TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

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TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE
LOS EJES PARALELOS
Un cuerpo no tiene un único momento de inercia. De hecho, tiene un número
infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. Los momentos
de inercia de los cuerpos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente
fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo,
los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser en-
gorrosos, incluso para cuerpos con alta simetría. No obstante, existe el denominado
Teorema de Steiner1 o Teorema de los Ejes Paralelos que, a menudo, simplifica los cál-
culos. Este teorema relaciona el momento de inercia I de un objeto de masa total M
con respecto a cualquier eje, con su momento de inercia ICM con respecto a un eje
que pasa por el centro de masa y es paralelo al primer eje.
Teorema 1 (Teorema de Steiner) El momento de inercia I de un cuerpo con respecto
a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por su centro de masa, es igual al momento
de inercia ICM con respecto a este último eje más el producto de la masa M por el
cuadrado de la distancia D entre dichos ejes,
I = ICM +MD2
Demostración. La figura C.1 muestra un cuerpo de masa M que ocupa un volumen V
a través del cual pasan dos ejes. El eje 00z0 que pasa por su centro de masa CM situado
en 00 y el eje 0z que pasa por 0 de tal manera que es paralelo al primero a una distancia
1Ver apéndice G.33 para una biografía resumida.
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Figura C.1: Demostración del Teorema de Steiner.
D. Si se toma un elemento de masa cualquiera dm del cuerpo, entonces su distancia
R0 al eje 00z0 viene dada por,
R02 = x02 + y02 (C.1)
mientras que la distancia R del mismo al eje 0z viene dada por,
R2 = x02 + (y0 +D)2 = x02 + y02 +D2 + 2Dy0 (C.2)
Si ahora se sustituye (C.1) en (C.2) resulta que,
R2 = R02 +D2 + 2Dy0 (C.3)
que relaciona las distancias de dm a los ejes 0z y 00z0. El momento de inercia I del
cuerpo con respecto al eje 0z es dado por,
I =
Z
V
R2dm (C.4)
entonces, al sustituir aquí el resultado (C.3) se obtiene que,
I =
Z
V
�
R02 +D2 + 2Dy0
�
dm (C.5)
de donde,
I =
Z
V
R02dm+D2
Z
V
dm+ 2D
Z
V
y0dm (C.6)
pero,8><>:
R
V
R02dm = ICM , momento de inercia del cuerpo con respecto al eje 00z0.R
V
dm =M , masa total del cuerpo.R
V
y0dm = 0, ordenada de la posición del CM con respecto al mismo CM .
(C.7)
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Para el tercer resultado debe tenerse presente que las coordenadas de la posición del
centro de masa vienen dadas por,
xcm =
1
M
R
V
xdm ycm =
1
M
R
V
ydm zcm =
1
M
R
V
zdm (C.8)
Entonces, al sustituir los resultados (C.7) en (C.6) se obtiene finalmente que,
I = ICM +MD2 (C.9)
que demuestra el teorema.