C
y tg!1u du ! u tg!1u ! 12 ln!1 " u 2" " C
y cos!1u du ! u cos!1u ! s1 ! u 2 " C
y sen!1u du ! u sen!1u " s1 ! u 2 " C 92.
93.
94.
95. y u n tg!1u du ! 1n " 1 (un"1 tg!1u ! y u n"1 du1 " u 2 ), n " !1
y u n cos!1u du ! 1n " 1 (u n"1 cos!1u " y u n"1 dus1 ! u 2), n " !1
y u n sen!1u du ! 1n " 1 (u n"1 sen!1u ! y u n"1 dus1 ! u 2), n " !1
y u tg!1u du ! u 2 " 12 tg!1u ! u2 " C
TABELA DE INTEGRAIS
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Calculo-p.finais:calculo7 5/10/13 5:56 AM Page 10
Fórmulas Envo lvendo
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114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
y us2au ! u 2 du ! 2u 2 ! au ! 3a 26 s2au ! u 2 " a
3
2
cos!1#a ! ua $ " C
y s2au ! u 2 du ! u ! a2 s2au ! u 2 " a
2
2
cos!1#a ! ua $ " C
s2au ! u2 , a & 0
y duus2au ! u 2 ! ! s2au ! u
2
au " C
y u2 dus2au ! u 2 ! ! !u " 3a"2 s2au ! u 2 " 3a
2
2
cos!1#a ! ua $ " C
y u dus2au ! u 2 ! !s2au ! u 2 " a cos!1#a ! ua $ " C
y dus2au ! u 2 ! cos!1#a ! ua $ " C
y s2au ! u 2u 2 du ! ! 2s2au ! u
2
u ! cos
!1#a ! ua $ " C
y s2au ! u 2u du ! s2au ! u 2 " a cos!1#a ! ua $ " C
TABELA DE INTEGRAIS
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