Em probabilidade, quando temos duas variáveis aleatórias, X e Y, podemos calcular a probabilidade através da integral dupla:

Para determinar a probabilidade de uma placa escolhida aleatoriamente ter largura entre 4,9 e 5,5 e comprimento entre 4,8 e 5,2, precisamos calcular a integral dupla da função densidade de probabilidade dentro dessa região.

A densidade de função de probabilidade é definida como:

f(x, y) = 1 / ((6 - 4) * (6 - 4)) = 1 / 4, se 4 < x < 6 e 4 < y < 6

f(x, y) = 0, caso contrário

Vamos calcular uma integral dupla para obter a probabilidade desejada. A dupla integral representa a área sob a função de densidade de probabilidade dentro da região especificada.

P(4,9 ≤ X ≤ 5,5, 4,8 ≤ Y ≤ 5,2) = ∫∫[4,9 ≤ x ≤ 5,5, 4,8 ≤ y ≤ 5,2] f(x, y) dxdy

A primeira etapa é definir os limites de integração. Para calcular a integral dupla, devemos integrar em relação ax primeiro e, em seguida, em relação a y. Portanto, os limites de integração são:

4,9 ≤ x ≤ 5,5

4,8 ≤ y ≤ 5,2

Agora podemos calcular uma integral dupla:

P(4,9 ≤ X ≤ 5,5, 4,8 ≤ Y ≤ 5,2) = ∫[4,8 ≤ y ≤ 5,2] ∫[4,9 ≤ x ≤ 5,5] f(x, y) dxdy

Integrando em relação ax primeiro, temos:

P(4,9 ≤ X ≤ 5,5, 4,8 ≤ Y ≤ 5,2) = ∫[4,8 ≤ y ≤ 5,2] ∫[4,9 ≤ x ≤ 5,5] (1/4) dx dy

A integral interna é uma integral definida simples em relação ax:

∫[4,9 ≤ x ≤ 5,5] (1/4) dx = (1/4) * (5,5 - 4,9) = 0,15

Agora, substituindo o resultado da integral interna na integral externa:

P(4,9 ≤ X ≤ 5,5, 4,8 ≤ Y ≤ 5,2) = ∫[4,8 ≤ y ≤ 5,2] 0,15 dy

A integral externa é uma integral definida simples em relação ay:

∫[4,8 ≤ y ≤ 5,2] 0,15 dy = 0,15 * (5,2 - 4,8) = 0,06

Portanto, a probabilidade de uma placa escolhida aleatoriamente ter largura entre 4,9 e 5,5 e comprimento entre 4,8 e 5,2 é de 0,06 ou 6%.

Cada etapa da resolução envolveu a aplicação dos conceitos de integração dupla para calcular a probabilidade. 

conseguiu ?