Qual é o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0. A 27/8 B 27/4 C 189/...

Para calcular o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0, podemos utilizar o Teorema de Fubini. Primeiro, vamos determinar os limites de integração para cada variável. A região é limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, temos: 0 ≤ x ≤ 3 - y - z 0 ≤ y ≤ 3 - x - z 0 ≤ z ≤ 3 - x - y Agora, podemos calcular a integral tripla: ∫∫∫ f(x, y) dV = ∫∫∫ x dV = ∫[0,3] ∫[0,3-x] ∫[0,3-x-y] x dz dy dx Integrando em relação a z, temos: = ∫[0,3] ∫[0,3-x] [xz]₀^(3-x-y) dy dx = ∫[0,3] ∫[0,3-x] x(3-x-y) dy dx = ∫[0,3] [xy(3-x-y)]₀^(3-x) dx = ∫[0,3] x(3-x)(3-x) dx = ∫[0,3] (3x^2 - 6x^2 + 3x) dx = ∫[0,3] (-3x^2 + 3x) dx = [-x^3/3 + 3x^2/2]₀^(3) = [-(3)^3/3 + 3(3)^2/2] - [-(0)^3/3 + 3(0)^2/2] = [-27/3 + 27/2] - [0] = (-9 + 27/2) - 0 = -9/2 + 27/2 = 18/2 = 9 Portanto, o valor da integral tripla da função f(x, y) = x na região limitada pelas curvas x + y + z = 3, x = 0, y = 0 e z = 0 é 9. A alternativa correta é a letra E) 9.