Análise Matemática

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Análise Matemática 
O que caracteriza uma funcao continua em um ponto
x=a?
a) A funcao possui derivada no ponto
x=a.
b) O limite da funcao quando
xa existe e e igual ao valor da funcao em
a.
c) O valor da funcao em
a e zero.
d) A funcao cresce indefinidamente proximo a
x=a.
Resposta correta: b
Explicacao: Uma funcao e continua em
x=a se o limite
lim
xa
f(x)=f(a). Isso significa que nao ha saltos, buracos ou descontinuidades nesse ponto.
Qual e a definicao de derivada de uma funcao
f(x) em um ponto
x?
a) O valor maximo da funcao.
b) O coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto
x.
c) A integral indefinida da funcao.
d) O valor da funcao multiplicado por
x.
Resposta correta: b
Explicacao: A derivada em um ponto fornece a taxa de variacao instantanea da funcao, que
corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a curva nesse ponto.
Qual das funcoes abaixo possui derivada constante?
a)
f(x)=x
2
b)
f(x)=5x+3
c)
f(x)=e
x
d)
f(x)=ln(x)
Resposta correta: b
Explicacao: A derivada de
f(x)=5x+3 e
f
(x)=5, uma constante. Funcoes lineares tem derivadas constantes.
O que representa a integral definida
a
b
f(x)dx?
a) A area sob a curva
f(x) entre
x=a e
x=b.
b) A derivada da funcao
f(x) entre
a e
b.
c) O valor medio da funcao.
d) A tangente a curva em
x=a.
Resposta correta: a
Explicacao: A integral definida calcula a area algebrica entre o grafico da funcao e o eixo
x no intervalo
[a,b], considerando partes negativas como subtracao.
Qual e a condicao para que uma funcao seja derivavel em um ponto?
a) A funcao deve ser crescente nesse ponto.
b) A funcao deve ser continua nesse ponto.
c) A funcao deve ser igual a zero nesse ponto.
d) A funcao deve ter valor positivo.
Resposta correta: b
Explicacao: Derivabilidade implica continuidade, mas o contrario nem sempre e verdadeiro. Uma
funcao continua pode nao ser derivavel se houver um ponto de canto ou cuspide.
O que significa o teorema de Rolle?
a) Uma funcao continua em
[a,b] possui integral nula.
b) Se uma funcao e continua em
[a,b], derivavel em
(a,b) e
f(a)=f(b), entao existe
c(a,b) tal que
f
(c)=0.
c) Qualquer funcao continua e derivavel.
d) O maximo de uma funcao sempre ocorre nas extremidades do intervalo.
Resposta correta: b
Explicacao: O teorema de Rolle garante que, sob as condicoes de continuidade e derivabilidade,
existe pelo menos um ponto no intervalo onde a tangente a curva e horizontal, ou seja,
f
(c)=0.
Qual das funcoes abaixo apresenta ponto de inflexao em
x=0?
a)
f(x)=x
2
b)
f(x)=x
3
c)
f(x)=e
x
d)
f(x)=x
Resposta correta: b
Explicacao: Um ponto de inflexao ocorre quando a concavidade da funcao muda de concava para
convexa ou vice-versa. Para
f(x)=x
3
, a segunda derivada se anula em
x=0 e muda de sinal.
Como se define a serie de Taylor de uma funcao
f(x) em torno de
x=a?
a) E a soma infinita de
f(x) com seus limites.
b) E a aproximacao da funcao por um polinomio de derivadas em
x=a.
c) E a integral indefinida da funcao.
d) E o limite da funcao quando
xa.
Resposta correta: b
Explicacao: A serie de Taylor representa a funcao como um polinomio cujos coeficientes sao
calculados pelas derivadas da funcao em um ponto especifico, permitindo aproximacao local da
funcao.
O que caracteriza um ponto critico de uma funcao
f(x)?
a)
f(x)=0
b)
f
(x)=0 ou
f
(x) nao existe
c)
f
(x)=0
d) A funcao e crescente no ponto
Resposta correta: b
Explicacao: Pontos criticos sao candidatos a maximos, minimos ou pontos de inflexao, ocorrendo
quando a derivada primeira se anula ou nao existe.
O teste da segunda derivada permite:
a) Determinar a continuidade da funcao.
b) Classificar pontos criticos como maximo ou minimo local.
c) Encontrar o valor da integral definida.
d) Calcular o limite de uma funcao.
Resposta correta: b
Explicacao: Se
f
(x
0
)=0 e
f
(x
0
)>0, temos um minimo local; se
f
(x
0
)0 no intervalo considerado.
Qual e o significado do limite
lim
x
f(x)=L?
a) A funcao nunca se aproxima de
L.
b) A funcao se aproxima de
L conforme
x cresce indefinidamente.
c) A funcao cresce sem limite.
d) O valor de
f(x) e exatamente
L para todos
x.
Resposta correta: b
Explicacao: O limite infinito descreve o comportamento assintotico da funcao, indicando que a
medida que
x aumenta,
f(x) se aproxima do valor
L.
Qual a relacao entre derivada e crescimento de uma funcao?
a) Se
f
(x)>0, a funcao e decrescente.
b) Se
f
(x)>0, a funcao e crescente.
c) Derivada nao informa sobre crescimento.
d) Crescimento depende apenas da integral da funcao.
Resposta correta: b
Explicacao: A derivada indica a taxa de variacao da funcao; se positiva, a funcao esta aumentando;
se negativa, esta diminuindo.
O que caracteriza uma funcao limitada?
a) Possui derivada em todos os pontos.
b) Nao cresce nem decresce indefinidamente; existe um valor maximo e minimo que a funcao nao
ultrapassa.
c) Seu limite em infinito e zero.
d) E continua em todos os pontos.
Resposta correta: b
Explicacao: Uma funcao limitada possui um intervalo no qual todos os seus valores estao contidos,
independentemente de ser continua ou derivavel.
Qual e o conceito de integral impropria?
a) Integral de funcoes continuas em intervalos fechados.
b) Integral onde o intervalo ou a funcao possui singularidades, exigindo limites para avaliacao.
c) Integral definida multiplicada por zero.
d) Integral sem aplicacao pratica.
Resposta correta: b
Explicacao: Integrais improprias ocorrem quando os limites de integracao vao ao infinito ou quando
a funcao se aproxima de uma singularidade, exigindo a interpretacao atraves de limites.
O que e uma sequencia convergente?
a) Uma sequencia que cresce sem limite.
b) Uma sequencia cujos termos se aproximam de um valor especifico quando
n.
c) Uma sequencia alternada.
d) Sequencia cujo termo geral e negativo.
Resposta correta: b
Explicacao: Uma sequencia converge se existe um limite finito
L tal que, para qualquer precisao desejada, os termos da sequencia ficam arbitrariamente proximos
de
L a partir de um certo ponto.
Qual e o teste de convergencia mais simples para series geometricas?
a) A razao entre termos consecutivos deve ser menor que 1 em modulo.
b) A soma dos termos e sempre zero.
c) Os termos devem ser negativos.
d) A derivada da serie e finita.
Resposta correta: a
Explicacao: Uma serie geometrica
ar
n
converge se
r