Análise Matemática

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Análise Matemática 
O que e uma funcao continua em um ponto
a?
a) Uma funcao que e limitada em torno de
a
b) Uma funcao que nao apresenta quebras, saltos ou descontinuidade em
a
c) Uma funcao que tem derivada em
a
d) Uma funcao que e crescente em torno de
a
Resposta correta: b) Uma funcao que nao apresenta quebras, saltos ou descontinuidade em
a
Explicacao: Uma funcao e dita continua em um ponto
a se, para qualquer sequencia que se aproxima de
a, a funcao tambem se aproxima do valor de
f(a), sem saltos ou interrupcoes.
Qual e a definicao de derivada de uma funcao em um ponto?
a) O valor da funcao naquele ponto
b) A taxa de variacao media da funcao em torno do ponto
c) A inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto
d) A soma das diferencas entre os valores da funcao
Resposta correta: c) A inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto
Explicacao: A derivada de uma funcao em um ponto e o coeficiente angular da reta tangente ao
grafico da funcao nesse ponto, representando a taxa de variacao instantanea da funcao naquele
local.
O que significa o teorema de Rolle?
a) A funcao deve ser continua em um intervalo fechado e derivavel em um intervalo aberto, e existir
um ponto onde a derivada e zero
b) A funcao deve ser continua e ter uma derivada continua no intervalo fechado
c) A funcao deve ser crescente em todo o intervalo
d) A funcao deve ser diferenciavel apenas no ponto final do intervalo
Resposta correta: a) A funcao deve ser continua em um intervalo fechado e derivavel em um
intervalo aberto, e existir um ponto onde a derivada e zero
Explicacao: O teorema de Rolle garante que, se uma funcao e continua no intervalo fechado e
derivavel no intervalo aberto, e assume os mesmos valores nos extremos do intervalo, entao existe
pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a derivada da funcao e igual a zero.
Qual das alternativas e um exemplo de um metodo de integracao?
a) Regra do trapezio
b) Formula de Euler
c) Metodo de Newton
d) Teorema Fundamental do Calculo
Resposta correta: a) Regra do trapezio
Explicacao: A regra do trapezio e um metodo numerico para aproximar a integral definida de uma
funcao, usando trapezios para estimar a area sob a curva.
O que caracteriza uma serie convergente?
a) A soma dos termos tende a infinito a medida que o numero de termos aumenta
b) A soma dos termos se aproxima de um valor finito a medida que o numero de termos aumenta
c) Os termos da serie sao sempre positivos
d) A soma dos termos e um numero aleatorio
Resposta correta: b) A soma dos termos se aproxima de um valor finito a medida que o numero de
termos aumenta
Explicacao: Uma serie e dita convergente quando a soma de seus termos tende a um valor finito a
medida que o numero de termos aumenta indefinidamente. Caso contrario, ela e divergente.
O que e o conceito de "limite" de uma funcao?
a) A diferenca entre os valores maximos e minimos de uma funcao
b) O valor que a funcao se aproxima a medida que a variavel independente se aproxima de um
determinado valor
c) O valor de uma funcao no ponto mais alto de seu grafico
d) O valor de uma funcao em seu ponto de inflexao
Resposta correta: b) O valor que a funcao se aproxima a medida que a variavel independente se
aproxima de um determinado valor
Explicacao: O limite de uma funcao e o valor que a funcao se aproxima a medida que a variavel
independente se aproxima de um certo ponto, sem necessariamente atingir esse valor.
Qual e a condicao para que uma funcao tenha uma derivada no ponto
a?
a) A funcao deve ser continua em
a e a taxa de variacao media ser finita
b) A funcao deve ser continua em
a e limitada em torno de
a
c) A funcao deve ser continua em
a e o limite da razao de diferencas deve existir e ser finito
d) A funcao deve ser diferenciavel em todos os pontos proximos a
a
Resposta correta: c) A funcao deve ser continua em
a e o limite da razao de diferencas deve existir e ser finito
Explicacao: Para que uma funcao tenha derivada em
a, ela precisa ser continua nesse ponto e o limite da razao de diferencas (definido como a derivada)
deve existir e ser finito.
O que e uma funcao convexa?
a) Uma funcao onde a reta tangente a qualquer ponto do grafico tem inclinacao positiva
b) Uma funcao onde a reta tangente a qualquer ponto do grafico tem inclinacao negativa
c) Uma funcao em que, para quaisquer dois pontos no grafico, o segmento de reta entre eles esta
acima ou sobre o grafico da funcao
d) Uma funcao cujos valores aumentam em uma taxa constante
Resposta correta: c) Uma funcao em que, para quaisquer dois pontos no grafico, o segmento de
reta entre eles esta acima ou sobre o grafico da funcao
Explicacao: Uma funcao e convexa se, para quaisquer dois pontos
x
1
e
x
2
em seu dominio, o segmento de reta que une
f(x
1
) e
f(x
2
) esta acima ou sobre o grafico da funcao, o que implica em uma curvatura voltada para cima.
O que significa que uma funcao e diferenciavel em um intervalo?
a) Que a funcao tem um valor definido para cada
x no intervalo
b) Que a funcao nao tem descontinuidade ou saltos no intervalo
c) Que a funcao pode ser representada por um polinomio no intervalo
d) Que a funcao possui uma derivada em todos os pontos do intervalo
Resposta correta: d) Que a funcao possui uma derivada em todos os pontos do intervalo
Explicacao: Uma funcao e diferenciavel em um intervalo se ela possui uma derivada definida em
todos os pontos desse intervalo. Isso implica que a funcao e suave e nao apresenta
descontinuidades ou quebras.
Qual e a principal diferenca entre uma funcao continua e uma funcao diferenciavel?
a) Toda funcao diferenciavel e continua, mas nem toda funcao continua e diferenciavel
b) Uma funcao continua tem uma derivada no ponto, enquanto uma funcao diferenciavel nao
c) Funcoes diferenciaveis sempre tem graficos mais suaves que as funcoes continuas
d) Funcoes continuas podem ter descontinuidade de primeira ordem, mas funcoes diferenciaveis
nao
Resposta correta: a) Toda funcao diferenciavel e continua, mas nem toda funcao continua e
diferenciavel
Explicacao: A principal diferenca e que, enquanto toda funcao diferenciavel e continua, o contrario
nao e necessariamente verdadeiro. Uma funcao pode ser continua, mas nao ter uma derivada (por
exemplo, um ponto de "canto").
O que e o Teorema Fundamental do Calculo?
a) Um teorema que afirma que toda funcao continua tem um limite bem definido
b) Um teorema que relaciona a integral de uma funcao com sua derivada
c) Um teorema que afirma que toda funcao derivavel e continua
d) Um teorema que define as propriedades das funcoes convexas
Resposta correta: b) Um teorema que relaciona a integral de uma funcao com sua derivada
Explicacao: O Teorema Fundamental do Calculo estabelece que a operacao de integracao pode
ser "desfeita" pela derivacao e vice-versa, isto e, se uma funcao tem uma antiderivada, a integral
definida da funcao pode ser calculada a partir da antiderivada.
Como se define o conceito de uma integral indefinida?
a) O valor de uma funcao em um intervalo fechado
b) A area sob o grafico de uma funcao em um intervalo fechado
c) A operacao inversa da derivada, resultando em uma familia de funcoes
d) A soma dos valores de uma funcao para todos os valores de
x no intervalo
Resposta correta: c) A operacao inversa da derivada, resultando em uma familia de funcoes
Explicacao: A integral indefinida e a operacao que, dado uma funcao, retorna sua antiderivada,
resultando em uma familia de funcoes que, quando derivadas, resultam na funcao original.
O que caracteriza um ponto de inflexao de uma funcao?
a) O ponto onde a funcao atinge seu valor maximo
b) O ponto onde a funcao muda de concavidade, ou seja, a segunda derivada muda de sinal
c) O ponto onde a funcao tem uma derivada igual a zero
d) O ponto onde a funcao atinge seu valor minimo
Resposta correta: b) O ponto onde a funcao muda de concavidade, ou seja, a segunda derivada
muda de sinal
Explicacao: Umponto de inflexao ocorre quando a funcao muda sua curvatura, isto e, a
concavidade da funcao muda de c