Prove que o número n será um inteiro par se e somente se 3n + 2 = 2a para algum inteiro a.

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Para provar que o número n será um inteiro par se e somente se 3n + 2 = 2a para algum inteiro a, devemos demonstrar dois casos: um para quando n é par e outro para quando n é ímpar, e mostrar que em ambos os casos podemos encontrar um número inteiro a que satisfaça a equação 3n + 2 = 2a.

1. Prova para quando n é par:

Se n é par, então podemos escrevê-lo como 2k para algum inteiro k. Substituindo n por 2k na equação 3n + 2 = 2a, obtemos:

3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) = 2a

Portanto, se n é um inteiro par, podemos escolher a = 3k + 1 para que a equação 3n + 2 = 2a seja satisfeita para algum inteiro a.

2. Prova para quando n é ímpar:

Se n é ímpar, então podemos escrevê-lo como 2k + 1 para algum inteiro k. Substituindo n por 2k + 1 na equação 3n + 2 = 2a, obtemos:

3(2k + 1) + 2 = 6k + 5 = 2(3k + 2) + 1 = 2a + 1

Neste caso, não é possível encontrar um número inteiro a que satisfaça a equação 3n + 2 = 2a para um número ímpar n. Isso porque a equação 3n + 2 é sempre um número ímpar, enquanto 2a é sempre um número par, e a soma de um número ímpar com um número par é sempre ímpar.

Portanto, podemos concluir que o número n será um inteiro par se e somente se 3n + 2 = 2a para algum inteiro a, e que essa equação não é válida para valores ímpares de n.