Qual é o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0. A) 54/8 B) 27/4 C) 1...

Para calcular o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0, podemos utilizar o Teorema de Fubini. Primeiro, vamos determinar os limites de integração para cada variável. A região é limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, temos: 0 ≤ x ≤ 3 - y - z 0 ≤ y ≤ 3 - x - z 0 ≤ z ≤ 3 - x - y Agora, podemos calcular a integral tripla: ∫∫∫ f(x, y) dV = ∫∫∫ x dV = ∫[0,3] ∫[0,3-x] ∫[0,3-x-y] x dz dy dx Integrando em relação a z, temos: = ∫[0,3] ∫[0,3-x] [xz]₀^(3-x-y) dy dx = ∫[0,3] ∫[0,3-x] x(3-x-y) dy dx = ∫[0,3] [xy(3-x-y)]₀^(3-x) dx = ∫[0,3] x(3-x)(3-2x) dx Agora, podemos calcular a integral em relação a x: = ∫[0,3] (9x - 15x² + 6x³) dx = [4.5x² - 5x³ + 1.5x⁴]₀³ = (4.5(3)² - 5(3)³ + 1.5(3)⁴) - (4.5(0)² - 5(0)³ + 1.5(0)⁴) = (4.5(9) - 5(27) + 1.5(81)) - (0 - 0 + 0) = 40.5 - 135 + 121.5 = 27 Portanto, o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0 é 27. A alternativa correta é B) 27/4.