Aplicações em Análise Combinatória

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Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
• Unidade de Ensino: 03
• Competência da Unidade: Conhecer e compreender os principais conceitos
que embasam a análise combinatória para promover ações que valorizem
suas aplicações no contexto escolar dos estudantes
• Resumo: Nessa aula iremos discutir aplicações no campo da análise
combinatória, como o binômio de Newton, triângulo de Pascal, PA e PG.
• Palavras-chave: binômio de Newton, triângulo de Pascal, progressão 
aritmética, progressão geométrica.
• Título da Teleaula: Aplicações no campo da análise combinatória 
• Teleaula nº: 03
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Que tipo de aplicações 
temos no campo da análise 
combinatória?
Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Binômio de Newton
Binômio de Newton
 Isaac Newton (1642-1727), trabalhou com o desenvolvimento do
binômio generalizado para potências com expoente fracionário
 onde A representa o primeiro termo 𝑃 ,
 B representa o segundo termo 𝐴𝑄 ,
 e assim por diante.
𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑃 +
𝑚
𝑛
𝐴𝑄 +
𝑚 − 𝑛
2𝑛
𝐵𝑄 +
𝑚 − 2𝑛
3𝑛
𝐶𝑄 + ⋯
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3 4
5 6
2
Conceitos necessários para o desenvolvimento do 
binômio de Newton
 Fatorial
Seja 𝑛 ≥ 2 um número inteiro positivo qualquer, o fatorial de 𝑛, denotado por 
𝑛!, é o produto dos 𝑛 primeiros números inteiros positivos escritos desde 𝑛 até 
1, ou seja,
𝑛! = 𝑛 ⋅ 𝑛 − 1 ⋅ 𝑛 − 2 … 2 ⋅ 1
 Combinações 
Uma combinação n sobre p, denotada por
𝑛
𝑝 , é
o número dado pela seguinte expressão:
𝑛
𝑝 =
𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 !
= 𝐶 ,
Conceitos necessários para o desenvolvimento do 
binômio de Newton
 Produto notável: estabelece um conjunto de regras para o desenvolvimento 
do termo 𝑎 + 𝑏 com 𝑛 ≤ 3.
 Por exemplo,
𝑛 = 0 → 𝑎 + 𝑏 = 1
𝑛 = 1 → 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
𝑛 = 2 → 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏
𝑛 = 3 → 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 + 𝑏
Binômio de Newton
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E se 𝑛 > 3 o 
que fazer para 
expandir (𝑎
+ 𝑏) ?
Teorema de Newton
𝑎 + 𝑏 =
𝑛
0
𝑎 𝑏 +
𝑛
1
𝑎 𝑏 + ⋯ +
𝑛
𝑛
𝑎 𝑏
Binômio de Newton
 Exemplo: 
Considere o seguinte binômio 𝑥 + 3 , quais seriam seus coeficientes?
𝑥 + 5 =
𝟓
𝟎
𝑥 5 +
𝟓
𝟏
𝑥 5 +
𝟓
𝟐
𝑥 5 +
𝟓
𝟑
𝑥 5 +
𝟓
𝟒
𝑥 5 +
𝟓
𝟓
𝑥 5
= 𝟏 ⋅ 𝑥 + 𝟓 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 + 𝟏𝟎 ⋅ 𝑥 ⋅ 25 + 𝟏𝟎 ⋅ 𝑥 ⋅ 125 + 𝟓 ⋅ 𝑥 ⋅ 625 + 𝟏 ⋅ 3125
= 𝑥 + 25𝑥 + 250𝑥 + 1250𝑥 + 3125𝑥 + 3125
Rede de servidores
Uma rede de servidores, em geral, é definida como a ação de um agente
inteligente que trabalha com o aperfeiçoamento de uma determinada ação
como, por exemplo, aceleração de download. Suponha que a probabilidade de
um determinado servidor ser escolhido pelo agente em uma determinada
operação é de 15% se o agente inteligente realiza cerca de 20 operações
deste tipo em um determinado período.
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Qual a probabilidade 
desse servidor específico 
ser escolhido pelo agente 
pelo menos uma vez? 
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11 12
3
Informações do problema:
 probabilidade de sucesso (𝑘) relacionada a usar o servidor: 15%
 probabilidade de fracasso (𝑛 − 𝑘) relacionada a não usar o servidor: 100 −
15 = 85%
 Número de operações: 𝑛 = 20
Para encontrar a probabilidade desejada, partimos do termo geral do Binômio 
de Newton que, neste caso, é dado por:
𝑃 =
𝑛
𝑘
𝑝 𝑞( )
𝑃 =
20
1
0,15 ⋅ 0,85 = 0,1368 = 13,68%
Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Triângulo de Pascal
Triângulo de Pascal
 Pascal estudou e demonstrou no trabalho do “Triângulo aritmético”, 
publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no 
estudo das probabilidades.
 É conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia.
 Trata-se de um arranjo triangular de números em que 
cada número é igual à soma do par de números acima 
de si.
Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal pode ser construído dispondo os coeficientes (ou números) 
binomiais da seguinte maneira: coeficientes com o mesmo valor no numerador 
são agrupados na mesma linha enquanto os coeficientes de mesmo 
denominador agrupam-se na mesma coluna.
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 0 →
0
0
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1 →
1
0
1
1
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 3 →
3
0
3
1
3
2
3
3
…
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛 →
𝑛
0
𝑛
1
𝑛
2
…
𝑛
𝑛
Triângulo de Pascal
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 0 →
0
0
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1 →
1
0
1
1
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 3 →
3
0
3
1
3
2
3
3
…
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛 →
𝑛
0
𝑛
1
𝑛
2
…
𝑛
𝑛
1 → linha 0
1 1 → linha 1
1 2 1 → linha 2
1 3 3 1 → linha 3
…
1 𝑛 . . . 𝑛 1 → linha n
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Triângulo de Pascal
Na linha 0, escrevemos 
o número 1
Na linha 1, escrevemos 
o número 1 duas vezes, 
pois os resultados das 
combinações são 1
Na linha 2, escrevemos 
o número 1, o 
resultado da 
combinação de 2 
tomado 1 a 1, e o 
número 1 novamente 
Continuamos o 
processo até a linha n
Propriedades
No Triângulo de Pascal, a soma dos 
elementos da linha n é igual a 2
O triângulo de Pascal é simétrico em 
relação a posição centra
A soma de dois elementos consecutivos de 
uma mesma linha gera um elemento 
situado abaixo da última parcela. Essa 
relação é conhecida como relação de Stifel
Teorema das colunas
A soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal, começando
pelo primeiro elemento da primeira coluna, tem o mesmo valor que o
elemento que se encontra na linha e coluna imediatamente posterior ao
último coeficiente binomial.
Matematicamente
𝑝
𝑝 +
𝑝 + 1
𝑝
+ ⋯
𝑝 + 𝑛
𝑝
=
𝑝 + 𝑛 + 1
𝑝 + 1
Teorema da diagonal
A soma dos elementos de uma diagonal do triângulo, começando pelo
primeiro elemento da diagonal, é igual ao elemento que está imediatamente
abaixo do último coeficiente binomial da soma.
A álgebra dos 
polinômios
Suponha que você esteja trabalhando com uma modelagem matemática com
uma dimensão muito grande como, por exemplo, um polinômio de grau n. Em
um dado momento, você precisava do coeficiente que acompanhava o valor de
x elevado a 8, pois o coeficiente desse valor resolveria seu problema de
modelagem. Sabendo que o polinômio usado tinha grau 12.
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Como encontrar o 
coeficiente de x elevado 
8 sem fazer toda a 
expansão polinomial?
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5
 Podemos utilizar o triângulo de Pascal, visto que ele nos dá exatamente o 
valor do coeficiente.
 Como o grau do polinômio é 12, estamos trabalhando com a linha 12 do 
triângulo de Pascal.
 Sabemos que a linha 𝑛 é dada por
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛 → 
𝑛
0
𝑛
1
𝑛
2
…
𝑛
𝑛
𝐿 =
12
0
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
12
10
12
11
12
12
𝐿 = 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 
O triângulo começa em 0 assim o coeficiente 
está na coluna 5
 Pelo teorema de Newton temos
𝑥 + 𝑏 =
12
0
𝑥 𝑏 +
12
1
𝑥 𝑏 +
12
2
𝑥 𝑏 +
12
3
𝑥 𝑏 +
12
4
𝑥 𝑏 … +
12
12
𝑥 𝑏
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Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Progressão aritmética
Sequência Numérica
 Lista de números organizados de uma ordem específica!
 {𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , … }
 𝑎  𝑛-ésimo termo
 Representação: 𝑎 ou {𝑎 }
∞ 
𝑛 = 1
 Por exemplo
 𝑥 = {2, 4, 6, 8, 10, … }
 𝑥 = 2𝑛
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𝑛 ∈ ℕ  𝑛 ≥ 1
índice do termo 𝑎
Progressão Aritmética
Por exemplo:
 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, … ⟹ razão 𝑟 = 3
 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, … ⟹ razão 𝑟 = 0
 10, 8, 6, 4, 2, 0, −2, −4, … ⟹ razão 𝑟 = −2
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica 
(𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 , … ) tal que, a partir do segundo termo, seus termos são 
obtidos pela soma do termo anterior somado a um valor constante que é 
chamado de razão da PA e é denotado por 𝑟.
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Progressão Aritmética
Termo geral de uma PA
Em que 
 𝑎 é o termo geral da PA
 𝑎 é o primeiro termo da PA
 𝑛 é o número de elementos da PA
 𝑟 é a razão da PA
𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 ⋅ 𝑟
Exemplos
1) Calcule o 17º termo da PA cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é5.
Solução:
𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 ⋅ 𝑟
𝑎 = 3 + 17 − 1 ⋅ 5 = 83
2) Obtenha o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 23º termo é 86.
Solução:
𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 ⋅ 𝑟
𝑎 = 𝑎 + 23 − 1 ⋅ 4 = 86
𝑎 = 86 − 88 = −2
Progressão Aritmética
Soma dos termos de uma PA
Em que 
 𝑆 é a soma dos termos da PA
 𝑎 é o primeiro termo da PA
 𝑎 é o último termo da PA
 𝑛 é o número de elementos da PA
𝑆 =
𝑎 + 𝑎 ⋅ 𝑛
2
Exemplo
Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350?
Solução
Temos uma PA de razão 1, em que o primeiro termo é 1 o último é 350. 
Assim,
𝑆 =
𝑎 + 𝑎 ⋅ 𝑛
2
𝑆 =
1 + 350 ⋅ 350
2
𝑆 = 61425
O problema da vazão
Suponha que você tenha um problema de vazamento de água no açude de
uma determinada fazenda de um de seus clientes e que o encanamento esteja
entupido. Naturalmente, a terra começa a absorver a água muito
rapidamente. Sabendo que o açude tinha capacidade de 7m³ de água, você
observa que a cada hora, a terra absorve cerca de 100 litros de água.
Seu cliente, preocupado com o problema, deseja saber
quanto tempo esse vazamento pode continuar para ficar,
no máximo, com 3,5m³ de água, pois, se a vazão não for
contida, o açude irá secar e os animais ali poderão
morrer.
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35 36
7
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Como auxiliar o 
fazendeiro?
 Informações
 Capacidade inicial: 7 𝑚
 Capacidade final: 3,5 𝑚
 Vazão: 100 litros por hora
 O primeiro passo é transformar 100 litros em 𝑚 . Sabemos que 1𝑚 = 1000𝑙. 
Assim temos que a vazão é de 0,1 𝑚 por hora.
 Podemos analisar a situação como sendo uma PA de termo
𝑎 = 7, termo 𝑎 = 3,5 e 𝑟 = −0,1. Assim temos que descobrir
o valor de 𝑛, que representará as horas.
𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 ⋅ 𝑟
3,5 = 7 + 𝑛 − 1 ⋅ −0,1
3,5 − 7 = −0,1𝑛 + 0,1
−3,5 = 0,1𝑛 + 0,1
−3,5 − 0,1 = −0,1𝑛
−3,6 = −0,1𝑛
𝑛 =
−3,6
−0,1
= 36
O vazamento poderia continuar no máximo por 3 horas
Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Progressão 
geométrica
Progressão Geométrica
Por exemplo:
 (1, 3, 9, 27, 81, . . . ) ⟹ razão 𝑞 = 3
 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, … ⟹ razão 𝑞 = 1
 (−3, 9, −27, 81, −243, . . . ) ⟹ razão 𝑟 = −3
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica 
(𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 , … ) tal que, a partir do segundo termo, seus termos são 
obtidos pelo produto do termo anterior por um valor constante que é 
chamado de razão da PG e é denotado por 𝑞. A razão é dada por
𝑎
𝑎
=
𝑎
𝑎
= ⋯
𝑎
𝑎
37 38
39 40
41 42
8
Progressão Geométrica
Termo geral de uma PG
Em que 
 𝑎 é o termo geral da PG
 𝑎 é o primeiro termo da PG
 𝑛 é o número de elementos da PG
 𝑞 é a razão da PG
𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑞
Exemplo
O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule 
seu primeiro termo.
Solução:
Podemos considerar uma PG cujo primeiro termo é 16 e o quarto termo é 256. 
Isso porque do quarto até o oitavo existem quatro termos.
Assim temos:
𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑞
256 = 16 ⋅ 𝑞
𝑞 = 16 → 𝑞 = 2
Para encontrar o primeiro termo, basta usar a mesma fórmula, considerando 
que a PG possui oitavo termo igual a 256 e razão igual a 2.
𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑞
𝑎 = 𝑎 ⋅ 2
256 = 128 ⋅ 𝑎
𝑎 =
256
128
= 2
Progressão Geométrica
Soma dos termos de uma PG
Em que 
 𝑆 é a soma dos termos da PG
 𝑎 é o primeiro termo da PG
 𝑞 é a razão da PG
 𝑛 é o número de elementos da PG
𝑆 =
𝑎 (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
Exemplo
Um tipo de bactéria divide-se em duas a cada hora. Após 12 horas, qual será 
o número de bactérias?
Solução
Temos: 𝑎 = 1, 𝑞 = 2, 𝑛 = 12
𝑆 =
𝑎 (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
𝑆 =
1 (2 − 1)
2 − 1
= 4095
O problema da 
contaminação por 
vírus
43 44
45 46
47 48
9
Durante a pandemia de covid-19, percebeu-se que o número de pessoas
contaminadas aumentava como uma progressão geométrica de razão 2,5 em
uma semana para a outra em uma determinada cidade. Em um determinado
dia há 120 habitantes contaminados.
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Supondo que a 
progressão seja mantida, 
na quarta semana o 
número total de 
contaminados será igual 
a?
 Informações
 𝑎 = 120
 𝑞 = 2,5
 𝑆 =?
 Utilizando a fórmula da soma teremos
𝑆 =
120 (2,5 − 1)
2,5 − 1
= 3045
Logo, ao final da quarta semana serão 3045 pessoas 
contaminadas
Análise 
Combinatória e 
Lógica
APLICAÇÕES NO CAMPO DA 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Recapitulando
Teorema de Newton
𝑎 + 𝑏 =
𝑛
0
𝑎 𝑏 +
𝑛
1
𝑎 𝑏 + ⋯ +
𝑛
𝑛
𝑎 𝑏
Soma de PG finita
𝑆 =
𝑎 (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
Termo geral PG
𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑞
Soma PA
𝑆 =
𝑎 + 𝑎 ⋅ 𝑛
2
Termo geral PA
𝑎 = 𝑎 + 𝑛 − 1 ⋅ 𝑟
49 50
51 52