Libro de Nivelación

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Nivelación
Matemática
Copyright © 2020 Duoc UC
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DUOC UC
DUOC.CL
Segunda edición, Marzo 2020
CONTENIDOS: Paulina Ciudad Nieva, Carolina De Vico Berner, Tania Gonzalez Araneda, Patricio Gonzalez
Rodriguez, Leandro Gutiérrez Abarca, Gustavo Hernandez Cárcamo, José Loyola Loyola, Álvaro Mattus Donaire,
Rodrigo Miño Cerda, Josselin Obal Contreras, Max Romero Colillanca, Claudio Zamorano Sanchez.
COLABORADORES: Carolina De Vico Berner, Alexander Frank Marambio, Leandro Gutiérrez Abarca, Álvaro
Mattus Donaire, Ricardo Leal Lleuvul, Josselin Obal Contreras.
EDICIÓN Y GRÁFICAS: Alexander Frank Marambio, Leandro Gutiérrez Abarca y Álvaro Mattus Donaire.
Mecanografiado en LATEX. usando como base la plantilla The Legrand Orange Book de Mathias Legrand, licencia
Creative Commons: CC BY-NC-SA 3.0
Prefacio
Estimado(a) estudiante:
Este libro constituye la principal herramienta de la asignatura Nivelación Matemática cuyo
objetivo fundamental es reforzar aquellos contenidos y habilidades matemáticas que son
indispensables en toda persona que termina su formación secundaria e inicia su formación
profesional.
La habilidad más relevante que se aborda en esta asignatura es la de Resolución de Problemas,
y para contribuir a su desarrollo se han dispuesto en este libro actividades y problemas
desafiantes que además guiarán las clases y el trabajo autónomo de cada estudiante.
Este texto está dividido en tres unidades: (1) Los números en la vida, (2) Aplicaciones numéricas
en la resolución de problemas y (3) El lenguaje de las matemáticas, en las que encontrarás
explicaciones de los contenidos, variados ejemplos, actividades para el aprendizaje y guı́as
de ejercicios y problemas. Además cuenta con espacios para escribir el desarrollo de las
soluciones de algunos problemas y para tomar apuntes durante las clases.
¡Te invitamos a ser el protagonista de tu aprendizaje!
Programa de Matemática
Dirección de Formación General
Duoc UC
Índice General
I Los números en la vida
1 Operatoria con números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Origen de la matemática 3
1.2 Concepto de Número 3
1.3 Números enteros 5
1.4 Números reales y su representación decimal 7
1.5 Aproximaciones 8
1.6 Números decimales en la vida cotidiana 10
Guı́a 1 11
Problemas de la Sección 15
2 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Un todo y sus partes 29
2.2 Uso de la calculadora 31
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles 32
2.4 Un número más 33
2.5 ¿Partes de cuál todo? 34
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes 35
Guı́a 2 37
Problemas de la Sección 50
3 Repaso de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Guı́a Resumen Unidad I 60
3.1 Soluciones guı́a repaso 1 66
II Aplicaciones numéricas en la resolución de problemas
4 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Concepto de razón 69
4.2 Escalas 71
4.3 Proporción 73
4.4 Regla de las proporciones 74
4.5 Cambio de unidades 75
Guı́a 3 76
Problemas de la sección 82
4.6 Porcentajes 90
4.7 Variaciones porcentuales 92
4.8 Puntos porcentuales 93
Guı́a 4 94
Problemas de la sección 100
5 Potencias y raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Potencias 107
5.2 Aplicaciones de potencias 109
5.3 Raı́ces 110
5.4 Aplicaciones de raı́ces 111
Guı́a 5 112
Problemas de la sección 117
III El lenguaje de las matemáticas
6 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Lenguaje algebraico: un antes y un después 125
6.2 Generalizaciones 126
6.3 Del lenguaje natural al algebraico 127
6.4 Fórmulas 130
Guı́a 6 132
Problemas de la Sección 138
6.5 Expresiones Algebraicas 145
6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas 145
6.7 Simplificación de expresiones algebraicas 149
Guı́a 7 151
Problemas de la Sección 161
7 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1 Ecuaciones 169
7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable 170
Guı́a 8 172
Problemas de la sección 179
7.3 Plantear y resolver ecuaciones 185
Guı́a 9 189
Problemas de la sección 195
Guı́a resumen Unidades I y II 200
Soluciones Guı́a Resumen Unidades I y II 204
I
1 Operatoria con números . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Origen de la matemática
1.2 Concepto de Número
1.3 Números enteros
1.4 Números reales y su representación decimal
1.5 Aproximaciones
1.6 Números decimales en la vida cotidiana
Guı́a 1
Problemas de la Sección
2 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Un todo y sus partes
2.2 Uso de la calculadora
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles
2.4 Un número más
2.5 ¿Partes de cuál todo?
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes
Guı́a 2
Problemas de la Sección
3 Repaso de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Guı́a Resumen Unidad I
3.1 Soluciones guı́a repaso 1
Los números en la vida
1. Operatoria con números
1.1 Origen de la matemática
¿Cierto o Falso?
El origen de la forma de los
números coincide con la cantidad
de ángulos que poseen.
1
1 1
2
2
3
1 1 1
2 2 23
3 34
4
4
5 56
Una sucesión singular
1 12
1+3 22
1+3+5 32
1+3+5+7 42
1+3+5+7+9 52
1+3+5+7+9+11 62
Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magni-
tudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades,
magnitudes y propiedades desconocidas.
En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a
las magnitudes (como en la geometrı́a), a los números (como en la aritmética), o a la
generalización de ambos (como en el álgebra).
En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños
prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar
evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas.
Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados en el uso de los dedos de una o dos
manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que
las bases son los números 5 y 10.
1.2 Concepto de Número
Seguramente habrás escuchado, o incluso trabajado, con distintos tipos de números;
como por ejemplo 2,−5 ó 1/3, todas estas expresiones son parte de diferentes conjuntos,
los que llamamos conjuntos numéricos.
Estos conjuntos de números han ido apareciendo a medida que la humanidad se ha
visto en la necesidad de solucionar problemas y retos cada vez más complejos y más
profundos.
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4 Capı́tulo 1. Operatoria con números
El siguiente recuadro muestra una clasificación de los números reales, que son todos
aquellos que la humanidad ha utilizado para hacer mediciones.
Desaf́ıo: Completa la
secuencia
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
Desaf́ıo ¿Cuál es el valor
que falta?
3?3 = 54
4?2 = 48
5?1 = 30
6?2 =??
(No es 72)
Clasificación de los números reales
Reales R

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
No enteros
{
Fracciones propias
Fracciones impropias
Irracionales I
{
Irracionales algebraicos
Irracionales trascendentes
Actividad 1.1 Observe y analice el esquema anterior de la clasificación de los
númerosreales. Con este esquema y toda la ayuda que quiera (internet, calculadora,
etc.), complete la siguiente tabla:
Números Definición o caracterı́sticas
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Busca el valor aproximado con 15 decimales de:
π ≈
e≈
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1.3 Números enteros 5
1.3 Números enteros
Los números naturales nacen por la necesidad de contar y es desde ese entonces que
la humanidad comienza el descubrimiento de las matemáticas, sin embargo, desde los
problemas de contar pasaron milenios hasta que los matemáticos quisieran enfrentar
ecuaciones del tipo x+2 = 1 y, por extensión, a la necesidad de los números negativos
(también del cero), y no es hasta el año 628, en la obra de Brahmagupta, en que aparece
sistematizada la aritmética de los números enteros.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
enteros negativos enteros positivos
¿Sabı́as que?
Las propiedades completas de
las operaciones con los negativos
y el cero las dio Brahmagupta
(598–670) en el siglo VII después
de Cristo. Brahmagupta explica
todas las reglas en términos de
deudas y fortunas, incluso re-
firiéndose al cero, por ejemplo, si
de cero se resta una fortuna queda
una deuda, es decir, 0− (+5) =
−5 o, al contrario, si de cero se
resta una deuda da una fortuna
0− (−5) = 5.
La suma y la resta de estos números no presentan grandes problemas, es intuitivo al
considerarlos como fortunas y deudas o al representar las operaciones como desplaza-
mientos en la recta númerica.
Ejemplos: aritmética de fortunas y deudas
5−3 es equivalente a pensar que tengo 5 y adeudo 3, por lo tanto mi fortuna es 2
3− 5 es equivalente a pensar que tengo 3 y adeudo 5, por lo tanto me queda una
deuda igual a 2
−3−5 es una deuda de 3 y una deuda de 5, por lo que mi deuda total es 8
Ejemplos: aritmética en la recta numérica
5−3 = 2:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−3
3−5 =−2:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−5
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6 Capı́tulo 1. Operatoria con números
Actividad 1.2 Reescriba las siguientes operaciones en términos de fortunas y
deudas y además esboce su representación en la recta numérica
a) −7+2 =
b) 2−7 =
c) −7− (−2) =
d) 7− (−2) =
e) 10+70− (−20) =
Con calculadora
DEL9
ENG
87
4 5 6
321
0 Ans
AC
STO M+
OPTN CALC
lnlog
sin cos tan
QR SOLVE
( ( S D
( )
2
-1
CONST CONV RESET INS OFF
nPr nCr
Pol Rec
%Rnd Ran#
RECALL Abs
FACT sin cos tan-1 -1 -1log
M
3
10
3
UNDO
M
FEDCBA
DEC HEX BIN OCT
Ranlnt
i
Σ
d
d
SHIFT ALPHA MENU SETUP ON
x
x x
e
x
x°,,,
abc
d
cx y,
x!
x
eπ
10x
Presione p7+2=
Los signos en la multiplicación
Todos hemos escuchado (o recitado) en algún momento de nuestra vida escolar la letanı́a
”más por más, más; más por menos, menos. . . ”, es decir, todos hemos escuchado la
regla de los signos. Pero más allá de escucharla, ¿de dónde sale?
La regla de los signos para
la multiplicación
Al multiplicar números del mismo
signo el resultado es positivo.
Al multiplicar números de distinto
signo el resultado es negativo.
Además aplica de manera
análoga para la división.
Podemos entender que multiplicar dos números positivos dé como resultado otro
positivo, pues es lo que hemos venido haciendo desde siempre. Multiplicar un negativo
por un positivo da negativo pues no es más que
−a ·b =−a−a−·· ·−a︸ ︷︷ ︸
b veces
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1.4 Números reales y su representación decimal 7
Menos intuitivo es por qué multiplicar dos números negativos dé un positivo.
Un intento de justificación, debido al gran matemático Laplace, podrı́a ser el siguiente:
la multiplicación de un número por 0 es siempre 0. Es decir, el producto
−a · (−b+b) = 0
pues −b+b es nulo. Pero esto no es más que
−a · (−b+b) = 0
−a ·−b−a ·b = 0
(−a ·−b)−ab = 0
−a ·−b = ab
Al ser la diferencia cero
las expresiones son iguales
Esta es una de las posibles justificaciones, de origen algebraico, de esta parte de la
regla de los signos. Teniendo cierta justificación para su uso, podemos ver que esta
regla aplica también a la suma y resta. Ası́, para responder la pregunta “¿cuánto vale
5−−3?”, podemos interpretar la operación como
5−−3 = 5 − − 3 = 5(−·−)3 = 5+3 = 8
Otra forma de interpretarlo podrı́a ser una metáfora de movimiento: si sumo un número,
me muevo a la derecha tantas unidades como el número; si resto un número, me muevo
hacia la izquierda. Entonces, restar un negativo es moverme hacia la izquierda en
sentido contrario, es decir, a la derecha. El siguiente gráfico explica la idea.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3 −−3
1.4 Números reales y su representación decimal
Los números enteros no son suficientes para hacer mediciones. Por ejemplo, si dos
personas de diferente estatura miden entre 180 y 181 centı́metros, ¿cómo ser más
precisos para saber quién es más alto? O en una carrera de 100 metros planos, ¿cómo
diferenciar los tiempos del primer lugar y el segundo lugar si ambos se demoran entre 9
y 10 segundos?
Tipos de números decimales
Hay decimales finitos e infini-
tos. Los decimales infinitos, a
su vez, los podemos clasificar en
periódicos, semiperiódicos y no
periódicos.
Ejemplos:
Decimal finito
DECI 6,37
Decimal infinito periódico
DECI 2,41 = 2,414141 . . .
Decimal infinito semiperiódico
DECI 5,043 = 5,043333 . . .
Decimal infinito no periódico
DECI π = 3,1415926 . . .
Para esto, existen números entre los enteros. De hecho, entre cada entero hay infinitos
números. Algunos de estos números nacen como resultado de división de dos números
enteros, por lo que son conocidos como racionales. Observa que un número entero
también es racional, pues puede expresarse como su división por 1. Otros de estos
números no pueden escribirse como una fracción, por lo que se les llama irracionales.
El conjunto total de los números, racionales con irracionales, forma los números reales.
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8 Capı́tulo 1. Operatoria con números
En general, un número real puede representarse de distintas maneras, por ejemplo,
algunos pueden como fracción, puede asignarsele sı́mbolos (como π , e, φ ), operaciones
(
√
2, 32), pero la manera más común es su representación decimal.
Al representar un número como decimal, éste tiene dos partes, la parte entera y la parte
decimal, ambas conectadas por un separador decimal. En Chile usamos la coma pero
hay paı́ses en los que se usa el punto y otros donde se usa el apóstrofe.
Al igual que al escribir un número entero, la posición de cada dı́gito dentro de la parte
decimal tiene un significado. Cada posición de la parte decimal representa el número
de potencias de 10 correspondientes. Por ejemplo, en 7,64 el 6 representa 6 partes de
10 en que se divide la unidad, mientras que el 4 representa 4 partes de 100 en que se
divide la unidad.
Ejemplo: Número 7,64
7,64
Parte entera Coma Parte decimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8
7,6 7,61 7,62 7,63 7,64 7,65 7,66 7,67 7,68 7,69 7,7
7,64 está entre el 7 y el 8.
7,64 está entre el 7,6 y el 7,7.
1.5 Aproximaciones
Hay dos procedimientos para aproximar un número, el redondeo y el truncamiento.
Redondeo Se considera la cifra a la cual se quiere aproximar el número. Si el dı́gito
que sigue a la derecha es mayor o igual que 5, se aumenta la cifra en uno y se
reemplazan por ceros todos a su derecha.
¿Sabı́as que?
No es necesario escribir los ceros
a la derecha en la parte decimal.
Por ejemplo,
12,345000 = 12,345
Truncamiento Se considera la cifra a la cual que se quiere aproximar el número. Todas
las cifras que siguen a la derecha se reemplazan por ceros.
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1.5 Aproximaciones 9
Ejemplo: Procedimientos para aproximar
Aproximaciones de 145,58713
Redondeo Truncamiento
a la milésima 145,587 a la milésima145,587
a la centésima 145,59 a la centésima 145,58
a la décima 145,6 a la décima 145,5
a la unidad 146 a la unidad 145
a la decena 150 a la decena 140
a la centena 100 a la centena 100
Si el valor total de tu cuenta termina:
De $1 a $5 se redondeará para abajo
$785 = $780
De $6 a $9 se redondeará para arriba
$786 = $790
Figura 1.1: Afiche informativo de
la “Ley del Redondeo”.
Actividad 1.3 En la verdulerı́a de Don Roberto se comenzó a aplicar la “Ley de
Redondeo” (ver Figura 1.1).
Complete la siguiente tabla, que considera las primeras ventas (con pago en efectivo)
de Don Roberto una vez aplicada la ley. Recuerde que el precio en pantalla es
redondeado a la unidad automáticamente por la balanza electrónica, y por lo tanto
no debe tener cifras decimales.
Detalle Valor por
kilogramo
Peso en pantalla (kg) Precio en
pantalla
Monto
a pagar
Zanahorias $ 450 1,250
Tomates $ 800 2,685
Manzanas $ 530 1,855
Papas $ 480 5,760
Limones $ 300 1,475
Plátanos $ 650 3,150
Naranjas $ 500 2,050
a) ¿Cuánto dinero ganó o perdió Don Roberto considerando los montos que
hubiera cobrado antes de la ley?
b) ¿Cuán diferentes serı́an los montos si Don Roberto aplicara la aproximación
por redondeo, en lugar de la “ Ley del Redondeo”?
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10 Capı́tulo 1. Operatoria con números
1.6 Números decimales en la vida cotidiana
Los números reales aparecen en distintos contextos cotidianos, desde tus notas hasta
la cantidad de pan que compras (¿compras por kilogramo o por unidad? En ambos
casos es un número real). Como vimos anteriormente, una de las representaciones
más comunes es la decimal, por lo que trabajaremos con ésta antes de pasar a otras
representaciones, como las fracciones.
Centésimas de segundo
Para registrar tiempos en algunas
competencias, fue necesario di-
vidir el segundo en 100 partes,
llamadas centésimas de segundo.
Ejemplo: 83,94 segundos significa
83 segundos con 94 centésimas de
segundo.
Actividad 1.4 La siguiente tabla muestra los récords mundiales de 100 metros
planos masculinos:
Evolución del récord mundial en 100 metros planos
varonil, por debajo de la lı́nea de los 10 segundos
9,95 Jim Hines EU 14/10/68 Ciudad de México
9,93 Calvin Smith EU 02/07/83 Colorado Springs
9,92 Carl Lewis EU 24/09/88 Seúl
9,90 Leroy Burrell EU 14/06/91 Nueva York
9,86 Carl Lewis EU 25/08/91 Tokio
9,85 Leroy Burrell EU 06/07/94 Lausana
9,84 Donovan Bailey Canadá 27/07/96 Atlanta
9,79 Maurice Greene EU 16/06/99 Atenas
9,77 Asafa Powell Jamaica 14/06/05 Atenas
9,77 Asafa Powell Jamaica 11/06/06 Gateshead
9,77 Asafa Powell Jamaica 18/08/07 Zurich
9,74 Asafa Powell Jamaica 09/09/07 Rieti
9,72 Usain Bolt Jamaica 31/05/08 Nueva York
9,69 Usain Bolt Jamaica 16/08/08 Pekı́n
9,58 Usain Bolt Jamaica 16/08/09 Berlı́n
a) ¿En qué fecha se logró batir el record con una mayor diferencia de tiempo al
record anterior? ¿a cuánto tiempo corresponde esa diferencia?
b) ¿Quién mantuvo por mayor tiempo el record mundial? ¿a cuántos dı́as corres-
ponde?
c) Si Usain Bolt y Jim Hines compitieran juntos en la misma carrera (mante-
niendo los tiempos indicados en la tabla) ¿Cuántos metros separarı́a a Bolt
(2009) de Jim Hines, cuando el primero llegue a la meta?
d) ¿Por qué crees que Jamaica lidera por tantos años en este último periodo?
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Gúıa 1
P1. Una empresa dedicada al rubro de alimentación de animales tiene un total de 7.250 kg de alimento para
perros, los cuales se envasan en bolsas de 4,5 kg. También tiene 5.408 kg de alimento para gato, los cuales
se envasan en bolsas de 2,5 kg, ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden envasar?
P2. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 °C por cada 200 m de altura. ¿A qué altura
habrá que ascender para alcanzar −15 °C, si el punto de partida está a una altura de 300 m y la temperatura
es de 5 °C?
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12 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P3. Hay que transportar 960 sacos de papas (cuyo peso es de 25 kg cada uno) desde una comuna a otra. Para
ello se cotizó con 3 transportistas, obteniendo la siguiente tabla:
Carga Máxima Camión Valor Viaje
Transportes A 3.500 kg $ 14.000
Transportes B 6.000 kg $ 20.000
Transportes C 7.500 kg $ 26.000
a) Si tuviera que contratar a un solo transportista, ¿cuál de ellos le conviene?
b) ¿Cuál es la mejor combinación que puede hacer para pagar menos?
c) Si por concepto de transporte se gastó $ 94.000, ¿cuál fue la opción que eligieron? ¿Cuántos sacos
adicionales pudieron haber transportado por ese mismo precio?
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Guı́a 1 13
P4. La temperatura a las 20:00 hrs. es de 10,4 °C y se sabe que la temperatura baja 0,26 °C cada 16 min. ¿Cuál
será la temperatura que se registra a las 23:00 hrs.?
P5. La siguiente tabla muestra la productividad de cuatro máquinas:
Máquina Productividad
Máquina 1 21 artı́culos en 7 h
Máquina 2 192 artı́culos en 2 dı́as seguidos
Máquina 3 36 artı́culos en 1.080 min
Máquina 4 78 artı́culos en 93.600 s
a) ¿Cuál es la más productiva?
b) Si se utilizan las 4 máquinas al mismo tiempo ¿Cuántos artı́culos producen en 2 horas?
c) Usando sólo 3 máquinas la misma cantidad de tiempo ¿es posible producir exactamente 27 artı́culos?
Explica.
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14 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P6. Roberto colocará baldosas en el patio de su casa. Las dimensiones del patio se describen en el siguiente
dibujo.
800 cm
700 cm
500 cm
400 cm
Se evalúan dos posibilidades: comprar baldosas grandes de 50cm× 50cm que vienen en cajas de 10
unidades o baldosas pequeñas de 25cm×25cm que vienen en cajas de 15 unidades. El costo está resumido
en la siguiente tabla:
Tipo baldosa Precio por caja
Grande $9.000
Pequeña $3.500
a) ¿Cuántas cajas de baldosas grandes se necesitarı́an para cubrir todo el patio?
b) ¿Cuántas cajas de baldosas pequeñas se necesitarı́an para cubrir todo el patio?
c) ¿Qué tipo de baldosa es más conveniente? ¿Cuánto deberá pagar Roberto por las baldosas?
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Problemas de la Sección
P1. En la siguiente tabla se muestran algunas afirmaciones que involucran números enteros. Complete la
siguiente tabla con el número entero que mejor represente la situación:
Afirmación Número
La temperatura ambiente es de 2 °C bajo cero −2
La temperatura ambiente es de 2 °C sobre cero 2
La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar
El buzo está nadando a 20 m de profundidad
Estamos justo al nivel del mar
El avión está volando a 9.500 m de altura
El saldo deudor de la cuenta corriente es de $12.356
Los termómetros marcaron una temperatura de 3 °C bajo cero
Latitud de la lı́nea del ecuador
La altura del monte Aconcagua es de 7.010 m
La profundidad de la fosa marina de Tonga es de 10.882 m
Maritza debe $11.650
Andrés tiene $3.580
El submarino está a 35 m bajo el nivel del mar.
P2. Siete amigos elaboran volantines para su venta, trabajando durante 6 horas seguidas cada dı́a. Completan
cajas con 35 volantines y las venden a $8.500 cada una. La cantidad de volantines que cada amigo elabora
en una hora se muestra en la siguiente tabla:
Amigo 1 2 3 4 5 6 7
Unidades por hora 5 6 4 8 9 6 7
a) ¿Cuántos volantines producen en un dı́a de trabajo?
b) ¿Cuántas cajas completas producen por dı́a?
c) Si trabajan durante 5 dı́as, ¿cuántas cajas pueden vender?
d) ¿Cuántos dı́as deben trabajar para completar un stock equivalente a 2 millones de pesos por concepto
de ventas?
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16 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P3. Cuatro amigas sacan dinero de 4 cajeros automáticos diferentes, cada cajero entrega el dinero usando solo
un tipo de billete,como se indica en la tabla:
Amiga Monto del giro Tipo de billete entregado
Javiera $200.000 $20.000
Marcela $100.000 $10.000
Tamara $50.000 $5.000
Andrea $30.000 $2.000
En un pub, deben cancelar en efectivo una cuenta de $80.000, que dividen en partes iguales. Asumiendo
que entre ellas se pueden intercambiar dinero, con el fin de tener billetes de distinto valor:
a) ¿Con cuántos billetes y de qué valores quedarı́a cada una, si pagaran esa cuenta sin esperar vuelto del
local?
b) Si antes de pagar el monto anterior, el local le aplica un descuento de 20%, ¿cómo se podrı́a distribuir
la cantidad de billetes con que paga cada una para que a ninguna se le quede debiendo?
c) ¿Hubiese sido posible pagar una cuenta de $68.000 con los criterios anteriores? Justifique.
P4. En un paseo de fin de año, un curso desea conocer la cantidad de buses que necesitan, junto al valor de una
cuota por familia para costear el traslado. Considere los siguientes datos:
• El curso es de 38 alumnos, de los cuales 5 no pueden ir al paseo.
• Cada alumno llevará a 2 personas como acompañantes. Además, asistirán 2 profesores del colegio, los
cuales no cancelan.
• La capacidad de cada bus es de 42 personas (fuera del chofer) y tiene un costo de $ 87.000.
a) ¿Cuántos buses se necesitan para el paseo?
b) ¿Cuál crees que fue el valor cuota que se le pidió a cada familia para financiar el transporte de dicho
paseo?
c) Uno de los padres propuso pagar $10.000 de bencina a cada familia que pueda ir en automóvil, con el
fin de contratar 1 bus menos. ¿Será conveniente esta idea? Justifique.
P5. En el fútbol, un equipo que gana un partido logra 3 puntos, si empata logra 1 punto, y si pierde, no obtiene
puntos. Complete la siguiente tabla, con los posibles resultados obtenidos por un determinado equipo:
Partidos jugados Puntos ¿Cómo lograrı́a esos puntos?
Equipo A 4 10
Equipo B 5 10
Equipo C 6 15
Equipo D 7 15
a) ¿Existe otra forma de que el Equipo A obtenga ese puntaje? Justifique.
b) ¿Y el Equipo D?
c) Si un equipo juega 6 partidos, ¿qué cantidad de puntos totales no podrá obtener? Busque varias
opciones.
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Problemas de la Sección 17
P6. El siguiente gráfico muestra la distribución de puntajes obtenidos por los alumnos de un determinado
colegio:
Distribución del puntaje PSU Matemática
20
40
60
80
100
2
12
33
53
79
69
34
14
4
31
3-
36
4
36
4-
41
5
41
5-
46
6
46
6-
51
7
51
7-
56
8
56
8-
61
9
61
9-
67
0
67
0-
72
1
72
1-
77
2
Rango Puntaje
N
◦
de
es
tu
di
an
te
s
a) ¿En qué rango se encuentran los 18 mejores puntajes?
b) ¿Cuántos alumnos del colegio rindieron la PSU ese año?
c) ¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvo sobre 670 puntos?
P7. En la siguiente tabla se muestra la distribución del número de hijos de los trabajadores de una empresa, en
cada una de sus 2 sucursales.
Nro. de hijos Sucursal 1 Sucursal 2
0 15 12
1 32 45
2 17 21
3 11 14
4 2 6
5 3 2
a) ¿Cuántos trabajadores tiene cada sucursal?
b) Para el aniversario de la empresa se desea hacer un regalo a todos los hijos de sus funcionarios.
¿Cuántos regalos se deben considerar?
c) ¿Qué porcentaje de los trabajadores de la empresa no tiene hijos?
d) ¿Cuántos trabajadores tienen una cantidad de hijos mayor al promedio del número de hijos de los
trabajadores de la empresa?
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18 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P8. Una empresa chilena dedicada al procesamiento del salmón, cultiva en sus piscinas de crecimiento dos
tipos de salmón: Salmón Atlántico y Salmón Coho. En promedio el Salmón Atlántico pesa 2,4 kg y el
Salmón Coho pesa 2,8 kg. La empresa recibe un pedido de 82 unidades de Salmón Atlántico y 76 unidades
de Salmón Coho. Para poder despachar el pedido, se debe introducir el salmón en cajas especiales que
conservan en frı́o, las cuales tienen una capacidad de 15 kg cada una. ¿Cuántas cajas se deben despachar
para cumplir con el pedido, considerando que cada tipo de salmón va en cajas distintas? Los salmones deben
ir enteros.
P9. Siete hermanos compran una propiedad en $24.062.500 dividiendo su costo en partes iguales. A los 5 años,
venden la propiedad y cada uno de ellos recibe $5.055.000. ¿Cuánto ganó cada uno de ellos?
P10. Un comerciante solicita un presupuesto de un mismo producto a tres diferentes distribuidoras, la información
recibida se resume en la siguiente tabla:
Valor al
detalle
Valor al
por mayor
Distribuidora 1 $3.300 $2.750
Distribuidora 2 $2.900 $2.550
Distribuidora 3 $2.850 $2.800
Parte de la información recibida señala que en la primera distribuidora los valores al por mayor son aplicables
cuando se compran más de 20 unidades, en la segunda distribuidora cuando se compran más de 30 unidades
y en la tercera distribuidora cuando se compran más de 15 unidades. Si el comerciante desea comprar 25
unidades del producto:
a) ¿Qué valor unitario debe cancelar en cada distribuidora?
b) ¿Cuánto cancela en total por su pedido, si elige la opción más conveniente?
c) Si tuviera que comprar 35 unidades, ¿dónde le convendrı́a hacer la compra?
d) ¿Para qué número de productos le conviene la tercera distribuidora?
P11. Francisco necesita comprar 4 neumáticos para su camioneta. Cada uno le cuesta $52.500 y pagará en 8
cuotas iguales, con un interés total de $30.000. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
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Problemas de la Sección 19
P12. El gráfico de la Figura 1.2 muestra 6 calificaciones obtenidas por tres amigos:
1
2
3
4
5
6
7
Camilo Andrea Francisco
Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6
2,1
2,1
3,1 3,4
3,5
3,1
3,1 3,6
5,3
6,7
4,4
5,9
3,7
5,6
4,7 4,7
6,8
3,7
Figura 1.2: Notas obtenidas por los tres amigos.
a) Si cada nota tiene la misma ponderación ¿Cuál es el promedio de cada estudiante?
b) ¿En cuál de las 6 evaluaciones el resultado fue mejor? Justifique.
P13. Andrés tiene una camioneta para hacer fletes en la región donde vive. Andrés no acepta traslados de más de
112,6 km de distancia y cobra $415 por cada kilómetro recorrido. Durante una semana realizó dos viajes
de 86,4 km y tres viajes de 108,52 km. Además decidió aceptar un traslado equivalente a 128,2 km, pero
le cobra a la persona $615 por cada kilómetro adicional. ¿Cuánto dinero en total recauda Andrés por esta
semana de trabajo?
P14. Desde enero a abril del año 2017, se inscribieron 102.086 vehı́culos livianos en el Registro Civil. Las 10
marcas más inscritas se detallan en la siguiente tabla:
Puesto Marca Unidades inscritas
1 CHEVROLET 10.014
2 HYUNDAI 9.140
3 KIA MOTORS 9.104
4 NISSAN 8.562
5 TOYOTA 7.763
6 SUZUKI 7.668
7 FORD 4.864
8 PEUGEOUT 4.862
9 MAZDA 4.244
10 MITSUBISHI 3.950
Con la información anterior, responda:
a) ¿Cuál es el total de unidades inscritas en ese periodo, considerando las 10 marcas que se exponen en la
tabla?
b) ¿Para cuáles marcas se puede decir que se inscribieron aproximadamente el doble de una marca que de
otra?
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20 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P15. Sergio compró en la vega 8 cajas de tomates, 6 cajas de paltas, y 5 sacos de papas. Cada caja de tomates
pesa 8,6 kg, cada caja de paltas pesa 7,4 kg y cada saco de papas pesa 6,2 kg. El vehı́culo de Sergio sólo
puede transportar como máximo 250 kg en total. Si Sergio pesa 85,3 kg, ¿puede transportar en su vehı́culo
todo lo que compró? ¿Por qué?
P16. Los tiempos que demoraron 2 amigos en armar un cubo Rubik 5×5 se muestran en la siguiente tabla:
Amigo Mauricio Roberto
Tiempo 0,3 h 20 min
¿Cuál(es) de las siguientes opciones es(son) verdadera(s)?
a) El que demora menos es Roberto
b) Roberto demora 10 minutos menos que Mauricio
c) La diferencia de tiempos es de 120 segundos
d) Roberto es 2 minutos más rápido de Mauricio
P17. Rafael comenzará a correr todas lasmañanas, paro aún no decide a cuál de 4 parques asistirá. A continuación
se da una imagen referencial de cada parque, junto con información relevante.
Parque I Parque II Parque III Parque IV
– Los ángulos de todas las figuras son rectos.
– Todos los parques tienen el mismo largo y ancho.
– La cuarta parte de cada parque está destinada para plantar árboles.
a) ¿En cuál de los parques deberı́a haber una mayor cantidad de árboles plantados? Justifique.
b) Si Rafael quiere correr por el borde de un parque ¿en cuál de ellos logra una mayor distancia?
Justifique.
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Problemas de la Sección 21
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22 Capı́tulo 1. Operatoria con números
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28 Capı́tulo 1. Operatoria con números
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2. Fracciones
2.1 Un todo y sus partes
Origen de la palabra
Al momento de traducir los
textos en árabe del importante
matemático persa Al-Juarismi, se
eligió la palabra latina fractio
para referirse a los números “que-
brados” (al-Kasr) de los que se
hablaba en dichos textos.
Hemos usado los números para contar, pero hay algo que hemos dejado fuera. Por
ejemplo, supongamos que tenemos una barra de chocolate, pero sin poder reprimir la
tentación, nos comemos algunos pedacitos.
Claramente, la barra es más pequeña después de haber comido los pedacitos. En otras
palabras, la barra pequeña es una parte de la barra original. Podemos ir más lejos y ser
más precisos en qué parte queda de la barra original. Si nos fijamos, la barra original
tenı́a 10 cuadraditos iguales, mientras que después de comer quedan sólo 6, iguales a
los primeros.
Tenemos dos elementos dando vueltas aquı́ que son importantes:
• Una división de un total en pedacitos iguales,
• Un conteo del número de pedacitos que tenemos, queremos usar o, en general,
consideramos como una medida o un estándar.
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30 Capı́tulo 2. Fracciones
En nuestro caso, tenemos 6 pedacitos de 10. Para simbolizar, usaremos la notación
6
10
donde el número de arriba simboliza el número de pedacitos que quedan y el de abajo
el número de pedacitos que hace una barra completa.
Veamos otros casos donde podemos utilizar la misma idea. Por ejemplo, si tenemos
bolitas de colores, podemos ver que 3 son blancas y 5 son verdes.
Cómo leer una fracción
Veámoslo con algunos ejemplos:
1/2 se lee “un medio”
2/3 se lee “dos tercios”
¿Qué fracción de las bolitas son blancas? Para responder esta pregunta, debemos
considerar el total de bolitas, 8, y la parte que nos interesa, las 3 bolitas blancas. Por lo
tanto, 3/8 de las bolitas son blancas.
O podemos considerar un terreno que es dividido entre 4 hermanos. Si se divide entre
partes iguales, podemos ver que a cada hermano le corresponde una parte de las cuatro
en que se dividió el terreno
Con calculadora
Presione 5a4=
Si su calculadora no tiene como
opción natural display se verá ası́:
En todos estos casos estamos haciendo algo que es importante de comprender y manejar,
la idea de partes de un total. Esta idea es una de las bases del concepto de fracción.
Vamos a representar una fracción de la siguiente forma
a
b
Raya Enteros
O variaciones como a/b.
Numerador más grande
Si el numerador es más grande que
el denominador, la fracción repre-
senta una cantidad más grande que
el total.
Por ejemplo la fracción 7/3 dice
que el total se divide en tres partes
y se consideran 7 de ellas (!).
En la calculadora se puede ver que
7/3 = 2 1/3, es decir, tenemos el
doble del total más una tercera
parte.
El entero a se llama numerador y el entero b se llama denominador.
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2.2 Uso de la calculadora 31
Actividad 2.1 Complete la siguiente tabla:
Fracción Cómo se lee
5/4
Tres medios
Un séptimo
10/3
5/6
doce quinceavos
Si consideramos a las fracciones como partes de un total, el denominador cuenta el
número de partes en que se divide el total, mientras que el numerador cuenta el número
de partes que estamos considerando.
Actividad 2.2 Considerando a las fracciones como partes de un todo, ¿qué sig-
nifica la fracción −2/3? ¿Qué significa 0/3? ¿Qué significa 3/0?
2.2 Uso de la calculadora
¿y sin calculadora?
Un número mixto es de forma
Ab/c y corresponde a la abre-
viatura de A+b/c
Sin calculadora se trasforma a una
fracción con la fórmula
A · c+b
c
.
Ejemplo
51/4−→ 5 ·4+1
4
−→ 21
4
.
Actividad 2.3 En esta actividad usted experimentará con su calculadora. Complete
la siguiente tabla y comente con sus compañeros.
Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3
Ingrese a su calculadora 1/2 4/3 5 1/4
¿Cómo muestra el número su cal-
culadora?
Presione n
¿qué ocurre?
Presione q + n
¿qué ocurre?
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32 Capı́tulo 2. Fracciones
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles
Ocurre algo curioso en nuestro ejemplo de la barra de chocolate. Si recordamos,
tenı́amos 6 pedacitos de un total de 10 que contiene la barra. Podemos representarlo
como sigue
pero parece que podrı́amos representarlo también como
De hecho, no cuesta mucho darse cuenta que incluso en nuestro lenguaje cotidiano
tener 6 trozos de 10 es equivalente a tener 3 de 5.
En otras palabras, ocurre que cuando tenemos una fracción, tenemos muchas repre-
sentaciones distintas para la misma fracción. Es parecido a decir el número 5−2 o el
número 2+1, que no son más que formas distintas de decir 3.
De forma gráfica es fácil encontrar fracciones equivalentes, simplemente dividiendo en
más partes iguales. Por ejemplo
y de forma aritmética, basta con multiplicar o dividir ambas partes de la fracción por el
mismo número
3·2
5·2
=
6
10
6·2
10·2
=
12
20
3
5
=
6
10
=
12
20
Sin embargo, si hay tantas formas (de hecho, infinitas) de representar la misma fracción,
¿cuál es la correcta? Todas son correctas, pero hay una forma más económica, aquella
que tiene los menores numerador y denominador. Esta forma de la fracción se llama
fracción irreducible. Sabemos que tenemos una fracción irreducible cuando no puede
simplificarse más, es decir, no podemos dividir el numerador y el denominador por un
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2.4 Un número más 33
mismo número y que el resultado siga siendo entero. En nuestro ejemplo del chocolate,
la fracción irreducible es 3/5.
¿y sin calculadora?
Para encontrar la fracción irre-
ductible:
Dividir tanto el numerador como
el denominador por un número en-
tero, y repetir este proceso hasta
que ya no haya algún número dis-
tinto de uno que los divida a am-
bos.
Ejemplo:
28
42
÷2−→
÷2
14
21
÷7−→
÷7
2
3
Actividad 2.4 Usando la calculadora, determine si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas. Identifique además cuáles son las fracciones irreductibles.
a) Las fracciones 20/30, 4/6, 3/5 y 2/3 son todas equivalentes.
b) 2/5+ 3/6 = 27/30.
c) 4/3÷ 2/5 = 3/4× 2/5.
d) −10 3/4 = 43/4.
2.4 Un número más
Las fracciones están compuestas de dos números que “se juntan”, como vimos en
la sección anterior, comolas partes que consideramos (numerador) de un total de
partes (denominador) en que dividimos la unidad. Esta idea de la unidad nos permite
considerar una nueva forma de ver las fracciones, como un número.
Recordemos que podemos ordenar los números dentro de una recta numérica
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
¿Qué tienen que ver las fracciones con este esquema? Resulta que podemos colocar
las fracciones dentro de la recta numérica, pues podemos entender una fracción como
un número. ¿Qué número? Recordemos que para ubicar un número dentro de la recta,
debemos empezar a contar desde 0. Por ejemplo, para ubicar nuestra fracción 3/5,
dividamos las unidades. El denominador 5 significa que la unidad está dividida en cinco
partes, y el numerador 3 que se consideran tres de ellas. Contando tres partes desde 0,
el resultado es el siguiente.
0 1
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
3
5
En otras palabras, las fracciones ocupan los espacios entre los enteros en la recta
numérica. Pero ya hemos visto otros números que ocupan los espacios entre los enteros,
los números decimales.
¿Pueden una fracción y un decimal ocupar el mismo lugar en la recta? ¡Por supuesto!
De hecho, una fracción no es más que otra forma de representar un número decimal.
¿Cómo podemos encontrar el decimal que representa una fracción? Dividiendo el
numerador por el denominador. En nuestro ejemplo, 3/5 es equivalente al decimal 0,6.
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34 Capı́tulo 2. Fracciones
0 1
3
5
0,6
2.5 ¿Partes de cuál todo?
Como hemos visto antes, las fracciones surgen como partes de un todo. Pero vale la
pena preguntarse, ¿de cuál todo? No es lo mismo que nos queden 3/5 de nuestra barrita
de chocolate a que nos queden 3/5 de una caja de bombones o tener 3/5 de $1.000.000
(lo que nos permite comprar muchos chocolates).
Vale decir, una fracción se entiende como un número de partes que consideramos de
un todo, pero ese todo puede ser distintas cosas. Eso no hace que cambie la fracción
que estamos usando, pero lo que sı́ es distinto es el resultado de aplicar la fracción a
nuestro todo.
Esto no es muy distinto, la verdad, de cosas que ya conocemos. No es lo mismo tener
una manzana que dos manzanas, por ejemplo, o tener 1,6 kilos de pan que 1,8 kilos
de pan. En cierto modo —y esto es una idea un poco rara al principio— podemos
entender un número como un multiplicador de cantidades. Tener dos manzanas es tener
2×manzana; tener 1,6 kilos de pan es tener 1,6×1kg de pan.
Esto se llama usar un número como operador, pero más allá del nombre, lo que importa
es cómo reconocerlo y qué uso le damos y, como las fracciones son números, también
aplica a ellas y quizás de una forma más explı́cita. Si nos fijamos en el primer párrafo,
siempre nos referimos a una fracción de una cierta cantidad (la barrita, la caja, el millón
de pesos). Esta construcción lingüı́stica se traduce directamente en matemática como
una multiplicación
3
5
de una barrita con 10 pedacitos =
3
5
·10
Pero, ¿cómo podemos multiplicar una fracción con un número entero, o decimal?
Muy sencillo: podemos entender una fracción como una multiplicación y división
simultáneas, pero que podemos aplicar en el orden que queramos. Ası́,
3
5
·10 = (3 ·10)/5 o bien 3 · (10/5) = 6
Entonces, si volvemos a nuestro ejemplo del terreno y suponemos que el terreno tiene
un área de 500 m2, a cada uno de los cuatro hermanos le tocarı́a
1
4
·500m2 = 1 ·500m2/4 = 125m2
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2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes 35
Actividad 2.5 Determine los siguientes valores:
a) 2/5 de 5.500
b) 9/5 de 8.000
c) 3 veces 16
d) 0,7 veces 10
e) 1,5 veces 3
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes
Por lo que hemos visto usando la calculadora, podemos pasar de una fracción a un
decimal, y viceversa, de un decimal a una fracción.
Los porcentajes también representan una parte de un todo. En este caso el total siempre
se divide en 100 partes, y se consideran algunas de ellas.
Cuando, por ejemplo, se dice “ el 23% de las personas”, se quiere decir que el total de
las personas se dividió en 100 partes y se consideraron 23 de esas partes. Por lo tanto
23% es equivalente a la fracción 23/100.
Ejemplos de la relación porcentaje-fracción-decimal
Porcentaje Fracción Fracción Decimal
irreductible
10% 10/100 1/10 0,1
6% 6/100 3/50 0,06
40% 40/100 2/5 0,4
De decimales a porcentajes
Note que hay una relación directa
entre decimales y porcentajes:
0,4−→ 40%
0,3−→ 30%
Basta multiplicar por 100 el deci-
mal para visualizar el porcentaje.
7
12
= 0,583 ×100−−−→ 58,3%
Porcentajes más comunes
50% es
1/2 del total
25% es
1/4 del total
20% es
1/5 del total
10% es
1/10 del total
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36 Capı́tulo 2. Fracciones
Actividad 2.6 Del mismo modo que en el ejemplo anterior, complete la siguiente
tabla con sus equivalencias respectivas.
Fracción Fracción Decimal Porcentaje (%)
Irreductible
25/75
0,25
1/10
12,5%
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Gúıa 2
P1. Complete los datos que faltan en cada caso. La “I.” quiere decir “Irreductible”.
a)
Gráfico Fracción Decimal
b)
Fracción Gráfico Fracción I. Gráfico I. Decimal
9/12 GRAFICO GRAFICO GRAFICO GRAFICO
c)
Fracción Nro. Mixto Gráfico Decimal
13/4 GRAFICO GRAFICO
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38 Capı́tulo 2. Fracciones
P2. Considere los siguientes rectángulos de colores.
Comparando los largos de los rectángulos, conteste:
a) ¿Cuántos rectángulos amarillos caben en el azul?
b) ¿Cuántos rectángulos azules caben en el rosado?
c) ¿Qué fracción del rectángulo verde es el rectángulo amarillo?
d) ¿Qué fracción del rectángulo rojo es el azul?
e) ¿Qué fracción del rectángulo rosado es el rojo?
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Guı́a 2 39
P3. Complete la siguiente tabla:
Horas Minutos
Un cuarto de hora
Media hora
Tres cuartos de horas
Dos horas y cuarto
a) ¿Cómo realizó los cálculos en la tabla anterior?
b) ¿Qué fracciones hay involucradas en estos de ejercicios? ¿Qué operaciones matemáticas?
P4. Un curso está compuesto de 22 mujeres y 18 hombres.
a) Un cuarto del curso no rinde la PSU. ¿Cuántos estudiantes no rinde la PSU?
b) De los alumnos que no rinden la PSU, dos quintos no la inscribieron. ¿Cuántos estudiantes no la
inscribieron?
c) El 10% del curso no rinde la Evaluación Diagnóstico. ¿Cuántos estudiantes no rinden el Diagnóstico?
d) De los alumnos que rinden la Evaluación Diagnóstico, un cuarto es destacado. ¿Cuántos son destaca-
dos?
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40 Capı́tulo 2. Fracciones
P5. Javier, después de una operación, debe someterse a una dieta estricta. Tiene que distribuir los siguientes
alimentos en 4 comidas por dı́a.
Porción Calorı́as por Porciones por
porción dı́a
Huevo cocido 1 unidad 77 1/2
Pan Marraqueta 1 unidad 245 3/4
Pan molde Integral 2 rebanadas 152 2
Leche descremada 200 mL 64 2 1/5
Té 1 taza 2 3
Ensalada de Frutas 1 taza 108 2,5
Jamón de Pavo cocido 1 lámina 19 4
Pescado al vapor 100 g 128 2
Arroz blanco 1 taza 204 1 1/5
Agua 100 mL 0 Indefinida
a) ¿Cuántas calorı́as podrı́a consumir diariamente?
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Guı́a 2 41
b) La siguiente tabla indica la cantidad de alimentos consumidos en las primeras 3 comidas. ¿Qué
opciones tendrá para la cena?
Cantidad de porciones
Desayuno Almuerzo Colación Cena
Huevo cocido 1/2
Pan de marraqueta 1/2
Pan de molde integral 1
Leche descremada 1
Té 1 1
Ensalada de frutas 0,5 0,5
Jamón de pavo cocido 2
Pescado al vapor 1
Arroz blanco 0,5
Agua 1 2 1
P6. El sueldo lı́quido mensual de Marcela es $960.000, y lo repartió en el mes de noviembre de acuerdoal
siguiente gráfico circular:
Ahorro 40%
Alimento
Deudas
Transporte
a) Complete la siguiente tabla con la fracción (Fr.), fracción irreductible (Fr. I.), decimal (Dec.) y
porcentaje (%) que corresponda.
Representación numérica
de la parte del total
Fr. Fr. I. Dec. % Dinero utilizado
Ahorro
Transporte
Deudas
Alimento
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42 Capı́tulo 2. Fracciones
b) En diciembre, Marcela recibe un aguinaldo de $480.000. Su dinero total recibido lo distribuye de la
siguiente forma: vacaciones $540.000, transporte y deudas $360.000, vestuario $180.000, y lo restante
en alimentación y regalos.
Construya un gráfico circular con la distribución de dinero en el mes de diciembre, en fracción y
porcentajes.
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Guı́a 2 43
P7. Los siguientes gráficos muestran la distribución de los resultados finales de Nivelación Matemática en el
año 2012. Cada gráfico está dividido en partes iguales.
Distribución alumnos 2012 Distribución aprobados 2012
� Aprobados
� Reprobados
� Destacados
� No destacados
a) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobó el curso?
b) ¿Qué fracción de los aprobados fueron destacados? ¿Qué porcentaje?
c) ¿Qué fracción del total del curso fueron destacados?
d) Si reprobaron 10 alumnos, ¿cuántos fueron destacados? Utilice al menos dos procedimientos distintos
para llegar a la respuesta.
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44 Capı́tulo 2. Fracciones
P8. La distribución de gastos de Ana durante el mes de marzo es la siguiente:
– Arriendo: 1/2 del sueldo mensual.
– Pago Universidad: 1/6 del sueldo mensual.
– Cuentas básicas: 1/9 del sueldo mensual.
– Alimentación: 2/9 del sueldo mensual.
El detalle de las cuentas básicas es el siguiente:
– Agua: 25% del gasto en cuentas básicas.
– Gas: 1/4 del gasto en cuentas básicas.
– Luz: 1/2 del gasto en cuentas básicas.
a) ¿Ana tendrá capacidad de ahorro?
b) Si el ingreso lı́quido en marzo fue $427.500, ¿cuánto pagó por arriendo y luz?
En el mes de mayo recibe un bono de gratificación, lo que implica que su sueldo lı́quido aumenta en 1/4 con
respecto a marzo.
Además, el arriendo, universidad, alimentación, y cuentas básicas no varı́an, es decir, debe pagar la misma
cantidad de dinero que en el mes de marzo por estos conceptos.
c) ¿Qué fracción del sueldo de mayo destinará al pago de arriendo, universidad, cuentas básicas y
alimentación?
d) ¿Le quedará dinero luego del pago de estas cuentas?
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Guı́a 2 45
P9. Ana recibe la visita de 5 niños y cuenta con cuatro barras de chocolate idénticas que repartirá en partes
iguales sin que sobre.
a) ¿Qué fracción del total de chocolate recibirá cada niño?
b) ¿Cómo repartirán las barras de chocolate? Indique al menos dos opciones.
c) Si los últimos dos niños son hermanos y se llevan lo que les corresponde a casa para compartirlos con
sus dos padres, ¿qué cantidad le corresponderá a cada uno en la casa, considerando que todos recibirán
la misma porción?
P10. Cuatro amigos ordenan tres pizzas (“napolitana”, “pepperoni” y “vegetariana”). Hay que ayudarles a
repartı́rselas, de modo que a cada uno le correspondan partes iguales de cada tipo de pizza.
a) ¿Qué fracción, de cada pizza, recibirá cada persona?
b) ¿Qué fracción del total de pizzas, recibirá cada amigo?
c) Después de cortadas y repartidas las pizzas, llegan dos invitados más. ¿Qué fracción de su porción
debe dar cada uno de los cuatro amigos, para que todos coman la misma cantidad de pizza?
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46 Capı́tulo 2. Fracciones
P11. Cinco equipos formados por niños, recolectaron manzanas en un campamento. La siguiente tabla contiene
el número de integrantes de cada equipo y la cantidad de manzanas recolectadas. Complete la columna que
falta, considerando que todas las manzanas se reparten de forma equitativa dentro de cada equipo, sin que
sobre.
Equipo Cantidad de Cantidad de Fracción de manzana
manzanas niños por niño
A 1 5
B 2 4
C 6 5
D 8 3
E 2 2
a) Un niño del equipo A se debe cambiar de equipo. ¿En cuál equipo comerı́a la mayor cantidad de
manzanas? ¿Cómo quedarı́an conformados los equipos después de este cambio?
b) Considerando la nueva conformación de los equipos, y la cantidad de manzanas que le tocó a cada niño
del equipo B. Para que a los integrantes de los otros equipos les hubiera tocado esa misma cantidad de
manzanas, ¿cuántas manzanas deberı́a haber recolectado cada uno de los otros equipos?
c) A partir de la nueva conformación de los equipos, ¿cuántos niños nuevos habrı́a que agregar a cada
equipo desde el B hasta el E, para que a todos les tocara la misma cantidad de manzanas que a los
integrantes del equipo A?
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Guı́a 2 47
P12. Un grifo llena un depósito en 5 horas y un segundo grifo lo llena en 3 horas.
a) ¿Qué fracción del depósito es llenado por el primer grifo en una hora?
b) ¿Qué fracción del depósito es llenado por el segundo grifo en una hora?
c) ¿Cuánto tiempo se empleará en llenar el depósito si se utilizan los dos grifos simultáneamente?
P13. Felipe realizó el recuento de las ventas en su negocio dándose cuenta que:
• en marzo vendió 6/5 del mes anterior
• en febrero vendió 5/4 del mes anterior
Si en enero vendió $4.500.000, ¿a cuánto ascendieron las ventas en el mes de marzo?
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48 Capı́tulo 2. Fracciones
P14. Se compra una camisa rebajada en 3/5 de su valor original. Si finalmente se paga $10.000, ¿cuánto costaba
la camisa originalmente? ¿Qué porcentaje de descuento tenı́a la camisa?
P15. Una joven muy ordenada ahorra al inicio de cada mes $12.000 de su mesada. Si lo que le resta corresponde
a 2/3 de su mesada, ¿a cuánto dinero asciende su mesada?
P16. En una ciudad de Chile hay 5.467 vehı́culos usados para la locomoción colectiva. Si éstos equivalen a 7/16
del parque automotriz de la ciudad, ¿cuántos vehı́culos hay en total en esta ciudad?
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Guı́a 2 49
P17. Luis tenı́a asegurada su camioneta y sufrió un accidente con pérdida total del vehı́culo. Por esta razón la
aseguradora le entrega $5.900.000, que corresponde a 5/8 del valor original de la camioneta. ¿Cuál era el
valor original de la camioneta?
P18. Ana quiere cambiar las cerámicas de su comedor, el cual tiene 8 m de largo por 5 m de ancho. Eligió
cerámicas cuadradas de 0,4 m de lado. Las cerámicas se venden en cajas de 10 unidades y el valor de cada
caja es de $5.800. Se le aceptó el siguiente plan de pago:
• 1/4 del total lo cancelará al contado.
• 1/6 de lo que queda lo cancelará con cheque a 30 dı́as.
• El resto lo cancelará con la tarjeta de una casa comercial
¿Cuánto dinero cancelará Ana con la tarjeta de la casa comercial?
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Problemas de la Sección
P1. Andrea recibe la cartola anual de su AFP, indicando que su ahorro asciende a $12.600.000 distribuidos entre
los fondos obligatorios y APV (Ahorro Previsional Voluntario).
El primer gráfico muestra la distribución de sus ahorros en la AFP y el segundo la cantidad de dinero que
puede retirar de los fondos voluntarios.
Gráfico 1 Gráfico 2
� Fondos Obligatorios
� APV (Ahorro Previsional Voluntario)
� Dinero que puede retirar
a) ¿Cuánto dinero puede retirar Andrea?
b) ¿Qué porcentaje de fondos corresponde a APV? ¿Qué fracción?
c) ¿Qué fracción del APV podrá retirar?
d) Del dinero ahorrado ¿qué porcentaje podrá retirar?
P2. En cada caso, indique si las expresiones (fracciones, decimales, representaciones gráficas, porcentajes, etc.)
son equivalentes entre sı́. En caso contrario, indiquepor qué no lo son.
a)
Fracción Porcentaje
1/2 50%
b)
Fracción Decimal Porcentaje
50/30 1,6 166,6
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Problemas de la Sección 51
c)
Nro. mixto Decimal Representación gráfica
2 1/4 2,25
d)
Fracción Decimal Porcentaje
6/20 0,3 30%
e)
Fracción Porcentaje Representación gráfica
20/24 83,3%
P3. Indique en cada caso si las expresiones significan lo mismo. De no ser ası́, indique en dónde está la diferencia
o error.
a)
Expresión 1 Expresión 2 Resultado
1/2 de 50.000 50% de 50.000 25.000
b)
Afirmación Representación gráfica
75% de los alumnos
aprueba la asignatura
Reprobados
Aprobados
c)
Indicación Expresión
Se distribuye
el dinero en 3 partes:
- Alimentos 1/5
- Celular 1/3
- Resto en locomoción
0,2 veces el dinero
30% veces el dinero
+ 7/15 veces el dinero
Total del dinero
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52 Capı́tulo 2. Fracciones
P4. Considere el siguiente ejemplo:
+ =
1
2
1
4
3
4
De este mismo modo, usando la representación gráfica, compruebe si las siguientes igualdades son correctas
o incorrectas (en algunos casos puede ser necesario subdividir la representación gráfica):
a)
1
3
+
1
3
=
2
6
b)
3
4
− 1
3
=
5
12
c)
3
2
+
1
3
=
11
6
P5. Un depósito contiene 320 L de agua, lo que corresponde a dos terceras partes de su capacidad total ¿Qué
capacidad tiene el depósito?
P6. Juan realizó una asesorı́a a una empresa de telecomunicaciones. Gastó 2/5 de lo que le pagaron y le quedaron
$392.520. ¿Cuánto dinero habı́a recibido Juan por su trabajo?
P7. Pablo gastó 5/8 del dinero que tenı́a y le quedaron $307.500. ¿Cuánto dinero tenı́a inicialmente?
P8. Andrea vende 3/5 de un terreno y se queda con 3.816 m2. ¿Cuántos m2 del terreno vendió?
P9. Juan vivió 60 años. ¿Qué fracción de un siglo vivió?
P10. Una empresa tiene un total de 256 trabajadores, de los cuales 96 pertenecen a Fonasa y el resto a Isapres.
¿Qué parte del total de los trabajadores representan los afiliados a Isapres?
P11. En una fiesta hay 8 personas y 14 pizzas. ¿Qué cantidad le toca a cada persona para que todos coman lo
mismo?
P12. Una piscina contiene 1.200 L cuando está hasta 1/4 de su capacidad.
a) ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?
b) ¿Cuántos litros faltan para llenarla?
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Problemas de la Sección 53
P13. Julio ganó $550.000 en un concurso. Gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte de lo
que le quedaba en reparar su auto. ¿Cuánto dinero le queda?
P14. La tı́a Juana compra cada domingo 8 manzanas que reparte de manera equitativa entre los sobrinos que la
visitan. El penúltimo domingo la visitaron 5 sobrinos y el último solo 4.
a) ¿Qué fracción de manzanas le tocó a cada sobrino el penúltimo domingo?
b) ¿Qué fracción el último domingo?
P15. Un grupo de amigos compró 4 pizzas y las dividieron en varios trozos. Cada trozo correspondı́a a 1/6 de
pizza. Si cada persona pudo comer un trozo, ¿cuántas personas habı́a en esa reunión?
P16. ¿Cuánto litros de agua contiene un depósito cuya capacidad total es de 400 litros y está ocupado en sus 3/5
partes?
P17. Un autobús transporta 36 viajeros. En la primera parada se baja 1/6 de los viajeros y suben 2 nuevos
pasajeros, en la segunda parada se baja 1/4 de los viajeros y suben 3 más, y en la tercera parada se bajan 2/3
de los viajeros. ¿Cuántos se bajarán en esta última parada?
P18. Raúl reparte $620.000 entre sus tres hermanos Felipe, Javiera y Pedro.
• Felipe recibe 2/5 del total.
• Javiera recibe 1/4 del resto.
• Pedro recibe lo que queda.
Si Pedro gastó 1/3 del dinero recibido, ¿con cuánto dinero se quedó?
P19. En un garaje están estacionados 48 vehı́culos, de los cuales la mitad son turı́sticos, 1/3 son furgonetas y el
resto son motocicletas. ¿Cuántos vehı́culos hay de cada tipo?
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54 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
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Problemas de la Sección 55
Anotaciones:
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56 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
Problemas de la Sección 57
Anotaciones:
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58 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
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3. Repaso de la Unidad
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Gúıa Resumen Unidad I
P1. Durante el ascenso a una montaña la temperatura va disminuyendo 1,5 °C por cada 150 m de altura. A 800
metros de altura hay 12 °C.
¿Hasta qué altura habrı́a que ascender para alcanzar los −15 °C?
a) 2.700 m
b) 3.500 m
c) 1.100 m
d) 1.900 m
P2. El la siguiente tabla se muestra la distribución de los trabajadores de una empresa según el número de hijos
y la sucursal en la que trabaja cada uno
Nº de hijos Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3
0 10 14 22
1 22 25 15
2 17 15 18
3 9 8 9
4 3 5 4
5 2 1 1
¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
a) La sucursal 2 tiene mayor cantidad de trabajadores.
b) Entre las 3 sucursales hay 154 hijos de trabajadores.
c) El 46% del total de trabajadores no tiene hijos.
d) Un 25% del total de trabajadores tiene 2 hijos.
P3. El dueño de un negocio compra 136 kg de lentejas y las envasa en bolsas de 0,5 kg. Cada bolsa la venderá a
$1.250.
¿Cuánto recaudará el dueño del negocio con la venta de todas las bolsas de lentejas?
a) $85.000
b) $170.000
c) $170.625
d) $340.000
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Guı́a Resumen Unidad I 61
P4. Un plan de telefonı́a cobra $30 por minuto los primeros 15,6 minutos de una llamada. Si la llamada dura
más que eso, el valor por minuto extra es de $70. Un dı́a, un usuario de este plan realizó dos llamadas de
10,4 minutos, tres llamadas de 8,5 minutos y una llamada de 20,4 minutos.
¿Cuánto dinero en total debe pagar el usuario por estas llamadas?
a) $1.371
b) $1.995
c) $2.193
d) $2.817
P5. Se armarán 6 mesas y 9 sillas. Cada silla se arma con 8 tornillos y cada mesa, con 12 tornillos. Los tornillos
se venden en cajas de 14 unidades.
¿Cuántas cajas de tornillos como mı́nimo hay que comprar para armar las 6 mesas y las 9 sillas?
a) 10 cajas.
b) 11 cajas.
c) 12 cajas.
d) 14 cajas.
P6. Entre las 19:00 horas de un dı́a de invierno y las 7:00 am del dı́a siguiente, la temperatura disminuye 0,3 °C
cada 15 minutos. Si a las 19:00 horas la temperatura es de 14 °C, ¿qué temperatura habrá a las 7:00 am del
dı́a siguiente?
a) 10,4 °C
b) 2 °C
c) −14,4 °C
d) −0,4 °C
P7. La dueña de un viñedo cosecha 2 toneladas de uvas y las vende en envases de 500 gramos. El precio de cada
envase es $350.
¿Cuánto recaudará la dueña del viñedo con la venta de todos esos envases de uvas?
a) $350.000
b) $700.000
c) $1.400.000
d) $14.000.000
P8. Una lata de pintura para autos alcanza a cubrir 0,3 autos. En el taller de Gustavo hay que pintar 11 autos.
¿Cuál es el menor número de latas con que se pueden pintar los 11 autos?
a) 36 latas.
b) 4 latas.
c) 37 latas.
d) 40 latas.
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62 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
P9. Alexis vende bolsitas de 500 g con una mezcla de frutos secos. La composición de las bolsitas es
Tipo Peso
Avellanas 1/8 kg
Almendras 1/6 kg
Nueces el resto
¿Cuántos gramos de nueces contiene cada bolsa?
a) 5/24 kg
b) 2/24 kg
c) 7/24 kg
d) 17/24 kg
P10. Luis recolecta aceite usado de restaurantes para reciclarlo. Su meta es lograr 4 25 litros cada dı́a. Si alcanza
justo su meta durante 4 dı́as seguidos, ¿Cuánto aceite recolectó?
a) 16,4 L
b) 17,6 L
c) 6,4 L
d) 32 L
P11. Francisco sale a comer con sus amigos Juan Pablo y Loreto. Loretopaga 2/7 de la cuenta, Juan Pablo paga
1/7 y Francisco el resto. Si la cuenta salió $24.500, ¿cuánto pagó Francisco?
a) $3.500
b) $7.000
c) $10.500
d) $14.000
P12. José se demora 1,2 horas de su casa al trabajo y 1 14 de vuelta. Si trabaja de lunes a viernes, ¿cuánto tiempo
destina a transporte semanalmente?
a) 12,25 h
b) 17,15 h
c) 11,75 h
d) 16,45 h
P13. En una empresa frutı́cola, cada persona que trabaja en la revisión de productos puede revisar 150 productos
por hora. Si cada persona trabaja 8 horas diarias, ¿cuántos dı́as se demorará una persona en revisar 10.800
productos?
a) 9 dı́as.
b) 18 dı́as.
c) 19 dı́as.
d) 36 dı́as.
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Guı́a Resumen Unidad I 63
P14. Los tipos de contrato de una compañı́a de telecomunicaciones se distribuyen como muestra el gráfico. Si
hay 1.000 contratos sólo de voz, ¿cuántos contratos para tablet hay?
Sólo voz
Sólo datos
Voz y datos
Distribución de contratos
Router
Tablet
Distribución de contratos
sólo de datos
a) 3.000
b) 600
c) 2.400
d) 1.000
P15. El precio de una chaqueta, con un descuento del 1/5 de su precio normal, es $25.000. ¿Cuál era el precio
original?
a) $20.000
b) $125.000
c) $31.250
d) $25.500
P16. Juana teje 3 calcetines por hora, mientras que Tamara teje 2 calcetines en 45 minutos. ¿Cuánto más demora
Tamara que Juana por cada calcetı́n?
a) 5/2 min
b) −5/2 min
c) 0,3 h
d) 1/180 h
P17. Una empresa tiene un total de 256 trabajadores de los que 96 pertenecen a Fonasa y el resto pertenece a
Isapres. ¿Qué parte del total de los trabajadores representa a los afiliados a Isapres?
a) 5/8
b) 3/8
c) 3/5
d) 3/11
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64 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
P18. El siguiente gráfico muestra los gastos de Marcela en el mes de febrero
Alimentos
Arriendo
Deudas
Pasajes y
vestuario
Ahorros
Gastos en febrero
a) ¿Qué fracción del total de los gastos de Marcela corresponde a cada uno de los ı́tems?
Si el sueldo recibido por Marcela en el mes de febrero es de $960.000.
b) ¿Cuánto dinero gasta en alimento?
c) ¿Cuánto dinero gasta en pasajes y vestuario?
El desglose de los que gasta en alimentos se puede ver en el siguiente gráfico
Dulces y postres
Frutas y
verduras
Alimentos
envasados
Gasto en alimentos
d) ¿Cuánto dinero gasta en dulces y postres?
e) ¿Qué fracción del total de su sueldo gasta en dulces y postres?
P19. Rocı́o sale a caminar todas las mañanas. En 1/4 de hora recorre 1/5 del total de su recorrido, ¿cuántas horas
demora en el trayecto total?
P20. Julio ganó $550.000 en un concurso. Gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte de lo
que le quedaba en reparar su auto. ¿Cuánto dinero le queda?
P21. En una ciudad de Chile hay 5.467 vehı́culos de locomoción colectiva, que equivalen a 7/16 del parque
automotriz en esa zona. ¿Cuál es el total de vehı́culos en la ciudad?
P22. En la casa de Laura se consumen 80 cm3 de gas por cada hora y en promedio lo utilizan por 4 horas diarias.
El costo de cada cm3 es de $3. Si lo que Laura cancela por el gas en un mes de 30 dı́as corresponde a 1/9 de
su ingreso total, ¿cuál es el ingreso que recibe mensualmente?
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Guı́a Resumen Unidad I 65
P23. Germán realizó una asesorı́a a una empresa de telecomunicaciones. Gastó 2/5 de
lo que le pagaron y le quedaron $392.520. ¿Cuánto dinero recibió Germán por
su trabajo?
http://youtu.be/Pm5iAlQ7ZOo
P24. Catalina vende 3/5 de su terreno, y le quedaron 5.724 m2 sin vender. ¿Cuántos
metros cuadrados tiene el terreno de Catalina?
http://youtu.be/dv_JPTUMF70
P25. Felipe realizó el recuento de las ventas en su negocio y se dio cuenta que en
el mes de marzo vendió 6/5 del mes anterior y en febrero vendió 5/4 del mes
anterior. Si en enero vendió $4.500.000, ¿a cuánto ascendieron las ventas en el
mes de marzo?
http://youtu.be/Pp-Wb6BLVsg
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
http://youtu.be/Pm5iAlQ7ZOo
http://youtu.be/dv_JPTUMF70
http://youtu.be/Pp-Wb6BLVsg
66 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
3.1 Soluciones guı́a repaso 1
Pregunta Clave Pregunta Clave
1 B 10 B
2 D 11 D
3 D 12 A
4 C 13 A
5 B 14 B
6 D 15 C
7 D 16 A
8 C 17 A
9 A
18. a) Gastos según item
• Alimentos: 312 =
1
4
• Deudas: 112
• Ahorros: 112 =
1
6
• Arriendo: 212 =
1
6
• Pasajes y vestuario 412 =
1
3
b) En alimentos Marcela gasta $240.000.
c) En pasajes y vestuario gasta $320.000.
d) En dulces y postres gasta $48.000.
e) 1/20 del sueldo es dedicado al item dulces y postres.
19. Rocı́o demora 1,25 horas en completar su trayecto, equivalente a una hora y
cuarto.
20. A Julio le quedan $330.000.
21. El total de vehı́culos en la ciudad es 12.496.
22. El ingreso mensual de Laura es de $259.200.
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II
4 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Concepto de razón
4.2 Escalas
4.3 Proporción
4.4 Regla de las proporciones
4.5 Cambio de unidades
Guı́a 3
Problemas de la sección
4.6 Porcentajes
4.7 Variaciones porcentuales
4.8 Puntos porcentuales
Guı́a 4
Problemas de la sección
5 Potencias y raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Potencias
5.2 Aplicaciones de potencias
5.3 Raı́ces
5.4 Aplicaciones de raı́ces
Guı́a 5
Problemas de la sección
Aplicaciones numéricas en la
resolución de problemas
4. Razones y proporciones
4.1 Concepto de razón
Actividad 4.1 Por cada una de las siguientes situaciones, indique dos nuevas
afirmaciones que se puedan deducir a partir de la información dada:
Situación 1: Por cada taza de arroz, se necesitan dos tazas de agua. (Con tazas de
igual capacidad)
1.
2.
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70 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Situación 2: El rendimiento de un motor de automóvil de ciudad es de 16 km por
litro de bencina
1.
2.
Situación 3: En un curso de 40 estudiantes, tres de cada cuatro estudiantes son
mujeres.
1.
2.
En cada situación de la actividad anterior, hemos aplicado lo que se conoce como el
concepto de razón.
Hay dos caracterı́sticas fundamentales de una razón:
1. Hay dos cantidades de diversa procedencia.
• Situación 1: cantidad de tazas de arroz y cantidad de tazas de agua.
• Situación 2: litros de bencina y kilómetros de distancia recorrida.
• Situación 3: número de mujeres y número de estudiantes.
2. Las cantidades se pueden comparar a través de un cociente.
• Situación 1: 1 taza cada 2 tazas, es decir una es 1/2 de la otra.
• Situación 2: 1 litro cada 16 kilómetros, es decir una es 1/16 de la otra.
• Situación 3: 3 mujeres cada 4 estudiantes, es decir una es 3/4 de la otra.
Escribir y leer una razón
La razón entre una cierta magni-
tud a y otra cierta magnitud b se
escribe
a : b ó
a
b
.
De modo técnico, se lee:
“ a es a b”.
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4.2 Escalas 71
Ejemplo
Situación Razón
El examen fue aprobado por dos
de cada tres estudiantes
La razón entre el número de aprobados y el
total de estudiantes es como 2:3
En otras palabras, por cada 2 estudiantes aprobados
hay 3 estudiantes en total.
El curso fue aprobado por 35 es-
tudiantes, de un total de 40.
La razón entre el número de aprobados y el
total de estudiantes es como 35:40 ó 7:8 (pues
35/40 = 7/8)
El rendimiento de un motor de
automóvil es de 33 km por cada
2 litros de bencina.
La razón entre el número de kilómetros que
puede recorrer y el número de litros de bencina
es como 33:2, ó 16,5 km/L (pues 33/2= 16,5).
Un paquete de 400 gramos de
spaghetti integrales rinde 5 por-
ciones.
La razón entre el número de gramos de es-
pagueti y el número de porciones que rinden
es como 400:5 ó 80:1 (pues 400/5 = 80/1)
4.2 Escalas
En dibujo técnico, la representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando
estos son muygrandes o muy pequeños por lo que se emplea una escala, también se
emplean escalas en las ampliaciones y reducciones de fotografı́as y fotocopias.
Se define la escala como la razón entre la dimensión dibujada y la dimensión real, esto
es:
Escala =
Dimensión en el dibujo
Dimensión en la realidad
= Dimensión en el dibujo : Dimensión en la realidad
Unidades en una escala
Las dimensiones que se comparan
a partir de una escala deben estar
en la misma unidad de medida.
Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala
de ampliación, y en caso contrario, se trata de una escala de reducción. La escala 1:1
corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural).
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72 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Actividad 4.2 Responda en cada uno de los siguientes casos ¿qué tipo de escala
tiene el dibujo (ampliación, reducción)? ¿qué más se puede decir del tamaño del
dibujo, comparado con el tamaño real de lo que fue dibujado?
a) El dibujo está hecho con la escala de 1:2.
b) El dibujo está hecho con la escala de 4:1.
Ejemplo
Supongamos que un segmento de un objeto dibujado a escala mide 4 cm en el dibujo,
mientras que en la realidad mide 400 m. Entonces la escala con la que fue dibujado
es:
Escala =
4 cm
40.000 cm
=
4
40.000
=
1
10.000
A partir de la información que proporciona la escala también se puede afirmar
que 1 cm del dibujo corresponde a 10.000 cm en la realidad (o también, haciendo
conversiones de unidades, a 100 m o a 0,1 km en la realidad).
Otro Ejemplo
La versión real del automóvil de producción descontinuada, marca Volkswagen,
modelo Type 1 Beetle, mide 4,07 m de largo.
Hay una versión del Volkswagen Type 1 Beetle a escala para coleccionistas. La
escala del modelo en miniatura es de 1:22.
Esto se puede interpretar, en palabras, como: “un centı́metro de la miniatura repre-
senta a 22 centı́metros del modelo real”, o también: “22 centı́metros del modelo real
están representados en 1 centı́metro de la miniatura”.
Actividad 4.3 Considere el ejemplo anterior. ¿Cuántos centı́metros medirá el
largo del modelo en miniatura del Volkswagen?
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4.3 Proporción 73
4.3 Proporción
A la igualdad de dos razones se le llama proporción. Pero, ¿cuándo dos razones son
iguales?
Ejemplo
El 50% de un número es la mitad de ese número. Sabemos que 400 es la mitad de
800. Ası́ que la parte que es 50 de 100 es igual a la parte que es 400 de 800.
Lo anterior puede ser expresado a través de una proporción:
Parte que es
50 de 100
−→ 50
100
=
400
800
←− Parte que es
400 de 800
Por lo tanto, una proporción es una igualdad entre fracciones. Además, es una herra-
mienta matemática que ha mostrado ser muy útil.
Escribir y leer una
proporción
Como la proporción es una igual-
dad de razones, o simplemente de
fracciones, se puede escribir de
dos maneras
a : b = c : d ó
a
b
=
c
d
.
Esto, de manera técnica, se lee:
“a es a b como c es a d”.
Ejemplo: Un descuento (1ra. parte)
Se calculará el descuento del 20% sobre el precio de un producto que originalmente
vale $13.800.
Establecemos una razón entre los porcentajes involucrados y otra entre los precios
involucrados, porque la parte que es 20 de 100 equivale a la parte que es el descuento
de los $13.800.
Se pueden ordenar los datos en una tabla:
Porcentaje (%) Dinero ($)
20 Descuento (¿?)
100 13.800
La proporción debe plantearse como:
20
100
=
Descuento
13.800
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74 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
4.4 Regla de las proporciones
Cuando se tiene una proporción
a
b
=
x
d
,
donde se conocen solo tres términos (a, b y d), y el cuarto (x) es desconocido, entonces
el valor de x se puede determinar con la fórmula:
x =
a ·d
b
.
Note que:
La regla de las proporciones, en
todos los casos, se puede resumir
en dos pasos:
1ro “Multiplicar cruzado” los
valores conocidos.
2do Dividir por el valor cono-
cido que queda.
La parte desconocida de la proporción puede aparecer en otros lugares. Para cada caso
se puede encontrar una fórmula.
Proporción Valor de x
x
b
=
c
d
x =
b · c
d
a
x
=
c
d
x =
a ·d
c
a
b
=
c
x
x =
b · c
a
Ejemplo: Un descuento (continuación)
En el ejemplo anterior habı́amos planteado la proporción
20
100
=
Descuento
13.800
.
Ahora podemos resolverla:
20
100
=
Descuento
13.800
−→ Descuento = 20 ·13.800
100
= 2.760.
Por lo tanto el producto tiene un descuento de $2.760.
Actividad 4.4 Las ganancias que generó el negocio de Gabriel y Daniela serán
repartidas entre ellos según indica el gráfico
Daniela Gabriel
a) ¿Quién recibirá más dinero? ¿En qué razón están los dineros recibidos por
Gabriel y Daniela?
b) Si a Daniela le corresponden $1.200.000, ¿cuánto le corresponde a Gabriel?
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4.5 Cambio de unidades 75
4.5 Cambio de unidades
Un uso práctico muy amplio de las proporciones es el cambio de unidades. En efecto,
la mayorı́a de los cambios de unidades puede expresarse como proporciones.
¿Y la temperatura?
Los cambios entre unidades de
temperatura son la excepción:
siguen relaciones algebraicas dis-
tintas de una proporción. Por ejem-
plo, de Celsius a Fahrenheit
o F = (1,8× °C)+32
y de Fahrenheit a Celsius
°C =
o F−32
1,8
Unidades de longitud
1 kilómetro (km) 1.000 metros (m)
1 metro (m) 100 centı́metros (cm)
1 centı́metro (cm) 10 milı́metros (mm)
1 pulgada (′′) 2,54 centı́metros (cm)
1 pie (′) 30,48 centı́metros (cm)
Unidades de tiempo
1 dı́a 24 horas (h)
1 hora (h) 60 minutos (min)
1 minuto (min) 60 segundo (s)
Unidades de masa
1 kilogramo (kg) 1.000 gramos (g)
1 gramo (g) 1.000 miligramos (mg)
1 tonelada (t) 1.000 kilogramos (kg)
1 libra (lb) 0,454 kilogramos (kg)
1 kilogramo (kg) 2,205 libras (lb)
Unidades de superficie
1 kilómetro cuadrado (km2) 1.000.000 metros cuadrados (m2)
1 metro cuadrado (m2) 10.000 centimetros cuadrados (cm2)
1 hectárea (ha) 10.000 metros cuadrados (m2)
Unidades de volumen
1 metro cúbico (m3) 1.000.000 centı́metros cúbicos(cm3)
1 centı́metro cúbico (cm3) 1.000 milı́metros cúbicos (cm3)
1 kilómetro cúbico (km3) 1.000.000.000 metros cúbicos (m3)
1 litro (L) 1.000 centı́metros cúbicos (cm3)
1 litro (L) 1.000 mililitros (mL)
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Gúıa 3
P1. Complete cada tabla con la información solicitada. Usa regla de medir en caso de ser necesario.
a)
Escala 1:8
Largo de la
miniatura (cm) 53 cm
Largo real (cm)
Largo real (m)
b) ¿?
Escala 1:300
Altura en
el dibujo (cm)
Altura real (cm)
Altura real (m)
c) 5,5 cm
Escala
Altura en
el dibujo (cm)
Altura real (cm)
Altura real (m) 1,65 m
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Guı́a 3 77
P2. En un bosque al Sur de Chile hay dos tipos de árboles autóctonos: canelos y araucarias. La razón entre la
cantidad de canelos y la cantidad de araucarias es 8:9.
a) ¿Cuál de los dos tipos de árboles se encuentra en mayor cantidad?
b) Si hay 243 araucarias ¿cuántos canelos hay en el bosque?
c) Compruebe que el resultado de b) es correcto.
P3. Una empresa exporta tres tipos de frutos secos: almendras, nueces y pasas. Las cantidades de cajas
exportadas mensualmente se encuentran en la razón 5:7:8. Si en total se exportan 1.200 cajas, determine:
a) La cantidad de cajas de cada producto.
b) Si el valor de cada caja es de 20 dólares ¿cuál es el valor en pesos chilenos que recibe la empresa?
Considere el valor del dólar de hoy.
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78 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P4. Soledad y Jorge son dos socios que deben comprar un terreno, avaluado en $12.840.000, en forma propor-
cional al número de acciones que cada uno posee en su sociedad. Si Soledad tiene 140 accionesy Jorge
tiene 90 acciones ¿cuánto le corresponde pagar a Jorge?
P5. La velocidad del sonido es aproximadamente 340 m/s, lo que significa que la razón entre la distancia (en
metros) recorrida por el sonido y el tiempo (en segundos) que emplea en recorrerla es 340:1. Tomás ve un
relámpago y comienza a contar. Contó 8 segundos antes de escuchar el trueno.
a) ¿A qué distancia de Tomás se encuentra la tormenta cuando ve el relámpago?
b) Dos minutos después de ver el primer relámpago, vio otro y contó 4 segundos antes de escuchar el
trueno ¿A qué distancia se encuentra la tormenta cuando ve el segundo relámpago?
c) Si la tormenta se mueve directamente hacia él ¿a qué velocidad se mueve la tormenta?
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Guı́a 3 79
P6. El siguiente dibujo representa la relación entre los ingresos mensuales de Alejandra y Pablo.
Ingreso de Pablo Ingreso de Alejandra
Se sabe que Alejandra gana $250.000 más que Pablo ¿Cuál es el ingreso mensual que recibe de cada uno?
P7. El trabajador A y el trabajador B reciben un bono cada uno. Por cada $5 del bono recibido por el trabajador
A, el trabajador B recibe $8. Si el monto total del bono que recibe el trabajador B es $131.200, ¿cuál es el
monto del bono que recibe el trabajador A?
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80 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P8. Para esta pregunta, investiga los valores de cambio de las monedas.
Se invertirán $100.000 en una bolsa internacional. La Bolsa A ofrece una ganancia de US$170 (170 dólares)
por este monto, mientras que la Bolsa B ofrece una ganancia de 140e (140 euros).
¿Cuál de las 2 bolsas ofrece una mayor ganancia?
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Guı́a 3 81
P9. La siguiente tabla indica la forma de avanzar de una lista de robots. Complete la última columna.
Robot Metros que Número de pasos Metros que avanza
avanza necesarios por paso
Alfa 3 6 5
Beta 5 4 10
Gamma 7 5 2
Delta 11 3 3
Epsilon 13 8 12
Zeta 17 9 15
Eta 19 6 10
a) ¿Qué robot avanza más unidades por cada paso?
b) ¿Cuántos pasos debe dar el robot Alfa 3 para recorrer lo que avanzó el robot Gamma 7 con dos pasos?
c) ¿Cuántos pasos debe dar el robot Eta 19 para recorrer lo que avanzó el robot Beta 5 con seis pasos?
d) ¿Cuántos pasos deben dar los robots Delta 11 y Gamma 7 para recorrer 10 unidades?
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Problemas de la sección
P1. Completa la siguiente tabla
Escala Medida en el Medida real
dibujo (cm)
Altura de la Torre Entel 1 : 400 127,40 m
Longitud del rı́o Mapocho 3 : 1.000.000 110 km
Largo aproximado de Chile 40 4.300 km
Tu estatura 1 : 30
Largo de la pizarra de tu sala de
clases
1 : 5
P2. Un club de fútbol de Concepción reparte los 30.448 boletos disponibles para un partido como local, de
modo que por cada hincha del equipo visitante, haya 3 hinchas del equipo local.
a) Escriba la razón entre el número de hinchas del equipo visitante y el número de hinchas locales.
b) ¿En qué cantidad superarı́an los hinchas locales a los visitantes?
c) Resulta que la mitad de los boletos que habı́a para los visitantes no se vendieron, ası́ que los pudieron
comprar hinchas locales. ¿Cuál es la razón ahora entre el número de hinchas del equipo visitante y el
número de hinchas locales?
P3. Los ahorros de Ignacio y Paula se encuentran en la razón 5:2. Si Ignacio tiene ahorrado $326.400 más que
Paula, ¿cuánto dinero ahorrado tienen los dos en total?
P4. En un año determinado, las exportaciones de harina de pescado de dos pesqueras están en la razón de 13:7.
Si la diferencia entre las exportaciones es de 96.000 t, ¿cuántas toneladas fueron exportadas por la primera
pesquera?
P5. El siguiente esquema esboza la manera en que un padre de familia hace la distribución proporcional de sus
gastos mensuales.
luz y agua arriendo locomoción supermercado pago colegio gastos varios
Si el ingreso mensual del padre es de $720.000, ¿cuánto dinero destina al pago del colegio de sus hijos?
P6. Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero de tal modo que por cada $4 que recibe Andrés, Felipe recibe
$9. Si Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿qué cantidad de dinero recibe Andrés?
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Problemas de la sección 83
P7. Agustina y Julio van a compartir un premio de $20.560.000 en forma proporcional al dinero que cada uno
invirtió en comprar el billete de loterı́a premiado. Si Agustina aportó $650 y Julio aportó $450, ¿qué monto
del premio le corresponde recibir a Julio?
P8. El siguiente esquema refleja en forma proporcional la cantidad de personas encuestadas que contrataron y
que no contrataron los servicios de cuenta corriente.
Contratan No Contratan
Si en total se encuestó a 132 personas, ¿cuántas personas contrataron los servicios de cuenta corriente?
P9. El largo y el ancho de una cierta cancha están en la razón de 5:2. Si el ancho sumado con el largo da un total
31,5 m, ¿cuántos metros más mide el largo que el ancho de dicha cancha?
P10. El siguiente esquema muestra la distribución proporcional entre los dos tipos de contratos que tiene una
empresa:
Contrato
Indefinido
Contrato a Plazo Fijo
Si hay 12 trabajadores más con contrato fijo que con contrato indefinido, ¿cuántos trabajadores hay con
cada tipo de contrato?
P11. El siguiente esquema muestra la distribución proporcional que Mónica hizo de un bono que recibió a fin de
año, por cumplimiento de metas.
Pago del
dividendo
Ahorro Cena
familiar
Pago préstamo
Se sabe que la diferencia entre el pago del dividendo y la cena familiar es de $70.000.
a) ¿Cuál es el total del bono que recibió Mónica?
b) ¿Cuánto dinero destina al pago del préstamo?
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84 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P12. Completa la siguiente tabla con las equivalencias de unidades de tiempo, tal como muestra en la primera
lı́nea:
Horas (h) Minutos (min) Segundos (s)
1,5 90 5.400
117
0,8
3.960
1,2
1,3
P13. En la final de natación de los Juegos Olı́mpicos de Rı́o 2016, (en la categorı́a 200 m mariposa masculino)
los tiempos registrados fueron los siguientes:
Pista Nombre Paı́s Tiempo
1 Viktor Bromer Dinamarca 1:55,64
2 Daiya Seto Japón 1:54,82
3 László Cseh Hungrı́a 1:56,24
4 Tamás Kenderesi Hungrı́a 1:53,62
5 Michael Phelps Estados Unidos 1:53,36
6 Chad le Clos Sudáfrica 1:54,06
7 Masato Sakai Japón 1:53,40
8 Louis Croenen Bélgica 1:57,04
a) ¿Cómo interpretarı́as la columna de los tiempos? ¿En qué unidad crees que están?
b) ¿En qué pista compitió el nadador que ganó esta prueba? Escriba sus datos más relevantes.
c) Escribe verbalmente la diferencia de tiempo entre el que logró el primer y el segundo lugar.
d) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre el segundo y quinto lugar?
P14. Rita es vendedora de perfumes y debe repartir 2,5 L en varios frascos para muestra gratis, cada uno de 3 mL
¿Cuántos de estos frascos puede llenar?
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Problemas de la sección 85
P15. Una distribuidora de artı́culos deportivos desea importar productos. Para transportar el pedido se utiliza un
tipo de contenedor cuyas medidas se detallan a continuación:
Descripción Medidas Completar
Largo interior 19′4′′ m
Altura interior 7′8′′ m
Ancho interior 7′10′′ m
Peso contenedor 4.916 lb kg
Carga máxima 47.900 lb kg
(Recordar: 2′4′′ significa 2 pies con 4 pulgadas)
a) Complete la tabla con las cantidades transformadas a metros (m) o kilogramos (kg), según corresponda
b) ¿Cuántas toneladas como máximo se pueden trasladar en ese contenedor?
c) ¿Cuál es la diferencia en centı́metros entre el alto y ancho del contenedor?
d) Si se quiere transportar productos de 750 g cada uno, ¿cuál es el máximo de unidades que entrarı́an en
un contenedor?¿Depende esto sólo del peso?
e) ¿Cree que es posible transportar en ese contenedor una cantidad de 48.375 balones de fútbol inflados
iguales, cuyo peso es de 450 g cada uno? Justifique.
f) Si consideramos sólo cuanto se pesa (sin considerar volumen, posición, ni condiciones ambiente)
¿cuántas personas de su mismo peso se podrı́an trasladar en ese contenedor?
P16. Se tienen que trasladar 4,5 m3 de arena de la entrada de una casa al jardı́n trasero. Para ello se utiliza
una carretilla que puede trasladar como máximo 80.000 cm3 de arena. ¿Cuántos viajes se requieren como
mı́nimo para trasladar toda la arena?
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86 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Anotaciones:
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Problemas de la sección 87
Anotaciones:
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88 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
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Problemas de la sección 89
Anotaciones:
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90 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
4.6 Porcentajes
Ejemplo: Analizando porcentajes
Analicemos un ejemplo: “ El 20% de 400 es 80”:
Porcentaje Total Resultado
El 20% de 400 es 80
20 partes de
100 partes del total
20 comparado con 100
es como
80 comparado con 400
Calculadora:
Presione 20qMO400=
O puede ser:
Hay varias formas de calcular porcentajes. Se pueden utilizar fracciones o decimales
actuando como operadores. También se pueden utilizar proporciones, ya que hay
involucradas dos razones iguales.
Veamos un ejemplo del cálculo del 20% de 400 a través de las tres formas mencionadas.
El resultado ya sabemos que es 80.
Ejemplo: Cálculo usando fracciones
20%
equivalente−−−−−−→ 20
100
.
El 20% de 400 es 80
20
100
·400 = 80
Notar que
Para encontrar el decimal equiva-
lente con un porcentaje, siempre
se divide por 100.
23%
equivalente−−−−−−→ 0,23
87%
equivalente−−−−−−→ 0,87
114%
equivalente−−−−−−→ 1,14
Esto es como “correr la coma dos
lugares a la izquierda”.
Ejemplo: Cálculo usando decimales
20%
equivalente−−−−−−→ 20
100
= 0,2.
El 20% de 400 es 80
0,2 ·400 = 80
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4.6 Porcentajes 91
Ejemplo: Cálculo usando proporciones
El 20% de 400 es un número x tal que, al compararlo con 400, es como 20 comparado
con 100. Es decir
20 : 100 = x : 400.
Ordenando la información en una tabla:
Porcentajes Cantidades
20 x
100 400
regla−−→ x = 20 ·400
100
= 80
Responda
Matemáticamente
¿Es lo mismo el a% de b que
el b% de a?
Pruebe con un ejemplo numérico.
Dependiendo del contexto, se podrı́a necesitar calcular el resultado de aplicar un
porcentaje, o el porcentaje que representa un número con respecto a otro. También es
posible que el total al que se le calcula el porcentaje sea la cantidad desconocida.
Actividad 4.5 Determine el resultado, el porcentaje, o el total según corresponda.
Porcentaje Total Resultado
35% 5.500
80% 60
20% 30
0,1% 2.650
112% 105
50 20
20 50
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92 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
4.7 Variaciones porcentuales
Cuando una cantidad cambia, es decir, aumenta o disminuye, el valor del cambio puede
expresarse como porcentaje de la cantidad original.
Ejemplo: Problema de variación porcentual
Problema El precio de un kilogramo de pan aumentó un 20% respecto al precio
del año pasado. Si el precio del año pasado era $1.000 el kilogramo ¿cuánto cuesta
actualmente?
Respuesta
El precio de referencia del pan, los $1.000, corresponde al 100% del precio.
El nuevo precio aumentado, va a corresponder al 120% del precio (aumentó en un
20% con respecto al precio de referencia).
Con una tabla para proporciones, obtendrı́amos
Porcentajes Precio
120 x
100 1.000
regla−−→ x = 120 ·1.000
100
= 1.200.
El precio de este año es de $1.200.
En el ejemplo anterior, como hay un aumento del 20% con respecto al precio de
referencia, se aumenta el 100% a 120%. Si, por ejemplo, la variación indicara una
reducción del 15% respecto al precio de referencia, se tiene que disminuir el 100% a
85%.
Error común
Tomemos el Ejemplo: Problema
de variación porcentual.
Una posibilidad (errónea), es con-
siderar el precio de este año como
el 100% y el del año pasado como
80% (pues estarı́a disminuido en
un 20%). Ası́ tendrı́amos la tabla
(errónea):
Porcentaje Precio
80 1.000
100 Nuevo precio
Nuevo precio =
100 ·1.000
80
= 1.250(!!)
¿De dónde viene el error?
Simplemente no se consideró el
precio de referencia. El enuncia-
do dice que el precio del año
pasado es el que aumentó en un
20%, por lo tanto el precio de re-
ferencia es el del año pasado, y se
debe considerar como el 100%.
Moraleja: Es un pequeño detalle,
pero muy importante. El precio de
referencia es el que debe conside-
rarse como el 100%.
Actividad 4.6 Completa la tabla. La primera fila es un ejemplo.
Valor Variación Porcentaje del Valor
original porcentual valor original final
2.500 Disminuye un 10% 90% 2.250
45 Aumenta un 25%
120 Aumenta un 75%
300 75%
Disminuye un 20% 1.200
Aumenta 5% 47.250
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4.8 Puntos porcentuales 93
4.8 Puntos porcentuales
¿Cómo expresar la variación de una cantidad que ya está expresada como un porcentaje?
Ejemplo
La tasa de interés era de 3% y ahora es de 4%.
Hay dos formas de expresar este cambio:
En puntos porcentuales Esta es la forma fácil: “La tasa de interés aumentó en 1
punto porcentual”. Los puntos porcentuales se obtienen de restar los porcenta-
jes.
No se debe decir “La tasa aumentó en 1%”. Este es un error muy frecuente.
Como porcentaje Del 3% al 4%, la tasa realmente aumentó un 33,3%. Veamos por
qué:
El valor de referencia es 3% pues es la cantidad que varı́a, por lo que corres-
ponde al 100%.
Porcentajes Cantidades
100 3
x 4
regla−−−−→ x = 100 ·4
3
= 133,3.
Notar que las cantidades que varı́an son, a su vez, porcentajes. Para evitar las
confusiones que esto genera, es que se usan los puntos porcentuales.
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Gúıa 4
P1. Cada año los sueldos de una empresa se reajustan de acuerdo al valor del IPC del año anterior. El año 2017
el valor del IPC fue 2,3%.
a) ¿Cuál serı́a el sueldo de estos 4 trabajadores de la empresa? Complete la tabla.
Trabajador Sueldo 2017 Sueldo 2018
1 $480.000
2 $600.000
3 $700.000
4 $800.000
b) Respecto a los sueldos del 2017, indique si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique
las falsas.
ABCDEFG El trabajador 2 gana el 75% de lo que gana el trabajador 4.
ABCDEFG El sueldo del trabajador 2 aumentado en un 25% equivale al del trabajador 4.
ABCDEFG El trabajador 1 gana el 60% de lo que gana el trabajador 4.
ABCDEFG El sueldo del trabajador 1 aumentado en un 40% equivale al del trabajador 4.
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Guı́a 4 95
P2. Elsa posee una pequeña empresa con 6 empleados. Sus sueldos mensuales son los siguientes: el gerente de
ventas gana $1.800.000, otros dos empleados que son técnicos calificados ganan $650.000 cada uno, los
otros 3 empleados, no calificados, ganan $350.000 cada uno.
Los empleados acuerdan pedir a Elsa un aumento en sus sueldos, ella acepta pero sólo tiene $4.000.000
para los aumentos de todo el año. El gerente de ventas le pide que aumente en un 10% el sueldo de cada
trabajador.
a) ¿Hay suficiente dinero para esto? Justifique.
b) ¿En qué porcenaje como máximo se puede aumentar el sueldo de los trabajadores?
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96 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P3. El año 2015 el 70% de los alumnos que rindieron la asignatura de álgebra aprobó. El año 2016, el 77% de
los alumnos que rindieronla asignatura aprobó. El profesor del curso afirma que del 2015 al 2016 el número
de alumnos que aprobó álgebra aumentó en un 10%. ¿Es correcto lo que afirma el profesor? Justifique.
P4. La tabla muestra el porcentaje de descuento que tiene cada producto junto con los precios de oferta ya
afectados por el descuento. Indica cuál era el precio original de cada producto.
Producto Precio de oferta Descuento Precio original
Toallas de playa $15.291 10%
Flotador $5.525 15%
Bronceadores $7.125 25%
Saco de dormir $10.800 40%
P5. Un pantalón cuesta $10.000, incluido el IVA (19%). Marı́a dice que el impuesto pagado equivale al 19% de
$10.000. ¿Por qué Marı́a está equivocada?
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Guı́a 4 97
P6. El número A es 80.000.
a) A aumenta en un 10% y se obtiene B, ¿cuánto vale B?
b) B aumenta en un 10% y se obtiene C, ¿cuánto vale C?
c) C aumenta en un 10% y se obtiene D, ¿cuánto vale D?
d) ¿En qué porcentaje hay que aumentar A para obtener D?
P7. Marı́a invierte $80.000 en acciones. Cada año el valor de las acciones aumenta un 10%.
a) ¿Cuál será el valor de las acciones después de 3 años?
b) ¿En qué porcentaje ha aumentado el valor después de 3 años?
c) ¿Por qué este aumento es mayor que 30%?
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98 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P8. El número P es 10.000.
a) P disminuye en un 20% y se obtiene Q, ¿cuánto vale Q?
b) Q disminuye en un 20% y se obtiene R, ¿cuánto vale R?
c) R disminuye en un 20% y se obtiene S, ¿cuánto vale S?
d) ¿En qué porcentaje hay que disminuir P para obtener S?
P9. Pepe compra un pendrive en $10.000. Cada año el valor del pendrive decrece en un 20%.
a) ¿Cuál será el valor del pendrive después de 3 años?
b) ¿En qué porcentaje ha disminuido el precio después de 3 años?
c) ¿Por qué esta disminución es menor que un 60%?
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Guı́a 4 99
P10. Estela pagó por su auto $7.500.000 hace tres años. Hoy su auto vale $5.000.000.
Marı́a, hace tres años, pagó $6.500.000 por su auto. Hoy vale $4.000.000.
¿Cuál de los dos autos se ha depreciado en un menor porcentaje?
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Problemas de la sección
P1. Jaime rindió una prueba y obtuvo 28 puntos de los 40 que tenı́a en total. Marı́a en otra prueba, obtuvo 96
puntos, lo que corresponde al 80% del puntaje total de su prueba. En ambas pruebas la nota 4,0 se obtiene
con un 60% del puntaje total.
a) ¿A cuál de los dos le fue mejor?
b) ¿Cuántos puntos en total tenı́a la prueba que rindió Marı́a?
c) ¿Con qué puntaje Jaime habrı́a obtenido nota 4,0?
P2. Según la Encuesta Nacional de Salud de los años 2016-2017, el estado nutricional de los 6.225 encuestados
se distribuye según el gráfico:
24,5 %
39,8 %
31,2 %
3,2 % 1,3 %
� Enflaquecido
� Normal
� Sobrepeso
� Obeso
� Obeso mórbido
De los encuestados, el 64% fueron mujeres. El estado nutricional de las mujeres se distribuye según el
gráfico:
24,1 %
36,4 %
33,7 %
4,8 %
1%
� Enflaquecido
� Normal
� Sobrepeso
� Obeso
� Obeso mórbido
a) ¿Cuántos de los encuestados tiene un peso normal?
b) ¿Cuántas mujeres fueron encuestadas?
c) ¿Qué porcentaje de las mujeres encuestadas tiene sobrepeso u obesidad?
d) ¿Qué porcentaje del total de personas encuestadas son las mujeres en estado “Obeso mórbido”?
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Problemas de la sección 101
P3. Este año, José venderá 700 terneros. Vendió el 65% a $180.000 cada una. El resto pudo venderlos un 3%
más caros. ¿Cuál fue el ingreso de José por la venta de todos los terneros?
P4. Completa la siguiente tabla. (El IVA es 19% sobre el precio neto)
Precio Neto (Sin IVA) Precio de Venta (con IVA)
$8.900
$17.850
$22.000
$33.915
$8.925
P5. En una tienda el precio de un producto es de $52.500. Si su valor se incrementa en un 5%, ¿A cuánto
asciende el aumento aplicado a este producto?
P6. Un corredor de propiedades cobra el 5% de comisión por la venta de una vivienda. Si recibió $1.800.000
por este concepto, ¿en cuánto vendió la vivienda?
P7. Después de una crisis económica, Josefa y su esposo Tomás tuvieron que aceptar una baja en sus sueldos. El
sueldo de Josefa se redujo en un 5% y el sueldo de Tomás se redujo en un 10%. Después de esta baja, Josefa
gana $760.000 y Tomás $450.000.
a) ¿En qué porcentaje se redujo la suma de sus sueldos?
b) ¿Es correcto afirmar que el porcentaje en el que se redujo la suma de sus sueldos equivale al promedio
de los porcentajes de reducción de cada uno?
P8. El valor del arriendo de una casa aumentará en un 5% cada año. Al cabo de dos años el valor del arriendo
será $496.125. ¿Cuál es el valor actual del arriendo?
P9. Un comerciante compra computadores a $456.000 cada uno, ¿a qué precio tiene que venderlos para ganar el
15% del valor inicial?
P10. Camila tenı́a $58.600. Se compró un pantalón y le quedaron $33.600. ¿Qué porcentaje del dinero que tenı́a
inicialmente gastó en comprarse el pantalón?
P11. Un galón (1 gal) de pintura alcanza para cubrir 34,68 m2 aproximadamente. Sin embargo, se ha calculado
que se pierde un 3% de su contenido por diferentes factores (brocha, paredes de galón, caı́da al suelo, entre
otros). Si se desea pintar una pared cuadrada con un galón, ¿cuál debe ser, aproximadamente, la altura de
dicha pared?
(1 galón (gal) = 3,785 litros (L))
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102 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Anotaciones:
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Problemas de la sección 103
Anotaciones:
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104 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Anotaciones:
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Problemas de la sección 105
Anotaciones:
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5. Potencias y raı́ces
5.1 Potencias
Actividad 5.1 Expresa las siguientes multiplicaciones usando la menor cantidad
de caracteres posible (sin escribir el resultado de la multiplicación).
a) 2 ·2 ·2 ·2 ·2 =
b) 3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 ·3 =
c) (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) · (−5) =
Una potencia es una expresión de la forma bn en donde b es llamada base y n exponente.
Base bn Exponente
Cuando el exponente es un número natural, éste indica el número de veces que debe
multiplicarse la base por sı́ misma.
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108 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
Ejemplo
• 45 = 4 ·4 ·4 ·4 ·4 = 1.024
• (−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) =−216
• En general, si b es un número real y n un número natural, entonces
bn = b ·b ·b ·b · · ·b︸ ︷︷ ︸
n veces
• En el caso que el exponente es negativo, se cumple
b−n =
1
b ·b ·b ·b · · ·b︸ ︷︷ ︸
n veces
Propiedades más utilizadas
1. Producto de potencias de igual base
bn ·bm = bn+m
2. División de potencias de igual base
an
am
= an−m
Otras propiedades
1. (bn)m = bn·m
2. bn · cn = (b · c)n
3.
bn
cn
=
(
b
c
)n
4. b0 = 1, ∀b 6= 0
Observación
• En una potencia como −24, el signo menos (−) no es parte de la base. Por lo
tanto:
−24 =−2 ·2 ·2 ·2 =−16
• El signo menos (−) sı́ es parte de la base cuando está dentro del paréntesis:
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16
• En resumen, en la mayorı́a de los casos se cumple que:
−bn 6= (−b)n
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5.2 Aplicaciones de potencias 109
Uso de la calculadora
Actividad 5.2 En esta actividad usted experimentará con su calculadora. Con-
sidere el uso de la tecla ^. Hay casos que el uso de paréntesis es necesario.
Base Exponente Resultado
5 4
5 −4
−5 4
−5 −4
1/3 3
−2/5 2
−1/8 −2
Calculadora:
Presione 5^4=
5.2 Aplicaciones de potencias
Generalmente,la forma de escribir una potencia (con base y exponente), facilita la
forma de plantear y resolver problemas.
Actividad 5.3 Matı́as organizará un torneo de Ludo. En cada juego participan 4
personas, y de estas sólo el ganador del juego pasa a la siguiente ronda. El torneo se
desarrollará en 3 rondas.
[Indicación importante: Al responder las siguientes preguntas, exprese el resultado
como potencia, indicando además qué representan la base y el exponente.]
a) ¿A cuántas personas deberá convocar Matı́as para llevar a cabo este torneo?
b) ¿Cuántas personas pasan a la segunda ronda?
c) ¿Cuántas personas deberı́an asistir al torneo para poder hacer 6 rondas?
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110 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
5.3 Raı́ces
Actividad 5.4 Determine el valor de b que haga verdadera la igualdad en cada
caso .
a) b2 = 4
b) b2 = 9
c) b2 = 10
d) b3 = 8
e) b3 = 27
f) b3 = 50
¿Cómo se podrá encontrar el valor de la base de una potencia conocidos sólo el
exponente y el resultado?
La expresión n
√
a, corresponde a la raı́z n-ésima de a, donde a se llama cantidad
subradical y n es el ı́ndice de la raı́z.
La expresión n
√
a entrega un número, que es la base que hay que elevar a n para obtener
a.
Õndice
n
√
a Subradical
Leer una raı́z
5
√
1.024 = 4 , se lee:
“la raı́z quinta de 1.024 es 4”
3
√
−216 =−6 , se lee:
“la raı́z cúbica de -216 es -6√
16 = 4 , se lee:
“la raı́z cuadrada de 16 es 4”
Raı́ces de ı́ndice par
Si la cantidad subradical es nega-
tiva, el resultado de la raı́z no es
un número real. Por ejemplo, no
existen
√
−16, 4
√
−81, 6
√
−64, etc.
como números reales.
¿Por qué cree usted que sucede
esto?
¿Puede haber varias raı́ces
de un mismo número?
Como
(−2)4 = 16
(2)4 = 16
entonces se comprobarı́a que
4√16 =−2 y 4
√
16 = 2 son correc-
tas.
Pero, para evitar confusiones, se
dice que 4
√
16 = 2 y que − 4
√
16 =
−2.
Comprobando el resultado de una raı́z
Cada vez que n
√
a = b, entonces bn = a. Dicho en otras palabras, si b es el resultado
de calcular la raı́z de a, entonces a es el resultado de calcular bn.
Esto es importante, pues permite comprobar si una raı́z está correctamente calculada.
Ejemplos:
• 5
√
1.024 = 4
(Comprobamos: 45 = 1.024)
• 3
√
−216 =−6
(Comprobamos: (−6)3 =−216)
•
√
16 = 4
(Comprobamos: 42 = 16)
Notar que: cuando el ı́ndice es 2, no se escribe. Ası́ que
√
16 quiere decir
2
√
16.
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5.4 Aplicaciones de raı́ces 111
Error usual
Calculemos
√
100 (erróneamente).
100 = 36 + 64. Calculamos√
36 = 6 (pues 62 = 36) y
√
64 =
8 (pues 82 = 64). Entonces√
100 = 6+8 = 14 (!).
¿Por qué se produce este error?
Porque la raı́z no se distribuye en
la suma, es decir,
n
√
a+b 6= n
√
a+ n
√
b.
Ası́,√
100 =
√
36+64 6=
√
36+
√
64.
Actividad 5.5 Explique por qué son ciertas las siguientes propiedades generales
de las raı́ces. Además, para cada una de ellas, construya 3 ejemplos.
a) n
√
1 = 1
b) n
√
an = a
Calculadora:
raı́z cuadrada s
Presione s9=
raı́z cúbica S
Presione qs8=
raı́z n−ésima F
Presione 5q^32=
Uso de la calculadora
Actividad 5.6 Complete los valores que faltan en la siguiente tabla, usando la
calculadora. Considere el uso de s, S:q+s y F:q+^. No olvide el uso de paréntesis.
bn = a
Base (b) Exponente (n) Resultado (a)
5 3
4 81
5 32
−5 2
5 3.125
7 −128
4 14.641
2 169
5.4 Aplicaciones de raı́ces
Las raı́ces se utilizan en el mismo contexto que las potencias, pero en donde el valor de
la base es desconocido.
Actividad 5.7 Suponga que está organizando un torneo de “Carioca”. Cuenta con
los siguientes datos:
• Se inscriben 81 personas en total.
• El torneo se juega a 4 rondas con eliminación, sólo pasa a la siguiente ronda
el que gana su juego.
• En cada juego hay una cantidad fija de jugadores, durante todo el torneo.
¿Cuántos participantes deberı́a haber por juego de Carioca, para que se cumplan las
condiciones del torneo?
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Gúıa 5
P1. Tome una hoja de papel, dóblela por la mitad, cuente y registre el número de partes en las que quedó dividida.
La hoja doblada, vuelva a doblarla por la mitad, cuente las partes en las quedó dividida y registre. Repita el
proceso las veces que sea necesario para completar la siguiente tabla:
Número de veces Número de partes
que se ha en las que quedó
doblado dividida
0 1
1 2
2
3
4
5
64
a) ¿Qué potencias hay involucradas en la actividad anterior?
b) ¿Qué significado tienen la base, el exponente y el resultado de cada potencia identificada en a)?
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Guı́a 5 113
P2. El largo de una cartulina rectangular es el doble de su ancho. Hay que cortar la cartulina en dos partes
iguales, con un corte recto y una sola lı́nea. La superficie total de la cartulina es de 2.048 cm2.
x
2x
a) ¿De cuántas maneras se podrá cortar la cartulina? Explique con dibujos.
b) ¿Qué medidas tendrán los lados de los cortes en cada caso?
P3. Gabriela tiene una piscina rectangular de volumen 384 m3, en la cual el ancho es el doble de la profundidad,
y el largo es el triple de la profundidad.
x
2x 3x
¿Cuáles son las medidas de la piscina?
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114 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
P4. Un candado, en lugar de llave, tiene cuatro cilindros numerados para poner una combinación de cuatro
números.
a) Supongamos que cada cilindro tiene los dı́gitos del 0 al 9 ¿Cuántas combinaciones se podrı́an generar?
¿Qué potencia modela este problema?
b) Si el candado tuviera sólo 4.096 combinaciones posibles ¿Qué dice esto del número de dı́gitos de cada
cilindro?
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Guı́a 5 115
P5. Se depositó un capital inicial en un fondo de crecimiento monetario con una tasa de crecimiento anual de un
3%. La expresión que permite determinar el capital final después de n años transcurridos es:
Capital Final = Capital Inicial ·1,03n
[Nota: Multiplicar por 1,03 permite aumentar en un 3%, ya que calcula el 103% sobre el valor de referencia.
Ver las Secciones 4.6 y 4.7]
La expresión que determina el factor de crecimiento total después de n años transcurridos es:
Factor de crecimiento total =
Capital Final
Capital Inicial
= 1,03n
Si el depósito inicial fue de $8.500.000, responda las siguientes preguntas:
a) Después de 6 años ¿Cuál será el capital final? ¿Cuál será el factor de crecimiento total?
b) Después de un cierto tiempo el capital final es de $13.242.723. ¿Cuál será el factor de crecimiento
total? ¿Podrı́as estimar cuántos años transcurrieron aproximadamente?
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116 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
P6. Un banco A ofrece un interés anual de un 4% para depósitos.
a) Si el capital inicial es de $1.000.000. ¿Cuánto dinero habrá al cabo de 5 años?
b) ¿Cuántos años han de transcurrir, aproximadamente, para que el capital inicial se duplique?
c) Para un mismo capital inicial de $1.000.000, otro banco B ofrece un cierto interés anual que generará
un capital final de $1.229.255 al cabo de 6 años ¿Cuál entidad le conviene más al cliente?
P7. Un pueblo al sur de Chile tiene una población de 18.000 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual fuera de
un 2%:
a) ¿Cuál serı́a la población en 6 años?
b) Si en 4 años tuviera 19.869 habitantes, ¿podrı́a ser su tasa de crecimiento igual a un 2% anual? Indique
la tasa correcta para esta información.
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Problemas de la sección
P1. Use su calculadora para encontrar los valores que faltan en la tabla. No olvide el correcto uso de los
paréntesis.
bn = a
Base (b) Exponente (n) Resultado(a)
1,03 1,12550881
4 2401
11 4
1,2 1,728
5 371.293
P2. El precio deun vehı́culo va disminuyendo a medida que aumenta su antigüedad un 5% cada año. Si un
vehı́culo cuesta $8.000.000 el año 2016:
a) ¿Cuál serı́a el valor el año 2017? ¿Y el año 2018?
b) Encuentre una expresión que calcule el valor de venta del vehı́culo al cabo de n años.
c) ¿Cuántos años han transcurrido para que el valor del vehı́culo sea de $5.880.735?
d) Suponga que el precio de un vehı́culo varı́a de $8.000.000 a $6.245.992 en 4 años. ¿Sigue siendo
cierto que se depreció un 5% cada año? ¿en qué porcentaje disminuirı́a anualmente?
P3. Un propietario tiene un terreno rectangular de 32 metros de largo por 8 metros de ancho. El propietario
permutará este terreno por otro con forma cuadrada de la misma superficie.
a) ¿Cuánto deberı́an medir los lados del terreno cuadrado?
b) ¿Cuánto costarı́a cercar el terreno cuadrado con un alambrado que vale $3.500 el metro lineal?
P4. Marcela hará una cadena telefónica para avisar a sus 30 compañeros de curso que no habrá clases. Llama a
dos compañeros y le pide a cada uno que le avisen a otros dos compañeros que no estén enterados. Cada
uno de estos debe avisar a otros dos más que tampoco estén enterados, y ası́ sucesivamente, hasta que todos
estén enterados. ¿Cuántos compañeros se enteran en la última etapa de esta cadena?
P5. Las sustancias radioactivas se descomponen con el tiempo. El isótopo de yodo 131 se descompone cada 8
dı́as a la mitad de su masa. Su masa inicial es de x kg. ¿Qué parte de su masa inicial tendrá en 40 dı́as?
P6. Una caja en forma de cubo tiene un volumen de 125.000 cm3. ¿Cuánto mide uno de sus lados?
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118 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
P7. Un trompo tiene un disco en forma de un hexágono regular. Los seis sectores tienen los colores amarillo,
verde, rojo, azul, marrón y negro. Se gira el trompo y una vez que se apoya en la mesa, se anota el color del
sector que se apoyó.
a) Calcule la cantidad de listas de 5 colores que se pueden dar al girar el trompo 5 veces.
b) Si la cantidad de listas de colores es 279.936, ¿cuántas veces se giró el trompo?
P8. El tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de una sustancia radioactiva se llama periodo de
semidesintegración.
Una sustancia radioactiva cuya masa es 8 gramos, tiene un periodo de semidesintegración de 2 años. La
cantidad de esta sustancia radioactiva se calcula con la fórmula
C = 8at ,
donde
• C es la cantidad de sustancia radioactiva, en gramos.
• t es el tiempo transcurrido, en años
a) Determine el valor de a.
b) Determine t de modo que la cantidad sea de 1 g. Interprete.
c) ¿Cuánta sustancia habrá al cabo de 25 años?
P9. Carlos contrató un servicio de telefonı́a que tiene un costo mensual de $27.900. Contento por el buen
servicio, le cuenta a dos de sus amigos. Sus dos amigos contratan el plan y reciben los mismos beneficios
que Carlos. Cada uno, le cuenta a dos amigos más. Todos los amigos que fueron contactados, contrataron el
servicio bajo las mismas condiciones, y continuaron con esta cadena iniciada por Carlos.
La cadena de contactos culmina en la octava etapa.
a) ¿Cuántas personas contrataron los servicios de telefonı́a en la octava etapa del proceso iniciado por
Carlos?
b) ¿Cuál es el total mensual recaudado por la empresa, después de efectuados todos estos nuevos
contratos?
c) Los ejecutivos de la compañı́a se dieron cuenta del proceso iniciado por Carlos, y le otorgan un
descuento de $20 en la boleta del siguiente mes por cada contrato que se firmó a causa de su cadena.
¿Cuál es el valor a pagar por Carlos en la boleta del siguiente mes?
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Problemas de la sección 119
Anotaciones:
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120 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
Anotaciones:
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Problemas de la sección 121
Anotaciones:
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122 Capı́tulo 5. Potencias y raı́ces
Anotaciones:
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III
6 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Lenguaje algebraico: un antes y un después
6.2 Generalizaciones
6.3 Del lenguaje natural al algebraico
6.4 Fórmulas
Guı́a 6
Problemas de la Sección
6.5 Expresiones Algebraicas
6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas
6.7 Simplificación de expresiones algebraicas
Guı́a 7
Problemas de la Sección
7 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1 Ecuaciones
7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable
Guı́a 8
Problemas de la sección
7.3 Plantear y resolver ecuaciones
Guı́a 9
Problemas de la sección
Guı́a resumen Unidades I y II
Soluciones Guı́a Resumen Unidades I y II
El lenguaje de las
matemáticas
6. Lenguaje algebraico
6.1 Lenguaje algebraico: un antes y un después
El siguiente es un extracto del libro de álgebra “Compendio de cálculo por reunión y
comparación”, del famoso matemático persa Al-Juarismi:
La palabra “álgebra”
Una parte del tı́tulo del libro
del matemático persa Al-Juarismi
dice “. . . por reunión. . . ”, que
también puede traducirse como
“. . . juntando partes separadas. . . ”.
Esto se tradujo del árabe al-jabr,
que terminó derivando en álgebra.
La cosa y diez es multiplicado por la cosa menos diez, entonces esto es
lo mismo que si se dijera la cosa multiplicada por la cosa, es un cuadrado
positivo, y diez por la cosa es diez cosas positivas; menos diez por la cosa
es diez cosas negativas, ahora restamos lo negativo de lo positivo, y solo
queda un cuadrado. Menos diez multiplicado por diez es cien, que se debe
sustraer del cuadrado. Por lo tanto, resulta un cuadrado menos cien.
La misma afirmación, usando lenguaje algebraico moderno:
(x+10) · (x−10) = x · x+10x−10x+10 ·10 = x2−100
El uso del álgebra resulta la mejor manera, hasta hoy inventada, de expresar y explicar
una propiedad que se puede aplicar a todos los números.
En la expresión de más arriba, se debe entender que x (“la cosa”) puede ser reemplazado
por cualquier número y las igualdades siguen siendo válidas (pruebe reemplazar x por 7
ó 13 en la expresión).
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126 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
También hay bonitas relaciones de propiedades numéricas y geométricas que el álgebra
ayuda a expresar y explicar. El siguiente dibujo muestra una relación entre la expresión
de más arriba y la geometrı́a.
x−10 10
10
x
x
x+10
10
10
x
x
(x+10)(x−10) x2−102=
6.2 Generalizaciones
Generalizar es expresar lo común a muchas cosas sin nombrar ni referir a ninguna de
ellas en particular. Por ejemplo:
i. Siempre los hermanos más chicos son más regalones.
(No se nombra a ningún hermano chico en particular)
ii. Nadie es malo para las matemáticas.
(No se nombra a ninguna persona en particular)
iii. Todos los números terminados en cero son divisibles por dos.
(No se nombra a ningún número terminado en 0)
iv. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a la
medida de un ángulo extendido.
(No se habla de ningún triángulo en particular)
Para los casos iii. y iv., el álgebra tiene cosas que decir. Para los números terminados
en cero se puede demostrar que todos estos son divisibles por dos (ver explicación al
margen), y para los triángulos se puede expresar la generalización sobre la suma de sus
Ejemplo: El álgebra explica
Consideremos la afirmación: “To-
dos los números terminados en
cero son divisibles por dos.”
Explicación, usando álgebra:
Llamamos x a un número que ter-
mina en cero, por lo tanto debe ser
de la forma 10 · k, donde k es un
número entero. Luego
(10 · k)÷2 = 5 · k,
lo que explica que siempre x es
divisible por dos.
ángulos interiores de manera clara y concisa, como en el siguiente dibujo:α β
γ
α +β + γ = 180°
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6.3 Del lenguaje natural al algebraico 127
Actividad 6.1 El cuadrado del lado izquierdo tiene lado de medida a+b. ¿Cuál
es su área?
b
a
a b
= a2 + ab + ab + b2
¿Qué expresión algebraica permite hacer una afirmación general, a partir de la figura
anterior?
Actividad 6.2 A continuación se muestran las tres primeras figuras de una secuen-
cia de figuras hechas con palitos de fósforo:
...
Dos estudiantes escribieron las siguientes expresiones para determinar la cantidad
de palitos que tiene la figura que está en la posición n de la secuencia:
A: 4+3(n−1)+2
B: n+n+(n+1)+2
¿Qué razonamientos cree usted que fueron utilizados para llegar a estas expresiones?
6.3 Del lenguaje natural al algebraico
Para transformar un enunciado del lenguaje natural al lenguaje algebraico debemos
prestar atención a las palabras que indiquen operaciones matemáticas y relaciones entre
cantidades. El lenguaje algebraico se utiliza para expresar simbólicamente cantidades
mediante variables, es decir, letras que pueden tomar distintos valores, utilizando
expresiones algebraicas.
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128 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
Ejemplos
Expresión natural Expresión algebraica
Un número x
El doble de un número aumentado en seis 2x+6
El cuadrado del quı́ntuple de un número (5x)2
El quı́ntuple del cuadrado de un número 5x2
La cuarta parte de un número, disminuido en
cinco
x
4
−5
La diferencia entre la quinta parte de un
número y su décima parte
x
5
− x
10
Variables y letras
En una expresión algebraica, se
utiliza la letra que se desee. La
frase “El doble de un número, dis-
minuido en 4” se puede escribir:
2x−4
ó
2N−4
En el primero se usa la letra x, y
en la segunda la letra N.
Actividad 6.3 Transformar del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.
Lenguaje Natural Lenguaje Algebraico
La suma de tres y un número
5 más que un número
La diferencia entre 5 y un número
4 menos que un número
Un número aumentado en 6
Un número disminuido en 1
El producto entre dos números
Dos veces la suma de dos números
El doble de un número, disminuido en
tres
El sucesor de un número cualquiera
La tercera parte de un número dis-
minuido en cuatro
El promedio entre un número y 5
La tercera potencia de un número
El doble del triple de un número
El 30% de una cantidad
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6.3 Del lenguaje natural al algebraico 129
Actividad 6.4 Exprese en palabras del lenguaje cotidiano, cada una de las expre-
siones dadas en lenguaje algebraico.
Lenguaje Natural Lenguaje Algebraico
10x
x+4
3x−5
2(x+2)
x
2
3x− 1
5
x
x2
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130 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
6.4 Fórmulas
Una fórmula es una igualdad que relaciona variables y constantes. Su significado y
utilidad depende del contexto en el cual se exprese.
Ejemplo: Algunas fórmulas famosas
Hay fórmulas famosas para los más variados contextos.
Área de un triángulo: Las variables involucradas son la base, la altura y el área del
triángulo (todas pueden tomar diferentes valores). Se ocupan respectivamente
las letras b, h y A para estas variables. La fórmula es A =
b ·h
2
.
Ley de Ohm: Las variables involucradas son el voltaje, la corriente eléctrica y la
resistencia. Se ocupan respectivamente las letras V , I y R para estas variables.
La fórmula de la ley de Ohm es V = I ·R.
Fahrenheit a Celsius: Las variables involucradas son la temperatura en °C y la
temperatura en o F. Se ocupan respectivamente las letras C y F para estas
variables. La fórmula que permite obtener °C a partir de los o F es
C =
5
9
(F−32).
Construir nuestras propias fórmulas puede llegar a ser muy complejo. Hasta el dı́a de
hoy la humanidad intenta encontrar fórmulas (relaciones entre variables) en todos los
campos de la ciencia.
Sin embargo, hay algunas cosas que siempre se deben tener en cuenta. La primera de
ellas es identificar las variables y las unidades de medida.
Ejemplo: Identificando variables en contexto
Leamos: “Se necesita organizar el dinero del mes de noviembre”.
Se habla del dinero y del mes, ¿cuál es variable? El mes se conoce y el dinero
se desconoce. Con la información que disponemos podemos definir:
D := Dinero del mes de noviembre
• ¿Podrı́amos haber dicho “Dinero del mes” solamente? No, porque hay que ser
precisos al definir una variable.
• ¿Podrı́amos haber ocupado otra letra? Sı́, sin ningún problema.
• ¿Con esto queda completamente identificada la variable? No, porque cada
cantidad está expresada en alguna unidad de medida. En este caso habrı́a que
averiguar si el dinero se mide en pesos, reales, euros, yuanes, dólares, etc.
En caso de no contar con la información, se puede establecer una unidad de
medida y ceñirse a ella al utilizar posteriormente la variable.
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6.4 Fórmulas 131
Actividad 6.5 En cada situación descrita a continuación, se puede encontrar una
variable. Identifı́quela con precisión y elija la unidad de medida que usted crea que
puede ser la más conveniente.
Situación Variable Unidades
Han estado cambiando
mucho las temperaturas
mı́nimas de un dı́a a otro
en el invierno
T :=
Se quiere analizar la
evolución de la estatura de
un niño hasta los 5 años
de vida
H :=
No se sabe cómo fue mejo-
rando el número de res-
puestas correctas durante
los ensayos para la PSU
C :=
El chofer del bus puede
que haya excedido la ve-
locidad máxima durante el
recorrido establecido
V :=
Actividad 6.6 La siguiente tabla detalla la cuenta de la electricidad del mes de
noviembre:
Ítem Unidad Cargo ($)
Cargo fijo mensual $/mes 789,31 %
Cargo uso sistema de transmisión $/kWh 1,4792 %
Cargo por servicio público $/kWh 0,5748 %
Cargo por energı́a consumida $/kWh 79,787 %
Escribe la fórmula que permite calcular el monto de la cuenta del mes.
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Gúıa 6
P1. Complete la siguiente tabla según corresponda.
Lenguaje Natural Lenguaje Algebraico
El cuádruple de un número
3x−2
5x+6
La diferencia de dos números
La suma de dos números consecutivos
x
10
El cuadrado de un número, disminuido en 10
x10
x2−6
El doble del quı́ntuple de un número
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Guı́a 6 133
P2. De acuerdo a la siguiente imagen, determinar la expresión resultante al pasar a través de las 2 máquinas
siguientes:
Entrada Salida Entrada Salida
M1 M2
Máquina 1: el doble de lo que entra Máquina 2: disminuye en 6
a) Si entra el número 12, ¿cuál es el numero resultante después de pasar por las 2 máquinas?
b) Si entra x, ¿cuál es la expresión resultante después de pasar por las 2 máquinas?
c) Un número ha pasado por las dos máquinas y el resultado fue 24. ¿Cuál es el número que entró
inicialmente?
d) Determine la expresión que debe entrar, para que al pasar por las dos máquinas dé como resultado la
expresión y.
e) Cambie el orden de las máquinas. Si entra x, ¿cuál es la expresión resultante después de pasar por las
dos máquinas en este nuevo orden? ¿Por qué no es la misma que en la parte b)?
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134 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P3. Un terreno cuadrado de dimensiones desconocidas, debe dividirse en 4 partes, tal como se muestra en la
figura. Se sabe que el terreno en amarillo es un cuadrado de lado 6 m, y el terreno en verde es un cuadrado
de lado ` meter.
a) Encuentre las expresiones para las dimensiones de los lados de las subdivisiones
b) Encuentre la expresión para el área de la región azul.
c) Las subdivisiones se deben separar por una cerca de madera, solamente en el interior. Encuentre la
expresión de la longitudtotal de la cerca que se debe ocupar.
d) En el terreno de color verde se colocará pasto. Encuentre la expresión para el área que se cubrirá con
pasto.
P4. Un producto tiene un descuento del 35%. Si x es el precio del producto sin descuento, encuentre la expresión
algebraica que determina el valor a pagar del producto después del descuento.
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Guı́a 6 135
P5. Luis debe pagar una deuda en cuotas. Cada cuota es un 0,5 % mayor que la anterior.
a) Escriba la expresión correspondiente a la cuota número n en términos de la primera cuota.
b) Si la primera cuota es de $3.000, ¿cuál es el monto de la cuota 48?
P6. Tres socios tienen que repartirse la ganancia de un negocio de manera proporcional al número de sus
acciones. El primero tiene 3 veces más acciones que el segundo y el tercero dos veces más acciones que el
primero. Si A es el número de acciones que tiene el segundo socio:
a) Encuentre las expresiones para la cantidad de acciones que posee cada uno de los otros dos socios, en
términos de la variable A.
b) Si llamamos G a la ganancia del negocio, ¿cuáles son las expresiones para lo que recibe cada uno de
los socios?
P7. Juan recibe una cantidad de dinero el viernes. Al dı́a siguiente gasta 3/4 del dinero que tenı́a el viernes, y
luego la mitad de lo que le quedaba.
Encuentre la expresión para la cantidad final de dinero en términos de lo que tenı́a el dı́a viernes.
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136 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P8. Claudio paga un dividendo usando un cuarto de lo que recibe de sueldo, y gasta $135.000 del resto en
transporte y comida. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que le queda, en términos del sueldo?
P9. Un depósito tiene en su interior una cierta cantidad de litros de agua. Se sacan primero 12 L y luego se
reponen 2/5 de lo que quedaba en el depósito. ¿Cuál es la expresión que representa el agua que hay en el
depósito, en términos de la cantidad de agua inicial?
P10. Considere la siguiente sucesión de figuras
· · ·
Determine una expresión algebraica para la cantidad de cı́rculos que tiene la figura número n de la sucesión.
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Guı́a 6 137
P11. El largo de un patio rectangular mide 6 m más que su ancho.
a) Encuentre la expresión algebraica para el perı́metro del patio en términos de su ancho.
b) Encuentre la expresión algebraica para los metros de alambre que se deberı́an usar para cercar el patio,
en términos de su ancho, sabiendo que hay que dar 6 vueltas al patio con el alambre.
P12. Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de fútbol a un costo
total de $M, dividiéndose el costo en partes iguales.
a) Si se retiran 2 socios, ¿en cuánto se incrementa, en términos de M, la cantidad de dinero que tiene que
poner ahora cada socio?
b) Haga lo mismo que en la parte anterior, pero ahora asumiendo que habı́a A socios inicialmente, y que
se retiraron R.
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Problemas de la Sección
P1. Complete la siguiente tabla.
Lenguaje Natural Lenguaje Algebraico
El antecesor de un número cualquiera
Doce veces un número
La diferencia entre el doble de un
número y su mitad
La cuarta parte de un número
El cuadrado de la suma de dos números
5− x
3
x3−2
4x2
P2. En cada situación descrita a continuación, se puede encontrar una variable. Identifı́quela con precisión y
elija la unidad de medida que usted crea que puede ser la más conveniente.
Situación Variable Unidades
Las temperaturas
máximas han sido
muy diferentes dı́a a dı́a
este verano
m :=
En una clı́nica se registra
la temperatura de un pa-
ciente durante un dı́a
t :=
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Problemas de la Sección 139
Situación Variable Unidades
Se lleva un registro de la
estatura de un embrión du-
rante la gestación
h :=
Se mide la población de
una comuna, año a año
P :=
Parece que cada año nues-
tro automóvil consume
una mayor cantidad de
combustible
G :=
P3. El ancho de un terreno rectangular es 15 m menor que el largo. Si queremos colocar una cerca al borde del
terreno, ¿qué expresión representa la longitud de esta cerca, en términos del ancho?
P4. Carlos tiene una cierta cantidad de dinero. De esta cantidad gastó $25.000 y luego 3/8 de la cantidad inicial.
Si x es la cantidad inicial de dinero, escriba la expresión que representa la cantidad de dinero que le queda.
P5. Pedro cotizó en una empresa de telefonı́a móvil un plan de minutos mensual. Le ofrecieron un cargo fijo de
$7.990 más $20 por cada minuto adicional al plan. Determine la expresión que permite calcular el monto
total que Pedro deberá pagar al final de cada mes en términos de los minutos adicionales que usa.
P6. En un curso hay 40 estudiantes entre hombres y mujeres.
Exprese algebraicamente la razón entre hombres y mujeres.
P7. En el hexágono regular de la figura se conoce la medida del apotema (h) y la medida del lado (L).
L
h
Escriba las fórmulas para calcular su perı́metro y área.
P8. Escriba las fórmulas de perı́metro y área para un polı́gono regular de n lados, cuya medida del lado es L y la
medida del apotema es h.
P9. Un hombre vende la mitad de las ovejas que tiene y al dı́a siguiente compra una docena.
Encuentre la expresión para la cantidad final de ovejas en términos de la cantidad inicial.
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140 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P10. A partir de la superficie de una terraza rectangular y del largo de uno de sus lados, encuentre una fórmula
que permita calcular el largo del lado restante.
P11. Por la compra de un refrigerador se debe cancelar $480.000. Si se cancelan $360.000 al contado y el resto
en n cuotas iguales y sin intereses, ¿cuál es el valor de cada cuota en términos de n?
P12. Un informático repara computadores de distintas empresas. Cobra un cargo fijo de $7.500 por concepto de
traslado, más $12.000 por cada computador reparado. Determine la expresión que le permite calcular el
monto total que cobrará por visitar una empresa y reparar una cantidad M de computadores.
P13. Alberto ahorró dinero durante tres meses. En el primer mes ahorró el triple que en el segundo y en el
segundo ahorró $5.200 más que en el tercero. Escriba una expresión algebraica para la cantidad total de
dinero ahorrado, en términos de lo ahorrado en el mes que usted elija.
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Problemas de la Sección 141
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142 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
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Problemas de la Sección 143
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144 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
Anotaciones:
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6.5 Expresiones Algebraicas 145
6.5 Expresiones Algebraicas
En cualquier expresión algebraica podemos reconocer elementos llamados términos.
Un término algebraico es una expresión que está compuesta únicamente por factores.
Generalmente, se pueden identificar los llamados factor numérico y factor literal.
Factor
Un factor es cada una de las can-
tidades o expresiones que pueden
multiplicarse para formar un pro-
ducto.
Ejemplos de términos algebraicos
• En el término 3x2 el factor 3 es numérico y x2 es el factor literal.
• En el término xy el factor numérico es 1, pero en este caso se suele omitir (la
expresión es equivalente a 1 · xy). El factor literal es xy.
• En el término formado por el número 8 no hay factor literal, sólo reconocemos
un factor numérico igual a8.
• El término 5(a+2) está compuesta por dos factores: 5 y (a+2), el primero
lo identificamos como el factor numérico y el segundo como el factor literal.
Actividad 6.7 Reconozca en cada término el factor numérico y el factor literal:
Término F. numérico F. literal
9abc 9 abc
3hk
mpq
xy
4
8abcd f g
x3y4
0,5(8−n)
x(x+15)
n(n+1) ·3
6a+3b
3
6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas
El lenguaje algebraico además de permitir expresar relaciones, fórmulas, propiedades y
generalizaciones, también admite operaciones entre sus elementos, convirtiéndose en
una herramienta muy poderosa para describir, analizar y resolver una mayor cantidad
de problemas.
Las expresiones algebraicas involucran números y letras que se relacionan mediante
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146 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
operaciones aritméticas, en las cuales tanto los números como las letras deben seguir
las mismas reglas.
Si no se conoce el valor de x, ¿cómo se podrı́a hacer una operación que involucre x?
No es posible realizar una operación como x+ 1, pero si deberı́a ser posible operar
x+ x, ya que la suma de cualquier número consigo mismo siempre da el doble del
número. Ası́ que x+ x deberı́a ser igual a 2x. Todo es más claro con la introducción del
concepto de términos semejantes.
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si sus factores literales son idénticos.
Ejemplos
• 5x+4y−2x−3xy+ x2
• 4x2 +
2
3
x+
2
3
x+
1
9
• 2ab −3a2b +3ab2 −b2a −ba2 +10ba
Suma de términos semejantes
Para sumar términos semejantes basta sumar sus factores numéricos y conservar el
factor literal.
Ejemplos
• 3m+7m 3+7=10−−−−−−−−→ 10m.
• 2x2y−7x2y 2−7=−5−−−−−−−−−→−5x2y
• 2 · x
5
+
x
10
2
5+
1
10=
1
2−−−−−−−−−→ 1
2
x =
x
2
Actividad 6.8 Identifique y reduzca los términos semejantes:
a) 5x+4y−2x−3xy+ x2
b) 4x2 +
2
3
x+
2
3
x+25
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6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas 147
Multiplicación de dos términos
¿Sabı́a que?
Se acostumbra a omitir el signo de
la multiplicación en los términos,
excepto entre factores numéricos.
Por ejemplo:
3xy = 3 · x · y
(2x)
(
3x2
)
= 2 · x ·3 · x2
2 ·3x3.
Para desarrollar multiplicaciones de expresiones algebraicas es necesario aplicar las
propiedades de los números.
Al multiplicar dos términos algebraicos hacemos uso de las propiedades conmutativa y
asociativa de la multiplicación para reordenar los factores: los numéricos entre sı́ y los
literales entre sı́.
(3xy)
(
2yz2
)
3xy2yz2
3 ·2xyyz2
6xy2 z2
Eliminación de paréntesis
Se ordenan los factores
Se multiplican los factores
numéricos entre si y los
factores literales entre si
Actividad 6.9 Marque los pares de expresiones equivalentes entre si:
n2 n4 ·n2 n8 n3 ·n2
n12÷n4 n3 n3÷n
(
n5
)2
n6÷n3 n5 n10 n6
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148 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
Multiplicación de un término por un polinomio
Sobre los “nomios”
Un término también se suele lla-
mar monomio.
La suma de dos términos se llama
binomio.
La suma de tres términos se llama
trinomio.
En general, binomios, trinomios,
etc. se llaman polinomios.
Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
x(2x+ y− x2) = x ·2x+ x · y+ x ·
(
−x2
)
= 2x2 + xy − x3
1
2
3
1 2 3
Multiplicación de dos binomios
Al igual que el caso anterior se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación
sobre la suma procurando que cada termino del primer binomio multiplique a cada
término del segundo binomio.
Técnica alternativa
Puede usar la tabla.
x 5
x x2 5x
−3 −3x −15
x2 +5x−3x−15
=x2 +2x−15
(x+5)(x−3) = x · x + x · (−3) + 5 · x + 5 · (−3)
= x2 +(−3x)+5x+(−15)
= x2 + 2x −15
= x2 +2x−15
1
2
3
4
1 2 3 4
Actividad 6.10 Multiplique las expresiones y reduzca términos semejantes:
a) (x+1)
(
2x2−3x+5
)
b) (n+1)(2n−1)(n+2)
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6.7 Simplificación de expresiones algebraicas 149
6.7 Simplificación de expresiones algebraicas
Es conveniente la simplificación de expresiones algebraicas porque facilita su mani-
pulación posterior, para esto se vuelve necesaria un buena práctica y experiencia con
variadas técnicas.
La reducción de términos semejantes es una forma de simplificar o reducir expresiones
algebraicas, pero hay otras maneras que para determinadas expresiones resulta muy
conveniente conocerlas.
Simplificación en la división
Ası́ como es posible simplificar una fracción, se puede, del mismo modo, simplificar
una expresión algebraica que comprenda una división, veamos cómo funciona:
Más práctico
La simplificación de una división
puede escribirse ası́
2x3
3x
=
2x���
2
3
3 ·�x
=
2x2
3
Emplear propiedades de potencias
es muy práctico.
En una fracción:
12
18
=
2 ·6
3 ·6
=
2
3
· 6
6
=
2
3
·1 = 2
3
En una expresión algebraica:
2x3
3x
=
2x2 · x
3 · x
=
2x2
3
· x
x
=
2x2
3
·1 = 2x
2
3
Lo relevante es identificar factores comunes en el numerador y el denominador ya que
su división es equivalente a 1
¿Dónde está el error?
Observa la siguiente simplifi-
cación:
5a+b
a
=
5�a+b
�a
= 5+b
El numerador no es un término al-
gebraico, es una expresión com-
puesta por dos términos, por lo que
no hay un factor a para dividir por
el denominador a.
Veamos un ejemplo
12a4b3
4ab2
=
3 ·4 a3 a b2 b
4ab2
=
3 · �4 a3 �a��b2 b
�4 �a��b
2
= 3a3b
12 = 3 ·4
a4 = a3 ·a
b3 = b2 ·b
Reordenando los
factores equivale a:
3a3b
1
· 4ab
2
4ab2
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150 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
Actividad 6.11 Simplifique las siguientes expresiones:
a)
12a5
4a3
b) 20c12÷
(
5 · c5 · c
)
c)
15
(
n3
)2
3n
d) 6
(
pq2
)3÷ (2 · p2 · pq)
Factorización de expresiones algebraicas
Es descomponer una expresión algebraica en factores, es decir en dos o más terminos
multiplicados entre si.
La expresión 3x2 + x se dice que es factorizable por x pues es equivalente a x(3x+1).
Es importante observar que en este proceso una expresión compuesta de varios términos
se transforma en un sólo término algebraico.
Ejemplo: Aplicación de la factorización para simplificar
Es común emplear la factorización en expresiones algebraicas fraccionarias para
buscar una simplificación
x3−3x2 + x
x
= �
x
(
x2−3x+1
)
�x
= x2−3x+1
Actividad 6.12 Factorice las siguientes expresiones:
a) 27x3 +12x
b) 99a4b+44a2b3
c) 4x3y2 +4x2y2 +16xy3
d) 21x5y2−14x4y4 +35x3y5
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Gúıa 7
P1. Observe la siguiente secuencia geométrica:
· · ·
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
a) ¿Cuál es la expresión algebraica correspondiente al número de cı́rculos amarillos de la figura n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica correspondiente al número de cı́rculos blancos de la figura n?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que nos da el número total de cı́rculos de la figura n?
d) Reduzca la expresión obtenida.
P2. Observe la siguiente secuencia geométrica:
· · ·
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número de cı́rculos de la figura n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número de cuadrados de la figura n?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número total de sı́mbolos de la figura n?
d) Reduzca la expresión obtenida.
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152 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P3. Observe la siguiente secuencia numérica:
Posición Secuencia
1 7−4 = 3
2 14−8 = 6
3 21−12 = 9
4 28−16 = 12
5 35−20 = 15
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al minuendo de la posición n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al sustraendo de la posición n?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al resultado de la resta de la posición n?d) ¿Qué relación puede establecer entre las tres expresiones anteriores?
P4. Observe la siguiente secuencia numérica:
Posición Secuencia
1 2 ·5
2 2 ·6
3 2 ·7
4 2 ·8
5 2 ·9
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al segundo factor de la posición n?
b) ¿Cómo quedarı́a expresada la multiplicación, usando la expresión recién elaborada?
c) ¿Puede dejar lo más simple posible esta nueva expresión (ocupar la menor cantidad de caracteres)?
d) Verifique esta nueva expresión con los resultados de las multiplicaciones.
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Guı́a 7 153
P5. Considere la siguiente secuencia geométrica para completar la tabla asociada:
· · ·
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
Número de cı́rculos que
conforman la base del
rectángulo
Número de cı́rculos que
conforman la altura del
rectángulo
Número total de cı́rculos
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número de cı́rculos de la base de la figura n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que nos equivale al número de cı́rculos de la altura de la figura n?
c) ¿Cómo podrı́a expresar el número total de cı́rculos de la figura n, usando las dos expresiones anteriores
y de la forma más simple posible?
P6. Observe la siguiente secuencia numérica:
Posición Secuencia
1 1 ·3
2 2 ·5
3 3 ·7
4 4 ·9
5 5 ·11
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al primer factor de la posición n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al segundo factor de la posición n?
c) Exprese algebraicamente el término de la secuencia de posición n
d) Verifique esta nueva expresión con los resultados de las multiplicaciones.
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154 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P7. Observe la siguiente secuencia numérica:
Posición Secuencia
1 2 ·2
2 4 ·5
3 6 ·8
4 8 ·11
5 10 ·14
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al primer factor de la posición n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al segundo factor de la posición n?
c) Exprese algebraicamente el término de la secuencia de posición n
d) Verifique esta nueva expresión con los resultados de las multiplicaciones.
P8. Considere la siguiente secuencia geométrica para completar la tabla asociada:
· · ·
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
Número de cı́rculos que
conforman la base del
rectángulo
Número de cı́rculos que
conforman la altura del
rectángulo
Número total de cı́rculos
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número de cı́rculos de la base de la figura n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al número de cı́rculos de la altura de la figura n?
c) ¿Cómo podrı́a expresar el número total de cı́rculos de la figura n, usando las dos expresiones anteriores
y de la forma más simple posible?
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Guı́a 7 155
P9. Observe la siguiente secuencia numérica:
Posición Secuencia
1 2 ·6
2 3 ·7
3 4 ·8
4 5 ·9
5 6 ·10
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al primer factor de la posición n?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que equivale al segundo factor de la posición n?
c) Exprese algebraicamente el término de la secuencia de posición n
d) Verifique esta nueva expresión con los resultados de las multiplicaciones.
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156 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P10. Marta y Pedro desarrollaron la expresión (x+5)2.
Marta dice que el desarrollo es x2 +10x+25 y Pedro dice que es x2 +25.
¿Quı́en está en lo correcto? ¿Qué error cometió el otro?
P11. Desarrolle las siguientes expresiones y reduzca términos semejantes.
a) (a+3)2
b) (b+6)2
c) (c−4)2
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Guı́a 7 157
P12. Multiplique (x+4) por (x+8), y reduzca términos semejantes.
P13. El rectángulo de la figura tiene lados de medidas (x+4) y (x+8).
Está dividido en cuatro partes donde una de ellas es un cuadrado
de lado x. Exprese algebraicamente las áreas de cada parte.
x
x
x+4
x+8
P14. Explique la relación entre las respuestas de las preguntas P12. y P13.
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158 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P15. Simplifique las siguientes expresiones
a)
20a3b8
4a7b3
b)
m10n7
m9n8
c)
(x−1)(x+2)
2(x−1)
d)
253x6y4z9 ·27xy
11y7z5 ·351x2z
e) 16
p3
q2
· 1
8
q7
f)
3x2y
7z
÷ 2xy
z
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Guı́a 7 159
P16. Factorice las siguientes expresiones
a) 7m+7
b) am− f m
c) −x3− x2− x
d)
25p3
2
+
5p2
3
−10p
e)
2
x
+
3
x2
f) 3x2y2 +8x2y−2xy2 + xy
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160 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P17. Simplifique las siguientes expresiones
a)
7a+7
7
b)
m2 +m
m
c)
4r−2s
8r−4s
d)
2x2 + x
2x+1
e)
5x2y−3y2x
x(5x−3y)
f)
2a2b−ab2
a(2a−b)
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Problemas de la Sección
P1. Reduzca términos semejantes
a) 2a+3a+5a
b) −12x−4x−7x
c) m+2m+3m
d) 3x+8x−3x+5x−7x
e)
2
3
y+
1
6
y+
1
2
y
f) 1,4a−2,7a+8,1a−a−6,4a
g)
1
5
x− 7
10
x+
3
2
x+
1
10
x− 3
5
x
P2. Desarrolle las multiplicaciones
a) 3(2a+4)
b) 4(3x−6)
c) 7(8−3x)
d) n(4n+3)
e) m(2m−8)
f) 4a(3a+1)
g) 9b(10−7b)
P3. Desarrolle las multiplicaciones y reduzca términos semejantes
a) (x+4)(x+5)
b) (a+3)(a+2)
c) (n+4)(n−2)
d) (y+3)(y−4)
e) (2a+3)(a+4)
f) (3m+5)(m−3)
g) (2n+3)(2n+5)
P4. Desarrolle estas expresiones y reduzca términos semejantes.
a) (a+5)(a+6)
b) (b−3)(b+7)
c) (d−3)(d−5)
d) (c+1) [c−5(d−5)]
P5. Simplifique estas expresiones.
a) 6a4 ·2a3 b) 8b
10
2b5
c)
3a2b ·2ab2
6(ab)2
d)
30g12h4
5g4h4
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162 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
P6. Factorice estas expresiones.
a) −16x3y3−8x2y−24x4y4−40x2y3
b) 93a3x2y−62a2x3y2−124a2x
c) −3x(x−2)−2y(−2+ x)
d) −1− x+2a(x−1)
P7.
Los lados del rectángulo son (2x+4) cm y 2x cm.
a) Exprese, en términos de x,
i. El área del sector amarillo.
ii. El área del sector celeste.
b) Muestre que el sector amarillo y el celeste tienen igual área.
2x
2x+4
P8. Un campesino tiene un terreno con forma de rectángulo.
El largo del terreno es 35 metros mayor que el ancho. Escriba una
expresión, en términos de a, para el área del terreno.
a
P9. Encuentre una expresión, en términos de a, para el área del sector
amarillo.
4
a
4
a+4
P10. Encuentre una expresión, en términos de b, para el área del sector
del rectángulo pintado amarillo.
3b
8 b
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Problemas de la Sección 163
P11. De acuerdo al rectángulo,
a) encuentre una expresión, en términos de x, para el área del
sector amarillo.
b) Muestre que el sector amarillo y el celeste tienen igual área.
2x+4
2x+4
82x
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164 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
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Problemas de la Sección 165
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166 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
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Problemas de la Sección 167
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168 Capı́tulo 6. Lenguaje algebraico
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7. Ecuaciones
7.1 Ecuaciones
Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales, en donde al menos
una de las expresiones contiene alguna variable. Hay distintos tipos de ecuaciones. Se
diferencian por el número de variables y su grado.
¿Por qué para las incógnitas
se usa la letra x?
El matemático persa Omar Jayam
llamóshay (cosa, en árabe) a la
incógnita. En castellano, se pasó a
escribir como xay, y de ahı́, quedó
simplemente como x. En Italia,
shay se tradujo como cosa y la
incógnita se escribı́a co. A los que
resolvı́an ecuaciones se les llamó
cosistas.
Ejemplo: Diferentes tipos de ecuaciones
Ecuación Número de variables Grado
3x−2 = x+2 Una variable: x Primer grado
x+2y =−8 Dos variables: x e y Primer grado
x2−1 = 2x Una variable: x Segundo grado
2x3 + x2−6 = 0 Una variable: x Tercer grado
3(16− x)+45 = x+5 Una variable: x Primer grado
Una solución de una ecuación es cualquier número que al ser sustituido en el lugar de la
variable, hace que se cumpla la igualdad. Resolver una ecuación significa hallar todas
sus soluciones.
Al hablar de ecuaciones, a las variables se les llama también incógnitas, pues sólo
algunos valores para la variable son soluciones.
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170 Capı́tulo 7. Ecuaciones
7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable
En este capı́tulo se trabajará con ecuaciones de primer grado y una variable. Estas ecua-
ciones, también llamada ecuaciones lineales, se resuelven transformándolas en otras
ecuaciones equivalentes más sencillas y que permitan despejar la variable fácilmente.
Para esto basta sumar, restar, multiplicar o dividir convenientemente a ambos lados de
la igualdad.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes
si tienen las mismas soluciones.
Ejemplo: Resolver la ecuación lineal 3(5− x) = 31+ x
3(5− x) = 31+ x
3 ·5−3 · x = 31+ x
15−3x = 31+ x
15 = 31+4x
−16 = 4x
−4 = x
+3x
Para eliminar −3x del
lado izquierdo, se suma 3x.+3x
−31 Para eliminar 31 del
lado derecho, se resta 31
−31
÷4
Para eliminar el 4 del
lado derecho, que está
multiplicando, se divide por 4.
÷4
Distributividad: Se de-
sarrollan los paréntesis
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7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable 171
Actividad 7.1 A continuación, se presentan dos maneras distintas y correctas de
desarrollar la misma ecuación
Desarrollo 1 Desarrollo 2
(1)
4x
15
+2 =
3x
5
−3
(2) 2 =
3x
5
−3− 4x
15
(3) 2+3 =
3x
5
− 4x
15
(4) 5 =
5x
15
...
...
(1)
4x
15
+2 =
3x
5
−3
(2) 15 · 4x
15
+15 ·2 = 15 · 3x
5
−15 ·3
(3) 4x+30 = 9x−45
...
...
a) Describa qué operación se realizó en cada paso del Desarrollo 1 y del Desa-
rrollo 2.
b) Complete cada desarrollo, resolviendo la ecuación.
c) ¿Cuál de las dos formas usarı́a usted? Explique por qué.
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Gúıa 8
P1. Resuelva las siguientes ecuaciones. Indique al costado de cada paso la operación realizada. Chequee que los
resultados son correctos.
a) 2x+ x+ x−10 = 70
b) 2 · x−6 = 6 · (x+3)
c) x+0,5x+0,2x = 51
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Guı́a 8 173
d) x−5 = 7+ x
e) x+
1
2
x+
1
2
x−5 = 35
f) x−15− 1
3
(x−15) = 32
g)
5x
4
=
x
12
+ x+
x
6
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174 Capı́tulo 7. Ecuaciones
h) x−500 = x+700
2
i) x+
5
6
x+
1
10
· 5
6
x = 230
j) 22 =
2t
t +8
, t 6=−8 (¿por qué?)
k) 3.890 = (x+2.500) ·5−12.000
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Guı́a 8 175
P2. Para realizar un trabajo en madera, Mauricio debe cortar 3 piezas de un trozo que mide en total 300 cm de
largo. La pieza más larga debe ser el doble que la pieza mediana y la más pequeña debe tener 10 cm menos
que la pieza mediana.
La siguiente ecuación permite determinar la medida de cada pieza:
(2 · x)+(x)+(x−10) = 300
a) De acuerdo al contexto del problema ¿qué representa cada una de las expresiones entre paréntesis?
b) ¿Por qué la suma de los tres paréntesis de la izquierda es igual a 300?
c) Resuelva la ecuación. ¿Cuál es la medida de cada trozo?
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176 Capı́tulo 7. Ecuaciones
P3. Diego es 6 años mayor que su hermano Joaquı́n, y la suma de sus edades es 54 años. Si x representa la edad
de Joaquı́n, la siguiente expresión permite relacionar la edad de ambos:
x+ x+6 = 54
a) ¿Qué parte de la ecuación representa la edad de Diego?
b) Al resolver la ecuación ¿Qué edad tiene Diego?
c) Si ahora x representa la edad de Diego, ¿se puede ocupar la misma ecuación para calcular la edad de
Diego? Justifique.
d) Si d representa la edad de Diego, entonces la ecuación
d−6+d = 54
¿permite calcular la edad de Diego? Resuelva.
e) Si j representa la edad de Joaquı́n, plantee la ecuación. ¿Existe alguna diferencia con la ecuación
planteada al inicio?
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Guı́a 8 177
P4. Una triatlón contempla correr, nadar y andar en bicicleta. Para correr se ocupa un tercio de la distancia total,
para nadar se establece una distancia de 2 km, y para andar en bicicleta se ocupan tres quintos de la distancia
total.
A partir de lo anterior se establece la siguiente ecuación:
1
3
· x+2+ 3
5
· x = x
a) ¿Qué representarı́a x de acuerdo al problema?
b) ¿Qué representa el lado izquierdo de la igualdad?
c) Encuentre una ecuación equivalente a la anterior que no tenga fracciones.
d) ¿Cuál es la distancia total que se recorre en esta triatlón?
e) ¿Cuál es la distancia que se recorre en bicicleta?
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178 Capı́tulo 7. Ecuaciones
P5. Pamela tiene $2.700 más que Nicolás, y Ana tiene el doble de dinero que Nicolás. Entre los tres tienen
$24.700.
a) La siguiente ecuación permite calcular la cantidad de dinero que tiene cada uno:
x+2.700+ x+2 · x = 24.700
Identifique qué parte de la ecuación representa la cantidad de dinero de Pamela, cuál la de Nicolás, y
cuál la de Ana.
b) La siguiente ecuación también permite calcular la cantidad de dinero que tiene cada uno de los tres
amigos:
1
2
·a+2.700+ 1
2
·a+a = 24.700
Identifique qué parte de la ecuación representa la cantidad de dinero de Pamela, cuál la de Nicolás, y
cuál la de Ana.
c) ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
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Problemas de la sección
P1. Resuelva las siguientes ecuaciones. Indique al costado de cada paso la operación realizada. Chequee que los
resultados son correctos.
a) 4(x−1) = 2x+3
b) 2x+6.200+ x+10.300 = 33.150−2.100
c) 24.000 =
5
7
x
d)
2
5
x+
1
5
x+
1
5
x−2 = 14
e)
1
6
x+21 =
2
5
x
f)
x
2
=
3x
2
− x+1
g)
x+1
2
+3x =
5
4
h)
x
3
+
x+1
2
= 2
i)
1
4
x+
1
3
x+4,6 = x
j) x− 2
3
x− 1
3
(
x− 2
3
x
)
= 15.000
k)
x
3
−5 = x
2
−1
l)
x+3
x
−5 =−2, x 6= 0 (¿por qué?)
m) 4,1 =
x+1
x
+3, x 6= 0
P2. Los meteorólogos usan la siguiente expresión para determinar la cantidad de milı́metros cúbicos que se
acumulan durante una lluvia:
N =
2 · t
t +8
Donde t simboliza la cantidad de horas que han pasado desde que comenzó a llover y N simboliza los
milı́metros cúbicos de lluvia acumulados desde que comenzó a llover. Si hasta el momento se han acumulado
0,57 milı́metros cúbicos de agua lluvia ¿Hace cuántas horas empezó a llover? Y si han pasado 12 horas
desde que comenzó a llover ¿cuántos milı́metros cúbicos de agua se han acumulado?
a) Para dar respuesta a ambas preguntas, ¿se puede ocupar la misma expresión? Justifique.
b) Desarrolle y responda ambas preguntas.
P3. El IMC (ı́ndice de masa corporal) de una persona se puede calcular utilizando la expresión
IMC =
masa corporal
(Estatura)2
Considerando la masa corporal en kilogramos y la estatura en metros.
a) Un adulto se considerará bajo peso, si su IMC es menor a 18,5. Una joven de 20 años, tiene una masa
corporal de 45 kilogramos y mide 1,58 metros, ¿está en el rango bajo peso? Justifique.
b) ¿Cuál será la masa corporal de una persona cuyo IMC es de 25,4 y cuya estatura es 1,60 metros?
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180 Capı́tulo 7. EcuacionesP4. Tres hermanos se reparten una herencia de $31.050.000. El hermano menor recibió una cierta cantidad. El
hermano del medio recibió $6.200.000 más que el menor. El hermano mayor recibió $4.100.000 más que el
segundo hermano. La siguiente ecuación relaciona las cantidades recibidas por cada hermano:
(x)+(x+6.200.000)+(x+6.200.000+4.100.000) = 31.050.000
a) De acuerdo al contexto, ¿qué representa cada paréntesis de la ecuación?
b) Construya una ecuación equivalente, pero lo más reducida que pueda.
c) ¿Cuánto dinero recibió el mayor de los hermanos?
P5. El estanque de combustible de un automóvil está en 1/8 de su capacidad total. Si se depositaran 38 litros
de combustible en ese estanque, quedarı́a en los 3/5 de su capacidad total. Si x es la capacidad total del
estanque en litros, entonces es cierto que:
1
8
x+38 =
3
5
x
Resolviendo la ecuación determine la capacidad total del estanque.
P6. Raúl compró en la vega 20 cajas de tomates, 30 lechugas y 12 kilogramos de palta. Una caja de tomates
vale doce veces el valor de una lechuga y el kilogramo de paltas vale $500 más que una lechuga. Si en total
por todos los productos canceló $132.900, una ecuación que permite calcular el valor de cada producto es:
20 ·12x+30 · x+12 · (x+500) = 132.900
a) ¿Qué representa cada término?
b) ¿Sin tener el total que se pagó por los productos, se puede determinar el valor de cada producto?
c) Resolviendo la ecuación, determine el costo de una caja de tomates.
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Problemas de la sección 181
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182 Capı́tulo 7. Ecuaciones
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Problemas de la sección 183
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184 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Anotaciones:
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7.3 Plantear y resolver ecuaciones 185
7.3 Plantear y resolver ecuaciones
Plantear y resolver ecuaciones es una tarea que se aprende mediante la práctica. Aun
ası́, se pueden establecer algunas indicaciones que son clave para enfrentar esta tarea.
En el siguiente ejemplo se mostrarán estas indicaciones fundamentales.
Planteo: Indicaciones
Una vez entendido el problema,
hay tres pasos importantes que
seguir al plantear la ecuación:
• Definir la incógnita.
• Escribir los datos del pro-
blema, en términos de la
incógnita.
• Relacionar los datos ante-
riores a través de una igual-
dad.
Ejemplo (1ra. parte): Plantear una ecuación
Problema: A una piscina que está en 1/6 de su capacidad total se le coloca agua a
razón de 0,7 m3 por hora durante 50 horas, al final de las cuales quedarı́a en los 3/4
de su capacidad total. ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?
Planteo de la ecuación:
• Definir la incógnita:
x:= Capacidad total de la piscina (en m3).
(en este caso nos preguntamos ¿qué se pide?, y como desconocemos la capaci-
dad total de la piscina, elegimos esa cantidad desconocida como la incógnita)
• Escribir los datos
1/6 de la capacidad total −→ 1
6
· x.
0,7 m3 por hora durante 50 horas −→ 0,7 ·50 = 35m3.
3/4 de la capacidad total −→ 3
4
· x.
• Relacionar los datos
Cantidad inicial + Cantidad agregada = Cantidad final.
1
6
· x+35 = 3
4
· x.
Es decir, la ecuación planteada queda
x
6
+35 =
3x
4
.
Después de plantear la ecuación hay que resolverla. ¿Qué significa esto? Simplemente
encontrar el valor de x que reemplazado en la ecuación anterior deja cantidades iguales
a la derecha y a la izquierda del signo “=”. ¿De qué sirve encontrar x? Como x lo
definimos como “Capacidad total de la piscina”, encontraremos nada más ni nada
menos que la capacidad total de la piscina.
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186 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Ejemplo (2da. parte): Resolver una ecuación
Consideremos el mismo problema del ejemplo anterior. La ecuación que planteamos
es
x
6
+35 =
3x
4
.
Resolver la ecuación: Hay que hacer operaciones a ambos lados de la igualdad, al
mismo tiempo, y de modo de dejar la x sola.
x
6
+35 =
3x
4
12 · 1
6
· x+12 ·35 = 12 · 3
4
· x
2x+420 = 9x
11
12
420 = 7x
11
12
60 = x
11
12
Al multiplicar la
ecuación por 12,
las fracciones se
transforman en
enteros
Para eliminar 2x, que
está sumando, resta-
mos 2x
Para eliminar el 7,
que multiplica, di-
vidimos por 7
×12 ×12
−2x −2x
÷7 ÷7
Por tanto, la capacidad total de la piscina es de 60 m3.
Chequeo: Es importante chequear. Acá lo haremos directo en el enunciado del
problema, pero ahora conocemos la capacidad total de la piscina.
La capacidad inicial es 1/6 de 60 m3, es decir, 10 m3.
Se le agregan 35 m3 (0,7 m3 cada hora, por 50 horas), lo que da 45 m3.
Eso deberı́a dar lo mismo que 3/4 de 60 m3 según el enunciado. Al poner estos datos
en la calculadora, efectivamente da45 m3.
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7.3 Plantear y resolver ecuaciones 187
Actividad 7.2 (Para esta actividad se formarán grupos de 3 personas) Un listón
de madera de 3 metros de longitud es dividido en dos partes.
a) Haz una lista con 6 posibles pares de medidas de los trozos resultantes.
b) Si la medida de la parte 1 es x, ¿cómo quedarı́a la medida de la parte 2
expresada en términos de x?
c) ¿Cuánto deberı́a medir cada parte del listón, para que la medida de una parte
sea 34 cm más larga que la otra?
d) Chequee que las medidas encontradas en la parte anterior son las correctas.
e) Resuelva la ecuación
y+(y+0,34) = 3.
¿Qué representa el valor de y y el de y+0,34 en este problema?
f) El listón de madera de 3 metros debe dividirse ahora en tres partes de modo
que, ordenadas las partes de menor a mayor, la diferencia entre dos partes con-
secutivas sea 34 cm. ¿Es posible dividir el listón según estos requerimientos?
Argumente.
g) ¿Cuál es la cantidad máxima de partes en las que se puede dividir el listón
de 3 metros, considerando que ordenadas las partes de menor a mayor, la
diferencia entre dos partes consecutivas sea 34 cm?
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188 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Actividad 7.3 (Para esta actividad se formarán grupos de 3 personas) Un vendedor
recibe un sueldo mensual que consiste en: un sueldo base de $215.000, más una
comisión del 8% de las ventas que realice en el mes.
a) En este contexto se pueden identificar varias “cantidades”:
- Sueldo mensual
- Sueldo base
- Porcentaje de comisión
- Monto de ventas del mes
¿Cuáles de estas cantidades son variables?
b) Haz una lista con 6 posibles valores para cada variable encontrada. Coloca
los nombres de las variables.
Variable 1 Variable 2
c) ¿Cuánto deberı́a vender en un mes para que su sueldo fuera de $815.000? ¿Y
para que su sueldo fuera el doble de eso?
d) Los trabajadores venden en promedio 2,5 millones de pesos en un mes, por
lo que su sueldo promedio no alcanza los 420 mil pesos. Esto llevó a que se
organizaran y pidieran un aumento de la comisión por ventas. ¿Qué porcentaje
de comisión deberán solicitar para recibir un sueldo promedio de 600 mil
pesos?
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Gúıa 9
P1. Al final del mes en la cuenta de Camila quedan $485.720. En ese mes, Camila habı́a retirado $125.000 de
su cuenta y depositado $66.768. ¿Cuánto dinero tenı́a en su cuenta al principio del mes?
P2. José gastó la sexta parte de sus ahorros en la compra de un libro que le costó $8.499. ¿Cuánto tenı́a ahorrado
José?
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
190 Capı́tulo 7. Ecuaciones
P3. El perı́metro del rectángulo es 28 cm.
4(x+1) cm
(6x−5) cm
a) Construya una expresión para el perı́metro del rectángulo.
b) Construya una ecuación para x
c) ¿Cuánto mide el lado más pequeño del rectángulo?
P4. Se inviertedinero en una cuenta de ahorros al 8% de interés simple mensual. Después de 6 meses hay
$790.320. ¿Cuál fue el monto original de la inversión?
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Guı́a 9 191
P5. Esteban y Marı́a fabricarán cortinas usando sólo un tipo de tela. Ambos disponen de la misma cantidad de
dinero para comprar tela. Esteban compra 7,5 m de tela y le sobran $1.770, mientras que Marı́a compra 6 m
de tela y le sobran $7.080.
Llame x al valor, en pesos, de un metro de tela.
a) Construya con la información una ecuación para x.
b) Resuelva la ecuación.
c) ¿Cuánto dinero tenı́a inicialmente cada uno para comprar la tela?
P6. Esta máquina transforma números a través de operaciones matemáticas básicas. El número que se ingresa es
la“Entrada” y se va operando según avanza hacia la derecha. El resultado de estas operaciones corresponde
a la “Salida”
Máquina 1
Entrada +5 ·6 −10 Salida
a) ¿Cuál serı́a la salida de la Máquina 1 si la entrada es x?
b) Cuál es la entrada de la Máquina 1 para que la salida sea igual a:
i. 80
ii. 5
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192 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Máquina 2
Entrada ·4 −10 ·(−2) +7 Salida
c) ¿Cuál serı́a la salida de la Máquina 2 si la entrada es x?
d) Qué número se debe ingresar a la Máquina 2 para que la salida sea igual a:
i. 67
ii. 15
e) Encuentre un número tal que si es ingresado a la Máquina 1 o a la Máquina 2, se obtenga la misma
salida.
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Guı́a 9 193
P7. Para calcular la nota final de una asignatura en Duoc, se utiliza un promedio ponderado. La nota final está
compuesta por dos partes:
• Parte 1: equivale al 60% del promedio de notas parciales.
• Parte 2: equivale al 40% de la nota obtenida en el examen.
El promedio de notas parciales de una alumna es 6,3 y quiere pasar con un 6,5 final. Para que esto ocurra,
¿qué nota se debe sacar en el examen como mı́nimo?
[Observación: El promedio final se aproxima a la décima].
P8. Sandra y José compran cada uno la misma bolsa de minutos para cargar su teléfono celular. Después de un
tiempo Sandra ha ocupado 105 minutos y aún tiene un saldo de $4.875. José en cambio, ha ocupado 48
minutos y tiene un saldo de $8.580.
a) ¿Con cuántos minutos venı́a la bolsa?
b) ¿A cuántos minutos equivale el saldo de Sandra? ¿Y el de José?
c) ¿Cuál es el valor del minuto?
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194 Capı́tulo 7. Ecuaciones
P9. Las edades de Sandra y Esteban suman 42 años.
a) Complete la información de la tabla:
Edad ahora Edad en 9 años
Sandra z
Esteban
b) Si en 9 años la edad de Sandra es la mitad de la edad de Esteban, ¿qué edad tienen Sandra y Esteban
hoy?
P10. Un alambre de 4,4 metros se corta en tres piezas. La segunda pieza tiene tres veces la longitud de la primera.
La tercera pieza tiene la mitad de la longitud de la segunda. ¿Cuánto mide cada pieza?
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Problemas de la sección
P1. En un dı́a de verano, entre la 9 de la mañana y el mediodı́a la temperatura aumentó en 8 °C. Entre el
mediodı́a y las 5 de la tarde de ese dı́a aumentó otros 5 °C y entre las 5 de la tarde y las 9 de la noche
descendió 10 °C. Si a las 9 de la noche el termómetro marcaba 22 °C, ¿qué temperatura habı́a a las 9 de la
mañana?
P2. Se invierten $420.000 en una cuenta de ahorros al x% de interés simple mensual. Después de 8 meses hay
$638.400.
a) Con la información, construya una ecuación para x.
b) Resuelva la ecuación.
c) ¿Cuánto dinero se tendrı́a después de 10 meses?
P3. Se sabe que para calcular la nota final de una asignatura en Duoc UC, se utiliza un promedio ponderado y
que la nota final está compuesta por dos partes:
• Parte 1: equivale al 60% del promedio de notas parciales.
• Parte 2: equivale al 40% de la nota obtenida en el examen.
El promedio de notas parciales de un alumno es 4,3. ¿Cuál es la nota que deberı́a obtener cómo mı́nimo en
el examen para obtener nota final igual a 5,0?
[Observación: El promedio final se aproxima a la décima].
P4. El estanque de combustible de un automóvil está en 1/4 de su capacidad total. Si al estanque se le cargaran
7,5 L de combustible, alcanzarı́a los 2/5 de su capacidad total. Si C es la capacidad total del estanque en
litros:
a) Construya una ecuación para C.
b) Resuelva la ecuación.
c) ¿Cuánto combustible quedó en el estanque después de depositar los 7,5 L?
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196 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Anotaciones:
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Problemas de la sección 197
Anotaciones:
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198 Capı́tulo 7. Ecuaciones
Anotaciones:
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Problemas de la sección 199
Anotaciones:
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Gúıa resumen Unidades I y II
P1. Para generar la clave secreta numérica de un candado que tiene 4 cilindros, cada uno de ellos puede ser
numerado con los dı́gitos del 1 al 5.
¿Cuál de las siguientes expresiones permite determinar el total de combinaciones diferentes que es posible
obtener como clave para el candado?
a) 5+4
b) 54
c) 45
d) 5+5+5+5
Las siguientes 3 preguntas debe responderlas utilizando la siguiente información
El total de ingresos de Marcela se distribuyó según muestra el siguiente gráfico circular
Regalos y alimentos
Vestuario
Pasajes y Deudas
Vacaciones
Distribución del total de ingresos de Marcela en el mes de Diciembre
P2. ¿Qué fracción del total de los gastos corresponde a regalos y alimentos?
a) 3/4
b) 1/8
c) 1/4
d) 3/8
P3. ¿Qué porcentaje del total corresponde a vacaciones?
a) 25 %
b) 30 %
c) 37,5 %
d) 0,375 %
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Guı́a resumen Unidades I y II 201
P4. Si el total del ingreso de Marcela fue de $1.500.000, ¿cuánto dinero utilizó en vestuario?
a) $375.000
b) $187.500
c) $150.000
d) $100.000
P5. La altura de un refrigerador en la realidad es de 1,98 m y en un cartel publicitario es de 13,2 cm. ¿Cuál es la
escala a la que está dubujado el refrigerador en el cartel publicitario?
a) 3 : 20
b) 20 : 3
c) 15 : 1
d) 1 : 15
P6. Luis fabrica un modelo en miniatura de un Volkswagen Combi a una escala de 1 : 30. ¿Cuál es la medida en
la realidad del largo de la Combi considerando el dato del modelo en miniatura?
a) 563 cm
b) 507 cm
c) 5,63 cm
d) 5,07 cm
P7. El siguiente plano muestra la distribución de un departamento a escala, cuyo largo en la realidad es 16,2 m.
¿A qué escala está construido el plano?
a) 55 : 81
b) 11 : 3240
c) 1 : 1620
d) 1 : 200
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202 Capı́tulo 7. Ecuaciones
P8. El precio de un artı́culo después de aplicado un 12% de descuento es de $449.990. ¿Cuál es el monto
correspondiente al descuento?
a) $61.362
b) $53.999
c) $338.628
d) $511.352
P9. Una empresa destina parte de sus ganancias en ayudar a instituciones de protección a la infancia. Los aportes
mensuales entregados a las instituciones A y B que ayuda están en la razón 9 : 15. Si el aporte realizado a la
institución A es de $3.060.000, ¿qué cantidad de dinero aportará a la institución B?
a) $8.160.000
b) $5.100.000
c) $1.836.000
d) $1.224.000
P10. Los 12/19 de la producción total de frutillas de una empresa frutı́cola son destinados a la venta del mercado
nacional. Esa cantidad corresponde a 14.400 toneladas. ¿Cuántas toneladas de frutillas produjo en total esta
empresa?
a) 31.894
b) 22.800
c) 11.400
d) 9.095
P11. Para generar la clave secreta de una tarjeta, cada uno de los cuatro dı́gitos que la componen compone la
clave puede ser numerado del 1 a un cierto número. Una personatiene 1.296 opciones distintas para generar
su clave secreta. ¿Cuál es el número máximo que una persona puede introducir para cada dı́gito?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
P12. Un robot avanza 2 metros cada 3 pasos. ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer 252 metros?
a) 378
b) 168
c) 126
d) 84
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Guı́a resumen Unidades I y II 203
P13. La siguiente imagen muestra las medidas reales de una cocina. El departamento de diseño gráfico de la
multitienda imprimirá la imagen con un ancho de 5,6 cm.
Aproximadamente, ¿cuánto medirá la altura de la cocina en la impresión?
a) 9,2 cm
b) 5,8 cm
c) 5,6 cm
d) 5,152 cm
P14. El borde de un cubo Rubik mide 4 cm. El lado de cada cubo está dividido en 3, para hacer cubos más
pequeños. ¿Qué volumen tiene cada cubo pequeño?
a) 21,33 cm3
b) 1,77 cm3
c) 2,37 cm3
d) 0,15 cm3
P15. Se organizan 5 cubos pequeños de 1 m de lado para hacer el siguiente cubo posible. ¿Cuántos cubos
pequeños faltan para completar el siguiente cubo?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
Soluciones Guı́a Resumen Unidades I y II
P1. B
P2. C
P3. C
P4. B
P5. D
P6. B
P7. D
P8. A
P9. B
P10. B
P11. C
P12. A
P13. A
P14. C
P15. B
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
	Unidad I — Los números en la vida
	1 Operatoria con números
	1.1 Origen de la matemática
	1.2 Concepto de Número
	1.3 Números enteros
	1.4 Números reales y su representación decimal
	1.5 Aproximaciones
	1.6 Números decimales en la vida cotidiana
	ColorPrimero Guía 1
	ColorPrimero Problemas de la Sección
	2 Fracciones
	2.1 Un todo y sus partes
	2.2 Uso de la calculadora
	2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles
	2.4 Un número más
	2.5 ¿Partes de cuál todo?
	2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes
	ColorPrimero Guía 2
	ColorPrimero Problemas de la Sección
	3 Repaso de la Unidad
	ColorPrimero Guía Resumen Unidad I
	3.1 Soluciones guía repaso 1
	Unidad II — Aplicaciones numéricas en la resolución de problemas
	4 Razones y proporciones
	4.1 Concepto de razón
	4.2 Escalas
	4.3 Proporción
	4.4 Regla de las proporciones
	4.5 Cambio de unidades
	ColorPrimero Guía 3
	ColorPrimero Problemas de la sección
	4.6 Porcentajes
	4.7 Variaciones porcentuales
	4.8 Puntos porcentuales
	ColorPrimero Guía 4
	ColorPrimero Problemas de la sección
	5 Potencias y raíces
	5.1 Potencias
	5.2 Aplicaciones de potencias
	5.3 Raíces
	5.4 Aplicaciones de raíces
	ColorPrimero Guía 5
	ColorPrimero Problemas de la sección
	Unidad III — El lenguaje de las matemáticas
	6 Lenguaje algebraico
	6.1 Lenguaje algebraico: un antes y un después
	6.2 Generalizaciones
	6.3 Del lenguaje natural al algebraico
	6.4 Fórmulas
	ColorPrimero Guía 6
	ColorPrimero Problemas de la Sección
	6.5 Expresiones Algebraicas
	6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas
	6.7 Simplificación de expresiones algebraicas
	ColorPrimero Guía 7
	ColorPrimero Problemas de la Sección
	7 Ecuaciones
	7.1 Ecuaciones
	7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable
	ColorPrimero Guía 8
	ColorPrimero Problemas de la sección
	7.3 Plantear y resolver ecuaciones
	ColorPrimero Guía 9
	ColorPrimero Problemas de la sección
	ColorPrimero Guía resumen Unidades I y II
	ColorPrimero Soluciones Guía Resumen Unidades I y II