centro de massa Integral respostas

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Massa e Centro de Massa – Integral Dupla 
 
01) Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), 
(1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y. 
 
Solução: 
O triângulo D está limitado pelas retas 
x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos 
expressar D por: 
D = { (x,y) | 0  x  1, 0  y  2 – 2x } 
 
A massa da lâmina é: 
  
DD
dAyx31dA)y,x(m
 
 
Portanto: 
 
   
 
3
8
3
4
4
3
x
4x4dxx44
dxx2x42x6x42dx
2
x22
x6x6x22
dx
2
y
xy3ydxdyyx31m
1
0
31
0
2
1
0
22
1
0
2
2
1
0
x22
0
21
0
x22
0















 










 

 
 
Os momentos são: 
 
 
     
6
11
6
5
1
6
5
3
2
3
3
14
x
6
5
x
3
2
x3x
3
14
dxx
3
10
x2x6
3
14
dx
3
x8
x8x8
3
8
x6x12x6x2x42
dx
3
x22
2
x22
x3
2
x22
dx
3
y
2
y
x3
2
y
dxdyyxy3y
dAyxy3ydA)y,x(yM
1
0
432
1
0
32
1
0
3
2322
1
0
322
1
0
x22
0
3221
0
x22
0
2
D
2
D
x






























 
















 


 
 
(0,2) 
(0,0) (1,0) 
y = 2 – 2x 
D 
 
 
 
 
    112xx2dxx4x4
dxx2x4x2x6x4x2
dx
2
x22
xx6x6x2x2
dx
2
y
xyx3xydxdyxyx3x
dAxyx3xdA)y,x(xM
1
0
42
1
0
3
1
0
3232
1
0
2
322
1
0
x22
0
2
2
1
0
x22
0
2
D
2
D
y









 












 


 
 
 
Assim: 
8
3
3
8
1
m
M
X
y

 , 
16
11
8
3
6
11
3
8
6
11
m
M
Y x 
 
Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0,2) 
(0,0) (1,0) 
y = 2 – 2x 
D 
 
(3/8,11/16) 
02) A região está ilustrada na cor azul claro na figura abaixo. 
 
Da figura percebe-se que a região é simétrica em relação à reta 
x= /2 . Além disso, como a região tem densidade constante, segue-se 
que a coordenada x do centro de massa é igual a /2 . Para o cálculo 
da coordenada y , primeiro calcula-se a massa M da região, igual à sua 
área: 
 
 
A coordenada y é então dada por 
 
 
Assim, o centro de massa da região é o ponto , que está 
ilustrado na figura abaixo. 
 
03) A região correspondente à placa fina está representada na 
cor azul claro na figura abaixo. 
 
Da figura percebe-se que a chapa é uma região do tipo com y em 
algum intervalo simétrico [ a , -a ]. Além disso, para cada y no intervalo 
[ a , -a ], x varia no intervalo entre a parábola e a elípse, isto é, 
entre e . Assim, para determinar a região de 
integração, resta apenas calcular o valor da constante a. Para isso, 
basta substituir na igualdade . Procedendo dessa 
forma, obtém-se que . Segue-se que a massa da chapa é dada 
pela integral 
 
Como , tem-se que 
 
Substituindo essa expressão na integral da massa obtém-se 
 
 
Assim, a massa é igual a M = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Vale ilustrar a placa, como feito a seguir, para facilitar a 
determinação dos extremos de integração. 
 
Da figura acima segue-se que a placa pode ser descrita da seguinte 
forma: para cada x fixo no intervalo [0, 1], y varia no intervalo [x, 2 - 
x]. Com essa descrição, segue-se que a massa M da placa pode ser 
calculada como 
 
Como a função é um polinômio nas variáveis x e y, a integral 
acima é fácil de ser calculada, e seu valor é 
 
A coordenadas do centro de massa são dadas por 
 
 
Novamente, essas integrais são simples de serem calculadas, e seus 
valores são 
 
 
Observe que o centro de massa está ligeiramente deslocado em relação 
ao centro geométrico da placa, que é o ponto . Para 
melhor entender a posição do centro de massa, ele está ilustrado na 
figura abaixo juntamente com as curvas de nível da função densidade 
(as retas inclinadas), e o claro/escuro significa a passagem do menos 
denso para o mais denso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 05 ) A placa está ilustrada na figura abaixo. 
 
Indique por R a região ocupada pela placa. Da figura segue-se que R 
pode ser descrita da seguinte forma: para cada x fixo no intervalo [-1, 
1], y varia de 0 até . Como a densidade é dada 
por , segue-se que a massa M da placa é dada por 
 
 
 
 
Por simetria, tando da região R quanto da desndidade, a coordenada x0 
do centro de massa deve ser zero. E, de fato, calculando, obtém-se que 
 
 
 
 
Já para a coordenada y0 do centro de massa obtém-se que 
 
 
 
 
Assim, o centro de massa é dado por (x0, y0) = (0, 13/31). 
Indique por Iy o momento de inércia da placa em relação ao eixo Oy. 
Como a distância de um ponto (x, y) da placa ao eixo Oy é igual a x, 
segue-se que Iy é dado por 
 
 
 
 
O raio de rotação r0, em relação ao eixo Oy, é definida pela 
igualdade , e portanto 
 
 
A figura ilustra o raio de rotação (em vermelho), o centro de massa C = 
(x0, y0) e as curvas de nível da função densidade (as retas horizontais). 
O claro/escuro significa a passagem do menos denso para o mais denso.