Lança-se uma moeda 20 vezes. Qual a probabilidade de se obter de 6 a 9 caras usando a aproximação da binomial pela normal. ?

1)

Primeiro, vamos descobrir de quantas formas diferentes a face "cara" (c) pode sair 6 vezes dentre os 20 lançamentos. Ou seja, tem-se as seguintes combinações:

c c c c c c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c c c c c _ c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c c c c c _ c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c c c c _ c _ _ c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c _ _ c _ c _ c c _ _ _ _ _ _ _ c _ _ _

...etc

Portanto, a quantidade C₆ de combinações diferentes dos 6 "c" é:

-> C = 20!/[ (20 - 6)! 6! ]

-> C₆ = 20·19·18·17·16·15·14!/[ 14! · 720 ]

-> C₆ = 20·19·18·17·16·15/[ 720 ]

-> C₆ = 38760

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2)

Agora, deve-se considerar a probabilidade de cada lançamento individual resultar em "cara".

- Com uma moeda honesta, a probabilidade de sair "cara" é 1/2. Portanto, a probabilidade de sair "cara" 6 vezes é:

-> (1/2)⁶ = 1/64

- E a probabilidade de não sair "cara" é 1 - 1/2 = 1/2. Portanto, a probabilidade de não sair "cara" nos 14 lançamentos restantes é:

-> (1 - 1/2)¹⁴ = 1/16384

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3)

Portanto, se uma moeda é lançada 20 vezes, a probabilidade P₆ de sair "cara" 6 vezes é:

-> P₆ = 38760·( 1/64 )·( 1/16384 )

-> P₆ = 0,0370 = 3,7%

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4)

Analogamente, os valores de P₇, P₈ e P₉ são:

{ P₇ = 0,0739 = 7,39%

{ P₈ = 0,1201 = 12,01%

{ P₉ = 0,1602 = 16,02%

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5)

Finalmente, lançando uma moeda 20 vezes, a probabilidade de se obter de 6 a 9 caras é:

-> Ptotal = P₆ + P₇ + P₈ + P₉

-> Ptotal = 3,7 + 7,39 + 12,01 + 16,02

-> Ptotal = 39,12%

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Solução: 39,12%

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