Assim, seja a equação diferencial. y'+2y'-3y=0.comy(0)=1ey'(0)=3. Pode-se afirmar que o valor aproximado de y(1), é

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos usar o método da equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos começar encontrando a solução geral da equação diferencial homogênea associada, que é dada por y'+2y'-3y=0. A equação característica correspondente é r^2 + 2r - 3 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos as raízes r1 = 1 e r2 = -3. Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é yh(t) = c1 * e^t + c2 * e^(-3t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas. Agora, vamos encontrar a solução particular da equação diferencial não homogênea. Temos as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 3. Substituindo t = 0 na solução geral, obtemos yh(0) = c1 * e^0 + c2 * e^0 = c1 + c2. Derivando a solução geral em relação a t, obtemos yh'(t) = c1 * e^t - 3c2 * e^(-3t). Substituindo t = 0 na derivada da solução geral, obtemos yh'(0) = c1 * e^0 - 3c2 * e^0 = c1 - 3c2. Agora, vamos encontrar os valores de c1 e c2 que satisfazem as condições iniciais. Temos y(0) = 1 e y'(0) = 3. Substituindo esses valores nas equações, temos: c1 + c2 = 1 c1 - 3c2 = 3 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos c1 = 2 e c2 = -1. Portanto, a solução particular da equação diferencial não homogênea é yp(t) = 2 * e^t - e^(-3t). A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular: y(t) = yh(t) + yp(t). Substituindo t = 1 na equação, temos: y(1) = 2 * e^1 - e^(-3) ≈ 5.436 Portanto, o valor aproximado de y(1) é 5.436.