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Jozimar jozimar
Na indução a gente tem, basicamente, três etapas: base, hipótese e passe indutivo.
Vamos mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (você pode considerar que os naturais começam com zero ou com o um).
Se você considerar |N = {0, 1, 2, ...}, então
Pronto demonstramos a base de indução. Você pode fazer o mesmo para o um se você quiser, basta calcular a expressão n³- n, com n = 1, i.e., 1³ - 1 = 0.
Agora vamos para a hipótese de indução. Suponha que exista um número k natural tal que 3 | k³ - k.
Passe indutivo: Essa é a última etapa, precisamos provar que
Existe um teorema que diz que se d | a e d | b, então d | ax + by, pra todo x e y inteiros. Ou seja, podemos somar ou subtrair múltiplos de 3 a vontade da expressão k³ - k.
Assim, provamos que 3 | n³ - n, para todo n natural.
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