3,5
1,5
4,7
3,1
0,3
Primeiro, tratamos da equação característica:
\(2 \lambda^2 - 7 \lambda + 3 = 0\)
Por Bhaskara, inferimos as raízes:
\(\lambda = \frac{1}{2}, \ \lambda = 3\)
Como as raízes são diferentes, teremos a seguinte solução geral:
\(y(x) = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{3x} \\ y'(x) = \frac{1}{2}C_1 e^{\frac{x}{2}} + 3C_2 e^{3x}\)
As condições iniciais nos ajudam a encontrar as constantes, a saber:
\(y(0) = 5 = C_1 + C_2 \\ y'(0) = -5 = \frac{1}{2}C_1 + 3C_2 \)
Com o sistema linear anterior, basta multiplicar a segunda equação por 2 e subtrair uma da outra. Disso, tiramos:
\(C_1 = 8,\ C_2 = -3\)
Logo, por fim, a função que é solução geral é:
\(y(x) = 8e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{3x}\)
Para o valor pedido, teremos:
\(y(-1) = 8e^{- \frac{1}{2}} - 3 e^{-3} \approx \boxed{4,7}\)
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